MARTINGAIS. 1. Preliminares No que se segue, sejam (Ω, F, µ) um espaço de medida e f uma função não negativa e F-mensurável.

(1)

FABIO NISKI

1. Preliminares

No que se segue, sejam (Ω,F, µ) um espa¸co de medida e f uma fun¸cão não negativa eF-mensurável.

1

π =₉₈₀₁^√⁸ P_∞

n=0 (4n)!

(n!)⁴1103+26390n 396⁴ⁿ

Lema 1. Nas condi¸c˜oes acima, sejaν: F →R⁺ dada porν(A) =R

Af dµ. Temos queν ´e uma medida em (Ω,F).

Demonstra¸cão. Em primeiro lugar, ν(A) ∈ [0,∞] para A ∈ F. Isso segue por constru¸cão de ν e f. Além disso, ν(∅) = R

∅f dµ = R

Ω(f I[∅])(ω)µ(dω) = 0, pois f I_[∅] ´e nula q.s. Finalmente, sejam {Ak} uma sequˆencia disjunta de conjuntos em F tal que S_∞

k=1Ak ∈ F, gn =. f I[Sn

k=1A_k] = P_n

k=1f I[A_k] e g =. f I[S∞

k=1A_k]. Temos que 0≤ gn ↑ g (sempre ou q.s?) e portanto, pelo Teorema da convergˆencia mon´otona, limR

Ωgndµ=R

Ωg dµ, ou seja, limR

Ωf I[Sn

k=1Ak]dµ= limR

Ω

P_n

k=1f I_[A_k_] = P_∞

k=1

R

Ωf I_[A_k_]dµ= P_∞

k=1ν(Ak) = R

Ωlimf I_[^Sⁿ

k=1Ak]dµ= R

Ωf I[S_∞

k=1Ak]dµ=ν(S_∞

k=1Ak). ¤

Defini¸c˜ao 1. Dizemos que a medida ν:F →R⁺ definida por ν(A) =

Z

A

f dµ, A∈ F temdensidadef com respeito `a medidaµ.

Defini¸c˜ao 2. Sejam µ e ν medidas em (Ω,F). Dizemos que ν ´e absolutamente cont´ınuacom respeito aµquando para cadaA∈ F,µ(A) = 0implicar queν(A) = 0.

Observe que se ν tem densidade f com respeito aµ ent˜ao ν ´e absolutamente cont´ınua com respeito aµ. De fato,ν(A) =R

Af dµ=R

Ωf I_[A]dµ= 0 seµ(A) = 0, poisf I_[A]≡0 q.s.

O teorema de Radon-Nikodym ´e quase uma rec´ıproca para essa observa¸c˜ao.

Antes,

Defini¸c˜ao 3. Seja µuma medida em (Ω,F). Dizemos que:

• µ´efinitaquando µ(Ω)<∞.

• µéσ-finitaquando existir uma sequência{Ak},Ak∈ F finita ou enumerável tal queΩ =S

Ak eµ(Ak)<∞.

Teorema 1. (Radon-Nikodym) Se µeν são medidasσ-finitas eν é absolutamente cont´ınua com respeito aµentão existef não negativa,F-mensurável tal queν(A) = R

Af dµ para qualquer A∈ F. Isto ´e,ν tem densidadef com respeito aµ.

Para a demonstra¸c˜ao, veja Billinsgley, Teorema 32.2.

1

(2)

2. Esperanc¸a Condicional

Defini¸cão 4. Seja X uma variável aleatória definida no espa¸co de probabilidade (Ω,F,P), P-integrável e G é uma sub-σ-álgebra em F. Dizemos que a variável aleatória E[XkG]é uma esperan¸ca condicional de X dado G, quando satisfazer as seguintes propriedades:

(i) E[XkG]éG-mensurável e integrável.

(ii) E[XkG]satisfaz a seguinte equa¸c˜ao funcional:

Z

G

E[XkG]dP = Z

G

X dP, G∈ G.

Lema 2. Existe uma variável aleatória E[XkG] com as propriedades da defini¸cão anterior.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, considereX n˜ao negativa. Defina uma medidaν em (Ω,G) por ν(G) = R

GX dP. Como X é integrável, ν é finita e é absolutamente cont´ınua com respeito a P. Pelo teorema de Radon-Nikodym, existe uma fun¸cãof, G-mensurável tal queν(G) =R

Gf dP. Assim, da integrabilidade deX segue a de f e portanto essaf satisfaz as propriedades (i) e (ii). SeX não for necessáriamente não negativa, considere a decomposi¸cão X = X⁺−X⁻ e obtenha f⁺ e f⁻. A proposicão está provada pois f⁺−f⁻ satisfaz as condi¸cões da defini¸cão anterior.

