Lista de exercícios 7
MAT 0330 - Teoria dos conjuntos 23 de junho de 2010
Nesta lista, assuma o axioma da escolha em todos os exercícios.
Exercício 1. Seja K um conjunto de cardinais. Mostre que supK é um cardinal.
Exercício 2. Seja X 6= ∅ um conjunto de ordinais. Mostre que, se α = supX, então ℵα= sup{ℵξ:ξ ∈X}.
Exercício 3. Dado I 6= ∅, sejam (κi)i∈I e (λi)i∈I sequências de cardinais tais que κi ≤λi para todoi∈I.
(a) Mostre que X
i∈I
κi ≤X
i∈I
λi.
(b) Mostre que Y
i∈I
κi ≤Y
i∈I
λi.
Exercício 4. Sejam κe λ cardinais. Prove que, se κi =κ para todo i∈λ, então X
i∈λ
κi =κ·λ e Y
i∈λ
κi =κλ.
Exercício 5. Sejam κ e λ cardinais com κ ≤ λ. Prove que as seguintes condições são equivalentes:
(a) cf(λ) = κ;
(b) κ= min{|A|:A⊆λ e supA =λ};
(c) κ é o menor cardinal tal que existe uma sequência (Xi)i∈κ de subcon- juntos de λ satisfazendo |Xi|< λ para todoi∈κ e [
i∈κ
Xi =λ.
Exercício 6. Sejaα 6= 0um ordinal limite.
(a) Prove que cf(ℵα) = cf(α).
(b) Conclua que, se ℵα é um cardinal inacessível1, então α=ωα.
(c) Mostre, através de um contraexemplo, que a recíproca do item anterior não é verdadeira. [Sugestão: Vide exercício 2(b) da lista 6.]
Exercício 7. Sejam α um ordinal limite e κ um cardinal tais que κ <
cf(ℵα). Mostre que, se ℵκξ ≤ ℵα para todo ξ < α, entãoℵκα =ℵα.
Exercício 8. Dizemos que uma família A 6=∅ possui a propriedade da in- tersecção finita se, e somente se, T
B 6=∅para todoB ⊆ Afinito e não-vazio.
Mostre que, dada uma família não-vazia A ⊆℘(ω)com a propriedade da in- tersecção finita, existe um ultrafiltro U ⊆ ℘(ω) tal que A ⊆ U. [Sugestão:
Mostre que o conjunto
{F ⊆℘(ω) : F é um filtro e F ⊇ A}
é não-vazio e, considerando sobre ele a ordem da inclusão (⊆), aplique o lema de Zorn.]
Exercício 9. Para cada X ⊆ ω, seja X∗ = {U ∈ βω : X ∈ U} — sendo βω ={U ⊆℘(ω) :U é um ultrafiltro}.
Prove que:
(a)
n
\
i=0
Ai
!∗
=
n
\
i=0
A∗i para quaisquer n∈ω e{Ai :i≤n} ⊆℘(ω);
(b) A∗ ∪˙ (ω\A)∗ =βω para todoA⊆ω;
(c)
n
[
i=0
Ai
!∗
=
n
[
i=0
A∗i para quaisquer n∈ω e{Ai :i≤n} ⊆℘(ω);
(d) se C ⊆ ℘(ω) é tal que [
A∈C
A∗ = βω, então existe C′ ⊆ C finito tal que [
A∈C′
A∗ = βω; [Sugestão: Use o exercício 8.]
(e) os itens (a) e (c) não são válidos para subconjuntos infinitos de ℘(ω)
— i.e., conjuntos da forma{An :n∈ω} ⊆℘(ω).
1Um cardinalℵα é ditoinacessível se, e somente se,ℵα é um cardinal regular eα >0 é um ordinal limite.
