dn dt = kn mudança de variável dn N = kdt dn N = k dt Solução: ln (N)=-kt + C N 0 =e k 0 e C t=0 resolvendo a equação diferencial tem-se N t =N 0 e kt

(1)

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO

Coordenação do Curso das Engenharias Mecânica, Elétrica e Civil

1

CAPITULO 6

6.0 SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Conforme VILATTE ( 2001, p.1), Equação diferencial é qualquer relação entre uma função e suas derivadas.

As equações diferenciais podem ser divididas em :

• equações diferenciais (EDO) : a função y que aparece na equação é uma função de

uma variável x.

• Pode ser escrita na forma geral F(x,y,y',y'',y''',...)

• a ordem da equação é a ordem da derivada de ordem superior.

1)EXEMPLO: VILATTE ( 2001, p.20), análise química de uma viga de pinho retirada da

tumba dum faraó Egípcio mostrou que o conteúdo de carbono 14 é de 55% do existente num pinheiro vivo. Sabendo que a meia-vida do carbono é de 5580 anos, calcule a idade da tumba.

• Solução: dN dt =−kN • mudança de variável • dN N =−kdt •

∫

dN N =−k

∫

dt • ln (N)=-kt + C • N t =e−kt_∗eC • t=0 • N 0 =e−k∗0_∗eC • N 0 =eC

• resolvendo a equação diferencial tem-se N t =N 0 e−kt • meia vida: N t =N 0

2

• t=ln0,5

−k

• 55% do existente do pinheiro vivo : • N(t)=0,55*N(0)

• 0,55=e−kt • k=0,0001242 • t=4813 anos

(2)

2

• Equações de derivadas parciais: é uma função u de várias variáveis , u(x; z; t; …) e

a equação é uma relação entre u, e as variáveis independentes x,y,z,t,... e as derivadas parciais de u.

• Uma solução explicita da equação diferencial ordinária e qualquer função y(x) que

verifique a equação ao intervalo a<x<b.

• Uma solução implicita é uma relação G(x,y)=0 que verifique a equação

solução geral das equações lineares homogeneas Teorema

• VILLATE ( 2001, p.25) Se y1 e y2 são duas soluções particulares da equação linear

homogênea y''+by'+cy=0 num intervalo (a;b), e se num ponto x0 dentro do intervalo o Wronskiano das duas soluções é diferente de zero,

• então o Wronskiano será diferente de zero em qualquer outro ponto no intervalo (a;b)

e as soluções serão linearmente independentes no intervalo.

• Uma combinação linear das duas soluções e também em solução as condições

iniciais para essa solução serão: C1y1(c)+C2y2(c) = A

C1y1'(c)+C2y2'(c) = B

• para quaisquer valores iniciais A e B existe sempre solução é unica C1 e C2, já que o

determinante deste sistema linear é exatamente o Wronskiano das duas soluções, o qual é diferente de zero.

• Qualquer solução¸ particular pode ser obtida a partir de uma combinação¸ linear das

duas soluções yg =C1y1+C2y2

sendo esta a solução geral.

2)EXEMPLO: as funções y=e5x _e _{g =e}−3x _{são soluções da equação diferencial}

y”-2y'-15y=0.

• Substituindo y na equação diferencial • 25∗e5x₋2∗5∗e5x−15y=0

• substituindo g na equação diferencial

(3)

3

3) EXEMPLO: VILATTE ( 2001, p.29) ,seja a equação diferencial de ordem 2 :

y” +3y' +2=0 com seus valores iniciais A=y(0)=1 e B=y'(0)=0.

• VILATTE( 2001, p.24-26) , a equação y''+by'+cy=0 onde b e c são constantes é

equação linear homogênea de coeficientes constantes.

• Substituindo y , y' e y'' tem que satisfazer a equação y''+by'+cy=0. • A solução y depende das derivadas primeira e segunda.