Perceba que aqui nada se afirmou sobre a unicidade da esperan¸ca condicional. De fato, existem várias esperan¸cas condicionais, basta alterar a fun¸cão em conjuntos de medida P-nula. As propriedades continuam sendo satisfeitas e chamamos cada uma das esperan¸cas condicionais deversãoda esperan¸ca condicional. ¤ Observe que seG={∅,Ω}então a esperan¸ca condicional, por serG-mensurável, só pode ser constante. Disso, vem queR

ΩE[XkG]dP = E[XkG] P(Ω) = E[XkG] = R

ΩX dP ou seja, E[XkG] = E[X], com probabilidade 1. Observe tamb´em que para G=F,X satisfaz todas a propriedades donde E[XkF] =X com probabilidade 1.

O próximo teorema lista algumas propriedades da esperan¸ca condicional. Todas as igualdades e desigualdades valem com probabilidade 1. A prova destes resultados está em Billingsley página 447. Daqui em diante, assume-se tacitamente queX é uma variável aleatória definida no espa¸co (Ω,F,P) eGé uma sub-σ-álgebra deF.

Teorema 2. SejamX, Y eXn variáveis aleatórias integráveis (i) Se X =a com probabilidade 1, entãoE[XkG] =a.

(ii) Se aeb s˜ao constantes, vale que E[aX+bYkG] =aE[XkG] +bE[YkG].

(iii) Se X ≤Y com probabilidade 1, ent˜aoE[XkG]≤E[YkG].

(iv) |E[XkG]| ≤E[|X|kG].

(v) Se limnXn = X com probabilidade 1, |Xn| ≤ Y e se Y for integr´avel, ent˜aolimnE[XnkG] = E[XkG]com probabilidade 1.

Teorema 3. Suponha queX éG-mensurável e queY eXY são integráveis então, com probabilidade 1 vale que

E[XYkG] =XE[YkG].

Demonstra¸cão. Inicialmente, sejamG0∈ G eX=I_[G₀_]. Temos queI_[G₀_]E[YkG] é G-mensurável e integrável (poisI_[G₀_]E[YkG]≤E[YkG]). Além disso, como vale que R

G∩G0E[YkG]dP = R

G∩G0Y dP, vem que R

GI_[G₀_]E[YkG]dP = R

GI_[G₀_]Y dP =

(3)

R

GE[I_[G₀_]YkG]dP. Resulta portanto que XE[YkG] ´e uma vers˜ao de E[XYkG]

quandoX=I_[G₀_]. Agora para X = P_n

k=1xkI_[G_k_], com G1, . . . , Gn ∈ G e x1, . . . , xn constantes reais, temos pelo o que acabamos de mostrar e pelo item (ii) do Teorema2que:

Z

G

E[XYkG]dP = Z

G

E[x1I[A₁]Y +· · ·+xnI[A_n]YkG]dP

= Z

G

x1E[I[A1]YkG]dP +· · ·+xn

Z

G

E[I[An]YkG]dP

= Z

G

x1I[A1]E[YkG]dP +· · ·+ Z

G

xnI[An]E[YkG]dP

= Z

G

XE[YkG]dP

= Z

G

XY dP.

ComoXE[YkG] éG-mensurável e integrável, segue queXE[YkG] é uma versão de E[XYkG] paraX simples.

Finalmente, sejaXarbitrária eG-mensurável. Sabemos que existe uma sequência {Xn}de fun¸cões simples,G-mensuráveis tais que|Xn|<|X|e limnXn=X. Como

|XnY| ≤ |XY| e |XY| é integrável por hipótese, pelo item (v) do Teorema 2, temos que limnE[XnYkG] = E[XYkG] com probabilidade 1. Resulta portanto que XE[YkG] = limnXnE[YkG] = limnE[XnYkG] = E[XYkG]. ComoXE[YkG] éG- mensurável (pois é limite de fun¸cõesG-mensurável) e é integrável (pois, pelos itens (iii) e (iv) do Teorema2,|XnE[YkG]|=|E[XnYkG]≤E[|XnY|kG]≤E[|XY|kG], que é integrável), resulta queXE[YkG] é uma versão de E[XYkG], como quer´ıamos.

¤ Teorema 4. SejamX uma variável aleatória integrável eG1⊂ G2, sub-σ-álgebras deF. Então com probabilidade 1 vale que

E[E[XkG2]kG1] = E[XkG1] = E[E[XkG2]kG1].

Demonstra¸cão. Para a primeira igualdade, temos que E[XkG2] é integrável portanto, pela defini¸cão de esperan¸ca condicional, E[E[XkG2]kG1] éG1-mensurável e in- tegrável, assim falta verificar o item (ii) da defini¸cão4isto é,R

GE[E[XkG2]kG1]dP = R

GX dP paraG∈ G1. De fato, seG∈ G1ent˜aoG∈ G2dondeR

GE[E[XkG2]kG1]dP = R

GE[XkG2]dP = R

GX dP. Para a segunda, observe que E[XkG1] por ser G1- mensurável é também G2-mensurável, assim da observa¸cão depois da prova da

Proposi¸c˜ao2 segue o que quer´ıamos. ¤

Teorema 5. Seja X uma variável aleatória integrável e G uma sub-σ-álgebra de F. SeX for independente de G então, com probabilidade1, vale que

E[XkG] = E[X].

