MARCELO FRANCO DE OLIVEIRA AN ´ALISE DO TRANSPORTE DE CONTAMINANTES EM DOM´INIOS BIDIMENSIONAIS UTILIZANDO O M´ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

AN ´ ALISE DO TRANSPORTE DE CONTAMINANTES EM DOM´ INIOS BIDIMENSIONAIS UTILIZANDO O M´ ETODO

DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

CURITIBA

Mar¸ co 2015

AN ´ ALISE DO TRANSPORTE DE CONTAMINANTES EM DOM´ INIOS BIDIMENSIONAIS UTILIZANDO O M´ ETODO

DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Tese apresentada como requisito parcial ` a obten¸c˜ ao do grau de Doutor em M´ etodos Num´ ericos em Engenharia, pelo Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em M´ etodos Num´ ericos em En- genharia, Universidade Federal do Paran´ a.

Orientadora:Cynara de L. N. Cunha

CURITIBA

Mar¸ co 2015

MARCELO FRANCO DE OLIVEIRA

ANÁLISE DO TRANSPORTE DE CONTAMINANTES EM DOMÍNIOS BIDIMENSIONAIS UTILIZANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Tese aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de doutor no Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia da Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca examinadora:

Prof.a Dr.a C^nara de Lourdes da Nóbrega Cunha (Orientadora) Membro do PPGMNE/UFPR

Prof. Dr.! José Antonio Marques Carrer Membro do PPGMNE/UFPR

Prof. Dr. Maurício Felga Gobbi Membro do PPGMNE/UFPR

Prof

^

/

Ada Cristina Scudelari Membro da UFRN

Prof.

p

r. Webe João Mansur Membro da COPPE/UFRJ

Curitiba, 27 de março de 2015.

Dedico esse trabalho ` a minha esposa.

ii

Primeiramente agrade¸co profundamente a Deus, que com sua infinita gra¸ca e bondade esteve junto comigo me dando ˆ animo, for¸cas e consolo nas horas de ang´ ustias, me ensinando a ter paciˆ encia, persistˆ encia e determina¸c˜ ao para que eu pudesse cumprir mais essa etapa de minha jornada pela vida.

Aos meus pais, Dirceu e Olga que sempre estiveram me dando for¸cas, apoio e muito incentivo para que eu n˜ ao desanimasse durante essa etapa.

A minha amada esposa D´ ebora, que teve muita paciˆ encia e sabedoria para en- tender todos os momentos em que estive ausente devido ao meu estudo. Agrade¸co a Deus por ter colocado essa pessoa aben¸coada em minha vida para estar ao meu lado em todos os momentos.

Agrade¸co aos meus amigos e companheiros do CESEC, que sempre estiveram dispostos a me ajudar nas dificuldades que encontrei.

A minha orientadora Cynara, que me deu a oportunidade de desenvolver esse trabalho, me dando todo o apoio, me ajudando a construir o conhecimento necess´ ario para que esse trabalho pudesse ser realizado, e tendo paciˆ encia no decorrer de todo o processo.

iii

”´ E desonroso para os homens s´ abios desperdi¸carem seu tempo como escravos no trabalho de c´ alculo, que poderia ser relegado, com seguran¸ca, a qualquer um que usasse uma m´ aquina.”

(Leibnitz, 1646-1716)

iv

Lista de Figuras . . . vii

Lista de S´ımbolos . . . xii

Resumo . . . xiii

Abstract . . . xiv

1 INTRODUC ¸ ˜ AO . . . . 1

1.1 Objetivos . . . . 4

1.2 Objetivos espec´ıficos . . . . 4

2 JUSTIFICATIVA . . . . 5

3 MODELO DE TRANSPORTE DIFUSIVO-ADVECTIVO . . . 10

3.1 Princ´ıpio de Conserva¸c˜ ao de Massa de Soluto . . . . 10

3.2 Lei de Fick . . . . 12

3.2.1 Difus˜ ao turbulenta . . . . 13

3.3 Condi¸c˜ oes de Contorno e Inicial . . . . 17

3.3.1 Modelos Num´ ericos para a Equa¸c˜ ao de Advec¸c˜ ao e Difus˜ ao . . . . 19

3.3.1.1 M´ etodo dos Elementos Finitos . . . . 19

3.3.1.2 Equa¸c˜ oes do SisBaHiA

^R

. . . . 19

3.3.1.3 O M´ etodo dos Elementos de Contorno . . . . 24

3.4 Formula¸c˜ ao Fraca e Formula¸c˜ ao do M´ etodo dos Elementos de Contorno . . . . 25

3.4.1 Solu¸c˜ ao Fundamental . . . . 26

v

3.6 Formula¸c˜ ao do MEC com velocidade vari´ avel . . . . 34

4 SIMULAC ¸ ˜ OES NUM´ ERICAS . . . . 35

4.1 Simula¸c˜ ao 1 . . . . 36

4.2 Simula¸c˜ ao 2 . . . . 44

4.3 Simula¸c˜ ao 3 . . . . 48

4.4 Simula¸c˜ ao 4 . . . . 50

4.5 Simula¸c˜ ao 5 . . . . 58

5 CONCLUS ˜ OES . . . 61

Referˆ encias . . . . 64

6 Anexo A . . . 67

7 Anexo B - Produ¸ c˜ ao bibliogr´ afica . . . . 70

vi

Figura 1 Fluxo no volume de controle . . . 11

Figura 2 Angulo ˆ α usado para o c´ alculo de f(ξ). . . . 29

Figura 3 Campo de velocidades parab´ olico . . . 30

Figura 4 Perfil de velocidade parab´ olico. . . . 34

Figura 5 Malha utilizada nas formula¸c˜ oes do MEC . . . 36

Figura 6 Malha utilizada na formula¸c˜ ao do MEF . . . 36

Figura 7 Geometria do canal e condi¸c˜ oes de contorno impostas . . . 37

Figura 8 Canal unidimensional com carga cont´ınua. Resultados correspondentes aos pontos no centro do canal: Caso 1a. . . . 39

Figura 9 Canal unidimensional com carga cont´ınua. Resultados correspondentes aos pontos no centro do canal: Caso 1b. . . . 39

Figura 10 Canal unidimensional com carga cont´ınua: Caso 1b. Resultados ao longo do eixo x, para os pontos y=0.5 m. . . . 40

Figura 11 Erro absoluto, em mg/L, entre solu¸c˜ oes num´ ericas e anal´ıtica para o Caso 1b. . . . 40

vii

aos pontos no centro do canal: Caso 1c. . . . 41

Figura 13 Canal unidimensional com carga cont´ınua. Resultados correspondentes aos pontos no centro do canal: Caso 1d. . . . 42

Figura 14 Canal unidimensional com carga cont´ınua. Resultados correspondentes aos pontos no centro do canal: Caso 1d com ∆t = 4 s. . . . 42

Figura 15 Concentra¸c˜ ao, em mg/L no instante t=2s para o caso 1a . . . 43

Figura 16 Concentra¸c˜ ao, em mg/L no instante t=28s para o caso 1a . . . 43

Figura 17 Concentra¸c˜ ao, em mg/L no instante t=56s para o caso 1a . . . 43

Figura 18 Concentra¸c˜ ao, em mg/L no instante t=112s para o caso 1a . . . 43

Figura 19 Concentra¸c˜ ao, em mg/L no instante t=120s para o caso 1a . . . 43

Figura 20 Geometria e condi¸c˜ oes de contorno para o experimento 2 . . . 44

Figura 21 Valores de concentra¸c˜ ao no canal, considerando: D = 2m

²

/s, v

_x

= 0.1m/s, v

_y

= 0.01m/s, nos pontos A(3; 1), B(6; 1) e C(9; 1) . . . 45

Figura 22 Diferen¸ca entre resultados do MEC e MEF para o problema representado na figura 21 para o ponto A . . . 46

Figura 23 Valores de concentra¸c˜ ao no canal, considerando: D = 0.05m

²

/s, v

_x

= 0.1m/s, v

_y

= 0.01m/s nos pontos A(3; 1), B(6; 1) e C(9; 1) . . . 46

viii

utilizando D=2 m /s . . . 47

Figura 25 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=10 s, utilizando D=2 m

