Mathematics Student Teachers’ Misconceptions on the Limit and Continuity Concepts

(1)

Cilt 5, Say 1, Haziran 2011, sayfa 225-249.

Necatibey Faculty of Education Electronic Journal of Science and Mathematics Education Vol. 5, Issue 1, June 2011, pp. 225-249.

Mathematics Student Teachers’ Misconceptions on the

Limit and Continuity Concepts

Savaş BAŞTÜRK*_{and Gülden DÖNMEZ}

Marmara University, İstanbul, TURKEY

Received : 19.10.2010 Accepted : 11.04.2011

Abstract –Content knowledge is one of the important components of teacher training and has attracted particular

interest of many mathematics educators. One of the most important variables which can be used to determinate

teachers’ content knowledge of any topic is their misconceptions related to this topic. The aim of this study is to

investigate student teachers’ misconceptions related to the limit and continuity concept. To gather data, we

administered a questionnaire which composed of open and closed-ended questions to 37 teacher candidates

studying in Secondary School Mathematics Education. Obtained data were analysed by using qualitative and

quantitative analysis methods. The results show that the student teachers have some misconceptions concerning

the limit and continuity concept e.g. if a function has limit at a point, it should be defined and continuous at that

point, if the graph of a function is not in one piece, it is not continuous. At the same time, some student teachers

have difficulties in distinguishing the notion of ambiguity from that of indefiniteness.

Key words: Content knowledge, student teachers, teacher training, limit and continuity concept

Summary Introduction

Today when the education system is based upon conceptual understanding, the key

factor that hinders an effective mathematics teaching is misconception. Hence, undoubtedly,

the teachers are expected not only to recognize the misconceptions that the students have or

may have, but also to turn them into advantages in teaching by analysing these

misconceptions finely. When the literature related to mathematics teaching is examined, it

*

Corresponding author: Savaş Baştürk, Lecturer in Mathematics Education, Ataturk Faculty of Education, Marmara University, Göztepe Kampusu, Kadıköy-Istanbul, TURKIYE.

E-mail: sbasturk@marmara.edu.tr

(2)

draws attention that the studies about misconceptions (Jordaan, 2005; Huillet, 2005 Cetin,

2009) have gained momentum recently. In this study, the misconceptions that the

mathematics student teachers have about the limit and continuity concepts are examined and

interpreted by comparing with the related literature.

Misconceptions are important factors that affect learning during the learning process. In

the most general meaning, the misconceptions are the scientifically totally or partially wrong

understandings that people create in their minds towards the situations they are in (Yagbasan

et al; 2005). These misconceptions are seen as factors that hinder meaningful learning.

Kathleen (1994) in his study classifies misconceptions in two basic groups: misconceptions

acquired through the daily-life experiences and misconceptions acquired throughout

education. The misconceptions acquired through experiences are derived from the students’

logical interpreting using their previous knowledge.

This paper includes the results related to student teachers’ content knowledge in the

context of their misconceptions of a research that investigated secondary school mathematics

student teachers’ pedagogical content knowledge of the limit and continuity concepts with

regard to the sub-dimension of pedagogical content knowledge (content knowledge,

pedagogical knowledge, curriculum knowledge, assessment knowledge, knowledge of

student’s difficulties etc.).

It is expressed in the studies that student teachers also show superficial understandings

related to the limit and the continuity concepts and have some misconceptions like students.

For an effective teaching, firstly, the teacher’s knowledge about the subject to teach must be

accurate. Many researchers (Ball, 1990; Fennema & Franke, 1992; Thompson, 1992) believe

that success in teaching depends upon the subject knowledge of the teacher. Subject matter

significantly impacts instructional practice, a teacher who possesses a narrow understanding

of a key concept is unlikely to provide satisfactory instruction.

Methodology

In this study which is carried out to determine student teachers’ misconceptions about

the limit and the continuity concepts, qualitative and quantitative research methods are used

together. The working team of the study is comprised of 37 senior students who study in the

Department of Secondary School Mathematics Teaching. Among the courses that the student

teachers attended during their education are Analysis I-II-III-IV. For the fact that the subject

(3)

student teachers’ knowledge concerning the limit and the continuity subject is sufficient to

answer the questions in the questionnaire.

In the study, the Content Knowledge Questionnaire conducted to the student teachers is

prepared by paying attention to the misconceptions of the students of different levels which

are stated in the attainments that are in the unit of functions, limit and continuity in the

Ministry of National Education Secondary School Mathematics Teaching Curriculum and the

related literature (Tall & Vinner, 1981; Huillet, 2005; Jordan, 2005).

During the process of analysing the research findings, the answers given to the each

question by the student teachers were coded. Grounding on the data, categories were

constituted taking the similarities and differences of the codes and their being interrelated into

consideration. Then, the frequency of every category was found. Thus, the qualitative data

were turned into quantitative data.

Conclusion and Discussion

Determination of the misconceptions related to the limit and continuity concepts is

important for the fact that it draws attention to the points that should be considered during the

teaching of these concepts. The study shows that the student teachers attending the

questionnaire have various misconceptions about the limit and continuity concepts. To shortly

summarize these: (i) their finding limit while the x value is going to the infinity; (ii) if a

function has limit at a point, it should be defined and continuous at that point; (iii) if there are

jump and fraction in its diagram, the function does not have limit even if the function is

defined at that point; (iv) inability to distinguish between ambiguity and lack of definition

concepts. These misconceptions determined display many similarities to the ones determined

by other researchers (Tall & Vinner, 1981; Szydlik, 2000; Huillet, 2005; Akbulut & Iş_ık,

2005; Jordaan, 2005).

Another result of the study shows that the student teachers may have some difficulties in

answering conceptual questions although they can answer the operational questions about

limit and continuity correctly. This condition proves that student teachers’ knowledge

concerning the limit and continuity concepts is superficial and the conceptual ground of it is

weak. In other words, as student teachers know certain kinds of question types and procedures

related to these concepts, they can easily solve the questions connected more to operation or

(4)

questions as in the operational ones for the fact that there are gaps in their knowledge of limit

and continuity concepts and they cannot form these concepts completely.

This case draws attention to the necessity that the content and quality of the subject

matter courses in Faculty of Arts and Sciences where student teachers have subject matter

education for three and a half year should be questioned. Do these courses have the quality to

meet student teachers’ needs? As the study revealed, why cannot this education enrich their

conceptual learning? Why is it deficient in correcting their misconceptions they may have

brought from high school? Student teachers attend the same courses as mathematics students

without almost any distinction for 3.5 years and they are subject to the same evaluation by

taking the same examinations. The studies, which reveal student teachers’ complaints about

this system, report that they say mainly the courses there do not appeal to them and they feel

(5)

Matematik Ö

ğ

retmen Adaylar

_ı

n

_ı

n Limit ve Süreklilik

Konusuyla

İ

lgili Kavram Yan

_ı

lg

_ı

lar

_ı

Savaş BAŞTÜRK†_{ve Gülden DÖNMEZ}

Marmara Üniversitesi, İstanbul, TÜRKİYE

Makale Gönderme Tarihi: 19.10.2010 Makale Kabul Tarihi: 11.04.2011

Özet – Konu alan bilgisi öğretmen yetiştirmenin en önemli bileşenlerinden biridir ve bu nedenle pek çok

matematik eğitimcisinin dikkatini üzerine çekmiştir. Öğretmenin herhangi bir konudaki alan bilgisini

belirlemede kullanılabilecek en önemli değişkenlerden biri de o konuyla ilgili sahip olduğu kavram

yanılgılarıdır. Bu çalışmanın amacı öğretmen adaylarının limit ve süreklilik kavramlarıyla ilgili kavram

yanılgılarını ortaya koymaktır. Veri toplamak için, açık ve kapalı uçlu sorulardan oluşan bir alan bilgisi anketi

geliştirilerek 37 Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği son sınıf öğretmen adayına uygulanmıştır. Elde edilen

veriler nicel ve nitel analiz yöntemleri kullanılarak analiz edilmiştir. Araştırma sonuçlarına göre, öğretmen

adaylarının limit ve süreklilik konularında literatürde de bahsi geçen, bir fonksiyon bir noktada limiti varsa o

noktada tanımlı ve sürekli olması gerektiği, eğer bir fonksiyonun grafiği tek parçadan oluşmuyorsa, bu fonksiyon

sürekli değildir gibi kavram yanılgılarına sahip oldukları görülmüştür. Aynı zamanda, bazı öğretmen adaylarının

tanımsızlık ve belirsizlik kavramlarını ayırt etmede problemleri bulunmaktadır.

