PREFÁCIO BOM TRABALHO!

PREFÁCIO

Este volume corresponde ao primeiro livro virtual lançado pelo Sistema de Ensino Interativo – SEI.

O livro trata de lógica, teoria dos conjuntos, relação, produto cartesiano, funções reais, função do 1° grau e

2° grau, modular, exponencial e logarítmica ao longo de 12 capítulos.

Cada um dos doze capítulos inicia-se com uma breve introdução do assunto, seguido de questões dos

últimos concursos da AFA, EFOMM, Escola Naval, IME e ITA.

Há ainda um último capítulo onde se encontra o gabarito das questões, bem como a solução daquelas que

nos capítulos anteriores possuem sua numeração iniciada com a letra R, totalizando 63 soluções.

Com isto o autor e diretor do Sistema de Ensino Interativo – SEI espera estender a sala de aula do SEI à

residência dos que usarem este livro, principalmente daqueles que não podem frequentar um curso

preparatório, contribuindo para sua preparação e aprovação.

O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, será um prazer receber comentários,

correções e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email

[email protected]

.

SOBRE O AUTOR

Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de

Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM

(1994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último.

Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao

Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática.

Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo

contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA.

Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria

Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais e

internacionais.

Fundador do Sistema de Ensino Interativo – SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de

matemática do SEI Ensina.

Atualmente Luciano é professor adjunto da UFRJ.

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 1

ÍNDICE

1. Lógica

...

2. Teoria dos Conjuntos

...

3. Produto Cartesiano

...

4. Relação

...

5. Conjuntos Numéricos

...

6. Função

...

7. Função Constante

...

8. Função do 1° Grau

...

9. Função do 2° Grau

...

10. Função Modular

...

11. Função Exponencial

...

12. Função Logaritmo

...

13. Gabarito/Soluções

...

05

09

20

23

26

33

50

51

64

79

84

94

124

CAPÍTULO 1 - LÓGICA

CONSTRUÇÃO AXIOMÁTICA DA CIÊNCIA

A linguagem da Ciência é construída a partir de Termos primitivos e Definições.

Termo primitivo é um vocábulo cujo significado não é descrito por outros vocábulos.

Definir é a ação de descrever o significado de um vocábulo a partir de outros vocábulos previamente definidos ou de

termos primitivos.

A introdução de novos vocábulos na Ciência será sempre feita a partir de termos primitivos ou de definições.

Proposição ou sentença matemática é uma afirmativa a qual se associa um único valor: verdadeiro ou falso, que

representaremos respectivamente por 1 ou 0.

Axioma é uma proposição cuja veracidade é assumida por definição e um Teorema é uma proposição cuja veracidade

deve ser verificada por meio de outros axiomas ou teoremas.

A matemática é construída por meio de Axiomas e Teoremas.

DEFINIÇÃO: A negação de uma proposição é uma nova proposição cujo valor é o oposto da original.

Então dada uma proposição p, temos:

DEFINIÇÃO: Conectivo é o elemento utilizado para unir duas proposições.

Os conectivos se dividem em primários e secundários. Sejam p e q duas proposições, então:

CONECTIVOS PRIMÁRIOS 1) CONECTIVO “e” (



): p q p



q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2) CONECTIVO “ou” (



): p q p



q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p _p 0 1 1 0

CONECTIVOS SECUNDÁRIOS 1) CONDICIONAL “se então” ():

p q pq

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

2) CONDICIONAL “se e somente se” ():

p q pq

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

DEFINIÇÃO: Tautologia é uma proposição que assume apenas o valor verdadeiro.

Sejam p, q e r proposições, seguem as principais tautologias:

NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO 1. pp COMUTATIVIDADE DO ˄ E DO ˅ 2. p q q p 3. p q q p       ASSOCIATIVIDADE DO ˄ E DO ˅



 





 



4. p q r p q r 5.p q r p q r           DISTRIBUTIVIDADE



 

 





 

 



6. p q r p q p r 7. p q r p q p r             NEGAÇÃO DO ˄ E DO ˅ 8. p q p q 9. p q p q      

IMPLICAÇÃO LÓGICA 10. p q p q 11. p q q p 12. p q p q          EQUIVALÊNCIA LÓGICA 13. pq  pq

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

ESCOLA NAVAL

R1. (EN 1998) Considere a proposição:

“Se x > 5 então y = 6”. A proposição equivalente é

(A) “Se x < 5 então y 6” (B) “Se y 6 então x < 5” (C) “se y > 5 então x = 5” (D) “Se y 6 então x 5” (E) “Se x 5 então y6”.

2. (EN 1994) A negação da proposição:

3 x "  e y2", é: (A)"x3 e y2" (B)"x3 e y2" (C)"x3 ou y2" (D)"x2 e y3" (E)"x3 ou y2".