Demonstra¸cão. Lembramos o leitor que dizer queXé independente deGé dizer que a σ-álgebra gerada porX é independente deG. Note que como E[X] é constante,

(4)

segue que E[X]∈ G. Agora seja Λ∈ G arbitr´ario. Temos que Z

Λ

E[X]dP = E[X] P(Λ)

= E[X] E[I[Λ]]

= E[X·I[Λ]]

= Z

Ω

X·I_[Λ]]dP

= Z

Λ

X dP.

Donde resulta o que quer´ıamos. ¤

Vamos formalizar o conceito subjetivo de informa¸cão amarrando-o com o conceito de sub-σ-álgebra. Com isso, torna-se mais fácil a interpreta¸cão de resultados probabil´ısticos envolvendo esperan¸ca condicional.

Considere um experimento que consiste no lan¸camento de 3 moedas nos instantes de tempot1, t2 et3. Seja Ω o espa¸co de todos os resultados poss´ıveis deste experimento, isto é Ω = {HHH, HHT, HT H, HT T, T HH, T HT, T T H, T T T}. A figura1ilustra as possibilidades deste experimento. Em t0 a única informa¸cão que temos sobre o resultado do experimento (ω) é a trivial, isto é, ω é tal queω ∈Ω.

Em t1 temos mais informa¸c˜oes sobre o poss´ıvelω que ir´a ocorrer, de fato, agora sabemos queω∈ {HHH, HHT, HT H, HT T}ouω∈ {T HH, T HT, T T H, T T T}.

Figura 1. Arvore de estados poss´ıveis.´

SejaF1a σ-´algebra gerada pela famil´ıa

{{HHH, HHT, HT H, HT T},{T HH, T HT, T T H, T T T}}.

Dizer que um observador possui a informa¸c˜aoF1´e dizer que para qualquerF ∈ F1

ele sabe seω∈F ou seω /∈F. No caso do lan¸camento das moedas, é dizer que o ob- servador conhe¸ce o resultado do primeiro lan¸camento. Após o segundo lan¸camento, obtemos mais informa¸cões. Sabemos agora queω pertencerá a exatamente um dos

(5)

conjuntos da fam´ılia

{{HHH, HHT},{HT H, HT T},{T HH, T HT},{T T H, T T T}},

sendo F2 a σ-álgebra gerada por esta fam´ılia, dizer que o observador possui a informa¸cão F2 é , equivalemente ao que escrevemos antes, conhecer o valor da variável aleatóriaI[F] para cadaF ∈ F2. O fato intuitivo de que a cada lan¸camento o observador possui mais informa¸cões sobre o resultado do experimento, é expresso pela inclusãoF0⊂ F1⊂ F2⊂ F3 ondeF0é aσ-álgebra trivial eF3 é, neste caso, aσ-álgebra gerada pela fam´ılia

{{HHH},{HHT},{HT H},{HT T},{T HH},{T HT},{T T H},{T T T}}.

Observe que no sentido que demos acima, ter a informa¸cãoF0é não saber nada e ter a informa¸cãoF3 é saber o resultado do experimento.

3. Martingais 3.1. Defini¸c˜ao e exemplos.

Defini¸cão 5. SejamX1, X2, . . .uma sequência de variáveis aleatórias definidas no espa¸co de probabilidade (Ω,F,P) e F1,F2, . . . uma seqûencia de σ-álgebras de F.

Dizemos que a sequência{(Xn,Fn) :n= 1,2, . . .}é ummartingal(discreto) quando as quatro condi¸cões a seguir forem satisfeitas:

(i) {Fn}é uma filtra¸cão, isto é,Fn⊂ Fn+1.

(ii) {Xn} éadatpada à filtra¸cão, isto é,Xn éFn-mensurável.

(iii) E[|Xn|]<∞.

(iv) E[Xn+1kFn] =Xn, com probabilidade 1.

E usual dizer apenas que a sequência´ {Xn} é um martingal quando a filtra¸cão estiver impl´ıcita no contexto. Se ao invés de (iv) valer, com probabilidade 1, que

E[Xn+1kFn]≥Xn,

então a sequência {Xn}é chamada desubmartingal. Se valer que E[Xn+1kFn]≤Xn,

dizemos que sequˆencia ´e umsupermartingal.

Apartir deste ponto, quando não for explicitada nenhuma filtra¸cão, subentende- se que se trada da filtra¸cão natural gerada pela sequência de variáveis aleatórias, isto éFn=σ(X1, . . . , Xn).

Pela defini¸c˜ao de esperan¸ca condicional, temos paraA∈ FnqueR

AE[Xn+1kFn]dP = R

AXn+1dP. Agora, a condi¸cão (iv) da defini¸cão anterior diz queXn é uma versão de E[Xn+1kFn] e comoXn éFn-mensurável, a condi¸cão pode ser reescrita como (1)

Z

A

Xn+1dP = Z

A

XndP, A∈ Fn.

