t AB s = s 0 (1) / 2 / 2 y y v t gt Cinemática de uma Partícula Cap. 12 v oya v oa v oya v oa

(1)

MECÂNICA - DINÂMICA

Cinemática de uma

Partícula

Cap. 12

Prof Dr.

Cláudio Curotto

Adaptado por:

Prof Dr.

Ronaldo Medeiros-Junior

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica

₂

Problema 12.88

O snowmobile deixa o ponto A a uma velocidade de 10m/s.

Determine o tempo de vôo de A até B e o alcançe R da trajetória.

₃

Problema 12.88 - Solução

Como é um movimento parabólico, a velocidade na

direção X é constante, assim:

Já na direção Y a aceleração é constante.

Incógnitas:

x

A x

B x

v

=

v

=

v

9,81 / ²

a

= −

g

= −

m s

R

t

_AB

e

₄

Problema 12.88 - Solução

Distâncias percorridas:

v

oyA

v

oxA

A

B

3

5

4 R

Y

A

40

o

v

oA

0 0 0

Decompondo o vetor velocidade em A:

10 m/s

10 cos 40

7, 6604 m/s

10 sen 40

6, 4279 m/s

A Ax Ay

v

=

° =

=

° =

5 Problema 12.88 - Solução

v

oyA

v

oxA

A

B

3

5

4 R

Y

A

40

o

v

oA

Pela semelhança de triângulos:

3

4

3

4

A A

Y

R

Y

=

6 Problema 12.88 - Solução

No movimento horizontal:

No movimento vertical:

s

= s

₀

+ vt

x =x +v

B

A

oAx

t

2

0

0 / 2

s

=

s

+

v t

+

at

0 7, 6604

7, 6604

R

=

+

t

=

t

2

0 / 2

B

A

Ay

y

=

y

+

v

t

−

gt

2

3 9,81

0 6, 4279

4

2 R

t

=

+

t -

(1)

(2)

₇

Problema 12.88 - Solução

Substituindo (1) em (2):

Substituindo em (1):

2 2 2

3 7, 6604

6, 4279

4, 905

0

4 5, 7453

6, 4279

4, 905

0 4, 905

12,1732

0 Com isso, temos:

0 12,1732

_{2, 4818 s}

4,

9

05 2, 48

s

(

t)

t -

t

=

+

=

+

−

=

−

+

=

∴

=

∴

(

)

7, 6604 2, 4818

R

19 m

R

=

∴

=

₈

Problema 12.14

Quando o esquiador alcança o ponto A de sua trajetória parabólica, ele

tem uma velocidade escalar de 7 m/s que está aumentando à taxa

constante de 3 m/s

2

_{. Determine a direção de sua velocidade e a aceleração}

a (módulo, direção e sentido) no instante considerado. Despreze o

tamanho do esquiador.

y = (1/30)x

2

₉

Problema 12.14

Sistema de coordenadas. A origem A, tomada no esquiador, bem como

as direções e os sentidos dos eixos n e t, estão mostrados na Figura.

Velocidade: Por definição, a velocidade é sempre tangente à trajetória.

y = (1/30)x

2 2

1

30

15 dy

y

x

dx

=

∴

=

Para x = 10:

10 0, 667

15 dy

dx

=

Obs: A derivada da função de y em x é justamente o coeficiente angular

do ponto em questão.

₁₀

Problema 12.14

y = (1/30)x

2

Logo, em A, v forma com o eixo x um ângulo ϴ = tg

-1

_{(0,667) = 33,7}

o

_.

v

A

= 7 m/s

33,7

o

11 Problema 12.14

y = (1/30)x

2

Aceleração: A aceleração é determinada por













2 t

v

n

= v +

a

u

a

u

a

u

p

Raio de curvatura da trajetória em A (10 m, 5 m):

(

)

2 3/2 2 2

1 /

/

dy dx

d y dx

ρ



₊







=

3/2 2

1

15 1/15

x

ρ



_

_



+





















=

26,04

ρ

=

Para x = 10:

12 Problema 12.14

y = (1/30)x

2

Aceleração:

A













2 t

v

n

= v +

a

u

a

u

a

u

a

u

p

Logo:

26, 04

A













2 t

7

n

= 3 +

a

u

a

u

a

u

a

u

{

}

_/

2 A

= 3 +1,882

t n

m s

a

u

a

u

a

u

a

u

( )

₃

2

(

_1,882

)

2

_{3, 54 /}

2 A

+

=

m s

a =

(3)

₁₃

Problema 12.14

y = (1/30)x

2

Aceleração:

