Notas para o acompanhamento das aulas de
´
Algebra Linear
Licenciatura e Bacharelado em Matem´
atica
Sum´
ario
1 Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes 5
1.1 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . 5
1.2 Matrizes . . . 9
1.2.1 Alguns Tipos Especiais de Matrizes . . . 14
1.3 Determinantes de Matrizes . . . 16
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes . . 23
2 Espa¸cos Vetoriais 35 2.1 O conceito de Espa¸co Vetorial . . . 35
2.2 Subespa¸cos Vetoriais . . . 41
2.3 Combina¸c˜oes Lineares e Espa¸cos Gerados . . . 46
2.4 Dependˆencia e Independˆencia Linear . . . 50
2.5 Base e Dimens˜ao . . . 53
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Espa¸cos Vetoriais . . . 62
3 Transforma¸c˜oes Lineares 75 3.1 O Conceito de Transforma¸c˜ao Linear . . . 75
3.2 N´ucleo de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 78
3.3 Isomorfismos e Automorfismos . . . 81
3.4 Matrizes e Transforma¸c˜oes Lineares. . . 83
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Transforma¸c˜oes Lineares . . . 89
4 Espa¸cos com Produto Interno 99 4.1 O Conceito de Produto Interno . . . 99
4.2 Medindo Distˆancias e ˆAngulos. . . 102
4.3 O Processo de Ortonormaliza¸c˜ao de Bases de Gram-Schmidt . . . 104
4.4 Operadores Lineares Especiais sobre Espa¸cos Vetoriais com Produto Interno. . . 106
4.4.1 Operador Proje¸c˜ao Ortogonal . . . 106
4.4.2 Operador Isometria . . . 107
4.4.3 Operador Auto-Adjunto . . . 108
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Espa¸cos com Produto Interno . . . 109
5 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares 117 5.1 Autovalores, Autovetores e Subespa¸cos Pr´oprios. . . 117
5.2 O Polinˆomio Caracter´ıstico . . . 120
5.3 Diagonalizando Operadores Lineares . . . 121
5.4 O Polinˆomio Minimal . . . 124
5.5 A Forma Canˆonica de Jordan . . . 127
Se¸c˜ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos: Diagonaliza¸c˜ao de Operadores Lineares . . . 133
Cap´ıtulo 1
Sistemas Lineares, Matrizes e
Determinantes
Este cap´ıtulo aborda trˆes assuntos b´asicos: sistemas lineares, matrizes e determinanes, que s˜ao pr´e-requisitos para os demais cap´ıtulos deste texto.
Um primeiro estudo de ´Algebra Linear ´e focado nas chamadastransforma¸c˜oes lineares, que ser˜ao introduzidas no Cap´ıtulo3, p´agina75, e, conforme veremos, estar˜ao intrinsicamente relacionadas com as matrizes, da´ı a importˆancia de um estudo pr´evio desse assunto. Quanto aos sistemas lineares, eles s˜ao extremamente necess´arios ao desenvolvimento de nossos estudos e surgem a todo momento, e em todos os cap´ıtulos, deste texto. J´a os determinantes s˜ao especialmente importantes para adiagonaliza¸c˜ao de operadores lineares, conforme veremos no Cap´ıtulo5, p´agina117, uma vez que est´a relacionado com um importante polinˆomio, chamado depolinˆomio caracter´ıstico.
1.1
Sistemas de Equa¸
c˜
oes Lineares
Sejam R: conjunto dos n´umeros reais e; C: conjunto dos n´umeros complexos.
Estes conjuntos munidos das opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao usuais s˜ao chamados de corpos num´ericos.
Sejam a1, . . . , an, b ∈ R (ou C), sendo n ≥ 1. Chama-se equa¸c˜ao linear sobre R (ou C) uma equa¸c˜ao da forma:
a1x1+· · ·+anxn=b
sendo que:
xk,16k6n, s˜ao as vari´aveis ou asinc´ognitasem R(ouC). ak,16k6n, s˜ao os coeficientesdexk.
b´e o termo independente.
Dizemos que a n-upla (α1, . . . , αn), ou x1 = α1, . . . , xn = αn, αk ∈ R (ou C) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao linear acima quandoa1α1+· · ·+anαn=b for verdadeira.
Observa¸c˜ao: xk ser vari´avel em uma equa¸c˜ao linear significa quexk pode assumir infinitos valores, enquanto quexk ser inc´ognita significa quexk pode assumir apenas um valor.
Exemplo 1.1 As equa¸c˜oes2x1+4x2=2oux2+x3+x4=0 s˜ao equa¸c˜oes lineares sobre R.
Umsistema de equa¸c˜oes linearesS,mpornsobreR(ouC)´e um conjunto demequa¸c˜oes lineares sobreR (ouC), cada uma com nvari´aveis ou inc´ognitas. RepresentamosS do seguinte modo:
S=
a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = b2
.. .
am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm (m ×n)
P´agina 6 de 137p´aginas UFU Algebra Linear
Quando todos os termos independentes s˜ao nulos, ou seja, bi = 0, para todo i = 1, . . . , m, dizemos S ´e ho-mogˆeneo.
Geralmente, um sistema de equa¸c˜oes lineares ´e, simplesmente, chamado desistema linear.
Observa¸c˜ao: salvo men¸c˜ao contr´aria, trabalharemos apenas comS sobreR.
Exemplo 1.2 O sistema
S=
2x1+4x2 =2
x2 +x3+x4=0 ´e um sistema linear2×4 sobreR.
Dado um sistema linearS, dizemos que:
S´eincompat´ıvel (ouimposs´ıvel)quando n˜ao admitirsolu¸c˜oes. (SI)
S´ecompat´ıvel determinado (ouposs´ıvel e determinado)quando admitir apenas umasolu¸c˜ao. (SPD) S´ecompat´ıvel indeterminado (ouposs´ıvel e indeterminado)quando admitir infinitassolu¸c˜oes. (SPI)
Exemplo 1.3 Os sistemas
S=
x1+x2=1
x1+x2=2 e
S=
0x1+0x2=3
4x1+2x2=0 s˜ao sistemas lineares imposs´ıveis.
Exemplo 1.4 O sistema
S=
1x1+0x2+0x3=1
0x1+2x2+0x3=2
0x1+0x2+3x3=3
´e um sistema linear poss´ıvel e determinado. Solu¸c˜ao: x1=x2=x3=1(ou(1, 1, 1)).
Exemplo 1.5 O sistema
S=
x1 + x2 =1
2x1+2x2=2 ´e um sistema linear poss´ıvel e indeterminado.
Seja S um sistema linear. S˜ao chamadasopera¸c˜oes elementaresem S as seguintes opera¸c˜oes: (i)permuta de duas linhas de S.
(ii)multiplica¸c˜ao de uma linha deS por um n´umero real n˜ao nulo.
(iii)soma de uma linha deS com outra linha que foi multiplicada por um n´umero real n˜ao nulo.
Observemos que opera¸c˜oes elementares n˜ao alteram a(s) solu¸c˜ao(˜oes) do sistema linear.
Um sistema linearS1´eequivalentea um sistema linearS2quandoS2´e obtido deS1por opera¸c˜oes elementares. Nota¸c˜ao: S1∼S2.
Exemplo 1.6 Os sistemas
S1=
x1+2x2+3x3+4x4=1
2x1+3x2+4x3+5x4=2
3x1+4x2+5x3+6x4=3 .(-1)
4x1+5x2+6x3+7x4=4
+
eS2=
2x1+3x2+ 4x3 + 5x4 =2
x1 +2x2+ 3x3 + 4x4 =1
6x1+8x2+10x3+12x4=6
x1 + x2 + x3 + x4 =1
s˜ao sistemas lineares equivalentes.
Observa¸c˜oes.
(i)A equivalˆencia∼definida acima ´e chamada derela¸c´ao de equivalˆencia entre sistemas lineares, ou seja: (a)S1∼S1 (reflexiva);
(b)S1∼S2⇐⇒S2∼S1(sim´etrica);
(c)S1∼S2eS2∼S3=⇒S1∼S3(transitiva).
Dizemos que um sistema linearm×nest´aescalonadoquando possui o seguinte formato:
a1r1xr1 + · · · + a1nxn = b1 a2r2xr2 + · · · + a2nxn = b2
.. . ajrjxrj + · · · + ajnxn = bj
0xn = bj+1 .. . 0xn = bm
(as linhas nulas podem ser eliminadas)
sendoa1r1, . . . , ajrj 6=0;16r1< r2<· · ·< rj6n.
Exemplo 1.7 O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema poss´ıvel e indeterminado(SPI):
x1 + 2x2 + 4x4 + 5x5 = 1
4x3 + 5x4 = 2
6x4 + 7x5 = 3
8x5 = 4
Exemplo 1.8 O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema imposs´ıvel(SI):
x1 + x2 = 1
2x2 = 3
0x2 = 5
Exemplo 1.9 O sistema abaixo est´a escalonado e ´e um sistema poss´ıvel e determinado(SPD):
x1 + x2 = 1
2x2 + 3x3 = 2
6x3 = 3
Proposi¸c˜ao 1.1 Todo sistema linear ´e equivalente a um sistema linear escalonado.
