fct - UNL ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I 10 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I PROGRAMA

(1)

Válter Lúcio Maio 2006

10 10 –

–

ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

PROGRAMA

1.Introdução ao betão armado 2.Bases de Projecto e Acções

3.Propriedades dos materiais: betão e aço 4.Durabilidade

5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6.Estado limite último de resistência à flexão simples

7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições construtivas relativas a vigas

9.Estados limite de fendilhação

10.

10. Estados limite de deformação

Estados limite de deformação

11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada

12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção

(2)

Válter Lúcio Maio 2006 ÍNDICE ÍNDICE

1. Controlo da deformação 2. Deformação elástica

3. Efeito da fendilhação do betão 4. Efeito da fluência do betão 5. Efeito da retracção do betão

6. Cálculo da deformação em vigas de betão armado a. Cálculo por integração numérica

b. Cálculo aproximado

c. Momentos de Inércia em secção fendilhada e não fendilhada

7. Regras práticas para dispensa do cálculo

A deformação de um elemento de betão armado sujeito a esforços de

tracção ou flexão devem ter em consideração, para além das características de deformabilidade do betão e a existência de armaduras longitudinais, a

fendilhação do betão e o comportamento diferido do betão, em resultado da

(3)

Válter Lúcio Maio 2006 1.

1. CONTROLO DA DEFORMAÇÃOCONTROLO DA DEFORMAÇÃO

A deformação deve ser controlada para não comprometer o funcionamento e o aspecto da estrutura.

A deformação não deve condicionar o funcionamento de equipamentos ou máquinas, nem deve proporcionar a acumulação de águas pluviais ou outras.

A deformação da estrutura não deve pôr em causa a integridade de elementos não estruturais, tais como: paredes divisórias, envidraçados, revestimentos ou outros acabamentos.

LIMITES PARA A DEFORMAÇÃO

Em edifícios correntes, a flecha de uma viga em relação aos seus apoios, determinadas para a combinação de acções quase permanente,

não deve exceder

a

_max

= ℓ/250

. Para reduzir a flecha pode ser

utilizada uma contra-flecha, a qual também não deve exceder ℓ/250.

Para não danificar os elementos não estruturais susceptíveis de serem

danificados, a deformação que ocorre depois da construção desses elementos deve ser limitada a

a

_max

= ℓ/500

, para a combinação de acções quase permanente.

a

(4)

(5)

Válter Lúcio Maio 2006 2. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA 2. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA M M r ε₁ ε₂ a r – raio de curvatura.

ε

₁ e

ε

₂ – extensões na fibra superior e inferior da viga, respectivamente. 1/r – curvatura. ε - ε -y₁ y₂ h (PTV) PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

M

dx

r

1 a

=

∫

h

r

1 ε

₂

−

ε

₁

=

h

y

I

E

M

₂

−

₁

=

I

E

M

=

E

1 1

σ

=

ε

I

y

M

E

1

₁

=

E

2 2

σ

=

ε

I

y

M

E

1

₂

=

1

+

M

+

M

(6)

3. EFEITO DA FENDILHAÇÃO DO BETÃOEFEITO DA FENDILHAÇÃO DO BETÃO

N

ℓ

Tirante

σ σ_cI σ_sI = f_ctm σ_sII= N / A_s

Em secção não fendilhada:

N Δℓ

N

_cr

= f

_ctm

A

_ct N_cr SE CÇ ÃO NÃ O F EN DIL HA DA -I N_R SECÇ ÃO FE NDILH ADA -II

Δℓ

_I

=

ε

_sI

x ℓ =

ε

_cI

x ℓ

Em secção fendilhada:

Δℓ

_II

=

ε

_sII

x ℓ

ε ε_cI= σ_cI/E_c ε_sII= σ_sII / E_s ε_sI= σ_sI/E_s (1-ζ)Δℓ_I ζ ΔℓII

Δℓ

_I

≤

Δℓ ≤ Δℓ

_II Seja:

ℓ

_I

= (1-

ζ) ℓ

e

ℓ

_II

=

ζ ℓ

Então:

Δℓ = ζ Δℓ

_II

+ (1-

ζ) Δℓ

_I

N

Zona fendilhada Zona não fendilhada ℓ_II = ζℓ ℓ_I = (1-ζ) ℓ Δℓ_I Δℓ_II Δℓ

(7)

N

ℓ

Tirante

N Δℓ N_cr SE CÇ ÃO NÃ O F EN DIL HA DA -N_R SECÇ ÃO FE NDILH ADA -II (1-ζ)Δℓ_I ζ ΔℓII

A variação de comprimento do tirante é dada pela soma das variações de comprimento de cada uma das zonas:

Δℓ = ζΔℓ

_II

+ (1-

ζ) Δℓ

_I

ε

_m

=

Δℓ/ℓ = ζ ε

_sII

+ (1-

ζ) ε

_sI

N

Zona fendilhada Zona não fendilhada ℓ_II = ζℓ ℓ_I = (1-ζ) ℓ Δℓ_I Δℓ_II Δℓ

A zona não fendilhada (1-ζ)ℓ corresponde ao comprimento que tem um

comportamento igual ao da secção não fendilhada.

