Subvariedades isoparamétricas do espaço Euclidiano

(1)

Jaime Leonardo Orjuela Chamorro

Dissertac

¸˜

ao apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Mestre em Ciˆ

encias

´

Area de Concentra¸c˜

ao: Matem´

atica

Orientador: Prof. Dr. Claudio Gorodski

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CNPq

(2)

Subvariedades isoparam´

etricas

do espa¸

co Euclidiano

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da disserta¸cão devidamente corrigida e defendida por Jaime Leonardo Orjuela Chamorro e aprovada pela Comissão Julgadora.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Claudio Gorodski (orientador) - IME-USP.

• Prof. Dr. Marcos Martins Alexandrino da Silva - IME-USP.

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(4)

“É preciso notar, no entanto, que, se Deus existe, se criou verdadeiramente a terra, fê-la, como se sabe, segundo a geometria de Euclides, e não deu ao esp´ırito humano senão a no¸cão das três dimensões do espa¸co. Entretanto, encontraram-se, encontram-se ainda geômetras e filósofos, mesmo eminentes, para duvidar de que todo o universo e até mesmo todos os mundos tenham sido criados somente de acordo com os princ´ıpios de Euclides. Ousam mesmo supor que duas paralelas que, de acordo com as leis de Euclides, jamais se poderão encontrar na terra, possam encontrar-se em alguma parte, no infinito.”

(5)

Agrade¸co à Aurora, minha mãe, e ao resto da minha fam´ılia pelo apoio desde a distância. A os meus amigos pela ajuda e est´ımulo. Agrade¸co ao professor Claudio Gorodski, pela paciência e ajuda na elabora¸cão deste trabalho, ao professor Marcos Martins Alexandrino da Silva pela colabora¸cão ao longo do curso de mestrado e ao professor Ruy Tojeiro de Figueiredo Júnior pelas observa¸cões e sugestões.

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O presente trabalho tem por objeto fazer uma introdu¸cão ao estudo das subvariedades isopa-ramétricas do espa¸co Euclidiano. Come¸camos com uma introdu¸cão ao desenvolvimento histórico desses objetos. A seguir apresentamos os conceitos básicos da teoria de subvariedades de formas espaciais. Deduzimos as equa¸cões fundamentais de primeira e segunda ordem e demonstramos o teorema fundamental da teoria de subvariedades. Em seguida damos a defini¸cão de subvariedade isoparamétrica e desenvolvemos conceitos elementares para o caso do espa¸co Euclidiano como são normais de curvatura, grupo de Coxeter, câmera de Weyl e variedades paralelas e focais. Prova-mos dois teoremas referentes à decomposi¸cão de subvariedades isoparamétricas do espa¸co Euclidiano adaptando ferramentas usadas em [HL97] para ocaso de subvariedades isoparamétricas de espa¸cos de Hilbert. Demonstramos o teorema da fatia e discutimos sobre subvariedades isoparamétricas desde o ponto de vista clássico, a saber, aplica¸cões isoparamétricas. Conclu´ımos com alguns exemplos: hipersuperf´ıcies isoparamétricas da esfera e órbitas principais da a¸cão adjunta de um grupo de Lie sobre a respectiva álgebra de Lie.

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The goal of this dissertation is to present an introduction to the study of isoparametric subma-nifolds of Euclidean space. We begin with an introduction to the history of the subject. Then we present the basic results of submanifold theory of space forms. We compute the fundamental equa-tions of first and second order, and we prove the fundamental theorem of submanifold theory. Next, we define isoparametric submanifolds and discuss some basic constructions, as curvature normals, Coxeter groups, Weyl chambers and parallel and focal submanifolds. We prove two decomposition theorems about isoprametric submanifolds using techniques that we learnt from [HL97], paper in which the case of submanifolds of Hilbert spaces is studied. Then we prove slice theorem. We also discuss those submanifold from the classical point of view, namely, isoparametric maps. We finish by explaining some examples: isoparametric hipersurfaces of spheres and principal orbits of the adjoint action of a Lie group on its Lie algebra.

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(11)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Subvariedades de formas espaciais . . . 6

1.1.1 Equa¸c˜oes fundamentais de primeira ordem . . . 8

1.1.2 Equa¸c˜oes fundamentais de segunda ordem . . . 10

1.2 Teorema fundamental . . . 12

1.3 Curvaturas principais . . . 16

1.4 Subvariedades totalmente geod´esicas e subvariedades totalmente umb´ılicas . . . 17

1.4.1 Subvariedades totalmente geod´esicas . . . 17

1.4.2 Subvariedades totalmente umb´ılicas . . . 17

1.5 Redu¸c˜ao de codimens˜ao . . . 18

1.6 Submers˜oes Riemannianas . . . 20

(12)

Sum´ario viii

2 Subvariedades isoparam´etricas 23

2.1 Variedades focais e paralelas . . . 25

2.2 Normais de curvatura . . . 29

2.3 O grupo de Coxeter . . . 35

2.3.1 A cˆamera de Weyl . . . 43

2.4 Decomposi¸c˜ao de subvariedades isoparam´etricas . . . 44

2.5 Teorema da fatia . . . 49

2.6 Aplica¸c˜oes isoparam´etricas . . . 50

2.7 Notas adicionais . . . 55

3 Exemplos 57 3.1 Hipersuperf´ıcies da esfera . . . 57

3.2 Orbitas da representa¸c˜ao adjunta . . . 61´

A Pontos cr´ıticos e subvariedades isoparam´etricas 67

Referˆencias bibliogr´aficas 71

(13)

Sejaf uma fun¸c˜ao real definida em uma variedade Riemanniana ¯M. O quadrado do comprimento do gradiente|grad f|2_{e o Lapaciano ∆}_f _de_f _s˜_{ao chamados de}_{primeiro e segundo parˆ}_ametro

diferen-cial def, respectivamente. O termofam´ılia isoparamétrica de hipersuperf´ıcies de M¯ foi introduzido por Levi-Civita, para o caso em que ¯M =E3é o espa¸co Euclidiano tridimensional, em um artigo pu-blicado em 1937, como sendo a cole¸cão dos conjuntos de n´ıvelNf de uma fun¸cãof tal que o primeiro e o segundo parâmetro diferencial de f são constantes ao longo de cada um dos elementos de Nf. Uma fun¸cão com esta propriedade é chamada de fun¸cão isoparamétrica. Ele estudou a classifica¸cão das fam´ılias de superf´ıcies isoparamétricas deE3 e obteve resultados que tinhan sido publicados por Somigliana em 1919 e B. Segre em 1924. Estes últimos realizaram seus trabalhos a respeito baseados em estudos de ótica geométrica feitos anteriormente por Laura.

Entre 1938 e 1940 É. Cartan publicou quatro artigos onde inicia o estudo da classifica¸cão das hipersuperf´ıcies isoparamétricas de formas espaciais. Dentre alguns dos resultados obtidos por Cartan está a chamadafórmula fundamental de Cartan, a saber

g

X

j=1,j6=i

mj

κ−λiλj

λi−λj = 0,

onde λ1, . . . , λg e m1, . . . , mg s˜ao as curvaturas principais e as respectivas multiplicidades de uma

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2

hipersuperf´ıcie isoparamétrica M de uma forma espacial ¯M com curvatura seccional κ. Cartan estudou também polinômios homogeneos pdefinidos em En+1 cujo primeiro parâmetro diferencial é constante na esfera Sn e com segundo parâmetro diferencial nulo (ou seja com p harmônico). Em particular ele mostrou que uma fam´ılia isoparamétrica deSn comgcurvaturas principais, todas com a mesma multiplicidade éNf, ondef é a restri¸cão à esfera de um polinômio homogeneo e harmônico

p satisfazendo

|grad p|2=g2r2(g−1),

sendo r a fun¸cão distância à origem deEn+1.

Só a partir de 1971 voltaram a aparecer artigos relacionados com os desenvolvimentos feitos por Cartan. Os primeiros depois permitiram fazer a classifica¸cão das hipersuperf´ıcies isoparamétricas homogêneas da esfera. Em 1972 Takagi e Takahashi mostraram que para hipersuperf´ıcies isopa-ramétricas homogêneas da esfera o número g de curvaturas principais diferentes é g = 1,2,3,4,6, eles também listaram as possibilidades para m1, . . . , mg. Em 1973 Münzner escreveu dois artigos, que só foram publicados entre 1980 e 1981, nos quais estudou algumas propriedades geométricas e topológicas de hipersuperf´ıcies isoparamétricas da esfera. Ele provou que as multiplicidades das curvaturas principais satisfazem a rela¸cão

mi=mi+2,

com ´ındices módulo g. Ele também generalizou os resultados de Cartan acerca de polinômios ho-mogêneos. Mais precisamente ele mostrou que se M ⊂Sn é isoparamétrica então M ⊂f−1(c)∩Sn ondef é um polinômio homogêneo satisfazendo

|grad f|2=g2r2(g−1)

e

∆f = m2−m1 2 gr

g−2_.

Tal vez o resultado mais importante obtido pelo Münzner foi a determina¸cão do númerog de curva-turas principais de uma hipersuperf´ıcie isoparamétrica da esfera. Usando argumentos de topologia ele mostrou que g∈ {1,2,3,4,6}.

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subvariedade isoparamétrica é devida à generaliza¸cão feita por Harle ∗ da no¸cão de fun¸cão isopa-ramétrica para aplica¸cões com valores vetoriais (vide se¸cão 2.6). De acordo com sua defini¸cão ele verifucou que cada membro de uma fam´ılia de subvariedades isoparamétricas de uma forma espacial tem fibrado normal raso† e os auto-valores do operador de forma são constantes ao longo de campos normais paralelos. Terng adotou esta como a defini¸cão de subvariedade isoparamétrica do espa¸co Eu-clidiano. Posteriormente esta ultima foi generalizada para subvariedades de espa¸cos de Hilbert. Para uma apresenta¸cão mais ampla da história do conceito de subvariedade isoparamétrica ver [Tho00].

No presente trabalho faremos uma introdu¸cão ao estudo das subvariedades isoparamétricas do espa¸co Euclidiano na dire¸cão iniciada por Terng.