Classifica¸c˜ao de Sistemas Lineares Via Escalonamento
SejaSum sistema linear escalonado m×ncom linhas nulas e repetidas eliminadas. (i)Se a ´ultima linha deSfor da forma 0xn=b6=0, ent˜ao o sistema ´e imposs´ıvel(SI).
Caso as linhas da forma0xn=b6=0 n˜ao ocorram temos: (ii)Sem=n, ent˜ao o sistema ´e poss´ıvel e determinado(SPD). (iii)Sem < n, ent˜ao o sistema ´e poss´ıvel e indeterminado(SPI).
Observa¸c˜ao: sem > n, ent˜ao necessariamente ocorrem linhas do tipo0xn=b6=0.
Nos exemplos abaixo faremosx1=x,x2=yex3=zpara simplificar a nota¸c˜ao.
Exemplo 1.10 Escalone e classifique o sistema
S1=
x +2y−3z= −1 3x− y +2z= 7 5x+3y−4z= 2
.
Temos
S1=
x +2y−3z= −1 .(-3) .(-5)
3x− y +2z= 7 +
5x+3y−4z= 2 +
∼ S2=
x+2y− 3z = −1
−7y+11z= 10 .(-1)
−7y+11z= 7 +
∼ S3=
x+2y− 3z = −1
−7y+11z= 10 0z = −3
P´agina 8 de 137p´aginas UFU Algebra Linear Exemplo 1.11 Escalone e classifique o sistema
S1=
x+ y + z = 6 x− y +2z= 5 x+6y+3z=22
.
Temos
S1=
x+ y + z = 6 .(-1) .(-1)
x− y +2z= 5 +
x+6y+3z=22 +
∼ S2=
x+ y + z = 6
−2y+ z = −1 .(5/2)
+5y+2z= 16 +
∼ S3=
x+ y + z = 6
−2y+ z = −1
+ 9 2z=
27 2
Como a ´ultima linha do sistema escalonadoS3n˜ao ´e da forma0z=b6=0em=n=3, temos queS1´e um sistema poss´ıvel e determinado, sendo (x, y, z) = (1, 2, 3)sua solu¸c˜ao.
Exemplo 1.12 Escalone e classifique o sistema
S1=
x+ y +z= 2 x− y +z= −2
+2y = 4
.
Temos
S1=
x+ y +z= 2 .(-1)
x− y +z= −2 +
+2y = 4
∼ S2=
x+ y +z= 2
−2y = −4 .(1)
+2y = 4 +
∼ S3=
x+ y +z= 2
−2y = −4
0y = 0
∼
S4=
x+ y +z= 2
−2y = −4
Como a ´ultima linha do sistema escalonado S3n˜ao ´e da forma0z=b6=0 em=2 < n=3, temos queS1 ´e um sistema poss´ıvel e indeterminado, sendo{(a, 2,−a) :a∈R}o conjunto solu¸c˜ao.
Exerc´ıcio Resolvido. Uma companhia produz3 tipos de produtos: A, BeC. Esta companhia possui3f´abricas:
F1, F2eF3 sendo que as f´abricas produzem diariamente as seguintes quantidades:
•F1produz1 tonelada de cada produto;
•F2n˜ao produzA, produz1 tonelada deBe2toneladas de C;
•F3produz2 toneladas deA,1tonelada deBe2 toneladas deC.
A companhia recebeu um pedido de 20toneladas de A,22toneladas de Be26toneladas de C.
Quantos dias inteiros cada uma das f´abricas ter´a de trabalhar para que juntas produzam exatamente a quantia solicitada?
Resolu¸c˜ao.
Sejam:
•xa quantidade de dias queF1trabalhar´a.
•ya quantidade de dias queF2trabalhar´a.
•za quantidade de dias queF3trabalhar´a.
Quantidade total de produtoAproduzido emF1: 1x. Quantidade total de produtoAproduzido emF2: 0y. Quantidade total de produtoAproduzido emF3: 2z. Queremos1x+0y+2z=20.
Quantidade total de produtoBproduzido em F1: 1x. Quantidade total de produtoBproduzido em F2: 1y. Quantidade total de produtoBproduzido em F3: 1z. Queremos1x+1y+1z=22.
Logo,
S=
x +2z=20 x+ y + z =22 x+2y+2z=26
⇒S′=
x +2z=20 y − z = 2 2y = 6
⇒S′′=
x +2z=20 y− z = 2
2z= 2
⇒z=1, y=3ex=18.
Conclus˜ao: F1trabalhar´a18dias,F2trabalhar´a3dias e F3 trabalhar´a 1dia.
1.2
Matrizes
As matrizes constituem o objeto matem´atico primordial da ´Algebra Linear, pois elas est˜ao associadas, como veremos nos pr´oximos cap´ıtulos, `as chamadas transforma¸c˜oes lineares entre espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita, cujo estudo b´asico detalhado ´e nosso principal objetivo neste texto.
Vamos `as defini¸c˜oes:
Sejamm, n∈N. Chamamos de matriz realcom mlinhas en colunas uma tabela retangular da forma
A=
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n
..
. ... am1 am2 · · · amn
sendo queaij∈R;i=1, . . . , m ej=1, . . . , n; s˜ao chamados deentradas da matriz realA. Nota¸c˜ao: A= [aij]16i6m
16j6n
ou, simplificadamente, A= [aij].
As mlinhas e as n colunas deAser˜ao indicadas porm×ne dizemos que A´e uma matriz real de tamanho m×nou, simplesmente, queA´e uma matriz realm×n. Quando uma matriz realApossui apenas uma ´unica linha (1×n), chamamos Adematriz linha e, quando A possui apenas uma coluna (m×1), chamamosA dematriz coluna.
Ao conjunto de todas as matrizes reais m×ndenotamosMm×n(R).
Quandom=n, chamamosAde matriz realquadrada de ordemnou, simplesmente, de matriz real de ordem n, e denotamos o conjunto de todas as matrizes reais de ordemn porMn(R).
Em uma matriz realAde ordem nas entradas aii∈R constituem adiagonal principal deA, enquanto que as entradasaij; comi+j=n+1; constituem adiagonal secund´aria deA.
As defini¸c˜oes acima podem ser facilmente estendidas para as chamadas matrizes complexas, bastando, para tanto, permitir que as entradas aij possam pertencer ao conjunto C dos n´umeros complexos. Neste caso, temos a nota¸c˜aoMm×n(C), ouMn(C), para o conjunto de tais matrizes. Em particular, uma matriz real pode ser vista como matriz complexa, uma vez que R ⊂ C. Quanto estiver claro sobre qual conjunto num´erico estamos trabalhando, ´e usual dizer apenas matriz Ano lugar dematriz real Aoumatriz complexa A.
H´a dois casos particulares de matrizes que aparecem com muita frequˆencia nos estudos: a matriz nula e a matriz identidade, cujas defini¸c˜oes seguem abaixo.
Consideremos Mm×n(R)o conjunto das matrizes commlinhas e ncolunas. Definimos a matriz
O=
0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
..
. ... 0 0 · · · 0
m×n
como sendo amatriz nuladeMm×n(R), ou seja,Opossui apenas entradas nulas.
P´agina 10 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Idn=
1 0 · · · 0 0 1 · · · 0
..
. ... 0 0 · · · 1
n×n
como sendo amatriz identidade de ordem ndeMn(R), ou seja, a diagonal principal deIdn ´e constitu´ıda por entradas iguais a1, enquanto que as demais entradas s˜ao todas nulas.
Exemplo 1.13 Considere as matrizes abaixo:
A=
ï
1 −2 3
−3 0 3
ò
, B=
i −i 10 3 0 6i 1 1
−3 6 −2 −1
0 1 1+5i 4
, C=
1 2 1 1 1 2 0 0
−3 8 5 2
9 −1 1 7
, D=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
, E= 0 0 0 0 0 0
, F=
1 3 7 9 11 13
, G=
0 1 0
, H=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
, I=
ï
i 0 1+i i 1 1−i
ò
, J=
5 .
• A´e uma matriz real2×3 com entradasa11=1,a12= −2,a13=3,a21= −3,a22=0 ea23=3.
• B´e uma matriz complexa (quadrada) de ordem4, com destaque para as entradasb11=i(i´e a unidade imagin´aria dos n´umeros complexos: i=√−1),b22=6i,b33= −2eb44=4, que constituem a diagonal principal deB;
•C´e uma matriz real de ordem4, com destaque para as entradasc14=1,c23=0,c32=8, ec41=9, que constituem a diagonal secund´aria de C(observe que, neste caso, os cij da diagonal secund´aria s˜ao tais que i+j=5);
• D´e a matriz identidade de ordem3;
• E´e a matriz nula3×2;
• F´e uma matriz real linha1×6;
• G´e uma matriz real coluna3×1;
• H´e uma matriz real de ordem 3(cuidado: n˜ao ´e a matriz identidade de ordem3);
• I´e uma matriz complexa2×3.
• J´e uma matriz real de ordem1.
´
E poss´ıvel definir opera¸c˜oes sobre Mm×n(R) que ser˜ao extremamente ´uteis para o desenvolvimento das trans-forma¸c˜oes lineares que ser˜ao objetos de estudos futuros.