²

/s . . . 47

Figura 26 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=50 s, utilizando D=2 m

²

/s . . . 47

Figura 27 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=80 s, utilizando D=2 m

²

/s . . . 47

Figura 28 Geometria e condi¸c˜ oes de contorno para o experimento 3 . . . 48

Figura 29 Canal com carga cont´ınua lan¸cada lateralmente: evolu¸c˜ ao temporal da concentra¸c˜ ao nos pontos B e C. . . . 49

Figura 30 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=2s . 49

Figura 31 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=28s 50

Figura 32 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=100s 50

Figura 33 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=112s 50

Figura 34 Dom´ınio quadrado: geometria, condi¸c˜ oes de contorno e posi¸c˜ ao do sub- dom´ınio com condi¸c˜ ao inicial n˜ ao nula . . . 51

Figura 35 Malha utilizada no MEF . . . 51

ix

Figura 37 Dom´ınio quadrado: evolu¸c˜ ao temporal da concentra¸c˜ ao do contaminante

nos pontos A e B. . . . 52

Figura 38 Dom´ınio quadrado: evolu¸c˜ ao temporal da concentra¸c˜ ao do contaminante nos pontos A e B com a malha mais refinada. . . . 53

Figura 39 Espalhamento do contaminte no ponto de lan¸camento: Compara¸c˜ ao entre MEC e MEF no n´ o x = 5m e y = 5m . . . 54

Figura 40 Concentra¸c˜ ao, em mg/L, no instante t=0s . . . 55

Figura 41 Concentra¸c˜ ao, em mg/L, no instante t=2s . . . 55

Figura 42 Concentra¸c˜ ao, em mg/L, no instante t=10s . . . 56

Figura 43 Concentra¸c˜ ao, em mg/L, no instante t=20s . . . 56

Figura 44 Concentra¸c˜ ao, em mg/L, no instante t=40s . . . 57

Figura 45 Concentra¸c˜ ao, em mg/L, no instante t=100s . . . 57

Figura 46 Perfil de velocidades parab´ olico: evolu¸c˜ ao temporal da concentra¸c˜ ao do contaminante nos pontos A e B. . . . 59

Figura 47 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=2s . 59

Figura 48 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=10s 59

x

Figura 50 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=50s 60

Figura 51 Concentra¸c˜ ao do contaminante, em mg/L, no instante de tempo t=55s 60

xi

D Coeficiente de Difus˜ ao turbulenta v

_x

Velocidade na dire¸c˜ ao x

v

y

Velocidade na dire¸c˜ ao y

C Concentra¸c˜ ao do escalar de interesse C

^∗

Solu¸c˜ ao Fundamental

q Derivada Normal de C q

^∗

Derivada Normal de C

^∗

C ˙ Derivada temporal

K

₀

Fun¸c˜ ao modificada de Bessel do segundo tipo e ordem 0 K

₁

Fun¸c˜ ao modificada de Bessel do segundo tipo e ordem 1

xii

Modelos matem´ aticos s˜ ao utilizados para representar sistemas f´ısicos, de maneira que se possam quantificar as informa¸c˜ oes obtidas com esse modelo, entendendo melhor o que acontece nesse sistema. A equa¸c˜ ao de difus˜ ao-advec¸c˜ ao pode ser utilizada para descre- ver o transporte de poluentes, auxiliando na solu¸c˜ ao de problemas ambientais, como por exemplo, o estudo da distribui¸c˜ ao espacial de contaminantes em reservat´ orios ou rios. O modelo matem´ atico de transporte difusivo-advectivo bi-dimensional, que descreve o trans- porte de certa substˆ ancia em um meio fluido, ser´ a resolvido aqui utilizando o M´ etodo dos Elementos de Contorno (MEC). Os princ´ıpios fundamentais para a formula¸c˜ ao b´ asica do MEC ser˜ ao apresentados para o problema proposto. Tamb´ em ser˜ ao inclu´ıdos alguns exemplos num´ ericos para verifica¸c˜ ao e valida¸c˜ ao do m´ etodo. Duas formula¸c˜ oes s˜ ao de- senvolvidas, em uma delas ´ e poss´ıvel considerar uma forma generalizada para campos de velocidades vari´ avel no espa¸co. Com a presen¸ca de integrais de dom´ınio, ´ e requerida sua discretiza¸c˜ ao, que ´ e feita com o emprego de c´ elulas triangulares. Os resultados obtidos com o MEC ser˜ ao comparados com resultados num´ ericos obtidos com o SisBaHiA

^R

que utiliza o M´ etodo dos Elementos Finitos (MEF) na discretiza¸c˜ ao espacial.

Palavras-chave: Difus˜ ao-Advec¸c˜ ao, Elementos de Contorno, Transporte de Contaminante.

xiii

Mathematical models are used to represent physical systems, so that one can quantify the information obtained from this model, better understanding of what happens in this sys- tem. The advection-diffusion equation can be used to describe the transport of pollutants, helping to solve environmental problems, such as the study of the spatial distribution of contaminants in rivers or reservoirs. The mathematical model for diffusion-advective transport two-dimensional, which describes the transport of a substance in a fluid me- dium, here will be resolved using the Boundary Element Method (BEM). The fundamental principles for the BEM basic formulation will be presented to the proposed problems. Also included are some numerical examples for verification and validation of the method. Two formulations are developed in one of them can be considered a generalized form for varia- ble velocity fields in space. With the presence of field integrals, a discretization is required, which is made with the use of triangular cells. The results obtained are compared with the Finite Element Method (FEM) with the numerical results of SisBaHiA

^R

using the MEF to spatial discretization.

Key-words: Convection-Diffusion, Boundary Elements Methods, Contaminant Transport.

xiv

1 INTRODUC ¸ ˜ AO

Diversos fenˆ omenos f´ısicos tˆ em sido, ao longo da hist´ oria, objeto de estudos e pesquisas. Do ponto de vista matem´ atico, os fenˆ omenos f´ısicos podem ser representados atrav´ es de equa¸c˜ oes diferenciais; de acordo com Leithold (1990a), as equa¸c˜ oes diferenciais tˆ em uma importˆ ancia muito grande nas aplica¸c˜ oes da matem´ atica. A indaga¸c˜ ao sobre a evolu¸c˜ ao de um dado fenˆ omeno suscept´ıvel de tratamento matem´ atico est´ a ligada, quase sempre, a uma equa¸c˜ ao diferencial. Muitos fenˆ omenos que ocorrem na ´ optica, eletricidade, ondulat´ oria, magnetismo, mecˆ anica dos flu´ıdos e na biologia, podem ser descritos atrav´ es de uma equa¸c˜ ao diferencial parcial. Em Greenberg (1998), lˆ e-se: As formula¸c˜ oes ma- tem´ aticas de problemas em ciˆ encia e engenharia s˜ ao geralmente direcionadas por equa¸c˜ oes envolvendo derivadas de uma ou mais fun¸c˜ oes desconhecidas. Tais equa¸c˜ oes s˜ ao chamadas de equa¸c˜ oes diferenciais. Essas equa¸c˜ oes, ou um conjunto de equa¸c˜ oes, s˜ ao frequentemente chamadas de modelos matem´ aticos.

Os modelos matem´ aticos s˜ ao simplifica¸c˜ oes feitas a partir da realidade e podem ser expressos em forma de equa¸c˜ oes matem´ aticas, para analisar alguns aspectos dos sis- tema de interesse. O modelo que simula o transporte de uma substˆ ancia ´ e uma equa¸c˜ ao diferencial que ´ e conhecida como equa¸c˜ ao de advec¸c˜ ao-difus˜ ao, e ´ e utilizada para descre- ver o transporte de poluentes, auxiliando na solu¸c˜ ao de problemas ambientais como, por exemplo, o estudo da distribui¸c˜ ao espacial de contaminantes em reservat´ orios ou rios.