Como{Fn}é filtra¸cão, podemos, por indu¸cão, repetir o argumento acima e concluir que para A ∈ Fn vale que R

AXndP = R

AXn+1dP = . . . = R

AXn+kdP. Isso mostra queXn ´e uma vers˜ao de E[Xn+kkFn] parak≥1. Vamos agora apresentar alguns exemplos de martingais.

(6)

Exemplo 1. Seja{Xn}uma sequência de variáveis aleatórias independentes, iden- ticamente distribuidas e com média 0 (Este processo é conhecido como Passeio aleatório centrado) e defina Sn = P_n

k=1Xn, n ≥ 0 (Y0 = X0 = 0). Com rela¸c˜ao

à filtra¸cãoFn =σ(X0, . . . , Xn) =σ(S0, . . . , Sn), {Xn}e{Sn} são martingais. De fato

E[Sn+1kFn] = E[Sn+Xn+1kFn]

=Sn+ E[Xn+1kFn]

=Sn+ 0.

Note que usamos o fato queXn+1 é independente de Fn (a demonstra¸cão disso é uma aplica¸cão do Teorema 20.2 do Billinsgley) e o Teorema5.

Exemplo 2. Seja {Fn} uma filtra¸cão no espa¸co de probabilidade (Ω,F,P) e seja X uma variável aleatória integrável. Para cada n defina Xn = E[XkFn]. Pela defini¸cão de esperan¸ca condicional,Xn é integrável eFn-mensurável. Temos então que{Xn}é adaptada à filtra¸cão{Fn} e

E[Xn+1kFn] = E[E[XkFn+1]kFn] pela constru¸c˜ao deXn+1

= E[XkFn] pelo Teorema4

=Xn pela constru¸c˜ao deXn.

Exemplo 3. Sejam {Fn} uma filtra¸cão no espa¸co de probabilidade (Ω,F,P) e ν uma medida finita emF. Suponha que P seja absolutamente cont´ınua com respeito aν quando ambas medidas estão restritas aFn. Pelo teorema de Radon-Nikodym, existe uma densidadeXn deνcom respeito a P quando ambas estão restritas aFn. EntãoXn é uma fun¸cãoFn-mensurável e satisfaz

Z

A

XndP =ν(A), A∈ Fn.

Pelo fato deXn ser positiva (pois ´e densidade) e porν ser finita segue que Z

Ω

XndP =ν(Ω)<∞,

ou seja, Xn ´e P-integr´avel. Pelo mesmo argumento considere agora a densidade Xn+1. Como A∈ Fn implica queA∈ Fn+1 temos queR

AXn+1dP =ν(A), por- tanto vale queR

AXndP =R

AXn+1dP e por (1) resulta que{Xn}´e um martingal.

Exemplo 4. E muito ´´ util enxergar os martingais em termos de jogos (de apostas com dinheiro). Para isso, denote por ∆Xn =Xn−Xn−1 a variável aleatória que representa o ganho de um jogador no n-ésimo jogo (vamos assumir queX0 = 0) que é realizado nos instantes n= 1,2, . . .. Um bom jogador mantém um registro do seu capital dispon´ıvel jogo a jogo para que possa tomar as decisões da melhor forma poss´ıvel. Modelamos esse fato dizendo que o jogador no instante k possui a informa¸cão gerada pela filtra¸cão natural Fk = σ{Xi : i ≤ k} = σ{∆Xi : i ≤ k}. Assim, em um jogo honesto, imediatamente antes da n-ésima partida o jo- gador espera que seu ganho incremental seja 0 em média. Expressamos isso como E[∆XnkFn−1] = 0 mostrando como jogos honestos e martingais estão relacionados.

De forma análoga, os jogos favoráveis ao jogador são modelados como submartingais pois temos que E[∆XnkFn−1]≥0. Os jogos desfavoráveis ao jogador, t´ıpicos de cassino, são supermartingais e evidentemente E[∆XnkFn−1p.]≤0.

(7)

O exemplo anterior mostrou como podemos interpretar martingais em termos de jogos de apostas. Uma pergunta que possa ser natural para jogadores e é certamente interessante para matemáticos é: Será que podemos transformar um jogo honesto em um jogo favorável?. Para responder essa pergunta, precisamos antes de uma Defini¸cão 6. Dada uma filtra¸cão {Fn}, dizemos que uma sequência de var´ıaveis aleatórias{Cn}é umprocesso previs´ıvelquando, paran≥2,CnforFn−1-mensurável.

Voltando à pergunta, vamos interpretar um processo previs´ıvel como uma es- tratégia de jogo. Cnrepresenta a quantidade que será apostada nan-ésima partida.