• Uma função derivada linearmente dependente é a função exponencial y=erx • substituindo a função exponencial na equação diferencial

• tem-se r2erxbrerxc erx=0 como a função exponencial nunca é igual a zero. • r2_brc=0 ( polinomio caracteristico)

• SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE GRAU 2: r1=-1 e r2=-2 • solução geral : yg=C₁e−xC₂e−2x

• y1=C₁e−x • y2=C₂e−2x

• resolvendo o sistema linear , variáveis C1 e C2 • A=1 e B=0 ( valores iniciais)

• C1y1c C2 y2c =A C₁y₁' c C₂ y₂' c=B

• solução do sistema C1=2 e C2=-1 • y_geral=2 e−x−1 e−2x

6.1 Problema de valor inicial

• Para BURDEN (2003, p.218-219), as equações diferenciais são usadas para modelar

problemas de ciências e engenharia que envolvam mudança de alguma variável em relação a outra.

• Em algumas situações a equação diferencial que modela o problema é muito

complicado ser resolvida com exatidão.

• Em BARROSO (p.276, 1987) ,o teorema estabelece condições sobre f(x,y) as quais

garantem a existência de um única solução do (PVI).

• A função real f(x,y) satisfaz :

(4)

4

• (2) Existe uma constante L tal que qualquer x pertence [a;b] e todo par de números y

(exato) e y* ( aproximado) | f(x,y)- f(x,y*)| <= L(y-y*), então existe exatamente uma função y(x) satisfazendo :

i) y(x) é contínua e diferenciável para x pertencente [a,b] ii) y'(x)= f(x,y(x)) e x pertence [a,b]

iii) y(a) =n, n é dado.

A condição (2) está satisfeita se f(x,y) tem derivada contínua em relação a y. Conforme o teorema do valor médio:

f(x,y) -f(x,y*)= f

yx , y  (y-y*) onde y é o valor entre y e y*. A derivada

f

y não

é necessário para que (2) esteja satisfeito.

• teorema do valor médio BURDEN (2003, p.5).

• Se f pertence C[a,b] e f é diferenciável em (a,b) existe um numero c no intervalo (a,b)

tal que f ' c =f b−f  a b−a

6.2 MÉTODO DE EULER

• Segundo BARROSO (1987,p.279), seja o problema de valor inicial y'=f(x,y) e

y(xo)=yo=n, n dado.

• Aproximar y1,y2,..,yn para as soluções exatas y(x1), y(x2)...y(xn)

scilab 5.1

->x=0:5 -->y=x^2 -->x1=1:5 -->y1=x1 -->plot(x,y,x1,y1) --> xgrid

O valor de y(x1) é desconhecido , então através de y1 aproxima-se com y(x1), traçando a reta tangente T à curva y(x) no ponto (xo,y(xo)):

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

(5)

5

• y(x)- y(xo) =y'(xo) (x-xo) • x=x1 • y(x0)= yo • y1=y(x1) • x1-xo=h • P(x1,y1) y1-yo= h f(xo,y(xo))

erro : y1-y(x1) ( solução numerica e a exata)

Continuando o processo até ym tem-se yj+1 =yj+hf(xj,yj) j=0,1,..,m-1

FÓRMULA RECURSIVA DO MÉTODO DE EULER : yo=y(a)=n

yj+1 =yj +hf(xj,yj) j=0,1,...m-1

4) EXEMPLO : seja a equação diferencial separável x'=-3t²x no intervalo t=0:1 x(0)=2,

achar a solução explicita:

solução 1: dx dt=−3t 2 x • dx x =−3t 2_dt •

∫

dx x =

∫

−3t 2 dt • ln(x)=-t³ +C • x t =e−t3_∗eC • x 0=eC • x(0)=2 • x t =2∗e−t 3

solução 2: Método de Euler

yj+1 =yj +hf(xj,yj) h=0,1 (fixa) to=0 t1=0,1 t2=0,2...t10=1 calculos

x1= xo +hf(to,xo) = 2+0,1*(-3to^2*xo)=2+0,1*(-3*0*2)=2 x2= x1 +hf(t1,x1) = 2+0,1*(-3*t1^2*x1)=2+0,1*(-3*0,1^2*2)= 1,994 x3= x2 +hf(t2,x2) = 2+0,1*(-3*t2^2*x2)=2+0,1*(-3*0,2^2*1,994)= 1,970

