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Capítulo 5
Conclusões
Uma viagem de mil quilómetros começa com um só passo.
Mao Tse-tung
O presente estudo iniciou-se com um problema: Como integrar a argumentação na aula de Matemática? Na procura de uma resposta, formulei três questões de investigação e elaborei um projecto de trabalho colaborativo que decorreu durante o ano lectivo de 2008/09. Na primeira secção deste capítulo apresento a síntese das principais ideias subjacentes a este estudo, na segunda procuro dar resposta às questões de investigação e, na última, indico algumas sugestões para futuros trabalhos.
Síntese do estudo
Este estudo incide sobre a prática profissional de uma professora do 3.º ciclo do ensino básico, Rita, com quem desenvolvi, ao longo de um ano lectivo, um projecto de trabalho colaborativo cujo foco central é a integração da argumentação na aula de Matemática. O principal objectivo desta investigação é a compreensão do trabalho do professor e dos diferentes papéis que este pode ter na sala de aula quando procura promover, sustentar ou resolver situações de argumentação. Neste sentido, procuro dar resposta às questões de investigação que orientam a presente dissertação:
Como é que o professor pode integrar a argumentação na aula de Matemática?
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Que dificuldades ou constrangimentos experiencia o professor no processo de integração da argumentação na sala de aula, como lida com estas dificuldades e que estratégias adopta para as superar?
Qual o contributo de um trabalho realizado em colaboração, assente na reflexão sobre momentos de argumentação ocorridos nas aulas, para o desenvolvimento profissional do professor neste domínio?
O estudo segue uma metodologia de investigação interpretativa e qualitativa em que as principais fontes de dados são as sessões de preparação das aulas em colaboração com Rita – a professora participante –, a sua observação e as sessões de reflexão sobre a actividade decorrida. Estes três momentos foram vídeo ou áudio gravados e a análise dos dados incidiu sobre as suas transcrições. Recorri igualmente à consulta de documentos de natureza diversa, como o guião de observação das aulas, o meu diário de bordo, as reflexões escritas da professora Rita e os produtos dos alunos, registados nas suas fichas de trabalho. Os resultados apresentados no capítulo anterior têm como referência as questões acima referidas e as ideias apresentadas no capítulo 2, tendo resultado de um processo cíclico de análise, consulta, reflexão e escrita.
Principais conclusões
Modo como o professor integra a argumentação na aula de Matemática
A percepção do professor sobre a Matemática escolar e sobre o ensino da Matemática constituem factores determinantes para a integração da argumentação na aula desta disciplina. De facto, tal como referem Ponte e Serrazina (2000), uma visão menos abrangente da actividade que caracteriza uma aula de Matemática onde os alunos aprendem com significado, pode condicionar a criação de condições favoráveis ao desenvolvimento desta capacidade transversal – a argumentação – que envolve tanto a comunicação como o raciocínio matemático. Neste estudo ficou claro, desde o primeiro instante, que a percepção de Rita sobre a aprendizagem de Matemática contemplava conceitos e procedimentos mas também o desenvolvimento de capacidades transversais.
Embora esta professora reconheça que, normalmente, nas suas aulas não se verificam verdadeiros momentos de argumentação, mostra-se disponível para mudar alguns aspectos que contribuam para o desenvolvimento desta actividade. De facto, esta
143 predisposição é a chave para que a mudança ocorra e conduz, naturalmente, à reconsideração do seu papel na sala de aula enquanto dinamizadora das actividades a propor aos alunos. A sua vontade em “experimentar” novos desafios, em particular quanto à participação dos alunos, criou condições para que se explorasse o desenvolvimento da argumentação nas suas aulas.
A planificação de uma aula de Matemática contempla os objectivos e os conteúdos matemáticos que se espera os alunos aprendam, a tarefa ou tarefas a propor, a metodologia de trabalho dos alunos e os recursos a utilizar, a organização do trabalho, a gestão do tempo e a avaliação das aprendizagens. Planificar uma aula visando o desenvolvimento da capacidade de argumentar implica pensar em todos estes aspectos.