A zona fendilhada ζ ℓ corresponde ao

comprimento que tem um comportamento igual ao da secção fendilhada.

Como

Δℓ

_I

=

ε

_sI

x ℓ

e

Δℓ

_II

=

ε

_sII

x ℓ

então:

ε

ε_cI= σ_cI/E_c

ε_sII= σ_sII / E_s

(8)

ζ designa-se por coeficiente de distribuição, corresponde à percentagem do elemento de betão armado que tem um comportamento semelhante ao de uma

secção fendilhada: ₂ s sr

1 _⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

σ

⋅

β

−

=

ζ

ζ = 0 se a zona em análise não possui secções fendilhadas, isto é, se N ≤ N_cr no

caso de tracção pura, ou se M ≤ M_cr no caso de flexão simples.

β é um coeficiente que tem em conta a influência da duração, ou da sua repetição, da acção na extensão média e toma o valor:

β = 1.0 para um único carregamento de curta duração;

β = 0.5 para cargas repetidas ou de longa duração.

σ_s é a tensão na armadura traccionada calculada para a secção fendilhada e para a

combinação quase permanente de acções;

σ_sr é a tensão na armadura traccionada calculada para a secção fendilhada e para o efeito das acções que provocam a fendilhação, isto é, para N_cr no caso de

tracção pura, ou M_cr no caso de flexão simples.

2 cr

M

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

2 cr

N

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

Devido à linearidade entre as tensões

σ_se σ_sr e os esforços N ou M, ζ pode ser apresentado nas formas:

(9)

EM VIGAS

Podemos generalizar o modelo de comportamento anterior para a flexão em vigas, uma vez que a curvatura por flexão também pode ser traduzida em termos de deformações no aço e no betão:

Zona não fendilhada ℓ_II = ζℓ ℓ_I = (1-ζ) ℓ Zona fendilhada M M x

ℓ

M M d r 1 ₌ ε_s − ε_c I E M = M 1/r M_cr SE CÇ ÃO NÃ O F EN DIL HA DA -I M_R SECÇ ÃO FE NDILH ADA -II 1/r_I 1/r_II 1/r_m

Então, na zona não fendilhada (zona I): I I E I M r 1 c = e na zona fendilhada (zona II):

M

_cr

= f

_ctm

w

_c II II E I M r 1 c =

(10)

dx

M

r

1 a

m

∫

=

A flecha numa viga pode então ser determinada por:

Nas zonas não fendilhadas (M < M_cr) ζ=0.

1

+

M

+

M

_M cr M ≥ M_cr

Zona não fendilhada: M < M_cr Zona fendilhada: M ≥ M_cr

1/r

_m

= [

ζ 1/I

_II

+ (1-

ζ) 1/I

_I

] M/E

_c

1/r

_m

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I

Esta integração pode ser efectuada usando métodos numéricos.

I I E I M r 1 c = II II E I M r 1 c = com e

(11)

4. EFEITO DA FLUÊNCIA DO BETÃOEFEITO DA FLUÊNCIA DO BETÃO

Fluência (creep em inglês) é a deformação do betão ao logo do tempo sob carga constante. ε_c t t₀ 0 ε_c0 ε_c_∞ ε_c,t t ε_cc

ε

_c,t

=

ε

_c0

+

ε

_cc

ε

_cc(t,t₀)

=

ϕ

(t,t₀) x

ε

_c0

O betão, sujeito a uma tensão no instante t₀ sofre uma deformação instantânea ε_c0, a qual aumenta com o tempo, atingindo o valor ε_c,tno instante t. ε_cc é a deformação por fluência entre t₀ e t.

A tempo infinito t_∞ a deformação toma o valor ε_c_∞.