Para uma gest˜ ao eficaz dos recursos h´ıdricos ´ e necess´ ario monitorar os sistemas para assim entender melhor como atuam os agentes que provocam a degrada¸c˜ ao desses recursos, e com isso, desenvolver uma melhor gest˜ ao integrada para minimizar os danos causados por essa degrada¸c˜ ao (CUNHA et al., 2006). A introdu¸c˜ ao de constituintes pre- judiciais em corpos d´´ agua deve ser controlada para que suas concentra¸c˜ oes permane¸cam abaixo de limites estabelecidos pelos org˜ aos ambientais para seu uso.

No caso de um sistema de gerenciamento ambiental, isso pode ser feito utilizando

um modelo matem´ atico que tenha a capacidade de simular as condi¸c˜ oes de transporte

do constituinte de interesse. Neste contexto, modelos num´ ericos que tenham capacidade de simular a dispers˜ ao de poluentes podem ser empregados como suporte na escolha de estrat´ egias mais eficazes relacionadas aos estudos dos impactos do lan¸camento de efluentes de esgotos em rios e em ´ areas costeiras, por exemplo.

Rios e estu´ arios s˜ ao locais onde geralmente ocorrem lan¸camentos de efluentes nos processos de deposi¸c˜ ao dos res´ıduos gerados pela atividade humana. Consequentemente, pode ser de grande importˆ ancia conhecer com antecipa¸c˜ ao quais os danos que podem ocor- rer em determinados locais em fun¸c˜ ao do despejo de cargas poluidoras nestes ambientes aqu´ aticos (PORTO et al., 1991, p.69).

Modelos matem´ aticos s˜ ao utilizados para representar sistemas ambientais, de maneira que seja poss´ıvel quantificar as informa¸c˜ oes obtidas, para que se possa entender o que acontece no sistema que est´ a sendo analisado. A equa¸c˜ ao de transporte difusivo- advectivo pode ser utilizado no estudo de qualidade de ´ agua, importante ferramenta no gerenciamento e planejamento ambiental, tendo tais modelos apresentado um grande avan¸co com o desenvolvimento dos computadores (FRAGOSO; MARQUES; FERREIRA, 2009).

Obter uma solu¸c˜ ao exata para o sistema de equa¸c˜ oes gerado por estas formula¸c˜ oes matem´ atica, em geral, n˜ ao ´ e algo trivial, devido ao grande n´ umero de parˆ ametros presentes nesses modelos, segundo Fragoso, Marques e Ferreira (2009).

A vasta gama de fatores e processos f´ısicos, qu´ımicos e biol´ ogicos dificulta a an´ alise quantitativa de ecossistemas aqu´ aticos. Devido a isso tem surgido nos ´ ultimos anos diversas solu¸c˜ oes num´ ericas para modelos de transporte de poluentes em corpos de

´ agua.

Os computadores tˆ em fundamental importˆ ancia nas solu¸c˜ oes num´ ericas das for- mula¸c˜ oes matem´ aticas: Petres (2014) cita que com o desenvolvimento dos computadores e o aumento na capacidade de processamento e armazenamento tornou-se poss´ıvel analisar a dinˆ amica complexa de muitos fenˆ omenos atrav´ es de simula¸c˜ oes cada vez mais realistas.

Modelos num´ ericos para a solu¸c˜ ao dos modelos de escoamento de flu´ıdos, em

sua grande maioria, foram inicialmente desenvolvidos utilizando o M´ etodo das Diferen¸cas

Finitas (MDF). Posteriormente o M´ etodo dos Volumes Finitos (MVF) surgiu como uma

poderosa ferramenta nessa ´ area (MALISKA, 1995). Ap´ os a d´ ecada de 70, o M´ etodo dos

Elementos Finitos (MEF) come¸cou a ganhar espa¸co na solu¸c˜ ao desse tipo de problema por

sua capacidade de lidar com malhas em dom´ınios com geometrias complexas. Atualmente

o M´ etodo dos Elementos de Contorno (MEC) tamb´ em tem sido empregado na solu¸c˜ ao de diversos problemas complexos de transporte com grande sucesso.

Este trabalho mostra o desenvolvimento e a implementa¸c˜ ao de duas solu¸c˜ oes num´ ericas da equa¸c˜ ao de difus˜ ao-advec¸c˜ ao transiente bi-dimensional utilizando o MEC.

A primeira formula¸c˜ ao utiliza como solu¸c˜ ao fundamental uma fun¸c˜ ao que considera os termos advectivos da equa¸c˜ ao em quest˜ ao: essa solu¸c˜ ao fundamental utilizada pode ser encontrada em Romero e Benitez (2008). A segunda formula¸c˜ ao utiliza a solu¸c˜ ao funda- mental da equa¸c˜ ao de difus˜ ao pura, apresentada por Brebbia e Dominguez (1989). Nas duas formula¸c˜ oes, a presen¸ca de uma integral de dom´ınio imp˜ oe a necessidade da dis- cretiza¸c˜ ao do dom´ınio. Devido ` a presen¸ca dessa integral a formula¸c˜ ao desenvolvida ser´ a denominada MEC-D, onde a letra D representa dom´ınio.

Em uma das formula¸c˜ oes apresentadas para o MEC, foi implementado um campo de velocidades vari´ avel no espa¸co, considerando uma distribui¸c˜ ao do tipo parab´ olica ao longo da sec¸c˜ ao transversal. Os modelos que consideram o campo de velocidades vari´ avel espacial e/ou temporalmente s˜ ao em sua grande maioria, desenvolvidos utilizando o MEF e o MDF. Observe-se que o MEC tamb´ em tem mostrado potencialidades na solu¸c˜ ao desses problemas; por´ em, a dificuldade na obten¸c˜ ao da solu¸c˜ ao fundamental que considera o campo de velocidades vari´ avel ´ e um dos fatores que barra os avan¸cos de formula¸c˜ oes para o MEC. A principal contribui¸c˜ ao desse trabalho ´ e que, no desenvolvimento dessa formula¸c˜ ao, n˜ ao ´ e necess´ ario determinar uma fun¸c˜ ao que descreva o perfil de velocidades;

os valores das componentes de velocidades em cada n´ o do dom´ınio e do contorno s˜ ao informados para o sistema, e dessa forma, possibilitando a aplica¸c˜ ao de qualquer tipo de campo de velocidade.

Os princ´ıpios fundamentais para a formula¸c˜ ao b´ asica do MEC ser˜ ao apresentados para o problema proposto. Tamb´ em ser˜ ao inclu´ıdos alguns exemplos num´ ericos para verifica¸c˜ ao e valida¸c˜ ao do m´ etodo. Os resultados s˜ ao comparados com a solu¸c˜ ao do MEF e com a solu¸c˜ ao anal´ıtica, quando dispon´ıvel.

Alguns pesquisadores apresentaram trabalhos referentes ` a solu¸c˜ ao dessa equa¸c˜ ao para o caso permanente, ou seja, independente do tempo. Uma caracter´ıstica comum a esses trabalhos ´ e a considera¸c˜ ao somente da componente v

_x

do vetor velocidade, isto

´ e, os exemplos apresentados consideram que v

y

= 0, ou seja, o transporte advectivo em

quest˜ ao ´ e meramente unidimensional. O campo de velocidades com varia¸c˜ ao temporal

e/ou espacial tamb´ em ´ e um t´ opico que n˜ ao ´ e abordado nas pesquisas com o MEC.

1.1 Objetivos

Esta tese tem como objetivo desenvolver a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de transporte tran- siente de substˆ ancias, atrav´ es da aplica¸c˜ ao do M´ etodo dos Elementos de Contorno para an´ alise do transporte de escalares conservativos em dom´ınios bi-dimensionais, apresen- tar seus principais aspectos num´ ericos e comparar os resultados obtidos com a solu¸c˜ ao anal´ıtica, quando existir, e tamb´ em com os resultados obtidos com o MEF, para os casos nos quais a solu¸c˜ ao anal´ıtica n˜ ao ´ e conhecida.

