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2 3x 4 y x3 4 x 4 2 x y 2

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Academic year: 2022

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(1)

QUESTÕES DE VESTIBULARES – POLÍGONOS - GABARITO

1. (UFF) Unindo-se os pontos medidos dos lados de um hexágono regular de perímetro P, obtém-se outro hexágono regular de perímetro p. A razão

p

P é igual a: a) 3 b) 2

1 c) 3

3

2 d) 2

3 e) 1

Solução. Na figura mostrada o hexágono exterior possui aresta x e o interior construído pelos pontos médios do exterior possui aresta y. Cada ângulo interno do hexágono regular mede 120º. O valor da aresta y em função de x pode ser calculado pela lei dos cossenos:

2 3x 4 y x3 4 x 4 2 x y 2

. 1 4 2 x 4 2 x y

º120 2 cos.

. x 2 2 x 2 x 2 y x

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Calculando a razão pedida, temos:

3 32 3 . 3 3 2 3 2 3x 3

x6 p P 3x 2 3 6 3x y6 p

x6 P

 

 

 

 

 

.

2. (UFRRJ) ABCDEFGH é um polígono regular convexo. Sabendo que PE é tangente ao círculo, qual a medida, em graus, do ângulo

?

Solução. O polígono é o octógono regular que determina sobre a circunferência oito arcos congruentes de medida 45º assim como os ângulos centrais correspondentes. O ângulo

é externo à circunferência e determina os arcos AE (4 x 45º = 180º) e CE (2 x 45º = 90º) cujos setores estão pintados.

Com a fórmula correspondente, temos:

º 2 45

º 90 º 180 2

) CE ( arco )

AE (

arco    

.

3. (UFF) As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo. Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode ser obtida por meio da seguinte construção geométrica: No quadrado PQRS representado na figura, considere M o ponto médio do segmento PS. Construa um círculo com centro em M e raio MR, obtendo o ponto T no prolongamento de PS. O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses lados 



QP

PT é a razão áurea. O valor dessa razão é:

a) 51 b) 2

1

5 c) 2

1

5 d) 52 e) 53 Solução. Considerando a o lado do quadrado, PM = MS = a/2. Considerando ainda o raio MR = MT = y e observando que o triângulo MSR é retângulo em S, vem:

2 5 a 4 a a 5

4 y a 2 a

y a

2 2

2 2

2

2       

 

 .

A razão pedida é:

   

2 5 1 a 2

5 1 . a a

5 2 1 a a

5 2 2 a a a 2 y a QP

MT PM QP

PT 

 

 

 

 

(2)

4. (UFF) A figura representa uma circunferência de centro O e diâmetro PQ4 3cm. Se MN é o lado do hexágono regular inscrito na circunferência e MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm, é:

a) 2 3

2 3

b) 2 3

2 3

c) 3

12 3

d) 3

12 3

e)

12 3

2

Solução. O ângulo central MOˆN vale 60º, pois MN é lado do hexágono regular. O diâmetro PQ divide este ângulo central ao meio. Como mostra a figura PM é um dos lados do triângulo POM com

PO e OM sendo raios. Aplicando a lei dos cossenos, temos:

  

      

      2 3 PM 2 23. 3 2 23 3

12 PM

3 12 24 3 12 12 12 PM 2 .3 3 2.

3 22 3 2 3 2 PM

º 150 cos . OM . PM 2 OM PO PM

2 2

2 2

2 2

2 2 2

 

 

 

 

 

5. (UERJ) Na figura, AB e AC, são respectivamente, lados do triângulo eqüilátero e do quadrado inscritos na circunferência de raio R. Com centro em A, traçam-se os arcos de circunferências

BB’ e CC’, que interceptam a reta t em B’ e C’. A medida que está mais próxima do comprimento do segmento B’C’ é:

a) o perímetro do quadrado de lado AC. b) o comprimento da semicircunferência de raio R.

c) o dobro do diâmetro da circunferência de raio R.

d) o semiperímetro do triângulo equilátero de lado AB.

Solução. O arco CC’ determina que AC’ possui a mesma medida de AC. O

mesmo ocorre com AB’ que possui a mesma medida de AB. O segmento B’C’ é a soma das medidas dos segmentos AC’ e AB’. Encontrando em função do raio os lados do quadrado e do triângulo equilátero, temos:

  2 3 R 4,1( )7,1 ,3 R.1

R 'AB ' AC 'C' 3 B R l' AB AB

2 R l' AC AC

3

4        



 

.

O comprimento de uma circunferência de raio R, vale C = 2пR ≈ 2(3,14).R = 6,28R. Logo o comprimento da semicircunferência será a metade, isto é: 3,14R.

6. (UERJ) O decágono da figura foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos eqüiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a:

a) 14T + 3Q b) 14T + 2Q c) 18T + 3Q d) 18T + 2Q

Solução. A figura apresenta as cinco figuras com mesma medida de arestas (regulares) e quatro triângulos com medidas a e b. O ângulo x assinalado nesses triângulos vale a diferença entre 360º e a soma dos demais. Repare que os demais são 120º (interno do hexágono), 90º (interno do quadrado e 60º (interno do triângulo equilátero).

Logo x = 360º - (120º + 90º + 60º) = 360º - 270º = 90º. Esses triângulos são retângulos. Repare que:

i) área dos dois hexágonos = 2[6.(área do triângulo equilátero)] = 12T.

ii) área dos quatro triângulos retângulos = 2.a 2Q 2

. a

4 2

2 

 

.

A área do decágono é: 12T2TQ2Q14T3Q.

(3)

7. (UFF) Na figura, os pontos M, N e P são vértices de um triângulo equilátero e os pontos M, Q, R e S são vértices de um quadrado. O segmento QN corresponde ao lado do:

a) hexágono regular b) octógono regular c) eneágono regular d) decágono regular e) dodecágono regular

Solução. Analisando os ângulos centrais destacados, observamos que QOˆM mede 90º, pois é formado pelas metades das diagonais do quadrado MQRS e elas cortam-se ao meio perpendicularmente. O arco MN mede 120º, pois é limitado por dois vértices do triângulo equilátero inscrito. Logo, o ângulo central NOˆM mede 120º. O ângulo central x mede 120º - 90º = 30º. O segmento QN é lado do polígono regular que

apresenta o ângulo central de 30º. Temos: 12

º 30

º n 360 n

º central 360

ângulo     . O polígono é o dodecágono regular.

Referências

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