O coeficiente de fluência ϕ(t,t₀) é a relação entre a deformação por fluência e a deformação instantânea: ϕ(t,t₀) = ε_cc/ ε_c0

ε

_cc(t,t₀)

=

ϕ

(t,t₀) x

σ

_c

/E

_c

(12)

ε

_c,t

=

ε

_c0

+

ϕ

(t,t₀) x

ε

_c0

ε

_c,t

= (1+

ϕ

(t,t₀))

ε

_c0

ε

_c,t

= (1+

ϕ

(t,t₀))

σ

_c

/E

_c

ε

_c,t

₌

σ

_c

_{/ [E}

_c

_/(1+

ϕ

_(t,t₀_))]

E

_c,eff

= E

_c

/(1+

ϕ

(∞,t₀))

Das expressões anteriores:

A fluência depende, principalmente:

•da idade do betão t₀ em que é aplicado a tensão,

•da idade do betão t em que é medida a deformação, •da geometria da secção (h₀),

•da humidade relativa RH,

•da classe de resistência do cimento

Designa-se por módulo de elasticidade efectivo o valor do módulo de elasticidade que tem em consideração a deformação total por fluência do betão:

Nas expressões anteriores, usadas para determinação da deformação, deve ser usado o módulo de elasticidade efectivo:

Igualmente, na quantificação do coeficiente de homogeneização para

determinação das características geométricas das secções de betão armado, deve ser usado o módulo de elasticidade efectivo: α_e = E_s / E_c,eff

I I E I M r 1 eff , c = II II E I M r 1 eff , c = e

(13)

Válter Lúcio Maio 2006 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 100 50 30 1 2 3 5 10 20 ϕ(∞, t0) S N _R 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C90/105 C80/95 h0(mm) t0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 100 50 30 1 2 3 5 10 20 ϕ(∞, t ) S N _R C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C55/67 C70/85 C90/105 C80/95 C45/55 C40/50 C60/75 C50/60 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 h0 (mm) 1 2 ₃ 4 5 ϕ(∞,t₀) é o valor final do coeficiente de fluência. t₀ é a data do carregamento em dias. h₀ é a espessura equivalente da secção = 2A_c/u, onde A_c é a área da secção transversal de betão e u é o perímetro da parte da parte da secção exposta à secagem. N, R e S são diferentes classes de resistência do cimento (ver EC2 3.1.2(6)).

Ambiente exterior – RH = 80%

COEFICIENTE DE FLUÊNCIA

(14)

5. EFEITO DA RETRACÇÃO DO BETÃOEFEITO DA RETRACÇÃO DO BETÃO

A retracção (shrinkage em inglês) do betão consiste na redução gradual de volume do elemento de betão, devido à secagem, auto-dessecação e carbonatação da massa de betão endurecida.

A deformação por retracção é independente do estado de tensão.

A retracção por auto-dessecação, ou retracção autogénea, está associada à hidratação do cimento, desenvolvendo-se principalmente nos primeiros dias da cura do betão.

A retracção por secagem do betão evolui lentamente e resulta da migração da água através do betão endurecido. É a parcela mais importante na deformação por retracção do betão. A retracção por carbonatação corresponde à reacção entre o dióxido de carbono do ar com a pasta de cimento hidratado ao longo do tempo.

A retracção plástica do betão ocorre na fase de betão fresco, não sendo de considerar para efeito da deformação dos elementos de betão, e pode ser controlada através de uma cura, compactação e composição do betão convenientes.

O valor da extensão por retracção ε_cs pode ser dado pela soma das duas principais parcelas: a retracção por secagem ε_cd e a retracção autogénea ε_ca.

(15)

ε

_cd

(

∞) = k

_h

ε

_cd,0

O valor final da retracção por secagem é dado por:

ε_cd,0 designa-se por retracção livre por secagem e é função da humidade relativa do ambiente.

ε_sd.0 x103 0,00 0,13 0,24 0,38 0,46 0,48 C40/50 0,00 0,17 0,30 0,49 0,58 0,62 C20/25 100 90 80 60 40 20

Humidade Relativa (em 0_/ 0)

Betão

k_h depende da espessura equivalente h₀. 0,851,0

0,75 0,70 100 200 300 ≥ 500 k_h h₀

ε

_ca

(

∞) = 2.5 (f

_ck

– 10) 10

-6

(16)

DEFORMAÇÃO POR RETRACÇÃO

Considere-se uma viga de betão sujeita a uma deformação por retracção ε_cs.