Opera¸c˜oes com matrizes:
•(i)Adi¸c˜ao de matrizes: SejamA= [aij],B= [bij]∈Mm×n(R). Chama-se soma deAcomB, e indica-se por A+B, a matrizC= [cij]∈Mm×n(R)tal quecij =aij+bij.
Simbolicamente:
+ : Mm×n(R)×Mm×n(R) −→ Mm×n(R)
(A, B) 7−→ A+B
•(ii) Multiplica¸c˜ao de matriz por escalar: Sejam A= [aij] ∈Mm×n(R) e α∈R. Chama-se produto de α porAa matriz realm×n dada porαA= [αaij].
•(iii)Multiplica¸c˜ao de matrizes: SejamA= [aik]∈Mm×p(R)eB= [bkj]∈Mp×n(R). Chama-se produto de AporB, e indica-se porAB, a matrizC= [cij]∈Mm×n(R)tal quecij =
p P k=1
aikbkj.
Exemplo 1.14 Adi¸c˜ao: 1 2 3 4 5 6
3×2 + 6 5 4 3 2 1
3×2 = 7 7 7 7 7 7
3×2 .
Exemplo 1.15 Multiplica¸c˜ao por escalar: 2
ï
1 2 3 4
ò
2×2 =
ï
2 4 6 8
ò
2×2 .
Exemplo 1.16 Multiplica¸c˜ao: 1 2 2 1 2 2
3×2
ï
1 2 3 4 5 6 7 8
ò
2×4 =
11 14 17 20 7 10 13 16 12 16 20 24
Uma indaga¸c˜ao muito comum na opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes ´e o por quˆe de uma defini¸c˜ao t˜ao artificial. N˜ao seria mais f´acil definir a multiplica¸c˜ao de modo an´alogo `a adi¸c˜ao, ou seja, multiplicar entradas correspondentes nas matrizes? A justificativa para essa indaga¸c˜ao ser´a apresentada mais adiante. Resumidamente, o que podemos dizer, por enquanto, ´e que matrizes ser˜ao associadas `as chamadas transforma¸c˜oes lineares e a composta de duas transforma¸c˜oes lineares corresponde `a multiplica¸c˜ao de suas matrizes de acordo com a defini¸c˜ao acima. Este ´e um dos (poucos) casos em que o aluno de Ensino M´edio ´e apresentado para uma defini¸c˜ao a qual o professor n˜ao tem condi¸c˜oes de justificar de forma razo´avel, uma vez que o assunto transforma¸c˜oes lineares n˜ao ´e objeto de estudos no Ensino M´edio.
Proposi¸c˜ao 1.2 Propriedades operat´orias das matrizes:
•(i)Da adi¸c˜ao:
SejamA, B, C∈Mm×n(R).
(1) (A+B) +C=A+ (B+C); (associativa) (2)A+B=B+A; (comutativa)
(3)ExisteO∈Mm×n(R)tal queA+O=A; (elemento neutro aditivo)
(4)Existe−A∈Mm×n(R)tal queA+ (−A) =O. (elemento inverso aditivo)
•(ii)Da multiplica¸c˜ao por escalar: Sejamα, β∈ReA, B∈Mm×n(R).
(1)α(βA) = (αβ)A; (associativa)
(2)α(A+B) =αA+αB; (distributiva em rela¸c˜ao `a soma de matrizes) (3) (α+β)A=αA+βA; (distributiva em rela¸c˜ao `a soma de escalares) (4)1A=A. (elemento neutro da multiplica¸c˜ao por escalar)
•(iii)Da multiplica¸c˜ao:
(1)A(BC) = (AB)CsendoA∈Mm×p(R),B∈Mp×q(R)eC∈Mq×n(R); (associativa)
(2)A(B+C) =AB+AC;A∈Mm×p(R),B, C∈Mp×n(R); (distributiva `a direita em rela¸c˜ao `a soma de matrizes)
(3) (A+B)C = AC+BC; A, B ∈ Mm×p(R), C ∈ Mp×n(R); (distributiva `a esquerda em rela¸c˜ao `a soma de
matrizes)
Observa¸c˜ao: a propriedade comutativa n˜ao ´e v´alida para a multiplica¸c˜ao de matrizes. Um contra-exemplo:
ï
1 2 3 4
ò ï
1 1 1 1
ò
=
ï
3 3 7 7
ò ï
1 1 1 1
ò ï
1 2 3 4
ò
=
ï
4 6 4 6
ò
Transposta de uma Matriz
A transposta de uma matriz A, denotada por At, ´e a matriz obtida de A escrevendo as linhas de A como colunas deAt, ou seja, quando A= [aij]∈Mm
×n(R), temosAt= [bji]∈Mn×m(R) tal queaij=bji. Mais explicitamente:
A=
a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n
..
. ... am1 am2 · · · amn
m×n
⇒At=
a11 a21 · · · am1 a12 a22 · · · am2
..
. ... a1n a2n · · · amn
n×m
Exemplo 1.17 SeA=
1 2 3 4 5 6
3×2
, ent˜aoAt=
ï
1 3 5 2 4 6
ò
2×3 .
Proposi¸c˜ao 1.3 Propriedades das matrizes transpostas: (1) (A+B)t=At+Bt, sendoA, B∈M
m×n(R).
(2) (kA)t=kAt, sendo A∈M
m×n(R)ek∈R.
(3) (At)t=A, sendoA∈M
m×n(R).
(4) (AB)t=BtAt, sendoA∈M
P´agina 12 de137p´aginas UFU Algebra Linear Matrizes Invert´ıveis
O conceito de matriz invert´ıvel requer que trabalhemos exclusivamente com matrizes quadradas. Portanto, consi-deremos Mn(R).
Definimos a matriz identidade Idn, de ordemn, acima e ´e muito f´acil verificar a validade da seguinte propriedade: IdnA=AIdn=Apara qualquerA∈Mn(R), o que significa que Idn´e o elemento neutro multiplicativo das matrizes quadradas. Este fato motiva a seguinte defini¸c˜ao:
Dizemos queA∈Mn(R)´einvert´ıvelquando existeB∈Mn(R)tal queAB=BA=Idn. Nota¸c˜ao: B=A−1; (B´e a matriz inversa de A).
Observemos que, de certa forma, o conceito de matriz inversa ´e parecido com o conceito de inverso multiplicativo de n´umero real.
Abaixo seguem algumas propriedades:
Proposi¸c˜ao 1.4 Propriedades das matrizes inversas. SejamA, B∈Mn(R).
(1)SeAapresentar uma linha ou coluna nula, ent˜ao An˜ao ´e invert´ıvel. (2)SeAfor invert´ıvel, ent˜ao A−1−1
=A; (a inversa da inversa ´e a pr´opria matriz).
(3)SeAeBforem invert´ıveis, ent˜aoABtamb´em ´e invert´ıvel e(AB)−1=B−1A−1. (cuidado com a ordem dos fatores
neste produto!)
Determina¸c˜ao da Inversa de uma Matriz
De modo an´alogo a sistemas lineares, dizemos queA, B∈Mn(R)s˜ao equivalentes quandoBpuder ser obtida deAvia um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas deA.
Abaixo segue um resultado matem´atico (proposi¸c˜ao ou teorema) que ´e muito ´util para o c´alculo de matrizes inversas.
Proposi¸c˜ao 1.5 Seja A∈Mn(R). Temos:
A´e invert´ıvel⇐⇒A´e equivalente `aIdn
e, neste caso, as mesmas opera¸c˜oes elementares que transformamAemIdn, transformamIdn emA−1.
Observa¸c˜ao: o s´ımbolo ⇐⇒ na proposi¸c˜ao acima significa equivalˆencia e pode ser lido como “se, e somente se”. Quando escrevemosP⇐⇒Qsignifica que sePfor considerado hip´otese, ent˜aoQ´e tese(P⇒Q)e vice-versa, ou seja, seQfor considerado hip´otese, ent˜aoP´e tese(Q⇒P).
Como consequˆencia (corol´ario) do resultado matem´atico acima temos:
Corol´ario 1.1 SejamA, B∈Mn(R)matrizes quadradas equivalentes. A matrizA´e invert´ıvel se, e somente se, a matriz
B´e invert´ıvel.
Exemplo 1.18 Verifiquemos seA=
1 0 1 1 1 0 0 2 1
´e invert´ıvel e obtenhamos a inversa, caso afirmativo.
Montemos um arranjo com a matrizAe Id3lado a lado para aplicarmos as opera¸c˜oes elementares simultaneamente nas duas matrizes.
A| Id3=⇒
1 0 1 1 1 0 0 2 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.(-1)
+ =⇒
1 0 1 0 1 −1 0 2 1
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
.(-2) +
=⇒
1 0 1 0 1 −1 0 0 3
1 0 0
−1 1 0
2 −2 1
.(1/3)
=⇒
1 0 1 0 1 −1 0 0 1
1 0 0
−1 1 0
2/3 −2/3 1/3
+ .(1)
+
.(-1) =⇒
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1/3 2/3 −1/3
−1/3 1/3 1/3
2/3 −2/3 1/3
Logo,A´e invert´ıvel eA−1= 1 3
1 2 −1
−1 1 1
2 −2 1
.
