Capitulo III: Introdução ao controle de processos industriais
III.1. Controladores do tipo Relé, P, I, PI, PD e PIDIII.1.1. Controladores do tipo Relé
Ação de controle de duas posições ou liga – desliga (on – off ):
Em um controle de duas posições, o sinal u(t) permanece em um valor máximo ou em um valor mínimo, dependendo do sinal de erro e(t) ser maior ou menor que um certo valor E1.
u(t) = U1 p/ e(t) > E1
= U2 p/ e(t) < E1
Obs.: Usualmente M2 é zero ou – M1.
Para prevenir uma operação freqüente demais do mecanismo on – off, muitas vezes é colocado intencionalmente um intervalo (ou histerese) diferencial através do qual o sinal de erro atuante deve mover – se antes de ocorrer o chaveamento.
III.1.2. Controlador Proporcional Ação de controle proporcional u(t) = Kpe(t)
C(s) = Kp ⇒ amplificador com ganho
Considere uma planta arbitrária de 2a ordem G(s) =
b as
s2 + +
1
que, com controle proporcional, tem como equação característica para o sistema de malha fechada: s2 + as + b + Kp = 0
As raízes deste sistema são desenhadas no gráfico abaixo:
A saída deste sistema é: Para uma entrada degrau unitário
y(t) = sen(ω φ) ω 1−ω e−σ t+ d t d n
Onde d n
ω ω
diminui muito pouco, ao passo que ωd aumenta bastante
Obs.: O controle proporcional aumenta a velocidade com que o erro tende a zero (ou para o valor de regime), e em alguns casos é essencial para eliminar o erro.
O erro do sistema em regime estacionário é: e(t) = p K + 1 1
Para sistemas de ordem maior que 2 o aumento de Kp pode levar o sistema à instabilidade. Portanto
pode ser diminuída usando apenas o controle proporcional. ↑ Kp ⇒ ↑ |CG| ⇒ sistema mais robusto
III.1.3. Controlador Integral Ação de controle integral:
u(t) =
∫
T T I p dt t e T K 0 ) ( C(s) = s T K I p TI → tempo integral I T 1 → taxa de restabelecimento Obs.: A análise do erro estacionário pressupõe que o sistema é estável.Este controle tem como principal virtude a capacidade de gerar um sinal de controle de valor finito com sinal de erro nulo. Isto porque u é uma função dos valores passados de e mais do que do corrente como no controle proporcional.
A principal razão do controle integral é reduzir ou eliminar erros de estado estacionário, mas isto pode acarretar redução da estabilidade.
Obs.: Não é necessário e(t) ser finito para produzir um sinal de controle u(t) que se oponha ao distúrbio constante ω entre o compensador e a planta.
Exemplo: Seja G(s) = 1 0 + s K τ ; C(s) = T s K I p
A equação característica de malha fechada é: τs2 + s + 0 =0 I p T K K
Em geral, qualquer sistema se tornará menos estável ou menos atenuado pela adição de um controle integral. III.1.4. Controlador Proporcional Integral
Ação de controle proporcional integral: u(t) = +
∫
t I p p e t dt T K t e K 0 ) ( ) ( U(s) = 1 1 ( ) ( ) E(s) s K s E K s E s T K I p I p = + +O controlador PI equivale a dar um ganho Kp / TI na malha direta, adicionar um zero em s = - 1 / TI e
um pólo em s = 0 à função de transferência de malha aberta (aumenta a ordem e o tipo do sistema). Exemplo: Seja
G(s) = ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 ( 2 2 2 n I I n p n n s s s T T K s G s C s s ξω ω ξω ω + + = ∴ +
Para uma entrada do tipo rampa e∞ = 0, mas Kp e KI podem tornar o sistema instável. As constantes Kp
e KI devem ser escolhidas de tal forma que a resposta transitória seja satisfatória.
III.1.5. Controlador (proporcional) Derivativo Ação de controle derivativa:
u(t) = KpTDe(t) + Kpe(t)
C(s) = KpTDs + Kp
É usado tipicamente para aumentar o amortecimento e geralmente para melhorar a estabilidade de um sistema.
O efeito do controle derivativo na resposta transitória de um sistema de controle a realimentação, pode ser investigado recorrendo – se às respostas temporais mostradas no gráfico abaixo:
Exemplo: Considere o sistema de 2a ordem com G(s) = 2/s(s + 2ξω n
ω n) controlado por um controlador PD
em malha fechada com realimentação unitária.
O controle proporcional – derivativo é equivalente à adição de um zero simples em s = - 1/TD e de um
ganho de KpTD na malha direta. Para uma entrada rampa
Kv = ξ ω ξω ω 2 ) 2 ( ) 1 ( lim 2 0 n p n n D p s K s s s T K s = + + → e∞ = v K 1
Em um sistema com controle PD, o valor de Kp é importante porque, para sistemas do tipo 1, ele
determina o coeficiente de erro para rampa e, logo afeta o erro estacionário não nulo para uma entrada rampa. Exemplo: sistema com controlador PI. Seja
C(s) = ) 5 , 48 ( )] ( 400 [ 2 + + s s K s Kp I onde <<48,5 v I K K
A função de transferência de malha fechada é: T(s) = I p I p K s K s s K s K 400 400 5 , 48 ) ( 400 2 3 + + + +
Para Kp = 100 e KI = 10, as raízes da equação característica encontram – se em s = - 0,1; - 24,2 ± 198,
5j; e o erro está em s = - 0,1. Portanto a função de transferência de malha fechada pode ser aproximada por T(s) ≅ 000 . 40 4 , 48 000 . 40 2 + s+ s
O efeito de KI na estabilidade do sistema pode ser mais bem estudado aplicando – se o teste de Routh
à equação característica
s2 + 48,5s2 + 400Kps + 400KI = 0
O resultado é que o sistema é estável para KI ≤ 48,5Kp.