Se não houver armadura, a retracção é uniforme na altura da viga. Havendo armadura, esta reagiria com

uma força igual à força de compressão que a retracção do betão lhe impõe:

N = - ε_cs E_s A_s

Surgindo no betão, por equilíbrio, uma força e um momento: N = ε_cs E_s A_s ; M = ε_cs E_s A_s (d-x)

ε

_cs

N

d

N

x

M

+

=

I E M r 1 c cs =

Sendo a curvatura dada por:

(

)

I E x d A E c s s cs − ε = Ou seja: I S r 1 e cs cs α ε =

onde α_e = E_s/E_c,eff; S = A_s (d-x) é o momento estático da armadura em relação à linha neutra e I é o momento de inércia da secção fendilhada, ou não fendilhada.

(17)

6. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO EM VIGAS DE BETÃO ARMADOCÁLCULO DA DEFORMAÇÃO EM VIGAS DE BETÃO ARMADO

dx

M

r

1 a

m

∫

=

Nas zonas não fendilhadas (M < M_cr) ζ=0.

1/r

_m

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I I I E I M r 1 eff , c = II II E I M r 1 eff , c =

Onde a curvatura média é dada por:

e

Resumindo, o cálculo da flecha numa viga pode ser obtida usando o princípio dos trabalhos virtuais:

Com: I S r 1 e cs cs α ε =

Às curvaturas anteriores pode ser adicionada a curvatura devido à retracção do betão:

Onde E_c,eff tem em conta a fluência do betão A fluência do betão deve também ser considerada na determinação de I_I e I_II,

respectivamente os momentos de inércia da secção não fendilhada e da secção fendilhada, onde deve ser usado o coeficiente de homogeneização efectivo

α_e = E_s/E_c,eff 2 cr

M

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

ζ é o coef. de distribuição:

(18)

Designa-se por deformação ou flecha instantâneaflecha instantânea a que não tem em consideração

os efeitos diferidos do comportamento do betão: fluência e retracção. Neste caso t=t₀, E_c,eff = E_cm e:

I I E I M r 1 cm = II II E I M r 1 cm =

dx

M

r

1 a

0 , m 0

=

∫

1/r

_m,0

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I

Designa-se por deformação ou flecha a longo prazoflecha a longo prazo, ou valor máximo, a que tem

em consideração os valores máximos dos efeitos diferidos. Neste caso t = t_∞, ϕ = ϕ (∞, t₀), E_c,eff = E_c/(1+ϕ), ε_cs = ε_cs(∞) e:

dx

M

r

1 a

, m

∫

_∞ ∞

=

1/r

_m,_∞

=

ζ 1/r

_II

+ (1-

ζ) 1/r

_I

(19)

a. Cálculo por integração numérica

A integração anterior pode ser calculada usando um método numérico:

• considere-se a viga representada na figura, a

qual pode ser dividida num determinado número de secções equidistantes. Quanto maior for o número de secções consideradas menor será o erro do resultado.

• determina-se a carga para a combinação

quase permanente, M_cr, α_eeε_cs;

• a integração numérica pode ser efectuada

usando, por exemplo, o método de Simpson 1/r_m 1/r_II 5 4 3 2 1 f 1/r_I ζ S I_II I_I M As Secção M _r Mdx f dx 1 a m

∫

= =

1

+

M

+

M

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Δx ∫ f dx = Δx/3 {f₁ + + 4 (f₂+ f₄+ f₆+ …) + + 2 (f₃+ f₅+ f₇+ …) + f_n}

• para cada secção determinam-se: A_s, M, M, I_I,

(20)

(21)

b. Cálculo aproximado

Este método aproximado considera apenas as características de certas secções que se consideram determinantes no cálculo da flecha.

Essas Secções DeterminantesSecções Determinantes no cálculo da flecha correspondem às secções de

máximos momentos, as quais coincidem, em regra, com as secções de máxima curvatura de flexão.

+

M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

D M_D

-M

VIGA EM CONSOLA D M_D +

M

VIGA ENCASTRADA APOIADA

D₁ M_D,1 D₂ M_D,2 -+

M

VIGA BI-ENCASTRADA D₁ M_D,1 D₂ M_D,2 - -M_D,2 D₂

Nos casos em apenas existe uma Secção DeterminanteSecção Determinante

considera-se as características dessa secção.

Nos casos em que existem duas ou mais

Secções Determinantes

Secções Determinantes,

considera-se a média das flechas calculadas com base em cada uma das

Secções determinantes.

(22)

• FLECHA INSTANTÂNEA (t=0)

a

₀

=

ζ

a

_II0

+ (1-

ζ)

a

_I0

a

_I0

= a

_c

/ (I

_I

/I

_c

)

e

a

_II0

= a

_c

/ (I

_II

/I

_c

)

I_I e I_II determinados com ϕ=0.

a_I0 é a flecha instantânea, determinada considerando as características da Secção Determinante não fendilhada.

a_II0 é a flecha instantânea, determinada considerando as características da Secção Determinante fendilhada.