Exemplo 1.19 Verifiquemos seA=
3 −1 0 2 1 −1 1 0 2
´e invert´ıvel e obtenhamos a inversa, caso afirmativo.
Montemos um arranjo com a matrizAe Id3lado a lado para aplicarmos as opera¸c˜oes elementares simultaneamente nas duas matrizes.
A| Id3=⇒
3 −1 0 2 1 −1 1 0 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
=⇒
1 0 2 2 1 −1 3 −1 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0
.(-2) + .(-3) + =⇒
1 0 2 0 1 −5 0 −1 −6
0 0 1 0 1 −2 1 0 −3
.(1) + =⇒
1 0 2 0 1 −5 0 0 −11
0 0 1 0 1 −2 1 1 −5
.(-1/11) =⇒
1 0 2 0 1 −5 0 0 1
0 0 1
0 1 −2
−1/11 −1/11 5/11
+ .(5) + .(-2) =⇒
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2/11 2/11 1/11
−5/11 6/11 3/11
−1/11 −1/11 5/11
=⇒Id3 |A−1
Logo,A´e invert´ıvel eA−1= 1 11
2 2 1
−5 6 3
−1 −1 5
.
Observa¸c˜oes importantes:
(i) Quando tentamos inverter uma matriz Aquadrada que n˜ao possui inversa pelo m´etodo acima, simplesmente ´e imposs´ıvel obter Idn a partir deApor meio de opera¸c˜oes elementares sobre linhas de A. Isso fica evidente durante o processo, pois fatalmente aparecer´a uma linha ou coluna nula durante as opera¸c˜oes sobre A, indicando a inexistˆencia da inversa Apor proposi¸c˜ao j´a apresentada e o corol´ario acima.
(ii)O procedimento de obten¸c˜ao da inversa de uma matriz delineado acima, por meio de opera¸c˜oes elementares sobre as linhas da matriz, n˜aopode ser usado com opera¸c˜oes elementares sobre ascolunas da matriz e, muito menos, com a mistura das opera¸c˜oes elementares sobre linhas e sobre colunas.
Matrizes e Sistemas Lineares
Consideremos o sistema linear
S=
a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn = b2 .. .
am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm (m×n)
Podemos colocarS na nota¸c˜ao matricial adotando as seguintes matrizes:
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n ..
. ...
am1 am2 · · · amn
m×n
matriz dos coeficientes deS
X= x1 x2 .. . xn
n×1
matriz das vari´aveis ou inc´ognitas deS eB= b1 b2 .. . bm
m×1
matriz dos termos independentes deS
P´agina 14 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Exemplo 1.20 O sistemaS=
3x−y =1 2x+y− z =0 x +2z=2
possui representa¸c˜ao matricialAX=Btal que
3 −1 0 2 1 −1 1 0 2
3×3
| {z }
A
x y z
3×1
| {z }
X =
1 0 2
3×1
| {z }
B
Sistemas de Cramer
Dizemos que um sistema linear S de ordem n´e um Sistema de Cramer quando a matrizA dos coeficientes deS´e invert´ıvel.
Observa¸c˜oes:
(1)Em um Sistema de Cramer,AX=B⇒A−1AX=A−1B
⇒InX=A−1B⇒X=A−1B, o que significa que todo Sistema de Cramer ´e poss´ıvel e determinado.
(2)Se um sistema linear ´e homogˆeneo (ou seja, a matriz Bdos termos independentes ´e uma matriz coluna nula) e ´e um Sistema de Cramer, ent˜ao a solu¸c˜ao do sistema ´e a solu¸c˜ao trivial (isto ´e, solu¸c˜ao nula). De fato,AX=0⇒X=
A−10
⇒X=0. (0´e matriz coluna nula).
Exemplo 1.21 Resolvamos o Sistema de CramerS=
3x−y =1 2x+y− z =0 x +2z=2
invertendo a matriz de coeficientes.
RepresentandoStemos
AX=B, sendoA=
3 −1 0 2 1 −1 1 0 2
,B=
1 0 2
eX=
x y z
.
Mas vimos em exemplo anterior queA−1= 1 11
2 2 1
−5 6 3
−1 −1 5
. Logo,AX=B⇒X=A−1B, ou seja,
x y z
= 111
2 2 1
−5 6 3
−1 −1 5
1 0 2
=
4/11 1/11 9/11
⇒x= 114,y= 111 ez= 119.
Portanto, 4 11,
1 11,
9 11
´e a solu¸c˜ao procurada.
Observa¸c˜ao: Embora a t´ecnica acima seja interessante, normalmente ´e bem mais simples resolver um sistema linear por escalonamento do que invertendo matriz de coeficientes.
1.2.1
Alguns Tipos Especiais de Matrizes
Nesta subse¸c˜ao apresentamos alguns tipos especiais de matrizes que surgem com frequˆencia nos demais cap´ıtulos deste texto. Quase todas essas matrizes podem ser associadas `aquilo que definiremos adiante comooperadores lineares, que s˜ao casos particulares das chamadastransforma¸c˜oes lineares. Grosso modo, as transforma¸c˜oes lineares est˜ao para a ´Algebra Linear assim como as fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real est˜ao para o C´alculo Diferencial e Integral 1.
Matrizes Ortogonais
Matrizes ortogonais est˜ao relacionadas com alguns tipos especiais de aplica¸c˜oes que estudamos adiante. S˜ao as chamadasisometrias, que s˜ao aplica¸c˜oes que preservam distˆancias, ´areas e ˆangulos. O estudo das isometrias constituem um dos mais importantes ramos da Matem´atica e h´a in´umeras aplica¸c˜oes pr´aticas envolvendo-as.
SejaA∈Mn(R)invert´ıvel. Dizemos queA´ematriz ortogonalquando sua inversa for igual a sua transposta, ou seja,A−1=At. Desta forma, quando A´e matriz ortogonal, temos
Exemplo 1.22 A=
ñ
1/2 √3/2
√
3/2 −1/2
ô
´e matriz ortogonal poisAt=
ñ
1/2 √3/2
√
3/2 −1/2
ô
eAAt=AtA=Id 2.
Matrizes Triangulares Superiores ou Inferiores
Matrizes triangulares superiores ou inferiores s˜ao especiais pelo fato de possuirem determinantes (pr´oxima se¸c˜ao) muito simples de serem calculados.
Seja A= [aij]∈Mn(R).
Dizemos que A´ematriz triangular superiorquando aij=0 parai > j, ou seja, todas a entradas abaixo da diagonal principal s˜ao nulas.
Dizemos que A´ematriz triangular inferiorquando aij =0 parai < j, ou seja, todas a entradas acima da diagonal principal s˜ao nulas.
Exemplo 1.23 A =
2 0 3 0 2 5 0 0 6
´e matriz triangular superior e B =
2 0 0 3 2 0 4 5 6
´e matriz triangular inferior. Em
particular, a matriz identidade Idn, de ordemn, e a matriz nulaO∈Mn(R), de ordemn, s˜ao matrizes triangulares superior e inferior ao mesmo tempo.
Matrizes Diagonais
Matrizes diagonais s˜ao de especial importˆancia na ´Algebra Linear pois, al´em de possuirem determinantes (pr´oxima se¸c˜ao) muito simples de serem calculados, tais matrizes comportam-se de modo muito parecido com os n´umero reais. Vimos que a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de matrizes cumpre as mesmas propriedades do corpo dos n´umeros reais (as-sociativa, comutativa, elemento neutro e elemento oposto). Vimos, tamb´em, que o mesmo n˜ao ´e verdade quando consideramos a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes. Entretanto, quando nos restringimos `as matrizes diagonais, a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matrizes passa a cumprir a mesmas propriedades multiplicativas dos n´umeros reais (neste caso o elemento neutro muliplicativo ´e a matriz identidade). ´E ineg´avel que, por esse motivo, trabalhar com matrizes diagonais ´e bem mais simples do que trabalhar com outros tipos de matrizes. Sendo assim, a busca por matrizes diagonais que possam ser associadas a operadores lineares constituem um das mais belas partes da ´Algebra Linear. Nestas notas, esse assunto mereceu ser abordado em um cap´ıtulo inteiro e exclusivo, conforme veremos adiante.
Vamos `a defini¸c˜ao:
Seja A= [aij] ∈ Mn(R). Dizemos que A ´ematriz diagonal quando aij = 0 para i 6= j, ou seja, todas as entradas que n˜ao est˜ao na diagonal principal s˜ao nulas. Em particular, quando uma matriz diagonal ´e da forma A=kIdn, sendok∈R, dizemos queA´e uma matriz escalar.
Observemos que uma matriz diagonal ´e, tamb´em, matriz triangular inferior e matriz triangular superior ao mesmo tempo.
Exemplo 1.24 A =
2 0 0 0 2 0 0 0 2
e B =
0 0 0 0 1 0 0 0 8
s˜ao matrizes diagonais (em particular, A ´e matriz escalar). A
matriz identidade Idn, de ordem n, e a matriz nula O ∈ Mn(R), de ordem n, s˜ao, tamb´em, matrizes diagonais e escalares.