3. (EN 1992) Sabe-se que se x > 4 então y = 2 . Podemos daí concluir que:

(A) Se x < 4 então y  2 . (B) Se x  4 então y  2 . (C) Se y = 2 então x > 4 . (D) Se y  2 então x  4. (E) Se y  2 então x < 4.

NÍVEL B

ESCOLA NAVAL

R1. (EN 1989) Dada a proposição p  (q



r)  ( p  q)



(p  r) podemos afirmar que é:

(A) logicamente falsa (B) uma tautologia (C) equivalente a ( p



q)  r (D) equivalente a ( p  q)V r (E) equivalente a



pq





NÍVEL C

ITA

R1. (ITA 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos:

I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12. II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12. III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0. Então, destas é (são) verdadeira(s) (A) apenas I.

(B) apenas I e II. (C) apenas II e III. (D) apenas I e III.

CAPÍTULO 2 - TEORIA DOS CONJUNTOS

TERMOS PRIMITIVOS

A Teoria dos Conjuntos tem sua estrutura baseada em três termos primitivos: Elemento, Conjunto e na Relação de

Pertinência.

Embora termos primitivos intuitivamente sabe-se a diferença entre eles. Considere, por exemplo, as proposições:

A é uma Vogal B não é uma vogal

Primeiramente sabemos que estas proposições têm valor verdadeiro, ou seja, a letra A é um elemento do conjunto das vogais e a letra B não é um elemento do conjunto das vogais.

Note que o elemento se liga ao conjunto pela relação de pertinência, nos exemplos acima esta relação foi feita através do verbo

SER, a fim de evitar as limitações da língua, as mesmas proposições podem ser escritas utilizando uma simbologia universal, que

respectivamente introduzimos abaixo:



A,E,I,O,U



A



A,E,I,O,U



. B

Um conjunto está bem definido quando dado um elemento podemos julgar se este pertence ou não ao conjunto.

Variável é o símbolo utilizado para representar um elemento qualquer de um dado conjunto, neste caso, este conjunto é

denominado Domínio da variável.

Função Proposicional ou Proposição aberta é toda proposição que possui uma variável. Ex.: x



A,E,I,O,U



É uma proposição aberta, onde x é a variável e o seu domínio é o conjunto



A,E,I,O,U



.

Solução da Função Proposicional é todo elemento pertencente ao Domínio da variável que dá valor verdadeiro à proposição aberta. Ex.:

























. ) V ( U , O , I , E , A U ) V ( U , O , I , E , A O ) V ( U , O , I , E , A I ) V ( U , O , I , E , A E ) V ( U , O , I , E , A A U , O , I , E , A x               

Conjunto Solução da Função Proposicional ou Conjunto Verdade da Função Proposicional é o conjunto de todas as soluções

de uma Função Proposicional.

Ex.: x



A,E,I,O,U



S



A,E,I,O,U



.

DEFINIÇÃO: O Quantificador Universal



para todo



é utilizado quando todos os elementos do Domínio da variável

pertencem ao Conjunto Solução da Função Proposicional.

DEFINIÇÃO: O Quantificador Existencial



existe



é utilizado quando existe um elemento do Domínio da variável

pertencente ao Conjunto Solução da Função Proposicional.

Ex.: xIR:x2 0.

DEFINIÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos, define-se a relação de inclusão por:



x,x A x B



.

B

A      Neste caso dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B.

DEFINIÇÃO: Conjunto Universo é o conjunto maximal definido pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que contêm

todos os outros. Assim,

U A ,

A 

 .

DEFINIÇÃO: Conjunto Vazio é o conjunto minimal dado pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que está contido em

todos os outros. Representa-se o conjunto vazio por

 

. Assim,

 

A

, A 

 .

Em particular temos que:

 

  

x,x U x .

Ex.: Dado A



1,2,3



então

 

A,

 

1 A,

 

2,3 A e



1,2,3



A.

DEFINIÇÃO: Conjunto das Partes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou seja,



B: B A



: ) A (    Ex.



1,2,3



(A)



           

, 1 , 2 , 3 , 1,2 , 2,3 , 3,1 , 1,2,3





A  

Obs.: Sejan(C) é o número de elementos de um conjunto C, então . 2 : ) ) A ( ( n  n(A) Observe no exemplo acima que n(A)3en((A))8.

DEFINIÇÃO: Seja A um conjunto o seu Complementar é definido por



x: x A



AC   . DEFINIÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos, então



x, x A x B



B A       . Ou equivalentemente



 





A B B A



B A     .

OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS

DEFINIÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos, então a União entre A e B é um terceiro conjunto definido por:



x: x A x B



B A     . Ex.







2,3,4,5



A B



1,2,3,4,5



B 3 , 2 , 1 A     

DEFINIÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos, então a Interseção entre A e B é um terceiro conjunto definido por:



x: x A x B



B A     . Ex.







