PUC/SP
Maria Patrícia Freitas de Lemos
O Desenvolvimento profissional de professores do 1º ao
5º ano do Ensino Fundamental em um processo de
Formação para o ensino e a aprendizagem das Medidas
de Tendência Central
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Maria Patrícia Freitas de Lemos
O Desenvolvimento profissional de professores do 1º ao
5º ano do Ensino Fundamental em um processo de
Formação para o ensino e a aprendizagem das Medidas
de Tendência Central
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutor em Educação Matemática sob a orientação da Professora
Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho.
Banca Examinadora
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Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
A
GRADECIMENTOS
À minha família, meus amados pais Maria de Lourdes e Damilton (in memoriam) por todo o amor e carinho que sempre, mesmo longe, me
dedicaram, e à minha irmã, por sempre estar ao lado dos meus pais e junto a mim. Principalmente agradeço ao meu pai que, infelizmente, perdi durante o percurso de elaboração da tese.
À minha amada filha, Maria Laura, que iniciou seu ciclo de vida nos
momentos finais desta caminhada, e mesmo com todos os problemas é e será um bebê muito valente e vitorioso que amarei para sempre.
À Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, que me
auxiliou em todos os momentos, orientando este trabalho com muito profissionalismo, amizade, compreensão, responsabilidade e dedicação, sempre motivando e acreditando em nosso projeto de trabalho.
Às Professoras Doutoras Maria José Ferreira da Silva, Dione Lucchesi de Carvalho, Laurizete F. Passos e Maria Lúcia L. Wodewotzki, pelas sugestões e valiosas contribuições na banca de
qualificação, que auxiliaram na reformulação e elaboração desta tese, e à Professora Celi A. Espasandin Lopes, por ter aceitado participar
Ao Professor João Pedro da Ponte, pelo apoio e atenção com que
coordenou meu estágio na Universidade de Lisboa, possibilitando trocas de experiências com pesquisadores e a participação em seminários de pesquisa que muito contribuíram para a reformulação e análise dos dados deste trabalho.
Ao Fábio Amaral, pelo auxílio e colaboração na primeira fase da
coleta dos dados.
Às Professoras que muito gentilmente aceitaram contribuir para esta investigação, com dedicação, empenho e amizade.
À minha grande e querida amiga Magna Coeli, que em qualquer
situação me apoiou e ajudou, mesmo nos momentos mais difíceis que passei nesse percurso, ou nas horas alegres, sempre acreditando em mim e auxiliando não apenas com as leituras e discussões acadêmicas, mas também filosóficas. Muito obrigada, minha grande amiga e irmã de coração, por tudo que fez e tem feito por mim!
À minha amiga Geisa e sua família, que me acolheram de braços
abertos em sua casa com muito carinho, amizade e apoio, fundamentais para que eu conseguisse concluir este trabalho e tivesse uma boa gravidez. Muito obrigada!
Às minhas amigas Luíza Ivana e Ana Rebeca pelo apoio, amizade e
ajuda com a leitura, sugestões e ajustes finais da tese.
Aos meus amigos queridos que encontrei em São Paulo e que tanto me apoiaram em todos os momentos: Gilson, Ivete, Rebeca, Victoria, Tony, Gabriela, Dani, Denise, Leka, Harrison, Gil e Francisco (Chiquinho). Muito obrigada por sua amizade! Sem vocês teria sido
muito mais difícil.
Aos meus colegas do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, Ana Maria, Milton, Eurivalda Santana, Franciana Castro, Aída, e à Irene Cazorla, que em minha
Ao corpo docente do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, com quem tive o privilégio de conviver e ser aluna, e especialmente à Coordenadora do Programa, Professora Doutora Sônia Barbosa Camargo Igliori, pelo apoio e
empenho em me ajudar com as questões burocráticas nos momentos mais difíceis.
Ao funcionário e amigo, Francisco Olimpio da Silva, pela amizade e
ajuda com as questões acadêmicas da secretaria.
À Jandyra, não apenas pelas correções do português, mas pelo carinho
e amizade com que me ajudou e apoiou nesse momento tão difícil.
À CAPES, pela concessão da bolsa flexibilizada e a bolsa do estágio de
doutoramento sanduíche.
À Universidade Federal do Piauí, pela liberação total das minhas
funções como professora, para me dedicar exclusivamente ao doutorado.
Enfim, agradeço a todos os que, de maneira direta ou indireta, contribuíram para a realização deste trabalho e fazem parte desta fase histórica de minha vida.
LEMOS, Maria Patrícia Freitas de. 2011. O Desenvolvimento Profissional de Professores do 1º ao 5º Ano do Ensino Fundamental em um Processo de Formação pra o Ensino e a Aprendizagem das Medidas de Tendência Central. Tese (Doutorado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática
R
ESUMO
O presente estudo tem por objetivo investigar que compreensão e desenvolvimento pedagógico e didático do conteúdo podem ser identificados em professores que atuam no Ensino Fundamental, do 1º ao 5º ano, sobre as Medidas de Tendência Central, a partir da investigação de seu desenvolvimento profissional numa formação continuada. Para tanto, estruturamos o estudo em dois momentos teóricos que organizaram nossa revisão bibliográfica: uma revisão dos estudos sobre Medidas de Tendência Central, que nos permitiu identificar as dificuldades enfrentadas pelos alunos e professores, e uma discussão sobre o desenvolvimento profissional do professor. O processo metodológico da pesquisa foi estruturado em cinco etapas distribuídas da seguinte forma: primeira etapa: aplicação de uma sequência de ensino em um curso de Estatística organizado em cinco encontros; segunda etapa: elaboração de uma tarefa; terceira etapa: análise da tarefa elaborada; quarta etapa: aplicação da tarefa em sala de aula, e quinta etapa: realização do processo de análise e discussão da aplicação da tarefa em sala de aula e sobre todo o processo de intervenção vivenciado. Participaram deste estudo seis professoras que lecionavam do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental na cidade de São Paulo, no período de desenvolvimento do projeto. Os resultados mostraram que as dificuldades iniciais identificadas nos protocolos construídos com diálogos e produções das professoras, na compreensão dos conceitos de média, moda e mediana e de suas propriedades, foram sendo superadas ao longo do processo, embora a análise global tenha mostrado a insuficiência da formação para a consolidação dessa construção conceitual. Em relação à elaboração e análise da tarefa, percebemos que as professoras tiveram dificuldades em articular os conteúdos de média, moda e mediana, não identificando as propriedades, o tipo de variável envolvida na tarefa e a influência destes no desenvolvimento da tarefa em sala de aula. Na análise de uma tarefa elaborada por elas, as professoras também demonstraram a falta de articulação, domínio e conhecimento do conteúdo. A aplicação dessa tarefa em sala de aula se configurou como um momento positivo em que as professoras puderam observar não apenas o bom desempenho dos alunos, mas repensaram em suas concepções e atitudes em relação à estatística, o que foi reforçado na etapa destinada à análise e discussão de todo o processo de intervenção. Pudemos constatar que as professoras conseguiram ampliar seu desenvolvimento profissional não apenas em relação aos conteúdos das medidas de tendência central, mas nas concepções, atitudes e conhecimento didático do conteúdo, assumindo suas dificuldades e percebendo a importância de um processo contínuo de formação.
LEMOS, Maria Patrícia Freitas de. 2011.The Professional Development of Teachers from the 1st to the 5th
grade of elementary school in a Training Process for Teaching and Learning Measures of Central Tendency. Tese (Doutorado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática.