Matrizes Sim´etricas e Anti-Sim´etricas
As matrizes sim´etricas est˜ao associadas a um tipo especial de operador linear: os chamados operadores auto-adjuntos, que tamb´em s˜ao operadores de especial importˆancia na ´Algebra Linear. A defini¸c˜ao de matriz sim´etrica segue abaixo, juntamente com a defini¸c˜ao de matriz anti-sim´etrica.
Seja A= [aij]∈Mn(R). Dizemos queA´ematriz sim´etrica quandoAcoincide com sua transposta, ou seja,
A=At. Isto significa queaij =aji.
Seja A= [aij] ∈Mn(R). Dizemos que A´ematriz anti-sim´etrica quando Acoincide com o oposto de sua transposta, ou seja,
P´agina 16 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Exemplo 1.25 As matrizes A =
2 3 7 3 2 9 7 9 6
e B =
0 5 0 5 1 6 0 6 8
s˜ao matrizes sim´etricas. Em particular, a matriz
identidade Idn, de ordemn, e a matriz nulaO∈Mn(R), de ordemn, s˜ao matrizes sim´etricas.
As matrizesC=
0 3 −7
−3 0 −9
7 9 0
eD=
0 −5 0 5 0 6 0 −6 0
s˜ao matrizes anti-sim´etricas. A matriz nula O∈Mn(R),de
ordemn, ´e, tamb´em, anti-sim´etrica.
Matrizes Semelhantes
O conceito de matrizes semelhantes pode parecer estranho em uma primeira apresenta¸c˜ao. Entretanto, ele ´e necess´ario para um estudo consistente de operadores lineares. Veremos nos pr´oximos cap´ıtulos que um mesmo operador linear pode estar associado a in´umeras matrizes distintas. Essas matrizes dependem daquilo que chamamos debasede umespa¸co vetorial(apresentamos esses conceitos mais adiante) e bases n˜ao s˜ao ´unicas. Sendo assim, um dos problemas que se apresenta ´e descobrir a rela¸c˜ao entre matrizes diferentes associadas a um mesmo operador linear. Esta rela¸c˜ao passa por aquilo que chamamos de matriz de mudan¸ca de bases (pr´oximo cap´ıtulo) e chegamos ao resultado de que matrizes associadas a um mesmo operador linear s˜ao semelhantes, no sentido da defini¸c˜ao abaixo.
Sejam A, B∈Mn(R). Dizemos queAe Bs˜ao matrizes semelhantesquando existe M∈Mn(R)invert´ıvel tal queA=M−1BM.
Exemplo 1.26 As matrizesA=
−4 −8 −2 10 3 6
6 13 3
eB=
1 2 0 0 1 1 3 2 0
s˜ao matrizes semelhantes.
De fato,M=
0 1 0 5 1 3 3 1 2
possui inversa, que ´eM−1=
1 2 −3 1 0 0
−2 −3 5
e
−4 −8 −2 10 3 6
6 13 3
=
1 2 −3 1 0 0
−2 −3 5
.
1 2 0 0 1 1 3 2 0
.
0 1 0 5 1 3 3 1 2
,
ou seja, A=M−1BM.
1.3
Determinantes de Matrizes
Toda aplica¸c˜ao bijetivaσ:{1, 2, . . . , n}→{1, 2, . . . , n}´e chamada depermuta¸c˜aodo conjunto {1, 2, . . . , n}.
Exemplo 1.27 Existem6permuta¸c˜oes do conjunto{1, 2, 3}. Chamemo-as deσ1, σ2, . . . , σ6. S˜ao elas:
σ1(1) =1
σ1(2) =2
σ1(3) =3 ,
σ2(1) =1
σ2(2) =3
σ2(3) =2 ,
σ3(1) =3
σ3(2) =1
σ3(3) =2 ,
σ4(1) =3
σ4(2) =2
σ4(3) =1 ,
σ5(1) =2
σ5(2) =3
σ5(3) =1 e
σ6(1) =2
σ6(2) =1
σ6(3) =3
Vamos adotar a seguinte nota¸c˜ao para uma permuta¸c˜aoσ:{1, 2, . . . , n}→{1, 2, . . . , n}
σ:
Å
1 2 3 · · · n
σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)
ã
Assim, no exemplo acima as6 permuta¸c˜oes s˜ao denotadas do seguinte modo:
σ1:
Å
1 2 3 1 2 3
ã
;σ2:
Å
1 2 3 1 3 2
ã
; σ3:
Å
1 2 3 3 1 2
ã
;σ4:
Å
1 2 3 3 2 1
ã
;σ5:
Å
1 2 3 2 3 1
ã
eσ6:
Å
1 2 3 2 1 3
ã
´
Seja σ uma permuta¸c˜ao de {1, 2, . . . , n} e r a quantidade de vezes que ocorre um decrescimento na imagem de σ, ou seja,
i < j⇒σ(i)> σ(j) sendoi, j∈{1, 2, . . . , n}.
Definimos a fun¸c˜ao sinal deσ, denotada porsgn(σ), do seguinte modo:
sgn(σ) =1, quando r´e par. sgn(σ) = −1, quandor ´e ´ımpar.
Exemplo 1.28 Consideremos as permuta¸c˜oes do exemplo anterior. Paraσ1 temosr=0. Logo, sgn(σ1) =1.
Paraσ2 temosr=1. Logo, sgn(σ2) = −1. Paraσ3 temosr=2. Logo, sgn(σ3) =1. Paraσ4 temosr=3. Logo, sgn(σ4) = −1. Paraσ5 temosr=2. Logo, sgn(σ5) =1. Paraσ6 temosr=1. Logo, sgn(σ6) = −1.
Seja A= [aij]∈Mn(R)uma matriz real de ordemn. Ao n´umero P
σ
sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)· · ·anσ(n)
chamamos dedeterminante deAe indicamos por detA.
O somat´orio acima ´e sobre todas as n! permuta¸c˜oes σ do conjunto {1, 2, . . . , n}. Portanto, a soma acima ´e constitu´ıda porn! parcelas.
Exemplo 1.29 Sen=1, ent˜aoA= [a11]e existe apenas uma permuta¸c˜aoσ:{1}→{1}que ´eσ(1) =1. Logo,r=0 e sgn(σ) =1.
Logo,
detA=P σ
sgn(σ)a1σ(1)=1a11=a11.
Assim, por exemplo, seA= [7], ent˜ao detA=7.
Exemplo 1.30 Sen =2, ent˜ao A=
ï
a11 a12
a21 a22
ò
e existem 2! = 2 permuta¸c˜oesσ1 :
Å
1 2 1 2
ã
e σ1:
Å
1 2 2 1
ã
. Logo,
para σ1temosr=0 e sgn(σ1) =1, enquanto que paraσ2 temosr=1e sgn(σ2) = −1. Logo,
detA=P σ
sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)
=sgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)+sgn(σ2)a1σ2(1)a2σ2(2)
=1a11a22+ (−1)a12a21 =a11a22−a12a21.
Assim, por exemplo, seA=
ï
1 2 3 4
ò
, ent˜ao detA=4−6= −2.
Exemplo 1.31 Sen =3, ent˜ao A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
e existem3! =6 permuta¸c˜oes que s˜ao as apresentadas nos
dois primeiros exemplos dessa se¸c˜ao. Logo,
detA=P σ
sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3)
=sgn(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2)a3σ1(3)+· · ·+sgn(σ6)a1σ6(1)a2σ6(2)a3σ6(3)
=1a11a22a33+ (−1)a11a23a32+1a13a21a32+ (−1)a13a22a31+1a12a23a31+ (−1)a12a21a33 = (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) − (a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).
Assim, por exemplo, seA=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
P´agina 18 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Exemplo 1.32 SejaA=
a11 0 0 · · · 0
a21 a22 0 · · · 0
..
. ...
an1 an2 an3 · · · ann
. Seja uma permuta¸c˜aoσde{1, 2, . . . , n}diferente da
identi-dade. Logo, existe i∈{1, . . . , n}tal queσ(i) =j > ie, portanto,a1σ(1). . . aiσ(i). . . anσ(n)=0poisaiσ(i)=0.
Logo, detA=P σ
sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2). . . anσ(n)=1a11a22. . . ann. (s´o a permuta¸c˜ao identidade)
Proposi¸c˜ao 1.6 Propriedades de determinantes:
•(1)Linearidade sobre colunas:
(1i)det
a11 · · · a1i+a1i′ · · · a1n
a21 · · · a2i+a2i′ · · · a2n ..
. ...
an1 · · · ani+ani′ · · · ann =det
a11 · · · a1i · · · a1n
a21 · · · a2i · · · a2n
..
. ...
an1 · · · ani · · · ann
+det
a11 · · · a1i′ · · · a1n
a21 · · · a2i′ · · · a2n ..
. ...
an1 · · · ani′ · · · ann .
(1ii)det
a11 · · · ka1i · · · a1n
a21 · · · ka2i · · · a2n
..
. ...
an1 · · · kani · · · ann
=kdet
a11 · · · a1i · · · a1n
a21 · · · a2i · · · a2n
..