Neste estudo teve especial relevância o momento de elaboração das tarefas (a sua natureza, a sua estrutura e as questões a colocar) e a organização do trabalho, isto é, o modo como a professora iria gerir a dinâmica de sala de aula, tendo em conta a sua intenção em promover a argumentação. Houve assim um maior investimento na antecipação do trabalho dos alunos, nomeadamente no que se refere à justificação dos seus raciocínios e na preparação de questões a colocar-lhes durante o acompanhamento dos grupos ou durante a discussão colectiva. Prever o tempo necessário para cada momento da aula, pensar nas dúvidas que podem surgir durante a realização da tarefa, mas, essencialmente, procurar uma gestão equilibrada entre estes momentos que inclua um momento de discussão colectiva e uma síntese do trabalho efectuado, são aspectos que levaram à intensificação e complexificação do trabalho da professora (Boavida, 2005). Além destes dois aspectos, a planificação de aulas com a argumentação como objectivo requereu também da sua parte a capacidade de antever situações novas, o que contribuiu para uma melhor preparação de Rita e para o aumento da sua auto-confiança.
Neste estudo foram apresentadas aos alunos questões de natureza diversa (exercícios, problemas e investigações), que envolviam o uso de conceitos, a mobilização de conhecimentos matemáticos ou do quotidiano, o uso de procedimentos e de raciocínios matemáticos. Os resultados revelam que as questões de natureza mais aberta (investigações ou explorações), por permitirem respostas divergentes e o uso de diferentes estratégias, contribuem de modo significativo para o surgimento de situações de argumentação. Neste contexto surge a oportunidade de se explorarem raciocínios diferentes e de pedirem justificações que os validem. Contudo, na aula em que este tipo de questões não surgiu também existiu apresentação de razões que justificam ideias,
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quer pela necessidade de validar afirmações, quer no esclarecimento de dúvidas. Para isso contribuiu o facto de os alunos poderem expor as suas dúvidas e colocarem questões, à professora e aos colegas. As questões relacionadas com o quotidiano mostraram ser também facilitadoras do envolvimento dos alunos na apresentação de justificações. De facto, em algumas destas situações eles integram conhecimentos do seu dia-a-dia no argumento que apresentam para validar o seu raciocínio.
Durante a realização deste estudo os alunos trabalharam principalmente em pares. Este modo de trabalho foi desde o início estabelecido pela professora em resultado do conhecimento que tinha dos hábitos de trabalho dos alunos. Não obstante, foi necessário proceder a alguns ajustes nos pares devido, sobretudo a problemas relacionais. Este modo de trabalho revelou-se promotor de uma interacção significativa entre os alunos, dado que as discussões se realizaram apenas entre duas pessoas o que facilitou a comunicação, quer entre os alunos quer entre estes e a professora. A argumentação nos grupos surge mais pela influência das intervenções da professora do que por iniciativa dos alunos. Estas intervenções foram no sentido de não validar as conclusões dos pares mas incentivar à discussão, procura e troca de argumentos que as validem, não fornecer respostas mas antes pistas ou novas questões que conduzissem à reflexão sobre os seus resultados e procurar que os alunos decidam se estão em consenso ou se, pelo contrário, se encontram em desacordo. Estas intervenções da professora influenciaram principalmente na discussão colectiva em que os alunos se apresentaram mais seguros da opinião do grupo e mais informados sobre as suas estratégias e argumentos. O papel da professora durante o acompanhamento do trabalho dos pares foi assim determinante na promoção da argumentação entre os alunos e na preparação dos momentos de discussão de resultados. Enquanto acompanhou os trabalhos, Rita esteve especialmente atenta à diversidade de respostas que surgiam na turma, tomando notas que serviram para explorar de um modo coerente e global as estratégias e as respostas dadas pelos alunos.
O momento de discussão colectiva tem neste estudo um lugar central. Foi sobre ele que incidiu a observação de episódios de argumentação, a análise da acção da professora e a reflexão sobre a actividade produzida. Os resultados mostram que a discussão colectiva é um espaço rico de partilha, debate e resolução de desacordos pela via da argumentação. Contudo, a sua promoção, dinamização, orientação e gestão não é uma tarefa fácil para o professor, nomeadamente quando os alunos tendem a não
145 colaborar. Ao longo do ano lectivo em que decorreu esta investigação, verifica-se que a sistematicidade e a continuidade (Boavida, 2005) na adopção deste tipo de discussão contribuiu para que, gradualmente, os alunos a assumam como parte da actividade da aula de Matemática. Nesta evolução, a acção de Rita foi fundamental pois, no início, os alunos tendiam a apresentar os seus resultados e a esperar que a professora os validasse.
