ROLAMENTO DE UMA BOLA DE BILHAR NUM PLANO INCLINADO

ROLAMENTO DE UMA BOLA DE BILHAR NUM PLANO INCLINADO

Sênita Folquenim – folquenim@gmail.com Universidade Tecnológica Federal do Paraná Avenida dos Pioneiros, 3131

Londrina - PR

Edson Gonçalves – goncalvesedson@hotmail.com Universidade Tecnológica Federal do Paraná Avenida dos Pioneiros, 3131

Londrina - PR

Alcides Goya – goya@utfpr.edu.br

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Avenida dos Pioneiros, 3131

Londrina - PR

Resumo: Este trabalho fez um estudo entre as velocidades de rolamentos de uma bola de bilhar num plano inclinado com lançamento oblíquo. Para se determinar a velocidade final no plano inclinado foram assumidas as equações do alcance horizontal. Através do gráfico da velocidade em função da raiz quadrada da altura do plano inclinado, foi possível fazer a comparação com a previsão teórica fornecida pela conservação da energia. Os resultados obtidos foram muito próximos da previsão teórica considerando a conservação da energia. Foi determinado o coeficiente de atrito estático entre a bola e o plano através do início do deslizamento e confirmado com outro tipo de determinação. Os dados obtidos com a bola de bilhar inclusive sugerem uma boa explicação para a discordância entre esses coeficientes publicada na literatura. Uma vez que uma bola de bilhar é bem maior, mais colorida e menos densa, portanto mais visível e mais fácil de manusear do que uma bola de aço em sala de aula, espera-se que este conjunto possa ser mais utilizado no ensino médio e no ensino universitário.

Palavras-chave: Rolamento e deslizamento, coeficiente de atrito, lançamento oblíquo, laboratório didático.

1 INTRODUÇÃO

As atividades experimentais na formação científica já foram muito consideradas, em todos

os níveis de ensino, por vários autores (BLOSSER, 1988; GIL & CASTRO, 1996; HODSON,

1988; LAVONEN et al., 2004; BAROLLI et al, 2010) e já é bem conhecida a necessidade do professor situar adequadamente as práticas para que elas sejam úteis e realizem as funções a que se destinam (PESSOA et al., 1985). No entanto, apesar de haver um consenso que as atividades práticas constituem a essência da aprendizagem científica (LABURÚ et al., 2011), há divergências e confluências em relação à inserção destas atividades experimentais (ABRAHAMS, 2009) e elas ainda raramente são utilizadas pela maioria dos professores brasileiros no ensino de ciências (GALIAZZI et al., 2001; BORGES, 2002).

No que se refere ao tema específico de rolamento de um corpo maciço, se por um lado as pesquisas mostram que os alunos encontram dificuldades conceituais relativas ao papel da força de atrito (NELSON, 2012; CALDAS & MAGALHÃES, 2000), por outro lado foi possível estimar o ângulo limite a partir do qual começa o deslizamento através de um simples experimento com uma esfera de aço rolando num plano inclinado (SILVA et al., 2003). No entanto, foi observada uma discordância entre os valores do coeficiente de atrito entre a esfera de aço e a superfície do plano, quando comparado com outros modos de mensuração (SILVA et al., op.cit., pag 383), fato que não foi confirmado por outros autores (GOYA et al, 2014).

Uma vez que uma bola de bilhar é bem maior, mais colorida e menos densa, portanto mais visível e mais fácil de manusear do que uma bola de aço em sala de aula, este trabalho, seguindo a montagem experimental sugerida pelos últimos autores, faz um estudo simples entre as velocidades de rolamentos de uma bola de bilhar com lançamento oblíquo com o objetivo de estudar a compatibilidade entre essas velocidades e verificar a utilidade para fins didáticos.

Simultaneamente, aproveita-se para verificar uma possível discordância entre os valores do coeficiente de atrito entre a bola de bilhar e a superfície do plano, quando comparado com outro modo de mensuração.