E natural supor que´ Cn ≥ 0 e que exista um limite para as apostas, isto é, para algumK∈[0,∞) vale queCn(ω)≤Kpara todoneω. O fato de ser um processo previs´ıvel diz intuitivamente que a escolha deCnsó pode depender das informa¸cões que o jogador tem até a jogadan−1. Nessas condi¸cões Ck(ω)∆Xk(ω) representa quanto o jogador ganhou na k-ésima jogada e P_k

j=1Cj(ω)(∆Xk(ω)) representa quanto o jogador ganhou até ak-ésima jogada. O próximo teorema mostra que a resposta para a nossa pergunta é negativa.

Teorema 6. Seja (Ω,F,P) um espa¸co de probabilidade e {Fn} uma filtra¸cão. Se {Xn}é um (sub/super)martingal e{Cn}um processo previs´ıvel, positvo e limitado, então a sequência {In} definida por

(2) I_n(ω) = Xn

j=1

C_j(ω)(∆X_j(ω)) = Xn

j=1

C_j(ω)(X_j(ω)−X_j−1(ω))

´e um (sub/super)martingal tamb´em.

Demonstra¸cão. Perceba queIn satisfaz os itens (i),(ii) e (iii) da defini¸cão5. Vamos mostrar que (iv) também vale. De fato,

E[InkFn−1] = E[In−1+Cn∆XnkFn−1] pela constru¸c˜ao deIn

= E[In−1kFn−1] + E[Cn∆XnkFn−1] pela linearidade da esperan¸ca condicional

=In−1+CnE[∆XnkFn−1] poisIn−1∈ Fn−1 e pelo teorema3

=I_n−1+C_n·0 por hip´otese.

E[InkFn−1] =In−1e o teorema est´a provado. As afirma¸c˜oes referentes aos (sub/super)martingais

s˜ao provadas da mesma forma. ¤

O processo (2) é um exemplo detransformada martingalde{Xn}por{Cn} e é a versão discreta daintegral estocásticaR

C dX que estudaremos depois.

Como observa¸cão final, note que {Xn}é submartingal se e somente se {−Xn} for um supermartingal. Por esta equivalência, para todos os resultados sobre submartingais existem os duais para supermartigais e vice versa. Além disso, {Xn}é um martingal se e somente for um submartingal e um supermartingal. Disso, todos os resultados que valem para submartingais ou para supermartingais, também valem para martingais.

3.2. Convergˆencia de martingais. Vamos come¸car esta se¸c˜ao com um lema:

Lema 3. Seja (Ω,F,P) um espa¸co de probabilidade e{Fn}uma filtra¸c˜ao. Se (i) {X_n} for um martingal ent˜aoE[X₁] = E[X₂] =. . .

(ii) {Xn} for um submartingal ent˜aoE[X1]≤E[X2]≤. . . (iii) {Xn} for um supermartingal ent˜aoE[X1]≥E[X2]≥. . .

(8)

Demonstra¸cão. Vamos provar (i). Pela discussão logo após a defini¸cão5vimos que paraA∈ F1 ek≥1 vale Z

A

X1dP = Z

A

XkdP

TomandoA= Ω, segue o resultado. A demonstra¸cão dos outros itens é análoga. ¤ Considere a < b dois números reais. Vamos denotar por UN(a, b) a variável aleatória que indica a quantidade deupcrossings (ou atravessamentos pra cima???) feitas pela sequência {Xn} até o instante N. Ela é definida como o maior k ∈ {0,1,2, . . .} tal que podemos encontrar

0≤s1< t1< s2< t2< . . . < sk< tk ≤N onde

Xsi(ω)≤a, Xti(ω)≥b (1≤i≥k).

Nosso objetivo agora ser´a provar o seguinte resultado obtido por J. L. Doob Teorema 7. Seja{Xn}um supermartingal. Ent˜ao,UN(a, b), como definido acima, satisfaz a seguinte desigualdade

E[U_N(a, b)]≤E[(XN−a)⁻] b−a .

Para demonstrar este teorema, vamos lan¸car mão da rela¸cão entre jogos e martingais. Considere então dois jogadoresP eQ. O jogadorP irá jogarN partidas e seu dinheiro na n-ésima jogada será representado pela variável aleatóriaXn. O jogadorQadotará a seguinte estratégia: Antes do primeiro jogo come¸car, ele fixa dois numeros a e b (a < b) e vai iniciar uma série de apostas na rodada que o dinheiro deP ficar menor ou igual aae terminará na rodada que o dinheiro deP ficar maior ou igual ab. Esta estratégia pode ser representada como uma sequência de variavéis aleatórias{Cn}definidas da seguinte maneira:

C1=I_[X₀_≤a]

e paran≥2,

Cn=I_[C_n−1_=1]I_[X_n−1_≤b]+I_[C_n−1_=0]I_[X_n−1_≤a].

Por essa constru¸cão, resulta que {Cn} é um processo previs´ıvel em rela¸cão à σ-

álgebra naturalFk = σ(X1, . . . , Xk) (ou seja é Fn−1-mensurável pois existe uma fun¸cão mensurávelf tal que para todoω ∈Ω, Cn(ω) =f(X1(ω)), . . . , Xn−1(ω)).

