PARTE I – SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Substituir os pontos de interrogação pelos números que melhor completam a sequência
1,4,9,18,35, ? 23,45,89,177, ? -6,-8,0,32,120, ? 1,2,3,4,8,10,14,20,22, ? 1,6,21,52,105, ? 1,3,12,76, ? 1,6,18,44,90,174,294,472, ? 2,3,6,10,11,14,18,19,22, ? 2,3,5,7,13,15,21,23,27, ? 1,2,5,9,16,26, ? 2,4,3,6,10,7,14,16,15,18,22,19, ? 2,4,5,6,9,10,15,16,20, ? 4,1,4,2,1,3,5, ? 6,21,105,301,1221, ? 2,2,1,3,2,3,4,2,6,5,2, ? 1,8,24,64,126,202, ? 36, 864, 21060, 544320, ? 2,7,17,31,59,83,125, ? 2,6,20,70,252,924,3432, ? 1, 2, 9, 48, 300, 2160, ?
PARTE III - LÓGICA
41. Você está fechado numa sala com dois estranhos, o Fulano e o Sicrano. Um deles tem a chave que abre a única porta da sala. Você não sabe qual deles tem a chave e é-lhe permitido perguntar a cada um deles "Qual de vós tem a chave ?". O Fulano responde-lhe "O que o Sicrano diz é verdade e eu tenho a chave da porta."; O Sicrano, por seu lado responde-lhe "O que o Fulano diz é completamente falso, mas ele tem de fato a chave da porta." Qual deles tem a chave da porta ?
42. Numa folha de papel estão escritas diversas afirmações, numeradas de 1 a 100. A afirmação n diz: "Exatamente n afirmações desta folha são falsas". Quantas são as afirmações falsas e quantas são as afirmações verdadeiras ?
43. Suponha agora que no enunciado anterior a expressão "Exatamente n ..." era substituída por "Pelo menos n ...". Neste caso, quantas seriam as afirmações verdadeiras e quantas seriam as afirmações falsas ?
44. Você deseja enviar, por correio, um objeto valioso a um amigo. Este objeto é uma antiguidade raríssima que é objeto de desejo de vários colecionadores, alguns deles pouco escrupulosos. Tem ao seu dispor uma caixa com dimensões mais do que suficientes para comportar o objeto que deseja enviar e que, por outro lado, possui várias formas de colocar um cadeado de forma a torná-la praticamente inviolável. Você possui vários cadeados mas o seu amigo, obviamente, não possui qualquer chave de um deles. Como pode você resolver o problema ? Não pode, é claro, enviar a chave do cadeado que irá utilizar, numa correspondência
independente porque pode correr o risco desta ser interceptada, a chave copiada e posteriormente utilizada para abrir a caixa com a relíquia...
45. Tarefa difícil a que você tem pela frente: Tem 8 sacos, cada um deles contendo 48 moedas. Cinco destes sacos contêm moedas verdadeiras, os restantes contêm moedas falsas. As moedas falsas pesam menos 1 grama que as moedas
verdadeiras. Você não sabe quais os sacos que contêm moedas falsas e quais os que contêm moedas verdadeiras. Ao seu dispor, tem uma balança dinamômetro com uma escala em gramas. Fazendo apenas uma pesagem e usando o menor número possível de moedas, determine quais os sacos que contêm moedas falsas.
PARTE V - PROBLEMAS
fosse total e precisamente contígua a uma face de um outro cubo. Desenhe a sexta face do sólido e calcule quantos cubos foram necessários para construir o sólido bem como as respectivas cores.
47. Um fabricante de bolas de ping-pong embala estas em caixas de cartão de modo a que as bolas fiquem perfeitamente acondicionadas, sem sofrerem qualquer estrago, numa caixa cúbica de dimensões mínimas. A certa altura decidiu aumentar o número de bolas por caixa, passando de 6 bolas por caixa para 9 bolas por caixa. Sabendo que as bolas têm 9 cm de perímetro e que cada cm2 de cartão empregue na construção da caixa custa 0.01 escudo, calcule quanto custará mais, em
percentagem, a nova caixa para 9 bolas.