. ...
an1 · · · ani · · · ann
, sendok∈R.
Propriedades an´alogas valem para as linhas (linearidade sobre linhas).
•(2)Uma matriz real de ordemncom duas linhas ou duas colunas iguais possui determinante zero.
•(3) SejaB uma matriz real de ordem n obtida de Apela permuta¸c˜ao de duas linhas ou duas colunas deA. Ent˜ao, detB= −detA.
•(4)det
a11 · · · a1i · · · a1n
..
. ...
an1 · · · ani · · · ann
=det
a11 · · · a1i+ n
P
k=1 k6=i
αka1k · · · a1n
..
. ...
an1 · · · ani+ n
P
k=1 k6=i
αkank · · · ann
, sendo αk ∈R.
A propriedade(4)acima tamb´em vale para linhas.
•(5)SeA∈Mn(R), ent˜ao detA=detAt.
•(6)SeA, B∈Mn(R), ent˜ao det(AB) =detAdetB.
•(7)SeA∈Mn(R)´e invert´ıvel, ent˜ao det A−1
= 1
detA .
Da propriedade (1i)resulta que se uma matriz real de ordemn possui uma linha ou uma coluna nula, ent˜ao seu determinante ´e zero.
A propriedade(4)permite fazer escalonamento em matrizes sem alterar o determinante (veja exemplo abaixo). Como det(Idn) =1, a propriedade(7)´e uma consequˆencia direta da propriedade(6).
Exemplo 1.33 det
1 2+3 4 5 6+0 5 4 3+2 1
=det
1 2 4 5 6 5 4 3 1
+det
1 3 4 5 0 5 4 2 1
= −15+75=60.
Exemplo 1.34 det
1 2.2 3 4 2.5 6 7 2.8 0
=2det
1 2 3 4 5 6 7 8 0
=54.
Exemplo 1.35 det
1 1 2 3 3 4 5 5 6
=0. (duas colunas iguais)
Exemplo 1.36 det
1 2 3 4 5 6 7 8 0
= −det
2 1 3 5 4 6 8 7 0
=27.
Exemplo 1.37 det
1 2 3 4 5 6 7 8 0
=det
1+2.2+5.3 2 3 4+2.5+5.6 5 6 7+2.8+5.0 8 0
Exemplo 1.38 Calculemos o determinante da matriz A =
1 5 2 1 3 4 2 0 1 2 1 2 0 3 1 3
aplicando a propriedade (5) sucessivas
vezes, fazendo um escalonamento.
det
1 5 2 1 3 4 2 0 1 2 1 2 0 3 1 3
.(-5)
.(-2)
.(-1)
=det
1 5+ (−5)1 2+ (−2)1 1+ (−1)1 3 4+ (−5)3 2+ (−2)3 0+ (−1)3 1 2+ (−5)1 1+ (−2)1 2+ (−1)1 0 3+ (−5)0 1+ (−2)0 3+ (−1)0
= det
1 0 0 0 3 −11 −4 −3 1 −3 −1 1 0 3 1 3
.(-4/11)
.(-3/11)
= det
1 0 0 0
3 −11 0 0 1 −3 1/11 20/11 0 3 −1/11 24/11
.(-20)
=det
1 0 0 0
3 −11 0 0 1 −3 1/11 0 0 3 −1/11 4
=1(−11) 1 11
4= −4.
Regra de Laplace para C´alculo de Determinantes
A defini¸c˜ao abaixo ´e fundamental para a introdu¸c˜ao de uma das t´ecnicas mais comuns para c´alculo de determinantes, que ´e aRegra de Laplace, enunciada em seguida.
Sejam
A=
a11 · · · a1n ..
. ... an1 · · · ann
n×n
e aij uma entrada de A. Ao n´umero Aij = (−1)i+jDij, sendo Dij o determinante da matriz (n−1)×(n−1) obtida pela supress˜ao da i-´esima linha e j-´esima coluna deA, chamamos decofatordeaij.
Dizemos ainda que Dij ´e o menor complementar deaij.
Proposi¸c˜ao 1.7 (Regra de Laplace) SejaAmatriz realn×neaij uma entrada dessa matriz. Ent˜ao,
detA= Pn
i=1
aijAij
| {z }
↓
= Pn
j=1
aijAij
| {z }
↓
soma dos produtos dos elementos soma dos produtos dos elementos da linhajpor seus cofatores da linhaipor seus cofatores
Exemplo 1.39 Calculemos o determinante deA=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
utilizando a Regra de Laplace.
Escolhendo a primeira linha deAtemos detA= P3 j=1
a1jA1j. Logo,
detA=a11A11+a12A12+a13A13
=a11(−1)1+1D11+a12(−1)1+2D12+a13(−1)1+3D13
=a11(−1)1+1det
ï
5 6 8 9
ò
+a12(−1)1+2det
ï
4 6 7 9
ò
+a13(−1)1+3det
ï
4 5 7 8
ò
=1(1) (45−48) +2(−1) (36−42) +3(1) (32−35) = −3+12−9
P´agina 20 de137p´aginas UFU Algebra Linear Regra de Chi´o para C´alculo de Determinantes
Esta regra ´e uma combina¸c˜ao das propriedades de determinantes e da Regra de Laplace. O m´etodo consiste em usar as propriedades para criar uma linha ou coluna que tenha uma entrada igual a1e as demais entradas iguais a0. Depois, basta a aplicar a Regra de Laplace utilizando essa linha ou coluna. Com isso, precisamos calcular apenas um cofator.
SejaA=
a11 · · · a1n ..
. ...
an1 · · · ann
∈Mn(R)n˜ao nula. Sem perda de generalidade, suponhamos quea116=0.
Da propriedade(1) (ii)podemos escrever
detA=a11det
1 b12 · · · b1n
a21 a22 a2n ..
. ...
an1 an2 · · · ann
sendob1j= a11a1j.
Da propriedade(4)podemos escrever
detA=a11 det
1 b12 · · · b1n
a21 a22 a2n ..
. ...
an1 an2 · · · ann .(-b12) .. . .(-b1n)
=a11det
1 0 · · · 0
a21 a′22 a′2n ..
. ...
an1 a′n2 · · · a′nn
sendoa′ij =aij−ai1b1j;i=2, . . . , nej=2, . . . , n. Utilizando a Regra de Laplace:
detA=a11det
1 0 · · · 0
a21 a′22 a′2n ..
. ...
an1 a′n2 · · · a′nn
=a11(1) (−1)1+1det
a′22 a′2n
.. .
a′
n2 · · · a′nn
detA=a11det
a′
22 a′2n .. .
a′
n2 · · · a′nn
Exemplo 1.40 Calculemos o determinante deA=
2 2 4
−1 5 7
1 2 1
utilizando a Regra de Chi´o.
Escolhendo a primeira linha e a primeira entrada:
det
2 2 4
−1 5 7
1 2 1
= 2det
1 1 2
−1 5 7
1 2 1
.(-1)
.(-2)
=2det
1 0 0
−1 6 9
1 1 −1
=2det
ï
6 9 1 −1
ò
=2(−6−9) = −30
Regra de Sarrus para C´alculo de Determinantes de Matrizes de Ordem 3
Este m´etodos´o vale para matrizes de ordem 3.
J´a vimos que seA=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
, ent˜ao
detA= (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) − (a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33).
O m´etodo de Sarrus consiste apenas em enxergar um dispositivo pr´atico com a tabela de entradas da matriz A
Para simplificar, reescrevamos a matrizAdo seguinte modo: A=
a b c d e f g h i
. Logo,
detA=aei+bfg+chd−ceg−bdi−ahf.
Observe na figura abaixo o procedimento pr´atico daRegra de Sarrus:
g h i g h
d e f d e
a b c a b
-ceg-afh bdi aei bfg cdh- + + +
Note que os produtos advindos das setas paralelas `a diagonal principal permanecem inalterados, enquanto que os produtos advindos das setas paralelas `a diagonal secund´aria s˜ao multiplicados por −1 (ou seja, seus “sinais” s˜ao trocados). No final, todos os seis termos s˜ao somados para obtermos o determinante.
Exemplo 1.41 Calculemos o determinante deA=
1 2 3 3 2 1 1 1 1
utilizando a Regra de Sarrus.
Temos, de acordo com o dispositivo pr´atico:
1 1 1 1 1
3 2 1 3 2
1 2 3 1 2
-6 - -1 6 +2 +2 +9
Logo, detA=2+2+9−6−1−6=0.
Matriz Adjunta
Nesta subse¸c˜ao apresentamos um novo m´etodo para calcular a matriz inversa de uma matriz invert´ıvel.
SejaA= [aij]matriz real de ordemne sejamAij os cofatores deaij. Definimos amatriz adjuntadeAcomo sendo
AdjA= [Aij]t=
A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2
..
. ... A1n A2n · · · Ann
n×n
A importˆancia da matriz adjunta reside no resultado abaixo.
Proposi¸c˜ao 1.8 Seja Amatriz realn×ntal quedetA6=0. Ent˜ao,A´e invert´ıvel e
A−1= 1
detAAdjA.
Exemplo 1.42 Calculemos a matriz inversa deA=
1 2 3 1 1 1
−1 2 −1
utilizando a matriz adjunta.
