Problema a) Calcule o momento dipolar do conjunto OH formado pelos átomos, sabendo que a distância entre os dois núcleos é 0,97 Å.

O conjunto OH comporta-se como um dipolo elétrico, com uma carga +q no hidrogénio e uma carga –q no oxigénio em que q é dada por 0,316 𝑒.

a) Calcule o momento dipolar do conjunto OH formado pelos átomos, sabendo que a distância entre os dois núcleos é 0,97 Å.

b) Uma molécula de água é constituída por dois grupos OH a 104º, que compartilham o mesmo átomo de oxigénio (ver figura), isto é, o oxigénio compartilha dois eletrões com os átomos de hidrogénio. Calcule o momento dipolar da molécula de água.

c) Se o momento dipolar estiver alinhado com um campo elétrico de 10⁶ V/m qual a energia que é preciso fornecer à molécula para ela rodar de 180º? Dê o resultado em Joule e em eletrão-volt.. Faça um esquema.

(Introdução à Física de J. Dias de Deus et al.)

Problema 1.3.2

b) Uma molécula de água é constituída por dois grupos OH a 104º, que compartilham o mesmo átomo de oxigénio (ver figura), isto é, o oxigénio compartilha dois eletrões com os átomos de hidrogénio. Calcule o momento dipolar da molécula de água.

𝑑 = 0,97 A = 0,97 × 10⁻¹⁰ m

𝑞 = 0, 316 𝑒 = 0,316 × 1,6 × 10⁻¹⁹ C

𝑝 _𝑂𝐻 = 𝑞𝑑 = 0,316 × 1,6 × 0,97 × 10⁻²⁹ C m 𝑝 _𝑂𝐻 = 𝑞𝑑 = 4,9 × 10⁻³⁰ C m

a) Calcule o momento dipolar do conjunto OH formado pelos átomos, sabendo que a distância entre os dois núcleos é 0,97 Å.

𝜃 = 104°

2 = 52°

𝑝 _𝐻2𝑂 = 2 𝑝 _𝑂𝐻 cos 𝜃 = 2 × 4,9 × 10⁻³⁰ cos 52° = 6,03 × 10⁻³⁰ C m

H H O

𝜃 𝜃

−𝑞

−𝑞

+𝑞

𝑑

𝑑

𝑝 _𝑂𝐻

𝑝 _𝑂𝐻

𝑝 _𝐻2𝑂

Energia potencial de um dipolo num campo exterior uniforme 𝐸

   

U E

p E

d q

E d d q

E q

s F s

F U

U U













 



 



 





 



 



 

























 

 

 

 

 

 

0

0

0

2 2

2 cargas à distância 0 => U= 0

A variação da energia associada ao trabalho realizado pela força eléctrica do campo exterior quando se separa as cargas de uma distância 𝑑 é dada por:

A energia potencial elétrica, U, do sistema diminui quando o campo elétrico realiza trabalho (U=-U) logo:

pE U

E p

U

pE U

E p

U

























instável

equilíbrio )

( a lo antiparale

máximo

estável

equilíbrio )

0 (

a paralelo

mínimo





 



 

p 

𝑈 = −𝑝 ∙ 𝐸 = −𝑝 𝐸 cos 𝜃

𝑝

Problema 1.3.2

c) Se o momento dipolar estiver alinhado com um campo elétrico de 10⁶ V/m qual a energia que é preciso fornecer à molécula para ela rodar de 180º? Dê o resultado em Joule e em eletrão-volt. Faça um esquema.