No primeiro cap´ıtulo apresentamos algumas no¸cões básicas da teoria de subvariedades de formas espaciais. Em particular deduzimos asequa¸cões fundamentais de primeirae segunda ordem e damos uma demonstra¸cão do teorema fundamental (para o caso κ = 0). Além disto introduzimos os con-ceitos de curvatura principal,subvariedades totalmente geodésicas e totalmente umb´ılicas . Fazemos a demonstra¸cão do teorema de redu¸cão de codimensão para caso do espa¸co Eulcidiano assim como o da esfera. Finalmente enunciamos e mostramos algumas propriedades dassubmersões Riemanianas.

No cap´ıtulo segundo introduzimos o conceito de subvariedades isoparamétricas do espa¸co Eu-clidiano e mostramos que subvariedades isoparamétricas da esfera também são isoparamétricas no espa¸co Euclidiano e viceversa. Introduzimos o conceito de variedades paralelas e focais e desen-volvemos algumas de suas principais propriedades, em particular deduzimos a chamada fórmula do tubo. Em seguida iniciamos o estudo de varios conceitos que nos darão informa¸cão geométrica das subvariedades isoparamétricas do espa¸co Euclidiano, entre otros as normais de curvatura e o grupo de Coxeter. Demonstramos o teorema de Terng que associa a cada subvariedade isoparamétrica compacta um grupo de Coxeter. Demonstraremos dois teoremas relativos à decomposi¸cão de sub-variedades isoparamétricas. A saber, mostramos que uma subvariedade isoparamétrica completa do espa¸co Euclidiano decompõe-se em um produto de uma subvariedade isoparamétrica compacta e um factor Euclidiano e que é redut´ıvel se e somente se seu respectivo grupo de Coxeter é redut´ıvel. Para isto usamos a proposi¸cão (2.2.4). Em [PT88] e [BCO03] são usados o teorema fundamental e o lema de Moore para mostrar estes fatos, alem disto são obtidos apenas resultados locais. Nós adaptamos ferramenteas usadas em [HL97] para o caso de dimensão finita, tanto para a decomposi¸cão quanto para a proposi¸cão (2.2.4). Finalizamos este cap´ıtulo com a demonstra¸cão doteorema da fatia e com

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4

uma curta discussão sobre aplica¸cões isoparamétricas.

No terceiro e último cap´ıtulo daremos alguns exemplos. Demostraremos o resultado de Münzner que nos diz como são exatamante as curvaturas principais de uma hipersuperf´ıcie compacta da esfera e como uma aplica¸cão deste demonstraremos afórmula fundamental de Cartan. Faremos notar que ´

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Preliminares

Sejaφ:M −→M¯ uma imersão, onde ¯M é uma variedade Riemanniana. A equa¸cão

hu, vip=hdφpu, dφpviφ(p),

para todop∈M e todo par u, v∈TpM, define uma m´etrica Riemanniana sobreM que faz com que

φ seja uma isometria local de M sobre φ(M). Em particular toda subvariedade imersa M de um variedade Riemanniana ¯M pode ser equipada, de maneira natural, de uma estrutura de variedade Riemanniana.

Pela forma local das imers˜oes, existem cartas de M e ¯M, nas quais a representa¸c˜ao local de φ

é uma inclusão. Como faremos apenas cálculos locais, podemos assumir de antemão, sem perder generalidade, que φé uma inclusão. A inclusão será denotada porι.

´

E poss´ıvel generalizar as idéias utilizadas no estudo da geometria das superf´ıcies do espa¸co Eu-clidiano E3 ao caso das subvariedades imersas de espa¸cos de formas. Neste cap´ıtulo introduzimos os conceitos básicos da teoria de subvariedades de variedades Riemannianas assim como as equa¸cões fundamentais das subvariedades de formas espaciais. Também enunciaremos oTeorema fundamental

(18)

1.1. Subvariedades de formas espaciais 6

de subvariedades de formas espaciais.

Neste cap´ıtulo dim ¯M =ne dimM =m.

1.1 Subvariedades de formas espaciais

Sejam ¯M uma variedade Riemanniana eMuma subvariedade de ¯M. Pela forma local das imers˜oes podemos considerar cartas locais x :A −→ Rm e ¯x: ¯A −→ Rn de M e ¯M, respectivamente, tais queι(A)⊂A¯e

ι(p) = ¯x−1(x1(p), . . . ,xm(p),0, . . . ,0), (1.1)

para todop∈ A. Sejam e1, . . . ,en, campos locais dados por

ei(p) =

∂ ∂x¯i

_ι

(p)

,

para todop∈ Ae cadai= 1, . . . , n. Ent˜ao {e1(p), . . . ,en(p)}´e uma base deTpM¯, para cadap∈ A.

Consideremos o fibrado tangente de ¯M

τ :TM¯ −→M .¯

SejamF =τ−1(M) eϕ=τ|F. Ent˜aoϕ:F −→M ´e um fibrado vetorial sobreM tal queFp=TM¯p para todo p ∈ M. Com efeito, definindo t :ϕ−1(A) −→ A ×Rn por t(u) = (p,(a₁, . . . , an)), para todo u=P

iaiei(p)∈ϕ−1(A), vemos quet´e uma trivializa¸c˜ao local de (ϕ, F, M).

(19)

Normalmente F ´e denotado porTM¯|M. Tem-se a seguinte decomposi¸c˜ao ortogonal

TM¯|M =T M⊕νM.

Dada uma se¸cão U ∈ Γ(F); U⊤ e U⊥ denotarão as proje¸cões tangencial e normal, induzidas pela métrica de ¯M, deU sobre Γ(T M) e Γ(νM) respectivamente.

Seja ¯∇a conexão de Levi-Civita de ¯M. SeX eU se¸cões de T M e F respectivamente, podemos estendé-las localmente a campos ¯X e ¯U de TM¯ (por exemplo, usando a forma local das imersões (1.1), podemos definir ¯Up_¯=Ux¯−1_(¯x₁_(¯p),...,¯x_m_(¯p),0,...,0), para ¯p∈A¯). Sabemos que para ¯p∈M¯, ( ¯∇X¯U¯)p¯

s´o depende de ¯Xp¯ e da restri¸c˜ao de ¯U a uma curva γ : (−ǫ, ǫ) −→ M¯ com γ(0) = ¯p e γ′(0) = ¯Xp¯.

Em particular, para pontos emM, podemos escolher curvas emM. Desta maneira podemos definir ¯

∇XU sem ambig¨uidade por

( ¯∇XU)p = ( ¯∇X¯U¯)p,

onde ¯X e ¯U s˜ao extens˜oes deX eU, respectivamente, definidos em uma vizinhan¸ca depem ¯M, para todo p∈M.

Observa¸cão 1.1.1. Na verdade a equa¸cão acima define uma conexão sobre F, que por abuso de nota¸cão denotaremos com ¯∇, tal que

XhU, Vi=h∇¯XU, Vi+hU,∇¯XVi,

para se¸cões X∈Γ(T M) eU, V ∈Γ(F). Nós utilizaremos com freqüência esta propriedade.

Sejam [|·,·|] e [·,·] os colchetes de Lie de ¯M e M, respectivamente. SeX, Y ∈Γ(T M) ent˜ao

¯

∇XY −∇¯YX= [X, Y],

isto segue da defini¸cão de ¯∇XY e do fato seguinte. Se ¯X e ¯Y são extensões locais de X e Y, respectivamente, temos qued ιX= ¯Xι e d ιY = ¯Yι, e portanto d ι[X, Y] = [|X,¯ Y¯|]ι (vide [Spi70]).

De outro lado, seja ¯R o tensor de curvatura de ¯M. Dados ¯X,Y ,¯ Z¯∈Γ(TM¯) ep∈M¯

(20)

s´o depende de ¯Xp, ¯Yp e ¯Zp. Assim para se¸c˜oesX, Y ∈Γ(T M) eU ∈Γ(F) tem-se

¯

R(X, Y)U = ( ¯∇X∇¯Y −∇¯Y∇¯X −∇¯[X,Y])U.

✷

1.1.1 Equa¸c˜oes fundamentais de primeira ordem

Dada uma subvariedade M de uma variedade Riemanniana ¯M. A m´etrica de ¯M induz a decom-posi¸c˜ao ortogonal

TpM¯ =TpM⊕νpM,

para todo p∈M, onde νpM denota a fibra de νM emp, a qual ´e chamada o espa¸co normal de M

em p. As se¸c˜oes deνM diz-sem-secampos vetoriais normais ou simplesmente campos normais.

A segunda forma fundamental α e ooperador de forma A, de M, s˜ao definidos por

α(X, Y) = ¯∇XY

⊥

e

AξX =− ∇¯Xξ⊤,

paraX, Y ∈Γ(T M) e ξ∈Γ(νM) . Claramente A eα s˜ao R-bilineares. Fixando um campo normal

ξ∈νM,Aξ diz-se operador de forma deM na dire¸c˜ao de ξ.

Agora, h∇¯XY, ξi = XhY, ξi − hY,∇¯Xξi = h−∇¯Xξ, Yi, logo a segunda forma fundamental e o operador de forma deM est˜ao relacionados por

hα(X, Y), ξi = hAξX, Yi. (1.2)

(21)

ξp. Assim, na verdade

α : Γ(T M)×Γ(T M)−→Γ(νM) e A: Γ(T M)×Γ(νM)−→Γ(T M)

s˜ao tensores.

Sejam X,Y e Z se¸c˜oes deT M ef :M −→Ruma fun¸c˜ao suave. Temos que

( ¯∇f XY)⊤= (f∇¯XY)⊤ =f( ¯∇XY)⊤

e

( ¯∇Xf Y)⊤= (X(f)Y + ¯∇XY)⊤=X(f)Y + ( ¯∇XY)⊤.

De outro lado

XhY, Zi=h∇¯XY, Zi+hX,∇¯XZi =h( ¯∇XY)⊤, Zi+hY,( ¯∇XZ)⊤i

e

( ¯∇XY)⊤−( ¯∇YX)⊤ = ( ¯∇XY −∇¯YX)⊤= [X, Y]⊤= [X, Y].

Portanto a conex˜ao de Levi-Civita ∇ de M esta dada por ∇XY = ( ¯∇XY)⊤. Assim obtemos a

f´ormula de Gauss

¯

∇XY =∇XY +α(X, Y).

Da f´ormula de Gauss e do fato de∇ter tor¸c˜ao nula, segue que

α(X, Y)−α(Y, X) = ( ¯∇XY −∇¯YX)−[X, Y] = 0,

portantoαé um tensor simétrico. A simetria deαe a equa¸cão (1.2) mostram que Av é um operador auto-adjunto deTpM para todov∈νpM e todop∈M.