Seja a_c a deformação elástica (*)_{, determinada com base nas características}

da secção de betão ( I_c= bh3_{/12 , E}

cm), desprezando a presença das armaduras,

a fendilhação e a fluência do betão.

É, então, fácil determinar a_I0e a_II0fazendo:

(*) _{para uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída, por}

exemplo: a_c = (5/384) p l4 _{/ E}

cmIc

ζ será determinado na Secção Determinante, com o respectivo momento flector M determinado para a combinação quase

permanente de acções e o momento de fendilhação M_cr, e β = 1.0.

2 cr

M

1 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

β

−

=

ζ

(23)

• FLECHA A LONGO PRAZO (t=∞)

a

∞

=

ζ

a

II∞

+ (1-

ζ)

a

I∞

a

_I_∞

= [(1+

ϕ) a

_c

/1.05] / (I

_I

/I

_c

)

e

a

_II_∞

= [(1+

ϕ) a

_c

/1.05] / (I

_II

/I

_c

)

I_I e I_II determinados com ϕ = ϕ(∞,t₀)

a_I_∞ é a flecha a longo prazo, determinada considerando as características da Secção Determinante não fendilhada.

a_II_∞ é a flecha a longo prazo, determinada considerando as características da Secção Determinante fendilhada.

É fácil determinar a_I_∞ e a_II_∞ com base em a_c, modificado para ter em conta E_c,eff:

(24)

CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO NÂO FENDILHADA

(

I

)

SECÇÃO RECTANGULAR

A secção é homogeneizada com α_e = E_s/ E_c,eff

onde E_c,eff= 1.05 E_cm/(1+ϕ)

e ϕ é o coeficiente de fluência.

No caso de acções instantâneas E_c,eff= E_cm

Posição da linha neutra:

(

_s _s

)

s s 2

'

A

bh

'

A

a

A

d

2 bh

x

+

α

+

α

⋅

+

α

⋅

+

=

Com ρ = A_s/bd , ρ’ = A’_s/bd: Para β = 0 : d x h A_s b L N A’_s a

(

+

β

)

αρ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

_β

αρ

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

1 d

h

d

a

1 d

h

2

1 d

x

k

2 αρ + αρ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = d h d h 2 1 d x k 2

e com β = A’_s/A_s = ρ’/ρ vem:

(

'

)

bd

bh

'

a

bd

2 bh

x

2 2

ρ

+

ρ

α

+

αρ

⋅

+

αρ

+

=

(25)

Momento de Inércia em secção não fendilhada:

SECÇÃO RECTANGULAR d x h A’_s A_s b a L N

I

_I

= bh

3

_{/12 + bh (x-h/2)}

2

₊

α A

s

(d-x)

2

+

α A’

s

(x-a)

2

I

_I

= bh

3

_{/12 + bh (x-h/2)}

2

₊

αρ bd

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_]

I

_I

= bh

3

_{/12 { 1 + 3(2x/h-1)}

2

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

I

_I

= I

_c

{ 1 + 3(2x/h-1)

2

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

Com

I

_c

= bh

3

_/12

Cálculo de tensões:

x

I

M

I c

=

−

σ

−

(

x

a

)

I

M

'

I s

=

−

α

−

σ

(

d

x

)

I

M

I s

=

α

−

σ

ε_c Com

ρ = A

_s

/bd e

β = A’

_s

/ A

_s ε’_s ε_s

)

x

h

(

I

M

I c

=

−

σ

+ σ_s σ’_s σ_c -σ_c+

(26)

CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO FENDILHADA

(

II

)

SECÇÃO RECTANGULAR A secção é homogeneizada com α_e = E_s/ E_c,eff

onde E_c,eff= 1.05 E_cm/(1+ϕ)

e ϕ é o coeficiente de fluência.