(6)

6

FIGURA- Equação Diferencial Exata x t =2∗e−t3

e Aproximada

Solução 3: no scilab – salvar no editor com f2.sci

function ydot=f(t,x),ydot=-3*t^2*x,endfunction x0=2; //( ordenada)

t0=0; //( abscissa)

t=0:0.1:1;// ( varia de 0 ate 1 o vetor) y=ode(x0,t0,t,f)// ( resultado) plot(t,y) //( grafico) SAIDA: y = 2. 1.9980011 1.9840645 1.9467236 1.8760112 1.7649949 1.6114715 1.4192771 1.1985922 0.9647828 0.7357594 k exato 0 0,000 2,0000 2,0000 1 0,100 2,0000 1,9980 2 0,200 1,9940 1,9840 3 0,300 1,9700 1,9470 4 0,400 1,9170 1,8760 5 0,500 1,8250 1,7650 6 0,600 1,6880 1,6110 7 0,700 1,5060 1,4190 8 0,800 1,2850 1,1990 9 0,900 1,0380 0,9650 10 1,000 0,7860 0,7360 tk xk 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 Coluna G Coluna H

(7)

7

5) EXEMPLO: CLAUDIO (p.362,1989), resolver y'=2x+3 para y=1 quando x=1 para

x=1(0,1)1,5.

Solução:yj+1 =yj +hf(xj,yj) h=0,1 x(o)=1 y(o)=1 calculos yo=1 xo=1 h=0,1 y1=yo+hf(xo,yo)= 1+0,1 (2xo+3)=1,5 y2=y1+hf(x1,y1)= 1,5+0,1 (2x1+3)=1,5+0,1*(2*1,2+3)=2,02 y3=y2+hf(x2,y2)= 2,02+0,1 (2x2+3)=2,02+0,1*(2*1,3+3)=2,56 y4=y3+hf(x3,y3)= 2,56+0,1 (2x3+3)=2,56+0,1*(2*1,4+3)=3,12 y5=y4+hf(x4,y4)= 2,56+0,1 (2x4+3)=2,56+0,1*(2*1,5+3)=3,7

solução no scilab: salvar como f3.sci ( calcula solução exata)

function ydot=f(x,y),ydot=2*x+3,endfunction y0=1; x0=1; x=1:0.1:1.5; y=ode(y0,x0,x,f) plot(x,y) y= 1 1.51 2.04 2.59 3.16 3.75 6.3 EXERCICIOS

6)APLICAÇÕES PRÁTICAS:(livro- calculo numerico p.423) Um corpo com uma massa inicial de 200 kg é acelerado por uma força constante de 200N. A massa decresce a uma taxa de 1kg/s. Se o corpo está repouso em t=0 encontre sua velocidade ao final de 50 s. Sabe-se que a equação diferencial é dada por : dv_dt= 2000

200−t , resolva o problema usando o método

de Euler.

• solução exata : v =2000 ln(200/(200-t) , de modo que v(50)=575,36. • h=10 v(50)=559,021327829377365 ( metodo de euler)

7) CLAUDIO ( 1989, p.374) Resolver pelo método Euler a equação diferencial y'=x-y² y(o)=2 x=0(0.1)0,5 resposta Runge-Kutta de quarta ordem: 1,087855

(8)

8

solução 1: Método Euler

resposta y=1,002497

solução 2 no scilab salve como f4.sci

function ydot=f(x,y),ydot=x-y^2,endfunction y0=2; x0=0; x=0:0.1:0.5; y=ode(y0,x0,x,f) plot(x,y) y=2. 1.6711339 1.4450238 1.2847371 1.1697885 1.0878445

8)BARROSO( 1987, p.281 as aproximações para a solução PVI y'= x-y+2 na malha de [0;0.5] com h=0,1 e yo=3.