Tal situação ocorreu durante algumas aulas, porém, Rita foi aprendendo a conduzir estes momentos, pedindo aos alunos justificações para as suas conclusões, procurando não as validar sem antes dar oportunidades aos restantes alunos de as comentarem. Este tipo de interacção estabelecida gradualmente ao longo das aulas entre a professora e os alunos e, mais tarde, entre os alunos, contribuiu para a prática argumentativa na sala de aula e vai ao encontro ao preconizado por Chiaro e Leitão (2005) sobre os planos pragmático e argumentativo na promoção da argumentação na sala de aula.
A preparação dos momentos de discussão colectiva conheceu neste estudo duas abordagens: a recolha de dados durante o acompanhamento aos grupos e a análise dos produtos escritos nas fichas de trabalho, quando a discussão não ocorreu na aula em que se resolveu a tarefa. Para iniciar a discussão de resultados, Rita escolhe as resoluções incorrectas e as estratégias diferentes para uma dada questão. Estas situações revelaram-se um contexto propício à ocorrência de argumentação. Por um lado, há necessidade de convencer aquele que apresentou a resolução incorrecta das razões porque não é válida, por outro lado, na exploração de estratégias diferentes há uma intensificação de apresentação de argumentos que validam tanto umas como as outras.
A integração da argumentação na aula de Matemática passa também por pensar no papel dos alunos durante a actividade. Tal como refere Balacheff (1999), há que devolver nos alunos a responsabilidade na validação dos seus resultados e os resultados dos seus colegas. Neste sentido, nas suas aulas, Rita procurou desenvolver uma prática de questionamento em que os resultados tinham inicialmente um grau de incerteza ao qual era necessário conferir validade. Associada a esta necessidade a professora procurou a apresentação de argumentos de validade matemática, o incentivo à troca deste tipo de argumentos, a necessidade de convencer pela argumentação e a validação das conclusões, por parte dos alunos. O protagonismo partilhado entre Rita e os alunos nestes momentos levou à criação de uma dinâmica de aula em que o pedido de esclarecimento, a divergência de opinião, o desacordo e a construção conjunta de conhecimento foram actividades realizadas quer pela professora quer pelos alunos, o
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que resultou igualmente num incremento na sua auto-confiança e autonomia. Na verdade, o momento de sistematização de resultados foi muito gratificante para os alunos pois permitiu-lhes identificarem os seus raciocínios e as suas justificações, contribuindo assim para a construção de “novo” conhecimento.
A aprendizagem de Matemática depende de factores cognitivos mas também é influenciada por factores sociais, característicos de espaços como uma sala de aula.
Assim, sem descurar a aprendizagem de conteúdos matemáticos, principal objectivo na aula de Matemática, o professor deve considerar a criação de um ambiente social saudável em que os alunos se respeitem, respeitem as ideias dos outros e aprendam a aceitar a crítica como parte da actividade da sala de aula. Nas aulas de Rita este foi um dos pontos de partida para que a actividade argumentativa se desenvolvesse. Com efeito, na maior parte das suas aulas, a professora inicia os trabalhos manifestando expectativas quanto ao modo como espera que os alunos se comportem, tanto durante o desenvolvimento da actividade como no momento da discussão de resultados, o que gradualmente se foi tornando um modo de estar na sala de aula. Os momentos de argumentação foram antecedidos pelo estabelecimento de um conjunto de normas de actuação que levaram os alunos: a participar nos debates de uma forma empreendedora, a apresentar as suas ideias sem ter receio de errar e a compreender o modo como podem intervir e comentar as ideias dos colegas. Foi estabelecido assim um conjunto de padrões de interacção que vão ao encontro das normas sociais referidas por Yackel (2001). A par destas normas, da ordem do saber estar, saber intervir, saber participar e saber ouvir (Wood, 1999) encontram-se outras, que respeitam ao discurso na sala de aula e às normas sóciomatemáticas. Os resultados mostram que as acções da professora no sentido de tornar um assunto polémico, de legitimar a divergência e de estabelecer o consenso como meta, levou os alunos a interiorizar um “novo” modo de agir na sala de aula, isto é, fê-los compreender que é possível discutir sobre assuntos matemáticos, debater as suas ideias e validar os resultados, pelo uso de argumentos matemáticos que sejam válidos e aceites por todos. No que concerne ao discurso, o recurso por parte de Rita a frases no plural, promoveu nos alunos o sentimento de pertença e de partilha e estimulou a sua participação e envolvimento nas discussões colectivas. O recurso a algumas estratégias discursivas como o relato, a repetição, a reformulação ou a expansão das ideias dos alunos mostrou-se ser eficaz na sustentação da argumentação.