Anahtar kelimeler: Konu alan bilgisi, öğretmen adayları, öğretmen yetiştirme, limit ve süreklilik kavramları

Giriş

Konu alan bilgisi öğretmen yetiştirmenin en önemli bileşenlerinden biri olup, pek çok

matematik eğitimcisinin dikkatini üzerine çekmiştir (Ball, 1990; Fennema & Franke, 1992;

Thompson, 1992; Gökçe, 1999; Eroğlu, 1999; Dönmez, 2009). Bu ilginin alt_ında yatan en

önemli neden ise, konu alan bilgisi eksikliklerinin iyi bir matematik öğretiminin önünde bir

engel oluşturmas_ıd_ır (Smith, 1999; Halim & Meerah, 2002). Öğretmen adaylar_ın_ın konu alan

† _İ

letişim: Savaş Baştürk, Öğr. Gör. Dr., Marmara Üniversitesi, Atatürk Eğitim Fakültesi, OFMA, Göztepe Kampusu, Kadıköy-İstanbul, TÜRKİYE.

E-mail: sbasturk@marmara.edu.tr

Not: Bu makale, ikinci yazar_ın yüksek lisans tezinden (Dönmez, 2009) elde edilmiş olup, bir k_ısm_ı ‘34th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME34)’da sözlü bildiri

(6)

bilgileri incelenirken, kullan_ılabilecek en önemli ölçütlerden birisi şüphesiz konuyla ilgili

adaylar_ın olas_ı kavram yan_ılg_ılar_ın_ın tespitidir.

Öğretim sisteminin kavramsal anlama üzerine kurulu olduğu günümüzde, etkili bir

matematik öğretimini engelleyen faktörlerin baş_ında kavram yan_ılg_ılar_ı gelmektedir. Bu

durumda öğretmenlerden beklenen öğrencilerde var olan veya var olabilecek kavram

yan_ılg_ılar_ın_ın fark_ında olman_ın yan_ı s_ıra bu kavram yan_ılg_ılar_ın_ı iyi bir şekilde analiz ederek

yapacaklar_ı öğretimi planlama ve şekillendirmede kullanmakt_ır.

En genel anlam_ıyla kavram yan_ılg_ılar_ı; kişilerin bulunduklar_ı mevcut durumlar

karş_ıs_ında zihinlerinde oluşturduklar_ı bilimsel olarak k_ısmen ya da tamamen yanl_ış olan

anlay_ışlard_ır (Yağbasan ve diğer. 2005). Bu yan_ılg_ılar, anlaml_ı öğrenmeyi engelleyen bir

faktör olarak görülmektedir. Kathleen (1994) yapt_ığ_ı çal_ışmada kavram yan_ılg_ılar_ın_ı, günlük

hayattaki deneyimler ile kazan_ılan kavram yan_ılg_ılar_ı ve öğretim boyunca kazan_ılan kavram

yan_ılg_ılar_ı olarak iki temel s_ın_ıfa ay_ırmaktad_ır. Deneyimlerle kazan_ılan kavram yan_ılg_ılar_ı

öğrencilerin önceki bilgilerini kullanarak mant_ıksal yorumlar yapmalar_ından

kaynaklanmaktad_ır. Öğretim boyunca kazan_ılan kavram yan_ılg_ılar_ın_ın ise oluşmas_ında pek

çok faktör etkili olabilmektedir. Bunlardan baz_ılar_ı Gürdal, Şahin ve Çağlar (2001) taraf_ından

aşağ_ıdaki gibi ifade edilmiştir: (i) Öğretmen ve kitab_ın seviyesi, öğrencinin seviyesinde

olmad_ığ_ı durumlarda, öğrencilerin kavramlar_ı farkl_ı şekilde alg_ılamas_ı, (ii) Öğretmenlerin

konular aras_ında bağlant_ı kur(a)mamas_ı, (iii) Öğretmenlerin kavramlar_ı yanl_ış öğrenmeleri ve

buna bağl_ı olarak yanl_ış öğretmeleri, (iv) Öğretmenlerin kavramlara uygun öğretim teknik ve

yöntemlerini kullan(a)mamas_ı, (v) Öğrencilerin derse aktif kat_ıl_ım_ın_ın sağlan(a)mamas_ı, (vi)

Kavramlarla günlük hayat aras_ında bağlant_ı kurul(a)mamas_ıd_ır ya da yanl_ış kurulmas_ı.

Bu faktörler öğretmenlerin kavram yan_ılg_ılar_ın_ın oluşum sürecinde oldukça önemli bir

role sahip olduklar_ın_ı göstermektedir. Öğrencilerde kavram yan_ılg_ılar_ı, lisansüstü eğitim de

dâhil olmak üzere eğitim ve öğretimin her basamağ_ında oluşabilmektedir. Oluşan bu kavram

yan_ılg_ılar_ın_ı ortadan kald_ırmak hiç de kolay değildir. Yap_ılan çal_ışmalar kavram

yan_ılg_ılar_ın_ın direnç gösteren, y_ıllar geçse bile kendiliğinden ortadan kalkmayan bir özelliğe

sahip olduklar_ın_ı göstermektedir (Anderson & Smith, 1987; Hammer, 1996; Baştürk &

Dönmez, 2008).

Limit ve süreklilik konusuyla ilgili kavram yanı_lgı_ları

Limit ve süreklilik konusuyla ilgili literatürde bahsedilen kavram yan_ılg_ılar_ın_ın ortaya

(7)

ilgili kavram yan_ılg_ılar_ın_ın tespitinde ve analizinde önemli katk_ılar sağlayacağ_ından, aşağ_ıda

bu konuda k_ısa bir literatür analizine yer verilmiştir.

Cornu’nun (1991) da ifade ettiği gibi limit kavram_ı, türev, integral, süreklilik ve

yaklaş_ıkl_ık kuram_ı (approximation theory) gibi pek çok önemli kavramla ilişkisi nedeniyle

analizin en temel kavramlar_ı aras_ında yer almaktad_ır. Limit kavram_ı özellikle içerisinde

sonsuzu da içeren işlemler bar_ınd_ırmas_ı nedeniyle kolay anlaş_ılabilir bir kavram değildir.

Gerek limitin türev ve integral gibi matematiksel kavramlar_ın oluşumuna temel olmas_ı,

gerekse limit ve süreklilik kavramlar_ın_ın öğrenimi süresince karş_ılaş_ılan yan_ılg_ılar_ın

nedenlerini belirleme isteği bu kavramlar üzerine yap_ılan çal_ışmalar_ın say_ıs_ın_ın artmas_ına

neden olmuştur.

Yap_ılan araşt_ırmalar, öğrencilerin limit ve süreklilik kavramlar_ına ilişkin çeşitli kavram

yan_ılg_ılar_ına sahip olduklar_ın_ı ve bu kavramlar_ı öğrenirken zorluklar yaşad_ıklar_ın_ı ortaya

koymuştur (Davis & Vinner, 1986; Tall & Vinner, 1981; Cornu, 1991; Williams, 1991;

Szydlik, 2000). İlgili literatür analizinden elde edilen bilgiler _ış_ığ_ında limit ve süreklilik

kavramlar_ıyla ilgili en s_ık rastlanan baz_ı kavram yan_ılg_ılar_ın_ı şu şekilde özetlemek

mümkündür:

Genellikle limit kavram_ı günlük hayattaki kullan_ım_ında, kredi kart_ı limiti örneğinde

olduğu gibi, ulaş_ılabilecek en üst değer şeklinde alg_ılanmakta ve aş_ılmamas_ı gereken bir s_ın_ır

anlam_ın_ı taş_ımaktad_ır. Williams (1991) ve Jordaan (2005) taraf_ından yap_ılan araşt_ırmalar

limit kavram_ın_ın günlük hayattaki bu kullan_ım_ın_ın öğrenciler taraf_ından aynen

fonksiyonlardaki limit kavram_ına uyarland_ığ_ın_ı göstermektedir. Yap_ılan araşt_ırmalar,

öğrencilerin bir fonksiyonun limiti ile bu fonksiyonun tan_ım kümesi aras_ında ilişki kurarken

pek çok kavram yan_ılg_ıs_ına sahip olduklar_ın_ı rapor etmektedir (Bergthold, 1999; Jordaan,

2005; Akbulut & Iş_ık, 2005). Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmas_ı için o noktada

tan_ıml_ı olmas_ı, limit al_ınan noktan_ın fonksiyonunun tan_ım kümesinde yer almas_ı,

fonksiyonun limitinin olmas_ı için sürekli olmas_ı ve fonksiyonun her noktada limiti olmas_ı

gerektiği gibi birbirleriyle yak_ından ilişkili öğrenci yan_ılg_ılar_ı bunlara örnek olarak verilebilir.