Solução 1: metodo de Euler

Solução no scilab : salve como f5.sci

function ydot=f(x,y),ydot=x-y+2,endfunction y0=3; x0=0; x=0:0.1:0.5; y=ode(y0,x0,x,f) plot(x,y) y=3. 2.9096751 2.8374617 2.7816365 2.7406401 2.713061 i xi f(x,y) 0 0 2,000000 -4,000000 1 0,1 1,600000 -2,460000 2 0,2 1,354000 -1,633316 3 0,3 1,190668 -1,117691 4 0,4 1,078899 -0,764024 5 0,5 1,002497 yi i xi f(x,y) 0 0 3,000000 -1,000000 1 0,1 2,900000 -0,800000 2 0,2 2,820000 -0,620000 3 0,3 2,758000 -0,458000 4 0,4 2,712200 -0,312200 5 0,5 2,680980 yi

(9)

9

9) BARROSO( 1987, p.285) , achar as aproximações para a solução PVI y'=y-2x/y yo=1 na malha [0;1] h=0,2 resposta: 1,82695

10)BARROSO(1987,p.285) y'= 1/x y(1)=0 na malha [1;2] h=0,1 resposta: 0,71877

6.4 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE QUARTA -ORDEM

• Os métodos de Runge-Kutta são uma família de métodos numéricos para solucionar

equações diferenciais ordinárias.

• São métodos que podem ser obtidos pela série de Taylor sem a necessidade de calcular

qualquer derivada.

• Devido sua larga utilização, será considerado neste texto apenas o clássico método de

Runge-Kutta de 4a ordem.

• Detalhes e provas deste método podem ser vistas em Schwarz[25]. • A expressão do método de Runge-Kutta de 4a ordem é dada por:

y i + 1 = yi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) , onde k 1 = h f ( x i , y i ) k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 ) k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k2 /2 ) k 4 = h f ( xi+h, y i + k 3 ) i xi f(x,y) 0 1 0,000000 1,000000 1 1,1 0,100000 0,909091 2 1,2 0,190909 0,833333 3 1,3 0,274242 0,769231 4 1,4 0,351166 0,714286 5 1,5 0,422594 0,666667 6 1,6 0,489261 0,625000 7 1,7 0,551761 0,588235 8 1,8 0,610584 0,555556 9 1,9 0,666140 0,526316 10 2 0,718771 yi i xi f(x,y) 0 0 1,000000 1,000000 1 0,2 1,200000 0,866667 2 0,4 1,373333 0,790809 3 0,6 1,531495 0,747947 4 0,8 1,681085 0,729318 5 1 1,826948 0,732226 yi

(10)

10

11)Exemplo - Dada a EDO a seguir, determine o valor aproximado de y ( 1 ), usando o

método de Runge-Kutta de 4a_{ordem, considerando h=1.}

= f (x , y ) = y ; y ( 0 ) = 1

Solução:

Usando o método de Runge-Kutta de 4a_{ordem, temos}

y1 = y0 + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) , Logo, k 1 = 1 f ( 0 , 1 ) = 1 k 2 = 1 f ( 0 + 1/2 , 1 + 1/2 ) = 1 x 1,5 = 1,5 k 3 = 1 f ( 0 + 1/2 , 1 + 1,5/2 ) = 1 x 1,75 = 1,75 k 4 = 1 f ( 1, 1 + 1,75) = 1 x 2,75 = 2,75 y1 = 1 + 1/6 ( 1 + 2 x 1,5 + 2 x 1,75 + 2,75 ) = 1 + 1_/ 6 ( 10,25 ) = 2,708333. (Solução exata e = 2,7182818 ) fonte: www.cin.ufpe.br/~jds/metodoscomputacionais/numericos2(04).ppt