1.2 Objetivos espec´ıficos

O presente trabalho apresenta o desenvolvimento de duas formula¸c˜ oes para o

MEC, sendo uma delas mais generalizada para solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de difus˜ ao-advec¸c˜ ao

com a possibilidade de utiliza¸c˜ ao de campos de velocidades vari´ avel em todo o dom´ınio. Os

objetivos espec´ıficos propostos s˜ ao: desenvolver e apresentar duas formula¸c˜ oes do MEC

para a equa¸c˜ ao de transporte de escalares em dom´ınios bi-dimensionais, implementar

em uma das formula¸c˜ oes, o campo de velocidades vari´ avel no dom´ınio, comparando os

resultados num´ ericos obtidos com as formula¸c˜ oes propostas para o MEC com os resultados

do MEF, e com a solu¸c˜ ao anal´ıtica, quando dispon´ıvel, para verifica¸c˜ ao dos resultados

obtidos com o MEC.

2 JUSTIFICATIVA

Para uma gest˜ ao eficaz dos recursos h´ıdricos ´ e necess´ ario monitorar os sistemas aqu´ aticos, entender melhor como atuam os agentes que provocam sua degrada¸c˜ ao e, com isso, desenvolver uma melhor gest˜ ao integrada para minimizar as consequˆ encias dessa degrada¸c˜ ao (CUNHA; ROSMAN; FERREIRA, 2006). A introdu¸c˜ ao de constituintes pre- judiciais em corpos d´´ agua deve ser controlada para que suas concentra¸c˜ oes permane¸cam abaixo de limites estabelecidos.

Uma descri¸c˜ ao que tenha uma boa acur´ acia na previs˜ ao dos processos de trans- porte de poluentes ´ e extremamente importante para o efetivo gerenciamento dos proces- sos que ocorrem (ZOPPOU; KNIGHT, 1999). De acordo com Dhawan, Kapoor e Kumar (2012) a equa¸c˜ ao de transporte difusivo-advectivo possu´ı muitas aplica¸c˜ oes f´ısicas, tais como dispers˜ ao de sal dissolvido em ´ aguas subterrˆ aneas, espalhamento de poluentes em rios e canais e muitos outros.

Pode-se resolver a equa¸c˜ ao de transporte por duas maneiras; analiticamente ou numericamente. Os m´ etodos anal´ıticos tˆ em a desvantagem de serem aplic´ aveis apenas em problemas cujas hip´ oteses simplificadoras os desviam demasiadamente do fenˆ omeno f´ısico real. Al´ em disso s˜ ao aplicados, normalmente, a geometrias simples e condi¸c˜ oes de contorno tamb´ em simples (MALISKA, 1995).

Devido ` a dificuldade na obten¸c˜ ao de solu¸c˜ oes anal´ıticas e ` as simplifica¸c˜ oes que devem ser introduzidas nos modelos, m´ etodos num´ ericos tˆ em sido empregados na solu¸c˜ ao desses problemas. A solu¸c˜ ao num´ erica de um modelo ´ e mais vers´ atil, pois ´ e poss´ıvel fa- zer considera¸c˜ oes mais complexas dos problemas f´ısicos e resolve-los em dom´ınios com geometrias mais complexas, fazendo com que o modelo represente o fenˆ omeno de inte- resse de maneira mais pr´ oxima da realidade. Maliska (1995) afirma que a experimenta¸c˜ ao num´ erica, ou t´ ecnicas num´ ericas de solu¸c˜ ao, praticamente n˜ ao apresenta restri¸c˜ oes, for- necendo resultados com grande rapidez.

Atualmente existem diversos m´ etodos num´ ericos para solu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes di-

ferenciais, mas os primeiros trabalhos foram desenvolvidos basicamente por Isaac New- ton (1643-1729), Gottfried W. Leibniz (1643-1716) e posteriormente por Lehonard Euler (1707-1783): foi sobre os trabalhos desses pesquisadores que surgiram novos m´ etodos mais modernos e com maior capacidade de solu¸c˜ ao. Atualmente os m´ etodos mais difundidos na solu¸c˜ ao de problemas de engenharia, dentre outros, s˜ ao: o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas (MDF) (BOYCE; DIPRIMA, 1986), o M´ etodo dos Volumes Finitos (MVF) (MALISKA, 1995), o M´ etodo dos Elementos Finitos (MEF) (BATHE, 1996) e o M´ etodo dos Elementos de Contorno (MEC) (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1989). O MEC tem sido empregado na solu¸c˜ ao de diversos problemas de v´ arias ´ areas devido ` as potencialidades de suas aplica¸c˜ oes.

At´ e a d´ ecada de 70, o M´ etodo das Diferen¸cas Finitas (MDF) era empregado com grande sucesso na solu¸c˜ ao de problemas de escoamentos de flu´ıdos, mas havia limita¸c˜ oes com rela¸c˜ ao ao tratamento de geometrias complexas, enquanto o MEF era mais empregado na ´ area de estruturas na solu¸c˜ ao de problemas de elasticidade, pois era poss´ıvel aplicar esse m´ etodo em geometrias complexas mas, em contra partida, as ferramentas necess´ arias para tratar os termos convectivos que aparecem na equa¸c˜ ao n˜ ao estavam bem desenvolvidas (MALISKA, 1995).

O surgimento do M´ etodo dos Volumes Finitos teve um grande impacto na solu¸c˜ ao dos problemas relacionados com a mecˆ anica dos fluidos, pois a an´ alise mais detalhada dos aspectos f´ısicos de cada termo das equa¸c˜ oes estudadas permitiu o desenvolvimento de m´ etodos mais robustos para tais aplica¸c˜ oes. De acordo com Maliska (1995) a possibilidade de associar a interpreta¸c˜ ao f´ısica com a matem´ atica influiu de modo consider´ avel para que muitos analistas envolvidos com o MDF passassem a usar o MVF. Por isso, o MVF tem sido muito utilizado na solu¸c˜ ao de problemas de escoamento de fluidos, pois Maliska (1995) afirma que a maioria dos pacotes computacionais desenvolvidos nos ´ ultimos anos para a solu¸c˜ ao de problemas de fluidos com transferˆ encia de calor utilizam o MVF.

Encontrar a solu¸c˜ ao num´ erica da equa¸c˜ ao de advec¸c˜ ao-difus˜ ao n˜ ao ´ e uma tarefa simples devido ` a natureza da equa¸c˜ ao, que cont´ em um termo n˜ ao dissipativo, o termo advectivo. Os efeitos, difusivo e advectivo, podem ser relacionados atrav´ es do n´ umero de P` eclet, que ´ e dado por (QIU; WROBEL; POWER, 1998):

P

e

= v∆l

D (2.1)

onde v ´ e a componente da velocidade e ∆l ´ e a m´ınima escala espacial utilizada e D

´ e o coeficiente de difus˜ ao molecular dado em m

²

/s. Note que ´ e necess´ ario calcular o

n´ umero de P` eclet na dire¸c˜ ao x (P

ex

), na dire¸c˜ ao y (P

ey

) e na dire¸c˜ ao z (P

ez

), sendo x, y e z coordenadas cartesianas. A equa¸c˜ ao 2.1 descreve a raz˜ ao entre o balan¸co dos fluxos advectivo e difusivo de massa. O termo de velocidade v tem uma escala geralmente da ordem de 10

⁻¹

m/s, o coeficiente D na escala molecular ´ e da ordem de 10

⁻⁶

a 10

⁻¹⁰

m

²

/s.

Experimentalmente verificou-se que, para se ter estabilidade na solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de transporte, o valor de P

_e

deve ser tal que P

_e

< 1 (WROBEL et al., 1989). Como v

´ e uma propriedade do escoamento e D, uma propriedade f´ısico-qu´ımica do contaminante e do fluido, o ´ unico parˆ ametro que ´ e poss´ıvel alterar ´ e o comprimento ∆x, y da escala espacial utilizado na discretiza¸c˜ ao; sendo assim, para que o modelo esteja em uma escala resolv´ıvel o coeficiente D utilizado deve estar na escala turbulenta, onde seu valor ´ e na ordem de 10

⁰

m

²

/s.