Assim, seja Yn o dinheiro do jogador Q at´e o instante n. Temos que Y0 = 0 e Yn =P_n

j=1Cj(Xj−Xj−1). Observe a cada upcrossings, o valor de o dinheiro do jogadorQaumenta em pelo menosb−aunidades. Assim, sendo (XN(ω)−a)⁻ a pior perda poss´ıvel no ultimo intervalo de jogadas, resulta que

(3) YN(ω)≥(b−a)UN(a, b)(ω)−(XN(ω)−a)⁻. Com isso, estamos prontos para provar o teorema.

Demonstra¸cão. (do Teorema7.) Temos que o processo{Cn}é previs´ıvel, limitado e não-negativo. Pelo Teorema6resulta que{Yn}é um supermartingal. Agora, como Y0 = 0, temos pelo item (iii) do Lema3 que E[YN]≤0. Finalmente, tomando o valor esperado dos dois lados da desigualdade (3) temos

E[YN]≥E[(b−a)UN(a, b)−(XN −a)⁻]

(9)

e usando que E[YN]≤0, resulta

E[UN(a, b)]≤E[(XN−a)⁻] b−a .

Como quer´ıamos. ¤

Se{Xn}for um supermartingal representando o dinheiro de um jogador em uma série de jogos, vimos que é razoável esperar que este dinheiro diminua conforme as partidas são realizadas. Em termos de upcrossings esse fato é justificado pelo seguinte

Corolário 1. Sejam {Xn} um supermartingal tal que sup_nE[|Xn|]<∞ e a < b números reais arbitrarios, então, definindo U∞(a, b) = lim. NUN(a, b), temos que P[U∞(a, b) =∞] = 0.

Demonstra¸c˜ao. Como (Xn−a)⁻ ≤ |Xn|+|a|, pelo Teorema7temos que E[UN(a, b)]≤|a|+ E[|XN|]

b−a

≤|a|+ sup_nE[|XN|]

b−a .

Pelo teorema da convergˆencia mon´otona, limNE[UN(a, b)] = E[U∞(a, b)], donde E[U∞(a, b)]≤|a|+ sup_nE[|XN|]

b−a <∞.

Agora suponha por absurdo que P[A]>0 ondeA .

={ω ∈Ω :U∞(a, b)(ω) =∞}.

Isso implica que

E[U∞(a, b)] = Z

A

U∞(a, b)dP + Z

Ω\A

X dP

=∞ ·P[A] + Z

Ω\A

X dP

=∞.

Esta contradi¸c˜ao completa a demonstra¸c˜ao. ¤

Agora estamos com condi¸c˜oes para provar um dos principais resultados desta se¸c˜ao

Teorema 8. (Teorema de convergˆencia de Doob) Seja {Xn} um supermartingal.

Se sup_nE[|Xn|] < ∞ então, existe uma variável aleatória integrável X∞ tal que limnXn=X∞ com probabilidade 1.

Demonstra¸cão. Em primeiro lugar, lembramos que escreverb <lim supXn(ω) é o mesmo que dizer quebé menor que o maior ponto de acumula¸cão de{Xn(ω)}, que

é o mesmo que dizer que existe uma subsequência de{Xn(ω)} que converge para um número maior do queb e isso finalmente implica que existem infinitos ind´ıces ntais queXn(ω)> b. De forma análoga, a >lim infXn(ω) implica na existência de infinitos indicesntais queXn(ω)< a. Posto isso,

(10)

Θ=. {ω:Xn(ω) n˜ao converge em [−∞,∞]}

={ω: lim infXn(ω)<lim supXn(ω)}

= [

a,b∈Q:a<b

{ω: lim infXn(ω)< a < b <lim supXn(ω)}.

Seja Θa,b =. {ω : lim infXn(ω) < a < b < lim supXn(ω)}. Se ω ∈ Θa,b, então sendoU∞(a, b)(ω) como no Corolário anterior, temos, pela discussão inicial, que o número deupcrossings é infinito. Disso resulta a inclusão

Θa,b⊆ {ω:U∞(a, b)(ω) =∞}.

Agora, pelo Corol´ario anterior, P[Θa,b] = 0 e assim, P[Θ] = P



 [

a,b∈Q:a<b

Θa,b



≤ X

a,b∈Q:a<b

P[Θa,b] = 0.

Portanto está garantida a existência deX∞= limXn com probabilidade 1. Vamos agora mostrar queX_∞é integrável. De fato, pelo Lema de Fatou,

Z

Ω

|X∞|dP = Z

Ω

lim inf|Xn|dP≤lim inf Z

Ω

|Xn|dP<∞.