12)EXEMPLO : Achar a aproximações para PVI y'=x-y+2 y(0)=2 n malha [0;1] h=0,1

usando Runge-Kutta de quarta ordem. k 1 = h f ( x i , y i ) k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 ) k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k2 /2 ) k 4 = h f ( xi +h ; y i + k 3 ) solução: xo=0 y(0)=2 h=0,1 k1=h*f(xo,yo)= 0,1*[xo-yo+2]=0 k2=h*f(xo+h/2;yo+k1/2)=0,005 k3=h*f(xo+h/2;yo+k2/2)=0,00475 k4=h*f(xo+h;yo+k3)=0,09525 y1=2,004873090 e assim por diante

• nesta tabela o k1, k2,k3,k4 não foram multiplicados pela a altura.

d y

d x

(11)

11

• O valor de y é calculado em cima desta formula

• y i + 1 = yi + h/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,

EXERCICIOS

13)y'= y-2x/y y(o)=1 na malha [0;1] h=0,2 use Runge-Kutta de quarta ordem

y i + 1 = yi + h/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) * o valor de k não é multiplicado pela altura

14) y'=1/x use Runge-Kutta de quarta ordem na malha [1;2] com h=0,1 y(1)=1

15)Achar as aproximações para a solução de PVI y'= (x-2xy -1)/x² y(1)=0 na malha [1;2] com h=0,1 usando RK4. xo=1 yo=0 k 1 = h f ( x i , y i )=0,1* f(x0,y0)=0,1*f(1,1)=0,1*[1-2*1*0-1)/1²=1 k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 )=0,1*f(1+0,1/2;0+1/2)=0,045351 k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k2 /2 )=0,1*f(1+0,1/2;0+0,045351/2)=0,041032 i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4 0,00000000 0,00000000 2,00000000 0,00000000 0,00000000 0,05000000 0,04750000 0,09525000 1,00000000 0,10000000 2,00483750 0,09516250 0,09516250 0,14040438 0,13814228 0,18134827 2,00000000 0,20000000 2,01873090 0,18126910 0,18126910 0,22220564 0,22015882 0,25925322 3,00000000 0,30000000 2,04081842 0,25918158 0,25918158 0,29622250 0,29437045 0,32974453 4,00000000 0,40000000 2,07032029 0,32967971 0,32967971 0,36319573 0,36151992 0,39352772 5,00000000 0,50000000 2,10653093 0,39346907 0,39346907 0,42379561 0,42227928 0,45124114 6,00000000 0,60000000 2,14881193 0,45118807 0,45118807 0,47862866 0,47725663 0,50346240 7,00000000 0,70000000 2,19658562 0,50341438 0,50341438 0,52824366 0,52700220 0,55071416 8,00000000 0,80000000 2,24932929 0,55067071 0,55067071 0,57313717 0,57201385 0,59346933 9,00000000 0,90000000 2,30656999 0,59343001 0,59343001 0,61375851 0,61274208 0,63215580 10,00000000 1,00000000 2,36787977 i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4 0,00000000 0,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 0,91818182 0,90863750 0,84323999 1,00000000 0,20000000 1,18322929 0,84517139 0,84517139 0,79446566 0,78749452 0,74403752 2,00000000 0,40000000 1,34166693 0,74539375 0,74539375 0,71009449 0,70480017 0,67325277 3,00000000 0,60000000 1,48328146 0,67426440 0,67426440 0,64789441 0,64371956 0,61948516 4,00000000 0,80000000 1,61251404 0,62027462 0,62027462 0,59962040 0,59622751 0,57686480 5,00000000 1,00000000 1,73214188 0,70710980 0,70710980 0,69072590 0,68947762 0,67408185 i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4 0,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 0,95238095 0,95238095 0,90909091 1,00000000 1,10000000 1,09531025 0,90909091 0,90909091 0,86956522 0,86956522 0,83333333 2,00000000 1,20000000 1,18232166 0,83333333 0,83333333 0,80000000 0,80000000 0,76923077 3,00000000 1,30000000 1,26236440 0,76923077 0,76923077 0,74074074 0,74074074 0,71428571 4,00000000 1,40000000 1,33647239 0,71428571 0,71428571 0,68965517 0,68965517 0,66666667 5,00000000 1,50000000 1,40546527 0,66666667 0,66666667 0,64516129 0,64516129 0,62500000 6,00000000 1,60000000 1,47000380 0,62500000 0,62500000 0,60606061 0,60606061 0,58823529 7,00000000 1,70000000 1,53062843 0,58823529 0,58823529 0,57142857 0,57142857 0,55555556 8,00000000 1,80000000 1,58778685 0,55555556 0,55555556 0,54054054 0,54054054 0,52631579 9,00000000 1,90000000 1,64185408 0,52631579 0,52631579 0,51282051 0,51282051 0,50000000 10,00000000 2,00000000 1,69314737