Alguns pesquisadores apresentaram trabalhos referentes ` a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de advec¸c˜ ao-difus˜ ao utilizando o MEC. Grigoriev e Dargush (2005) prop˜ oem a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao em dom´ınios bi-dimensionais no estado transiente, mas os resultados apre- sentados trazem somente os valores espaciais, n˜ ao apresentando a evolu¸c˜ ao temporal da solu¸c˜ ao obtida. Outra caracter´ıstica importante do trabalho ´ e que seu foco que ´ e voltado para a difus˜ ao de calor com o termo convectivo, mas a velocidade do fluxo convectivo ´ e pequena, fazendo com que nos problemas apresentados a difus˜ ao seja predominante. Si- tua¸c˜ ao semelhante acontece no trabalho desenvolvido por Romero e Benitez (2008), onde a equa¸c˜ ao de transporte ´ e abordada considerando os termos difusivo e advectivo. Esse trabalho apresenta um problema cujo n´ umero de P` eclet ´ e aproximadamente 10, um valor elevado, mas esse problema ´ e resolvido somente para regime permanente, ou seja, trata a equa¸c˜ ao independente do tempo. A mesma situa¸c˜ ao ocorre no segundo problema anali- sado. O ´ ultimo exemplo apresentado por Romero e Benitez (2008) considera o problema transiente, mas os resultados apresentam somente os valores dos gradientes nas dire¸c˜ oes longitudinal e transversal, n˜ ao apresentando resultados das concentra¸c˜ oes no dom´ınio.

Li e Evans (1991) publicaram um trabalho com a equa¸c˜ ao para transporte de

calor com convec¸c˜ ao em regime permanente, e resolveram o problema fazendo uma trans-

forma¸c˜ ao na equa¸c˜ ao original. Posteriormente Qiu, Wrobel e Power (1998) apresentaram

solu¸c˜ oes para regime permanente, ou seja, independente do tempo, tamb´ em em dom´ınios

bi-dimensionais, mas nesse trabalho a proposta ´ e a solu¸c˜ ao das integrais singulares que

aparecem na formula¸c˜ ao do MEC, para elevados valores do n´ umero de P` eclet, com va-

ria¸c˜ ao entre 10

⁴

e 10

⁷

, encontrados em eletromagnetismo, onde as velocidades s˜ ao muito

altas.

Uma caracter´ıstica comum a todos esses trabalhos citados ´ e que s˜ ao consideradas apenas a componente v

_x

do vetor velocidade, isto ´ e, os exemplos apresentados consideram que v

_y

= 0 e, com isso, o transporte advectivo em quest˜ ao ´ e meramente unidimensional.

Bozkaya e Tezer-Sezgin (2007) apresentam o desenvolvimento da equa¸c˜ ao para o problema dependente do tempo, utilizando uma solu¸c˜ ao fundamental dependente do tempo.

Em rela¸c˜ ao ` a solu¸c˜ ao num´ erica do problema em quest˜ ao, outros m´ etodos tˆ em sido usados. O M´ etodo das Diferen¸cas Finitas tem sido abordado com sucesso durante os

´

ultimos anos e alguns trabalhos podem ser citados Zhao, Xu e Valliappan (1994), Lowry e Li (2005) e Prieto, Munoz e Corvinos (2011) para a solu¸c˜ ao de problemas em dom´ınios bi e tridimensionais. Outro m´ etodo que tem sido utilizado com sucesso ´ e o MEF, para equa¸c˜ ao bi-dimensional ´ e apresentada no trabalho de Dhawan, Kapoor e Kumar (2012), que empregam o MEF aplicando fun¸c˜ oes B-spline para aproxima¸c˜ oes espaciais.

A busca por solu¸c˜ oes anal´ıticas para a equa¸c˜ ao de difus˜ ao-advec¸c˜ ao tamb´ em tem atra´ıdo pesquisadores, Lowry e Li (2005) apresentam uma solu¸c˜ ao anal´ıtica da equa¸c˜ ao bidimensional transiente, aplicando transformada de Laplace. Nesse trabalho, o m´ etodo aplicado requer que o dom´ınio seja discretizado, empregando um n´ umero finito de pontos.

Outro trabalho que apresenta solu¸c˜ ao anal´ıtica para o mesmo problema com coeficientes vari´ aveis ´ e apresentado por Zoppou e Knight (1999), para dom´ınios bi e tridimensionais.

No trabalho apresentado por Yada, Kumar e Kumar (2012), a solu¸c˜ ao ´ e para dom´ınios bi-dimensionais, considerando um pulso inicial no dom´ınio.

Os trabalhos que apresentam solu¸c˜ oes anal´ıticas s˜ ao importantes, principalmente para a valida¸c˜ ao dos modelos num´ ericos, mas do ponto de vista de aplica¸c˜ oes pr´ aticas eles s˜ ao limitados pois os trabalhos citados apresentam solu¸c˜ oes para alguns casos espec´ıficos, onde apenas condi¸c˜ oes de contorno e inicial para casos particulares s˜ ao apresentadas.

Assim, a busca por modelos num´ ericos que apresentem maior potencial de aplica¸c˜ ao para v´ arios tipos de situa¸c˜ oes e condi¸c˜ oes, continua sendo essencial.

Nesse trabalho, a proposta ´ e aplicar o MEC na solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de difus˜ ao- advec¸c˜ ao para diversos problemas, entre os quais aqueles onde o perfil de velocidade ´ e vari´ avel.

Como a maioria dos problemas propostos n˜ ao possuem solu¸c˜ ao anal´ıtica, os resul-

tados obtidos com as formula¸c˜ oes do MEC ser˜ ao comparados com os resultados num´ ericos

obtidos com o MEF. O objetivo dessas compara¸c˜ oes n˜ ao ´ e levantar discuss˜ oes sobre qual

m´ etodo ´ e mais eficaz, mas sim validar os resultados num´ ericos do MEC com um modelo

denominado SisBaHiA

^R

.

O SisBaHiA

^R

, ´ e um software de propriedade da funda¸c˜ ao Coppetec, ´ org˜ ao da

Universidade Federal do Rio de Janeiro. E um sistema de hidrodinˆ ´ amica ambiental,

que conta com m´ odulos para a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de transporte e tamb´ em das rea¸c˜ oes

cin´ eticas que podem ocorrer em escoamentos de sistemas ambientais. O software resolve

as equa¸c˜ oes dos modelos empregando o MEF na discretiza¸c˜ ao espacial e o MDF na discre-

tiza¸c˜ ao temporal. Os resultados desse sistema ser˜ ao utilizados para validar os resultados

obtidos com o MEC, pois o modelo que j´ a foi validado em v´ arios trabalhos. Por exem-

plo, Cunha, Monteiro e Rosman (2002) apresentam a modelagem bi-dimensional para a

equa¸c˜ ao de transporte em rios: neste trabalho ´ e desenvolvido um modelo bi-dimensional

de transporte Euleriano, aplicado a escalares passivos e n˜ ao-conservativos. Em Cunha,

Ferreira e Rosman (2006) discute-se a capacidade de previs˜ ao de um modelo de quali-

dade de ´ agua, a ser utilizado como instrumento tecnol´ ogico capaz de avaliar impactos

do lan¸camento de carga poluidora. Cunha et al. (2006) aplicam o sistema na solu¸c˜ ao

dos modelos de qualidade de ´ agua e hidrodinˆ amica na ba´ıa de Sepetiba, para simular a

polui¸c˜ ao devido a efluentes de esgoto. Valores de medi¸c˜ oes em campo foram utilizados

para calibrar o modelo, e os resultados num´ ericos obtidos foram consistentes com os dados

amostrais, mostrando que o modelo foi corretamente calibrado. Outros trabalhos podem

ser verificados na p´ agina do modelo, dispon´ıvel em http://www.sisbahia.coppe.ufrj.br/.

