Dispersão de Nitrogênio Sintético em área de Floresta-Cerrado

(1)

Dispers˜

ao de Nitrogˆ

enio Sint´

etico em ´

area de Floresta-Cerrado

Geraldo L. Diniz,

Depto de Matemática, ICET, UFMT, 78060-900, Cuiabá, MT E-mail: geraldo@ufmt.br, Osvaldo D. Moraes SEDUC/MT 78049-909, Cuiabá, MT E-mail: brendans@terra.com.br.

Resumo: Neste trabalho é apresentado um problema de dispersão de nitrogênio sintético na

atmosfera, devido à aplica¸cão de adubos nitrogenados na agricultura, em uma área de transi¸cão floresta-cerrado. O modelo foi elaborado a partir de uma equa¸cão geral de difusão-adveçcão-rea¸cão, para a qual se obteve a existência e unicidade de solu¸cão para o problema em sua for-mula¸cão variacional. A aproxima¸cão numérica foi obtida por métodos computacionais com a discretiza¸cão espacial através do método dos elementos finitos (MEF), via técnica de Galerkin. Para a discretiza¸cão temporal, a op¸cão foi pelo método de Crank-Nicolson. O uso das simula¸cões computacionais permitiu a apresenta¸cão de cenários, onde foi poss´ıvel verificar os efeitos da dis-persão do nitrogênio sintético na área em estudo.

Palavras-chave: Polui¸cão, modelagem e simula¸cão, método dos elementos finitos (MEF)

1 Introdu¸c˜

ao

A comunidade cientifica internacional come¸ca a alertar para as graves conseqüências da radical modifica¸cão no ciclo do nitrogênio, nos últimos 40 anos, após o advento dos fertilizantes sintéticos [15].

O nitrogênio é indispensável à fotoss´ıntese, é integrante das prote´ınas vegetais, auxilia a forma¸cão das folhagens e favorece o rápido crescimento das plantas. Ainda na década de 60, a disponibilidade de nitrogênio era controlada por processos naturais, por meio da fixa¸cão deste elemento pelas plantas [15].

O aumento das adi¸cões de fertilizantes nitrogenados sintéticos aos solos agr´ıcolas tem sido indicado como principal responsável pela crescente emissão de óxido nitroso (N2O) para a

atmos-fera. O óxido nitroso é um dos gases envolvidos no processo de aquecimento global. Apresenta uma vida útil na atmosfera estimada em 120 anos [11]. O potencial de aquecimento global de cada molécula de N2O, num horizonte de cem anos, é maior (310 vezes) do que o de cada

mol´ecula de CO2.

Embora o N2O seja um g´as reativo, ele contribui pouco para esse processo de

aqueci-mento global, em decorrência de sua baixa concentra¸cão na atmosfera [18]. Os estudos demon-straram que a concentra¸cão atmosférica desse gás vem aumentando consideravelmente nas ´

ultimas d´ecadas, e continua a aumentar anualmente a uma taxa de 0,25% [13].

“O nitrogênio tem extrema mobilidade, muda rapidamente de estado e vai da terra para o ar e dali para a água com muita facilidade, contaminando os ecossistemas agr´ıcolas e penetrando nos len¸cóis freáticos” [15].

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circunstâncias, parece ter uma importância relativamente maior [22]. No caso da nitrifica¸cão, os microorganismos oxidantes da amônia utilizariam o nitrito (NO2) como aceptor final de elétrons,

para minimizar a acumula¸c˜ao intracelular de n´ıveis t´oxicos de nitrito [20].

Medi¸cões in situ de emissões de N2O, sob diferentes tipos de solos e sistemas de cultivo, são

ainda necessárias para se obter estimativas globais mais precisas [13]. Avalia¸cões das emissões de óxido nitroso ainda são raras no Brasil. Da´ı a necessidade de incrementar estudos visando às medi¸cões de fluxo de N2O sob diferentes sistemas de manejo de solo, assim como condi¸cões

clim´aticas e pedol´ogicas.