Precisamos calcular os9cofatores deA:
A11= (−1)1+1det
ï
1 1 2 −1
ò
= −3; A12= (−1)1+2det
ï
1 1
−1 −1
ò
=0;A13= (−1)1+3det
ï
1 1
−1 2
ò
=3
A21= (−1)2+1det
ï
2 3 2 −1
ò
=8;A22= (−1)2+2det
ï
1 3
−1 −1
ò
=2;A23= (−1)2+3det
ï
1 2
−1 2
ò
= −4
A31= (−1)3+1det
ï
2 3 1 1
ò
= −1;A32= (−1)3+2det
ï
1 1 3 1
ò
=2;A33= (−1)3+3det
ï
1 2 1 1
ò
P´agina 22 de137p´aginas UFU Algebra Linear Precisamos do determinante deA:
det
1 2 3 1 1 1
−1 2 −1
= −1−2+6+3+2−2=6
Logo,
A−1= 1
detAAdjA= 1 6
−3 8 −1
0 2 2 3 −4 −1
Regra de Cramer para Resolu¸c˜ao de Sistemas Poss´ıveis e Determinados (SPD)
Podemos encontrar solu¸c˜oes de um Sistema de Cramer (portanto, um sistema linear poss´ıvel e determinado) utilizando determinantes, via o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 1.9 (Regra de Cramer) SejaAX=Bum Sistema de Cramer escrito em forma matricial, sendo
A=
a11 · · · a1n
..
. ...
an1 · · · ann
n×n
,B=
b1
.. .
bn
n×1
eX=
x1
.. .
xn
n×1
.
Ent˜ao,
xk= detdet∆Ak ,
sendo
∆k=
a11 · · · a1(k−1) b1 a1(k+1) · · · a1n
..
. ... ... ... ...
an1 · · · an(k−1) bn an(k+1) · · · ann
n×n
(∆k ´e a matriz que se obter deAsubstituindo ak-´esima coluna pela matriz colunaB).
´
E importante enfatizar que a Regra de Cramer possui interesse te´orico apenas. Comparado ao m´etodo de resolu¸c˜ao de sistemas lineares por escalonamento, a Regra de Cramer ´e extremamente ineficiente, devido ao fato de ser necess´ario o c´alculo de diversos determinantes (o que geralmente ´e bem trabalhoso). Quanto maior a ordem do sistema, maior ´e a ineficiˆencia desse m´etodo.
Exemplo 1.43 ResolvamosS=
x +2y+3z= 14 2x − y +3z= 9
−x−2y+ z = −2
utilizando a Regra de Cramer.
TemosA=
1 2 3 2 −1 3
−1 −2 1
; B=
14 9
−2
eX=
x y z
. Temos tamb´em que detA= −1−6−12−3−4+6= −20.
(i)det∆1=det
14 2 3 9 −1 3
−2 −2 1
= −14−12−54−6−18+84= −20. Portanto, x1=x= det∆1detA = −−2020 =1.
(ii)det∆2=det
1 14 3 2 9 3
−1 −2 1
=9−42−12+27−28+6= −40. Portanto, x2=y= det∆2detA = −−4020 =2.
(iii)det∆3=det
1 2 14 2 −1 9
−1 −2 −2
=2−18−56−14+8+18= −60. Portanto, x3=z= detdet∆3A = −−6020 =3.
Se¸
c˜
ao de Exerc´ıcios Propostos e Resolvidos:
Sistemas Lineares, Matrizes
e Determinantes
Exerc´ıcios referentes `a Se¸c˜ao 1.1, p´agina 5:
Exerc´ıcio 1.1 Resolva os sistemas lineares abaixo por escalonamento:
S1=
x − y −2z= 1
−x+ y + z = 2
x −2y+ z = −2
S4=
x + y − z + t = 1 3x − y −2z+ t = 2
−x−2y+3z+2t= −1
S7=
2x− y +z− t =4 3x+2y−z+2t=1 2x− y −z− t =0 5x +2t=1
S2=
−x+ y −2z =1
2x − y +3t=2 x −2y+ z −2t=0
S5=
x +y+z+ t = 1 x −y+z+ t = −1
y−z+2t= 2 2x +z− t = −1
S8=
x −2y=5
−x+3y=3
−x+4y=2
S3=
x +3y+2z= 2 3x+5y+4z= 4 5x+3y+4z= −10
S6=
x −2y−3z=5
−2x+5y+2z=3
−x +3y− z =2
S9=
x − 2y + 3z = 5
−2x+ 4y − 6z = −10 12x −24y+36z= 60
Respostas:
S1: (−11,−6,−3);(SPD)
S2:
−135t+1,−115t,5t−1, t
:t∈R ;(SPI)
S3:∅;(SI)
S4:
−2t+ 6 7,−t+
2 7,−2t+
1 7, t
:t∈R ; (SPI)
S5: −15, 1,− 1 5,
2 5
;(SPD)
S6:∅;(SI)
S7: (1, 2, 2,−2);(SPD)
S8:∅;(SI)
S9:{(5+2y−3z, y, z) :y, z∈R};(SPI)
Exerc´ıcio 1.2 Determinar os valores deaebque tornam o sistema abaixo poss´ıvel (compat´ıvel) e determinado. Em seguida, resolva o sistema.
S=
3x−7y= a x + y = b 5x+3y= 5a+2b
x +2y=a+b−1
Respostas: a=2,b=4,x=3ey=1.
Exerc´ıcio 1.3 (Resolvido) Resolver o sistema linear
S=
5732x+2134y+2134z= 7866 2134x+5732y+2134z= 670 2134x+2134y+5732z=11464
Resolu¸c˜ao.
Fazendoa=5732,b=2134e observando que 7866=a+b,670=3b−ae11464=2atemos
S=
5732x+2134y+2134z= 7866 2134x+5732y+2134z= 670 2134x+2134y+5732z=11464
=
ax+by+bz= a+b .(-b/a) .(-b/a) bx+ay+bz=3b−a +
bx+by+az= 2a +
∼
S′ =
ax+ by + bz = a+b
Ä −b2
a +a ä
y+Ä−b2 a +b
ä
z=2b−a− b2 a Ä
−b2 a +b
ä
y+Ä−b2 a +a
ä
z=2a−b− b2 a
=
ax+ by + bz = a+b
a2−b2
y+ ab−b2
z=2ab−a2−b2 .(−ab−b2 a2−b2) ab−b2
y+ a2−b2
z=2a2−ab−b2 +
P´agina 24 de137p´aginas UFU Algebra Linear
S′′=
ax+ by + bz = a+b
a2−b2
y+ ab−b2
z = 2ab−a2−b2
−(ab−b2)2
+(a2−b2)2 a2−b2 z=
−(2ab−a2−b2)(ab−b2)+(2a2−ab−b2)(a2−b2) a2−b2
Mas, na 3a. linha temos
− ab−b22+ a2−b22z= − 2ab−a2−b2
ab−b2
+ 2a2−ab−b2
a2−b2 .
O termo independente ´e:
− 2ab−a2−b2
ab−b2
+ 2a2−ab−b2
a2−b2
= −2a2b2+a3b+ab3+2ab3−a2b2−b4+2a4−a3b−a2b2−2a2b2+ab3+b4 = −6a2b2+4ab3+2a4
=2 −3a2b2+2ab3+a4 ,
e o coeficiente que multiplicaz´e:
− ab−b22+ a2−b22= −a2b2+2ab3−b4+a4−2a2b2+b4
= −3a2b2+2ab3+a4,
ou seja, z=2.
Substituindo na 2a. linha:
a2−b2
y= −2 ab−b2
+2ab−a2−b2⇒ a2−b2
y=b2−a2⇒ y= −1
Substituindo na 1a. linha:
ax−b+2b=a+b⇒ x=1 .
Portanto, (x, y, z) = (1,−1, 2) ´e solu¸c˜ao do sistema(SPD).
Exerc´ıcio 1.4 Associar os sistemas abaixo a sistemas lineares e resolvˆe-los.
S1=
2/x−1/y−1/z= −1 1/x+1/y+1/z= 0 3/x−2/y+1/z= 4
S3=
2x · 2y · 2z = 8
3x ·1/9y· 3z =39
125.5x· 1y ·1/5z= 1
S2=
1/x+1/y =0 2/x+3/y =0 1/x−2/y+4/z=0
S4=
log2(x+y+z) =0
logy(x+z) =1
log3(5) +log3(x) =log3(y−z)
Respostas: S1: −3,−149,179;(SPD)(sugest˜ao: fa¸cax′ = 1x, y′ = y1 ez′= 1z);
S2:∅(SI);S3: (1,−2, 4) (SPD);S4:∅(SI).
Exerc´ıcio 1.5 (Resolvido) Resolver o sistema linear
S=
x−cos(γ)y−cos(β)z=0
−cos(γ)x+ y−cos(α)z=0
−cos(β)x−cos(α)y+ z=0
sendo que os n´umerosα,βeγs˜ao medidas, em radianos, de ˆangulos internos de um triˆangulo.
Resolu¸c˜ao.