2,3,4,5



A B



2,3



B 3 , 2 , 1 A     

TEOREMA: Sejam A e B conjuntos quaisquer então

. ) B A ( n ) B ( n ) A ( n ) B A ( n     

DEFINIÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença entre A e B é um terceiro conjunto definido por:



x:x A x B



B \ A B A      . Ex.







2,3,4,5



A\ B

 

1 e B\A

 

4,5 B 3 , 2 , 1 A     

TEOREMA: Sejam A e B conjuntos quaisquer então

). B ( n ) A ( n ) B A ( n   

DEFINIÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença simétrica entre A e B é um terceiro conjunto definido por:



A B

 

B A



B A     . Ex.







2,3,4,5



A B



1,4,5



. B 3 , 2 , 1 A     

Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, seguem as principais propriedades das operações entre conjuntos.

1. COMPLEMENTAR DO COMPLEMENTAR

 

AC CA. 2. COMUTATIVIDADE A B B A   . A B B A   . 3. ASSOCIATIVIDADE



B C



(A B) C A     .



B C



(A B) C A     .

4. DISTRIBUTIVIDADE



B C

 

A B

 

A C



A      .



B C

 

A B

 

A C



A      . 5. COMPLEMENTAR DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO





C C C B A B A   .





C C C B A B A   . 6. COMPLEMENTAR DE SOBCONJUNTOS C C A B B A    . 7. DIFERENÇA C B A B A    .

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

EFOMM

1. (EFOMM 2012) Considere-se o conjunto universo U, formado por uma turma de cálculo da Escola de Formação de Oficiais da Mercante (EFOMM) e composta por alunos e alunas. São dados os subconjuntos de U:

A: conjunto formado pelos alunos; e

B: conjunto formado por todos os alunos e alunas aprovados. Pode-se concluir que B

U

C (AB)é a quantidade de (A) alunos aprovados.

(B) alunos reprovados.

(C) todos os alunos e alunas aprovados. (D) alunas aprovadas.

(E) alunas reprovadas.

R2. (EFOMM 2010) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do

conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: • n(A  B  C) = 25,

• n(A – C) = 13, • n(B – A) = 10,

• n(A  C) = n(C – (A  B)).

O maior valor possível de n(C) é igual a (A) 9

(B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13

R3. (EFOMM 2010) Analise as afirmativas abaixo.

I - Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: P = {x  K / x possui lados opostos paralelos};

L = {x  K / x possui 4 lados congruentes}; R = {x  K / x possui 4 ângulos retos}; e

Q = {x  K / x possui 4 lados congruentes e 2 ângulos com medidas iguais}. Logo, L  R = L  Q.

II - Seja o conjunto A = {1,2,3,4}, nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. III- Observando as seguintes relações entre conjuntos:

{a, b, c,d} U Z = {a, b, c, d, e}, {c,d} U Z = {a, c, d, e} e

{b, c, d}  Z = {c}; pode-se concluir que Z = {a, c, e}. Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. (A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.

(B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

4. (EFOMM 2007) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer

esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é (A) 116

(B) 142 (C) 166 (D) 176 (E) 194.

5. (EFOMM 2006) Sejam os conjuntos U = {1,2,3,4} e A = {1,2}. O conjunto B tal que BA = {1} e BA = U é (A) 0 (B) {1} (C) {1,2} (D) {1,3,4} (E) U.

AFA

6. (AFA 2013) Irão participar do EPEMM, Encontro Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de Professores das

Escolas Militares, 87 professores das disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que cada professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e que o número de professores de Física é o triplo do número de professores de Química.

Pode-se afirmar que

(A) Se o número de professores de Química for 16, os professores de Matemática serão a metade dos de Física.

(B) número de professores de Química será maior do que o de Matemática, se o de Química for em quantidade maior ou igual a 17

(C) o menor número possível de professores de Química é igual a 3. (D) o número de professores de Química será no máximo 21.

7. (AFA 1998) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam

basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?

(A) 31 (B) 37 (C) 47 (D) 51.

R8. (AFA 1998) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40 pilotam o

helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? (A) 5

(B) 10 (C) 15 (D) 20.

9. (AFA 1995) Assinale a afirmação correta.

(A) A intersecção de conjuntos infinitos pode ser finita. (B) A intersecção infinita de conjuntos não vazios é vazia.

(C) A reunião infinita de conjuntos não vazios tem infinitos elementos.

(D) A intersecção dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B.

10. (AFA 1995) Analisando-se uma amostra populacional, com relação à altura, determinou-se:

- 95% tem altura maior ou igual a 1,62m; - 8% tem altura menor ou igual a 1,62m.

Qual o percentual de indivíduos com, exatamente, 1,62m? (A) 3

(B) 5 (C) 8 (D) 13

ESCOLA NAVAL

R11. (EN 2009) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a

antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a

(A) 6 (B) 8 (C) 26 (D) 30 (E) 32.