(12)

12

k 4 = h f ( xi+ 1 , y i + k 3 )=0,075184

6.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE ORDEM 2 OU DE SEGUNDA ORDEM d2_y dx2q  x dy dx=r  x , y  • variável auxiliar • dy/dx =z(x,y) • dz/dx =r(x,y) -q(x) z(x)

• equações dy/dx =f(x,y,z) dz/dx=g(x,y,z)

16)EXEMPLO : d 2 y dx230 dy dx200y=1000

SOLUÇÃO USANDO O MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

BARROSO (1987, p.317), determinar antes as funções f e g , substituindo antes y''=z' e y'=z obtendo assim um sistema de equações de ordem 1 .

k1=h*f(xi;yi;zi) L1=h*g(xi;yi;zi) k2=h*f(xi+h/2;yi+k1/2;zi+L1/2) L2=h*g(xi+h/2;yi+k1/2;zi+L1/2) k3=h*f(xi+h/2;yi+k2/2;zi+L2/2) L3=h*g(xi+h/2;yi+k2/2;zi+L2/2) k4=h*f(xi+h;yi+k3;zi+L3) L4=h*g(xi+h;yi+k3;zi+L3) y i + 1 = yi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) , z i + 1 = zi + 1/6 ( L 1 + 2 L 2 + 2 L3 + L 4 ) , i x y f(x,y)-derivada k1 k2 k3 k4 0,000000 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,045351 0,041032 0,075184 1,000000 1,100000 0,004133 0,075131 0,075131 0,099701 0,097565 0,115741 2,000000 1,200000 0,013889 0,115740 0,115740 0,128518 0,127496 0,136532 3,000000 1,300000 0,026628 0,136549 0,136549 0,142481 0,142041 0,145751 4,000000 1,400000 0,040817 0,145772 0,145772 0,147679 0,147547 0,148127 5,000000 1,500000 0,055556 0,148148 0,148148 0,147685 0,147715 0,146466 6,000000 1,600000 0,070313 0,146484 0,146484 0,144646 0,144757 0,142463 7,000000 1,700000 0,084775 0,142479 0,142479 0,139870 0,140019 0,137161 8,000000 1,800000 0,098766 0,137174 0,137174 0,134168 0,134330 0,131204 9,000000 1,900000 0,112189 0,131214 0,131214 0,128042 0,128204 0,124991 10,000000 2,000000 0,125000

(13)

13

17)EXEMPLO : BARROSO (1987, p315) em um circuito RCL, um capacitor de 0,01 Farad

de capacitância esta sendo carregado por uma força eletromotriz (f.e.m) de 100 volts através de uma indutância de 0,02 Henry e uma resistência de 10 ohms. Admitindo-se que não haja carga nem corrente iniciais ao se aplicar a voltagem, determinar a carga no capacitor e a corrente no circuito até o instante t=0,008.