3 MODELO DE TRANSPORTE DIFUSIVO-ADVECTIVO

A equa¸c˜ ao da difus˜ ao-advec¸c˜ ao ´ e uma equa¸c˜ ao diferencial parcial de segunda ordem, que descreve o balan¸co de massa de um soluto. Para iniciar o estudo dos modelos s˜ ao necess´ arias algumas defini¸c˜ oes. Concentra¸c˜ ao ´ e a forma adotada para se expressar a distribui¸c˜ ao de um constituinte no flu´ıdo que est´ a sendo analisado e advec¸c˜ ao ´ e o nome dado ao transporte de um constituinte pelo campo de velocidades do meio fluido que o cont´ em. Difus˜ ao molecular surge do movimento decorrente da agita¸c˜ ao das mol´ eculas de um fluido, promovendo o espalhamento das part´ıculas do constituinte e a difus˜ ao turbulenta ´ e an´ aloga ` a difus˜ ao molecular mas com origem no movimento turbulento dos fluidos. Para mais detalhes sobre essas defini¸c˜ oes e outros parˆ ametros, ´ e indicado ao leitor Porto et al. (1991).

3.1 Princ´ıpio de Conserva¸c˜ ao de Massa de Soluto

De acordo com Porto et al. (1991), ”quando um constituinte ´ e imerso em um meio fluido ele ´ e sujeito a processos de transporte por advec¸c˜ ao e/ou difus˜ ao, gera¸c˜ ao e extin¸c˜ ao atrav´ es de rea¸c˜ oes com outras grandezas ou com o pr´ oprio fluido”. Assim a lei de conserva¸c˜ ao de massa diz que a varia¸c˜ ao da massa de um soluto deve ser igual ao fluxo de entrada menos o fluxo de sa´ıda mais as rea¸c˜ oes de perda ou ganho de massa.

Considerando um volume de controle delimitado por uma superf´ıcie S definida em um sistema de coordenadas (x, y, z), conforme ilustra a figura 1. Porto et al. (1991) define o fluxo (F ) como sendo a quantidade elementar de massa dM que passa atrav´ es de um elemento dS da superf´ıcie durante um intervalo infinitesimal de tempo dt. O fluxo ´ e representado por:

F ~ = dM/dt

d ~ S (3.1)

Figura 1: Fluxo no volume de controle

Assim, o fluxo total J(t) que atravessa a superf´ıcie S em um dado instante de tempo pode ser obtido como Leithold (1990b)

J (t) = Z

S

F .~ ~ n

dS (3.2)

A equa¸c˜ ao 3.2 pode ser escrita para todo o volume V se for aplicado o teorema da divergˆ encia, conforme descrito por Leithold (1990b)

Z

S

F .~ ~ n dS =

Z

V

∇. ~ F

dV (3.3)

Se C(x, y, z, t) for a concentra¸c˜ ao do soluto, ent˜ ao a quantidade total de massa desse soluto presente no volume de controle ser´ a

M(t) = Z

V

C(x, y, z, t)dV (3.4)

Se n˜ ao ocorrer perda ou ganho de massa do soluto dentro do volume de controle, para a conserva¸c˜ ao de massa a seguinte rela¸c˜ ao dever ser satisfeita

J(t) + ∂M (t)

∂t = 0 (3.5)

Agora, substituindo as equa¸c˜ oes 3.2, 3.3 e 3.4 na equa¸c˜ ao 3.5 o que se tem ´ e:

Z

V

∂C

∂t + ∇. ~ F

dV = 0 (3.6)

Para a igualdade da equa¸c˜ ao 3.6 ser satisfeita, o integrando deve ser nulo, logo

∂C

∂t + ∇. ~ F = 0 (3.7)

A equa¸c˜ ao 3.7 ´ e de extrema importˆ ancia nos estudos de transporte de poluente, desde que o fluxo F ~ seja conhecido.

3.2 Lei de Fick

Em 1855 o fisiologista alem˜ ao Adolph Fick propˆ os a lei que leva seu nome para descrever o fenˆ omeno da difus˜ ao molecular de um material em um solvente. Fick propˆ os a seguinte equa¸c˜ ao para representar o fluxo difusivo de massa (PORTO et al., 1991)

F ~ = −D.∇C (3.8)

onde D ´ e uma grandeza escalar que representa a difus˜ ao molecular.

A equa¸c˜ ao 3.8 descreve somente o fluxo devido ` a difus˜ ao que ocorre no meio, mas quando o fluido que recebe o soluto possui velocidade, o transporte n˜ ao ocorre apenas por difus˜ ao, mas tamb´ em por advec¸c˜ ao, assim a parcela advectiva deve ser adicionada ` a parcela difusiva, e o fluxo considerando as parcelas difusiva e advectiva ´ e escrito como

F ~ = V C ~ − D.∇C (3.9)

onde V ~ ´ e o vetor velocidade, com componentes v

_x

, v

_y

e v

_z

nas dire¸c˜ oes x, y e z, respecti- vamente.

Substituindo a equa¸c˜ ao 3.9 na equa¸c˜ ao 3.7 tem-se

∂C

∂t + ∇.( V C ~ − D.∇C) = 0 (3.10)

Desenvolvendo a equa¸c˜ ao 3.10 tem-se:

∂C

∂t + ∂(v

_x

C)

∂x + ∂(v

_y

C)

∂y + ∂(v

_z

C)

∂z = D ∂

²

C

∂x

²

+ ∂

²

C

∂y

²

+ ∂

²

C

∂z

²

(3.11) Desenvolvendo somente as derivadas espaciais do lado esquerdo de 3.11 tem-se:

∂(v

_x

C)

∂x + ∂(v

_y

C)

∂y + ∂(v

_z

C)

∂z = v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y + v

_z

∂C

∂z + C ∂v

_x

∂x + ∂v

_y

∂y + ∂v

_z

∂z

(3.12) Considerando a condi¸c˜ ao de incompressibilidade, dada pela equa¸c˜ ao 3.13 abaixo (SCHLICHTING, 1979).

∂v

_x

∂x + ∂v

_y

∂y + ∂v

_z

∂z = 0 (3.13)

o transporte de massa, que considera os efeitos difusivo e advectivo, pode ser representado pela seguinte equa¸c˜ ao:

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y + v

_z

∂C

∂z = D ∂

²

C

∂x

²

+ ∂

²

C

∂y

²

+ ∂

²

C

∂z

²

(3.14) A equa¸c˜ ao 3.14 ´ e utilizada na modelagem de problemas de qualidade de ´ agua, para simular o transporte de substˆ ancias dissolvidas em rios, estu´ arios e ´ aguas subterrˆ aneas.

Frequentemente tˆ em sido utilizados modelos num´ ericos para sua solu¸c˜ ao, formados por uma ou mais equa¸c˜ oes diferenciais que descrevem a evolu¸c˜ ao de processos f´ısicos como o de transferˆ encia por advec¸c˜ ao e por difus˜ ao. Essa equa¸c˜ ao ´ e tamb´ em frequentemente utilizada para descrever fenˆ omenos complexos de processos de transporte f´ısico-qu´ımico (ROMERO; BENITEZ, 2008).

3.2.1 Difus˜ ao turbulenta

De acordo com Porto et al. (1991), os escoamentos que acontecem em rios e

estu´ arios s˜ ao turbulentos pois, de forma geral, um escoamento turbulento caracteriza-

se, entre outras coisas, por ser desorganizado e vari´ avel no tempo. Esse conceito de

turbulˆ encia est´ a ligado ao fato de que n˜ ao ´ e poss´ıvel prever com exatid˜ ao o que acontece

nesse escoamento. Nesse sentido, conclui-se que n˜ ao ´ e poss´ıvel determinar de maneira

exata qual a concentra¸c˜ ao do contaminante em um ponto do dom´ınio em um determinado

instante de tempo. Para lidar com essa situa¸c˜ ao, Reynolds propˆ os uma abordagem para

esse problema, a hip´ otese de que uma vari´ avel turbulenta em um certo ponto do espa¸co

pode ser decomposta em duas parcelas, uma parcela ´ e o valor m´ edio em uma escala de um intervalo de tempo ∆t e a outra parcela ´ e uma flutua¸c˜ ao turbulenta que oscila de maneira imprevis´ıvel em torno dessa m´ edia. Para a concentra¸c˜ ao ´ e poss´ıvel escrever:

C = C + c

⁰

(3.15)

onde C ´ e o valor instantˆ aneo, C ´ e o valor m´ edio temporal e c

⁰

´ e a flutua¸c˜ ao turbulenta da concentra¸c˜ ao. Essa proposta foi feita em 1851 e ´ e empregada at´ e os dias de hoje (TENNEKES; LUMLEY, 1983).