12. (EN 1989) Considere os conjuntos A={x} e B={x,{A}} e as proposições:

I - {A}  B II- {x}  A III- A  B IV- B  A V- {x , A}  B

As proposições FALSAS são: (A) I , III e V

(B) II , IV e V (C) II , III , IV e V (D) I , III , IV e V (E) I , III e IV

13. (EN 1991) Sejam A, B e C conjuntos. A condição necessária e suficiente para que A(B∩C) = (AB)∩ C é:

(A) A = B = C (B) A∩C = ∅ (C) A – C = ∅ (D) A = ∅ (E) AC = B

ITA

R14. (ITA 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a,b,c, d,e, f , g, h}. Sabendo que (BC  A)C = {f, g, h}, BC  A = {a, b} e AC _{\B = {d, e}, então, n(P( A  B)) é igual a}

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 4. (E) 8.

15. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I.   U e n(U) = 10.

II.   U e n(U) = 10. III. 5  U e {5}  U. IV. {0, 1, 2, 5}  {5} = 5

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) (A) apenas I e III.

(B) apenas II e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas IV.

(E) todas as afirmações.

NÍVEL B

ITA

R1. (ITA 2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que: n(AB)= 23, n(B–A)=12, n(C–A)=10, n(B  C)= 6 e n(A  B  C)= 4,

então n(A), n(A  C), n(A  B  C), nesta ordem, (A) formam uma progressão aritmética de razão 6. (B) formam uma progressão aritmética de razão 2.

(C) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11. (D) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. (E) não formam uma progressão aritmética.

R2. (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n  1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte

propriedade:

Se A, B  S, então A  B ou B  A então, o número máximo de elementos que S pode ter é: (A) 2n- 1

(B) n/ 2, se n for par, e (n + 1)/ 2 se n for ímpar (C) n + 1

(D) 2n – 1 (E) 2n – 1 + 1.

3. (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A



B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a: (A) 12

(B) 17 (C) 20 (D) 22 (E) 24.

4. (ITA 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A  U, B  U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião,

intersecção e complementar, prove que: I. Se A  B = , então B  AC

. II. B\AC = B  A.

R5. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número

de elementos de P(B \ A) U P() é igual a (A) 8. (B) 16. (C) 20. (D) 17. (E) 9.

6. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A



B)= 8,n(A



C)= 9, n(B



C)= 10, n(A



B



C) = 11 e n (A



B



C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a

(A) 11 (B) 14 (C) 15 (D) 18 (E) 25.

IME

7. (IME 2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação , definida por

X  Y = (X – Y)  (Y – X). Pode-se afirmar que

(A) (X  Y)  (X  Y) = Ø (B) (X  Y)  (X – Y) = Ø (C) (X  Y)  (Y – X) = Ø (D) (X  Y)  (X – Y) = X (E) (X  Y)  (Y – X) = X

NÍVEL C

ESCOLA NAVAL

R1. (EN 1988) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock , quantos por cento da

população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? (A) 5% (B) 10% (C) 20% (D) 45% (E) 70%.

ITA

2. (ITA 2013) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:

I. A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \); II. (A ∩ C) \ B = A ∩ BC ∩ C; III. (A \ B) ∩ (B \ C) = (A \ B) \ C, é (são) verdadeira(s)

(A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas I e II. (D) apenas I e III. (E) todas.

R3. (ITA 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) U (B\A) = A

4. (ITA 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C  B \ A}) = 128. Então, das afirmações

abaixo:

I – n(B) – n(A) é único; II – n(B) + n(A) ≤ 128;

III – a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única. É (são) verdadeira(s) (A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) nenhuma.

5. (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:

I. A negação de x  A  B é: x  A ou x  B. II. A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

III. (A\B)  (B\A) = (A  B) \ (A  B) Destas, é (são) falsa(s)

(A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma.

6. (ITA 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C  B, n(B\C) = 3n(B  C) = 6n(A  B),

n(A  B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(C)

b) Determine n(P(B\C)).

7. (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X – Y )  Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z  Y = , W  (X –

(A) {1, 2, 3, 4, 5} (B) {1, 2, 3, 4, 7} (C) {1, 3, 7, 8} (D) {1, 3} (E) {7, 8}.

8. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de

A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: (A) 28 – 9.

(B) 28 –1.

(C) 28 – 26. (D) 214 – 28.

(E) 28.

R9. (ITA 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A1,...,Am}



P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas:

I. Ai ≠  , i = 1 ,... , m

II. Ai



Aj = , se i ≠ j, para i, j = 1, ... , m III. A = A1



A2



∙∙∙



Am

Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A

b) O número de partições de A que têm ordem 2

10. (ITA 2004) Seja A um conjunto não-vazio.

a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m.

b) Denotando P1(A)=P(A) e Pk + 1(A) = = P(Pk(A)), para todo número natural k 1, determine o menor k, tal que n(Pk(A)) 65000, sabendo que n(A) = 2.