No caso de acções instantâneas E_c,eff= E_cm

Posição da linha neutra:

(

_s _s

)

s s 2

'

A

bx

'

A

a

A

d

2 bx

x

+

α

+

α

⋅

+

α

⋅

+

=

d x h A’_s A_s b a L N

bx

2

₊

α (A

s

+ A’

s

)x - bx

2

/2 -

α (dA

s

+ aA’

s

) = 0

0.5 x

2

_{+ x}

α (ρ + ρ’) d - α (ρ d + ρ’a) d = 0

Com ρ = A_s/bd e ρ’ = A’_s/bd ; fazendo β = A’_s/A_s = ρ’/ρ vem:

0.5 (x/d)

2

_{+ x/d}

αρ(1+β) - αρ(1 + β a/d) = 0

(

)

(

)

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

β

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

_β

αρ

+

β

+

αρ

=

1 d

a

1

2

1 d

x

k

2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ αρ + αρ = = 1 2 1 d x k Para β = 0 : ou:

(27)

Válter Lúcio Maio 2006 s s

A

z

M

=

σ

Momento de Inércia da secção fendilhada:

SECÇÃO RECTANGULAR d x h A’_s A_s b a L N

I

_II

= bx

3

_{/3 +}

α A

s

(d-x)

2

+

α A’

s

(x-a)

2

I

_II

= bx

3

_{/3 +}

αρ bd

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_]

I

_II

= bh

3

_{/12 { 4(x/h)}

3

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

I

_II

= I

_c

{ 4(x/h)

3

_{+ 12}

αρ (d/h)

3

[(1-x/d)

2

₊

β (x/d-a/d)

2

_{] }}

Com

I

_c

= bh

3

_/12

Cálculo de tensões:

x

I

M

II c

=

−

σ

(

x

a

)

I

M

'

II s

=

−

α

−

σ

(

d

x

)

I

M

II s

=

α

−

σ

Ou: σ_s σ’_s σ_c ε_c ε’_s ε_s σ_c F_s Fc+F’_s z≈ 0.9d Com

ρ = A

_s

/bd e

β = A’

_s

/ A

_s Com ₍ ₎ x d A I z s II − α =

(28)

Válter Lúcio Maio 2006 3.37 4.00 3.09 3.60 2.75 3.14 2.33 2.62 1.82 2.00 0.50 3.06 3.70 2.82 3.34 2.52 2.93 2.17 2.47 1.73 1.93 0.45 2.75 3.40 2.54 3.08 2.29 2.73 1.99 2.32 1.63 1.86 0.40 2.44 3.10 2.26 2.82 2.06 2.51 1.81 2.17 1.52 1.78 0.35 2.12 2.80 1.98 2.56 1.82 2.30 1.62 2.01 1.39 1.69 0.30 1.80 2.50 1.70 2.30 1.57 2.09 1.42 1.86 1.25 1.60 0.25 1.48 2.20 1.40 2.04 1.31 1.88 1.21 1.70 1.09 1.50 0.20 1.15 1.90 1.10 1.78 1.04 1.66 0.98 1.53 0.90 1.39 0.15 0.80 1.60 0.78 1.52 0.75 1.44 0.71 1.36 0.68 1.27 0.10 0.44 1.30 0.43 1.26 0.42 1.22 0.41 1.18 0.40 1.14 0.05 0.19 1.12 0.19 1.10 0.19 1.09 0.19 1.07 0.18 1.06 0.02 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c αρ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 β 1.00 d/h= 1.12 1.97 1.08 1.84 1.02 1.70 0.96 1.53 0.88 1.34 0.45 1.02 1.86 0.99 1.75 0.94 1.62 0.89 1.48 0.83 1.31 0.40 0.92 1.76 0.89 1.66 0.86 1.55 0.82 1.42 0.78 1.28 0.35 0.82 1.65 0.80 1.56 0.77 1.47 0.75 1.37 0.71 1.25 0.30 0.71 1.54 0.70 1.47 0.68 1.39 0.66 1.31 0.64 1.22 0.25 0.60 1.43 0.59 1.38 0.58 1.32 0.57 1.25 0.56 1.18 0.20 0.48 1.32 0.48 1.28 0.47 1.24 0.47 1.19 0.46 1.14 0.15 0.35 1.22 0.35 1.19 0.35 1.16 0.35 1.13 0.35 1.10 0.10 0.20 1.11 0.20 1.09 0.20 1.08 0.20 1.07 0.20 1.05 0.05 0.10 1.04 0.09 1.04 0.09 1.03 0.09 1.03 0.09 1.02 0.02 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c αρ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 β 0.80 d/h= MOMENTOS DE INÉRCIA EM SECÇÕES RECTANGULARES DE BETÃO ARMADO

