DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

(1)

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

DIAGRAMAS DE ESFORÇOS

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2005/06

(2)

1. Conceitos básicos

Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares.

Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da figura.

Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de deformação de um corpo.

Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre pontos de um corpo.

2. Ligações

2.1. Ligações exteriores (apoios)

Designação usual Representação esquemática Reacções associadas Deslocamentos permitidos Apoio simples Apoio fixo Encastramento deslizante Encastramento _Nenhum

(3)

2.2. Ligações interiores Designação usual Representação esquemática Esforços transmitidos Deslocamentos permitidos Rótula N e V Encastramento deslizante N e M Pistão _{V e M} Continuidade _{N, V e M} _Nenhum

3. Equações de equilíbrio estático

Momentos 



0 (qualquer ponto)

Forças 



0 (resultante nula)

4. Diagramas de esforços

Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da secção que os separa.

Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M)

NN x VV x MM x V 

_

p dx M

_

V dx

(4)

Diagramas de esforços para cargas usuais Tipo de carga (p) Esforço Transverso (V) Momento Flector (M) p = 0 V = constante Linear V = 0 V > 0 V < 0 Linear Parábola

Parábola Eq. do 3º grau

Linear Parábola

Parábola Eq. do 3º grau

Casos particulares:

- O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada. - O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula.

- O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado. - O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula.

(5)

Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada MA VB p VA MB A B x L V_{( )}_x  V_A p x M_{( )}_x M_A V_A  x p x 2 2 M_B M_A L V_A p L L M_B



 0       2 V L M M p L A  B  A         1 2 2 F_V V_A p L V_B



 0    V_B  V_A  p L Mmax.V( )x  0 VA p x M x V p A max. _max    M M M V V p p V p x A A A A max  _max            2 2 M M V p A A max    2 2 M_{( )}_x M_A V_A  x p x  2 2 0 x x 1 2 x V V p M p A A A 1 2 2      _,₀ x₁ L x V V p M p A A A 2 2 2      _,₀ x₂ L se V p M x x x x A2 A 1 2 1 2 2 0 0 0            sem zeros xmax M(x) x2 x1 Mmax V(x)

(6)

PROBLEMAS PROPOSTOS

Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe os diagramas de esforços. 1) A B C 30 kN/m 50 kNm D 20 kN 2.50 m 2.50 1.50 0.50 2) 4.00 m 2.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00 A B C 40 kN/m 50 kN D E F 20 kN 60 kN/m 3) A B _C _D E F 50 kN 40 kN/m 3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50 10 kNm

(7)

4) A B C D E F 50 kN 36 kN/m 23 kN 2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00 60 kN/m G H 5) A B C D E F 90 kN 125 kN 50 kN/m G _H 1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.50 1.50 80 kN 30 kNm 6) A B C D E _F 60 kN 10 kN/m G 70 kN 1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50 2.00 2.00 30 kN/m

(8)

7) A B C D _E F 94 kN G 10 kN/m 2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00 1.50 1.50 40 kN 8) A B C D E F 140 kN G 23 kN/m 2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00 2.00 2.00 H I J 15 kN/m 20 kN/m 100 kN 35 kN 30 kN 50 kNm

(9)

9) A B C _D E 5 kN 48 kN/m 4.00 m 3.00 3.00 3.00 250 kN 10) A B C D E F 60 kN/m 4.00 m 2.00 3.00 6 kN/m 30 kN/m

(10)

11) A B _C _D E F 63 kN 50.2 kN/m 1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00 4.00 _{30 kN/m} 12) A B C D E F 60 kN 20 kN/m 2.00 4.00 m 3.00 3.00 3.00 14 kN/m 30 kN/m 132 kN

(11)

13) A B C D E F 70 kN 40 kN/m 50 kN 1.50 1.50 3.00 m 3.00 2.00 2.00 30 kN/m 14) A B C D E F 40 kN G 10 kN/m H I 35 kN 2.00 m 2.00 2.00 2.00 3.00 2.00 1.00 40 kN/m

(12)

15) A B C D E F 10 kN G 20 kN/m 3.00 4.00 m 3.00 2.00 2.00 4.00 30 kN/m 16) A B C D E F 60 kN G H _I J 2.00 2.00 2.00 3.00 m 2.00 4.00 3.00 L 60 kN 75 kN 100 kN

(13)

17) A B C D E F G 25 kN/m H I 40 kNm 4.00 m 2.00 2.00 1.50 1.50 1.50 40 kN/m 18) A B C D E F 40 kN G 14 kN/m H I 25 kNm 2.00 1.50 1.50 4.00 m 2.00 2.00 1.00 5 kN/m 20 kN/m 90 kN

(14)

19) A B C D E F 119 kN G 30 kN/m H I J 2.00 4.00 m 2.25 1.75 2.00 2.00 3.00 10 kN/m 18 kN/m 30 kN _{63 kN} 20) A B C D E 8 kN/m 42 kNm 1.50 m 1.50 1.50 1.50 2.00 72 kN/m

(15)

Soluções dos problemas propostos

1)

Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três ligações ao exterior. F_H R_HA R_HA



0 20 302  40 kN M_A R_VB R_VB



0 302        2 5 50 1 5 20 4 2 . kN F_V R_VA R_VB



0   4 kN

Reacções de apoio e orientação das barras

A B

C D

4 kN 4 kN

40 kN

Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo.