2 MATERIAL, MÉTODO E PROCEDIMENTOS

O conjunto principal é composto por uma canaleta de plástico, perfil 5,0 cm x 2,0 cm x 210,0 cm que se encontra facilmente no mercado, e uma bola de bilhar (massa m=0,09455 kg e raio R=0,0250 m). Além da canaleta e da bola de bilhar, a montagem experimental necessita apenas de uma mesa plana, suportes comuns de laboratórios, papel carbono, fio de prumo e uma trena. A montagem do experimento foi feita na forma usual para se medir o alcance do lançamento oblíquo, conforme a figura1. Por questões práticas de manuseio, a canaleta foi cortada em 60,0 cm ficando reduzido ao comprimento de L=1,50 m. Como base foi utilizada uma mesa plana do laboratório com altura H= 1,108 m. Uma das extremidades ficou grudada com velcro na quina da mesa e outra extremidade apoiada em suportes comuns, com os quais se pode variar a altura h, tal como pode ser visto na figura 1 e 2.

Figura 1: Esquema da montagem do trilho

H: altura do lançamento oblíquo; h: altura em que a esfera é solta; L: espaço percorrido pela esfera durante o rolamento na canaleta; x: alcance horizontal do lançamento oblíquo

Figura 2: Esquema da montagem do experimento de lançamento oblíquo 2.1 Dois modos distintos para a determinação da velocidade no final da canaleta

O primeiro modo de se calcular a velocidade da bola de bilhar no instante em que ela deixa a canaleta, foi feito pelo alcance horizontal x. Admite-se que, durante a queda da bola, no eixo horizontal x o movimento seja uniforme e no eixo vertical y o movimento seja uniformemente variado. Isolando a variável t da equação do movimento uniforme e substituindo-a na equação do movimento vertical, somando os termos e isolando a variável V, obtemos a equação que determina a velocidade do alcance horizontal (SILVA et al., op.cit., pag 380):

) tan (

2

cos  H x 

g V

x

  . (1)

O segundo modo de se calcular a velocidade da bola de bilhar, no instante em que ela deixa a canaleta, desde que não haja deslizamento durante o rolamento, foi feito admitindo a conservação da energia mecânica. Um corpo abandonado de uma altura h, que desce rolando num plano inclinado é descrito pela equação (2) (TIPLER e MOSCA, 2009, p. 305)

  V I w mgh m





2 1 2

1 (2)

onde V

é a velocidade do centro de massa e I

é o momento de inércia do corpo, em relação ao centro de massa, que rola sem deslizar. Considerando o momento de inércia de uma esfera e relacionando a velocidade linear (v) com a angular (w), uma vez que não haja deslizamento, obtemos a equação que expressa a velocidade final da esfera pela conservação da energia mecânica:

gh V

7

 10 . (3)

2.2 O coeficiente de atrito pelo início de deslizamento

A bola de bilhar, ao descer a canaleta conforme a figura 1, aumenta a sua velocidade angular para manter a condição de não-deslizamento, i.e., a força de atrito gera um torque em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. A 2ª lei de Newton, linear e rotacional, pode ser escrita como

R I a R F e

ma F

mgsen  



 



(4)

onde a

é a aceleração do centro de massa, R e I

são o raio e o momento da bola de bilhar. Eliminando a

e considerando o momento de inércia da bola, chega-se à expressão que determina a força de atrito estático (F

) sobre a bola, que rola sem deslizamento num plano inclinado (Tipler e Moska, op.cit., pag 304):

 mgsen F

7

 2 . (5)

A condição de não deslizamento corresponde à situação em que a força de atrito é menor do que o produto do coeficiente de atrito estático pela força normal. No caso limite, início de deslizamento, iguala-se as duas equações que envolvem a força de atrito e se determina o coeficiente de atrito estático em função da inclinação da canaleta (SILVA et al., op.cit., pag 382):





tg 7

 2 . (6)

3 RESULTADOS

Uma vez que, no caso ideal da conservação da energia, a velocidade de rolamento de uma bola depende linearmente da raiz quadrada da altura, como é mostrada explicitamente pela equação (3), a tabela 1 apresenta os valores das velocidades, para os dois modos de se determinar a velocidade final da esfera no trilho, em função da raiz quadrada da altura. Cada linha da tabela 1 explicita que, para cada ângulo de inclinação da canaleta, foram medidos a altura h e o alcance horizontal x no solo, conforme a figura 1. As três primeiras colunas mostram os dados obtidos diretamente do experimento e as três últimas colunas mostram os resultados obtidos dos cálculos das velocidades no final da canaleta, conforme as equações (1) e (3), respectivamente, bem como as diferenças entre essas velocidades mostradas em porcentagens.