Neste sentido, o presente estudo foi realizado para uma área de transi¸cão floresta-cerrado próxima ao munic´ıpio de Sinop-MT, onde se aplicou o modelo proposto para a dispersão do nitrogênio na atmosfera local.

2 Desenvolvimento

2.1 Area de estudo´

A ´area de estudo est´a situada na Fazenda Maraca´ı, localizada, aproximadamente, a 50 km NE de Sinop, Mato Grosso, Brasil (11o_{24,75’S; 55}o_{19,50’O - ver figura 1(a)) e a 423 m acima}

do n´ıvel do mar. Esta área é constitu´ıda por uma floresta tropical de transi¸cão, que ocupa o ecótono entre a floresta Amazônica e o Cerrado. O relevo é plano com pequenas ondula¸cões, o clima é tropical com temperatura média de 24o_{C [19].}

(a)Area de estudo Fonte: [8]´ (b) Defini¸c˜ao do dom´ınio

Figura 1: Localiza¸cão da área de estudo e defini¸cão do dom´ınio

2.2 Modelo matem´atico

Para Bassanezi [1], modelar é selecionar no sistema argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial sobre uma por¸cão da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela. No contexto dos sistemas ambientais, há relevância para os fluxos de nutrientes nos ecossistemas.

Quanto à formula¸cão dos modelos, Jo/rgensen [12] afirma que um modelo consiste de cinco componentes, a saber: as fun¸cões de for¸ca ou variáveis externas que influenciam as condi¸cões do ecossistema; as variáveis de estado; as equa¸cões para a representa¸cão dos processos biológicos, qu´ımicos e f´ısicos que ocorrem dentro do ecossistema; os parâmetros ou coeficientes e, finalmente, o modelo ou diagrama conceitual.

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km de longitude e 100 m de altitude, a partir da superf´ıcie, se justifica a ado¸c˜ao de um plano horizontal (dom´ınio bidimensional), conforme apresentado na figura 1(b).

A fonte de nitrogênio adotada será considerada sobre uma parcela do dom´ınio (cultivar), aproximada por uma fun¸cão do tipo exponencial decrescente ao longo do tempo, o transporte de um ponto a outro será afetado, principalmente, por gradientes de concentra¸cão, pelo vento e pela perda de alguma parcela na atmosfera por degrada¸cão.

No modelo, será denominado u(x, y, t) a concentra¸cão de nitrogênio sintético no ponto (x, y) ∈ Ω, para o instante t ∈ (0, T ]. Neste caso, a referida dispersão pode ser descrita através da equa¸cão diferencial parcial, denominada de difusão-adveçcão-rea¸cão, genericamente dada por:

∂u

∂t = [difus˜ao] − [transporte] − [degrada¸c˜ao] + [fonte]

que é obtida através da lei de conserva¸cão das massas [2].

A fonte descreve o mecanismo pelo qual a substância é introduzida no meio. Em termos de modelagem clássica deste fenômeno, os termos apresentados acima são descritos por:

[difus˜ao] = −div[−α∇u] (cf. [17, 21]); [transporte] = div[−→VV · u] (cf. [7]);

[degrada¸c˜ao] = σu (cf. [2]);

[fonte] = F (cf. [16]).

Assim, a equa¸cão adotada para modelar o processo de dispersão efetiva do nitrogênio sintético no dom´ınio estabelecido será dada por:

∂u

∂t = −div[−α∇u] − div[ − →

VV · u] − σu + F (1)

onde α será constante no dom´ınio considerado, representando a difusibilidade efetiva no meio aéreo; div[−→VV ] = 0 aproximando um campo “bem comportado” no sentido dos fluxos aéreos; σu aproxima linearmente a degrada¸cão total no meio aéreo; F = Q0exp(−κt) representa uma

primeira aproxima¸cão do termo fonte nesta abordagem, sendo Q₀ a quantidade de nitrogênio sintético aplicada no instante inicial.