Se X ∈Γ(T M), ξ∈Γ(νM) ef :M −→Ré uma fun¸cão suave, então

( ¯∇f Xξ)⊥= (f∇¯Xξ)⊥=f( ¯∇Xξ)⊥

e

(22)

Assim a proje¸cão normal de ¯∇Xξ define uma conexão sobre νM chamada conexão normal, que é denotada por∇⊥_{. Desta maneira obtemos a}_f´_{ormula de Weingarten}

¯

∇Xξ=−AξX+∇⊥Xξ.

As fórmulas de Gauss e de Weingarten são as equa¸cões fundamentais de primeira ordem de M.

1.1.2 Equa¸c˜oes fundamentais de segunda ordem

As derivadas covariantes da segunda forma fundamental e do operador de forma de M est˜ao dadas por

∇⊥Xα

(Y, Z) =∇⊥Xα(Y, Z)−α(∇XY, Z)−α(Y,∇XZ)

e

(∇XA)ξY = (∇XAξ)Y −A_∇⊥

XξY =∇X(Aξ)Y −Aξ(∇XY)−A∇⊥XξY,

para X, Y, Z ∈ Γ(T M) e ξ ∈ Γ(νM). Temos uma rela¸c˜ao entre as derivadas covariantes de α e

A, no mesmo sentido de (1.2)

h∇⊥Xα

(Y, Z), ξi = h(∇XA)_ξY, Zi. (1.3)

Agora, sejam ¯R e R os tensores de curvatura de ¯M e M, respectivamente, considerados com sinais como na observa¸c˜ao (1.1.1). Temos que

¯

R(X, Y)Z =R(X, Y)Z−Aα(Y,Z)X+Aα(X,Z)Y+

+∇⊥Xα

(Y, Z)−∇⊥Yα

(X, Z).

Suponhamos que ¯M é uma forma espacial e seja κ sua curvatura seccional. Então a componente tangencial da equa¸cão acima é

κ(hY, ZiX− hX, ZiY) = ¯R(X, Y)Z⊤

(23)

e a componente normal da mesma ´e

0 = ¯R(X, Y)Z⊥

=∇⊥_Xα(Y, Z)−∇⊥_Yα(X, Z).

Se W ∈Γ(T M), as anteriores equa¸c˜oes podem ser escritas assim

hR(X, Y)Z, Wi=κ(hY, ZihX, Wi − hX, ZihY, Wi)

+hα(Y, Z), α(X, W)i − hα(X, Z), α(Y, W)i

e

∇⊥Xα

(Y, Z) =∇⊥Yα

(X, Z).

A primeira é chamada equa¸cão de Gauss e a segunda equa¸cão de Codazzi. De (1.3) a equa¸cão de Codazzi é equivalente a

h(∇XA)ξY, Zi = h(∇YA)ξX, Zi.

O tensor de curvatura do fibrado normal ´e de notado por R⊥ e definido por

R⊥(X, Y)ξ=∇⊥X∇⊥Yξ− ∇⊥Y∇⊥Xξ− ∇⊥[X,Y]ξ.

Usando as f´ormulas de Gauss e Weingarten obtemos

0 = ¯R(X, Y)ξ

= (∇XA)ξY −(∇YA)ξX+R⊥(X, Y)ξ+α(AξX, Y)−α(X, AξY).

A componente tangencial desta última equa¸cão é a equa¸cão de Codazzi, e a componente normal é chamada equa¸cão de Ricci. Usando (1.2), a equa¸cão de Ricci pode ser escrita assim

hR⊥(X, Y)ξ, ηi = h[Aξ, Aη]X, Yi,

onde η ∈ Γ(νM) e [Aξ, Aη] =AξAη−AηAξ. Se R⊥ ≡ 0 dizemos que M tem fibrado normalraso. A interpreta¸cão geométrica do fibrado normal raso é que o transporte paralelo, em rela¸cão a ∇⊥_,

(24)

1.2. Teorema fundamental 12

de homotopia das curvas. Note que da equa¸c˜ao de Ricci, o tensor de curvatura normal R⊥ mede a n˜ao-comutatividade dos operadores de forma de M.

Observa¸c˜ao 1.1.2. Pela simetria de α temos que (∇⊥

Xα)(Y, Z) = (∇⊥Xα)(Z, Y) assim na verdade a equa¸cão de Codazzi diz que a expressão h(∇XA)ξY, Zié simétrica nas três variáveis tangenciais, ou seja

h(∇XA)ξY, Zi=h(∇YA)ξX, Zi=h(∇ZA)ξY, Xi.

✷

As equa¸cões de Gauss, Codazzi e Ricci são as equa¸cões fundamentais de segunda ordem de M.

1.2 Teorema fundamental de subvariedades de formas espaciais

Na se¸cão anterior vimos que em uma subvariedade de uma forma espacial as equa¸cões de Gauss Codazzi e Ricci são satisfeitas. Localmente uma subvariedade de uma forma espacial fica comple-tamente determinada pela conexão normal, a segunda forma fundamental e o operador de forma mediante estas equa¸cões. Mais precisamente tem-se o seguinte resultado.

Teorema 1.2.1. Sejam M uma variedade Riemanniana de dimensão m, ν um fibrado vetorial Riemanniano sobre M de posto k, ∇ν _{uma conex˜}_{ao métrica sobre} _ν _e _α _{um tensor simétrico sobre}

M com valores em ν. DefinimosA :ν −→End(T M) porhAvu, wi=hα(u, w), vi, para u, w∈TpM

ev∈νp,p∈M. Suponhamos que α,A e∇ν satisfazem as equa¸c˜oes de Gauss, Codazzi e Ricci para

algum n´umero real κ. Ent˜ao para cada ponto p ∈ M existe uma vizinhan¸ca aberta A de p em M

e uma imersão isométrica φ de A em uma forma espacial M¯, de dimensão n=m+k e curvatura seccional constante κ; tais que α eA são a segunda forma fundamental e o operador de forma de φ, respectivamente e ν é isomorfo ao fibrado normal de φ. A imersão φ é única salvo uma isometria de M¯. Ainda mais, suponhamos que existem duas imersões isométricas ψ₁, ψ₂ : M −→ M¯ e um isomorfismo de fibrados vetoriais Ψ :ν1M −→ν2M tal que

hΨ(ξ),Ψ(η)i=hξ, ηi, (1.4)

Ψ(α1(X, Y)) =α2(X, Y) (1.5)

e

Ψ(∇⊥1

X ξ) =∇

⊥2

(25)

onde αi e ∇⊥i s˜ao a segunda forma fundamental e a conex˜ao normal de ψi, i= 1,2; para todo par

X, Y ∈Γ(T M) e todo parξ, η∈Γ(ν1M). Ent˜ao existe uma isometria B do espa¸co ambiente M¯, tal

que localmente ψ2 =B◦ψ1 e d B|ν1M = Ψ.

Demonstra¸c˜ao. Daremos uma prova para o casoκ= 0.

Consideremos o fibradoF =T M⊕ν. Definimos a conex˜ao ˆ∇sobre F por

ˆ

∇XY =∇XY +α(X, Y) (1.7)

e

ˆ

∇Xξ=−AξX+∇νXξ, (1.8)

para se¸c˜oes X, Y ∈Γ(T M) eξ ∈Γ(ν). As equa¸c˜oes de Gauss, Codazzi e Ricci implicam que F tem tensor de curvatura nulo. Logo, dadop∈M existe um referencial ortonormal paralelo U1, . . . , Un de

F, definido em uma vizinhan¸ca aberta A′ _de _p _em _M_{. Seja} _ω

1, . . . , ωn seu referencial dual. Temos que

d ωi(X, Y) =XhUi, Yi −YhUi, Xi − hUi,[X, Y]i

=hUi,∇XY +α(X, Y)i − hUi,∇YX+α(Y, X)i − hUi,[X, Y]i

=0,

para todo i∈ {1, . . . , n} e cada par de se¸cõesX, Y ∈Γ(T M). Segue que as 1-formas ω1. . . , ωn são fechadas, logo existem vizinhan¸cas abertas conexas e simplesmente conexas Ai de p em M e fun¸cões

φi:Ai−→R tais queωi =d φi, para i∈ {1, . . . , n}. Fazendo A=∩ni=1Ai,

φ= (φ1, . . . , φn) :A −→En

é uma imersão isométrica. Com efeito, Dadas se¸cões X, Y ∈Γ(T M) temos que

hX, Yi= n

X

i=1

(26)

1.2. Teorema fundamental 14

Se (x1, . . . , xn) s˜ao as coordenadas usuais deEn ent˜aod φ(X) =Pn_i₌₁d φi(X)_∂x∂_i, logo

hd φ(X), d φ(Y)i= n

X

i,j=1

d φi(X)d φj(Y)

∂ ∂xi , ∂ ∂xj = n X i=1

d φi(X)d φi(Y)

= n

X

i=1

ωi(X)ωi(Y)

= n

X

i=1

hUi, XihUi, Yi

=hX, Yi.

Note que o referencial U1, . . . , Un é único salvo uma isometria linear de En e ωi = d(φi +ai), para todo número realai,i∈ {1, . . . , n}. Assim a aplica¸cãoφconstru´ıda desta maneira é única salvo uma isometria deEn. Definindo ˜φ:F|A−→TEn|A por

˜

φ(Ui) =

∂ ∂xi

,

paraX ∈Γ(T M) temos que

˜

φ(X) = n

X

i=1

hUi, Xiφˆ(Ui)

= n

X

i=1

ωi(X)

∂ ∂xi = n X i=1

d φi(X)

∂ ∂xi

=d φ(X).

Portanto d φ = ˜φ|T M|A. Agora, ˜φ ´e uma isometria em cada fibra, logo ˜φ(T M|A) e isomorfo a TA

(27)

referencial ortonormal paralelo _∂x∂

1, . . . ,

∂

∂xn temos que

˜

φ( ˆ∇XY) = ¯∇d φ(X)φ˜(Y) e ˜φ( ˆ∇Xξ) = ¯∇d φ(X)φ˜(ξ),

onde ¯∇ é a conexão de Levi-Civita deEn. Portanto A, α e ∇ν _s˜_{ao o operador de forma a segunda} forma fundamental e a conexão normal deφ.

