FUNKCIONALNE JEDNAČINE
Postupak rešavanja:
i ) “ Ono “ što je u zagradi stavimo da je t ( smena) ii) Odatle izrazimo x
iii) Vratimo se u početnu jednačinu , f ( t ) =... i gde vidimo x zamenimo ga sa onim što smo izrazili iv) Sredimo taj izraz koji je sad sve ” po t ” i zamenimo t sa x
ZADACI
1) Rešiti funkcionalnu jednačinu: f ( x+1) = x2 –3x + 2 Rešenje:
f ( x+1) = x2 –3x + 2 “ Ono “ što je u zagradi stavimo da je t x +1 = t Odatle izrazimo x
x = t - 1 Vratimo se u početnu jednačinu , f ( t ) =... i gde vidimo x zamenimo ga sa onim što smo izrazili f ( t ) = (t – 1)2 – 3 (t – 1 ) + 2
f ( t ) = t2- 2t + 1 – 3t +3 + 2 Sredimo taj izraz koji je sad sve ” po t ” f ( t ) = t2 – 5t + 6 zamenimo t sa x
2) Rešiti funkcionalnu jednačinu: 1 x 1 x2 x f = + + Rešenje: 2 1 1 x x x f = + + t x = 1 pa je odavde x t = 1
ovo zamenimo u datoj jednačini
2 1 1 1 ) ( t t t f = + + 2 2 1 1 ) ( t t t t f = + + t t t t f( ) 1 1 2 + + = t t t f( ) 1 1 2 + + = zamenimo t sa x x x x f( ) 1 1 2 + + = je konačno rešenje
3) Rešiti funkcionalnu jednačinu: ) 2 1 ( x x x f = + Rešenje: 2 ) 1 ( x x x f = + t x x = + 1 x = t ( x+1) x = t x + t
x – tx = t izvučemo x kao zajednički na levoj strani... x ( 1 – t ) = t t t x − =
1 vratimo se sad na početnu jednačinu...
2 ) 1 ( x x x f = + 2 ) 1 ( ) ( t t t f − = zamenimo t sa x ... 2 ) 1 ( ) ( x x x f − = je konačno rešenje
4) Reši funkcionalnu jednačinu: ) 5 3 1 2 2 ( = + + + x x x f Rešenje: 3 5 ) 1 2 2 ( = + + + x x x f t x x = + + 1 2 2 x + 2 = t (2x + 1) x + 2 = 2tx + t x – 2tx = t – 2 x (1 – 2t ) = t – 2 t t x 2 1 2 − − = 3 5 ) 1 2 2 ( = + + + x x x f f ( t ) = 5 t t 2 1 2 − − + 3 sredimo… f ( t ) = t t 2 1 10 5 − − + t t 2 1 ) 2 1 ( 3 − − = t t t 2 1 6 3 10 5 − − + − = t t 2 1 7 − − −
izvučemo minus gore i ubacimo ga u imenilac, koji onda promeni redosled … A - B = - (B – A)
f ( t ) = 1 2 7 − + t t f ( x ) = 1 2 7 − + x x je konačno rešenje
5) Ako je ) ( 1)2 1 ( = − + x x x f , izračunati f(3). Rešenje:
Najpre moramo naći f(x).
2 ) 1 ( ) 1 ( = − + x x x f t x x = + 1 x = t ( x+1) x = t x + t x – tx = t x ( 1 – t ) = t t t x − =
1 vraćamo se u početnu jednačinu…
2 ) 1 ( ) 1 ( = − + x x x f f ( t ) = ( t t − 1 - 1 ) 2
Sada umesto t stavljamo 3 jer se traži f(3)…
f ( 3 ) = ( 3 1 3 − - 1 ) 2 = 4 25
6) Rešiti funkcionalnu jednačinu: ( 1) 2 12 x x x x f + = + Rešenje: 2 2 1 ) 1 ( x x x x f + = + uzimamo smenu x
x+1 = t , ako odavde probamo da izrazimo x kao što bi trebalo,
zapadamo u probleme...
x
x+1= t sve pomnožimo sa x… x2 + 1 = xt
x2 – xt + 1 = 0 ovo je kvadratna po x i ne vodi rešenju…
TRIK : OVDE SMENU TREBAMO KVADRIRATI
x x+1= t kvadriramo… ( x x+1)2 = t2 2 2 2 1 1 2 t x x x x + + = pokratimo x-seve… 2 2 2 1 2 t x x + + = 2 1 2 2 2 + =t − x
x E sad se vratimo u datu početnu jednačinu...
2 2 1 ) 1 ( x x x x
7. Rešiti funkcionalnu jednačinu: x x x f x x f = + − + − + 1 2 2 2 1 Rešenje: x x x f x x f = + − + − + 1 2 2 2 1
I ovaj zadatak ne možemo uraditi “ klasično” već se moramo poslužiti trikom...
Ako uzmemo smenu t
x x = + − 1 2 , onda je t x x 1 2 1 = − + i t x x = + − 1 2 odavde x-2 = t (x +1) pa je x – 2= tx + t , x – tx = t + 2 , x (1-t )= t + 2 i odavde je x = t t − + 1 2
Vratimo se u datu jednačinu:
x x x f x x f = + − + − + 1 2 2 2 1 f ( t 1 ) + 2 f ( t ) = t t − + 1 2
dobili smo jednu jednačinu...E sad je trik da umesto t stavimo
t 1 f( t ) + 2 f( t 1 ) = t t 1 1 2 1 − + = t t t t 1 2 1 − + = 1 2 1 − + t t
dobismo i drugu jednačinu
Sada pravimo sistem od dve jednačine:
f ( t 1 ) + 2 f ( t ) = t t − + 1 2 f( t ) + 2 f( t 1 ) = 1 2 1 − + t t
Prvu jednačinu pomnožimo sa -2 pa saberemo ove dve jednačine...
- 4 f ( t ) - 2 f ( t 1 ) = -2 t t − + 1 2 f( t ) + 2 f( t 1 ) = 1 2 1 − + t t - 3 f ( t ) = t t − − − 1 4 2 + 1 2 1 − + t t = 1 4 2 − + t t + 1 2 1 − + t t = 1 5 4 − + t t dakle - 3 f ( t ) = 1 5 4 − + t t
f ( t ) = ) 1 ( 3 5 4 − − + t t odnosno f ( t ) = t t 3 3 5 4 − +
umesto t stavimo x i dobijamo:
f ( x ) = x x 3 3 5 4 − + konačno rešenje