Na tabela 1 apresentamos apenas as medidas que foram consideradas mais importantes para o trabalho, nas primeiras cinco linhas são apresentadas as medidas realizadas de cinco em cinco graus e a partir do 6º ponto são apresentadas medidas realizadas de dois em dois graus.

A última coluna da tabela 1 indica que as velocidades correspondentes aos cinco primeiros

pontos (até 25º), do ponto de vista de laboratório didático, estão com uma diferença desprezível,

tal como é também ilustrado pelo gráfico da figura 1, no qual não se pode sequer distinguir

esses pontos. Pela figura 1 também se poderia estimar o ângulo aproximado do início do

deslizamento, entretanto, para efeito de comparação com os trabalhos citados (GOYA et al,

2014; SILVA et al, 2003), foi conveniente calcular uma reta referência, no trecho em que os

dados não mostraram nenhum sinal de deslizamento. Traçando uma reta pelo método dos

mínimos quadrados, a equação da reta correspondente aos cinco primeiros pontos é expressa

pela equação (7):

) / ( ) 01 , 0 ( 76 ,

3

1

s m h

V

   . (7)

Tabela 1: Ângulo, raiz quadrada da altura, alcance horizontal, velocidades da bola de bilhar e diferença porcentual entre os dois modos de se calcular as velocidades.

teta (

) h

(m

) X(m) V

(m/s) V

(m/s) Diferença (%)

5 0,362 0,632 1,368 1,352 1,2

10 0,510 0,838 1,921 1,908 0,7

15 0,623 0,941 2,329 2,330 0,0

20 0,716 0,983 2,672 2,678 -0,2

25 0,796 0,993 3,018 2,977 1,4

28 0,839 0,994 3,271 3,138 4,3

30 0,866 0,982 3,410 3,238 5,3

32 0,892 0,96 3,513 3,334 5,4

34 0,916 0,933 3,598 3,424 5,1

36 0,939 0,916 3,765 3,511 7,2

38 0,961 0,894 3,922 3,593 9,1

40 0,982 0,863 4,022 3,671 9,6

42 1,002 0,852 4,344 3,746 16,0

44 1,021 0,841 4,755 3,817 24,6

46 1,039 0,845 5,575 3,884 43,5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0 1 2 3 4 5 6

Raiz quadrada da altura h (m^1/2) Velocidade pelo alcance horizontal Velocidade pela conservação da energia

Velocidade (m/s)

Figura 3: Velocidades da bola de bilhar em função da raiz quadrada da altura

Na figura 3 é apresentada a reta traçada pela equação (7) com todos os dados, conforme

mostrado na quarta coluna da tabela 1, em função da raiz quadrada da altura, isto é, a velocidade

obtida pelo alcance horizontal, de acordo com a equação (1).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0

1 2 3 4 5 6

Raiz quadrada da altura h (m^1/2)

Velocidade (m/s)

Figura 4: Velocidade em função da raiz quadrada da altura ilustrando o início do deslizamento A figura 3 mostra ainda que a partir do sexto ponto os dados mostram um leve distanciamento, mas que fica muito mais evidente a partir do décimo ponto. Conferindo com a última coluna da tabela 1, nota-se que é a partir do décimo ponto que as diferenças se tornam maiores do que 5%, incertezas consideradas comuns, ordinariamente aceitáveis em laboratórios didáticos. Uma estimativa simples seria considerar que não haja deslizamento no 6º ponto (28º) e que haja deslizamento no 13º ponto (42º), ou seja, a base a da PDF triangular seria de 14,0 graus, onde a melhor aproximação do mensurando seria 35,0