Agora, como o segundo resultado a ser provado também é local, sem perder generalidade, podemos suporM conexa e ψ1 e ψ2 mergulhos isométricos. Seja

Φ :ψ₁∗T M =d ψ₁(T M)⊕ν₁M −→d ψ₂(T M)⊕ν₂M =ψ₂∗T M,

dada por Φ(X) =X e Φ(ξ) = Ψ(ξ), para todoX∈Γ(T M) e todoξ ∈Γ(ν1M). Ent˜ao por (1.4) Φ ´e

um isomorfismo de fibrados vetoriais que preserva a m´etrica; ainda mais das equa¸c˜oes (1.4), (1.5) e (1.6), para todo par X, Y ∈Γ(T M) e todo ξ∈Γ(ν1M), tem-se

Φ( ˆ∇1XY) =∇XY + Ψ(α1(X, Y)) =∇XY +α2(X, Y) = ˆ∇2XY

e

Φ( ˆ∇1XY) =−A1ξX+ Ψ( ˆ∇1Xξ)

=−A2_Ψ(_ξ₎X+∇⊥2_Ψ(_ξ₎

= ˆ∇2XΨ(ξ),

ondeAi e o operador de forma de ψi e ˆ∇i é definida como nas equa¸cões (1.7) e (1.8), para i= 1,2. Pela primeira parte da prova sabemos que ˆ∇1 _{e ˆ}_∇2 _{têm tensor de curvatura nulo, assim Φ leva}

referenciais ortonormais paralelos em referenciais normais paralelos. Identificando ψ∗₁T M e ψ₂∗T M

com M ×En, Φ leva campos ortonormais constantes em campos ortonormais constantes, logo ´e da forma (p, u)7→(p, B₀u), ondeB₀ ´e uma isometria linear de En. Portanto

d B0|(ν1)pM = Ψp

e

(28)

1.3. Curvaturas principais 16

para todo p∈M. Em particulard(B0◦ψ1−ψ2) = 0 e comoM ´e conexa B0◦ψ1−ψ2 =−bpara

algumb∈En. Logo

ψ2=B◦ψ1,

ondeB ´e a isometria de En dada por B(x) =B₀x+b,x∈En.

1.3 Curvaturas principais

Seja M uma subvariedade de uma forma espacial ¯M. Dados p ∈ M e v ∈ νpM sabemos que

Av é um operador auto-adjunto de TpM. Os auto-valores, auto-vetores e auto-espa¸cos de Av são chamados curvaturas principais, vetores de curvatura e espa¸cos de curvaturas principais de M na dire¸cão dev, respectivamente.

Observa¸cão 1.3.1. Como as curvaturas principais são as ra´ızes de um polinômio (a saber o polinômio minimal deAv), são fun¸cões cont´ınuas, mas nem sempre são diferenc´ıaveis. Por exemplo seS é uma superf´ıcie deE3,K eH são suas curvaturas Gaussiana e média, respectivamente, então as curvaturas

λde S est˜ao dadas por

λ=H₋+pH2₋_K,

logo λ não é diferenc´ıavel no conjunto dos pontos umb´ılicos de S (dizemos que p ∈M é umponto umb´ılico de M se as curvaturas principais nesse ponto coincidem). Porém, se as multiplicidades das curvaturas principais são constantes sobre o fibrado normal unitário, as curvaturas principais são fun¸cões suaves.

✷

Seja ξ um campo normal unit´ario local de M definido em um subconjunto aberto e conexo A

de M. Então Aξ é suavemente diagonalizável sobre um subconjunto aberto e denso B de A. So-bre cada componente conexa C de B temos g curvaturas principais λ1, . . . , λg, com multiplicidades

m1, . . . , mg. Os espa¸cos de curvatura principal associados a cada λi, i = 1, . . . , g, definem g dis-tribui¸c˜oes E1, . . . , Eg, chamadas distribui¸c˜oes de curvatura. Para cada p ∈ M o subespa¸co linear

E0(p) =Tv∈νpMkerAv deTpM ´e chamadoespa¸co de nulidade deM em p. A cole¸c˜ao dos espa¸cos de

(29)

sobre M. Se alguma curvatura principal ao longo deξ é nula, a distribui¸cão de curvatura associada coincide com a distribui¸cão de nulidade. Para uma apresenta¸cão detalhada destes fatos vide [Rec79] e [Nom73].

Uma subvariedade conexa S de M diz-se superf´ıcie de curvatura se existe um campo normal paralelo ξ tal queTxS est´a contido em um espa¸co de curvatura principal deAξx para todox∈S.

1.4 Subvariedades totalmente geod´

esicas e subvariedades

totalmen-te umb´ılicas

1.4.1 Subvariedades totalmente geod´esicas

Uma subvariedade M de uma variedade Riemanniana ¯M diz-se totalmente geodésica se toda geodésica de M é uma geodésica de ¯M. Pela fórmula de Gauss M é totalmente geodésica se e somente se a segunda forma fundamental deM é nula.

Uma distribui¸cãoDsobre uma variedade Riemanniana ¯M diz-seauto-paralela se para cada par de se¸cõesXeY deDtem-se que ¯∇XY é uma se¸cão deD. Pelo Teorema de Frobenius toda distribui¸cão auto-paralela é integrável. Uma distribui¸cão integrávelDde ¯M é auto-paralela se e somente se suas folhas são subvariedades totalmente geodésicas de ¯M.

As subvariedades conexas, completas e totalmente geod´esicas de En e Sn s˜ao precisamente os subespa¸cos afins e as hiperesferas equatoriais, respectivamente.

1.4.2 Subvariedades totalmente umb´ılicas

Uma subvariedade M de uma variedade Riemanniana ¯M diz-se umb´ılica em p ∈ M na dire¸cão de v ∈ νpM seAv é múltiplo da identidade de TpM. Um campo ξ ∈Γ(νM) tal que Aξ é múltiplo da identidade diz-se campo normal umb´ılico e dizemos que M é umb´ılica na dire¸cão de ξ. Se M é umb´ılica em toda dire¸cão normal dizemos queM é umasubvariedade totalmente umb´ılica de M¯.

O campo de curvatura m´edia H de M ´e dado por

H = 1

(30)

1.5. Redu¸c˜ao de codimens˜ao 18

h=|H|é a fun¸cão de curvatura média de M. Dizemos que M ém´ınima seh= 0.

Suponhamos que M ´e totalmente umb´ılica. Dado p ∈ M, seja e1, . . . , em uma base ortogonal paraTpM. Seu, w ∈TpM,v ∈νpM e λ´e a curvatura principal deAv. Por (1.2) temos que

hα(u, w)− hu, wiHp, vi=hAvu, wi − hu, wihHp, vi

=hu, wi(λ− hHp, vi)

=hu, wi(λ− 1 m

X

i

hα(ei, ei), vi)

=hu, wi(λ− 1 m

X

i

h Avei, eii)

=hu, wi(λ− 1 m

X

i

λhei, eii) = 0.

Reciprocamente, seα=h ·,·iH, ent˜ao usando de novo (1.2), paraX, Y ∈Γ(T M) eξ ∈Γ(νM)

hAξX, Yi=hα(X, Y), ξi=hhH, ξiX, Yi,

logo M é totalmente umb´ılica. PortantoM é umb´ılica se e só se α=h ·,·iH.

As subvariedades conexas, completas e totalmente umb´ılicas de En são os espa¸cos afins e as interseçcões de espa¸cos afins com hiperesferas. As subvariedades conexas, completas e totalmente umb´ılicas deSn são as interseçcões de Sn com subespa¸cos afins deEn+1.

1.5 Redu¸

c˜

ao de codimens˜

ao

Dizemos que uma subvariedade M de uma variedade Riemanniana ¯M ´esubstancial∗ _se _M _n˜_ao

está contida em uma subvariedade totalmente geodésica de ¯M de dimensão menor do quen.

M ´e substancial em En se e somente se n˜ao existe um hiperplano afim de En contendo M. Se

M não é substancial emEn seja F a interseçcão dos hiperplanos afins que o contem. F é o menor subespa¸co afim de En que contem M. Assim poderemos considerar M como uma subvariedade de El onde l= dimF.

(31)

Dado p ∈ M seja Np o subespa¸co linear de νpM gerado por {α(u, w) : u, w ∈ TpM}. Dizemos que Np ´e o primeiro espa¸co normal de M em p. Tem-se que Np ´e o complemento ortogonal de

{v ∈νpM :Av = 0} emνpM. Se a dimensão de Np independe de p∈M, entãoN ={Np :p∈M} é um subfibrado vetorial deνM.

Teorema 1.5.1(Redu¸c˜ao de codimens˜ao). SejaM uma subvariedade conexa de uma forma espacial

¯

M. Suponhamos queN é invariante pelo transporte paralelo deνM. Então existe uma subvariedade totalmente geodésica N de M¯, contendo M, comdimN =l+m, onde l é a dimensão das fibras de

N.

Demonstra¸c˜ao. Sem perder generalidade podemos supor que a curvatura seccionalκ de ¯M ´e 0, 1 ou

−1. S´o faremos a prova para o casoκ= 0,1; a prova do caso κ=−1 ´e similar.

Sejap∈M fixo. Dadoq ∈M, comoM ´e conexa, existe uma curva suave por partesγ : [0,1]−→ M comγ(0) =p eγ(1) =q. Sejamv∈ N⊥_e _ξ _{o transporte paralelo de}_v _{ao longo de}_γ_{. Temos que}

νM =N ⊕ N⊥_{. Ent˜}_ao _N⊥ _{tamb´em ´e invariante pelo transporte paralelo de}_νM_{. Assim}

¯

∇γ′₍_t₎ξ(t) =−A_ξ₍_t₎γ′(t) +∇⊥_γ′₍_t₎ξ(t) = 0,

para todot∈[0,1].

a. Suponhamos que ¯M =En. Ent˜ao

ξ′(t) = ¯∇γ′₍_t₎ξ(t),

para todo t ∈ [0,1]. Segue que ξ ´e constante, logo hγ(t), ξ(t)i = hp, vi, para todo t ∈ [0,1], em particular hq −p, vi = 0. Portanto, se v1, . . . , vn−m−l ´e uma base ortogonal de Np⊥, tem-se

hq−p, vii= 0 para todoq ∈M e todoi= 1, . . . , n−m−l. FazendoN =p+∩_in₌₁−m−lv⊥i obtemos

M ⊂N,

com dimN =m+l.

b. Suponhamos que ¯M =Sn. Temos que

(32)

1.6. Submers˜oes Riemannianas 20

para todot∈[0,1]. De outro lado hξ(t), γ(t)i= 0, logo

0 = d

dthξ(t), γ(t)i=hξ

′₍_t₎_{, γ}₍_t₎_i₊_hξ₍_t₎_{, γ}′₍_t₎_i₌_hξ′₍_t₎_{, γ}₍_t₎_i,

ent˜ao ξ(t) = v para todo t ∈ [0,1], em particular hq, vi = 0. Portanto, se v1, . . . , vn−m−l ´e uma base ortogonal de N⊥

p , tem-se hq, vii= 0 para todo q ∈M e todo i= 1, . . . , n−m−l. Fazendo

N =Sn∩(∩_in₌₁−m−lv_i⊥) obtemos

M ⊂N ⊂Sn,

com dimN =m+l.