em secção não fendilhada: I_I= (I_I/I_c) bh3_/12

em secção fendilhada: I_II= (I_II/I_c) bh3_/12 d h A’_s A_s b a x ρ = As/bd β = A’_s/ A_s α = E_s/ E_c,eff E_c,eff= 1.05 E_cm/(1+ϕ) a= h-d ρ = A_s/bd β = A’_s/ A_s 1.91 2.73 1.79 2.50 1.65 2.24 1.47 1.94 1.26 1.60 0.45 1.72 2.54 1.62 2.33 1.50 2.10 1.36 1.85 1.19 1.55 0.40 1.54 2.34 1.46 2.17 1.36 1.97 1.24 1.75 1.10 1.50 0.35 1.35 2.15 1.28 2.00 1.21 1.83 1.12 1.65 1.01 1.44 0.30 1.16 1.96 1.11 1.83 1.05 1.70 0.99 1.55 0.91 1.38 0.25 0.96 1.77 0.93 1.67 0.89 1.56 0.84 1.45 0.79 1.32 0.20 0.75 1.58 0.73 1.50 0.71 1.42 0.69 1.34 0.66 1.25 0.15 0.54 1.38 0.53 1.33 0.52 1.28 0.51 1.23 0.49 1.17 0.10 0.30 1.19 0.30 1.17 0.30 1.14 0.29 1.12 0.29 1.09 0.05 0.14 1.08 0.14 1.07 0.14 1.06 0.13 1.05 0.13 1.04 0.02 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c I_II/I_c I_I/I_c αρ 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 β 0.90 d/h=

(29)

FLECHAS ELÁSTICAS EM VIGAS

p ℓ a p ℓ a p ℓ a a = 5.0 a_A a = 2.5 a_A a = 3.2 a_A M ℓ a a = (1/16) Mℓ2_/EI ℓ a P a = 2.08 a_A a = 1.17 a_A a = 1.4 a_A a = 0.45 a_C p ℓ a p ℓ a p ℓ a p ℓ a ℓ a P a = 0.92 a_A a = 0.50 a_A a = 0.70 a_A a = 0.25 a_C p ℓ a p ℓ ℓ P a = 0.73 a_B a = 0.46 a_B a = (1/3) Pℓ3_/EI p ℓ p ℓ p ℓ p ℓ ℓ a = 0.27 a_B p ℓ a a a a a a a a P a_A= (1/384) pℓ4_/EI a_B= (1/8) pℓ4_/EI a_C= (1/48) Pℓ3_/EI

(30)

FLECHA A CURTO PRAZO (t=0) EXEMPLO DE APLICA

EXEMPLO DE APLICAÇÇÃOÃO

+

M_D

M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

p_{qp = 30kN/m}

ℓ= 5.0mD

Viga: bxh = 0.25x0.45m d=0.40m d/h≈0.9

Armadura: A500NR β = 0

3φ20 → A_s= 9.42cm2 ρ = 0.94%

Secção determinante a meio vão

Betão: C20/25 → E_cm= 30GPa → f_ctm= 2.2MPa M_D= p_qp ℓ2 _{/ 8 = 93.8kNm} _I c= bh3/12 = 1.9x10-3 Flecha elástica: a_c = (5/384) pℓ4_/E cmIc= (5/384) 30x5.04/ (30x106x1.9x10-3) = 4.3mm α= E_s/ E_cm = 200/30 = 6.7 αρ= 6.7x0.94% = 0.063 das tabelas: I_I/ I_c = 1.12 I_II/ I_c = 0.35 Momento de fendilhação: M_cr = f_ctm bh2_{/6 = 2200 x 0.25x0.45}2_{/6 = 18.6kNm}

M_D > M_cr → a viga está fendilhada na zona da secção determinante

ζ= 1- β (M_cr/M_D)2 _{= 1 – 1.0 (18.6 / 93.8)}2 _{= 0.96}

a₀ = ζ a_II0 + (1- ζ) a_I0 = 0.96 x 12.3 + (1-0.96) x 3.8 = 12.0mm

a_I0 = a_c / (I_I/I_c) = 4.3mm / 1.12 = 3.8mm e a_II0 = a_c / (I_II/_Ic) = 4.3mm / 0.35 = 12.3mm

(31)

Coef. de fluência ϕ=2.5

FLECHA A LONGO PRAZO (t=∞)

α= E_s/ E_c,eff = 200/9 = 22.2 αρ= 22.2x0.94% = 0.21 das tabelas: I_I/ I_c = 1.33 I_II/ I_c = 0.81 ζ= 1- β (M_cr/M_D)2 _{= 1 – 0.5 (18.6 / 93.8)}2 _{= 0.98} a₀ = ζ a_II0 + (1- ζ) a_I0 = 0.98 x 18.6 + (1-0.98) x 11.3 = 18.5mm a_I_∞ = (1+ϕ) a_c / (I_I/I_c) = (1+2.5) x 4.3mm / 1.33 = 11.3mm a_II_∞ = (1+ϕ) a_c / (I_II/_Ic) = (1+2.5) x 4.3mm / 0.81 = 18.6mm <