A
BSTRACT
The following review aims to investigate what comprehension and educational and didactical development of the content can be identified in teachers that operate in basic education from the first to the fifth school year on the Measures of Central Tendency, from the investigation of their professional development on a continuous graduation. For so, we structured the review in three theoretical moments that organise our bibliographical review: a review of the studies on Measures of Central Tendency that allowed us to identify the obstacles faced by the students and teachers, and a discussion about the teacher's professional development. The methodological process of the research was structured in five stages distributed as follows: the first stage is the settlement of a teaching sequence in a Statistics course arranged in five meetings; the second stage is the elaboration of a task; the third stage is the analysis of the task elaborated; the fourth stage is the implementation of the task in classroom; and the fifth stage is the completion of the analysis process and discussion about the implementation of the task in classroom and the whole process of intevention experienced. Six teachers who taught from the first to the fifth school year of the basic education in the city of São Paulo participated in this study in the period of the development of the project. The results showed that the initial difficulties identified in the protocols built with dialogues and productions of the teachers, in the comprehension of the concepts of median, mode and media and of their properties, were overcome during the process, though the global analysis showed graduation insufficiency to the achievement of this conceptual construction. With respect to the elaboration and analysis of the task, we realised that the teachers had trouble in enunciating the contents of median, mode and media, not identifying the properties, the kind of variant involved in the task and their influence in the development of the task in classroom. In the analysis of a task elaborated by them, the teachers also showed lack of articulation, master and knowledge of the content. The implementation of the task in classroom took place as a positive moment in which the teachers could see not only the good performance of the students, but also could reconsider their conceptions and attitudes towards the Statistics, which was reinforced in the stage destinated to the analysis and discussion about the whole process of intervention. We came to the realisation that the teachers could enlarge their professional development not only in what comes to the contents of the Measures of Central Tendency, but in their conceptions, attitudes and educational knowledge of the content, admitting their difficulties and realising the importance of a continuous graduation process.
S
UMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 17
CAPÍTULO 1 ... 21
A PROBLEMÁTICA ... 21
1.1 O despertar para a tese ... 21
1.2 Justificativa ... 24
1.3 Delimitação do problema ... 27
CAPÍTULO 2 ... 29
METODOLOGIA ... 29
2.1 A Escolha da Opção Teórico-Metodológica ... 29
2.1.1 Planejamento e organização da Intervenção ... 31
2.1.1.1 Primeira Etapa ... 31
2.1.1.2 Segunda etapa ... 32
2.1.1.3 Terceira etapa ... 33
2.1.1.4 Quarta etapa ... 33
2.1.1.5 Quinta etapa ... 34
2.1.2 Documentos escritos pelos professores ... 34
2.2 Universo da pesquisa ... 35
2.2.1 Sujeitos ... 35
2.2.2 Colaborador ... 36
CAPÍTULO 3 ... 39
INVESTIGAÇÃO SOBRE AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ... 39
3.1 Média ... 40
3.2 Mediana ... 42
3.3 Moda ... 43
3.4 Pesquisas sobre as dificuldades dos alunos com medidas de tendência central ... 43
3.5 Pesquisas sobre as dificuldades de professores com medidas de tendência central ... 53
CAPÍTULO 4 ... 61
O DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES ... 61
4.1 Reflexão a respeito de formação de professores ... 61
4.2 Desenvolvimento profissional do professor ... 65
4.3 Desenvolvimento pedagógico e didático do conteúdo no ensino da Estatística ... 69
CAPÍTULO 5 ... 75
A RELAÇÃO ENTRE ALFABETIZAÇÃO E LETRAMENTO ... 75
5.1 Letramento estatístico ... 76
CAPÍTULO 6 ... 83
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 83
6.1 Descrição da intervenção ... 83
6.2 Apresentação e análise do Curso de Estatística ... 84
6.3 Construção da tarefa ... 121
6.4 Roteiro e o plano de aula ... 129
6.4.1 Plano de aula das professoras Magna e Juliana ... 130
6.4.2 Plano de aula das professoras Rebeca e Paula ... 135
6.4.3 Plano de aula das professoras Luíza e Ivete ... 137
6.5 Validação da tarefa ... 143
6.6 Socialização e afetividade ... 149
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 161
Pesquisas futuras ... 172
REFERÊNCIAS ... 175
APÊNDICES ... 187
APÊNDICE A: Roteiro para elaboração do Plano de Aula ... 187
APÊNDICE B: Questionário Perfil ... 188
APÊNDICE C: Carta de esclarecimento sobre o Projeto de Pesquisa e Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ... 189
L
ISTA DE
Q
UADROS
Quadro 1: Perfil das professoras participantes do estudo ... 35
Quadro 2: Modelo de formação do professor ... 64
Quadro 3: Modelo de letramento estatístico ... 78
L
ISTA DE
F
IGURAS
Figura 1: Representação da tarefa 1 da professora Magna ... 85
Figura 2: Representação da tarefa 1 da professora Ivete ... 85
Figura 3: Representação da tarefa 1 da professora Luíza ... 86
Figura 4: Representação da tarefa 2, item A da professora Ivete ... 87
Figura 5: Representação da tarefa 2, item A da professora Rebeca ... 87
Figura 6: Representação da tarefa 2, item A da professora Luíza ... 88
Figura 7: Representação da tarefa 2, item A da professora Juliana ... 88
Figura 8: Representação da tarefa 2, item A da professora Magna ... 89
Figura 9: Representação da tarefa 2, item B da professora Magna ... 90
Figura 10: Representação da tarefa 2, item B da professora Ivete ... 90
Figura 11: Representação da tarefa 2, item B da professora Luíza ... 91
Figura 12: Representação da tarefa 3, item A da professora Ivete ... 92
Figura 13: Representação da tarefa 4, item A da professora Magna ... 95
Figura 14: Representação da tarefa 4, item A da professora Ivete ... 95
Figura 15: Representação da tarefa 4, item A da professora Luíza ... 95
Figura 16: Representação da tarefa 4, item B da professora Paula ... 96
Figura 17: Representação da tarefa 4, item B da professora Magna ... 96
Figura 18: Representação da tarefa 4, item B da professora Ivete ... 96
Figura 19: Representação da tarefa 4, item C da professora Magna ... 97
Figura 20: Representação da tarefa 4, item C da professora Ivete ... 97
Figura 21: Representação da tarefa 4, item C da professora Luíza ... 98
Figura 22: Representação da tarefa 4, item C da professora Juliana ... 98
Figura 23: Representação da tarefa 4, item C da professora Rebeca ... 98
Figura 25: Representação da tarefa 5, item A da professora Luíza ... 101
Figura 26: Representação da tarefa 5, item A da professora Juliana ... 101
Figura 27: Representação da tarefa 5, item B da professora Luíza ... 102
Figura 28: Representação da tarefa 5, item B da professora Ivete ... 102
Figura 29: Representação da tarefa 5, item C da professora Magna ... 102
Figura 30: Representação da tarefa 5, item C da professora Paula ... 102
Figura 31: Representação da tarefa 5, item C da professora Luíza ... 103
Figura 32: Representação da tarefa 6, item A da professora Juliana ... 105
Figura 33: Representação da tarefa 6, item A da professora Ivete ... 105