1.6 Submers˜

oes Riemannianas

Sejam M e N duas variedades Riemannianas. Una aplica¸c˜ao sobrejetora e suave π : M −→ N

diz-se submers˜ao Riemanniana se

d πp|(kerd πp)⊥ : (kerd πp)

⊥_−→_T

π(p)N, (1.9)

´e uma isometria linear para todop∈M. As distribui¸c˜oesV e H sobre M dadas porVp = kerd πp e

Hp = (Vp)⊥, para todo p∈M, são chamadas distribui¸cõesvertical e horizontal de M em rela¸cão a

π, respectivamente. As componentes conexas das fibras deπ são variedades integrais de V. Temos a decomposi¸cão ortogonal T M =V ⊕ H. Hnem sempre é integrável.

Uma curva γ :I −→ M diz-se levantamento horizontal da curva β : I −→ N, se β =π◦γ e γ

´e horizontal, isto ´eγ′(t) ∈ Hγ(t), para todo t ∈ I. Dada β : I −→ N, se to ∈I e p0 ∈π−1(β(t0)),

existe um único levantamento horizontal γ : I₀ ⊂ I −→ M de β|Io passando por p0, ou seja, com t0 ∈I0 eγ(t0) =p0. Seγ é uma curva emM então|γ| ≥ |d(π◦γ)|e tem-se a igualdade se e somente

se γ é horizontal, isto segue da equa¸cão (1.9). Portanto o comprimento de γ é maior ou igual ao comprimento de d(π◦γ) e dá-se a igualdade se e somente seγ é horizontal. Assim o levantamento horizontal de uma geodésica é uma geodésica. Em particular se Hé integrável então suas folhas são totalmente geodésicas.

(33)

isto éd πpXp =Zπ(p), para todop∈M. LogoX é projetável se e somente se d π(X) é constante ao

longo das fibras deπ. Dado um campo Z ∈Γ(T N) existe um únicocampo horizontal X∈Γ(H) que éπ-relacionado com Z. Dizemos que X é o levantamento horizontal de Y. Um campo projetável e horizontal diz-secampo vetorial básico. Note que seU é umcampo vertical, isto éU ∈Γ(V), entãoU é

π-relacionado com o campo nulo, ademais sabemos que para dois pares de camposπ-relacionados seus respectivos colchetes sãoπ-relacionados. Assim o colchete de dois campos projetáveis é projetável e o colchete de um campo vertical por um campo projetável é vertical.

Sejam U ∈Γ(V) e X, Y ∈Γ(H) dois campos b´asicos. Ent˜ao

h[U, X], Yi= 0 =h[U, Y], Xi. (1.10)

ComoX eY s˜ao constantes ao longo fibras deπ, temos queUhX, Yi= 0. Logo da f´ormula de Koszul obtemos

h∇XY, Ui= 1

2h[X, Y], Ui. (1.11)

Proposi¸cão 1.6.1. Seja π:M −→N uma submersão Riemanniana. Então as seguintes afirma¸cões são equivalentes

a. A distribui¸cão horizontal é integrável

b. A distribui¸cão horizontal é totalmente geodésica

c. Sobre cada fibra de π os campos b´asicos s˜ao normais paralelos.

Demonstra¸cão. Suponhamos que H é integrável. Pelo teorema de Frobenius H é involutiva, então o membro direito da equa¸cão (1.11) anula-se. Segue que H é auto paralela e portanto tem folhas totalmente geodésicas.

Suponhamos que a distribui¸cão horizontal é totalmente geodésica. Assim o lado esquerdo da equa¸cão (1.11) anula-se. Os campos básicos são se¸cões normais das fibras de π, combinando os membros esquerdos das equa¸cões (1.10) e (1.11) segue que estas são paralelas.

(34)

(35)

Subvariedades isoparam´

etricas

Como ficou esclarecido na introdu¸cão deste trabalho, o conceito de subvariedade isoparamétrica nasce junto com o de aplica¸cão isoparamétrica dado por Harle. Mas estes dois são bem posteriores aos trabalhos feitos sobre fun¸cões isopárametricas e fam´ılias de hipersuperf´ıcies isoparamétricas. Neste cap´ıtulo damos a defini¸cão no sentido de Terng e desenvolvemos varias propriedades básicas destes objetos. Deixamos para a última se¸cão a discussão sobre aplica¸cões isoparamétricas.

SejaM uma subvariedade de uma forma espacial ¯M. Dizemos que M temcurvaturas principais constantesse para cada campo normal paralelo ao longo de uma curva suave por partes, as curvaturas principais na dire¸c˜ao desse campo s˜ao constantes. Se aindaM tem fibrado normal raso dizemos que

M ´e umasubvariedade isoparam´etrica de ¯M.

Proposi¸cão 2.1. Seja M uma subvariedade de Sn⊂En+1. Então M é isoparamétrica vista como subvariedade de Sn se e somente se é isoparamétrica vista como subvariedade de En+1.

Demonstra¸cão. Denotemos comAe Â os operadores de forma, com∇⊥ _e_∇⊥ˆ _{as conexões normais e}

com νM e ˆνM os fibrados normais de M, vista como subvariedade de En+1 e Sn, respectivamente. SejaP é o campo vetor posi¸cão de En+1 restrito a Sn. Seja ζ ∈ Γ(νM), então ζ =−f P +ξ, onde

(36)

24

ξ∈Γ(ˆνM) e f :M −→R´e una fun¸c˜ao suave. Como hX, ξi= 0, temos que

h(d ξ)X, PiP = (Xhξ, Pi − hξ, Xi)P = 0,

logo da f´ormula de Weingarten

−AζX+∇⊥Xζ =d ζ(X)

=d ξ(X)−X(f)P−f X

=d ξ(P)− hd ξ(X), PiP−X(f)P−f X

=−AˆξX+∇

ˆ

⊥

Xξ−X(f)P −f X.

Portanto

AζX = ˆAξX+f X (2.1)

e

∇⊥Xζ =∇

ˆ

⊥

Xξ−X(f)P. (2.2)

Por (2.2)ζ é paralelo em rela¸cão a∇⊥ _{se e somente se}_ξ _{é paralelo em rela¸cão a}_∇⊥ˆ _e_f _{e constante.}

Neste caso, a equa¸cão (2.1) implica que os auto-valores de Aζ são da forma ˆλ+µ onde ˆλ é um auto-valor de Âξ e µé um número real. Então M tem curvaturas principais constantes em rela¸cão a

Sn se e somente se tem curvaturas principais constantes em rela¸c˜ao a En+1

Finalmente se Y ∈Γ(T M), da equa¸c˜ao (2.2) temos que

(∇⊥X∇⊥Y − ∇⊥Y∇⊥X− ∇⊥[X,Y])ζ =(∇ ˆ

⊥

X∇

ˆ

⊥

Y − ∇

ˆ

⊥

Y∇

ˆ

⊥

X− ∇

ˆ

⊥

[X,Y])ξ+

−(XY −Y X−[X, Y])(f)P

=(∇⊥Xˆ∇

ˆ

⊥

Y − ∇

ˆ

⊥

Y∇

ˆ

⊥

X− ∇

ˆ

⊥

[X,Y])ξ,

entãoνM é raso se e somente se ˆνM é raso.

(37)

2.1 Variedades focais e paralelas

SejaM uma subvariedade deEn. Suponhamos que existe um campo normal paralelo n˜ao trivial

ξ definido em M. Consideremos a aplica¸c˜ao π : M −→ En dada por π(p) = p+ξ(p). Temos que

dπp = idTpM −Aξp, para cada p ∈ M. Seja υ(p) = dim(ker(dπp)), p ∈ M. Um ponto π(p) diz-se

ponto focal na dire¸cão de ξ seυ(p)>0. Se υé constanteMξ=π(M) é uma subvariedade imersa de

En, com dimMξ =m−υ. Se υ > 0 ´e constante dizemos que Mξ ´e uma variedade focal de M. Se

υ= 0,Mξ diz-sevariedade paralela de M.

Nesta se¸cão ˆ∇ e Âdenotarão a conexão de Levi-Civia e o operador de forma de Mξ, respectiva-mente.

Observa¸cão 2.1.1. Na verdadeMξ é focal se e somente seAξ tem um auto-valor constanteλ= 1, ao longo do campo paraleloξ. Com efeito, sep∈M, entãoυ(p)>0 se e só se ker(d πp) é o auto-espa¸co associado ao auto-valor 1 deAξp.

✷

Seja Mξ uma variedade focal de M, claramente π :M −→ Mξ é uma submersão. SejamV e H, as distribui¸cões definidas sobre M ondeVp= ker(d πp) eHp=Vp⊥ é o complemento ortogonal deVp em rela¸cão a TpM, para todop∈M. Dadop∈M, seu∈ Vp e w∈TpM, como Aξp é auto-adjunto

hd πpw, ui=hw−Aξpw, ui=hw, ui − hw, Aξpui= 0.

LogoT_π₍_p₎Mξ⊂ Hp e dim(Tπ(p)Mξ) = dim(Hp), portantoTπ(p)Mξ =Hp eνπ(p)Mξ =Vp⊕νpM. Em particular se Mξ´e paralela tem-se Tπ(p)Mξ=TpM e νπ(p)Mξ =νpM, para todop∈M.

Lema 2.1.2. Seja Mξ uma variedade focal de M ⊂En. Consideremos a proje¸c˜ao π :M −→ Mξ.

Então as componentes conexas das fibras de π são subvariedades totalmente geodésicas de M e os operadores de forma de M preservam a decomposi¸cão ortogonal T M =V ⊕ H.