Tem-se o modelo matemático: d

2_q

dt2 500

dq

dt 5000 q−5000=0

q(0)=0 ( carga no capacitor) dq(0)/dt =0 ( corrente) t=0:0,008 h=0,001 Estudar o comportamento do circuito até p instante t=0,008 s

solução 1:

y”=-500y'-5000y+5000 y(o)=0

y'(o)=0

fazendo uma troca de variável y'=z (variação da carga =corrente) ; y=carga y”=z'

z'=-500z-5000y+5000 h=0,001 t=0:0,008 y'=z y(o)=0 z(o)=0

solução 2: f=-500z-5000y+5000 g=z z(o)=0 y(o)=0 h=0,001 k1=h*f(to;zo;yo)=0,001*[-500*z-5000*y+5000]=0,001*[-500*0-5000*0+5000]=5 L1=h*g(to;zo;yo=0,001*[z]=0,001*0=0 k2=h*f(to+h/2;zo+k1/2;yo+L1/2)=0,001*f(0,0005;2,5;0]=3,75 L2=h*g(to+h/2;zi+k1/2;yi+L1/2)=0,001*g( 0,0005;2,5;0]=0,001*(zo)=0,001*2,5=0,0025 k3=h*f(to+h/2;zi+k2/2;yi+L2/2)=0,001*f(0,0005;1,875;0,00125)=4,05625 L3=h*g(to+h/2;zi+k2/2;yi+L2/2)=0,001*g(0,0005;1,875;0,00125)=0,001*(1,875)=0,00187 k4=h*f(to+h;zi+k3;yi+L3)=0,001*f(0,001;4,05625;0,001875)=2,9625 L4=h*g(to+h;zi+k3;yi+L3)=0,001*g( 0,001;4,05625;0,001875)=0,00405625 z i + 1 = zi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) corresponde ao z ( corrente)) z1=3,92916 ( corrente) y i + 1 = yi + 1/6 ( L 1 + 2 L 2 + 2 L3 + L 4 ) , ( corresponde a y (carga))

y1=0,0021344375 ( carga) e assim por diante... z10=9,40033 y10=0,0592291

(14)

14

y=carga e y'=corrente

• vcn :método de runge-kutta com multiplas equações ( passo h e passo impressao

mesmo valor) EXERCICIOS

18) Para os sistemas aproximar as soluções dos seguintes sistemas equações diferenciais de ordem 1:

v1=u1'=3u12u2−2t21e2t v2=u2 '=4u1u2t22t−4e2t 0≤t1 u1(o)=1

u2(o)=1 h=0,2

soluções reais : u1t=e

5t 3 − e−t 3 e 2t u2 t=e 5t 3 2 e−t 3 t 2 e2t

solução 1: na ordem da equação diferencial u1 corresponde ao k1 e u2 corresponde a L2

x y y' z z' 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 5000,000000 0,001000 0,002134 3,929167 3,929167 3024,744792 0,002000 0,007352 6,297726 6,297726 1814,377860 0,003000 0,014420 7,710083 7,710083 1072,861183 0,004000 0,022582 8,536716 8,536716 618,732056 0,005000 0,031377 9,004716 9,004716 340,759131 0,006000 0,040520 9,253277 9,253277 170,760851 0,007000 0,049840 9,367716 9,367716 66,943933 0,008000 0,059229 9,400329 9,400329 3,690344 k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4 u1 1,00000 0,8000 0,200 1,03083 0,41418 1,14292 0,52793 1,5747 0,95774 u2 1,00000 t 0 h 0,2

para t=0,2 0,2 primeira linha v1 2,12037 v2 1,50699 k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4 u1 2,12037 1,5528 0,936 2,09794 1,50612 2,37560 1,78124 3,4253 2,90129 u2 1,50699 t 0,2 h 0,2

para t=0,2 0,4 segunda linha v1 4,44124

(15)