E isso termina a demonstra¸c˜ao. ¤

3.3. Tempos de parada. Outros dois teoremas centrais da teoria dos Martingais sãoDoob’s Optional Sampling e oDoob’s Optional Stopping Theorem. Para tratar destes resultados, vamos introduzir o conceito detempo de parada. Com o ferramen- tal que desenvolvemos até agora, é poss´ıvel provar os teoremas citados acima para tempos de parada finitos. Veremos que ao indroduzir o conceito de martingal uniformemente cont´ınuoserá possivel extender esses resultados para tempos de parada não finitos e uma versão modificada do Teorema de convergência de Doob. De posse destes resultados vamos, em um próximo cap´ıtulo, generaliza-los para martingais continuos o que será crucial para desenvolver a teoria de integra¸cão estocástica.

Defini¸cão 7. Dizemos que uma variável aleatória T: Ω 7→ {0,1, . . .;∞} é um tempo de parada(com rela¸cão à filtra¸cão {Fn} quando

{ω:T(ω)≤n} ∈ Fn, ∀n≤ ∞.

Perceba que pela defini¸cão acima é necessário que{T =∞} ∈ F∞. Para lidar com essa situa¸cão, definimosF∞ .

=σ(S

n≥1Fn).

Intuitivamente, podemos interpretar o tempo de parada como o instante em que decidimos parar de jogar um jogo ou o instante em que exercemos uma op¸cão americana. A mensurabilidade deT diz que a decisão deT ≤nou não, é tomada com base na informa¸cão dispon´ıvel até o instante n. Para modelos em tempo discreto, é mais fácil verificar que T é um tempo de parada usando a seguinte equivalência

Lema 4. T: Ω7→ {0,1, . . .;∞} ´e um tempo de parada se, e somente se {ω:T(ω) =n} ∈ Fn, ∀n≤ ∞

(11)

Demonstra¸c˜ao. Se valer que{ω:T(ω)≤n} ∈ Fn, ∀n <∞, ent˜ao {ω:T(ω) =n}={ω:T(ω)≤n} \ {ω:T(ω)≤n−1} ∈ Fn. e

{ω:T(ω) =∞}= Ω\ {ω: [

n≥1

T(ω)≤n} ∈ F∞.

Reciprocamente, se valer que{ω:T(ω) =n} ∈ Fn, ∀n≤ ∞, ent˜ao, para k≤n, {ω:T(ω) =k} ∈ Fk ⊆ Fn e portanto, resulta que

{ω:T(ω)≤n}= [

k≤n

{ω:T(ω) =k} ∈ Fn. e

{ω:T(ω)≤ ∞}= Ω∈ F∞.

¤ Lema 5. Sejam T1 e T2 tempos de parada e K um inteiro positivo. Ent˜ao

(i) T1≡K´e um tempo de parada ;

(ii) T1∧T2= min{T1, T2}´e um tempo de parada ;

(iii) TK =T1∧K= min{T1, K} ´e um tempo de parada finito.

Demonstra¸c˜ao. Temos que {T =n}= Ω, quando n=K e{T =n}=∅, quando n6=K. Isso prova a primeira afirma¸c˜ao. Para a segunda, note que para qualquer n, {T1∧T2> n}={T1> n}T

{T2> n} ∈ Fn. A ´ultima resulta das anteriores e

do fato queTK≤K. ¤

Será que um martingal interrompido continua sendo um martingal? Vamos responder esta pergunta e formalizar esse conceito. Sejam, então, um supermartingal {Xn} e T um tempo de parada. Considere um jogo de apostas e a seguinte es- tratégia de um jogador: Sempre apostar uma unidade e parar imediamente depois do instante T (ou da T-ésima jogada). A estratégia pode ser representada pela sequência de variavéis aletórias{Cn^(T⁾} ondeCn^(T⁾(ω) =I_[n≤T](ω). Vamos mostrar que esta estratégia é um processo previs´ıvel. De fato, Cn^(T⁾ só pode assumir os valores 0 ou 1 e portanto, {ω ∈Ω :Cn^(T⁾(ω) = 0} ={ω ∈Ω :T(ω) ≤n} ∈ Fn−1. Como {ω ∈Ω :Cn^(T)(ω) = 1}= Ω\ {ω ∈Ω :Cn^(T)(ω) = 0} ∈ Fn−1, resulta o que quer´ıamos. Por constru¸cão,{Cn^(T)}é positivo e limitado. O ganho total do jogador até ak-ésima jogadaIn , é calculado por

I0(ω) = 0, Ik(ω) =

Xk

j=1

C_n^(T)(ω)(Xj(ω)−Xj−1(ω)), k >0.

Para ilustrar, veja que paraω∈Ω fixado tal queT(ω) = 4, temos parak= 6 que, I6(ω) =X4(ω)−X0(ω), e quando k= 3,I3(ω) =X3−X0. De modo geral, (4) In(ω) =X_T_(ω)∧n(ω)−X0(ω).