(38)

2.1. Variedades focais e paralelas 26

de Codazzi temos que

h∇UV, Xi=h∇U(AξV), Xi

=h(∇UA)ξV, Xi+hAξ(∇UV), Xi

=h(∇XA)ξV, Ui+h∇UV, AξXi

=h∇X(AξV), Ui − hAξ(∇XV), Ui+h∇UV, AξXi

=h∇XV, U−AξUi+h∇UV, AξXi

=h∇UV, AξXi.

Então h∇UV, dπ(X)i = h∇UV, X −AξXi = 0, para toda se¸cão X de H. Logo ∇UV ∈ Γ(V) para todo par de se¸cões U, V ∈Γ(V). Ou seja V é uma distribui¸cão auto-paralela, assim suas folhas (que são precisamente as componentes conexas das fibras de π) são subvariedades totalmente geodésicas de M.

De outro lado, como ξ ´e paralelo a equa¸c˜ao de Ricci implica queAη comuta com Aξ, para todo

η ∈Γ(νM). Logo os operadores de forma de M preservam V e por serem auto-adjuntos preservam

H.

Observa¸cão 2.1.3. SejaDuma distribui¸cão suave sobreM. Então as seguintes afirma¸cões são equi-valentes

a. Os operadores de forma de M preservam D.

b. α(u, w) = 0, para todou∈Dp,w∈(Dp)⊥ e todop∈M.

c. Os operadores de forma de M preservam D⊥.

Com efeito, sejav∈νpM, ent˜ao

hα(u, w), vi=hAvu, wi=hu, Avwi.

✷

Seja β: (−ǫ, ǫ) −→Mξ uma curva suave com β(0) = ˆp. Dado p∈π1−(ˆp), seja γ : (−ǫ, ǫ) −→M o levantamento horizontal de β passando por p. Se ζ ´e um campo normal ao longo de β com

(39)

define um campo normalη ao longo deγ. Reciprocamente, seη ´e um campo normal ao longo deγ, ent˜aoζ(t) =η(t), define um campo normalζ ao longo deβ comζ(t)∈ν_γ₍_t₎M ⊂ν_β₍_t₎Mξ, para todo

t∈(−ǫ, ǫ).

Lema 2.1.4. Com a nota¸c˜ao acima temos que

ˆ

A_ζ₍_t₎β′(t) =A_η₍_t₎γ′(t), (2.3)

e

( ˆ∇⊥_β′ζ)(t) = (∇⊥_γ′η)(t), (2.4)

para todo t ∈ (−ǫ, ǫ). Em particular o transporte paralelo, de vetores de νpM, ao longo de γ e ao

longo de β coincidem.

Demonstra¸c˜ao. Pela equa¸c˜ao de Weingarten temos que

−Aˆ_ζ₍_t₎β′(t) + ( ˆ∇⊥_β′ζ)(t) =ζ′(t) =η′(t) =−A_η₍_t₎γ′(t) + (∇⊥_γ′η)(t),

para todot∈(−ǫ, ǫ). Do lema (2.1.2) sabemos que os operadores de forma deMdeixamHinvariante. Assim como γ ´e o levantamento horizontal de β, ent˜ao −Aη(t)γ′(t) ∈ Hγ(t) = Tβ(t)Mξ, para todo

t∈(−ǫ, ǫ). Daqui seguem as equa¸c˜oes (2.3) e (2.4).

Corolário 2.1.5 (“Fórmula do tubo”). Suponhamos que Mξ é uma variedade paralela ou focal de

uma subvariedadeM do espa¸co Euclidiano. Ent˜ao se p∈M ev∈νpM, temos que

ˆ

Av =Av((idTpM −Aξp)|Hp)

−1_.

Demonstra¸cão. Com a nota¸cão do lema acima, sejamv=η(0) =ζ(0) ew=β′(0) =, então a equa¸cão (2.3) e o fato de que γ é o levantamento horizontal deβ implicam que

ˆ

Avw=Avγ′(0) =Av((idTpM −Aξp)|Hp)

−1_w.

Seja M uma subvariedade do espa¸co Euclidiano, com fibrado normal raso. Para cada p ∈ M

(40)

2.1. Variedades focais e paralelas 28

ondev∈νpM tal queAv tem um autovalor igual a 1.

Proposi¸c˜ao 2.1.6. SejaM ⊂Enuma subvariedade com fibrado normal raso. Suponhamos que existe uma campo normal paraleloξ ∈Γ(νM) tal que Mξ ´e uma variedade paralela deM. Consideremos a

proje¸c˜aoπ :M −→Mξ, ent˜ao para todo p∈M tem-se

a. p+νpM =π(p) +νπ(p)Mξ

b. FM(p) =FMξ(π(p))

Demonstra¸c˜ao. a. Temos que ξp∈νpM e νpM =νπ(p)Mξ. Ent˜ao

p+νpM =p+ξp+νpM =π(p) +νpM =π(p) +νπ(p)Mξ.

b. Seja v∈νpM, da f´ormula do tubo temos que

ˆ

Av−ξp = ˆAv−Aˆξp

=Av(idTpM −Aξp)

−1₋_A

ξP(idTpM −Aξp)

−1

=(Av−Aξp)(idTpM −Aξp)

−1

=(idTpM −AξP −(idTpM −Av))(idTpM −Aξp)

−1

=idTpM −(idTpM −Av)(idTpM −Aξp)

−1

=idTπ(p)Mξ−(idTpM −Av)(idTpM −Aξp)

−1_.

EntãoidTπ(p)Mξ−Aˆv−ξp é singular se e só seidTpM −Av é singular, logo

FM(p) ={p+v:idTpM −Av ´e singular}

={π(p) + (v−ξp) :idTπ(p)Mξ −Aˆv−ξp ´e singular}

(41)

2.2 Normais de curvatura

SejaM uma subvariedade isoparamétrica do espa¸co Euclidiano. Como o tensor de curvatura do fibrado normal deMé nulo, a equa¸cão de Ricci implica que para todop∈M,{Av :v∈νpM}é uma fam´ılia comutativa de operadores auto-adjuntos deTpM. Logo são simultaneamente diagonalizáveis com auto-valores λ1(p), . . . , λg(p) ∈(νpM)∗ e auto-espa¸cos comuns E1(p), . . . , Eg(p). Como as cur-vaturas principais são constantes ao longo de campos paralelos obtemosg distribui¸cões de curvatura

E1, . . . , Eg, mutuamente ortogonais com T M =⊕iEi. Comoλ1, . . . , λg ∈(νM)∗, existem g campos normais n1, . . . ,ng, tais que λi(p, v) = λi(v) = hni(p), vi, para todo i ∈ {1, . . . , g}, todo v ∈ νpM e todo p ∈ M. Estes campos s˜ao chamados normais de curvatura. Quando exista uma normal de curvatura nula para distinguir-la das outras ser´a denotada porn0.

As normais de curvatura são campos paralelos. Com efeito, dadoi∈ {1, . . . , g}seja ξ um campo normal paralelo. Sabemos queλi(ξ) é constante, então para todoX ∈Γ(T M) tem-se

h∇⊥Xni, ξi=Xhni, ξi − hni,∇⊥Xξi=X(λi(ξ)) = 0.

Observa¸cão 2.2.1. Se M ⊂ En é uma subvariedade isoparamétrica então o primeiro espa¸co normal é gerado pelas normais de curvatura. Com efeito, dados p ∈M e v ∈νpM entãov é ortogonal ao primeiro espa¸co normal deM emp se e somente se o operador de forma na dire¸cão dev e nulo, se e somente sev e ortogonal a todas as normais de curvatura emp, se e somente sevpertence ao espa¸co ortogonal ao espa¸co gerado pelas normais de curvatura emp.

✷

Proposi¸c˜ao 2.2.2. Seja Mξ uma variedade paralela de uma subvariedade isoparam´etrica M do

espa¸co Euclidiano. Então Mξ é isoparamétrica.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos a proje¸c˜aoπ:M −→Mξ. Dados camposX, Y ∈Γ(T M) eη ∈Γ(νM), sejam Z, W ∈Γ(T Mξ) e ζ ∈Γ(νMξ), com Zπ(p) =d πpXp, Wπ(p) = d πpYp e ζπ(p) = ηp, para todo

p∈M. Note que as se¸c˜oes tangentes e normais deMξ s˜ao desta forma. Pelo lema (2.1.4) temos que

(42)

2.2. Normais de curvatura 30

Assim, denotando com ˆR o tensor de curvatura normal deMξ, tem-se

( ˆR(Z, W)ζ)π(p)= (R(X, Y)η)p,

para todop∈M. LogoMξ tem fibrado normal raso se M tem fibrado normal raso.

Seja p ∈ M, fixo. Sabemos que TpM = Tπ(p)Mξ e νpM = νπ(p)Mξ. (idTpM −Aξp)

−1 _{´e um}

operador auto-adjunto de TpM que comuta com Av, para todov∈νpM. Então da fórmula do tubo a fam´ılia {Av,Aˆv :v∈νpM}é simultaneamente diagonalizável. Portanto existe uma permuta¸cão σ do conjunto {1, . . . , g} tal que Ej(p) = Eσ(j)(π(p)) =d πpEj(p). Seja u∈Ej(p) entãou′ =d πpu∈

E_σ₍_j₎(π(p)). Assim se ˆλ1, . . . ,ˆλg s˜ao as curvaturas principais de Mξ, dado v∈νpM novamente pela f´ormula do tubo tem-se

λj(v)u=Avu

=Av(d πp)−1u′

=Av(idTpM −Aξp)

−1_u′

= ˆAvu′

=ˆλσ(j)(v)u′

=ˆλσ(j)(v)d πpu

=ˆλ_σ₍_j₎(v)(idTpM −Aξp)u

=ˆλ_σ₍_j₎(v)(1−λj(ξp))u.

Da observa¸c˜ao (2.1.1)ξp6∈FM(p), logo 1−λj(ξp)6= 0 e portanto

ˆ

λ_σ₍_j₎(v) = λj(v) 1−λj(ξp)

, (2.5)

para todo j ∈ {1, . . . , g}. Portanto Mξ tem curvaturas principais constantes ao longo de campos normais paralelos.