Seja η o vetor normal exterior unitário ao longo da fronteira Γ. As condi¸cões de contorno serão consideradas assintoticamente estacionárias (condi¸cões de Von Neumann - cf. [2]) que são dadas por: −α ∂u ∂η ¯ ¯ ¯ ¯ Γi = 0, ∀ t ∈ (0, T ], i = 1, 2, 3 e 4. (2) Esta condi¸cão simplificadora significa dizer que a entrada e sa´ıda de nitrogênio sintético no dom´ınio se anulam, pelo fato de considerar a fronteira suficientemente distante, de modo que o balan¸co de entrada e sa´ıda na fronteira do dom´ınio seja nulo (condi¸cão assintoticamente estável).

Além disso, para estabelecer o problema, será considerada a condi¸cão inicial dada por:

u(x, y, 0) = u₀(x, y) (3)

que descreve a distribui¸cão inicial da concentra¸cão de nitrogênio sintético sobre o dom´ınio. As equa¸cões (1) a (3) constituem a formula¸cão clássica ou “forte” do problema. Em geral, as equa¸cões derivadas a partir das leis de conserva¸cão têm solu¸cão no sentido clássico, no entanto, nem sempre é viável obter a solu¸cão anal´ıtica. Neste sentido será obtida uma aproxima¸cão da solu¸cão fraca, através do método dos elementos finitos.

2.3 Formula¸c˜ao variacional

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aplica¸cão do método dos elementos finitos (via método de Galerkin) para a discretiza¸cão espacial, de modo a obter as aproxima¸cões numéricas adequadas da solu¸cão do problema para instante

t ∈ (0, T ], cuja descri¸c˜ao ´e feita a seguir.

Uma justificativa para a solu¸cão fraca consiste na possibilidade de se usar fun¸cões que mod-elem fenômenos descont´ınuos, cuja solu¸cão deve ser procurada num espa¸co métrico conveniente. Neste sentido, deve ser obtida outra formula¸cão do problema, dado em sua formula¸cão clássica (ou forte) pelas equa¸cões (1–3). Considerar as derivadas da formula¸cão clássica no sentido das distribui¸cões e multiplicar cada termo da equa¸cão (1) por uma fun¸cão, denominada fun¸cão teste, sendo esta pertencente a um sub-espa¸co conveniente [16] de:

H1(Ω) = ½ υ(x, y) ∈ L2(Ω) : ∂υ ∂x e ∂υ ∂y ∈ L 2_(Ω) ¾ ,

e que será denotado por V, caracterizado a seguir, onde L2 _{é o espa¸co das fun¸cões de quadrado}

integr´avel no sentido de Lebesgue. Neste sub-espa¸co V, o produto interno ´e definido da seguinte forma: (f |g)_0;Ω := Z Z Ω f gdµ; ³−→f ||−→g ´ 0;Ω := Z Z Ω − → f · −→g dµ; hf |gi_0;∂Ω:= Z Γ f gdγ

Em seguida, é feita a integra¸cão da equa¸cão resultante, no sentido de Lebesgue, sobre o dom´ınio Ω, fornecendo a chamada formula¸cão variacional do problema. Nesta primeira abor-dagem, o termo fonte será considerado homogêneo sobre uma parte do dom´ınio Ω, cujas condi¸cões de contorno são aquelas apresentadas pela equa¸cão (2), ou seja, do tipo von Neumann. Além disso, ao considerar a densidade do ar constante na faixa horizontal do dom´ınio, permite uma aproxima¸cão do coeficiente de difusão aérea (α) nas equa¸cões (1) e (2) como sendo constante no dom´ınio Ω. Da´ı, considerando o produto interno definido em V, e reagrupando no primeiro membro, se obtém: µ ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ ¯ υ ¶ 0;Ω − α (∆u|υ)_0;Ω+³−→VV · ∇u|υ ´ 0;Ω+ σ (u|υ)0;Ω = (F|υ)0;Ω ∀ υ ∈ V (4)

Ao fazer o uso da primeira identidade de Green [10] para operadores, que aplicada ao termo

−α (∆u|υ)_0;Ω da equa¸c˜ao (4), se obt´em a seguinte igualdade para este termo:

