CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LISTA 1

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LISTA 1

FUNÇÕES, LIMITE, CONTINUIDADE, DERIVADAS PARCIAIS, REGRA DA CADEIA, DERIVADAS DIRECIONAIS E MÁXIMOS E MÍNIMOS

1.-

Determine e faça o esboço do domínio da função.

a) ^{f x y}

(

^,

)

^{=ln 9}

(

^−x2−9y2

)

^{b) f x y}

⁽

^,

⁾

^{= xy c)} 2²

1 y x

z x

= −

−

d) f x y

(

,

)

= y+ 25−x²−y² e) ^{f x y}

(

^,

)

^{= x2+y2− +1 ln 4}

(

^−x2−y2

)

2.-

Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

b) ^{f x y}

(

^,

)

^{= −x y2} c) ^{f x y}

(

^,

)

^=x2+9y2 d) ^{f x y}

(

^,

)

^=x2+y2

e) ^{f x y}

(

^,

)

^{= −y ln}

( )

^{x f) f x y}

(

^,

)

^{= 36 9− x2−4y2}

3.-

Uma placa fina de metal, localizada no plano xy, tem temperatura ^{T x y}

(

^,

)

no ponto

(

^{x y,}

)

. As curvas de nível de T são chamadas de isotermas porque todos os pontos em uma isoterma têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotermas se a função temperatura for dada por ^{T x y}

(

^,

)

^{=100 / 1}

(

^+x2+2y2

)

^.

4.-

Se ^{V x y}

(

^,

)

é o potencial elétrico de um ponto

(

^{x y,}

)

^{do plano xy} as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de

^{V x y}

(

^,

)

^{=c/ r2−x2−y2 , onde c} é uma constante positiva.

5.-

Encontre o limite ou mostre que ele não existe.

a)

( ) ( )

2 2

2 2

,lim0,0

2

x y

x sen y

x y

→

+

+ b)

( , ) (0,0) ^{2 2} lim cos

3

x y

xy y

x y

→ + c)

( ) ( )

4

2 8

,lim0,0 x y

xy

x y

→ +

d)

( ) ( )

2 2

2 2

,lim0,0

2

x y

x sen y

x y

→ + e)

( ) ( )

2 2

2 2

,lim0,0 x y 1 1

x y x y

→

+ + + −

6.-

Seja ^{f x y}

(

^,

)

²₂^xy2₄

x y

= + :

a) Considere a reta ^λ

( ) (

^{t = at bt,}

)

^{,a2+b2 >0}. Mostre que, quaisquer que sejam ,a b:

( ( ) )

0

lim 0

t f γ t

→ = .

b) Calcule ^lim_t→0 ^f

(

^δ

( )

^t

)

^,δ

( )

^{t =}

( )

^{t t2, .}

c)

( ) ( )

2

2 4

, 0,0

lim 2

x y

xy

x y

→ + existe?. Por quê?.

7.-

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

a) ^{f x y}

(

^,

)

^=ln

(

^x2+y2−4

)

b) ^{f x y}

(

^,

)

^{=ex y2 + x+y2}

c)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 2, , 0, 0

, 2

1, , 0, 0

x y x y

f x y x y

x y

 ≠

= +

 =



d)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2, , 0, 0

,

0, , 0, 0

xy x y

x xy y f x y

x y

 ≠

 + +

=

 =



.

8.-

Utilize as coordenadas polares ^x=^rcos

( )

θ ^,y=^rsen

( )

θ . Para calcular:

(_{x y,}^lim) (_→0,0)

(

^x2+y2

) (

^{ln x2+y2}

)

9.-

Determine as derivadas parciais das funções dadas.

a) ^{f x y}

(

^,

)

^{=x5+3x y3 2+3xy4 b) z=xe3y c) f x t}

(

^,

)

^{= x+ln}

( )

^t

d)

( )

(

²

)

,

eu

f u v

u v

= + e) ^z=rln

(

^r2+s2

)

^{f) f x y}

⁽

^,

⁾

^{=tew t/}

g) ^z=xysen−1

( )

^yx h) ^{g x y}

(

^,

)

^{=xsen y}

(

^−z

)

10.-

Verifique que a função ^{u=e−α2 2k tsen}

( )

^{k x} é solução da equação de condução do calor u_t =α²u_xx.

11.-

A temperatura em um ponto

(

^{x y,}

)

de uma chapa de metal é dada por ^{T x y}

(

^,

)

^{=60 / 1}

(

^{+x2 +y2}

)

^{, onde T} é medido em ⁰C , x e y em metros.

Determine a taxa de variação da temperatura no ponto

(

^{1, 2}

)

com relação a x e com relação a y.