Lema 2.2.3. Dados i, j, k ∈ {1, . . . , g} e se¸c˜oesXl de El, l=i, j, k, tem-se

(43)

Assim da equa¸c˜ao de Codazzi obtemos

h∇XiXj, Xki(nj−nk) =h∇XjXi, Xki(ni−nk). (2.7)

Demonstra¸cão. Sejaξ um campo normal paralelo. λi, λj e λk são constantes ao longo de ξ. Então pela equa¸cão (1.3) temos que

(λj−λk)h∇XiXj, Xki=h∇Xi(AξXj), Xki − h∇XiXj, AξXki

=h∇Xi(AξXj), Xki − hAξ(∇XiXj), Xki

=h(∇XiA)ξXj, Xki

=h(∇⊥Xiα)(Xj, Xk), ξi.

Ou seja

hh∇XiXj, Xki(nj−nk)−(∇

⊥

Xiα)(Xj, Xk), ξi= 0,

para todo campo normal paralelo ξ. Esta última equa¸cão é equivalente a (2.6).

Dado p₀ ∈M consideremos um subespa¸co afim P de νp0M. Introduzimos a seguinte nota¸c˜ao

DP(p) =

M

n_i(p0)∈P

Ei(p),

νP(p) =

X

n_i(p0)∈P

Rni(p),

FP(p) =DP(p)⊕νP(p)

e

LP(p) =p+FP(p),

para cadap∈M.

Proposi¸cão 2.2.4. Seja M uma subvariedade isoparamétrica de En. Com a nota¸cão acima temos que

(44)

b. DP ´e invariante pelos operadores de forma de M.

c. Se SP(p) denota a folha de DP passando porp, então SP(p) é uma subvariedade isoparamétrica substancial do espa¸co Euclidiano L_P(p). E para cada q∈S_P(p) temos L_P(p) =L_P(q).

Demonstra¸c˜ao. a. Sejami, j, k ∈ {1, . . . , g}tais queni(p0),nj(p0)∈ Penk(p0)6∈ P. Sei6=j, temos

quenj(p0)−nk(p0) eni(p0)−nj(p0) s˜ao linearmente independentes. Agora, o transporte paralelo

´e uma isometria linear de νpM sobre νqM, para todo par p, q∈M. Ent˜ao nj(p)−nk(p)6= 0 e se

i6=j,nj(p)−nk(p) e ni(p)−nj(p) s˜ao linearmente independentes para todo p ∈M. Trocando os ´ındices na equa¸c˜ao (2.7) obtemosh∇XiXj, Xki(nj−nk) =h∇XkXj, Xii(nj −ni), assim

h∇XiXj, Xki= 0.

Logo se X =P

n_i(p0)∈PXi e Y =Pn_j(p0)∈PYj são duas se¸cões de DP e Z é uma se¸cão de Ek, comnk(p0)6∈ P, temos que

h∇XY, Zi=

X

n_i₍p0),n_j₍p0)∈P

h∇XiYj, Zi= 0.

Assim DP ´e auto paralela.

b. ComoR⊥= 0, ent˜ao os operadores de forma de M comutam, logo preservam as distribui¸c˜oes de curvatura. Em particular deixamDP invariante.

c. Sejap∈M fixo. Dadoq ∈SP(p) seja γ[0,1]−→SP(p) uma curva suave por partes comγ(0) =p

e γ(1) =q. Sejam u∈DP(p)⊥∩TpM um vetor normal aSP(p), vista como subvariedade deM,

e U(t) o transporte paralelo de u ao longo deγ. ComoSP(p)⊂M ´e totalmente geod´esica temos

que ∇γ′₍_t₎U(t) = 0 e do item b. e da observa¸c˜ao (2.1.3), temos queα(γ′(t), U(t)) = 0. Logo pela

formula de Gauss tem-se

U′(t) =∇γ′₍_t₎U(t) +α(γ′(t), U(t)) = 0,

para todot∈[0,1]. EntãoU é constante e como u é arbitrário

(45)

Por outro lado

d

dthγ(t)−p, U(t)i=hγ

′₍_t₎_{, U}₍_t₎_i₊_hγ₍_t₎_{, U}′₍_t₎_i_{= 0}_,

para todot∈[0,1]. Logohγ−p, Uié constante e assimhq−p, vi= 0. Comoq∈SP(p) é arbitrário

obtemos

SP(p)⊂p+ (DP(p)⊥∩TpM)⊥=p+DP(p)⊕νpM

e de (2.8)

DP(p)⊕νpM =DP(q)⊕νqM, (2.9)

para todoq∈SP(p).

Consideremos SP(p) como subvariedade de p+DP(p)⊕νpM. Pelo item b. los operadores de forma de M preservam DP, logo para cada q ∈ SP(p) e cada v ∈ νqM o operador de forma de

S_P(p) na dire¸cão de véAv|D_P(q), o qual é nulo parav∈νP⊥∩νpM. Assim, por um razonamento análogo ao usado acima

FP(p) =FP(q), (2.10)

para todoq∈SP(p) e

SP(p)⊂LP(p).

De (2.10) segue queL_P(p) =L_P(q), para todoq ∈S_P(p). ConsideremosS_P(p) como subvariedade de LP(p) denotemos seu operador de forma por ˆA, de novo pelo item b. se tem-se

ˆ

Av=Av|D_P₍q), (2.11)

para todo q ∈ SP(p) e todo v ∈ νP(q). Suas normais de curvatura s˜ao nj|SP(p), para j ∈ {i :

ni(p0)∈ P}. Assim SP(p) ´e uma subvariedade isoparam´etrica e substancial do espa¸co Euclidiano

L_P(p).

Observa¸cão 2.2.5. Note que no item c. da demonstra¸cão acima está impl´ıcito que S_P(p) é uma subvariedade isoparamétrica de p+DP(p)⊕νpM, onde p+DP(p) ⊕νpM = q +DP(q) ⊕νqM, para todoq∈SP(p). Além dissoPn_i(p0)∈PRni(p) é o primeiro espa¸co normal de SP(p) vista como

subvariedade do espa¸co Euclidianop+DP(p)⊕νpM.

(46)

Corolário 2.2.6. Seja M uma subvariedade isoparamétrica de En. Então as distribui¸cões de cur-vatura deM são auto paralelas e portanto têm folhas totalmente geodésicas. Dado p∈M, sejaSi(p)

a folha de Ei passando por p, i∈ {1, . . . , g}. Ainda

a. Se ni(p) = 0, ent˜aoSi(p) ´e um aberto de p+Ei(p) =q+Ei(q), para todo q∈Si(p).

b. Se ni(p) 6= 0, ent˜ao Si(p) ´e um aberto de uma hiperesfera de centro em p+_|n_i(1p)|2ni(p) e raio

1

|ni(p)| no espa¸co afim p+Ei(p)⊕Rni(p) =q+Ei(q)⊕Rni(q),para todo q∈Si(p).

Demonstra¸cão. Fazendo P ={ni(p0)}, da proposi¸cão anterior temos que DP =Ei é auto-paralela. Também que Si(p) é uma subvariedade isoparamétrica de Li(p) = p+Ei(p)⊕Rni(p) (neste caso

Si(p) ´e uma subvariedade totalmente umb´ılica deLi(p)), com normal de curvatura ni|Si(p).

a. Se ni(p) = 0, ent˜ao Si(p)⊂p+Ei(p).

b. Se ni(p) 6= 0, seja r = _|n_i1₍p)|. Ent˜ao dado q ∈ Si(p), sejam γ : [0,1]−→ Si(p) uma curva suave

por partes comγ(0) =p e γ(1) =q. Comoni ´e paralelo temos que

d

dt(γ(t) +r

2_n

i(γ(t))) =γ′(t)−r2hni(γ(t)),ni(γ(t))iγ′(t)

=γ′(t)−r2hni(γ(t)),ni(γ(t))iγ′(t)

=γ′(t)−γ′(t)

=0,

para todot∈[0,1]. Logo γ+r2ni◦γ ´e constante, em particular

p+r2ni(p) =γ(0) +r2ni(γ(0)) =γ(1) +r2ni(γ(1)) =q+r2ni(q).

Comoq é arbitrário e |ni|é constante, temos que |q−(p+r2ni(p))|=r, para todoq ∈Si(p)

Observa¸c˜ao 2.2.7. SejaM uma subvariedade isoparam´etrica do espa¸co Euclidiano.

a. Sejam p,q ∈ M e τ : νpM −→ νqM o transporte paralelo. Se v ∈ Np⊥, da observa¸c˜ao (2.2.1) tem-se

(47)

para todoi∈ {1, . . . , g}. LogoN⊥´e preservado pelo transporte paralelo.

b. Seja p ∈M fixo. Se v∈νpM com hni(p), vi= 0, para todo i∈ {1, . . . , g}, do item anterior e do item a. na demonstra¸c˜ao do teorema (1.5.1) tem-seM ⊂p+v⊥.

c. Suponhamos queM é substancial. Então pelo item anterior e a observa¸cão (2.2.1) tem-seνpM =

P

iRni(p), para todo p∈M.

d. Suponhamos queM é substancial e compacta. Então de b. M tem uma normal de curvatura nula se e somente se sua correspondente curvatura principal é nula. Neste caso sejaE0a distribui¸cão de

nulidade. ComoM é completa as folhas deE0 são completas logo do item a. do corolário anterior

são subespa¸cos afins do espa¸co Euclidiano, os quais são triviais já queM é limitada. LogoM tem normais de curvatura não nulas.

✷

Observa¸cão 2.2.8. SejaM uma subvariedade isoparamétrica do espa¸co Euclidiano. Oposto de M é o número máximo de normais de curvatura linearmente independentes. Do item a. da observa¸cão acima, do teorema (1.5.1) e do item c. da mesma observa¸cão podemos considerar, M ⊂ En com

n=m+londel´e o posto de M. Em diante somente consideraremos subvariedades isoparam´etricas substanciais do Espa¸co Euclidiano.

✷

2.3 O grupo de Coxeter

Um subgrupo grupo finito e essencial∗ do grupo ortogonal de um espa¸co vetorial finito dimensio-nal com produto interno gerado por um conjunto de reflex˜oes ´e chamadogrupo de Coxeter. Oposto

do grupo de Coxeter é o número máximo de vetores linearmente independentes do conjunto finito de vetores tais que as reflexões são feitas em rela¸cão aos seus espa¸cos ortogonais. Dada uma subva-riedade isoparamétrica do espa¸co Euclidiano podemos associar-lhe um grupo de Coxeter. Para isto consideraremos reflexões de subespa¸cos afins do espa¸co Euclidiano em rela¸cão a certos hiperplanos; a saber, os espa¸cos normais afins e os hiperplanos focais, respectivamente. Este grupo será uma ferra-menta importante no estudo da geometria da subvariedade. Em particular o posto da subvariedade coincidirá com o posto do respectivo grupo de Coxeter.