NÍVEL C

IME

11. (IME 2013) Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no mesmo conjunto universo U. A simbologia F

representa o complemento de um conjunto F em relação ao conjunto U. Assinale a opção correta (A) Se A  D  C e B  D  C então A  B  C (B) _



A B C

 

 A B C



_



A B C

 

 AB



  (C)



A B C

 

 A B C

 

 A B C







A B C



(D)



 

 





 

 



A B C A B C A B C A B B C A C               (E) Se A  C e B  C então A B C

R12. (IME 2010) Sejam os conjuntos P1, P2 , S1 e S2 tais que

(P2  S1)  P1, (P1  S2)  P2 E

(S1  S2) (P1  P2). Demonstre que (S1  S2)  (P1  P2).

13. (IME 2011) Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C:

I. Se A  B e B  C então A  C. II. Se A  B e B  C então A  C. III. Se A  B e B  C então A  C. Estão corretas:

(A) nenhuma das alternativas (B) somente a alternativa I (C) somente as alternativas I e II (D) somente as alternativas II e III (E) todas as alternativas

14. (IME 2000) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta

vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes. a) em 28 saiu uma face preta para o jogador I;

b) em 25 saiu uma face branca para o jogador II; c) em 27 saiu uma face branca para o jogador III;

d) em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II; e) em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I; f) em 4 saíram faces pretas para os três jogadores;

g) em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III.

Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador.

R15. (IME 1987) Dados dois conjuntos A e B, define-se

A B (A B) ( B A) .     Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z

CAPÍTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO

DEFINIÇÃO: Sejam A,BIR, o produto cartesiano entre A e B é definido por:







x,y :x A x B



B

A     . O Plano Cartesiano é obtido pelo produto cartesiano da reta por ela mesma, ou seja,







x,y :x IR y IR



IR IR

IR2       .

A representação gráfica do plano cartesiano é dada por um par de eixos perpendicurales, chamados eixos coordenados, cujo ponto em comum é chamado de origem do plano cartesiano.

O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas e seus pontos são representados por

 

x,0,xIR. Quando x0 o ponto localiza-se à direita da origem, caso contrário à esquerda,.

O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas e seus pontos são representados por

 

0,y ,yIR. Quando y0 o ponto localiza-se acima da origem, caso contrário abaixo.

Assim a origem é o ponto de coordenadas



0,0



.

Os pontos não pertencentes a nenhum dos eixos serão representados por



x,y



,x,yIR\

 

0 , onde os valores de x e y são obtidos pelas coordenadas dos pontos de interseção das perpendiculares traçadas pelo ponto



x,y



aos eixos coordenados.

Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões disjuntas chamadas quadrantes, desta forma define-se:















x,y



4 Quadrante 0 y e 0 x Quadrante 3 y , x 0 y e 0 x Quadrante 2 y , x 0 y e 0 x Quadrante 1 y , x 0 y e 0 x                    

EXERCÍCIOS

NÍVEL C

ITA

R1. (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações:

I- Se (E x G)  (F x H), então E  F e G  H.

II- Se (E x G)  (F x H), então (E x G)  (F x H) = F x H. III- Se (E x G)  (F x H) = F x H, então (E x G)  (F x H) Então:

(A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira (B) Apenas a afirmações (II) é verdadeira

(C) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras (D) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras (E) Todas as afirmações são verdadeiras.

2. (ITA 1989) Sejam A, B e C subconjuntos de IR , não vazios, e A–B = {p  IR; p  A e p  B}. Dadas as igualdades:

1-(A–B)xC = (AxC)– (BxC) 2-(A–B)xC = (AxB) – (BxC) 3-(A B)–A (A B) – B 4-A–(BC) = (A–B)  (A–C) 5-(A–B)(B–C) = (A–B)(A–B) Podemos garantir que:

(A) 2 e 4 são verdadeiras. (B) 1 e 5 são verdadeiras. (C) 3 e 4 são verdadeiras. (D) 1 e 4 são verdadeiras. (E)1 e 3 são verdadeiras.

CAPÍTULO 4 - RELAÇÃO

DEFINIÇÃO: Sejam A,BIR, uma Relação R de A em B é um subconjunto qualquer de AB

. Em particular, uma Relação R de IR em IR é um subconjunto qualquer de IR2.

Assim, a região abaixo é um exemplo de um gráfico de uma relação de IR em IR.

DEFINIÇÃO: O Domínio e a Imagem de uma relação R de A em B são definidos por:







x: x,y R



DR   .







y: x,y R



ImR   .

DEFINIÇÃO: Seja R uma Relação de A em B, a Relação Inversa R1 de B em A é definida por:



 





y,x : x,y R



R1   .

Em particular, o gráfico de um relação e da sua relação inversa são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares.

DEFINIÇÃO: Uma Relação de A em B é dita Reflexiva se e somente, se:



x,x



R ,

A

x 

DEFINIÇÃO: Uma Relação de A em B é dita Simétrica se e somente, se:



x,y



R



y,x



R.