. Portanto, a incerteza padrão u do ângulo em que se inicia o deslizamento é calculado de uma forma imediata (JUNIOR e SILVEIRA, 2011, pag 2303-3) e o resultado final do ângulo pode ser apresentado como

 35  3 

  (8)

Através da equação (6) e considerando a propagação das incertezas (VUOLO, 1992), podemos estimar o coeficiente de atrito estático máximo pelos dados obtidos via alcance horizontal

02 , 0 20 ,

0 

alcance



 (9)

Por outro lado, o coeficiente de atrito estático máximo foi também calculado pelo método mais simples e direto: aumento gradual do ângulo da inclinação do plano até que o corpo de prova inicie o deslizamento. Para tanto, foram unidas duas bolas de bilhar semelhantes para evitar o rolamento. Uma vez que foram feitas várias medidas (N=20), foi possível utilizar a PDF gaussiana e apresentar a incerteza padrão através do desvio padrão da média (VUOLO, 1999)

04 , 0 21 ,

0 

máximo



estático

 (10)

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A figura 1 mostra que o conjunto experimental apresentado neste trabalho, o trilho de canaleta de plástico com a bolinha de bilhar, é um instrumento adequado para o laboratório didático e, surpreendentemente, entre a inclinação de 5º a 25º, apresentou resultados mais próximos da conservação da energia do que os resultados obtidos pela esfera de aço (GOYA et al, 2014; SILVA et al, 2003).

Outra observação interessante, conforme os dados da tabela 1 e ilustração da figura 1, é o suave aumento numérico da velocidade medido a partir do sexto ponto, correspondente à inclinação de 28º no trilho. Como provável explicação, pode ser considerado como consequência da própria limitação do lançamento oblíquo, uma vez que, justamente em torno dessa inclinação do trilho, os dados do alcance horizontal x, conforme pode ser visto na 3ª coluna da tabela 1, apresenta uma inflexão, i.e., a velocidade aumenta com o aumento do alcance antes e, depois dessa inflexão, a velocidade diminui com o aumento do alcance horizontal x. Esse comportamento foi observado também em outros trabalhos semelhantes e inclusive poderia explicar a discordância que os autores mencionam com relação à diferença entre os valores do coeficiente de atrito entre a esfera de aço e a superfície do plano, quando comparado com outro modo de mensuração (SILVA et al., op.cit., pag 383). Analisando os dois últimos resultados da tabela 1, verificamos que a velocidade ultrapassou inclusive os valores previstos para deslizamento puro, i.e., tornando nulo o termo rotacional da equação (2).

Isto pode estar indicando alguns fatores que não estão sendo considerados e que abre possibilidades para novos estudos.

Portanto, além do fato de que uma bola de bilhar é bem maior, mais colorida e menos densa, i.e., mais visível e mais fácil de manusear do que uma bola de aço em sala de aula, a proximidade dos resultados com a conservação da energia e a coincidência com outras formas de se obter o coeficiente de atrito estático entre a bola de bilhar e a canaleta de plástico, mostradas pelas equações (9) e (10), confirmam que este conjunto experimental, formado principalmente com uma canaleta de plástico e uma bola colorida de bilhar, é muito apropriado para utilização em laboratórios didáticos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABRAHAMS, I. Does Practical Work Really Motivate? A study of the affective value of practical work in secondary school science. International Journal of Science Education, v.

31, n. 17, p. 2335-2353, 2009.

BAROLLI, E.; LABURÚ, C.E.; GURIDI,V. Laboratório didáctico de ciencias: caminos de investigación, Revista Electrônica de Ensenanza de las Ciencias, 9, 1, 88-110, 2010.

BLOSSER, P.E. . Matérias em Pesquisa de Ensino de Física: O papel do Laboratório no Ensino de Ciências. Caderno Catarinense de Ensino de Física, Florianópolis, v.5, n.2, p. 74-78, 1988.

BORGES, A.T. Novos rumos para o laboratório escolar de ciências. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, v. 19, n. 3, p. 291-313, 2002.