−α (∆u|υ)_0;Ω = α (∇u||∇υ)_0;Ω− α ¿ ∂u ∂ν ¯ ¯ ¯ ¯ υ À 0;∂Ω

que, substituindo em (4), se torna: µ ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ ¯ υ ¶ 0;Ω + α (∇u||∇υ)_0;Ω+³−→VV · ∇u|υ ´ 0;Ω+ σ (u|υ)0;Ω= (F|υ)0;Ω ∀ υ ∈ V, (5)

lembrando que a condi¸c˜ao de contorno dada na equa¸c˜ao (2), resulta em −α∂u_∂ν¯¯ υ®_0;∂Ω = 0 e considerando, ainda, que as componentes advectivas sejam definidas por: V₁ = V cos θ e

V2= V senθ , sendo V a velocidade do vento na dire¸cão predominante e θ o ângulo da dire¸cão do

vento, orientado no sentido anti-horário a partir do eixo à leste, o que determina as proje¸cões da velocidade nas dire¸cões correspondentes aos eixos x e y, da´ı, se chega a formula¸cão variacional na forma: µ ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ ¯ υ ¶ 0;Ω + α (∇u||∇υ)_0;Ω+ V cos θ µ ∂u ∂x ¯ ¯ ¯ ¯ υ ¶ 0;Ω + V sen θ µ ∂u ∂y ¯ ¯ ¯ ¯ υ ¶ 0;Ω + σ (u|υ)_0;Ω = (Q0exp(−κt)|υ)_0;Ω ∀ υ ∈ V, (6)

(5)

2.4 Discretiza¸c˜ao do problema

A discretiza¸cão do modelo, para a formula¸cão obtida na equa¸cão (6), é feita através do Método dos Elementos Finitos (MEF) para a discretiza¸cão espacial e Crank-Nicolson para a dis-cretiza¸cão temporal. Para obter a disdis-cretiza¸cão espacial via MEF, se trabalha com a formula¸cão variacional do problema dada pela equa¸cão (6). Denominando de Vh o subespa¸co de V gerado

pelas N_h fun¸cões ϕi chamadas fun¸cões base de Vh [4]. Assim, toda υh ∈ Vh é da forma:

υ_h =

Nh X

i=1

υ_i(t)ϕ_i(x, y)

Considerando o subespa¸co Vh ⊂ V e a nota¸c˜ao de produto interno indicados anteriormente,

a equa¸cão (6) resulta no seguinte sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias discretizado:

Nh X j=1 duj dt (ϕj|ϕi)0;Ω+ Nh X j=1 u_j(t) " α (∇ϕ_j||∇ϕ_i)_0;Ω+ V cos θ µ ∂ϕj ∂x ¯ ¯ ¯ ¯ ϕi ¶ 0;Ω +V sen θ ³ ∂ϕj ∂y ¯ ¯ ¯ ϕi ´ 0;Ω+ σ (ϕj|ϕi)0;Ω ¸ = (Q₀exp(−κt)|ϕ_i)_0;Ω ∀ ϕ_i ∈ V_h, (7) Em seguida, a discretiza¸cão da variável temporal será obtida pelo método de Crank-Nicolson, com diferen¸cas centradas em¡t_n+∆t

2

¢

[3], fazendo as seguintes aproxima¸c˜oes:

duj dt µ t_n+∆t 2 ¶ ≈ u n+1 j − unj ∆t e (8) uj µ tn+∆t₂ ¶ ≈ u n+1 j + unj 2 (9) onde un+1_j = u_j(t_n+1) e un j = uj(tn).