Figura 34: Representação da tarefa 6, item A da professora Luíza ... 105
Figura 35: Representação da tarefa 6, item B da professora Magna ... 105
Figura 36: Representação da tarefa 6, item B da professora Paula ... 105
Figura 37: Representação da tarefa 6, item B da professora Ivete ... 105
Figura 38: Representação da tarefa 7, item A da professora Juliana ... 107
Figura 39: Representação da tarefa 7, item A da professora Paula ... 108
Figura 40: Representação da tarefa 7, item B da professora Magna ... 108
Figura 41: Representação da tarefa 7, item B da professora Paula ... 108
Figura 42: Representação da tarefa 7, item B da professora Luíza ... 108
Figura 43: Representação da tarefa 7, item B da professora Rebeca ... 109
Figura 44: Representação da tarefa 7, item B da professora Ivete ... 109
Figura 45: Representação da tarefa 7, item B da professora Juliana ... 109
Figura 46: Representação da tarefa 8 da professora Magna ... 110
Figura 47: Representação da tarefa 8 da professora Juliana ... 110
Figura 48: Representação da tarefa 8 da professora Paula ... 110
Figura 49: Representação da tarefa 8 da professora Luíza ... 111
Figura 50: Representação da tarefa 8 da professora Ivete ... 111
Figura 51: Representação da tarefa 8 da professora Rebeca ... 111
Figura 52: Representação da tarefa 8 da professora Ivete ... 112
Figura 53: Representação da tarefa 9 da professora Juliana ... 112
Figura 54: Representação da tarefa 9 da professora Magna ... 113
Figura 55: Representação da tarefa 9 da professora Luíza ... 113
Figura 56: Representação da tarefa 10, item A da professora Ivete ... 115
Figura 57: Representação da tarefa 10, item A da professora Juliana ... 115
Figura 58: Representação da tarefa 10, item A da professora Magna ... 115
Figura 60: Representação da tarefa 10, item A da professora Paula ... 116
Figura 61: Representação da tarefa 10, item B da professora Juliana ... 116
Figura 62: Representação da tarefa 10, item B da professora Magna ... 116
Figura 63: Representação da tarefa 10, item B da professora Ivete ... 116
Figura 64: Representação da tarefa 10, item C da professora Paula ... 117
Figura 65: Representação da tarefa 10, item C da professora Juliana ... 117
Figura 66: Tarefa elaborada pelas professoras Luíza e Rebeca ... 123
Figura 67: Tarefa elaborada pelas professoras Paula e Ivete ... 124
Figura 68: Tarefa elaborada pelas professoras Paula e Ivete ... 124
Figura 69: Tarefa elaborada pelas professoras Magna e Juliana ... 125
Figura 70: Relatório posterior das professoras Magna e Juliana ... 146
I
NTRODUÇÃO
A Estatística atualmente compõe o currículo de Matemática em muitos países, desde a educação primária e secundária. E os professores têm um papel essencial ao interpretar esse currículo, adaptando-o à circunstância específica deste nível de escolaridade (PONTE, 2001).
Contudo, o ensino destes conteúdos nas escolas dependerá da importância transmitida aos professores de que a Estatística é um dos conteúdos fundamentais que devem ser ensinados aos seus alunos.
Para isso, a formação do professor deve ser um elemento decisivo para o ensino de qualidade. Esta é considerada a chave principal para a melhoria da aprendizagem dos alunos (PONTE, 2011).
Se quisermos formar cidadãos competentes na compreensão e interpretação da informação Estatística que se encontra na vida profissional e cotidiana, seria interessante e necessário que o processo de formação de professores tivesse em conta as possibilidades e dificuldades dos alunos nos conteúdos matemáticos. Para Silva et al. (1999), o professor deveria ser motivado e contar com destrezas e conhecimentos suficientes dos conteúdos matemáticos e estatísticos para ensinar a seus alunos, e também ser capaz de avaliar a qualidade de seu trabalho profissional.
rotineira de fórmulas e não como uma ferramenta de trabalho multidisciplinar, indispensável em sua vida profissional.
No entender de Ponte (2001), os professores podem aprender e mudar suas práticas, quando seguem uma trajetória profissional natural de desenvolvimento que dê suporte ao seu processo de desenvolvimento profissional.
Os professores necessitam de uma formação no conhecimento profissional relacionado com a educação estatística, que se adquire preferencialmente durante o exercício da docência. Llinares (2000) indica que a prática profissional do professor é o conjunto de atividades que gera quando realiza as tarefas.
A partir dessas reflexões despertou-nos o interesse em pesquisar sobre o processo de formação de professores e a ampliação de seu desenvolvimento profissional em exercício, particularmente no que se refere à abordagem de conteúdos estatísticos. Para isso, construímos nosso trabalho de pesquisas em sete partes distribuídas da seguinte forma:
No capítulo 1 procuramos contextualizar o tema de estudo, apresentando nosso interesse pela temática e a justificativa que articula a trajetória profissional. Descrevemos o levantamento de pesquisas relacionadas à formação de professores para o ensino de Estatística e a delimitação do problema de pesquisa.
Apresentamos no capítulo 2 a escolha da opção teórico-metodológica da pesquisa e a descrição das etapas da intervenção para coleta dos dados, juntamente com o universo da pesquisa, os sujeitos participantes, o colaborador e a caracterização da escola-locus para a realização do trabalho de campo.
O capítulo 3 apresenta uma revisão bibliográfica das pesquisas sobre as Medidas de Tendência Central desenvolvidas no mundo e no Brasil e sua articulação com nosso estudo.
No capitulo 5 realizamos uma reflexão sobre a diferença entre alfabetização e letramento, com o objetivo de compreender sua origem e proporcionar um embasamento para discussão do termo letramento estatístico e a importância deste em nosso trabalho de pesquisa e análise dos dados.
Apresentamos no capítulo 6 os resultados encontrados em nosso estudo, e a análise deles articulando-se com nosso referencial teórico.
C
APÍTULO
1
A PROBLEMÁTICA
1Contextualizamos o tema de estudo com interesse pela temática que articula nossa trajetória profissional. Apresentamos também um levantamento de pesquisas relacionadas à formação de professores para o ensino de Estatística e a delimitação do problema de pesquisa.
1.1 O despertar para a tese
A construção histórica de “ser professora” encaminha-se para o nosso desejo de realizar um apanhado científico que se concretiza na tese que chegamos a concluir, buscando contribuir para a Educação Matemática na formação de professores que ensinam Estatística.
Segundo Machado (1999), os professores têm dificuldades de ensinar Matemática ou mudar sua percepção e atitude em relação a esta área. Isto se torna um entrave na formação de professores, que acabam repassando a seus alunos suas próprias crenças. É muito mais comum, no dizer desse autor, que o professor pedagogo transmita aos seus alunos que “a Matemática é difícil“ e requer sacrifícios extraordinários para sua aprendizagem, o que deve ser superado. No entanto, quebrar esses paradigmas não se configura como um ato
__________
1
simples para o professor. Aventamos aqui a hipótese de que o mesmo acontece em relação aos conteúdos estatísticos a serem abordados nas séries iniciais de escolaridade, com base nos resultados observados em Silva (2000).
A mudança nas práticas do professor só ocorrerá se ele estiver disposto a mudar (THOMPSON, 1992; FULLAN, 1993; HARGREAVES, 1998), e tais práticas, inevitavelmente, são compostas por elementos de incerteza e tensão, pois o professor precisa sentir que controla os acontecimentos em sua sala de aula.