DEFINIÇÃO: Uma Relação de A em B é dita Antissimétrica se e somente, se:



x,y



R



y,x



R 



x,y

 

 y,x



.

DEFINIÇÃO: Uma Relação de A em B é dita Transitiva se e somente, se:











x,z



R R z , y R y , x        .

DEFINIÇÃO: Uma Relação de A em B é dita de Equivalência se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Simétrica e Transitiva.

DEFINIÇÃO: Uma Relação de A em B é dita uma Relação de Ordem se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Antissimétrica e Transitiva.

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

EFOMM

R1. (EFOMM 2006) Dados A = {2,3,4} e B = {1,6,8,12}, a relação R1 = {(x,y)  A x B  y = x + 4} de A em B é dada por: (A) {(3,6), (4,8)} (B) {(2,6), (4,8)} (C) {(6,2), (8,4)} (D) {(2,6), (3,12), (4,8)} (E) {(2,1), (3,6), (4,8)}

NÍVEL C

IME

R1. (IME 1986) Seja N* o conjunto dos números naturais não nulos e n  N*. Mostre que a relação Rn = {((a, b)  a, b  N* e a – b é múltiplo de n } é uma relação de equivalência.

R2. (IME 1984) Dada a matriz M = (mij )

M =             1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1

e o conjunto A = {a1; a2; a3; a4}, define-se em A uma relação R por: ai R aj  m i j = 1 Verifique se R é uma relação de equivalência.

3. (IME 1983) Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relação m por

Rm = {(i; j)  i = j + km; k inteiro}. Mostre que m é uma relação de equivalência.

CAPÍTULO 5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

OPERAÇÃO

Uma operação definida em um conjunto é uma relação que associa a dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou seja,



a1,a2



*



a1,a2



: a1*a2 B A A : *    

Quando o resultado da operação for um elemento de A, a operação é dita fechada, assim,



a1,a2



*



a1,a2



: a1*a2 A A A : *    

É uma operação fechada.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1-NÚMEROS NATURAIS:



0,1,2,3,...



IN  .



1,2,3,....



IN*  .

A soma e a multiplicação de dois números naturais são exemplos de operações fechadas neste conjunto, logo:



a,b





a,b



: a b IN IN IN :        e



a,b





a,b



: a b IN IN IN :       

Em particular, a soma e a multiplicação gozam das seguintes propriedades: IN c e b , a   , temos: 1.1-ASSOCIATIVIDADE (ADIÇÃO):



a b



ca 



b  c



. 1.2- COMUTATIVIDADE (ADIÇÃO): a b b a    .

1.3-EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO (ADIÇÃO):

IN a , a a e e a : IN es  s  s      .

Em relação aos números naturais o elemento neutro da adição é o número zero.

1.4- ASSOCIATIVIDADE (MULTIPLICAÇÃO):

1.5- COMUTATIVIDADE (MULTIPLICAÇÃO):

a b b

a   .

1.6 - EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO (MULTIPLICAÇÃO):

IN a , a a e e a : IN e_p  _p _p     .

Em relação aos números naturais, o elemento neutro da multiplicação é o número um.

1.7- DISTRIBUTIVIDADE DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO À ADIÇÃO:



b c



a b a c

a      . 1.8- NÃO EXISTEM DIVISORES DE ZEROS:

           0 b ou 0 a 0 b a : IN b , a . 2-NÚMEROS INTEIROS:



..., 2, 1,0, 1, 2,....



Z   .



..., 2, 1,1,2,...



Z*    .

Repare que IN  Z, porém existem números inteiros que não são números naturais, cuja necessidade se percebe quando se tenta resolver, por exemplo, a seguinte sentença:

. 0 2 x  De fato, suponha que haja solução natural, então,

. IN x 0 2 2 x 0 x IN x        

Definindo a soma e a multiplicação de maneira natural, defini-se a operação de subtração por:



a,b





a,b



: a b a ( b). Z Z Z :          

As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas em relação ao conjunto dos números inteiros, além disso, estas operações gozam das mesmas propriedades dos números naturais e da seguinte:

2.1- INVERSO ADITIVO: a b , 0 a b b a : Z b , Z a         . 3-NÚMEROS RACIONAIS:           * Z q Z p : q p Q .           * * * Z q Z p : q p Q .

Repare que IN ZQ , porém existem números racionais que não são números inteiros, cuja necessidade é percebida quando se tenta resolver a seguinte sentença:

. 0 1 x

2  

De fato, suponha por absurdo que haja solução inteira, então, . Z x impar 1 x 2 Z x    

Definindo a soma, a multiplicação e a subtração de maneira natural, define-se a operação de divisão por:

 

 

. b a b 1 a b a : b , a b , a Q Q Q : *          

O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão, sempre que definida, e goza das mesmas propriedades dos números inteiros e da seguinte:

3.1- INVERSO MULTIPLICATIVO: 1 * a b , 1 a b b a : Q b , Q a          . 4-NÚMEROS REAIS:

A esta altura o leitor pode se perguntar se todo número pode ser escrito sob a forma de fração, a resposta para esta pergunta é não. Existe a necessidade de outros tipos de números, isto é percebido, por exemplo, quando se tenta resolver a equação:

2 x2  _.