48. Qual terá que ser a área mínima de um tabuleiro de xadrez de modo a que seja possível colocar 19 moedas de 2.5 cm de diâmetro neste, de acordo com as
seguintes limitações: (1) Qualquer moeda deve tocar pelo menos uma das moedas que lhe são vizinhas. (2) Nenhuma moeda se poderá sobrepor, parcial ou
totalmente a outra moeda (3) Nenhuma moeda pode ultrapassar os limites do tabuleiro (4) A área livre, não ocupada por moedas, deve ser a menor possível. 49. Um empregado de mesa de um café utiliza uma bandeja circular com 24 cm de diâmetro limitada por uma orla elevada de 1 cm de altura. Sabendo que todos os copos deste estabelecimento são iguais, de forma cilíndrica e com um diâmetro de 6 cm, qual será número máximo de copos totalmente cheios que o funcionário consegue transportar, em segurança (p.ex. sem sobrepor copos) e sem verter, nesta bandeja? Considere que o valor apresentado para o diâmetro da bandeja se refere ao diâmetro interior, ou seja, ao diâmetro "útil".
50. Calcule o nº mínimo de elipses necessárias para que o número máximo de áreas distintas não sub-divididas resultantes da sua intersecção seja igual ao número máximo de áreas distintas não sub-divididas resultantes da intersecção de 120 círculos.
52. Considere a imagem seguinte. De quantas formas diferentes se podem numerar os vértices do sólido apresentado, usando apenas números inteiros positivos, de modo a que: (1) a soma de todos os vértices exteriores (os oito vértices mais afastados do "centro" do sólido) seja igual a 6; (2) a soma de todos os vértices interiores (os oito vértices situados no "orifício" do sólido) seja igual a 7; (3) a soma de todos os dezesseis vértices do sólido seja igual a 5. Configurações obtidas por rotação ou simetrias do sólido não são consideradas como "diferentes" e os números a colocar nos vértices podem ser repetidos.
53. Um saco contêm 10 bolas de diferentes cores. Se, após escolher um par de bolas ao acaso e pintar uma delas com a cor da outra, voltar a colocar as duas no saco, qual o número mínimo de vezes que terá de repetir este procedimento até que, com toda a certeza, todas as bolas sejam da mesma cor ? Outra dúvida: suponha que após repetir 10 vezes o procedimento descrito acima, decide parar. Retira uma bola do saco e ela têm uma determinada cor. Após devolver esta bola ao saco, volta a retirar outra bola que se revela da mesma cor da anterior. Se isto acontecer dez vezes seguidas, qual será a probabilidade de que todas as 10 bolas no saco sejam dessa cor ?
54. Num jogo de dados especial, jogado com dados de 20 faces (icosaédricos), você joga contra a casa. A casa lança dois dados, você lança um dado. Se o número que obtiver com este lançamento estiver entre os dois números obtidos pela casa, você ganha. Em todos os outros casos, incluindo o empate, a casa ganha. Quais são, no início do jogo, as suas probabilidades de ganhar ?
55. Considere duas esferas de dimensões e pesos rigorosamente iguais, sendo uma delas oca. Ambas são feitas de um material uniforme (embora obviamente
(cont. 56) Pretende-se saber quantos caminhos diferentes pode seguir se se deslocar sempre e só no sentido aproximado de Norte ou Este.
57. As duas imagens seguintes mostram duas perspectivas opostas de um cubo de Rubik, tal como se apresenta após um conjunto indeterminado de manipulações. A sua tarefa consiste em determinar, a partir da posição apresentada, qual o menor número de movimentos necessário para ordenar completamente o cubo. Considere que esta posição é uma posição possível, obtida, como já foi dito, após um conjunto indeterminado de movimentos que tinham como objetivo a ordenação completa do cubo.
58. Tendo à sua disposição uma régua sem qualquer tipo de escala que lhe permita fazer medições, mesmo que aproximadas, um lápis e quadrado de papel, é-lhe pedido que divida o ângulo alfa, definido de acordo com a imagem em baixo, em três partes rigorosamente iguais.
atribuir um número a cada casa, a soma destes números em cada linha e em cada coluna do tabuleiro seja igual ao número máximo de regiões do espaço (distintas e não sub-divididas) resultantes da intersecção de 10 esferas. (Conforme se pode vêr na imagem 59-II, a intersecção de três esferas divide o espaço num máximo de 8 regiões distintas não sub-divididas).
59-I59-II60. A imagem em baixo representa um icosaedro, um poliedro regular (também dito platônico), constituído por 20 faces (que são triângulos equiláteros), 12 vértices e 30 arestas. Se