Substituindo 3.15 em 3.14 e fazendo a mesma considera¸c˜ ao para os termos de velocidade tem-se:

∂ (C + c

⁰

)

∂t + (v

_x

+ v

_x⁰

) ∂(C + c

⁰

)

∂x + (v

_y

+ v

_y⁰

) ∂(C + c

⁰

)

∂y + (v

_z

+ v

_z⁰

) ∂(C + c

⁰

)

∂z =

D

∂

²

(C + c

⁰

)

∂x

²

+ ∂

²

(C + c

⁰

)

∂y

²

+ ∂

²

(C + c

⁰

)

∂z

²

(3.16) Agora integrando a equa¸c˜ ao 3.16 em um intervalo ∆t, cada termo da equa¸c˜ ao 3.16 pode ser escrito como:

1

∆t

t+∆t

Z

t

∂ (C + c

⁰

)

∂t dt = ∂

∂t











 1

∆t













t+∆t

Z

t

Cdt +

t+∆t

Z

t

c

⁰

dt

| {z }

=0

























= ∂C

∂t (3.17)

1

∆t

t+∆t

Z

t

(v

x

+ v

_x⁰

) ∂(C + c

⁰

)

∂x dt =

1

∆t











 v

_x

∂C

∂x

t+∆t

Z

t

dt + v

_x

∂

∂x

t+∆t

Z

t

c

⁰

dt

| {z }

=0

+ ∂C

∂x

t+∆t

Z

t

v

⁰_x

dt

| {z }

=0

+

t+∆t

Z

t

v

_x⁰

∂c

⁰

∂x dt













=

v

_x

∂C

∂x + 1

∆t

t+∆t

Z

t

v

⁰_x

∂c

⁰

∂x dt = v

_x

∂C

∂x + v

⁰_x

∂c

⁰

∂x (3.18)

1

∆t

t+∆t

Z

t

∂

²

(C + c

⁰

)

∂x

²

dt = ∂

²

∂x

²











 1

∆t













t+∆t

Z

t

Cdt +

t+∆t

Z

t

c

⁰

dt

| {z }

=0

























= ∂

²

C

∂x

²

(3.19)

Aplicando os mesmos procedimentos para os outros termos da equa¸c˜ ao e substi- tuindo 3.17, 3.18 e 3.19 em 3.16 resulta em:

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y + v

_z

∂C

∂z = D ∂

²

C

∂x

²

+ ∂

²

C

∂y

²

+ ∂

²

C

∂z

²

−

v

_x⁰

∂c

⁰

∂x + v

_y⁰

∂c

⁰

∂y + v

_z⁰

∂c

⁰

∂z

(3.20) O ´ ultimo termo que est´ a entre parenteses na equa¸c˜ ao 3.20 pode ser reescrito como:

v

_x⁰

∂c

⁰

∂x + v

_y⁰

∂c

⁰

∂y + v

⁰_z

∂c

⁰

∂z

= ∂v

_x⁰

c

⁰

∂x + ∂v

⁰_y

c

⁰

∂y + ∂v

⁰_z

c

⁰

∂z

!

− c

⁰

∂v

_x⁰

∂x + ∂v

⁰_y

∂y + ∂v

_z⁰

∂z

!

(3.21)

O ´ ultimo termo da equa¸c˜ ao 3.21, que est´ a multiplicando c

⁰

, ´ e a condi¸c˜ ao de incompressibilidade, sendo que essa parcela ´ e igual a zero; assim a equa¸c˜ ao 3.20 fica:

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y + v

_z

∂C

∂z = D ∂

²

C

∂x

²

+ ∂

²

C

∂y

²

+ ∂

²

C

∂z

²

−

∂v

_x⁰

c

⁰

∂x + ∂v

_y⁰

c

⁰

∂y + ∂v

_z⁰

c

⁰

∂z

!

(3.22)

De acordo com Porto et al. (1991) os fluxos de flutua¸c˜ oes turbulentas possuem car´ ater difusivo, assim ´ e poss´ıvel adotar a seguinte representa¸c˜ ao para esses fluxos:

v

_x⁰

c

⁰

= −

_x

∂C

∂x (3.23)

v

_y⁰

c

⁰

= −

y

∂C

∂y (3.24)

v

⁰_z

c

⁰

= −

_z

∂C

∂z (3.25)

onde

_x

,

_y

e

_x

s˜ ao conhecidos como coeficientes de difus˜ ao turbulenta. Substituindo 3.23, 3.24 e 3.25 em 3.22 e agrupando os termos semelhantes, a equa¸c˜ ao resulta em:

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y + v

_z

∂C

∂z =

∂

∂x

(D +

_x

) ∂C

∂x

+ ∂

∂y

(D +

_y

) ∂C

∂y

+ ∂

∂z

(D +

_z

) ∂C

∂z

(3.26) Fazendo D +

_x

= D

_x

, D +

_y

= D

_y

e D +

_z

= D

_z

, a equa¸c˜ ao 3.26 pode ser escrita de maneira mais simplificada.

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y + v

_z

∂C

∂z = ∂

∂x

D

_x

∂C

∂x

+ ∂

∂y

D

_y

∂C

∂y

+ ∂

∂z

D

_z

∂C

∂z

(3.27) Os processos que ocorrem na natureza s˜ ao em sua grande maioria complexos e os parˆ ametros da equa¸c˜ ao podem variar muito com a posi¸c˜ ao espacial e/ou temporal assim como com as condi¸c˜ oes de contorno. Assim, as velocidades e o coeficiente de difus˜ ao podem ser da forma v

x

= v

x

(x, y, z, t), v

y

= v

y

(x, y, z, t), v

z

= v

y

(x, y, z, t) e D

i

= D

i

(x, y, z, t), com i = 1, 2, 3; devido a isso, a equa¸c˜ ao 3.27, no caso mais geral, ´ e uma equa¸c˜ ao n˜ ao linear.

Se o campo de velocidades e o coeficiente de difus˜ ao s˜ ao uniformes e permanentes, a equa¸c˜ ao pode ser escrita como:

D∇

²

C − V .∇C ~ = ∂C

∂t (3.28)

A solu¸c˜ ao dessa equa¸c˜ ao apresenta uma grande possibilidade de aplica¸c˜ oes, como

na an´ alise de dispers˜ ao de poluentes em ´ areas costeiras apresentado por Solheid, Gobbi

e Torii (2010), simula¸c˜ oes em ba´ıas pode ser visto em Cunha, Rosman e Ferreira (2006),

estudos de varia¸c˜ oes de temperatura em colunas de ´ agua, que podem ter efeitos nos proces-

sos qu´ımicos e biol´ ogicos em lagos (ANTONOPOULOS; GIANNIOU, 2003). Problemas

interessantes na eletroqu´ımica aparecem em um trabalho apresentado por Qiu, Wrobel e

Power (1998). Estudos para an´ alise da dispers˜ ao de poluentes na atmosfera, dentre outros

problemas, podem ser modelados utilizando a equa¸c˜ ao em quest˜ ao.

A equa¸c˜ ao 3.27 ´ e uma equa¸c˜ ao tri-dimensional; nesse trabalho os problemas pro- postos s˜ ao em dom´ınio bi-dimensional, ou seja, considera-se que a concentra¸c˜ ao C n˜ ao dependente de z; para isso, definindo um sistema de coordenadas onde z = h ´ e a posi¸c˜ ao da superf´ıcie livre da ´ agua e z = 0 corresponde ao fundo, ´ e poss´ıvel considerar uma concentra¸c˜ ao m´ edia ao longo de z, conforme apresentado por Porto et al. (1991), como:

C(x, y, t) = 1 h

h

Z

0

C(x, y, z, t)dz (3.29)

onde C ´ e a concentra¸c˜ ao m´ edia na dire¸c˜ ao z. Integrando na dire¸c˜ ao z a equa¸c˜ ao 3.27 e aplicando a equa¸c˜ ao 3.29 tem-se

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y = ∂

∂x D

_x

∂C

∂x

! + ∂

∂y D

_y

∂C

∂y

!