(16)

A B C 30 kN/m 20 kN D C R_VA R_VB 50 kNm D R_HA F₁ F₁ F₂ F₂ F₃ F₅ F₆ F₄ F₇ F₈ F₉ M₁ M 1 M 2 A A F 9 F₁₀ F 10 F₁₁ F 11 F₁₂ F 12 M₂ F 5 F 3 F 4 F 6 B B

Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças internas. M_DCD F F



0 5 ₁ 50 ₁ 10 kN F_VCD F F



 0 ₂  ₁ 10 kN F_VBD F F



0 ₃  ₂ 10 kN F_VAC F F



 0 ₄  ₁ 10 kN F_Vnó B F F kN



04 ₅ 10 ₅  6 F_VAB F F



0 ₆  ₅  6 kN M_BBD F F



 0 2 ₇ 1 5. 20 ₇ 15 kN F_HCD F F



 0 ₈  ₇ 15 kN

(17)

F_HBD F F



015 ₉  20 ₉ 5 kN F_Hnó B F F kN



0 ₁₀  ₉ 5 F_HAB F F



0 ₁₁  ₁₀  5 kN F_HAC F F



 015 ₁₂ 302 ₁₂  45 kN M_AAB M F



0 ₁  5 ₅  5 6 30 kNm M_AAC M M



0 2 15  302   2 30 2 2 2 kNm Valores finais: A B C 30 20 D C 4 4 50 D 10 10 10 10 10 6 6 10 15 15 5 30 30 30 A A 5 5 5 5 5 45 45 30 6 10 10 6 B B 40

Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos diagramas de esforços.

(18)

 Esforços axiais N_AB  F₁₀  F₁₁  5 kN N_BC  F₇  F₈  15 kN N_AC  F₁  F₄  10 kN N_BD  F₂  F₃ 10 kN  Esforços transversos V_AAB  F₆ V_BAB  F₅  6 kN V_CCD  F₁ V_DCD  F₂ 10 kN V_AAC  F₁₂  45 kN V_CAC  F₈  45 2 30 15 kN V_BBD  F₉  5 kN V_DBD  F₇   5 2015 kN V_{( )}AC_x  4530x 045 30 x  x 1 5. m  Momentos flectores M_AAB  M₁  30 kNm M_{m x esq}CD_{a .} _. 2 5. F₁ 25 kNm M_max.CD_dir_.  2 5. F₂ 2 5.  F₁ 50 25 kNm M_AAC  M₂       2 2 15 30 2 2 30 kNm M_max.AB  30 15 45 .  30 15 .  . 2 3 75 2 kNm M_max.BD  15. F₉  0 5. F₇  7 5. kNm

(19)

Diagrama de esforços axiais (kN)

-15

-10 10

-5

Diagrama de esforços transversos (kN)

45 -15 10 -6 -5 15

Diagrama de momentos flectores (kNm)

30

25 -30

3.75 -7.5

(20)

2)

Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável.

A B C 40 kN/m _{50 kN} D C R_VA F 1 F 1 F 2 F 3 R_HB R_VB E F 20 kN 60 kN/m E D F₄ F 3 F₅ F₅ F₆ R_HF R_VF R_MF

Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer as seguintes equações:

M_EED F F



04 ₄ 2030 ₄  15 kN (mudar o sentido do vector)

F_HED F F



 0 ₅ 20 15  0 ₅  5 kN (mudar o sentido do vector)

F_HEF R_HF

(21)

F_HCD F



 0 ₂  15 kN (mudar o sentido do vector)

F_HABC R_HB



 0  15 kN (mudar o sentido do vector)

M_CCD F F



 0 2 ₃  1 50 0 ₃ 25 kN F_VCD F



 0 ₁ 502525 kN F_VED F F



 0 ₆  ₃ 25 kN F_VEF R_VF



 0 25 602 2 85 kN M_FEF R_MF



 0 225 602    2 2 3 2 130 kNm M_AABC R_VB R_VB



04 40 6 6     2 6 25 0 217 5. kN F_VABC R_VA



 0 64025217 5. 47 5. kN Valores finais: A B C 40 ₅₀ D C 47.5 25 25 15 25 15 217.5 E F 20 60 E D 15 25 5 5 25 5 85 130