Um dos obstáculos para a mudança é a insegurança pessoal do professor, sobretudo quando este trabalha com uma determinada orientação curricular já há algum tempo, domina-a e sente-se confiante para resolver qualquer problema que lhe possa surgir. É natural que tenha relutância e receio para abandonar sua base de segurança, o que mostra que a mudança não é apenas um processo cognitivo, mas envolve, também, emoções (DAY, 1999).
Com a publicação, em 1997, dos Parâmetros Curriculares Nacionais para os primeiros ciclos do Ensino Fundamental/PCN-EF, o contexto brasileiro possibilita destaque ao ensino de Estatística, com a introdução de um bloco de conteúdos intitulado Tratamento da Informação. Este bloco é abordado na área da Matemática, juntamente com o conteúdo de Probabilidade e Combinatória, os quais orientam para a introdução desses conteúdos desde as séries iniciais de escolaridade. Com isto amplia-se o espaço para discussão e compreensão, sem que, contudo, se faça um trabalho equivalente nos currículos dos cursos que formam professores que devem ensinar tais conteúdos. Cria-se, dessa maneira, uma lacuna na formação do professor.
Na continuidade dos estudos com o Mestrado em Educação, iniciamos a trajetória em busca de contribuir para a mudança na concepção da importância dos conteúdos de Matemática, articulada com a formação dos professores.
Desenvolvemos uma pesquisa sobre os conteúdos básicos de Estatística, onde realizamos um estudo de caso com quatro alunos do curso de Pedagogia oriundos de duas universidades da cidade do Recife, sendo uma pública e outra particular. O objetivo principal foi identificar como o uso de atividades de análise a priori de tarefas contribui para a formação didática e conceitual do professor das séries iniciais sobre “interpretação de gráficos de barra”.
No decorrer do estudo, notamos a dificuldade dos sujeitos para interpretar gráficos de barra que aparecem nos livros didáticos direcionados aos 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental e, sobretudo, para responder a questões abordando variação e decrescimento dos valores da variável analisada, o que hoje é tratado por “estudo da variação dos dados”.
Concluímos que os sujeitos do estudo apresentaram familiaridade com questões que exigiam uma simples leitura dos dados. No entanto, quando as tarefas envolveram questões variacionais (crescimento, decrescimento e estabilidade), eles mostraram a falta de habilidade para a análise global do gráfico, atendo-se apenas a pontos isolados. Após essa primeira pesquisa, iniciamos efetivamente nossa inserção profissional no campo acadêmico.
Na prática profissional de ser professora de nível superior, no papel de professora substituta da UFPE durante dois anos e lecionando as disciplinas de Didática e Estágio Supervisionado de 1º Grau, percebemos que o discurso em relação à escolha para o curso de Pedagogia continuava com a ausência da Matemática, e ainda persistia essa variável motivacional.
o mesmo discurso: os alunos encaravam a Matemática como uma barreira muito difícil de ser transposta.
Paralelamente, em cursos de extensão e capacitação na área de Educação Matemática em curso de formação continuada de professores, em convênios com prefeituras do Estado do Piauí, também pudemos identificar a mesma dificuldade nos professores do Ensino Fundamental I já em exercício. Para estes, a Matemática ainda motiva a necessidade por tarefas “mágicas” que ajudem a ensinar esses conteúdos a seus alunos. O que os professores solicitavam era um modo mais prático de como ensiná-los.
A partir dessas experiências de pesquisadora em formação e professora, surgiu no doutorado o interesse em investigar que compreensão e que desenvolvimento pedagógico e didático do conteúdo podem ser identificados em professores que atuam no Ensino Fundamental do 1º ao 5º ano sobre as Medidas de Tendência Central, a partir da investigação de seu desenvolvimento profissional numa formação continuada.
Direcionando ainda mais o foco da questão formulada, decidimos pesquisar “como poderemos contribuir com o desenvolvimento profissional do professor das séries iniciais do Ensino Fundamental I, e assim favorecer uma possível mudança em suas concepções em relação à Matemática e ao ensino de Estatística nas séries iniciais”. Com isso, pretendemos contribuir para a formação dos professores: que eles possam refletir sobre sua prática profissional e ampliar seus conhecimentos em relação ao conteúdo a ser ensinado aos alunos, particularmente aqueles relativos à média, moda e mediana.
1.2 Justificativa
(SAEB2), os alunos ainda continuam apresentando baixos índices de desempenho, sobretudo na disciplina Matemática (SAEB, 2005).
O exame realizado em 2005 observou que na 4ª série do Ensino Fundamental, a média de desempenho nacional foi de 182 pontos, em uma escala de proficiência em Matemática que varia de 150 a 350. Com isso, observamos que as habilidades dos alunos em Matemática estão aquém do que seria esperado para um aluno de desempenho mediano, e até abaixo das esperadas para a 4ª série.
Este resultado pode ser o reflexo da dificuldade dos professores dessas séries, ou mesmo a falta de compreensão e de formação adequada para trabalharem com os conteúdos tanto da Matemática como da Estatística.
No entanto, vivemos num mundo globalizado e informatizado, dizem Echeveste et al. (2005), rodeados por uma quantidade de dados, e não podemos deixar de pensar quanto a Estatística é útil e quanto esta ciência vem se configurando como uma das competências mais importantes para quem precisa tomar decisões.
Nesta mesma perspectiva,Moore (2005) afirma:
Não podemos escapar dos dados, assim como não podemos evitar o uso de palavras. Tal como palavras, os dados não se interpretam a si mesmos, mas devem ser lidos com entendimento. Da mesma maneira que um escritor pode dispor as palavras em argumentos convincentes ou frases sem sentido, assim também os dados podem ser convincentes, enganosos ou simplesmente inócuos. A instrução numérica, a capacidade de acompanhar e compreender argumentos baseados em dados é importante para qualquer um de nós. O estudo da Estatística é parte essencial de uma formação sólida. (MOORE, 2005, p. 4).
Nesse sentido, a escola é vista como o lugar ideal para o desenvolvimento dessa formação sólida, pois como afirma Freire (2005), a natureza da Educação é política e esta tem um poder domesticador ou libertador, dependendo do uso que se faz dela. Ou seja, pensamos que essa formação sólida é que permite ao sujeito o exercício da plena cidadania.
__________
2
Mesmo antes desses trabalhos citados, já nessa perspectiva Batanero (2000) explica que a Estatística se integra ao currículo da disciplina de Matemática, devido ao reconhecimento de sua crescente importância na vida cotidiana. Para a autora, ajudar os alunos e jovens a compreender progressivamente as ideias Estatísticas fundamentais não é uma tarefa simples, pois é necessário adaptar estas ideias e suas capacidades cognitivas e elaborar situações didáticas que propiciem a aprendizagem significativa.
Nessa mesma perspectiva, Lopes (2004, p. 189) assevera que a escola “deve possibilitar a seus alunos uma formação de conceitos que os auxiliem no exercício da cidadania”. Para esta autora, os alunos devem ser capazes de ler e interpretar as informações e dados que veem a todo o momento expressos em listas, tabelas e gráficos de vários tipos. Estes ganham importância e credibilidade e são difíceis de ser validados ou refutados pelo cidadão comum que, muitas vezes, não possui os conhecimentos estatísticos ou do contexto do qual os dados representados foram extraídos, necessários para contra-argumentar.