𝐸 = 10⁶ 𝑒 _𝑥 V/m

H H O

𝜃 𝜃

−𝑞

−𝑞

+𝑞

𝑑

𝑑

𝑝 _𝑂𝐻

𝑝 _𝑂𝐻

𝑝 _𝐻2𝑂

𝑈 = −𝑝 ∙ 𝐸 = −𝑝 𝐸 cos 𝜃

𝑈_𝑚𝑖𝑛 𝑝 ↑↑ 𝐸 𝜃 = 0 cos 𝜃 = 1 𝑈 = −𝑝 𝐸 𝑈_𝑚𝑎𝑥 𝑝 ↑↓ 𝐸 𝜃 = 𝜋 cos 𝜃 = −1 𝑈 = 𝑝 𝐸

∆𝑈 = 𝑈_𝑚𝑎𝑥 − 𝑈_𝑚𝑖𝑛 = 𝑝 𝐸 − −𝑝𝐸 = 2 𝑝𝐸

∆𝑈 = 2 𝑝𝐸 = 2 × 6,03 × 10⁻³⁰ × 10⁶ = 1,206 × 10⁻²³ J 1 eV = 1,609 × 10⁻¹⁹ J

1 eV = energia recebida por um eletrão acelerado por um potencial de 1V

∆𝑈 = 2 𝑝𝐸 = 1,206 × 10⁻²³ J = 1,206 × 10⁻²³

1,609 × 10⁻¹⁹ eV = 7,5 × 10⁻⁵ eV 𝑈 = 𝑞𝑉

a) Determine o campo elétrico num ponto genérico (0,0,z), sobre o eixo de simetria de um disco dielétrico de raio R, espessura desprezável e densidade superficial de carga uniforme 𝜎

b) A partir da expressão determinada na alínea a), mostre que, para distâncias z muito menores que as dimensões do disco, o campo elétrico é uniforme e independente das dimensões do disco (dependendo apenas da densidade de carga).

a) 𝑑𝐸 = 1 4𝜋𝜀₀

𝜎𝑑𝑆

𝑟² 𝑒 _𝑟 𝑟 = 𝑧² + 𝜌² 𝑑𝑆 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜑 𝑒 _𝑟 = cos 𝜃 𝑒 _𝑧 + sin 𝜃𝑒 _𝜌 cos 𝜃 = 𝑧

𝑧² + 𝜌²

Note-se que o resultado corresponde à soma das componentes verticais 𝑑𝐸_𝑧 uma vez que as

componente horizontais 𝑑𝐸_𝜌 cancelam com as diametralmente opostas quando se integra na variável 𝜑 (em torno do disco).

𝑑𝐸_𝑧 = 1 4𝜋𝜀₀

𝜎𝑑𝑆

𝑟² cos 𝜃

𝑑𝐸_𝑧 = 1 4𝜋𝜀₀

𝜎𝜌𝑑𝜌𝑑𝜑 𝑧² + 𝜌²

𝑧 𝑧² + 𝜌² 𝑟 = 𝑧² + 𝜌²

Problema 1.2.2

a) Determine o campo elétrico num ponto genérico (0,0,z), sobre o eixo de simetria de um disco dielétrico de raio R, espessura desprezável e densidade superficial de carga uniforme 𝜎

a)

𝑟 = 𝑧² + 𝜌² cos 𝜃 = 𝑧 𝑧² + 𝜌² 𝑑𝐸_𝑧 = 1

4𝜋𝜀₀

𝜎𝜌𝑑𝜌𝑑𝜑 𝑧² + 𝜌²

𝑧 𝑧² + 𝜌²

𝐸_𝑧 = 1

4𝜋𝜀₀ 𝑑𝜑 𝜎𝜌𝑑𝜌 𝑧² + 𝜌²

𝑧 𝑧² + 𝜌²

𝑅 0 2𝜋

0

𝐸_𝑧 = 2𝜋𝜎𝑧 4𝜋𝜀₀

𝜌𝑑𝜌 𝑧² + 𝜌^{2 32}

𝑅 0

𝐸_𝑧 = 𝜎𝑧

2𝜀₀ − 1 𝑧² + 𝜌²

0 𝑅

𝐸_𝑧 = 𝜎𝑧

2𝜀₀ − 1

𝑧² + 𝑅² + 1 𝑧²

𝐸 = 𝜎 2𝜀

𝑧

𝑧 − 𝑧

𝑧

+ 𝑅

𝑒

b) A partir da expressão determinada na alínea a), mostre que, para distâncias z muito menores que as dimensões do disco, o campo elétrico é uniforme e independente das dimensões do disco (dependendo apenas da densidade de carga).