(3.30)

onde D

_x

e D

_y

s˜ ao os coeficientes de dispers˜ ao nas dire¸c˜ oes x e y . Considera-se que os processos dispersivos nas dire¸c˜ oes x e y s˜ ao iguais, ou seja, D

_x

= D

_y

= D. Desse ponto do texto em diante, os valores m´ edios definidos at´ e aqui ser˜ ao representados sem as barras superiores; por exemplo, a concentra¸c˜ ao ser´ a representada somente por C. Assim, a equa¸c˜ ao 3.30 fica:

∂C

∂t + v

_x

∂C

∂x + v

_y

∂C

∂y = D ∂

²

C

∂x

²

+ ∂

²

C

∂y

²

(3.31)

3.3 Condi¸c˜ oes de Contorno e Inicial

Um dos pontos cr´ıticos dos m´ etodos num´ ericos e an´ alises computacionais, prin- cipalmente de escoamentos, ´ e a imposi¸c˜ ao das condi¸c˜ oes de contorno. Em modelos num´ ericos ´ e necess´ ario que o contorno do problema seja truncado, ou seja, estabelecido um dom´ınio fict´ıcio em problemas com dom´ınios infinitos ou semi-infinitos, gerando assim contornos artificiais onde condi¸c˜ oes aproximadas devem ser impostas.

Nas aplica¸c˜ oes mostradas nestre trabalho, dois tipos de contornos devem ser

considerados: contornos de terra e contornos abertos. Em geral, contornos de terra repre-

sentam as margens do corpo d’´ agua em quest˜ ao e possibilitam pontos de entrada ou sa´ıda

de fluxo como, por exemplo, rios e pequenos afluentes. Contornos abertos representam os limites do dom´ınio na ´ agua, tais como entradas em ba´ıas, estu´ arios ou reservat´ orios;

nos contornos abertos os fluxos difusivos s˜ ao desprezados. Condi¸c˜ oes de contorno de terra podem ser escritas de maneira generalizada como:

U

_n

C − D dC

dn = F

_n^∗

(3.32)

onde o sub-´ındice n indica a dire¸c˜ ao normal, F

_n^∗

´ e o fluxo normal prescrito e U

_n

´ e a com- ponente normal da velocidade. Em entradas de rios, normalmente F

_n^∗

e U

_n

s˜ ao diferentes de zero. Quando U

n

e F

_n^∗

s˜ ao nulos, a equa¸c˜ ao 3.32 ´ e reduzida a:

D dC

dn = 0 (3.33)

a condi¸c˜ ao inicial, sobre todo o dom´ınio, ´ e:

C(x, y, 0) = C

₀

(x, y) (3.34)

3.3.1 Modelos Num´ ericos para a Equa¸c˜ ao de Advec¸c˜ ao e Difus˜ ao

Como solu¸c˜ oes anal´ıticas s´ o s˜ ao poss´ıveis em alguns casos particulares para pro- blemas simplificados, s˜ ao utilizados m´ etodos num´ ericos para solu¸c˜ ao das equa¸c˜ oes dos modelos, como pode ser verificado em Szabo e Babuska (1991) “Por causa de suas com- plexidades, modelos matem´ aticos generalizados n˜ ao permitem solu¸c˜ oes exatas”. Neste tra- balho, nas aplica¸c˜ oes analisadas os resultados ser˜ ao comparados com a solu¸c˜ ao anal´ıtica, quando dispon´ıvel, e com o MEF, quando a solu¸c˜ ao anal´ıtica n˜ ao pode ser desenvolvida.

3.3.1.1 M´ etodo dos Elementos Finitos

Neste trabalho os resultados do MEF ser˜ ao obtidos utilizando o SisBaHiA

^R

− Sistema Base de Hidrodinˆ amica Ambiental, que ´ e um sistema profissional de modelos computacionais registrado pela Funda¸c˜ ao Coppetec, ´ org˜ ao gestor de convˆ enios e contratos de pesquisa do COPPE/UFRJ - Instituto Aberto Luiz Coimbra de P´ os Gradua¸c˜ ao e Pesquisa de Engenharia (COPPE) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) (ROSMAN, 2005). O modelo SisBaHiA

^R

utiliza o MEF na discretiza¸c˜ ao espacial das equa¸c˜ oes.

No MEF o dom´ınio a ser estudado, representado por Ω, ´ e dividido em N sub- dom´ınios, representados por Ω

_s

, e a integra¸c˜ ao em todo o dom´ınio pode ser obtida pela soma das integrais em cada subdom´ınio (WROBEL et al., 1989). As integrais podem ser representadas por:

Z

Ω

R dΩ =

N

X

s=1

Z

Ωs

R dΩ

_s

(3.35)

Segundo esse m´ etodo, as fun¸c˜ oes base s˜ ao constru´ıdas a partir de fun¸c˜ oes definidas em cada um dos elementos (subdom´ınios) no qual o dom´ınio foi dividido. As fun¸c˜ oes definidas em cada elemento s˜ ao denominadas fun¸c˜ oes de forma.

3.3.1.2 Equa¸c˜ oes do SisBaHiA

^R

A equa¸c˜ ao de transporte Difusivo-Advectivo que o SisBaHiA

^R

utiliza ´ e dada por:

∂C

∂t + v

_i

∂C

∂x

_i

= 1 H

∂

∂x

_j

H

D

_ij

δ

_jk

+ ∧

²_k

12

∂v

j

∂x

_k

∂C

∂x

_k

(3.36)

onde v

i

s˜ ao as componentes da velocidade na dire¸c˜ ao x

i

promediadas na dire¸c˜ ao vertical, H ´ e a altura da coluna d´ agua, D

_ij

´ e o tensor que representa o coeficiente de difus˜ ao turbulenta de massa e δ

_jk

representa o delta de Kronecker, com i, j = 1, 2, k = 1, 2, 3, quando k = 3 indica a dimens˜ ao do tempo, e ∧

_k

´ e a largura espacial e temporal do filtro Gaussiano utilizado no SisBaHiA

^R

, (CUNHA; ROSMAN; FERREIRA, 2006).

A equa¸c˜ ao utilizada no SisBaHiA

^R

considera o transporte difusivo em duas parcelas; uma parcela anisotr´ opica e outra vari´ avel, com a advec¸c˜ ao. No entanto, si- mula¸c˜ oes simplificadas podem ser feitas desabilitando alguns termos, o modelo utilizado pelo SisBaHiA

^R

considera a difus˜ ao isotr´ opica e uniforme, sendo poss´ıvel a compara¸c˜ ao entre as formula¸c˜ oes num´ ericas do MEC e do MEF. Ap´ os essas considera¸c˜ oes, a equa¸c˜ ao resolvida pelo no SisBaHiA

^R

passa a ser:

∂C

∂t + v

_i

∂C

∂x

_i

= D ∂

²

C

∂x

²_i

(3.37)

com i = 1, 2.

A discretiza¸c˜ ao temporal ´ e feita seguindo os procedimentos do m´ etodo do fato- ramento impl´ıcito descrito por Beam e Warming (1978). Para uma equa¸c˜ ao n˜ ao linear conforme segue:

∂

∂t [C(x, y, t)] = L

₁

(C)L

₂

(C) (3.38) onde L

₁

e L

₂

s˜ ao operadores lineares. A derivada ´ e aproximada por:

C

ⁿ⁺¹

− C

ⁿ

∆t = 1

2 L

ⁿ⁺¹₁

L

ⁿ₂

+ L

ⁿ₁

L

ⁿ⁺¹₂

(3.39) Aplicando a formula¸c˜ ao do MEF ` a equa¸c˜ ao 3.36, discretizando temporalmente e integrando por partes uma vez, tem-se:

N

X

s=1 N N

X

j=1

W

ij

C

_jⁿ⁺¹

=

N

X

s=1 N N

X

j=1

Z

ij

C

_ijⁿ

+ F

_Nⁿ⁺¹

+ F

_Nⁿ

j

Z

Γ

φ

i

φ

j

dΓ (3.40)