Deste modo, concordamos com os documentos e pesquisadores que orientam para a importância e necessidade do ensino dos conceitos estatísticos desde as séries iniciais. Esses podem auxiliar os alunos a compreender as informações veiculadas em seu cotidiano, tomar decisões e fazer previsões que influenciem sua vida pessoal, social e profissional.
Entretanto, será que em nossas escolas esses conteúdos estão sendo realmente trabalhados? Será que nossos professores do Ensino Fundamental e Médio têm formação e conhecimentos necessários para ensinar os conceitos básicos da Estatística Descritiva, articulando-os com situações do cotidiano de forma significativa para nossos alunos?
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental – PCN (BRASIL, 1997) – defendem o trabalho com este conteúdo, desde as séries iniciais, integrando a Estatística e a Matemática:
O ensino de Estatística deve fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-dia. “A finalidade não é a de que os alunos aprendam apenas a ler e a interpretar representações gráficas, mas que se tornem capazes de descrever e interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos (BRASIL, 1997, p. 69).
As questões e reflexões apresentadas neste item justificam nossa inquietação e motivação, com o intuito de investigar a compreensão e o desenvolvimento pedagógico e didático do conteúdo de professores que atuam do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental sobre Estatística Descritiva, a partir da investigação de seu desenvolvimento profissional numa formação continuada.
1.3 Delimitação do problema
O presente trabalho de investigação pretende responder à seguinte questão de pesquisa:
Que compreensão e que desenvolvimento pedagógico e didático do conteúdo podem ser identificados em professores que atuam no Ensino Fundamental do 1º ao 5º ano sobre as Medidas de Tendência Central, a partir da investigação de seu desenvolvimento profissional numa formação continuada?
Visando a responder a esta questão, optamos por formular questões suplementares:
• O que as professoras aprenderam sobre a didática da Estatística no decorrer de todo o processo de desenvolvimento desta pesquisa?
• Qual o papel, no desenvolvimento profissional do professor, de uma formação especialmente desenhada para trabalhar com Medidas de Tendência Central?
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APÍTULO
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METODOLOGIA
Neste capítulo apresentamos a escolha da opção teórico-metodológica para o desenvolvimento da pesquisa e a descrição das etapas da intervenção para coleta dos dados. Mostramos o universo da pesquisa, os sujeitos participantes, o colaborador e a caracterização da escola-locus para realização do trabalho de campo.
2.1 A Escolha da Opção Teórico-Metodológica
A pesquisa qualitativa supõe o contato direto do pesquisador com o fenômeno em estudo e o ambiente em que a situação investigada acontece. O material obtido neste tipo de pesquisa é rico em descrições de pessoas, situações, acontecimentos, e isto inclui transcrições de entrevistas e de depoimentos que podem ser coletados em áudio e vídeo, fotografias, desenhos e extratos de vários tipos de documentos. Citações são usadas para auxiliar na compreensão e análise do problema em estudo (LÜDKE e ANDRÉ, 1986, p. 11).
processo intrinsecamente inacabado e permanente. Minayo (1999) elucida que qualquer estudo da realidade, por mais objetivo que possa parecer, por mais ingênuo ou simples nas pretensões, tem a norteá-lo um arcabouço teórico que informa a escolha do objeto, todos os passos e resultados teóricos e práticos.
Diferentemente da arte e da poesia que se concebem na inspiração, a pesquisa é um labor artesanal, que se não prescinde da criatividade, se realiza fundamentalmente por uma linguagem fundada em conceitos, proposições, métodos e técnicas – linguagem que se constrói com um ritmo próprio e particular.
A pesquisa qualitativa trabalha com o universo de significados, motivações, aspirações, crenças, valores e atitudes, o que corresponde a um espaço mais profundo das relações, dos processos e dos fenômenos que não podem ser reduzidos à operacionalização de variáveis (MINAYO, 1994). Para esta autora, a investigação qualitativa requer como atitudes fundamentais a abertura, a flexibilidade, a capacidade de observação e de interação com o grupo de investigadores e com os atores sociais envolvidos (MINAYO, 1999, p. 101).
Demo (1997) acredita que pesquisador não somente é quem sabe acumular dados mensurados, mas, sobretudo, quem nunca desiste de questionar a realidade, sabendo que qualquer conhecimento é apenas um recorte. Em todo processo de pesquisa, torna-se necessário escolher uma metodologia adequada ao tipo de investigação que também vai depender dos objetivos a que se propõe o estudo e do tipo de questões a que almejamos responder. Ou seja, da natureza do fenômeno em estudo e das condições em que este se desenvolve.
De acordo com Patton (1986, apud ALVES-MAZZOTTI e
GEWANDSZNAJDER, 1998, p. 131) a principal característica da pesquisa qualitativa é o fato de que esta segue a tradição compreensiva ou interpretativa. Isto significa: parte do pressuposto de que as pessoas agem em função de suas crenças, percepções, sentimentos e valores e que seu comportamento tem sempre um sentido, um significado que não se dá a conhecer de modo imediato, precisando ser desvelado.
2.1.1 Planejamento e organização da Intervenção
Para a realização deste trabalho de pesquisa e desenvolvimento dos procedimentos para a coleta dos dados, estruturamos o processo de intervenção em cinco etapas. A primeira constou da aplicação de uma sequência de tarefas durante um curso de Estatística organizado em cinco encontros na própria escola na qual as professoras, nossos sujeitos de pesquisa, atuavam.
As outras quatro etapas constaram da elaboração e produção de documentos pelos sujeitos investigados, recolhidos para compor nosso material de análise, bem como as audiogravações de algumas fases do processo de coleta dos dados.
Os encontros tiveram em média a duração de uma hora e meia cada, sendo que alguns ultrapassaram este tempo para que não se interrompesse uma atividade em momento inadequado para o desenvolvimento dos conhecimentos explorados no grupo. Utilizamos mensagens por e-mail para trocar informações, repassar o material produzido pelas professoras participantes da pesquisa e enviar as tarefas elaboradas na segunda etapa da coleta de dados.
As cinco etapas do processo de coleta dos dados foram distribuídas da seguinte forma:
2.1.1.1 Primeira Etapa
Realização do Curso de Introdução à Estatística para Professores do 1º ao 5º ano das séries iniciais, que serviu de base para a aplicação da sequência de ensino composta de dez atividades, aplicadas em cinco encontros nos quais procedemos à discussão das tarefas propostas.
GODINO, (2005); MAYÉN et al.(2007); BOAVENTURA e FERNANDES (2004); GARRETT e GARCÍA CRUZ (2009); FERNANDES e BARROS (2005).
No conjunto dos trabalhos consultados, foram observadas diversas tarefas elaboradas para diagnosticar conhecimentos ou introduzir conceitos referentes à média, moda e mediana pela utilização de tabelas, gráficos e resolução de problemas, como formas de abordagem do conteúdo. Organizamos a nossa sequência de ensino em um grau de dificuldade crescente, para que a cada tarefa trabalhada fosse necessário nos reportarmos às estratégias utilizadas na tarefa anterior, proporcionando a construção de novas estratégias de solução.
Buscamos contextualizar e adaptar as tarefas da sequência de ensino com base no dia a dia de discentes das séries iniciais do Ensino Fundamental, para que os professores participantes da intervenção pudessem incorporá-la à sua prática profissional. Partimos assim do pressuposto de que haveria incorporação dos conceitos estudados, permitindo construir uma medida de análise para o desenvolvimento profissional.