S=
x− cos(γ)y−cos(β)z=0 .(cos(γ)) .(cos(β)) −cos(γ)x+ y−cos(α)z=0 +
−cos(β)x−cos(α)y+ z=0 +
∼
S′ =
x− cos(γ)y− cos(β)z=0
sen2(γ)y− (cos(α) +cos(β)cos(γ))z=0 − (cos(α) +cos(β)cos(γ))y+ sen2(β)z=0
Como
α+β+γ=π⇒β+γ=π−α⇒cos(β+γ) =cos(π−α)⇒ cos(β)cos(γ) −sen(β)sen(γ) =cos(π)cos(α) −sen(π)sen(α)⇒
cos(β)cos(γ) −sen(β)sen(γ) = −cos(α)⇒ cos(β)cos(γ) +cos(α) =sen(β)sen(γ),
temos:
S′′=
x− cos(γ)y− cos(β)z=0 sen2(γ)y−sen(β)sen(γ)z=0 −sen(β)sen(γ)y+ sen2(β)z=0
Como 0 < α, β, γ < π⇒sen(β)6=0 esen(γ)6=0. Logo,
S′′′ =
x−cos(γ)y−cos(β)z=0 sen(γ)y−sen(β)z=0 .(1) −sen(γ)y+sen(β)z=0 +
∼ S′′′′=
x−cos(γ)y−cos(β)z=0 sen(γ)y−sen(β)z=0
Fazendo z=t temos y= sensen((βγ))t. Assim,
x=cos(γ)y+cos(β)z⇒x=cos(γ)sensen((βγ))t+cos(β)t⇒x= sen(β)cos(senγ)+(cosγ)(β)sen(γ)t⇒ x= sensen(β(+γ)γ)t⇒x= sensen(π(−γα))t⇒x= sen(π)cos(senα)−(γcos)(π)sen(α)t⇒ x= sensen((αγ))t
Logo, (x, y, z) =Äsensen((αγ))t,sensen((βγ))t, tä, comt∈R, formam as solu¸c˜oes do sistema(SPI).
Exerc´ıcio 1.6 Em uma garagem h´a motos e carros estacionados. A quantidade de rodas em contato com o solo da garagem ´e trˆes vezes a quantidade de ve´ıculos. Jo˜ao afirma que h´a quinze ve´ıculos nessa garagem. Mas Jo˜ao nem sempre ´e honesto em suas afirma¸c˜oes. Vocˆe pode confirmar se Jo˜ao est´a mentindo ou falando a verdade?
Obs.: considere o padr˜ao: carros com quatro rodas e motos com duas rodas.
Exerc´ıcio 1.7 Mostre que no conjunto R=r´e reta no plano cartesiano de equa¸c˜aox+ay+a2=1:a∈R duas retas quaisquer sempre se intersectam.
Exerc´ıcio 1.8 Discutir os sistemas em fun¸c˜ao dek∈R. (ou seja, para quais valores de kcada sistema abaixo ´eSI,
SPI eSPD)
S1=
x + y +kz=2 3x+4y+2z=k 2x+3y− z =1
S4=
x + y −kz= 0 kx+ y − z =2−k
x +ky− z = −k
S2=
x +2y+kz=1 2x+ky+8z=3
S5=
kx+3ky=0 2x+ ky =4
S3=
x −3z= −3
−2x−ky+ z = 2 x +2y+kz= 1
S6=
kx+y= 2 x −y=k x +y= 2
Respostas:
S1:k=3⇒SPI;k6=3⇒SPD
S2:k6=4⇒SPI;k=4⇒SI
S3:k=2⇒SPI;k= −5⇒SI;k6=2 e−5⇒SPD
S4:k=1 ou−2⇒SI;k6=1e−2⇒SPD
S5:k=0⇒SPI;k=6⇒SI;k6=0e6⇒SPD
S6:k= −2ou1⇒SPD;k6= −2 e1⇒SI
Exerc´ıcio 1.9 (Resolvido) Em um sistema linear 2×2, cada linha pode ser uma equa¸c˜ao geral de reta em R2. Portanto, um sistema linear 2×2 pode representar, geometricamente, duas retas no plano.
Quando as retas s˜ao concorrentes, significa que possuem um ´unico ponto em comum. As coordenadas deste ponto satisfazem as 2equa¸c˜oes do sistema e, portanto, representam a solu¸c˜ao do sistema e este ser´aSPD.
Relacione (e justifique) posi¸c˜ao relativa de retas no plano e sistemas SI eSPI.
P´agina 26 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Resolu¸c˜ao.
Sejamr1 er2as retas dadas pelas equa¸c˜oes lineares do sistema 2×2. Baseados na posi¸c˜ao relativa der1e r2 no plano cartesiano, podemos fazer a seguinte classifica¸c˜ao baseados na intersec¸c˜ao entre r1 er2 (fa¸ca as figuras):
r1∩r2=
∅⇒SI, pois as retas ser˜ao paralelas e n˜ao h´a pontos (solu¸c˜oes) em comum
{P}⇒SPD, pois as retas ser˜ao concorrentes e h´a apenas um ponto (solu¸c˜ao) em comum
{infinitosP’s}⇒SPI, pois as retas ser˜ao coincidentes e h´a todos os pontos (solu¸c˜oes) em comum Sejam π1, π2 e π3 os planos dados pelas equa¸c˜oes lineares do sistema 3×3. Baseados na posi¸c˜ao relativa de π1,π2eπ3no espa¸co cartesiano, podemos fazer a seguinte classifica¸c˜ao baseados na intersec¸c˜ao entreπ1,π2eπ3 (fa¸ca as figuras):
π1∩π2∩π3=
∅⇒SI; (∗)
{P}⇒SPD; (∗∗)
{infinitos P’s}⇒SPI; (∗ ∗ ∗) Em (∗)podemos ter as seguintes posi¸c˜oes relativas: • Trˆes planos paralelos dois a dois;
• Dois planos paralelos e um terceiro concorrente aos dois primeiros; • Dois planos coincidentes e um terceiro paralelo a ambos;
• Trˆes planos concorrentes dois a dois de tal modo que haja trˆes retas de intersec¸c˜ao paralelas duas a duas. Neste caso, os planos dar˜ao origem a um prisma triangular infinito no espa¸co.
Em (∗∗)h´a apenas uma posi¸c˜ao relativa:
•Trˆes planos s˜ao concorrentes dois a dois de tal modo que haja trˆes retas de intersec¸c˜ao com um ´unico pontoPem comum. Neste caso, os trˆes planos formam triedros no espa¸co. O exemplo mais famoso dessa situa¸c˜ao ´e o dos trˆes planos cartesianos no espa¸co, formando oito triedros ortogonais (octantes).
Em (∗ ∗ ∗)podemos ter as seguintes posi¸c˜oes relativas:
• Trˆes planos concorrentes dois a dois de tal modo que intersec¸c˜ao dos trˆes planos seja uma ´unica reta;
•Dois planos coincidentes e um terceiro concorrente aos dois primeiros. Neste caso, a intersec¸c˜ao comum aos trˆes planos ´e uma reta;
• Trˆes planos coincidentes. Neste caso temos um plano todo como intersec¸c˜ao comum.
Exerc´ıcio 1.10 Foram estudados trˆes tipos de alimentos e determinou-se que:
• Cada grama do alimento Icont´em1 unidade de medida de vitaminaA,3 unidades de vitamina Be4unidades de vitaminaC;
• Cada grama do alimentoIIcont´em2unidade de medida de vitamina A,3 unidades de vitaminaBe5 unidades de vitaminaC;
• Cada grama do alimento III cont´em 3 unidade de medida de vitamina A, nenhuma unidade de vitamina B e 3
unidades de vitaminaC;
Determinada dieta requer 11 unidades de medida de vitamina A, 9 unidades de vitamina B e 20 unidades de vitaminaCdi´arias.
(1)Encontre as poss´ıveis quantidades (em gramas) dos alimentosI,IIeIIIque fornecem as quantidades de vitaminas requerida diariamente pela dieta.
(2)Se o alimentoIcusta 60centavos o grama e os outros dois custam10centavos o grama, existe uma solu¸c˜ao para a dieta que custe1 real ao dia?
Respostas: (1)sendox,yezas quantidades requeridas de alimentosI,IIeIII, respectivamente, ent˜aox= −5+3ze
y=8−3zsendo 5 3 ≤z≤
8 3.
(2)Sim: x=1,y=2ez=2gramas.
Exerc´ıcio 1.11 (Resolvido) Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada10 m2: 135 g de nitrato, 185 g de fosfato e182, 5 gde pot´assio.
Disp˜oe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes caracter´ısticas:
(i)Cada quilograma do adubo I custaR$ 0, 05e cont´em10 g de nitrato,10 g de fosfato e100 gde pot´assio. (ii)Cada quilograma do adubo II custaR$0, 05e cont´em10 gde nitrato,100 gde fosfato e30 gde pot´assio. (iii)Cada quilograma do adubo III custaR$ 0, 05e cont´em50 g de nitrato,20 gde fosfato e20 gde pot´assio. (iv)Cada quilograma do adubo IV custa R$0, 15e cont´em20 gde nitrato,40 gde fosfato e35 g de pot´assio.
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastarR$0, 50
