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Sum ´ario
1 Regra de Trˆes 5
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4 SUM ´ARIO
Cap´ıtulo 1
Regra de Trˆes
m
Defini ¸c ˜ao 1 (Regra de Trˆes composta). Regra de trˆes composta s˜ao problemas modelados por fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis, da seguinte formaf(x1, x2, . . . , xn) =c Yn
k=1
xskk.
onde cada expoente sk ´e 1 ou −1 e c 6= 0 ´e uma constante real. Definimos cada expoente sk da seguinte maneira.
• Temos que sk =1 se fixadas todas vari´aveis menos a de ordem k o problema for diretamente proporcional;
• e sk = −1 se fixadas todas vari´aveis menos a de ordem k o problema for inversamente proporcional.
A apresenta¸c˜ao comum de Regras de trˆes composta n˜ao ´e feita dessa maneira que abordamos aqui, em geral na literatura matem´atica (ensino m´edio) pesquisada acabam n˜ao usando os conceitos de fun¸c˜ao.
Iremos introduzir aqui tamb´em um conceito que n˜ao encontramos em outros textos ( Sem ter pesquisado muito admito), a ordem de uma Regra de Trˆes. Dire- mos que a ordem da regra de trˆes ´e o n´umero de vari´aveis n.
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6 CAP´ITULO 1. REGRA DE TR ˆES
Assim a regra de trˆes simples ´e uma regra de trˆes composta com n=1.
Escrevemos a seguinte tabela para organizar os dados
Primeira vari´avel segunda vari´avel . . . vari´avel de ordem n fun¸c˜ao
x1 x2 . . . xn f(x1, . . . , xn)
y1 y2 . . . yn f(y1, . . . , yn)
b
Propriedade 1. Vale quef(x1, x2, . . . , xn) f(y1, y2, . . . , yn) =
Yn
k=1
xk yk
sk
.
Essa propriedade ´e ´util quando desejamos obter y =f(y1, y2, . . . , yn) sem pre- cisar ter o valor de c.
ê Demonstra ¸c ˜ao. A demonstra¸c˜ao ´e simples, apenas dividimos as express˜oes de f(x1, x2, . . . , xn) =c
Yn k=1
xskk e f(y1, y2, . . . , yn) =c Yn
k=1
yskk, obtendo
f(x1, x2, . . . , xn) f(y1, y2, . . . , yn) =
c Qn k=1
xskk c
Qn k=1
yskk
= Yn
k=1
xk yk
sk
.
Uma maneira de aplicar o resultado na pr´atica ´e o seguinte, primeiro, construa a tabela
Primeira vari´avel segunda vari´avel . . . vari´avel de ordem n fun¸c˜ao
x1 x2 . . . xn f(x1, . . . , xn)
y1 y2 . . . yn f(y1, . . . , yn)
depois coloque como fator na multiplica¸c˜ao
• a fra¸c˜ao xk
yk se a dependˆencia com a k-´esima vari´avel for diretamente proporci- onal.
• a fra¸c˜ao yk
xk (inversa da ordem anterior) se a dependˆencia com a k-´esima vari´avel for inversamente proporcional.
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Z
Exemplo1. Quinze prisioneiros resolvem planejar uma fuga da pris˜ao, tendo a informa¸c˜ao de que precisam cavar um t´unel de 540 metros. Sabendo que, numa fuga anterior, 10 presos cavaram um t ´unel de 360 metros em 18 noites, trabalhando 8 horas por noite. Para acelerar, pretendem agora trabalhar 9 horas em cada noite. Nessas condi¸c˜oes quantos dias eles devem trabalhar?Presos Metros Horas Noites
15 540 9 n
10 360 8 18
Faremos o problema de duas maneiras, primeiro usando o resultado anterior.
• Se o n ´umero de presos aumenta o n´umero de noites trabalhadas diminui, logo s˜ao inversamente proporcionais e da´ı usaremos o fator 10
15 no lugar da ordem indicada pela tabela 15
10.
• Se o n ´umero de metros aumenta o n´umero de noites trabalhadas tamb´em, logo s˜ao diretamente proporcionais e da´ı usaremos o fator 540
360, isto ´e, usamos a ordem indicada na tabela.
• Se o n ´umero de horas aumenta o n´umero de noites trabalhadas diminui, logo s˜ao inversamente proporcionais e portanto usaremos o fator 8
9 no lugar da ordem indicada na tabela 9
8.
Obtemos ent˜ao (depois de simplifica¸c˜ao de todas contas . . .) 10
15.540 360.8
9 = n
18 ⇒n=16
Aplicando diretamente a defini¸c˜ao podemos obter outra solu¸c˜ao.
Vamos definir as vari´aveis p, n ´umero de prisioneiros. m quantidade de metros que desejam cavar e h o n ´umero de horas. O n´umero de dias ser´a uma fun¸c˜ao
8 CAP´ITULO 1. REGRA DE TR ˆES
dessas trˆes vari´aveis, que deve ser da forma n = f(p, m, h) = cp−1m1h−1 = cm ph, onde c ´e uma constante que vamos determinar, isto pois:
• Se o n ´umero de presos ( p) aumenta o n ´umero de noites, n, diminui por isso o fator p aparece com expoente −1. p e n (s ˜ao inversamente propor- cionais).
• Se o n ´umero de metros( m) aumenta ent˜ao o n´umero de noites, n, aumenta por isso o fator m aparece com expoente 1. m e n (s ˜ao diretamente proporcionais).
• Se o n ´umero de horas ( h) aumenta o n ´umero de noites, n, diminui por isso o fator n aparece com expoente −1.
Precisamos determinar apenas a constante c, que fazemos usando a segunda linha da tabela
f(10,360,8) =c 360
10×8 =18⇒c= 18×80 360 =4. Da´ı f(p, m, h) = 4m
ph e portanto
f(15,540,9) = 4×540 15×9 =16.