Para finalidades de projeto é mais elucidativo usar a função de transferência de malha aberta, a qual se escreve: C(s)G(s) = ) 5 , 48 ( 400 2 + + s s K K s K p I p
Se 48,5 >> KI / Kp ≈ 0, então há quase um cancelamento na função de transferência de malha aberta.
Com isto, o sistema praticamente funcionará como um sistema de 2a ordem estável.
Enquanto isso o controlador PI melhora o erro estacionário em uma ordem, simultaneamente permitindo uma resposta transitória com pouco ou nenhum sobre – sinal, o tempo de subida pode ser um tanto grande. Isso não é surpreendente, já que o controlador PI é, essencialmente, um filtro passa baixa que atenua os sinais de alta freqüência. Isto motiva o uso do controlador PID, já que as melhores propriedades de cada controlador podem ser utilizadas.
III.1.6. Controle Proporcional mais Integral mais Derivativo (PID): Ação de controle: u(t) = ( ) ( ) ( ) 0 t e T K dt t e T K t e K p D t I p p • + +
∫
U(s) = 1 1 T s E(s) T K D I p + + Ou U(s) = K s E(s) s K K I D p + +III.2. Métodos de Sintonização Heurística de Controladores PID. III.2.1. Atraso de Transporte Puro
O atraso de transporte é bastante comum na maioria dos sistemas físicos e consiste do tempo que o sistema necessita para responder a um determinado estimulo.
Na figura abaixo mostramos a resposta ao degrau unitário que tem um sistema de 1a ordem sem e com atraso de transporte puro.
A forma da saída com atraso é: y2(t) = y1(t – Td ) ou ainda, Y2(s) = L[y1(t – a)] = ( ) 1( ) 0 1 t T e dt e Y s y sT Ts d − − d ∞ = −
∫
Logo, a função de transferência de um atrasador puro é:
G(s) = e−Tds
Como exemplo de sistemas com atraso de transporte citamos os sistemas com transmissões hidráulicas, pneumáticas ou mecânicas.
III.2.2. Método de Sintonização pela Curva de Reação (Ziegler-Nichols).
Obs.: Neste método os dados do PID são levantados em testes com o sistema em malha aberta.
Ziegler e Nichols observaram que a resposta ao degrau da maioria dos sistemas de controle de processos tem a forma geral de um “s”, mostrada abaixo
que é chamada de curva de reação do processo e pode ser gerada experimentalmente ou a partir de uma simulação dinâmica da planta. A forma da curva é característica de sistemas de ordem elevada, e a relação entrada – saída pode ser aproximada por
1 ) ( ) ( + = − s Ke s U s Y Tds
A escolha dos parâmetros do controlador é baseada em uma razão de decaimento de aproximadamente 0,25, que significa que o transitório dominante decai a um quarto de seu valor após um período de oscilação, como mostrado abaixo:
O decaimento de um quarto corresponde a ξ = 0,21 e é um bom compromisso entre rapidez de resposta e margem de estabilidade adequada. Os parâmetros do regulador PID
C(s) = + + T s s T K D I p 1 1
sugerido por Ziegler – Nichols para razão de decaimento de 0,25 são mostrados na tabela abaixo: Tipo do controlador Ganho ótimo
P Kp = RL 1 PI Kp = RL 9 , 0 , TI = L PID Kp = RL 2 , 1 , TI = 2L, TD = 0,5L
III.2.3. Método do Ganho Crítico (Ziegler – Nichols).
Obs.: Neste método, os parâmetros do PID são levantados e m testes com o sistema em malha fechada. Procedimento:
O ganho de um controlador proporcional é variado até serem observadas oscilações contínuas, isto é, ata o sistema se tornar marginalmente estável. O ganho crítico correspondente Kc e o período de oscilação Pc
Os parâmetros do regulador PID são mostrados na tabela abaixo Tipo do controlador Ganho ótimo
P Kp = 0,5Kc PI Kp = 0,45Kc, TI = Pc 2 , 1 1 PID Kp = 0,6Kc, TI = Pc 2 1 , TD = Pc 8 1
Trabalho: (Entregar no dia da 2a avaliação)
Projete pelo método da curva de reação reguladores P, PI, e PID para os seguintes processos: a) G(s) = 3 10 0,5 + − s e s b) G(s) = 15 5 , 36 5 , 13 350 2 3+ s + s+ s
Obs.: Para cada processo, esboce a curva de saída proporcionada pelos controladores P, PI, e PID. Além disso, esboce suas curvas de reação.