15

19) Use o algoritmo de Runge-Kutta para aproximar as soluções dos seguintes sistemas de equações diferenciais de ordem superior:

a) y''-2y' +y=t e^t -t 0≤t1 y(o)=y'(o)=0 e h =0,1 b) t² y” -2ty' +2y=t³ ln(t) 1≤t2 h=0,1 y(1)=1

soluções reais : t3et 6−te t_{2 e}t −t−2 7t 4  t3lnt  2 − 3t3 4

20) Aplique o método de Runge-Kutta para os sistemas para aproximar as soluções do seguinte de equações diferenciais de primeira ordem:

a) v1=u '1=−4u1−u2cost4sent v2=u '2=3u1u2−3sent  para0t2

u1(0)=0 u2(0) =-1 h=0,5 faça até i=2

i ti v1 v2 k1 L1 k2 L2 k3 L3 k4 L4 0 0 u1=0 u2=-1 1 1 2 2 k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4 u1 4,44124 3,3741 2,848 4,72805 4,34085 5,43274 5,03169 8,0918 7,93375 u2 3,24224 t 0,4 h 0,2

para t=0,2 0,6 terceira linha v1 9,73916

v2 8,16343

k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4

u1 9,73916 7,9667 7,804 11,45379 11,67980 13,27511 13,46222 20,2002 20,99307 u2 8,16343

t 0,6 utiliza esse valor para calcular quando t for igual a 0,8

h 0,2 t 0,8 terceira linha v1 22,67662 v2 21,34358 k1 L1 k2 l2 K3 L3 K4 L4 u1 22,67662 21,0013 20,790 30,99589 31,17821 36,07195 36,21489 56,0140 56,76709 u2 21,34358

t 0,6 utiliza esse valor para calcular quando t for igual a 0,8 h 0,2 t 1 quinta linha v1 57,86844 v2 56,73410 ti v1 v2 0 1,00000000 1,00000000 0,2 2,1203658 1,5069919 0,4 4,4412278 3,2422402 0,6 9,7391333 8,1634170 0,8 22,6765598 21,3452788 1 55,6611809 56,0305030

(16)

16

• usando o vcn: runge-kutta com multiplas equações • u'1=z' u1=z u2=y t=x

• u'2=y u1=z u2=y y=x • h=0,5

• x inicial =0 y inicial =-1 z inicial =0 • fazendo u'1=z faz também u1=z

respostas: y(1)=-1,5946 z(1)=1,1871 REFERENCIAS

• Disponível em www.cin.ufpe.br/~jds/metodoscomputacionais/numericos2(04).ppt , acessado em 16/06/2009

• BARROSO, L.C. et. al. Calculo Numerico(com aplicações). 2. ed. Editora Harbra.SP. 1987. • BURDEN, R.L. e FAIRES, J.D. Analise Numérica.SP.Editora.Thomson.2003.

• CASTILHO, José Eduardo .Apostila de Cálculo Numérico .Universidade Federal de Uberlandia. Faculdade de Matematica. Mar 2001

• GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de calculo, vol 1. 5a edição. Editora LTC. 2001.RJ. • Calculo numerico em pdf.

• CLAUDIO, Dalcidio Morares e MARINS, Jussara Maria. Calculo Numerico

Computacional. Teoria e Pratica. Editora Atlas.1989.SP.

• VILLATE, Jaime E. Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Dezembro de 2001.

• Disponivel em http://quark.fe.up.pt/~villate/doc/eqdiferenciais/eqdiferenciais.pdf, acessado em 12/11/2009.

x y y' z z'

0 -1,0000 -1,0000 0,0000 2,0000

0,5 -1,3342 -0,5995 0,7243 1,2322