(22)

Reacções de apoio e orientação das barras A B C D E F 47.5 kN 217.5 kN 85 kN 5 kN 130 kNm 15 kN

Cálculo dos esforços:

 Esforços axiais N_AB  0 kN N_BC  R_HB F₂ 15 kN N_CD F₄ F₂ 15 kN N_DE  F₃  F₆  25 kN N_EF  R_HF  F₅  5 kN  Esforços transversos V_Adir.  R_VA  47 5 kN. V_Besq.  47 5 40.  4  112 5 kN. V_Bdir .  112 5 217 5.  . 105 kN V_Cesq.  F₁ 105 2 40 25 kN V_Cdir. F₁ 25 kN V_DCD  F₃  25 50  25 kN V_EED  F₅  5 kN

(23)

V_DED  F₄  5 20 15 kN V_EEF  F₆  25 kN V_Fesq.  25602   2 85 kN V_{( )}_xAB 47 5. 40x 0 47 5. 40x  x 11875. m  Momentos flectores M_max.AB 11875 47 5.  . 40 11875 .  . 2 28 2 2 kNm M_B 447 5404   2 130 2 . kNm M_max.CD  1 F₁ 25 kNm M_max.ED  1 F₄ 15 kNm M_F  R_MF  130 kNm

15

-5 -25

(24)

Diagrama de esforços transversos (kN) 47.5 -112.5 105 25 -25 -15 5 -25 -85

28.2

-130

25

15

(25)

3) D E F 50 40 A B C 10 40 150 30 50 10 40 40 40 40 Equações de equilíbrio: F_H R_HF



 0  0 M_CCD F F



02  402   2 40 1 2 1 kN F_VCD F F



0 ₂ 40402 ₂ 40 kN M_AABC R_VB R_VB



010 3 404 50 kN F_VABC R_VA R_VA



0 4050 10 kN F_V R_VE R_VE



0403 5 50 10.   50  150 kN M_DDEF R_MF R_MF



0 40 15        2 50 3 150 15 30 2 . . kNm M_max.CD  402  8 20 2 kNm

Reacções de apoio e orientação das barras A B _C _D E F 150 kN 30 kNm 50 kN 10 kN

(26)

-10

-100

40 50

-40

-30

-105

-40

20

(27)

4) C E F 50 36 23 60 161 25 70 21 25 100 A B C D _E F G H C 40 40 25 47 25 25 25 25 25 40 47 40 25 47 17.68 33.23 17.68 33.23 Equações de equilíbrio: M_FFGH R_VG R_VG



               0 1 60 2 2 1 1 3 2 100 kN F_VFGH F F



0  602    2 100 40 1 1 kN F_VEF F F



0 ₃  ₁ 40 kN M_EEF F F



02 ₂  1 50 ₂ 25 kN F_HEF F F



0 ₄  ₂ 25 kN M_CCDE R_VD R_VD



02  3 40 363   2 21 2 kN F_VCDE F F



0363 4021 ₅  ₅  47 kN

(28)

F_HCDE F F



0 ₆  ₄ 25 kN F_HABC R_HA F



0  ₆ 25 kN F_VABC R_VA



0 23 47  70 kN M_AABC R_MA R_MA



0  2 25 1 23 4 47 161 kNm F_H R_HG R_HG



0 2550 25 kN V_{( )}CD_x 4736x 04736x  x 1 30556. m M_max.CD 130556. 4736 130556 .  . 2 30 68 2 kNm

Corpo ABC, ponto C:

47 cos45º47 sen45º 33 23. kN

25cos45º 25sen45º17 68. kN

161 kNm 25 kN 70 kN 21 kN 25 kN 100 kN A B C D E F G H

(29)

Diagrama de esforços axiais (kN) -50.91 -25 -40 -25 25

-40 -25 60 -40 -4 -25 25 47 15.56 47 70

-161 -44 -91 22 -40 25 30.68

(30)

5) E F 50 125 137.5 D G H C ₁₂₅ 87.5 88.39 61.87 88.39 61.87 125 137.5 A B C 125 87.5 87.5 125 125 C C 125 37.5 151 247 30 80 90 90 72 54 37.5 37.5 125 75 30 22.5 100 C 71 109.5 71 109.5 D 42 32  m5          arctan 3 . 4 36 869898 o 90cos   72 kN 90s en  54 kN Equações de equilíbrio: M_DABCD R_VA R_VA



                  0 8 7 1 2 1 50 4 125 5 2 90 137 5. kN M_CABC R_HA R_HA



                0 3 50 1 3 1 2 4 137 5. 125 kN F_HABC F R_HA



0 ₁  125 kN

(31)