147 O conhecimento do programa de Matemática, por parte de Rita, mostrou ser um factor facilitador de uma preparação meticulosa das suas aulas, não só quanto à elaboração de tarefas que apelam ao raciocínio matemático, à preparação de questões que procuram razões que justifiquem determinado procedimento mas, principalmente, na capacidade de resposta ao imprevisto que caracteriza a actividade argumentativa na aula de Matemática (Boavida, 2005). A relação estreita entre objectivos de aprendizagem e metodologia de trabalho esteve sempre presente ao longo deste projecto, quer nas sessões de preparação das aulas quer na sua reflexão.
Integrar a argumentação na aula de Matemática requer que o professor promova o debate de ideias, a discussão entre os alunos e, principalmente, a apresentação de argumentos convincentes. Esta situação foi bastante evidente a partir da segunda aula, em que Rita coloca questões aos alunos e abre o debate sobre as respostas a toda a turma. De facto, neste contexto foi possível perceber que os alunos assumem um papel diferente das aulas em que é o professor que valida as respostas. Ao longo deste estudo o seu poder em comentar as respostas dos colegas, em pedir justificações, apresentar contra-exemplos e o seu envolvimento em actividades de convencimento de outros foi ganhando força, chegando os alunos a verbalizar um “Eu discordo!” muito gratificante de ouvir. Afinal, os alunos conseguem aprender a argumentar matematicamente e a usar a argumentação para defender os seus pontos de vista. A discutibilidade de um tema pode despoletar o desejado debate e a emergência de desacordo e a negociação (Chiaro
& Leitão, 2005). No entanto, isto pode ser, porém, uma tarefa difícil de concretizar do ponto de vista do trabalho do professor, e sobre este tema apresento algumas ideias no tópico seguinte.
Dificuldades ou constrangimentos experienciados pelo professor
Planificar a prática lectiva atendendo ao desenvolvimento da argumentação matemática é uma tarefa exigente que requer, da parte do professor, a capacidade de prever acontecimentos, gerir uma aula de um modo diferente do comum e lidar com situações imprevisíveis e, por vezes, indesejáveis. Uma destas situações respeita às concepções dos alunos quanto à dinâmica da aula de Matemática. Rita tinha conhecimento que os alunos que participaram neste projecto não traziam grande experiência em discutir na sala de aula. Tal facto não se deve à falta de estímulo em
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anos anteriores mas antes à natureza dos próprios alunos, que concebem a aula de Matemática como um local onde se aprende pela transmissão de conhecimentos, do professor para o aluno. Foi difícil mas desafiante fazer com que os alunos sentissem necessidade de justificar as suas ideias. Para isso contribuiu a acção da professora nos momentos em que os alunos foram ao quadro, apresentaram as suas resoluções e esperaram o seu comentário. O pedido de explicação direccionado a esses alunos associado ao pedido de justificação parece ter sido o impulso necessário à adopção de uma “nova” dinâmica de sala de aula que demorou o seu tempo, mas foi conseguido pela persistência da professora.
A partir do momento em que Rita consegue que os alunos participem na aula depara-se com o constrangimento de uma participação sem regras pelo que a prioridade será o estabelecimento de normas de participação promotoras da audição e escuta atentas. Revelou-se extremamente útil e eficaz a insistência que os alunos colocassem
“o dedo no ar” para manifestar a sua opinião. Igualmente fundamental foi compreenderem que apenas deviam falar quando a professora lhes desse a palavra.