2.1.1.2 Segunda etapa
Houve participação efetiva dos professores e indireta dos pesquisadores. Propusemos às professoras que elaborassem uma tarefa para ser aplicada em sala de aula. O processo de elaboração foi realizado em duplas, para após selecionarem uma única tarefa para o grupo todo, que foi aplicada em sala de aula.
Os pesquisadores concentraram-se no processo de identificação dos critérios utilizados pelo grupo para a seleção da tarefa, e as relações estabelecidas entre o conteúdo trabalhado na primeira etapa e a proposta selecionada, uma vez que a explicitação de tais critérios poderia também nos fornecer indícios para identificar seu desenvolvimento profissional.
e faixa etária próxima, e também pela questão do tempo, já que lecionavam em mais de uma escola e o tempo era pouco, e com isto não dispunham de tanto tempo para elaboração, discussão e reflexão sobre as atividades que teriam que desempenhar. Na opinião das professoras, em duplas seria mais proveitoso e teriam com quem discutir e dividir o trabalho.
2.1.1.3 Terceira etapa
Nesta etapa foi analisada a tarefa elaborada na fase anterior. As professoras, em dupla, utilizaram o instrumental didático elaborado pela pesquisadora, que foi apresentado ao grupo em forma de um roteiro de plano de aula, contendo os objetivos, conteúdos visados e necessários, procedimentos, solução correta do problema e os comportamentos esperados.
Compunha essa etapa também a proposta para uma reflexão sobre as possíveis dificuldades que seus alunos poderiam enfrentar diante da tarefa previamente elaborada. Todo material de análise estruturado pelo grupo foi entregue por escrito à pesquisadora, concluindo assim o resgate de memória e reflexão dos dados já produzidos pelas professoras para validar seus conhecimentos prévios.
2.1.1.4 Quarta etapa
Esta etapa se constituiu pela aplicação e análise da tarefa na sala de aula pelas professoras. Esta fase do trabalho, como explicitado anteriormente, foi realizada em duplas. Este momento da coleta foi dedicado à avaliação dos resultados obtidos na fase anterior, ou seja, análise da aplicação da tarefa, confrontando o que foi previsto no roteiro de aula, elaborado na terceira fase, com o efetivamente desenvolvido em sala de aula, nesta fase.
séries iniciais e a importância desses conteúdos nos primeiros anos de escolaridade.
2.1.1.5 Quinta etapa
Momento de socialização e afetividade. Prática autônoma dos professores através da realização de um encontro técnico-pedagógico nos moldes das reuniões de planejamento e avaliação feitos pela escola, as quais tinham total domínio da técnica que chamamos de mesa-redonda. Oportunidade de discutir e socializar o resultado da aplicação da tarefa e do processo de formação.
O papel do pesquisador foi de mediador das discussões, dispondo-se a observar e coletar relatos significativos das professoras e instigar as reflexões sobre o processo de construção da tarefa – como realizaram sua aplicação na prática e na análise do “esperado e o acontecido” em sala de aula.
2.1.2 Documentos escritos pelos professores
Durante a formação, coletamos todas as produções do grupo de professores produzidas nas etapas, como as respostas dadas na sequência de ensino, a tarefa elaborada e suas análises prévia e a posteriori. Sobre este tipo de análise, Lüdke e André (1986) argumentam que a análise de documentos permite a obtenção de dados, quando a interação com os sujeitos puder alterar seu comportamento ou seus pontos de vista, podendo complementar as informações obtidas pela observação. Assim, como Phillips especifica (1974, p. 187, apud LÜDKE e ANDRÉ, 1986, p. 38), consideramos documentos “quaisquer materiais escritos que possam ser usados como fonte de informação sobre o comportamento humano”.
2.2 Universo da pesquisa
2.2.1 Sujeitos
Participaram desta pesquisa seis professoras que chamaremos pelos nomes fictícios de Juliana, Luíza, Ivete, Rebeca, Magna e Paula, com idade entre 44 e 52 anos, que possuem experiência de ensino do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental (EF - I), lecionando há mais de 20 anos. O grupo em sua totalidade possui o curso de Magistério de Nível Técnico, com exceção da professora Rebeca, que tem como graduação o curso de Jornalismo e Letras e Pós-Graduação em Psicopedagogia. No grupo pesquisado predomina a formação de Pedagogia em nível superior.
As seis professoras cursaram em sua formação de graduação a disciplina de Estatística. Cinco lecionam em duas escolas da rede pública e uma leciona na escola pesquisada.
O Termo de Consentimento Livre e Esclarecido para utilização dos dados coletados foi assinado por todas e encontra-se no Apêndice C.
Quadro 1: Perfil das professoras participantes do estudo
Nomes
fictícios Tempo que leciona3 Nível que leciona
Formação nível técnico
Magistério
Formação superior
Quantidade de escolas que lecionam
Magna + 20 anos EF -I Sim Pedagoga 2
Juliana - 20 anos EF –I Sim Pedagoga 2
Paula + 20 anos EF –I Sim Pedagoga 2
Rebeca - 20 anos EF –I Sim Pisicopedagoga 2
Ivete + 20 anos EF –I Sim Pedagoga 1
Luíza + 20 anos EF -I Sim Pedagoga 2
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2.2.2 Colaborador
O professor Fábio Amaral4, na época cursando o Mestrado Profissional na PUC-SP, participante do mesmo grupo de pesquisa no qual desenvolvemos este trabalho (grupo PEA-MAT), nos auxiliou na primeira etapa da coleta dos dados, uma vez que sua pesquisa de mestrado foi correlata à nossa, tendo como objeto de estudo o mesmo grupo de professoras e a mesma sequência de ensino.
Ele participou da primeira etapa de coleta dos dados, nos ajudando na discussão e elaboração da sequência de ensino, realizada em encontros presenciais e via e-mail.
O trabalho de Amaral tinha como interesse e objetivo validar a sequência didática que contemplava os conteúdos de moda, mediana e média aritmética, e para isto fez as análise segundo os níveis de funcionamento e conhecimentos técnicos, mobilizáveis e disponíveis, nos termos de Robert (1998). A questão a ser respondida por ele foi: “Uma sequência de ensino com enfoque na moda, média aritmética e mediana, com professores do Ensino Fundamental, pode contribuir para ampliar os conhecimentos desses conteúdos?”
O professor Amaral exerceu a função de coordenador de Matemática na escola pesquisada, e esta relação profissional auxiliou no convite às professoras para participar das nossas pesquisas, e no decorrer de todo o processo de intervenção e coleta dos dados nas cinco fases. Foi o formador na execução do curso de Introdução à Estatística, com a aplicação da sequência de ensino.
2.2.3 Caracterização da escola-locus para realização do trabalho de campo
A escola pública, palco da pesquisa, está situada na cidade de Osasco, pertencente à região metropolitana da cidade de São Paulo. Atende alunos do 1º ano do Ensino Fundamental até o 4º ano do Ensino Médio de Nível Técnico. No __________
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período da manhã funcionam o Ensino Médio e o Ensino Médio Técnico até a 2ª série; no período vespertino funciona o Ensino Fundamental I e II do 1º ao 9º ano, e no período noturno funcionam apenas os cursos de Ensino Médio Técnico do 1º ao 4º ano.