De fato, suponha que a solução desta equação seja um número racional, dito isto, sabemos que x pode ser escrito como a razão de dois números inteiros, sejam p e q inteiros com q não nulo e tais que:

1 ) q , p ( mdc , Z q e Z p , q p x   *  Então . p 2 p : Z p p | 2 p | 2 q 2 p 2 q p 2 x 2 2 2 _{0 0} 2 2 _{       }         Logo,

 

2 0 0 2 0 2 2 2 0 2q q 2p 2|q 2|q q Z:q 2q p 2         O que implica . 2 ) q , p ( mdc  O que é um absurdo uma vez que por hipótese p e q são primos entre si.

Logo há a necessidade que existam números que não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. Estes números serão chamados de números Irracionais.

Define-se o conjunto dos números reais como a união do conjunto dos números racionais e dos números irracionais.

Geometricamente os números reais IR podem ser representados pela reta, o que define uma bijeção entre estes conjuntos, ou seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real da mesma forma que a cada número real corresponde um único ponto da reta.

Esta bijeção está definida a menos de um ponto fixo chamado origem que representa o número zero e de uma escala que define o sistema de unidade, em particular, esta escala também define os números naturais e os números inteiros.

Os números racionais podem ser obtidos construindo-se primeiramente os racionais positivos menores que um, a partir de construções geométricas, depois estes são levados a toda a reta a partir de translações.

Diante do que foi dito acima temos que IN  Z Q IR.

O conjunto dos números reais é fechado em relação às quatros operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, esta última estando definida. Além disso, o conjunto dos números reais goza das mesmas propriedades relativas a adição e multiplicação que os números racionais.

O conjunto dos números reais munido das operações soma e produto é chamado de corpo dos números reais.

4.1-INTERVALOS:



a,b







xIR: a x b





a,b







xIR: a x b





a,b







xIR:axb



 

a,b 



xIR:axb





a,







xIR:ax





a,







xIR:ax





, a







xIR:x a





, a







xIR: x a



Definem-se também os seguintes conjuntos:

INTEIROS POSITIVOS:



1,2,3,...



Z*_  .

INTEIROS NÃO NEGATIVOS:



0,1,2,3,...



Z  .

INTEIROS NEGATIVOS:



..., 3, 2, 1



Z*_     .

INTEIROS NÃO POSITIVOS:



...., 3, 2, 1,0



Z     . RACIONAIS POSITIVOS:           0 q p : Q q p Q* .

RACIONAIS NÃO NEGATIVOS:

          0 q p : Q q p Q

RACIONAIS NEGATIVOS:           0 q p : Q q p Q* .

RACIONAIS NÃO POSITIVOS:

          0 q p : Q q p Q . REAIS POSITIVOS:



x IR:x 0



IR*_    .

REAIS NÃO NEGATIVOS:



x IR:x 0



IR_    .

REAIS NEGATIVOS:



x IR:x 0



IR*_    .

REAIS NÃO POSITIVOS:



x IR:x 0



EXERCÍCIOS

NÍVEL A

AFA

1. (AFA 2013) Considere os seguintes conjuntos numéricos IN, Z, Q, IR, II = IR – Q e considere também os seguintes conjuntos:

A = (IN  II) – (IR  Z) B = Q – (Z – IN) D = (IN  II)  (Q – IN)

Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é (A) 3;3 e 2,31 2 (B) 20; 10 e 5 (C)  10; 5 e 2 (D) 3;0,5 e 5 2  R2. (AFA 2011) Se α = 2. 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 , então (A) α  (IR – IN)

(B) α pode ser escrito na forma α = 2k, k  Z (C) α  [(Q – Z)



(IR – Q)]

(D) [(Z ∩ Q) ∩ (IR – IN)]  α

3. (AFA 2008) Analise as alternativas abaixo e marque a correta.

(A) Se = B {m ∈ N | m² < 40}, então o número de elementos do conjunto B é 6. (B) Se α = 1 1

2 1 2 1



  , então α ∈[(IR − Q) ∩ (IR − Z)]

(C) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente. (D) Se A =]1, 5[ e B =]−3,3[, então B−A=]−3,1[.

R4. (AFA 2005) Considere um subconjunto A contido em N* e constituído por y elementos dos quais:

13 são múltiplos de 4

7 são múltiplos de 10

5 são múltiplos de 20 e

9 são números ímpares.

É correto dizer que y é um número: (A) par menor que 19.

(B) múltiplo de 12. (C) ímpar entre 10 e 20. (D) primo maior que 21.