Essa discuss˜ao nos motiva `a seguinte

Defini¸cão 8. Sejam{Xn} um supermartingal eT um tempo de parada, todos com respeito à uma filtra¸cão{Fn}. Dizemos que{XT∧n} é um processoparadoem T.

e ao seguinte

(12)

Teorema 9. (Teorema da parada opcional de Doob I). Sejam(Ω,F,P)um espa¸co de probabilidade, {Xn} um supermartingal (martingal) e T um tempo de parada, ambos com respeito à filtra¸cão{Fn}. Então o processo parado emT,{XT∧n}é um supermartingal (martingal) e vale que

E[XT∧n]≤E[X0] (E[XT∧n] = E[X0]).

Demonstra¸cão. Pela discussão anterior, podemos usarIn definido em (4) no Teo- rema6. Segue portanto queIn é um supermartingal (martingal). Assim,

E[In]≤E[I0] E[XT∧n−X0]≤0

E[XT∧n]≤E[X0].

Pelos mesmos argumentos, se{In}for um martingal resulta que E[XT∧n] = E[X0].

Como quer´ıamos. ¤

Um exemplo importante de tempo de parada é o defirst hitting time. Para defini- lo, considere um processo{Xn} adaptado à filtra¸cão {Fn} e sejaB um boreliano qualquer. TB: Ω→ {0,1, . . .;∞} definido porTB(ω) = inf{n≥1 : Xn(ω)∈B} é um tempo de parada (aqui usamos que inf∅=∞). De fato, parak≥2,

{TB =k}=

k−1\

j=1

{Xj∈/B} ∩ {Xk ∈B} ∈ Fk

{TB=∞}= Ω\ [

n≥0

{TB ≤n} ∈ F∞

e parak= 1,{TB= 1}={X1∈B} ∈ F1.

Considere agora um passeio aleatório centrado como no exemplo1. Vimos que {Sn}é um martingal e sejaT = inf{n:Sn= 1}um tempo de parada. Sabe-se (ver Williams pag 102) que P(T <∞) = 1. Queremos saber se quando n→ ∞temos E[ST∧n] → E[ST]. Sabemos, pelo último teorema que E[ST∧n] = E[S0] = 0 mas ST = 1 com probabilidate 1. Então a resposta à essa pergunta é negativa. Para ser positiva, devemos acrescentar algumas hipóteses como mostra o próximo teorema.

Teorema 10. (Teorema da parada opcional de Doob II). Sejam(Ω,F,P)um espa¸co de probabilidade, {Xn} um supermartingal (martingal) e T um tempo de parada, ambos com respeito à filtra¸cão{Fn}. EntãoXT é integrável e vale que

E[XT]≤E[X0] (E[XT] = E[X0]).

nas seguintes situa¸c˜oes:

(i) ExisteN ∈Ntal queT(ω)≤N,∀ω;

(ii) Existe K ∈ R⁺ tal que |Xn(ω)| ≤ K,∀(n, ω) ∈ (N×Ω) e T finito com probabilidade 1.

(iii) E[T]<∞e para algumK∈R⁺;

|Xn(ω)−Xn−1(ω)| ≤K ∀(n, ω)∈(N×Ω).

(13)

Demonstra¸cão. Em primeiro lugar, sabemos do teorema anterior que o processo {XT∧n}é integrável e

(5) E[X_T∧n−X₀]≤0,

pois{XT∧n}´e supermartingal.

Para o item (i), bastar usar (5) com n=N, assim E[XT∧N −X0]≤0

E[XT∧N]≤E[X0] E[XT]≤E[X0].

Para o item (ii), temos queP{ω∈Ω : limXT∧n(ω) =XT(ω)}= 1 pois o limite converge paraX_T em{ω ∈Ω :T(ω)<∞} que por hipótese tem medida 1. Além disso |XT| ≤ K < ∞ e portanto E[XT] < ∞, isto é, XT é integrável. Desses resultados, seja fn =. XT∧n−X0. fn é uniformemente limitada e converge com probabilidade 1 para XT −X0. Pelo teorema da convergência limitada, E[XT − X0] = lim E[XT∧n−X0]≤0. Assim E[XT]≤E[X0].

Para o item (iii), note que

|XT∧n−X0|=|

TX∧n

k=1

(Xk−Xk−1| ≤KT.

Agora, da hipótese que E[T]<∞, segue queKT é uma fun¸cão integrável e sendo fn como na demonstra¸cão do item (ii) temos que fn converge com probabilidade 1 para XT −X0. Estamos nas condi¸cões do teorema da convergência dominada que garante queXT é integrável e E[XT−X0] = lim E[XT∧n−X0]≤0. Portanto E[XT]≤E[X0]. Finalmente, perceba que todas os passos acima continuam válidos se considerarmos o processo{Yn}={−Xn} que é um submartingal. Disso resulta que o teorema também vale para o caso de martingais e nesse caso E[XT] = E[X0].

¤ Teorema 11. (Doob’s optional sampling for bounded stopping times). Sejam{Xn} um supermartingal eT ,τtempos de parada limitados comT ≤τ com probabilidade 1. Ent˜ao

E[XT