Öte yandan, limit kavram_ın_ın öğrenciler taraf_ından nas_ıl anlaş_ıld_ığ_ın_ı inceleyen

çal_ışmalar_ın ortak olarak dile getirdikleri diğer bir kavram yan_ılg_ıs_ı ise limit değerinin asla

ulaş_ılamaz olduğudur (Williams, 1989, 1991; Szydlik, 2000; Akbulut & Iş_ık, 2005). Cornu

(1991) bir fonksiyonun limitinin ulaş_ılabilir olup olmamas_ı durumunu limit kavram_ın_ın

(8)

konusunda s_ıkl_ıkla karş_ılaş_ılan bir başka yan_ılg_ı da, öğrencinin verilen fonksiyonun belli bir

değere yaklaşmas_ın_ı irdelemeksizin yaklaş_ılan değeri fonksiyonda basitçe yerine koyarak

limit değerine ulaş_ılacağ_ın_ı düşünmesidir. Bu tür öğrenciler için limit ile fonksiyon

kavramlar_ı neredeyse tamamen ayn_ı işleve sahiptir.

Süreklilik kavram_ıyla ilgili kavram yan_ılg_ılar_ına gelince, Tall ve Vinner’in (1981) da

ifade ettiği gibi, süreklilik kavram_ı formal tan_ım_ından ziyade informal tan_ımlamalar_ın_ın

üzerine bina edilmektedir. Bilindiği gibi günlük hayattaki kullan_ım_ında süreklilik kelimesi

aral_ıks_ız ya da boşluksuz olma şeklinde anlaş_ılmaktad_ır. Süreklilikle ilgili kavram imaj_ın_ı bu

anlay_ışa göre oluşturmuş olan bir öğrenci, söz konusu kavram_ı matematiksel kavram olarak

yap_ıland_ırmakta güçlüklerle karş_ılaşabilmekte ve çoğu kez yan_ılg_ılara düşebilmektedir. Başka

bir ifadeyle öğrenci kavram_ın günlük hayattaki kullan_ım_ından hareketle sürekli bir

fonksiyonun grafiğinde k_ır_ıkl_ık ya da kopukluk olmamas_ı gerektiği şeklinde bir düşünce

geliştirebilmektedir.

Araştı_rmanı_{n amac}ı_{ve önemi}

Bu makale matematik öğretmen adaylar_ın_ın fonksiyonlarda limit ve süreklilik ünitesine

ilişkin Pedagojik Alan Bilgi’lerini (Shulman, 1986), bu bilginin alt boyutlar_ı (alan bilgisi,

pedagojik bilgi, öğretim program_ı bilgisi, ölçme-değerlendirme bilgisi, öğretim teknik,

yöntem ve strateji bilgisi, öğrenciyi anlama bilgisi) bağlam_ında inceleyen bir araşt_ırman_ın

Alan Bilgisi’ne ait sonuçlar_ın_ı içermektedir (Dönmez, 2009).

Pedagojik Alan Bilgisi (PAB), Alan Bilgisi ile Pedagoji Bilgisi’nin kesiştiği ve bu ikisi

aras_ında tamamlay_ıc_ı bir köprü işlevi gören bilgidir. Matematik dersi için söylenecek olursa

bu bilgi, öğretmenin matematiği öğretmesi için gerekli matematik bilgisinin yan_ında özel bir

bilgiyi de içermektedir. Shulman PAB’_ı konunun uzman_ın_ı bir eğitimciden ay_ıran bilgi olarak

tan_ımlamaktad_ır. PAB, bir konuyu başkalar_ına anlaş_ıl_ır k_ılan gösterim ve ifade biçimlerini

içermektedir. Daha detayl_ı olarak bu kategori alt_ındaki maddeler şu şekilde s_ıralanabilir

(Shulman, 1986): (i) Konu ve kavramlar_ın en işlevsel gösterimlerini bilme; (ii) Konunun

öğrenilmesini nelerin kolaylaşt_ırd_ığ_ı ya da zorlaşt_ırd_ığ_ın_ı bilme; (iii) Öğrencilerin kavram

yan_ılg_ılar_ın_ı bilme; (iv) Kavramlar_ın anlaş_ılmas_ı ve kavram yan_ılg_ılar_ın giderilmesine yönelik

benzetimler, temsiller, örnekler ve aç_ıklamalar_ı bilme; (v) Farkl_ı yaş ve seviyedeki

öğrencilerin öğretilecek kavramlarla ilgili düşünce, alg_ı ve ön bilgilerini bilme.

Görüldüğü gibi, PAB’_ın en önemli bileşenlerinden biri Alan Bilgisidir. Bu nedenle,

öğretmen adaylar_ın_ın limit ve süreklilik konusundaki Pedagojik Alan Bilgileri’nin

(9)

Böylece Alan Bilgisinin adaylar_ın dersi planlamalar_ına ve anlat_ımlar_ına nas_ıl yans_ıd_ığ_ı

gözlenmiş olacakt_ır. Alan Bilgisinin en önemli göstergelerinden biri, bireyin söz konusu

konuyla ilgili sahip olduğu olas_ı kavram yan_ılg_ılar_ı olduğundan, bu çal_ışmada bunlar üzerine

yoğunlaş_ılm_ışt_ır.

Araşt_ırmada limit ve süreklilik konusunun seçilmesinin iki önemli nedeni vard_ır:

Bunlardan ilki, yukar_ıda da değinildiği gibi hem lise düzeyindeki matematik derslerinde hem

de lisans düzeyindeki analiz derslerinde limit ve süreklilik kavramlar_ın_ın oldukça önemli bir

yer tutmas_ıd_ır. İkincisi ise, limit ve süreklilik kavramlar_ın_ın oldukça soyut olmas_ı nedeniyle

bu kavramlar_ın öğretimi ve öğrenimi s_ıras_ında çok fazla güçlük yaşanmas_ı, matematikteki

limit ve süreklilik kavramlar_ı ile öğrencilerin zihinlerinde oluşturduklar_ı limit ve süreklilik

kavramlar_ı aras_ında tutars_ızl_ıklar olmas_ı ve bunun öğretmen adaylar_ı için de geçerliği

olabileceği düşüncesidir.

Etkili bir öğretim için öncelikle öğretmenin öğreteceği konuyla ilgili bilgisinin tam

olmas_ı gerekmektedir. Ball (1990), Fennema ve Franke (1992) ve Thompson (1992) gibi pek

çok araşt_ırmac_ı öğretimde başar_ın_ın öğretmenlerin sahip olduklar_ı alan bilgilerine bağl_ı

olduğunu dile getirmektedir. Alan bilgisi öğretmenin öğretimini önemli ölçüde

etkilemektedir, dolay_ıs_ıyla yeterli alan bilgisine sahip olmayan bir öğretmenin tatmin edici bir

öğretim ortaya koymas_ı beklenemez.

Öğretmen yetiştirme programlar_ın_ın en önemli misyonlar_ından biri şüphesiz nitelikli bir

öğretmenin nas_ıl yetişmesi gerektiğini ortaya koymak ve bu hedefe ulaşmak için öğretmen

adaylar_ın_ın hangi becerilere sahip olmas_ı gerektiğini belirlemektir. Limit ve süreklilik

konusuyla ilgili kavram yan_ılg_ılar_ın_ın ortaya konmas_ı araşt_ırmaya dâhil edilen öğretmen

adaylar_ın_ın Fen-Edebiyat Fakülteleri’nden ald_ıklar_ı 3,5 y_ıll_ık alan dersleri eğitimlerinin

niteliğinin görülmesini sağlayacakt_ır. Bu nedenle, mevcut çal_ışman_ın sonuçlar_ın_ın öğretmen

yetiştirme program_ındaki alan dersleri eğitiminin iyileştirilip geliştirilmesi sürecinde önemli

katk_ılar sağlayacağ_ı düşünülebilir. Öte yandan, elde edilecek sonuçlar öğretmen adaylar_ın_ın

limit ve süreklilik kavramlar_ına ilişkin muhtemel kavram yan_ılg_ılar_ın_ı ortaya koyman_ın

yan_ında gelecekte yap_ılacak bu kavram yan_ılg_ılar_ın_ı ortadan kald_ırmak için neler yap_ılabilir?”

sorusunu araşt_ıran çal_ışmalara da önemli katk_ılar sağlayacağ_ı düşünülmektedir. Ayr_ıca

ülkemizde limit ve süreklilik konusuyla ilgili öğretmen adaylar_ın_ın sahip olduklar_ı kavram

yan_ılg_ılar_ın_ı ortaya koyan çal_ışma say_ıs_ın_ın yok denecek kadar az olmas_ı (sadece limit

(10)

Yöntem

Araştı_{rma Grubu}

Araşt_ırman_ın çal_ışma grubunu, bir devlet üniversitesinin Ortaöğretim Matematik

Öğretmenliği Anabilim Dal_ı’nda öğrenim gören 4 son s_ın_ıf öğretmen aday_ı oluşturmaktad_ır.