Da´ı, levando (8) e (9) em (7) se obt´em o sistema linear:

Au(n+1)= Bu(n)+ d(n+1/2),

dado u(0), onde

aij = ¡ 1 + σ∆t₂ ¢(ϕj|ϕi)_0;Ω+ α (∇ϕj||∇ϕi)_0;Ω+ V cos θ ³ ∂ϕj ∂x ¯ ¯ ¯ ϕi ´ 0;Ω+ V sen θ ³ ∂ϕj ∂y ¯ ¯ ¯ ϕi ´ 0;Ω b_ij =¡1 − σ∆t 2 ¢ (ϕ_j|ϕ_i)_0;Ω− α (∇ϕ_j||∇ϕ_i)_0;Ω− V cos θ ³ ∂ϕj ∂x ¯ ¯ ¯ ϕi ´ 0;Ω− V sen θ ³ ∂ϕj ∂y ¯ ¯ ¯ ϕi ´ 0;Ω d(n+ 1 2) i = ∆t (Q0exp(−κt)|ϕi)0;Ω

A matriz A ´e chamada de matriz de rigidez e o vetor resultante das opera¸c˜oes Bu + d(n+1/2)_,

para cada instante t_(n+1/2), é denominado vetor carga. A ordem das aproxima¸cões temporais é, localmente, da ordem de (∆t)2_.

3 Resultados obtidos

Os c´odigos foram desenvolvidos para utiliza¸c˜ao em ambiente MATLABr_{, cuja facilidade}

de interface gráfica, permite a obten¸cão de anima¸cões que descrevem o processo evolutivo de dispersão do nitrogênio sintético para o dom´ınio discretizado, dentro de um determinado per´ıodo de tempo previamente escolhido [6].

(6)

– Coeficiente de difus˜ao (α) foi estimado; – Constante de degrada¸c˜ao (σ) foi estimado;

– Carga de nitrogˆenio inicial (Q0) foi obtida pelo quociente entre a quantidade de fertilizante

aplicada e a ´area plantada, de acordo com [9].

As simula¸cões a seguir, foram consideradas para ventos na esta¸cão seca e úmida, para as duas dire¸cões mais freqüentes na área, isto é, de noroeste e de sudeste.

3.1 Primeiro cen´ario

Neste cenário, foi considerada a esta¸cão seca, com vento de sudeste¡θ = 3π₄ ¢, cujos parâmetros estão apresentados na Tabela 1, a seguir.

Parˆametros do modelo Valores Unidades

α 1, 2 × 10−4 _km2_/h σ 1, 5 × 10−4 h−1 θ 3π₄ radianos V 6,09 km/h κ 0,5 h−1 Q0 1,39 ton/km2

Parˆametros da discretiza¸c˜ao Valores Unidades

∆x 20 km

∆y 20 km

∆t 0,5 horas

Tabela 1: Parˆametros do primeiro cen´ario

Figura 2: Distribui¸cão da concentra¸cão de nitrogênio sintético ao longo do dom´ınio, na esta¸cão úmida com vento de sudeste.

3.2 Segundo cen´ario

Neste cenário, é feita a simula¸cão para a situa¸cão de vento de sudeste na esta¸cão seca, cujos parâmetros adotados foram os mesmos da Tabela 1, exceto V = 8, 6 km/h e α = 2, 2 × 10−4

(7)

(a)Segundo cen´ario (b) Terceiro cen´ario

Figura 3: Distribui¸cão da concentra¸cão de nitrogênio sintético nas esta¸cões seca com vento de sudeste (Fig3(a)) e úmida com vento de noroeste(Fig.3(b))

3.3 Terceiro cen´ario

Para este cenário, a simula¸cão foi feita para a esta¸cão úmida, agora com vento de noroeste ¡

θ = −π₄¢. Nesta nova situa¸c˜ao, os parˆametros utilizados foram os mesmos da Tabela 1, exceto

θ = −π₄ radianos. Os resultados obtidos para esta simula¸c˜ao est˜ao apresentados na figura 3(b).

4 Conclus˜

oes

Para as simula¸cões apresentadas, a velocidade e dire¸cão do vento mostraram ser o fator determinante para o processo de dispersão da concentra¸cão do nitrogênio sintético, como já era esperado. Tanto o modelo quanto o código implementado se mostraram adequados para a simula¸cão dos cenários de dispersão.

No entanto, devido a falta de dados reais, não foi poss´ıvel fazer a valida¸cão do modelo. A contribui¸cão deste trabalho, neste sentido, serve para estimular e orientar a obten¸cão de dados campo, que contribu´ıam para a sua valida¸cão.

Referˆ

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