∗_{Essencial no sentido de que o conjunto dos pontos fixos do grupo ´e a origem. Na verdade os grupos de Coxeter em}

(48)

2.3. O grupo de Coxeter 36

Sejam M ⊂ En uma subvariedade isoparamétrica e n1, . . . ,ng suas normais de curvatura não nulas. Dadop∈M para i∈ {1, . . . , g}definimos o i-ésimohiperplano focal de M em p,li(p) por

li(p) ={p+v:v∈νpM e hni(p), vi= 1}.

Temos que o conjunto focal de M emp´e a reuni˜ao dos hiperplanos focais emp.

No que resta desta se¸cão utilizaremos a seguinte nota¸cão. Dados p, q ∈ M τpq : νpM −→ νqM denotará o transporte paralelo (ao longo de uma curva suave por partes unindop e q) em rela¸cão à conexão normal de M. Definimos otransporte paralelo afim τˆpq:p+νpM −→q+νqM por

ˆ

τ_pq(p+v) =q+τ_pqv,

para todo v ∈ νpM. Rp_i e ρp_i denotarão as reflexões de νpM e p+νpM em rela¸cão aos hiperplanos

ni(p)⊥∩νpM e li(p), respectivamente, para p ∈ M e i ∈ {1, . . . , g}. Ademais, consideraremos M completa, assim as folhas das distribui¸cões de curvatura associadas a normais de curvatura não nulas são hiperesferas de subespa¸cos afins do espa¸co Euclidiano. ai :Si(p)−→Si(p) denotará a aplica¸cão ant´ıpoda, isto éai(q) é o outro ponto de interseçcão entre a reta unindoqao centro deSi(p) eSi(p), para todoq∈Si(p).

Lema 2.3.1. Com a nota¸c˜ao acima temos que para todo i∈ {1, . . . , g}

a. ρp_i(p) =ai(p)

b. ρp_i = ˆτai(p)

p

c. ρp_i(lj(p)) =lj(ai(p)), para todo j∈ {1, . . . , g} e portantoρpi(FM(p)) =FM(ai(p))

Demonstra¸c˜ao. Com efeito,

a. Temos que

li(p) =p+{v∈νpM :hni(p), vi= 1}

=p+

v∈νpM :

ni(p), v− 1

|ni(p)|2

ni(p)

= 0

=p+

1

|ni(p)|2

ni(p) +ni(p)⊥∩νpM

(49)

Rp_i est´a dada por

Rp_iv=v−2hni(p), vi

|ni(p)|2

ni(p), (2.12)

para todov∈νpM. Assim

ρp_i(p+v) =p+ 1

|ni(p)|2

ni(p) +Rpi

v− 1 |ni(p)|2

ni(p)

=p+v+ 2(1− hni(p), vi)

|ni(p)|2

ni(p), (2.13)

para todov∈νpM. Agora sejar(t) = (1−t)p+t(p+_|n_i₍1p)|2ni(p)),t∈R, a reta unindo p ao centro

de Si(p), com r(0) =p er(1) =p+n_i(1p)2ni(p). Ent˜aoai(p) =r(2) =p+_|n_i(2p)|2ni(p) =ρp_i(p).

b. Pela observa¸cão (2.2.5) temos queSi(p) é uma subvariedade totalmente umb´ılica dep+Ei(p)⊕νpM e também que o transporte paralelo normal deSi(p), vista como subvariedade deste espa¸co afim, coincide com o transporte paralelo normal de M restrito aSi(p). Então

ni(ai(p)) =τpai(p)ni(p) =−ni(p) (2.14)

e τai(p)

p v =v, sev ∈νpM com hni(p), vi= 0. Portanto τpai(p) coincide com Rp_i, assim da equa¸c˜ao (2.13) tem-se

ρp_i(p+v) =p+ 2

|ni(p)|2

ni(p) +Rpiv (2.15)

=ai(p) +τpai(p)v

=ˆτai(p)

p (p+v),

(50)

c. Da equa¸c˜ao acima temos que

ρp_i(lj(p)) ={ρpi(p+v) :hnj(p), vi= 1}

={ai(p) +τpai(p)v:hnj(p), vi= 1}

={ai(p) +τpai(p)v:hnj(ai(p)), τpai(p)vi= 1}

=lj(ai(p))

Consideremos os g campos paralelos ξi = _|n2_i|2ni e as respectivas proje¸c˜oes πi : M −→ Mξi.

Temos queπi(p) =p+_|ni(2p)|2ni(p) =ai(p). Logo Mξi =M. Portanto da proposi¸c˜ao (2.1.6) item b.

e do item c. do lema acima temos que

FM(p) =FM_ξi(πi(p))

=FM(ai(p))

=ρp_i(FM(p)),

para todop∈M.

Note que para cada i∈ {1, . . . , g}fazendo σi =σ na equa¸c˜ao (2.5) como M =Mξi obtemos

n_σ_i₍_j₎(ai(p)) =

1

1− hnj(p), ξi(p)i

nj(p), (2.16)

para todoj∈ {1, . . . , g}.

Observa¸cão 2.3.2. Note que a existência das permuta¸cões σi impõe uma forte restri¸cão às multipli-cidades das curvaturas principais, a saber

mj = dim(Ej) = dim(Eσi(j)) =mσi(j).

(51)

Lema 2.3.3. As reflex˜oesρp₁, . . . , ρpg permutam os hiperplanos focais deM emp. Ainda ρp_i(lj(p)) =

l_σ_i₍_j₎(p)

Demonstra¸c˜ao. Do item c. do lema (2.3.1) e das equa¸c˜oes (2.16) e (2.14) tem-se

ρp_i(lj(p)) =lj(ai(p))

={ai(p) +v:hnj(ai(p)), vi= 1}

={p+ξi(p) +v:h−nj(p), vi= 1}

={p+w:−hnj(p), w−ξi(p)i= 1}

=

p+w: h−nj(p), wi 1− hnj(p), ξi(p)i

= 1

={p+w:h−nσi(j)(ai(p)), wi= 1}

={p+w:hnσi(j)(p), wi= 1}

=lσi(j)(p).

Lema 2.3.4. Seja M uma subvariedade isoparam´etrica do espa¸co Euclidiano. Dadop∈M sejaW˜p

o subgrupo de GL(νpM) gerado pelas reflexões Rp₁, . . . , Rpg. EntãoW˜p é um grupo de Coxeter finito.

Demonstra¸cão. Um ponto deνpM é fixado por todo elemento de ˜Wp se e somente se é fixado pelas reflexõesRp₁, . . . , Rpg. Logo a interseçcão dos conjuntos de pontos fixos de todos os elementos de ˜Wp é a interseçcão dos hiperespa¸cos deνpM ortogonais às normais de curvatura. Agora, como as normais de curvatura geramνpM, temos que νpM = ∩ig=1νpM ∩ni(p)⊥

⊥

. Logo ˜Wp ´e essencial.

De outro lado, como Rp_i = τai(p)

p (demonstra¸c˜ao do item b. do lema (2.3.1)), a equa¸c˜ao (2.16) pode ser reescrita assim

Rp_inσi(j)(p) =

1−2hnj(p),ni(p)i |ni(p)|2

−1

nj(p),

ent˜ao

|nσi(j)(p)|=

1− 2hnj(p),ni(p)i |ni(p)|2

−1

(52)

e como (Rp_i)2 =idνpM temos que

Rp_i

1

|nj(p)|

nj(p)

=

+

−1

|nσi(j)(p)|

nσi(j)(p).

Logo as reflex˜oesRp₁, . . . , Rpg permutam o conjunto

∆p =

( ₊

−1

|ni(p)|

ni(p) :i= 1, . . . , g

)

,

portanto existe um homomorfismo de ˜Wp no grupo de permuta¸cões de ∆p. Este homomorfismo é injetor já que se um elemento de ˜Wp restrito a ∆p é a identidade, então é a identidade de νpM (as normais de curvatura geramνpM). Segue que ˜Wp é finito.

Teorema 2.3.5 (Terng). Seja M uma subvariedade isoparam´etrica compacta do espa¸co Euclidiano. Ent˜ao o subgrupo Wp_{, do grupo de isometrias de} _p₊_ν

pM, gerado pelas reflex˜oes ρp₁, . . . , ρpg ´e um

grupo de Coxeter, para cadap∈M. Dizemos que Wp ´e o grupo de Coxeter de M em p.

Demonstra¸cão. Como M é compacta da observa¸cão (2.2.7) item d. segue que suas normais de curvatura são não nulas. Seja ϕ : Wp _−→ _W_˜p _{a aplica¸cão dada por} _ϕ₍_ρp

i1· · ·ρ

p

is) = R

p i1· · ·R

p is.

Vejamos que ϕ ´e um homomorfismo injetor. Com efeito, pela equa¸c˜ao (2.15) temos que para todo

v∈νpM

ρp_i

1· · ·ρ

p

is(p+v) =p+ξ(i1,...,is)(p) +R

p i1· · ·R

p

isv, (2.17)

onde

ξ₍i1,...,is)(p) =ξi1(p) +R

p

i1ξi2 +R

p i1R

p

i2ξi3 +. . .+R

p i1· · ·R

p is−1ξis

e ξij =

2

|n_ij_|2nij, com j ∈ {1, . . . , s}. Assim ϕ(ρ) = d ρx, para todo x ∈νpM e para cada ρ ∈ W

p_,

portantoϕest´a bem definido e ´e um homomorfismo de grupos. Agora suponhamos queϕ(ρp_i

1· · ·ρ

p is) = idνpM. Como as reflex˜oes R

p

1, . . . R

p

g permutam ∆p, tamb´em permutam os hiperespa¸cos ortogonais `

as normais de curvatura, então σi1· · ·σis é a permuta¸cão identidade. De outro lado as reflexões ρp₁, . . . , ρpg permutam os hiperplanos focais, assim dado p+v ∈ lj(p) temos que ρpi1· · ·ρ

p

is(p+v) ∈ lσi₁···σis(j)(p) =lj(p). Ent˜ao da equa¸c˜ao (2.17) tem-se