F_VABC F F



0 ₂ 50 1 137 5.  ₂ 87 5. kN F_Hnó C F F kN



0 ₃  ₁ 125 F_Vnó C F F kN



0 ₄ 87 5. 125 ₄  37 5. F_HCD F F



0 ₅ 54 125 ₅  71 kN F_VCD F



0 ₆ 7237 5. 109 5. kN F_HDFGH R_HH



0 71 80 151 kN M_EDFGH R_VH R_VH



0 3 15 80.  30 3 151 1 109 5  .  137 5. kN F_V R_VE R_VE



 0 137 5. 137 5 72.  125 50 1   247 kN

Corpo ABC, ponto C:

87 5. cos45º  87 5. sen45º  6187. kN 125cos45º125 sen45º 88 39. kN Corpo CD, ponto C:

37 5. cos  30 kN e 37 5. sen   22 5. kN

125cos  100 kN e 125s en  75 kN

A B C D E F G _H 125 kN 137.5 kN 247 kN 151 kN 137.5 kN

(32)

Diagrama de esforços axiais (kN) -150.26 -125 -71 -122.5 -137.5 -151

-45 -26.52 87.5 -71 -151 -109.5 137.5 137.5 45 137.5

-305 112.5 -78.5 -137.5 -109.5 28 -167.5 112.5 112.5 28 -305

(33)

6) E F 30 G C 120 90 42.43 60 A B 90 D 90 120 60 42.43 90 120 150 120 150 375 63.64 63.64 84.85 84.85 C C D 10 120 180 70 70 120 60cos45º  60sen45º 42 43. kN Equações de equilíbrio: F_HABC F



 0 ₁ 304 120 kN F_HCD F F



 0 ₃  ₁ 120 kN M_DCD F F



 04 ₂ 260 4120 ₂ 90 kN F_VABC R_VA F



 0  ₂  90 kN M_CABC R_MA R_MA



 0 1590304   2 375 2 . kNm

(34)

F_VCD F



 0 ₄ 9060150 kN M_DDEFG R_VE R_VE



 0 3  1 150 4 5 70 103   2 70 2 . kN F_V R_VE R_VE



 0 70 9060 10 3 70    180 kN Corpo CD, ponto C: 90cos45º  90sen45º 63 64. kN 120cos45º 120sen45º 84 85. kN

A B C D E G 375 kNm 90 kN 70 kN 120 kN 180 kN F

(35)

Diagrama de esforços axiais (kN) -120 90 -190.92 -148.49 -120

21.21 -150 30 -21.21 -120 70 -90

375 -150 -105 135 135 60

(36)

7)

114 kNm 15 kN 151 kN 24 kN A B C D E F _G

-60

36 -60

-24 -20

-5

60 -20 20 36 -52 -15 99 20 -20 5

(37)

Diagrama de momentos flectores (kNm) -208 114 20 54 -10 50 -90 144 8)

46 kNm 70 kN 400 kN 194.5 kN 47.5 kN A B C D E F G H I J

-194.5

-153.5

200 -70

-82.5 100

(38)

-300 65 290 15 80 46 260 320 290 260 95 -200 -46 10 128 200 -82.5 110 -12 70 -47.5 -130 -160

(39)

9)

C A D E 336 kN B 309 kNm 245 kN

392 490

294

(40)

Diagrama de esforços transversos (kN) 150 142 245 144 42

216

309 426

(41)

10) E A B D C F 120 kN 195 kN 45 kN

75 120 45 125 195 125

(42)

Diagrama de esforços transversos (kN) 60 120 65 132 25 120 120 75 93

120 60 252 10.42 11) R_VA  434 kN  ; R_HF 60 kN  ; R_VF  25 4. kN  ; R_MF  66 2. kNm

(43)

12) R_HA 117 kN  ; R_VA 208 kN  ; R_VB 66 kN  R_HE 27 kN  ; R_ME 40 kNm 13) R_HA  27 5. kN  ; R_VA 100 kN  ; R_HB 17 5. kN  R_VB  85 kN  ; R_VC 30 kN  14) R_HA  58 kN  ; R_VA 43 5. kN  ; R_HB  81 kN  R_VB 76 5. kN  ; R_MB  351 kNm ; R_HI 28 kN  15) R_HA 120 kN  ; R_VA  285 kN  ; R_VB  5 kN  16) R_HA  60 kN  ; R_VA 340 kN  ; R_HB 115 kN  R_VB 220 kN  ; R_MB  690 kNm 17) RHD  60 kN  ; RVD  40 kN  ; RHI  0 ; RVI  60 kN  18) RVA 179 kN  ; RHE 13 kN  ; RVE  83 kN  ; RHI 128 kN  19) kNm 67 R ; kN 75 . 12 R_VA   _MA  ; R_VE  68 kN     83kN ;R 137.75kN R_HJ _VJ 20) R_HA 45 kN  ; R_VA  22 kN  ; R_HB  27 kN  ; R_VB  48 kN 