Em termos de estrutura física, a escola possui 32 salas de aula em boas condições, um ginásio com duas quadras, uma biblioteca equipada, uma sala de leitura para o Ensino Fundamental, duas salas de audiovisuais, uma gráfica e laboratórios, que compreendem: um laboratório de construção civil, três laboratórios de eletrônica, seis laboratórios de informática, dois laboratórios de Física e Biologia, e um laboratório de Química. Os laboratórios atendem principalmente os cursos de nível técnico com habilitação em Informática, Eletrônica ou Construção Civil.
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APÍTULO
3
INVESTIGAÇÃO SOBRE AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTRAL
Neste capítulo apresentamos uma revisão bibliográfica das pesquisas sobre as Medidas de Tendência Central desenvolvidas no Brasil e internacionalmente e sua articulação com nosso estudo.
Segundo Mayén, Batanero e Balderas (2007)5, as Medidas de Tendência Central tem suscitado grande interesse em vários pesquisadores em Educação Estatística, por serem conceitos estatísticos básicos, assim como pela constatação de que as Medidas de Tendência Central não são sempre bem compreendidas pelos estudantes da educação fundamental e superior.
Em pesquisa anterior, Batanero (2000) destaca que diante da complexidade destes conceitos, é necessário um período de ensino ao longo da educação primária e secundária para se conseguir um progressivo acompanhamento dos significados pessoais que os alunos constroem para os significados institucionais. Observamos no Brasil, desde a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais em 1997, esta proposta de abordagem desses temas desde as séries iniciais de escolaridade. No entanto, isso nem sempre é
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cumprido em termos de currículo praticado, ficando na maior parte do tempo como currículo prescrito, conforme resultados de diversas pesquisas na área.
As Medidas de Tendência Central, de posição ou medidas de centro são, na acepção de Triola (2008, p. 62), “um valor no centro ou meio do conjunto de dados”. Entre elas, as mais importantes são a média, moda e mediana, objetos de nosso estudo.
Nesta seção apresentaremos cada tipo de medida de posição, procurando articulá-los com algumas pesquisas realizadas sobre essa temática, com o objetivo de compreender esse objeto estatístico tanto em relação à gênese desses conteúdos como em relação às dificuldades cognitivas e didáticas intrínsecas a ele.
3.1 Média
Carvalho (2001) citando Lavoie e Gattuso (1998) e Batanero (2000) assegura que a média é um conceito que tem sua origem desde a Antiguidade, devido à necessidade sentida pelos babilônios de eliminar erros de medições sucessivas sobre a altura dos astros. A fim de resolver este problema, a forma por eles encontrada para estimar o verdadeiro valor após várias medições, foi calcular a soma de todas as medidas e dividi-la pelo número de dados.
Como podemos observar, a média surgiu de uma necessidade de resolução de um problema real que até hoje se mantém, e como apresentam Cazorla e Santana (2006), a média aritmética é a mais popular de todas as medidas. Na fala dessas autoras, até mesmo pessoas leigas têm uma noção intuitiva desse conceito, sendo amplamente utilizado no cotidiano. Temos como exemplo as médias escolares, ou mesmo as médias de consumo de água, luz, e outras, apresentadas nas faturas mensais.
Por ser um dos conceitos mais desenvolvidos na teoria estatística, por sua robustez quanto aos cálculos mais avançados utilizados como ferramenta na Estatística inferencial, Carvalho (2001), ainda citando Gattuso e Mary (1998), aponta que a média é um dos objetos estatísticos mais documentados (ou referenciados ou pesquisados) na literatura, quando investigamos acerca do modo como os alunos, principalmente universitários, o apreendem e compreendem. Essa autora ainda afirma que o interesse dos investigadores pelos conceitos de Medida de Tendência Central com alunos não universitários ainda é recente, basicamente no que se refere à problemática de como tais conceitos são construídos por estes alunos.
Muitos estudos (BATANERO, 2000; LI e SHEN, 1992; STRAUSS e BICHLER, 1988; CAI, 1995; WATSON e MORTIZ, 2000; MOKROS e RUSSEL,1995, entre outros) discutem que a compreensão da média vem acompanhada de dificuldades em diversos níveis. Estas dificuldades se relacionam com aspectos procedimentais e conceituais, a saber, referem-se à compreensão do conceito e sua definição, à compreensão das propriedades do conceito, ao uso adequado do algoritmo do cálculo, entre outras.
Batanero (2000) afirma ainda que a média e outras Medidas de Tendência Central tiveram um lento desenvolvimento dentro da Matemática, até o momento em que foram incluídas no ensino. Essa autora entende que uma análise epistemológica de um conceito é necessária quando queremos refletir sobre a dificuldade que o aluno apresenta na sua aprendizagem. Neste sentido, a referida autora desenvolveu um estudo sobre a média aritmética e a sua evolução até o que hoje conhecemos no que a autora denomina “primeiramente como útil implícito na solução de problemas práticos, mais tarde como objeto de estudo em si mesmo” (BATANERO, 2000, p. 43).
Um objeto pequeno foi pesado com o mesmo instrumento por oito estudantes de uma classe, obtendo-se os seguintes valores: 6,2; 6,0; 6,0; 6,3; 6,1; 6,23; 6,15; 6,2. Qual seria a melhor estimação do peso real do objeto? (BATANERO, 2000, p. 42).
A autora acrescenta que a maioria dos alunos somará os valores e dividirá por oito para obter o valor de 6,1475. Esta estratégia de solução é similar à utilizada pelos astrônomos babilônicos.
Outro exemplo da utilização da média é quando se necessita obter uma quantidade equitativa a repartir para conseguir uma distribuição uniforme.
Algumas crianças levaram caramelos para a classe. André levou 5 caramelos, Maria levou 8, José 6, Carmem 1 e Daniel não levou nenhum. Quantos caramelos cada criança deveria receber de forma equitativa? (BATANERO, 2000, p. 43).
A média também serve como elemento representativo de um conjunto de valores dados, cuja distribuição é aproximadamente simétrica.
A altura de um grupo de alunos é 157 cm, 159 cm, 160 cm, 163 cm. Qual altura você escolheria para representar o grupo? (MORENO, 2010, p. 42).
Batanero (2000) ressalta que para representar um conjunto de dados, se toma a média por suas propriedades de localização central, por ser o “centro de gravidade desse conjunto”, em uma alusão à similaridade com o conceito de baricentro de um conjunto de pontos no plano. Esta autora ainda complementa: se a distribuição for muito assimétrica, o valor mais frequente é a (moda) ou o valor central do conjunto de dados ordenados (mediana) poderia ser mais representativo (BATANERO, 2000, p. 43).
3.2 Mediana
supera essa desvantagem por que ela não é tão sensível a valores extremos. Enquanto a média utiliza todos os valores observados na sua determinação, a mediana depende apenas da posição que esses valores ocupam no conjunto ordenado dos dados.
A mediana de um conjunto de dados é definida por Triola (2008, p. 64) como a medida de centro que é o valor do meio quando os dados originais estão arranjados em ordem crescente (ou decrescente) de magnitude.
Cobo e Batanero (2000) sustentam que a definição de mediana é excessivamente difícil para os alunos, por este conceito estar relacionado com o raciocínio proporcional e a compreensão das ideias de ordem e distribuição, que com frequência causam dificuldade aos alunos. Deste modo, não é simples dar uma definição clara e concisa de mediana que não leve à confusão.
3.3 Moda
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre mais frequentemente. Ou seja, é o valor mais típico ou mais comum em uma distribuição. A moda não é muito usada com dados numéricos, e entre as diferentes medidas de centro que estamos estudando, esta é a única que pode ser usada com dados no nível nominal de mensuração (TRIOLA, 2008, p. 65).