cos 𝜃 = 𝑧 𝑧² + 𝜌² 𝑟 = 𝑧² + 𝜌²

𝐸 = 𝜎 2𝜀

𝑧

𝑧 − 𝑧

𝑧

+ 𝑅

𝑒

𝐸 = ± 𝜎

2𝜀

𝑒

Note-se que coincide com o resultado correspondente ao plano infinito carregado com densidade de carga uniforme obtido pelo teorema de Gauss

𝜎 = 𝑄 𝜋𝑅² Para z ≫ 𝑅 (ou 𝑧 → ∞) temos:

𝐸 = 𝑄 2𝜋𝜀

𝑅

𝑧

𝑧 − 𝑧

𝑧

+ 𝑅

𝑒

Problema 1.2.2 Complementos:

𝐸 = 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

1 − 𝑧

𝑧

+ 𝑅

𝑒

𝐸

= 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

1 − 1 1 + 𝑅

𝑧

≅ 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

1 − 1 − 1 2

𝑅

𝑧

1

1 + 𝑥 ^𝛼 ≅ 1 − 𝛼 𝑥 para 𝑥 ≪ 1

𝐸

≅ 𝑄 2𝜋𝜀

𝑅

1 2

𝑅

𝑧

𝐸

≅ 𝑄 4𝜋𝜀

𝑧

Aproximadamente igual ao campo de uma carga pontual 𝑄 a uma distância 𝑧

Para z > 0

𝜎 = 𝑄 𝜋𝑅² Para z ≫ 𝑅 (ou 𝑧 → ∞) temos:

𝐸 = 𝑄 2𝜋𝜀

𝑅

𝑧

𝑧 − 𝑧

𝑧

+ 𝑅

𝑒

Para z < 0 Complementos:

𝐸 = 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

−1 + 𝑧

𝑧

+ 𝑅

𝑒

𝐸

= 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

−1 + 1 1 + 𝑅

𝑧

≅ 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

−1 + 1 − 1 2

𝑅

𝑧

1

1 + 𝑥 ^𝛼 ≅ 1 − 𝛼 𝑥 para 𝑥 ≪ 1

𝐸

≅ 𝑄

2𝜋𝜀

𝑅

− 1 2

𝑅

𝑧

𝐸

≅ − 𝑄 4𝜋𝜀

𝑧

Aproximadamente igual ao campo de uma carga pontual 𝑄 a uma distância 𝑧 para 𝑧 negativo

Para z < 0

Problema 1.2.2 Complementos:

Cálculo do potencial e determinação do campo a partir da expressão de 𝑉

cos 𝜃 = 𝑧 𝑧² + 𝜌² 𝑟 = 𝑧² + 𝜌²

𝑑𝑉 = 1 4𝜋𝜀₀

𝑑𝑄

𝑟 = 1 4𝜋𝜀₀

𝜎𝜌𝑑𝜌𝑑𝜑 𝜌² + 𝑧²

𝑉 = 𝜎

4𝜋𝜀₀ 𝑑𝜑

2𝜋 0

𝜌𝑑𝜌 𝜌² + 𝑧²

𝑅 0

𝑉 = 𝜎

2𝜀₀ 𝜌² + 𝑧²

0 𝑅

𝑉 = 𝜎

2𝜀₀ 𝑅² + 𝑧² − 𝑧²

𝐸_𝑧 = −𝜕𝑉

𝜕𝑧 = − 𝜎 2𝜀₀

1

2 2𝑧 𝑅² + 𝑧^{2 −12} − 𝑧 𝑧

𝐸_𝑧 = 𝜎 2𝜀₀

𝑧

𝑧 − 𝑧

𝑅² + 𝑧²