12.-

Determine

3 2 2

u r θ

∂

∂ ∂ , onde ^u=erθsen

( )

^{θ .}

13.-

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade de x (medida em pés) pode ser modelada pela função: T x t

(

,

)

=T0+T e1 ^−λxsen

(

ωt−λx

)

, onde ω=2 / 365π e λ é uma constante positiva.

a) Determine ∂T/∂x. Qual seu significado físico?.

b) Determine ∂T /∂t. Qual seu significado físico?.

c) Mostre que T satisfaz a equação do calor T_t =kT_xx para uma certa constante k.

14.-

Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

a) ^{f x y}

(

^,

)

⁼³

(

^x−1

)

²⁺²

(

^y+3

)

^2+7,

(

^{2, 2,12−}

)

b) ^{f x y}

(

^,

)

^{= yln}

( ) (

^{x , 1, 4, 0}

)

c) ^{f x y}

(

^,

)

^{= ycos}

(

^x−y

) (

^{, 2, 2, 2}

)

d) ^{f x y}

(

^,

)

^=ex2−y2,

(

^{1, 1,1−}

)

^.

15.-

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização ^{L x y}

(

^,

)

da função naquele ponto.

a) ^{f x y}

(

^,

)

^{=x y,}

(

^{1, 4}

)

b) ^{f x y}

(

^,

)

^{x ,}

(

^2,1

)

x y

= +

c) ^{f x y}

(

^,

)

^=e−xycos

( ) (

^{y , π, 0}

)

^{g) f x y}

(

^,

)

^=sen

(

^2x+3y

) (

^{, −3, 2}

) 16.-

Verifique a aproximação linear em (0,0).

a) 2 3

3 2 12

4 1

x x y

y

+ ≈ + −

+ b) ² 1

cos 1

y+ x ≈ +2y

17.-

Determine a aproximação linear da função ^{f x y}

(

^,

)

^{= 20−x2−7y2 em}

(

^2,1

)

^e

use-a para aproximar ^f

(

^1.95,1.08

)

18.-

Determine a aproximação linear da função ^{f x y}

(

^,

)

^=ln

(

^x−3y

)

^em

(

^{7, 2}

)

^{e use-a}

para aproximar ^f

(

^{6.9, 2.06}

) 19.-

Determine a diferencial da função.

a) ^z=x3ln

( )

^{y2 b) z=ycos}

^{( )}

^xy c) 1 T v

= uvw

+

20.-

Seja

(

^{x2 y2}

)

z=xe ⁻ .

a) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se passa de x=1e y=1 para x=1, 01e y=1, 002.

b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x=1, 01e y=1, 002.

21.-

Seja z= x+³ y

a) Calcule a diferencial de z no ponto

( )

1,8 .

b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x=1, 01e y=7, 9. c) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se passa de x=1e y=8 para x=0, 9e y=8, 01.

22.-

A pressão, volume e temperatura de um mol de um gás ideal são relacionados pela equação PV =8.31T , onde P é medido em kilopascal, V em litros e T em kelvin. Use diferenciais para encontrar, aproximadamente, a mudança de pressão, quando o volume aumenta de 12La 12.3Le a temperatura diminui de 310Ka 305K.

23.-

Calcule dz

dt ou dw dt :

a) ^z=sen

( )

^{x cos}

( )

^{y ,x=πt y, = t b) z= x2+y2,x=e2t,y=e−2t.}

c) w=xe^{y z/} ,x=t², y= −1 t z, = +1 2t.

24.-

Seja ^{g t}

( )

^{= f}

(

^{3 , 2t t2−1}

)

^.

a) Expresse ^{g t′}

( )

em termos das derivadas parciais de f . b) Calcule ^g′

( )

⁰ admitindo

(

^{0, 1}

)

¹

3 f

x

∂ − =

∂ .

25.-

Expresse dz

dt em termos das derivadas parciais de f , sendo ^{z= f x y}

(

^,

)

^e:

a) x=t e y² =3t b) x=sen

( )

3t e y=cos 2

( )

t .

26.-

Se ^{z= f x y}

(

^,

)

^{, onde f} é diferenciável, e

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 7 3 5 3 4

2, 7 6 2, 7 8

x y

x g t y h t

g h

g h

f f

= =

= =

′ = ′ = −

= = −

Determine dz dt/ quando t=3.

27.-

Seja ^{f u}

(

^{+2 ,v u2−v}

)

. Expresse z z u e v

∂ ∂

∂ ∂ em termos das derivadas parciais de f .

28.-

Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da cadeia para o caso dado.

Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.

a) ^{R= f x y z t}

(

^{, , , ,}

)

^{x=x u v w}

(

^{, ,}

)

^{,y=y u v w z}

(

^{, ,}

)

^{, =z u v w t}

(

^{, ,}

)

^{, =t u v w}

(

^{, ,}

)

b) w= f r s t

(

, , ,

)

r=r x y

(

,

)

,s=s x y t

(

,

)

, =t x y

(

,

)

29.-

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

a)

2 2

, cos , sen ;

, , , 1, 2, 0

u r s r y x t s x y t

u u u

quando x y t x y t

 = + = + = +

∂ ∂ ∂

= = =

∂ ∂ ∂



b)

2, 2 , ,

, , 3, 1

M xey z x uv y u v z u v

M M

quando u v

u v

 = − = = − = +

∂ ∂

= = −

 ∂ ∂



30.-

Utilize a derivação implícita para determinar dy dx/

a) xy = +1 x y² b) ^cos

(

^x−y

)

^{=xey c) sen x+cosy=sen cosx y}

31.-

Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ.

a) ^{f x y}

(

^,

)

^{= ye−x, 0, 4 ,}

( )

^{θ =2 / 3π b) f x y}

(

^,

)

^=xsen

( ) (

^{xy , 2, 0 ,}

)

^{θ =π/ 3}

32.-

Determine o gradiente de f . Calcule o gradiente no ponto

(

x y0, 0

)

ou x y z

(

0, 0, 0

)

. Determine a taxa de variação de f em

(

x y0, 0

)

na direção do vetor u.

a) f x y

(

,

)

= yln

( )

x ,

(

x y₀, ₀

)

=

(

1, 3 ,−

)

u= −4 / 5, 3 / 5 b) f x y

(

,

)

=xe^2yz,

(

x y z0, 0, 0

) (

= 3, 0, 2 ,

)

u= 2 / 3, 2 / 3,1 / 3− c) f x y

(

,

)

= x+yz,

(

x y z0, 0, 0

) (

= 1, 3,1 ,

)

u= 2 / 7, 3 / 7, 6 / 7

33.-

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do v. a) g r s

(

,

)

=tg^-1

( )

rs ,

(

x y0, 0

) (

= 1, 2 ,

)

v=5i+10j

b) ^f

(

^{x, y}

)

^=ln

(

^x2+y2

)

^,

⁽

^{x y0, 0}

^{) (}

^{= 2,1 ,}

⁾

^{v= −}

⁽

^{1, 2}

⁾

c) g x y z

(

, ,

) (

= x+2y+3z

)

^3/2,

(

x y z0, 0, 0

)

=

(

1,1, 2 ,

)

v=2j−k

34.-

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

a) ^{f p q}

(

^,

)

^{=qe−p+ pe−q, 0, 0}

( )

b) ^{f x y}

(

^,

)

^{= x2+y2+z2, 3, 6, 2}

(

⁻

)

^.

c) ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

^=ln

(

^{xy z2 3}

)

^{, 1, 2, 3}

⁽

^{− −}

⁾

^.

35.-

A temperatura em um ponto

(

^{x y z, ,}

)

é dada por ^{T x y z}

(

^{, ,}

)

^{=200e−x2−3y2−9z2, onde}

T é medido em ⁰Ce , ,x y z em metros.

a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto ^P

(

^{2, 1, 2−}

)

em direção ao ponto

(

^{3, 3,3−}

)

^.

b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P? c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P.

36.-

Nas proximidades de uma boia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas

(

^{x y,}

)

^{é z=200 0.02+ x2−0.001y3, onde x, y e z} são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto (80,60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0,0). A agua sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.

37.-

Mostre que todo plano que é tangente ao cone x²+y²=z² passa pela origem.

38.-

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções:

a) ^{f x y}

(

^,

)

^{=e4 -y x2-y2.}

b) ^{f x y}

(

^,

)

^=xy

(

^{1− −x y}

)

^.

c) ^{f x y}

(

^,

)

⁼

(

^x2+y2

)

^ey2−x2.

39.-

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. a) ^{f x y}

(

^,

)

^{= +3 xy− −x 2y}, é a região triangular fechada com vértices (1,0), (5,0) e (1,4).

b) ^{f x y}

(

^,

)

^{=x4+y4−4xy+2, D=}

{ (

^{x y,}

)

^{/ 0≤x≤3, 0≤ y≤2}

}

^.

40.-

Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x+2y+3z=6.

41.-

A base de um aquário com volume V é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

42.-

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

. a) ^{f x y}

(

^,

)

^{=4x+6 ;y x2+y2 =13.}

b) ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

^{=8x−4 ;z x2+10y2+z2 =5.}

c) ^{f x y z}

(

^{, ,}

)

^{=x y z2 2 2; x2+y2+z2 =1.}