ℓ

/250 = 5000/250 = 20mm OK! E_c,eff = 1.05 E_cm/(1+ϕ) = 1.05x30 / (1+2.5) = 9.0GPa

(32)

7. REGRAS PRÁTICAS PARA DISPENSA DO CÁLCULOREGRAS PRÁTICAS PARA DISPENSA DO CÁLCULO

Nos casos correntes, podem ser usadas regras simplificadasregras simplificadas de limitação da rela

relaçção vão / altura ão vão / altura úútiltil da viga para evitar flechas elevadas.

O cálculo das flechas só será necessário quando não forem respeitadas estas regras ou quando a situação em análise não se enquadrar nos pressupostos definidos para as regras simplificadas.

Considere-se que para a combinacombinaçção quase permanenteão quase permanente de acções M_qp= M_Ed/1.4

Então: σ_s = f_yd/ 1.4 = 435 / 1.4 = 310MPa para o A500

a_∞ = k₁ p_qpℓ4_{/ E}

c,effIm

Para uma viga, em geral,

Onde I_m é o valor médio do momento de inércia da secção transversal da viga, tendo em conta o momento de inércia em secção não fendilhada I_I, o momento de inércia em secção fendilhada I_II e o coeficiente de distribuição ζ.

1/I_m = ζ 1/I_II + (1-ζ) 1/I_I

Tomando agora σ_s = α_eM_qp (d-x) / I_II com M_qp = p_qpℓ2_{/ k} 2

ou seja σ_s = α_e p_qp ℓ2 _{(d-x) / (k}

(33)

em a_∞ = k₁ p_qpℓ4_{/ E}

c,effIm = k1 k2 ℓ2 σs,qp(III /Im) / [Ec,eff αe (d-x)]

com E_c,eff α_e = E_c,eff(E_s / E_c,eff ) = E_s

Para uma viga simplesmente apoiada k₁ = 5/384 e k₂ = 8

considere-se a_∞/ℓ = 1/250 e, como valor aproximado: I_m/I_II= 1.2

Substituindo na expressão anterior:

ℓ/d = (1/250) (0.65) (1.2) / [(40/384) (310 MPa / 200 000 MPa)] = 19.3

donde a_∞/ℓ = k₁ k₂ (ℓ/d) (σ_s,qp / E_s) (I_II/I_m) / (1-x/d)

ou seja, a relação entre o vão e a altura útil deve respeitar:

ℓ/d = (a

_∞

/ℓ) (1-x/d) (I

_m

/I

_II

) / [k

₁

k

₂

(

σ

_s,qp

/ E

_s

) ]

Como exemplo, tome-se ρ = 0.5% e α_e = 20 para determinar (1-x/d) = 0.65

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ρ α + ρ α = 1 2 1 d x e e

isto é, para ℓ/d ≤ 19.3 a flecha da viga é inferior a ℓ/250 e verifica a segurança. Aplicando este princípio a outras situações obtém-se a tabela seguinte.

Substituindo p_qp ℓ2 _{= k}

(34)

24 17

Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão)

20 14

Viga simplesmente apoiada,

laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções

26 18

Vão extremo de uma viga contínua

ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior

30 20

Vão interior de uma viga

ou de uma laje armada numa ou em duas direcções

• Se σ_s≠ 310MPa , ou no caso de aço A400, multiplicar os valores anteriores por 500 / (f_ykA_s,req/A_s,prov)

• No caso de vigas em T com b ≥ 3 b_wos valores acima devem ser multiplicados por 0.8.

• Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível utilizar

elementos mais esbeltos.

• Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.

• Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

8 6 Consola Betão levemente solicitado ρ = 0,5% Betão fortemente solicitado ρ = 1,5% Sistema estrutural VALORES MÁXIMOS DE

VALORES MÁXIMOS DE ℓℓ/d/d EM VIGAS E LAJES QUE EM VIGAS E LAJES QUE GARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMA

GARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÇÃO ÃO

SEM NECESSIDADE DE C

(35)

PROGRAMA

1. Introdução ao betão armado 2. Bases de Projecto e Acções

3. Propriedades dos materiais: betão e aço 4. Durabilidade

5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6. Estado limite último de resistência à flexão simples

7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8. Disposições construtivas relativas a vigas

9. Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação

11.Estados limites últimos de resistência à flexão composta com

esforço normal e à flexão desviada

12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção