Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa nº 4
O Círculo Trigonométrico
1. Num ecran de radar o raio OP faz 150° com
O
E
•
e a distância de P à origem representa 2,8 km.
1.1. Quais são, neste referencial, as coordenadas do obstáculo
P?
1.2. Se o obstáculo Q estivesse sobre a bissectriz do 3.°
quadrante, o raio «detector» teria descrito 225° de sde a posição inicial
O
E
•
. Se Q distasse 3,2 km de O, quais eram as coordenadas de Q?
1.3. Os dois objectos moveram-se em direcção a O e ficaram a 1 Km de distância. Quais as
novas coordenadas dos pontos?
O estudo torna-se mais simples quando a distância à origem é 1.
O seno de um ângulo é a ordenada do ponto extremidade do arco que lhe corresponde, no círculo trigonométrico.
No círculo trigonométrico, o eixo das ordenadas chama-se eixo dos senos.
O co-seno de um ângulo é a abcissa do ponto extremidade do arco que lhe corresponde, no círculo trigonométrico.
No círculo trigonométrico, o eixo das abcissas chama-se eixo dos co-senos.
A tangente de um ângulo é a ordenada do ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo, ou do seu prolongamento, com o eixo das tangentes.
O eixo das tangentes é o eixo vertical, tangente à circunferência do círculo trigonométrico, no ponto de coordenadas (1,0). O eixo das tangentes tem o mesmo sentido positivo e a mesma unidade de medida que o eixo Oy.
Daqui em diante vamos trabalhar com um círculo de raio 1 associado a um
referencial cartesiano, que denominamos por círculo trigonométrico.
2.1. Observe cuidadosamente tudo e refira o que encontra no sketch. 2.2. Qual o segmento que representa o seno? Porquê?
2.3. Qual o segmento que representa o co-seno? Porquê? 2.4. Qual o segmento que representa a tangente? Porquê?
2.5. Mova o ponto B pelos 4 quadrantes e sintetize nos 3 círculos seguintes um para cada
razão trigonométrica o que considere essencial para estudar os valores, o sinal e a variação das 3 razões trigonométricas.
tangente co-seno
seno
2.6. Sintetize no quadro seguinte o sinal das razões trigonométricas.
Sinal do Seno Sinal do Co-seno Sinal da tangente 1º Q
2º Q 3º Q 4º Q
2.7. Sintetize a variação das diferentes razões trigonométricas ao longo dos 4 quadrantes
completando a tabela.
1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Seno Crescente
Co-seno Decrescente
tg Crescente
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Tarefa nº 4 – Proposta de resolução
O Círculo Trigonométrico
1. Num ecran de radar o raio OP faz 150° com
O
E
•
e a distância de P à origem representa 2,8 km.
1.1. Neste referencial, as coordenadas do obstáculo P são
(
−1,4 3;1,4)
: • A ordenada é PA PA 1 sen30º PA 2,8 PA 1, 4 2,8= ⇔ = × ⇔2 = • A abcissa é OA− OA 3 cos 30º OA 2,8 OA 1, 4 3 2,8 = ⇔ = × 2 ⇔ =1.2. Se o obstáculo Q estivesse sobre a bissectriz do 3.° quadrante, o raio «detector» teria
descrito 225° desde a posição inicial
O
E
• . Se Q distasse 3,2 km de O, as coordenadas de Q são(
−1,6 2; 1,6 2−)
: • A ordenada é QB− QB 2 sen45º QB 3,2 QB 1,6 2 3,2 = ⇔ = × 2 ⇔ = • A abcissa é OB− OB 2 cos 45º OA 3,2 OA 1,6 2 3,2 = ⇔ = × 2 ⇔ =1.3. Os dois objectos moveram-se em direcção a O e ficaram a 1 km de distância. As novas
coordenadas do ponto P são 3 1, 2 2
−
e as novas coordenadas de Q são
2 2 , 2 2 − −
valores que se obtêm fazendo OP=1 em vez de OP=2,8e OQ=1em vez de OQ=3,2
2 -2 30º 2,8 km A P O 2 -2 45º 3,2 km B Q O
2.1. Observemos cuidadosamente tudo e vamos referir o que encontramos no sketch. 2,5 2 1,5 1 0,5 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico
Anime o ponto B usando o botão ou movendo o ponto B e construa uma tabela onde diga qual o sinal do seno, do co-seno e da tangente em cada um dos 4 quadrantes.
tan AÔB(((( )))) = 1,18 co s AÔB(((( )))) = 0,65 sin AÔB(((( )))) = 0,76 or denada d e F = 1,18 ab cissa de E = 0,65 or denada d e C = 0,76 B: (0,65, 0,76) AÔB = 49,61°°°° INDICE Animate Point F E C O A B
No sketch está representado o círculo trigonométrico, um ângulo AOB que é o mesmo que AOF, estão marcados a cores diferentes os segmentos [OE], [OC] e [AF]. É indicada a amplitude do ângulo AOB, a abcissa do ponto E, as ordenadas do ponto C e do ponto F, as coordenadas de B bem como as razões trigonométricas do ângulo AOB.
2.2. O segmento que representa o seno é [OC] porque se considerarmos o triângulo [OEB]
(
)
BE OCsen AÔB OC
1 OB
= = =
2.3. O segmento que representa o co-seno é [OE] porque se considerarmos o triângulo [OEB]
(
)
OE OEcos AÔB OE
1 OB
= = =
2.4. Qual o segmento que representa a tangente é [AF] porque se considerarmos o triângulo
[OEB] tg AÔB
(
)
AF AF AF 1 OA= = =
2.5. Mova o ponto B pelos 4 quadrantes e sintetize nos 3 círculos seguintes um para cada
razão trigonométrica e nas duas tabelas seguintes o que considere essencial para estudar os valores, o sinal e a variação das 3 razões trigonométricas.
c c c c c c d d c d d c
--
+
+
+
+
-+
+
tangente co-seno seno 0 -1 0 nd 0 nd -1 0 1 0 1 02.6. Sintetize no quadro seguinte o sinal das razões trigonométricas.
Sinal do Seno Sinal do Co-seno Sinal da tangente
1º Q + + +
2º Q + - -
3º Q - - +
4º Q - + -
2.7. Sintetize a variação das diferentes razões trigonométricas ao longo dos 4 quadrantes
completando a tabela.
1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Seno Crescente Decrescente Decrescente Crescente
Co-seno Decrescente Decrescente Crescente Crescente