Araşt_ırma kapsam_ında son s_ın_ıfta öğrenim gören 37 öğretmen aday_ına, fonksiyonlarda limit

ve süreklilik konusuyla ilgili alan bilgilerini değerlendirmek amac_ıyla ‘‘Alan Bilgisi Anketi’’

uygulanm_ışt_ır. Bunun sonucunda maksimum çeşitlilik örneklemesi yoluyla, sorulara verilen

cevaplara göre 4 öğretmen aday_ı seçilerek farkl_ı bilgi düzeylerindeki adaylar_ın araşt_ırmaya

kat_ılmas_ı ve böylece problemin farkl_ı boyutlar_ın_ın ortaya ç_ıkar_ılmas_ı amaçlanm_ışt_ır. Alan

Bilgisi Anketi’nin sonuçlar_ına göre farkl_ı alan bilgisine sahip adaylar_ın araşt_ırmaya dâhil

edilmesinde, literatürde öğretmen adaylar_ın_ın sahip olduklar_ı alan bilgisi ile yapt_ıklar_ı öğretim

ve öğretim program_ın_ı kullanmalar_ı aras_ında ilişkiyi vurgulayan çal_ışmalar_ın varl_ığ_ı etkili

olmuştur (Hashweh, 1987; Reynolds, Haymore, Ringstaff & Grossman, 1988; McDiarmid,

Ball & Anderson, 1989; Grossman, Wilson & Shulman, 1989; Ball & McDiarmid, 1990;

Fennema & Franke, 1992; Sanders, Borko & Lockard, 1993).

Bu makale çerçevesinde sadece 37 öğretmen aday_ına uygulanan Alan Bilgisi Anketi’nin

sonuçlar_ına yer verilecektir. Araşt_ırmada, öğretmen adaylar_ın_ın alan bilgileri içinde

bulunduklar_ı duruma d_ışar_ıdan müdahale edilmeksizin olduğu gibi incelendiğinden, tarama

modelinde desenlenmiştir (Karasar, 2000). Adaylar_ın yaz_ıl_ı olarak ifade ettikleri cevaplar

içerik analizine tabi tutularak veriler elde edildiğinden nitel bir araşt_ırmad_ır. Elde edilen bu

veriler yard_ım_ıyla, kavram yan_ılg_ılar_ı bağlam_ında limit ve süreklilik konusuyla ilgili

öğretmen adaylar_ın_ın alan bilgileri ortaya konmaya çal_ış_ılm_ışt_ır.

Öğretmen adaylar_ın_ın lisans öğrenimleri boyunca alm_ış olduğu dersler aras_ında Analiz

I-II-III-IV bulunmaktad_ır. Analiz dersleri içeriğinde limit ve süreklilik konusu bulunduğu için

öğretmen adaylar_ın_ın limit ve süreklilik konusuna ilişkin bilgileri uygulanacak anketteki

sorular_ı cevaplayacak nitelikte olduğu düşünülmüştür.

Veri Toplama Araçları

Araşt_ırma sürecinde çoklu veri toplama araçlar_ı (gözlem, görüşme ve doküman analizi)

kullan_ılm_ışt_ır. İlk olarak seçilen öğretmen adaylar_ı ile yar_ı yap_ıland_ır_ılm_ış görüşmeler

yap_ılm_ış, daha sonra yeterli süre verilerek 12. S_ın_ıf Matematik Öğretim Program_ı’nda yer

alan limit ve süreklilik konusu için ders plan_ı haz_ırlamalar_ı ve mikro öğretim yöntemiyle

konuyu anlatmalar_ı istenmiştir. Öğretmen adaylar_ın_ın anlatacaklar_ı aşaman_ın, öğrencinin

(11)

(al_ışt_ırma ve örnek çözümü) kavramsal yönü ağ_ır basan ve öğretenin daha fazla gayret

göstermesini gerektiren konun giriş aşamas_ı olmas_ı istenmiştir.

Alan Bilgisi Anketi haz_ırlan_ırken, Orta Öğretim Matematik Dersi Öğretim Program_ında

fonksiyonlarda limit ve süreklilik ünitesindeki kazan_ımlar ve konuyla ilgili literatürde (Tall &

Vinner, 1981; Bezuidenhout, 2001; Huillet, 2005; Jordaan, 2005; Özmantar & Yeşildere,

2008) belirtilen farkl_ı düzeylerdeki öğrencilerin kavram yan_ılg_ılar_ı dikkate al_ınm_ışt_ır. Ankette

çoğunluğu aç_ık uçlu olmak üzere toplam 11 soru yer almaktad_ır. Bunlardan 6’s_ı bu makale

kapsam_ında ele al_ınan problemle doğrudan ilgili olduğundan sadece bu sorulardan ve bu

sorulara verilen cevaplar_ın analizinden elde edilen sonuçlara yer verilmiştir. Söz konusu

sorular bulgular k_ısm_ında tan_ıt_ılm_ışt_ır.

Verilerin Analizi

Ankette yer alan aç_ık uçlu sorulara verilen cevaplar, betimsel ve içerik çözümlemesine

tabi tutulmuştur. İçerik çözümlemesi; verilerin kodlanmas_ı, kategorilerin (temalar_ın)

bulunmas_ı, kodlar_ın ve temalar_ın organize edilmesi, bulgular_ın tan_ımlanmas_ı ve

yorumlanmas_ı olmak üzere dört aşamada gerçekleşmektedir (Y_ıld_ır_ım & Şimşek, 1999). Bu

nedenle, araşt_ırma verilerinin çözümlenmesi sürecinde, öğretmen adaylar_ın_ın her bir soruya

verdikleri yan_ıtlar kodlanm_ışt_ır. Verilerden hareketle, kodlar_ın benzerlik ve farkl_ıl_ıklar_ı,

birbiriyle ilişkili olmalar_ı dikkate al_ınarak kategoriler oluşturulmuş ve her bir öğrencinin

görüşü, orijinal formu ve anlam_ı bozulmadan bu kategorilere yerleştirilmiştir. Daha sonra, her

bir kategorinin hangi s_ıkl_ıkla tekrar ettiği (frekans_ı) bulunmuştur. Böylece, nitel veriler

nicelleştirilmiştir. Nitel verilerin nicelleştirilmesindeki temel amaçlar; güvenirliği artt_ırmak,

yanl_ıl_ığ_ı azaltmak ve kategoriler aras_ında karş_ılaşt_ırmalar yapmakt_ır (Y_ıld_ır_ım & Şimşek,

1999). Doğru/Yanl_ış testi şeklinde haz_ırlanan soruda ise, her bir madde için frekans ve

yüzdeler hesaplanm_ış ve bu değerlerden hareketle yorumlar yap_ılm_ışt_ır. Bu testin güvenirliği

tespit etmek amac_ıyla Cronbach Alfa güvenirlik katsay_ıs_ı hesaplanm_ış ve 0,91 olarak

bulunmuştur.

Anket uygulanmadan önce Ortaöğretim Matematik Eğitimi’nde doktoras_ı olan üç

uzman taraf_ından incelenmiş ve anket sorular_ın_ın limit ve süreklilik kavramlar_ı ile ilgili

kavram yan_ılg_ılar_ın_ı tespit edip edemeyeceği konusunda görüş al_ınm_ışt_ır. Ayr_ıca anketin

güvenirliğini test etmek amac_ıyla, öğretmen adaylar_ın_ın aç_ık uçlu sorulara verdikleri yan_ıtlar

araşt_ırmac_ı ve alandan iki uzman ile incelenerek “Görüş Birliği” ve “Görüş Ayr_ıl_ığ_ı” olan

(12)

formül kullan_ılm_ışt_ır: P (Uzlaşma Yüzdesi)=[Na (Görüş Birliği)/Na (Görüş Birliği)+Nd

(Görüş Ayr_ıl_ığ_ı)]x100. Bu hesaplama sonucu P = 85 değeri bulunmuş ve anket güvenilir

kabul edilmiştir.

Bulgular

Aşağ_ıda öğretmen adaylar_ın_ın anketteki sorulara verdikleri cevaplar_ın analizinden elde

edilen bulgulara yer verilmiştir. Ayr_ıca okuyucunun zaman zaman nicel verileri daha iyi

anlamas_ın_ı sağlamak amac_ıyla, baz_ı öğretmen adaylar_ın_ın cevaplar_ından al_ınt_ılara yer

verilmiştir.

Öğretmen adayları_nı_{n baz}ı_{kavram yan}ı_lgı_ları

Tablo 1’den, öğretmen adaylar_ın_ın büyük bir çoğunluğunun (%83,8) sahip olduğu

kavram yan_ılg_ıs_ın_ın limiti “bir x değeri belli bir noktaya yaklaşı_{rken, bir fonksiyonun}

değerinin nası_{l de}ğ_iş_tiğ_i”ş_{eklinde aç}_ı_{klamaktan kaynaklanan yan}_ı_lg_ı_olduğ_{u görülmektedir.}

Tablo 1. Öğretmen Adaylarının Doğru/Yanlış Testine Verdikleri Cevapların Dağılımı

Doğru Yanlış Boş F % F % F % 1. Bir fonksiyonun limit değeri o fonksiyonun asla ulaşamadığı bir

değerdir.

14 37,8 22 59,5 1 2,7

2. Limit, bir x değeri belli bir noktaya yaklaşırken, bir fonksiyonun değerinin nasıl değiştiğini açıklar.

31 83,8 4 10,8 2 5,4

3. Bir fonksiyonun limiti, bu fonksiyonun olabildiğince yaklaştığı; ancak hiçbir zaman ulaşamadığı bir değerdir.

18 48,6 17 45,9 2 5,4

4. Bir fonksiyonun bazı noktalarda limiti olmayabilir. 34 91,9 1 2,7 2 5,4 5. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti o fonksiyonun aynı zamanda

sınır değerleridir.

15 40,5 18 48,6 4 10,8

6. Bir fonksiyonun bir noktada birden çok limit değeri olabilir. 6 16,2 28 75,7 3 8,1

7. Bir fonksiyonun bir noktadaki limit değerine ne kadar çok yaklaşılırsa o fonksiyonun o kadar doğru limit değerleri elde edilir.

19 51,4 10 27 8 21,6

8. Sürekli bir fonksiyonun grafiğinde hiçbir kopukluk, kesiklik ya da kırıklık yoktur.

21 56,8 14 37,8 2 5,4

9. Bir fonksiyon limitinden daha büyük bir değer alamaz. 9 24,3 26 70,3 2 5,4

10.Bir fonksiyonun sürekli olmadığı noktalarda limiti yoktur. 9 24,3 27 73 1 2,7

11.Bir fonksiyon bir noktadaki limit değerinin üstünde değerler alamaz.

10 27 23 62,2 4 10,8

12.Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için artan ya da azalan olması gerekir.

6 16,2 25 67,6 6 16,2

13.Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olabilmesi için o noktada tanımlı olması gerekir.

11 29,7 25 67,6 1 2,7

14.Bir fonksiyonun limit değeri, o fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir.

2 5,4 33 89,2 2 5,4

15.Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktada limitinin olmas_ı gerekir.

31 83,8 5 13,5 1 2,7

(13)

Araşt_ırmaya kat_ılan öğretmen adaylar_ın_ın yaklaş_ık %57’sinin sahip olduğu bir başka önemli

kavram yan_ılg_ıs_ı ise, “sürekli bir fonksiyonun grafiğinde hiçbir kopukluk, kesiklik ya da

kı_rı_klı_{k olmayaca}ğı_”_d_ı_{r. Bu yan}_ı_lg_ı_y_ı_{%51,4’lük bir oranla bir fonksiyonun bir noktadaki limit}

değerine ne kadar çok yaklaş_ıl_ırsa o fonksiyonun o kadar doğru limit değerlerine ulaş_ılacağ_ı

yan_ılg_ıs_ı takip etmektedir. Bir fonksiyonun limitini fonksiyonun olabildiğince yaklaşt_ığ_ı;

ancak hiçbir zaman ulaşamad_ığ_ı bir değer olarak yorumlayan adaylar_ın oran_ı ise %48,6 d_ır.

Öte yandan, %40,5 için bir fonksiyonun bir noktadaki limiti o fonksiyonun ayn_ı zamanda

s_ın_ır değerleridir. Fonksiyonun limit değerini fonksiyonun asla ulaşamayacağ_ı bir değer

olarak yorumlayan adaylar_ın oran_ı ise %37,8’dir.

Yukar_ıda ifade edilenler kadar olmamakla birlikte, limit için tan_ıml_ıl_ık koşulunu arama

(%29,7), fonksiyonun bir noktadaki limit değerinin üstünde değer alamayacağ_ın_ı (%24,3) ve

fonksiyonun sürekli olmad_ığ_ı noktalarda limitinin olmayacağ_ın_ı düşünme (%24,3) gibi

konuyla ilgili önemli diğer kavram yan_ılg_ılar_ın_ın araşt_ırmaya kat_ılan öğretmen adaylar_ında

bulunduğu gözlenmektedir.

Sonuç olarak doğru/yanl_ış testinden elde edilen bulgular, araşt_ırmaya kat_ılan öğretmen

adaylar_ın_ın literatürde dikkat çekilen pek çok kavram yan_ılg_ıs_ına az ya da çok oranlarda sahip

olduklar_ı göstermektedir.

Limitin sonsuza eşit olması_durumu

Bu başl_ık alt_ında, öğretmen adaylar_ın_ın üstel bir fonksiyonun ( f x( )=31/x) limitini x

değeri s_ıf_ıra yaklaş_ırken hesaplamalar_ı istenmiştir. Literatürde öğrencilerin limit hesaplarken

bulduklar_ı değerin sonsuza eşit olmas_ı durumunda, limitin olmad_ığ_ın_ı düşünmek yerine

sonsuzu bir reel değer gibi düşünerek limitin sonsuza eşit olduğunu söylediklerini ortaya

koymaktad_ır. Dolay_ıs_ıyla bu soruda öğretmen adaylar_ında da bu yan_ılg_ın_ın olup olmad_ığ_ı

belirlenmek istenmiştir.

Öğretmen adaylar_ın_ın verdikleri cevaplar analiz edildiğinde, adaylar_ın sadece %16,2’lik

bir kesiminin soruyu doğru olarak cevaplad_ığ_ı görülmüştür. Doğru cevap oran_ın_ın düşüklüğü

boş cevap oran_ın_ın yüksekliğiyle birlikte ele al_ınd_ığ_ında (%27) araşt_ırmaya kat_ılan adaylar_ın

bu soruda oldukça zorland_ıklar_ı anlaş_ılmaktad_ır. Öte yandan, adaylar_ın yar_ıdan fazlas_ı

(%54,1) fonksiyonun limitinin sonsuz olduğunu ifade ederek beklenen yan_ılg_ıya düşmüştür‡.

Bu adaylar_ın limit kavram_ın_ın kavramsal anlam_ından ziyade fonksiyonlarda bir işlem gibi

‡

(14)

alg_ılad_ıklar_ı ve basitçe s_ıf_ır değerini x yerine koyarak limitin nereye yaklaş_ıp yaklaşmad_ığ_ına

hiç bakmadan cevap verdikleri şeklinde yorumlanm_ışt_ır. Ayr_ıca limit değerini sonsuz olarak

ifade eden adaylar_ın sonsuzun bir limit değeri olamayacağ_ın_ın da fark_ında olmad_ığ_ı

anlaş_ılmaktad_ır.

Süreklilik tanı_mlı_lı_{k ve limit ili}ş_kisi

Burada bir fonksiyonun verilen bir noktada limitinin olmas_ıyla fonksiyonun o noktada

tan_ıml_ı ve sürekli olmas_ı aras_ındaki ilişkinin öğretmen adaylar_ı taraf_ından nas_ıl yorumland_ığ_ı

ortaya konmaya çal_ış_ılm_ışt_ır. Bunu yapabilmek için, öğretmen adaylar_ına ifadesi

verilerek (A) f(2)=3, (B) f’in x=2 noktas_ında sürekli olmas_ı ve (C) f’in x=2 için tan_ıml_ı

olmas_ı bilgilerinden hangisi ya da hangilerinin daima doğru olacağ_ı sorulmuştur

(Bezuidenhout, 2001). Öğretmen adaylar_ın_ın sorunun A ş_ıkk_ına vermiş olduğu cevaplar_ın

dağ_ıl_ım_ı Tablo 2’deki gibidir.

2

lim ( ) 3

x→ f x =

Tablo 2. Verilen Noktada Limit ile Fonksiyonun Değeri İlişkisi (A şıkkı)

Verilen cevaplar Frekans %

Daima doğrudur 5 13,5

Daima doğru değildir 32 86,5

Belirsizlik yoksa doğrudur 2 5,4

Sürekliyse doğrudur 7 18,9

Tanımsız olabilir 11 29,7

Verilenlerle bilinemez 9 24,3

Diğer 4 10,8

Bilindiği gibi, bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin varl_ığ_ı, fonksiyonun söz konusu

noktada tan_ıml_ı ve sürekli olmas_ına bağl_ı değildir. Dolay_ıs_ıyla limit için süreklilik ve

tan_ıml_ıl_ık ön koşul olmamaktad_ır. Ancak süreklilik için bu iki koşulun yan_ında limit değeri ile

fonksiyonun o noktadaki değerinin eşit olmas_ı gerekmektedir. Tablo 2’den de görüldüğü gibi

öğretmen adaylar_ın_ın büyük bir k_ısm_ı (%86,5) soruya doğru cevap vermiştir. Doğru cevap

verenlerin yapm_ış olduğu aç_ıklamalara bak_ıld_ığ_ında ise, f(2)=3’ün yaz_ılabilmesi için

fonksiyonun sürekli olmas_ı gerektiğini belirten sadece 7 aday bulunmaktad_ır. Bu da tüm

adaylar aras_ında %19, doğru cevap verenler aras_ında ise %22’lik bir orana denk gelmektedir.

Yap_ılan diğer aç_ıklamalar yanl_ış olmamas_ına rağmen sorunun cevab_ın_ı tam olarak

karş_ılamamaktad_ır. Bu durum öğretmen adaylar_ın_ın önemli bir k_ısm_ın_ın cevaplar_ın_ı

gerekçelendirmekte problemleri olduğu şeklinde yorumlanm_ışt_ır.

Öğretmen adaylar_ın_ın sorunun B ş_ıkk_ına vermiş olduklar_ı cevaplar_ın dağ_ıl_ım_ı ise Tablo

(15)

Tablo 3. Limit ve Süreklilik İlişkisi (B şıkkı)

Daima doğrudur 9 24,3

Daima doğru değildir 28 75,7

f(2)=3’mü bilmiyoruz 16 43,2

X=2’de tanımlı mı bilmiyoruz 6 16,2 Sağ sol limit eşit mi bilmiyoruz 3 8,1 Limit olması sürekliliği gerektirmez 5 13,5

Diğer 2 5,4

Yukar_ıda da ifade edildiği gibi, bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmas_ı o noktada

fonksiyonun daima sürekli olduğu anlam_ına gelmemektedir. Fonksiyonun x=2 noktas_ında

sürekli olduğunun söylenebilmesi için bu bilgiye ek olarak fonksiyonun verilen noktada

tan_ıml_ı ve limit değerinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olmas_ı gerekmektedir.

Öğretmen adaylar_ın_ın sorunun B ş_ıkk_ına verdikleri cevaplar incelendiğinde %75,7’sinin x=2

noktas_ında fonksiyonun sürekli olduğunun kesin olarak bilinemeyeceğini söyleyip, Tablo

3’de verilen sebepleri buna gerekçe olarak gösterdikleri görülmektedir. Buna göre, öğretmen

adaylar_ın_ın %24,3’ü fonksiyonun sürekli olduğunu belirtmiştir. Bu durum adaylar_ın yaklaş_ık

dörtte birlik bir k_ısm_ında limiti olan bir fonksiyonun ayn_ı zamanda sürekli olmas_ı yönündeki

kavram yan_ılg_ıs_ına sahip olduklar_ın_ı göstermektedir.

Öğretmen adaylar_ın_ın bir fonksiyonun limitinin olduğu noktayla o noktadaki tan_ıml_ıl_ığ_ı

aras_ındaki ilişkiyi ortaya koyan cevaplar_ın_ın dağ_ıl_ım_ı Tablo 4’de verilmiştir.

Tablo 4. Verilen Noktada Limit ve Tanımlılık İlişkisi (C şıkkı)

Daima doğrudur 10 27

Daima doğru değildir 27 73

Limit olması tanımlı olmayı gerektirmez 16 43,2

Limiti 3’e eşit olduğundan tanımlıdır 4 10,8

Belirsizlik olabilir 1 2,7

Sürekliyse tanımlıdır 1 2,7

Daha önce de ifade edildiği gibi, bir fonksiyonun verilen noktada limitinin olabilmesi

için o noktada tan_ıml_ı olmas_ı şart değildir. Diğer bir deyişle, bir noktada limitin olmas_ı

fonksiyonun o noktada tan_ıml_ı olmas_ın_ı gerektirmemektedir. Buna rağmen, Tablo 4’den de

anlaş_ıld_ığ_ı gibi, öğretmen adaylar_ın_ın %73’ü soruyu doğru yan_ıtlarken, %27’sinin de

literatürde ifade edilen limit al_ınan noktada fonksiyonun tan_ıml_ı olmas_ı gerektiği şeklindeki

kavram yan_ılg_ıs_ına sahip olduklar_ı görülmüştür (Sierpinska, 1987; Williams, 1991;

(16)

Cebirsel ve grafiksel olarak ifade edilen bir fonksiyonun limit ve sürekliliği

Öğretmen adaylar_ın_ın cebirsel ve grafiksel olarak verilen bir fonksiyonun sürekliliğini

ve limitini incelerken nelere dikkat ettiğini daha kapsaml_ı inceleyebilmek amac_ıyla ankette üç

farkl_ı fonksiyonun cebirsel ve grafiksel ifadesinin yan yana yer ald_ığ_ı bir soruya (Tall &

Vinner, 1981) yer verilmiştir.

Tablo 5.f(x)=x2Fonksiyonunun Sürekliliği

Süreklidir 36 97,3

Sürekli değildir 1 2,7

Sağ sol limit eşit 4 10,8

Tanımsızlık yok 7 18,9

Sıçrama yok 5 13,5

El kaldırmadan çizilebilir 2 5,4

Kritik nokta yok 2 5,4

Limitleri görüntüsüne eşit 8 21,6

Polinom fonksiyon olduğundan sürekli 3 8,1

İlk olarak f(x)=x² fonksiyonu verilmiştir. Bilindiği üzere bu fonksiyon ikinci dereceden bir polinom fonksiyon olup grafiği tek parçadan oluşmaktad_ır ve reel say_ılar üzerinde

süreklidir. Öğretmen adaylar_ın_ın bu fonksiyonun sürekliliği ile ilgili Tablo 5’de verilen

cevaplar_ın_ın dağ_ıl_ım_ına bak_ıld_ığ_ında, neredeyse tamam_ına yak_ın_ın_ın (%97,3) doğru olduğu

görülmüştür.

Ayn_ı soruda verilen ikinci fonksiyon olan f x( )=1 /x, grafiği tek parçadan oluşmayan

fakat verilen aral_ıkta (x≠0 için) sürekli bir fonksiyondur. Buna rağmen öğretmen adaylar_ın_ın

soruya verdiği cevaplar incelendiğinde, Tablo 6’dan da anlaş_ıld_ığ_ı gibi, fonksiyonun sürekli

olduğu yönünde cevap verenlerin oran_ın %62,2 olduğu görülmektedir. Bu durum bir önceki

fonksiyondaki başar_ı oran_ın_ın önemli bir ölçüde düştüğünü ortaya koymaktad_ır.

Tablo 6.f(x)= 1/x Fonksiyonunun Sürekliliği

Süreklidir 23 62,2

Tanımsız yapan nokta yok 5 13,5

Her noktada limit var ve görüntüsüne eşit 4 10,8

Sağ-sol limit farklı 2 5,4

El kaldırmadan çizilemez 2 5,4

x=0 için limit yok 8 21,6

Diğer 2 5,4

Boş 1 2,7

Söz konusu fonksiyonun sürekli olmad_ığ_ın_ı söyleyen öğretmen adaylar_ın_ın

gerekçelerine bak_ıld_ığ_ında ise, bunlar_ın “sağ-sol limit farkl_ı”, “fonksiyonun grafiği el

(17)

tan_ım kümesinden ç_ıkar_ılm_ış olmas_ına rağmen, Şekil 1’deki öğrenci gibi, sürekliliği

incelerken bunu göz ard_ı ederek sadece fonksiyonun grafiğine göre cevap verdikleri

görülmüştür.

Şekil 1. Öğretmen Adaylarından Birinin Soruya Verdiği Cevap

Soruda verilen son fonksiyon ise, reel say_ılarda sürekli parçal_ı bir fonksiyon olup,

s_ıf_ırdan küçük ya da eşit x değerleri için 0 ve s_ıf_ırdan büyük ya da eşit x değerleri için x şeklinde tan_ımlanm_ışt_ır (f(x)=0 eğer x<=0, f(x)=x eğer x>=0). Tablo 7’nin de ortaya koyduğu gibi öğretmen adaylar_ın_ın doğru cevap oranlar_ı %89,2’lere ulaşmaktad_ır.

Tablo 7. Parçalı Olarak Tanımlanan Bir Fonksiyonun Sürekliliği

Süreklidir 33 89,2

Limit var ve görüntüsüne eşit 7 18,9

Tanımsız yapan nokta yok 10 27

Sağ-sol limit farklı 2 5,4

Sağ-sol türev eşit 1 2,7

Sıçrama yok, el kaldırmadan çizilebilir 6 16,2

Diğer 3 8,1

Boş 2 5,4

Sonuç olarak, sorudaki üç fonksiyon için verilen cevaplar genel olarak dikkate

al_ınd_ığ_ında öğretmen adaylar_ın_ın tek parçadan oluşan bir fonksiyonun sürekliliğini incelerken

sorun yaşamad_ıklar_ı; fakat fonksiyonun grafiği parçal_ı olduğunda kavram yan_ılg_ıs_ına

düşenlerin oranlar_ın_ın artt_ığ_ı görülmektedir. Ayr_ıca, fonksiyonun sürekliliğini incelerken

grafiğinin “el kald_ırmadan çizilebilmesinin” baz_ı öğretmen adaylar_ı taraf_ından verilen

fonksiyonun sürekli olmas_ı yönünde bir ölçüt olarak al_ınd_ığ_ı da dikkati çeken noktalardan

(18)

Tanı_msı_zlı_{k ile belirsizlik aras}ı_{ndaki fark}

Burada öğretmen adaylar_ın_ın tan_ıms_ızl_ık ile belirsizlik aras_ındaki ayr_ım_ın fark_ında olup

olmad_ıklar_ı gözlenmek istenmiştir. Bilindiği gibi, tan_ıms_ızl_ık standart tan_ım kullan_ıld_ığ_ında

uygun bir sonuç bulunamamas_ı durumunda ortaya ç_ıkmaktad_ır. Belirsizlik ise, farkl_ı olas_ı

sonuçlardan geçerli olan_ın bilinmediği durumlarda ya da farkl_ı yaklaş_ımlarla farkl_ı sonuçlara

ulaş_ılmas_ından dolay_ı ortaya ç_ıkmaktad_ır (Özmantar, 2008). Örneğin, lim 2

x→∞x x ve limx→∞x x

ifadelerinin her ikisinde de ∞ ∞ durumu karş_ım_ıza ç_ıkmaktad_ır. Halbuki bu bir belirsizliktir.

Çünkü her iki ifade de ∞ ∞ durumu ortaya ç_ıksa da birinin limiti 1/2 diğerinin ise 1’dir.

Dolay_ıs_ıyla ayn_ı durma karş_ı farkl_ı durumlar söz konusudur. Tan_ıms_ızl_ığa örnek vermek

gerekirse, s_ıf_ırdan farkl_ı bir x reel say_ıs_ın_ın s_ıf_ıra bölümü tan_ıms_ızd_ır. Çünkü standart çarpma

tan_ım_ı burada uygulanamamaktad_ır. Hiçbir say_ın_ın s_ıf_ır ile çarp_ım_ı x reel say_ına eşit değildir.

Bu bağlamda öğretmen adaylar_ına f x( )= −x 2 /x−2 2 fonksiyonu verilmiş ve

onlardan ilk olarak fonksiyonun grafiğini çizmeleri istenmiştir. Yap_ılan çizimler

incelendiğinde çizimlerin %75,5’inin doğru olduğu görülmüştür (doğru grafik x=2 noktas_ında

tan_ıms_ız olan f(x)=1 doğrusunun grafiğidir). Öğretmen adaylar_ın_ın %13,5’i grafiği çizerken

belirsizlik noktas_ın_ı dikkate almayarak x=1 doğrusunu çizmiş bunun yan_ında, %10,8’i ise

fonksiyonla hiçbir şekilde ilgisi olmayan tamamen yanl_ış grafikler çizmiştir.

Söz konusu sorunun ikinci k_ısm_ında adaylardan f(2) değerini bulmalar_ı istenmiştir.

Öğretmen adaylar_ından beklenen doğru cevap belirsizlik olduğunu belirtmeleri olmas_ına

rağmen onlar_ın sadece %8,1’inin bu cevab_ı verdiği görülmüştür. Adaylar_ın %62,2 gibi bir

çoğunluğunun soruya “tan_ıms_ız” cevab_ın_ı vermesi öğretmen adaylar_ın_ın tan_ıms_ızl_ık ve

belirsizlik kavramlar_ı aras_ındaki fark_ı, en az_ından bu soruda, ay_ırt etmede baz_ı zorluklar

yaşad_ıklar_ın_ı göstermektedir. Cevaplarla ilgili dikkati çeken bir diğer nokta ise öğretmen

adaylar_ın_ın %27’sinin soruyu f(2)=1 olarak cevaplam_ış olmas_ıd_ır. Bu da adaylar_ın x=2

noktas_ındaki belirsizliği göz ard_ı ederek fonksiyonu sadeleştirip f(2)=1 sonucuna ulaşt_ıklar_ı

anlam_ına gelmektedir.

Son olarak ayn_ı soruda adaylara, fonksiyonun x=2 noktas_ında bir limite sahip olup

olmad_ığ_ı ve varsa bu limit değerinin kaç olduğu sorulmuştur. Adaylardan beklenen doğru

cevap f(x) fonksiyonunun x→2 için limitinin var olduğu ve 1 değerine eşit olduğudur.

Adaylar_ın cevaplar_ına bak_ıld_ığ_ında büyük bir çoğunluğun soruyu doğru olarak cevaplad_ığ_ın_ı

(%89,2), sadece %10,8’lik bir kesimin fonksiyonun limitinin olmad_ığ_ın_ı söyleyerek yanl_ış

(19)

“belirsizlik durumlar_ında limit yoktur” şeklinde ortaya ç_ıkan kavram yan_ılg_ıs_ına sahip

olduğunu göstermektedir.

Sonuç ve Öneriler

Herhangi bir kavramla ilgili kavram yan_ılg_ılar_ın_ın ortaya konmas_ı, söz konusu

kavram_ın öğretmen taraf_ından anlat_ılmas_ı s_ıras_ında dikkat edilmesi gereken noktalar_ın neler

olduğu konusunda önemli bilgiler vermektedir. Yap_ılan araşt_ırma öğretmen adaylar_ın_ın limit

ve süreklilik kavramlar_ına ilişkin çeşitli kavram yan_ılg_ılar_ına sahip olduğunu göstermektedir.

Bunlar özetlenecek olursa:

(i) Sonsuzu bir limit değeri olarak alg_ılama: Öğretmen adaylar_ın_ın bir k_ısm_ı x→∞ için

limiti ∞ bulmuşlar, sanki bu fonksiyonun çok uzak bir noktada, “sonsuzda” limiti vard_ır şeklinde yorumlam_ışlard_ır. Oysa reel bir değere eşit olmas_ı gereken limit bir say_ı olmayan sonsuza eşit olamaz. Yine benzer şekilde x→∞ için limit 0’a eşit ise f(∞)=0 yaz_ılabileceğini

belirtmişlerdir. Bu da öğretmen adaylar_ın_ın literatürde de (Graeber & Johnson, 1991)

belirtildiği gibi limiti fonksiyonda istenen değeri yerine yazma olarak gördüklerini

göstermektedir.

(ii) Bir fonksiyon bir noktada limiti varsa o noktada tan_ıml_ı ve sürekli olmas_ı gerektiği

inanc_ı: Elde edilen sonuçlardan biri de öğretmen adaylar_ın_ın, limit al_ınan noktada

fonksiyonun tan_ıml_ı ve sürekli olmas_ı gerektiği yönünde kavram yan_ılg_ıs_ına sahip olduğu şeklindedir. Oysaki bir fonksiyonun verilen bir noktada sürekli olabilmesi için fonksiyonun o noktada tan_ıml_ı ve limit değerinin fonksiyonun görüntüsüne eşit olmas_ı gerektiği ve bir

fonksiyonun bir noktada limitinin olmas_ı için o noktada tan_ıml_ı olmas_ın_ın gerekmediği limit

ve süreklilik konusundaki bilinmesi gereken en temel bilgilerdir.

(iii) Grafiğinde s_ıçrama ve k_ır_ılma varsa, fonksiyon o noktada tan_ıml_ı bile olsa limiti

yoktur: Öğretmen adaylar_ı tek parçadan oluşan bir fonksiyonun sürekliliğini incelerken sorun

yaşamamalar_ına rağmen, fonksiyon grafiği parçal_ı olduğu durumlarda adaylar_ın kavram

yan_ılg_ıs_ına düşme oran_ı yükselmiştir. Ayr_ıca, baz_ı öğretmen adaylar_ı taraf_ından fonksiyonun

sürekliliğini incelerken grafiğin el kald_ırmadan çizilebilmesinin, verilen fonksiyonun sürekli

olmas_ı için bir ölçüt olarak al_ınd_ığ_ı da dikkati çeken noktalardan biridir.

(iv) Tan_ıms_ızl_ık ve belirsizlik kavramlar_ın_ın birbirinden ay_ırt edilememesi: Öğretmen

adaylar_ın_ın sonsuzluk kavram_ın_ı alg_ılamakta zorland_ıklar_ı ve tan_ıms_ızl_ık-belirsizlik

(20)

(v) Limit değerine ilişkin kavram yan_ılg_ılar_ı: Araşt_ırmada ortaya ç_ıkan bir diğer sonuç,

öğretmen adaylar_ın_ın bir fonksiyonun limitini, bu fonksiyonun olabildiğince yaklaşt_ığ_ı; ancak

hiçbir zaman ulaşamad_ığ_ı bir değer olarak görmeleridir. Yine baz_ı öğretmen adaylar_ı bir

fonksiyonun bir noktadaki limitinin fonksiyonun ayn_ı s_ın_ır değeri olduğu, fonksiyonun limit

değerinin üstünde değerler alamayacağ_ı, bir fonksiyonun bir noktada birden çok limit

değerinin olabileceği, bir fonksiyonun bir noktada limitinin olmas_ı için artan ya da azalan

olmas_ı gerektiği şeklinde kavram yan_ılg_ılar_ına sahip olduğu görülmektedir. Tespit edilen bu

kavram yan_ılg_ılar_ı diğer araşt_ırmac_ılar (Tall & Vinner, 1981; Williams, 1989, 1991; Szydlik,

2000; Akbulut & Iş_ık, 2005; Huillet, 2005; Jordaan, 2005; Özmantar & Yeşildere, 2008)

taraf_ından tespit edilenlerle oldukça benzerlik göstermektedir.

Bu durum dikkatleri, öğretmen adaylar_ın_ın 3,5 y_ıl alan eğitimlerini ald_ıklar_ı

Fen-Edebiyat Fakülteleri’ndeki alan derslerinin içeriğinin ve niteliğinin sorgulanmas_ı gerektiği

üzerine çekmektedir. Acaba bu dersler öğretmen adaylar_ın_ın ihtiyaçlar_ına cevap verebilecek

nitelikte midir? Araşt_ırman_ın da ortaya koyduğu gibi bu süreç neden onlar_ın kavramsal

öğrenmelerini zenginleştirememekte ve belki lise dönemlerinden getirdikleri kavram

yan_ılg_ılar_ın_ı düzeltmekte yetersiz kalmaktad_ır? Ne yaz_ık ki Türkiye’de bu fakülteler

matematik öğretmeni yetiştirmeden ziyade uzman yetiştirmeye yöneliktir ve matematikçi

yetiştirmektedir (Aslan, 2003). Öğretmen adaylar_ı 3,5 y_ıl boyunca neredeyse hiçbir ayr_ıma

tabi tutulmadan matematik bölümü öğrencileriyle ayn_ı dersleri almakta ve ayn_ı s_ınavlara

beraber girerek değerlendirilmektedirler. Öğretmen adaylar_ın_ın bu sistem hakk_ındaki şikâyetlerini ortaya koyan çal_ışmalar onlar_ın çoğunlukla buradaki derslerin kendilerine hitap etmediğini ve kavram öğretimi yönünden kendilerini zay_ıf hissettiklerini dile getirdiklerini

rapor etmektedir (Yiğit & Akdeniz, 2004; Saraç, 2006; Baştürk, 2009b). Oysaki öğretmen

adaylar_ın_ın ileride öğretecekleri matematiği öğrenmeleri ya da Stylianides ve Stylianides’in

(2006) ifade ettiği gibi öğretmen adaylar_ına yönelik alan derslerinde kullan_ılan matematiksel

kavramlar_ın onlar_ın ileride mesleklerini yaparken kullanacaklar_ıyla uyumlu olmas_ı

gerekmektedir.

Ülkemizde son günlerde Fen-Edebiyat Fakülteleri’nden mezun olan her adaya

öğretmenlik yapma hakk_ın_ın verileceğinin tart_ış_ıld_ığ_ı şu günlerde, bu fakültelerin

programlar_ın_ın ve verilen derslerin içeriğinin yap_ılacak başka çal_ışmalarla daha detayl_ı olarak

incelenmesi ve eksikliklerin belirlenerek ortaya konmas_ı öğretmen eğitimi aç_ıs_ından oldukça

(21)

Öğretmen adaylar_ın_ın sahip olduklar_ı kavram yan_ılg_ılar_ın_ı kendi ders anlat_ımlar_ında

öğrencilerine yans_ıtma ihtimali oldukça yüksektir. Kavram yan_ılg_ılar_ı ile ders anlat_ımlar_ı

üzerine adaylarla yap_ılan çal_ışmalar bu ikisi aras_ında s_ık_ı bir ilişki olduğunu rapor etmektedir

(Boz, 2004; Canbazoğlu, 2008; Baştürk, 2009a; Dönmez, 2009). Dolay_ıs_ıyla eğitim

fakültesindeki derslerde öğretmen adaylar_ın_ın kavram yan_ılg_ılar_ına karş_ı daha donan_ıml_ı

yetişmesini sağlayacak derslere ve içeriklere yer verilmelidir. Örneğin çeşitli konularda

literatürden seçilmiş kavram yan_ılg_ılar_ı öğretmen adaylar_ına yorumlat_ılabilir ve bunlar_ı teşhis

edemeyen adaylarda benzer yan_ılg_ılar_ın olduğu düşüncesinden hareketle düzeltme ve

iyileştirme yoluna gidilebilir.

Bu araşt_ırma kapsam_ında, öğretmen adaylar_ın_ın limit ve süreklilik konusundaki alan

bilgileri konuyla ilgili sahip olduklar_ın_ı kavram yan_ılg_ılar_ı bağlam_ında ortaya konmaya

çal_ış_ılm_ışt_ır. Şüphesiz alan bilgisini belirlemede kavram yan_ılg_ılar_ın_ın tespit edilmesi tek

baş_ına yeterli değildir. Yap_ılacak başka çal_ışmalarla burada kullan_ılan Alan Bilgisi

Anketi’ndeki sorulara yeni sorular eklenerek, kavram yan_ılg_ılar_ı d_ış_ındaki değişkenlere

bak_ıl_ıp öğretmen adaylar_ın_ın alan bilgileri daha detayl_ı olarak incelenebilir.

Teşekkür

Yazarlar araşt_ırmaya kat_ılan Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi

Ortaöğretim Matematik Öğretmenliği Anabilim Dal_ı son s_ın_ıf öğrencilerine teşekkür eder.

Kaynaklar

Akbulut, K., & Iş_ık, A. (2005). Limit kavram_ın_ın anlaş_ılmas_ında etkileşimli öğretim

stratejisinin etkinliğinin incelenmesi ve bu süreçte karş_ılaş_ılan kavram yan_ılg_ılar_ı.

Kastamonu Eğitim Dergisi, 13(2), 497-512.

Anderson, C.W., & Smith, E.L. (1987). Teaching science. In Richardson-Koehler, V. (Ed.),

Educators’ handbook: A research perspective (84-111). New York: Longman, Inc.

Aslan, K. (2003). Eğitim fakültelerinin yeniden yap_ıland_ır_ılmalar_ına ilişkin bir değerlendirme.

Balı_{kesir Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi}_,₆_{(9), 23-37.}

Ball, D. L. (1990). The mathematical understanding that pre-service teachers bring to teacher

education. Elementary School Journal, 90(4), 449-466.

Ball, D.L., & McDiarmid, G.W. (1990). The subject matter preparation of teachers. In W.R.