1

₍

1,882

_{) 32,1}

3

o

φ

−

=

= tg

ϕ

1

₍

n

₎

t

a

φ

_{= tg}

−

Ângulo que a aceleração faz

com o eixo tangencial a

trajetória

33,7

o

33,7

o

a

32,1

o

33,7

o

_{- 32,1}

o

= 1,6

o

Ângulo que a aceleração faz

com a horizontal

1,6

o 2

3, 54 /

A

m s

a =

₁₄

Objetivos

Introduzir os conceitos de posição, deslocamento,

velocidade e aceleração

Estudar o movimento de um ponto material ao longo

de uma reta e representar graficamente esse

movimento

Investigar o movimento de um ponto material ao

longo de uma trajetória curva usando diferentes

sistemas de coordenadas

Apresentar uma análise do movimento

interdependente de dois pontos materiais

Examinar os princípios do movimento relativo de dois

pontos materiais usando eixos em translação

₁₅

12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Coordenadas Polares

Se o problema é restrito ao plano, usam-se as

coordenadas polares r e ϴ.

r

coordenada radial, que se estende da origem O ao ponto P.

ϴ

_{coordenada transversal, que é o ângulo medido no sentido}

anti-horário, entre uma linha de referência fixa e o eixo r.

Expressar a posição de um ponto material em

termos de coordenadas cilíndricas: r, ϴ, z.

₁₆

2.5 Vetores Cartesianos

Vetor Unitário:

A direção e o sentido de

A pode ser

especificado por um vetor unitário

u

_A

é um vetor adimensional, que define a direção e o sentido de

(escalar positivo) define o módulo de

A A A

A

=

⇒

=

A

u

A

u

A

17 12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Coordenadas Polares

(

)

( )

Vetor de posição:

Velocidade:

Como:

Então:

r r r r r r r r r

r

d r

d

r

dt

r

v

θ θ θ

θ

=

+

=

+

=

+

r

u

v

r

u

v

u

v

u

v

u

e

v

r

=

r

e

v

θ

=

r

θ

Deduções no livro, análogas as

expostas em sala na aula anterior

18 12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Velocidade

v

r

componente radial, que é uma medida da taxa de aumento ou decréscimo do

comprimento da coordenada radial r.

v

ϴ

componente transversal, que é a taxa de variação do movimento ao longo de

uma circunferência de raio r.

Em particular, o termo

é denominado

velocidade angular (rad/s)

, pois indica

a taxa temporal de variação do ângulo ϴ.

=

d

dt

θ

Obs. A direção de v é a da tangente à

trajetória em P.

(4)

₁₉

( )

2 ( )

2

(

)

2 sendo:

e

r

v

r

v

r

v

r

θ

=

+

=

+

=

+

v

u

12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Velocidade

RESUMINDO

₂₀

Escrevendo em função das componentes cartesianas:

cos

sen

cos

r

v

_θ

v

θ

=

+

= −

+

v

y

x

v

12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Velocidade

₂₁

**12.8 * Aceleração**

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2

Derivando

onde

2

r r r r r r

v

a

r

a

r

a

r

θ

=

+

=

+

= −

=

+

=

+

=

−

+

v

u

a

v

u

v

r

denominado

aceleração angular (rad/s

2

)

,

pois mede, em cada instante, a taxa temporal de

variação da velocidade angular

θ

₂₂

**12.8 * Aceleração**

(

)

(

)

(

2

)

(

)

Derivando

2

r r r r r r r r r r r r r

v

r

a

v

r

θ

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

−

=

−

+

v

u

a

v

u

a

v

u

a

u

a

u

Deduzindo

Como:

r

=

θ

u

r θ

= −

θ

u

23 12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Coordenadas Cilíndricas

Se o problema não é restrito ao plano, usam-se

as coordenadas cilíndricas r, ϴ, z.

r

_{coordenada radial, que se estende da origem O ao ponto P.}

ϴ

_{coordenada transversal, que é o ângulo medido no sentido}

anti-horário, entre uma linha de referência fixa e o eixo r.

Expressar a posição de um ponto material em

termos de coordenadas cilíndricas: r, ϴ, z.

z

_{coordenada identica a utilizada para as coordenadas cartesianas.}

24 12.8 Movimento Curvilíneo: Componentes Cilíndricos

Coordenadas Cilíndricas

O vetor u

z

define a direçã de z;

A posição, velocidade e aceleração podem ser escritas em

termos de suas coordenadas cilíndricas como se segue:

(

2

)

(

)

+r

2

r z r z r z

r

z

r

z

r

z

θ

=

+

=

+

=

−

+

r

u

v

r

u

v

r

u

p p p

a

(5)

₂₅

Exemplo 12.17

Um brinquedo de um parque de diversões consiste numa cadeira

que gira numa trajetória circular horizontal de raio r presa a um

braço OB que possui velocidade angular

θ e aceleração angular

θ. Determine os componentes radiais e transversais da velocidade

e aceleração do passageiro. Despreze o tamanho do passageiro.

₂₆

Exemplo 12.17 - Solução

2

2 Como

constante:

0, logo:

0 e

2 r

r

v

r

v

r

a

r

a

r

θ

=

= −

=

+

−