No entanto, mais importante que levar os alunos a participar na aula foi levá-los a colaborar na argumentação colectiva. Na verdade, estabelecer um padrão de actuação em que os alunos compreendam como devem intervir no processo de argumentação foi uma tarefa complexa, difícil e nem sempre bem sucedida. Rita viveu alguns momentos em que o modo como conduziu a aula, ou a discussão colectiva, não resultou em episódios ricos de argumentação. Embora tal situação lhe causasse alguma tristeza ou angústia, a reflexão sobre os prós e os contras desses acontecimentos levaram à sua aprendizagem e mudança profissional. Por exemplo, quando verificou que não deu tempo a um aluno para justificar a sua ideia, na aula seguinte, Rita modificou este comportamento, dando espaço à apresentação de razões e à sua discussão. Outro exemplo refere-se ao facto dos alunos falarem baixo, não registarem os seus raciocínios no papel ou falarem sempre para a professora. Para os ajudar a actuar de modo diferente Rita opta por lhes dar instruções muito claras nesse sentido ou age naturalmente afastando-se do quadro e colocando-se no fundo da sala para “obrigar” os alunos a focarem a sua atenção em quem expõe o seu raciocínio.
O envolvimento dos alunos nas discussões e o momento em que o deve promover foram dois aspectos bem salientes nas reflexões sobre as aulas de Rita. A professora usava constantemente o questionamento, mas nem sempre este resultava em
149 momentos de argumentação. Faltavam as verdadeiras questões, como denominam Ponte e Serrazina (2000) e faltavam os pedidos de justificação, fundamentais para que o processo argumentativo se desencadeie. Assim, os resultados mostram que, a partir do momento em que a professora age em conformidade com o referido anteriormente as situações em que é necessário gerir as contribuições dos alunos surgem naturalmente.
De facto, tal como referem Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), o envolvimento dos alunos ainda não é uma prática comum na aula de matemática pelo que a adopção de uma prática interrogativa com base em conteúdos e conhecimentos matemáticos e o incentivo à colocação de questões por parte dos alunos mostraram ser acções que contribuem para a mudança.
A gestão do tempo de aula foi um dos constrangimentos vividos por Rita. Por um lado considerou ser importante não interromper os debates e deixar que as questões fossem discutidas até se chegar a um consenso. Por outro lado, viu constantemente o tempo para o desenvolvimento da actividade ser ultrapassado, chegando na maior parte das vezes a ser o dobro do inicialmente previsto. Lidar com esta situação tornou-se por vezes complicado devido à “pressão” de cumprir o programa e às questões que foram levantadas pelos encarregados de educação, que lhe chegaram quer pelos alunos quer pela directora da turma. Uma forma de contornar este problema foi a redução das questões das tarefas, reduzindo-as ao essencial, ou a selecção mais criteriosa das resoluções dos alunos que iam a debate.
Fazer os alunos entender que os resultados ou conclusões a que chegam nem sempre estão correctos e que é essencial que os mostrem à turma, de modo a debaterem as suas ideias à luz das opiniões dos outros, foi determinante para que os alunos compreendessem que não basta dizerem está certo ou está errado mas que é fundamental que fundamentem as suas opiniões usando para o efeito os seus conhecimentos do quotidiano e da Matemática. Esta foi uma das “batalhas” que Rita teve de travar todos os dias, em todas as aulas, mas que tiveram os seus resultados pois no final do ano lectivo a turma revelou ter adquirido hábitos de participação e ter desenvolvido a capacidade de argumentar matematicamente.
Também Rita foi gradualmente aprendendo a fomentar a argumentação entre os alunos mostrando-se mais calma, menos ansiosa, dando oportunidade aos alunos de colaborar, promovendo a escuta atenta, e integrando a prática da argumentação na sua sala de aula.
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Contributo do trabalho para o desenvolvimento profissional do professor
Trabalho colaborativamente com Rita desde há 6 anos. Participei, como referi anteriormente, na investigação que realizou no âmbito do Mestrado em Formação Pessoal e Social, momento a partir do qual a nossa relação profissional se intensificou e fortaleceu. No nosso dia-a-dia tem sido habitual elaborarmos materiais para as nossas aulas, como fichas de trabalho ou de avaliação, mas partilhamos também preocupações e conquistas, no plano profissional. A prática de uma reflexão conjunta na procura de resposta aos problemas do processo ensino-aprendizagem de Matemática conheceu, durante este estudo, uma nova vertente: a preparação, o desenvolvimento e a reflexão de aulas em que pretendemos promover o desenvolvimento de uma capacidade transversal – a argumentação matemática. Os avanços e recuos, os progressos e as dificuldades com que nos debatemos durante este estudo colaborativo contribuíram fortemente para a mudança na prática profissional de Rita, e posso afirmar que também na minha.