Quando uma distribuição apresentar dois valores de frequência que sejam máximos (picos ou valores máximos) ela é conhecida como uma distribuição
bimodal. As distribuições com mais de dois picos são conhecidas como
multimodais.
3.4 Pesquisas sobre as dificuldades dos alunos com Medidas de
Tendência Central
investigações, Strauss e Bichler (1988) realizaram um estudo com 80 alunos do primário com idades de 8 a 14 anos, distribuídos em quatro grupos. O objetivo era investigar o desenvolvimento e a evolução da compreensão dos aspectos conceituais em relação à média pelos alunos. Para isto, esses autores coletaram os dados com uma metodologia denominada modelo de desenvolvimento evolutivo, que consistiu em conhecer como os elementos-chave do conceito vão evoluindo ao longo de uma etapa.
A média aritmética é um conceito que os alunos não assimilam de maneira espontânea. Deste modo, os autores propuseram tarefas nas quais a palavra média não fazia parte das instruções dadas pelo pesquisador, e que também simulassem situações da vida real. As tarefas exploraram sete propriedades da média aritmética a serem trabalhadas com os alunos:
a) A média é um valor compreendido entre os extremos da distribuição.
b) A soma dos desvios de cada valor da média é igual a zero.
c) O valor médio é influenciado pelos valores de cada um dos dados.
d) A média nem sempre corresponde a um dos valores dos dados.
e) O valor obtido da média de números inteiros pode ser uma fração que não tenha sentido no contexto dos dados.
f) Os valores nulos (zero) têm que ser considerados no cálculo da média.
g) A média é um representante do conjunto de dados a que diz respeito.
na origem de dois níveis de complexidade distintos, tendo-se revelado mais difíceis para os alunos os dados de tipo contínuo6.
Num outro estudo, Leon e Zawojewski (1991 apud RIBEIRO, 2005) replicaram parte do estudo de Strauss e Bichler (1988) com 204 crianças entre 8 e 14 anos nos Estados Unidos. As autoras analisaram o efeito da idade sobre a compreensão das propriedades: a) a soma dos desvios em relação à média é zero; b) a média é um valor representativo em relação às outras Medidas de Tendência Central; e c) os valores nulos devem ser considerados no cálculo da média. Os resultados mostraram que a compreensão das diferentes propriedades não é igual para todos os sujeitos, pois as que se relacionam com o valor zero e com a representatividade da média são consideradas mais difíceis para os alunos, os quais têm que recorrer a outros conhecimentos para além do algoritmo para resolvê-los.
Russel e Mokros (1990) investigaram a compreensão de alunos com idades de 9 a 13 anos sobre a representatividade que tem a média aritmética. Segundo esses autores, este é um conceito básico desde o momento em que se necessita descrever um conjunto de dados de forma concisa. Como resultados, identificaram nos alunos uma concepção de média que não estava em acordo com o adequado, porquanto assumiram a média como moda (valor da variável com a maior frequência observada), ou média como ponto médio (referência à ideia de mediana), ou como ponto de equilíbrio (referência à ideia de média). Ou seja, três concepções distintas para uma mesma noção, sendo que a coincidência destas três existe apenas em distribuições absolutamente simétricas (como o exemplo de fenômenos que podem ser modelados pela distribuição normal de probabilidades).
Em relação a esse último tipo de apreensão (média como ponto de equilíbrio), os autores dizem que os alunos que se encontram neste estágio estão construindo o conceito de média de forma adequada (supomos aqui adequada em relação à sua significação). Estes autores concluíram que construir a ideia de representatividade é fundamental para qualquer trabalho com as medidas, e é um
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São os dados cujos valores são representados por números reais. Tal tipo de variável recebe o nome de
requisito para desenvolver as definições de medidas particulares como a média e a mediana. Outro ponto interessante apontado neste trabalho é que a introdução prematura do algoritmo do cálculo da média faz com que os alunos percam o significado de representatividade. Este é um resultado importante e que será um dos eixos para a construção das atividades em nossa fase experimental.
No estudo realizado por Cai (1995) com 250 alunos que cursam o 6º ano de escolaridade nos Estados Unidos, revelou-se que 90% dos alunos que participaram de sua investigação conheciam o mecanismo de somar todos e dividir, que constitui o algoritmo para o cálculo da média, vale dizer, utilizavam a aplicação direta do algoritmo para resolver os problemas propostos. Entretanto, apenas 50% dos alunos que participaram no estudo foram capazes de determinar um valor desconhecido num pequeno conjunto de dados, apresentado sob a forma de pictograma, para se determinar o valor da média. Outro ponto observado é que muitos alunos que são capazes de calcular corretamente a média não compreendem seu algoritmo de cálculo e a aplicam de forma mecânica, pois cerca de 35% deles recorreu à estratégia de tentativa e erro para encontrar o valor desconhecido. Este resultado confirma o afirmado sobre as consequências cognitivas da antecipação da apresentação do algoritmo para o cálculo da média.
No estudo de Watson e Mortiz (1999) foi analisada a evolução dos conceitos de média, mediana e moda com 2.250 alunos com idade de 8 a 18 anos. Realizaram como instrumentos para coleta um questionário individual de escolha múltipla e um trabalho realizado em grupo. Esse instrumento era composto por problemas abertos relacionados a vivências dos alunos, de modo que os conceitos fossem utilizados naturalmente e por problemas do tipo exercícios com o objetivo de avaliar a capacidade de aplicação do cálculo.
Com a análise e comparação das respostas dos alunos, os autores puderam enquadrá-las na classificação hierárquica elaborada por Bigg e Collis (1982, 1991 apud COBO, 2003), que reflete a estrutura dos resultados de aprendizagem observados com o domínio do conteúdo.
aluno dá respostas simples que são relevantes no domínio do conteúdo; respostas multiestruturais – quando a resposta inclui dois ou mais aspectos do domínio do conteúdo, mas sem conexão umas com as outras, e respostas relacionais – quando o aluno tem uma compreensão integrada das relações envolvidas na tarefa.
Os resultados obtidos mostraram que algumas propriedades da média, como representatividade, não aparecem nos contextos cotidianos e só se observam em alunos com mais escolaridade. Para os autores, a representatividade é a base para a compreensão das Medidas de Tendência Central, possibilitando assim o entendimento do significado de cada uma delas e, ao mesmo tempo, determinando as características de um conjunto de dados. Também observaram que um pleno domínio dos conceitos pode estar relacionado com o próprio desenvolvimento operatório do aluno. Contudo, um nível de escolaridade mais elevado não deve ser considerado como sinônimo de bom desempenho, pois a frequência de respostas multiestruturais identificadas neste estudo pode ser um indicador, segundo Watson e Mortiz (1999), de que os alunos não são suficientemente desafiados pelos professores a dar respostas mais estruturadas.
Esses autores ainda consideram que a mediana, comparativamente à moda e média, é a medida de tendência central que necessita de mais investigação, visto que a primeira intuição dos alunos sobre esta medida é o centro (meio), e associada mais tarde ao conceito de mediana. Seu uso correto apresenta muitas dificuldades para os alunos, porque se relaciona com o raciocínio proporcional e conceitos de distribuição e ordem que não são fáceis de ser compreendidos pelos alunos (BATANERO, 2000; COBO e BATANERO, 2000).