CALDAS, H.; MAGALHÃES, M.E.. Rolamento sem escorregamento: atrito estático ou atrito de rolamento? Caderno Catarinense de Ensino de Física, v. 17, n.3, p. 257-269, 2000.

GALIAZZI, M.C.; ROCHA, J.M.B; SCHMITZ, L.C.; SOUZA, M.L.; GIESTA, S. e

GONÇALVES, F.P.. Objetivos das atividades experimentais no Ensino Médio: a pesquisa

coletiva como modo de formação de professores de Ciências. Ciência e Educação, Bauru, v.7,

n.2, p. 249-263, 2001.

GIL, D.; CASTRO, V.P. La orientación de las prácticas de laboratorio como investigación: un ejemplo ilustrativo. Enseñanza de las Ciencias, 14, 2, 155-163, 1996.

GOYA, A.; LABURU, C.E.; CAMARGO FILHO, P.S.. Estudo comparativo de rolamento e a determinação do início de deslizamento de uma esfera num plano inclinado. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 30, p. 2502-1,2502-6, 2014.

HODSON, D. Experimentos em Ciências e Ensino de Ciências. Educational Philosophy and Theory, v.11, p. 53-66, 1988.

JUNIOR, P.L. e SILVEIRA, F.L. Sobre as incertezas do tipo A e B e sua propagação sem derivadas: uma contribuição para a incorporação da metrologia contemporânea aos laboratórios de física básica superior. Revista Brasileira de Ensino de Física, 33, 2303 (2011).

LABURÚ, C. A., MAMPRIN, M.I. de L. L e SALVADEGO, W. N. C., Professor das ciências naturais e a prática de atividades experimentais no ensino médio -uma análise segundo Charlot.. Londrina: Eduel, 2011.

LAVONEN, J., JAUHIAINEN, J., KAPONEN, J. ; KURKI-SUONIO, K. Effect of a long- term in-service training program on teacher´s beliefs about the role of experiments in physics education. International Journal of Science Education. Londres, v. 26, n. 3, p. 309-328, 2004.

NELSON, O.R. Rolamento sem deslizamento: um exemplo ilustrativo capaz de mostrar muitos conflitos conceituais. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 34, n. 3, p. 3502-1 – 3502-5, 2012.

PESSOA, O. F. ; GEVERTZ, R. e SILVA, A. G. Como ensinar ciências. São Paulo:

Companhia Editora Nacional. 1985.

SILVA, W.P.; SILVA, C.M.D.P.S; PRECKER, J.W.; SILVA, D.D.P.S.; SOARES, I.B.;

SILVA, C.D.P.S. Esfera em Plano inclinado: Conservação da Energia Mecânica e Força de Atrito. Revista Brasileira de ensino de Física, v. 25, n.4, 2003.

TIPLER P.A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros, volume 1, 6ª edição. Rio de Janeiro, LTC, 2009.

VUOLO, J.H. Avaliação e Expressão de Incerteza em Medição. Revista Brasileira de ensino de Física, v. 21, n.3, 1999.

VUOLO, J.H.. Fundamentos da Teoria de Erros, São Paulo: Edgar Blücher, 1992.

ROLLING OF A BALL BILLIARDS IN INCLINED PLANE

Abstract: This paper did a study between the speeds of bearings of a billiard ball on an inclined

plane with oblique launch. To determine the final velocity in the inclined plane equations have

been entered into the horizontal range. Through the speed function of the square root of the

height of the inclined plane, graph was possible to make a comparison with the theoretical

prediction given by energy conservation. The results were very close to the theoretical

prediction considering the conservation of energy. The coefficient of static friction between the

ball and the plan was determined by the onset of slip and confirmed with another kind of

determination. The data obtained with the billiard ball even suggest a good explanation for the

discrepancy between these coefficients published in the literature. Once a billiard ball is bigger,

more colorful and less dense, therefore more visible and easier to handle than a steel ball in the classroom, it is expected that this set can be used in high school and in university education.

Key-words: Rolling and sliding friction coefficient, oblique launch, didactic laboratory.