A exploração e definição conjunta dos significados dos termos argumento, argumentação ou argumentação em Matemática conduziu à partilha e negociação de ideias que nem sempre foram convergentes. A literatura sobre estes conceitos trouxe um contributo muito positivo às discussões que encetámos sobre esses assuntos e clarificou a nossa opinião sobre a importância e o lugar da argumentação na aprendizagem de Matemática. Torna-se fundamental que o professor, não só reconheça o papel da argumentação na aprendizagem de Matemática mas também coloque em prática acções que a estimulem. A capacidade de mudança das práticas de reflexão sobre o seu papel na sala de aula e de iniciativa, por parte de Rita, foram fundamentais na sua evolução ao nível profissional que se verificou ao longo deste estudo. A vontade de fazer melhor e o interesse em aprender como fazer melhor levaram Rita a procurar entender como pode ser uma aula quando pretende envolver os alunos na actividade de argumentar.
Como contexto de trabalho, desde o primeiro dia, o projecto em que nos envolvemos foi um espaço de vivências comum e, simultaneamente, de aprendizagens individuais, pelo que ambas tirámos proveito desta experiência, nestes dois domínios. A nossa percepção da argumentação na aula de Matemática é necessariamente diferente da que tínhamos no início deste projecto e o modo como a podemos promover é um ensinamento que retiramos desta experiência. A predisposição de Rita para mudar alguns aspectos da sua prática lectiva e a sua vontade em “experimentar” novos
151 desafios, como a participação neste projecto colaborativo, criaram condições para que se pudesse explorar o desenvolvimento da argumentação matemática nas suas aulas. O contributo do trabalho em contexto colaborativo, assente na reflexão, para o desenvolvimento profissional do professor quanto à integração da argumentação na sala de aula, resulta assim do envolvimento, da partilha, da procura de respostas e da definição de estratégias a adoptar na preparação das aulas, na sua gestão e na resolução de situações de argumentação.
Sugestões para futuros estudos
A presente investigação tem dois aspectos sobre os quais me parece importante reflectir. Um deles refere-se ao desenvolvimento da argumentação na aula de matemática e ao papel do professor. O outro diz respeito ao trabalho realizado em colaboração.
Este estudo sobre a argumentação na aula de Matemática dá resposta a algumas questões relativas ao trabalho do professor. Não pretende ser, nem será, um levantamento de todos os aspectos referentes a este tema, mas levanta novas questões nomeadamente quanto à pertinência dos seus resultados se realizado num contexto diferente. De facto, esta dissertação tem como foco principal o trabalho do professor, que não se dissociando do trabalho do aluno, é distinto deste Assim, penso que seria interessante acompanhar o trabalho do aluno quanto à argumentação, ouvindo as suas interpretações sobre o fenómeno, as suas concepções e analisando o seu desenvolvimento desta capacidade.
Outro aspecto que considero ser interessante explorar é o estudo da argumentação quando os alunos recorrem a materiais manipuláveis, a calculadoras ou ao computador. Seria interessante investigar o modo como os alunos usam estes recursos para justificar ou validar as suas conclusões, que argumentos usam e como convencem os restantes alunos.
Um aspecto que sobressai da análise das reflexões efectuadas em colaboração relaciona-se com a pertinência de se observar um determinado grupo de alunos ao longo de um período de tempo e verificar as interacções relativas ao processo de argumentação no seio desse grupo, abrangendo o estabelecimento de normas sociais e
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sóciomatemáticas, o desenvolvimento da capacidade de argumentação e relacionando-o com as aprendizagens realizadas pelo grupo.
Finalmente, no que concerne à colaboração, considero ser um contexto de investigação muito rico e um modo de investigar os problemas profissionais que contribui fortemente para o desenvolvimento profissional dos professores. Como refiro, no início deste capítulo, a minha viagem começou com um problema mas termina com uma convicção… Valeu a pena!