ESCOLA NAVAL

R5. (EN 1993) Sejam A = [0,2], B = (–1,2] e C = (1,3). O complemento de A(B–C) em relação ao conjunto B é igual a:

(A) (–1,0)  [1,2] (B) (–1,2) (C) (–1,0]  [1,2] (D) (–1,1] (E) (–1,0)  (1,2]

NÍVEL B

ITA

R1. (ITA 2004) Seja o conjunto S = {r  Q : r  0 e r2  2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:

I. S 5 7 e S 4 5_{ } II. {x  IR : 0  x  2}  S =  III. 2 S.

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas (A) I e II (B) I e III (C) II e III (D) I (E) II

NÍVEL C

ITA

1. (ITA 2012) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1−r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações: I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;

II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s)

(A) apenas I. (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) I, II e III.

IME

2. (IME 1993) Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta.

a) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais; b) Existe um número em Q (racionais) cujo quadrado é 2; c) O ponto correspondente a

77 66

na escala dos números reais R está situado entre os pontos

66 55 e 88 77 .

CAPÍTULO 6 - FUNÇÃO

DEFINIÇÃO: Sejam A,BIR, uma Função de A em B é uma Relação de A em B tal que a cada elemento de A é associado um único elemento de B. Representa-se uma Função de A em B por:

 

x f x B A : f  

O gráfico de uma Função de A em B é a representação dos pontos da função no plano cartesiano, em particular:

 







x,f x : x A



A B

Gf    

Em seguida o gráfico de uma função e o gráfico de uma relação.

De fato, existem pontos no domínio da circunferência tais que a reta perpendicular ao eixo das abscissas intercepta o seu gráfico em mais de um ponto.

O Domínio e o Contradomínio e a Imagem de uma Função de A em B, são definidos por:

 

A



y B: x A, f

 

x y



f Im B CD A D f f f         .

CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES: FUNÇÃO INJETORA:

Uma função é injetora se e somente, se quaisquer dois elementos distintos do seu domínio possuírem imagens distintas, ou seja,

   



x ,x A:x x f x f x



. injetora é f   1 2 1 2  1  2

O gráfico abaixo é um exemplo de gráfico de função injetora.

Já o próximo não é um exemplo de gráfico de função injetora, uma vez que existe ponto na imagem tal que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.

FUNÇÃO SOBREJETORA:

Diremos que uma função é sobrejetora se e somente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio, ou seja,

f f CD Im a sobrejetor é f  

Seja



a,b

 

c,d



:

f 

dependendo do conjunto imagem f pode ser uma função sobrejetora,

Ou não:

No segundo caso existem pontos no contradomínio tais que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas por estes pontos não intercepta o gráfico da função.

FUNÇÃO BIJETORA:

Diremos que uma função é bijetora se e somente se for injetora e sobrejetora, ou seja, a Sobrejetor e Injetora é f Bijetora é f 

CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES QUANTO AO CRESCIMENTO: FUNÇÃO CRESCENTE: Seja f:AB

   



x1,x2 A,x1 x2 f x1 f x2



crescente é f       FUNÇÃO DECRESCENTE: Seja f:AB

   



x1,x2 A,x1 x2 f x1 f x2



e decrescent é f      

Obs.: Estas funções também podem ser chamadas de funções estritamente crescentes ou estritamente decrescentes. Obs.: Toda função crescente ou decrescente é injetora.

FUNÇÃO NÃO CRESCENTE:

   



x1,x2 A,x1 x2 f x1 f x2



crescente não é f       

FUNÇÃO NÃO DECRESCENTE:

   



x1,x2 A,x1 x2 f x1 f x2



e decrescent não é f       

FUNÇÃO MONÓTONA:             crescente de não é f ou crescente não é f ou crescente de é f ou crescente é f monótona é f

CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES QUANTO À PARIDADE: FUNÇÃO PAR: Seja f:AB

 

x f

 

x f , A x par é f     

Obs.: O gráfico de uma função par é simétrico em relação aos eixos das ordenadas. FUNÇÃO ÍMPAR: Seja f:AB

 

x f

 

x f , A x ímpar é f     

FUNÇÃO PERIÓDICA: Seja f:AB



x T

  

f x f , A x : 0 T periódica é f      

O Período de uma função periódica é definido por:



  



T:T IR , f x T f x , x A



mín

P  *_     Em seguida o gráfico de uma função periódica:

Obs.: Existem funções periódicas que não possuem período, por exemplo, as funções constantes,

b ) x ( f x B A : f    FUNÇÃO COMPOSTA

Sejam f:AB, g:CD funções, e os conjuntos B e C tais que, BC, define-se A Função Composta de f por g por:

) ) x ( f ( g ) x ( f g : y x D A : f g      

FUNÇÃO INVERSA

Uma vez que uma função f:AB é uma relação, sempre existe a sua relação inversa Rf:BA. O Teorema seguinte dá condições para que a relação inversa de uma função também seja uma função.

TEOREMA: Seja f:AB uma função, então:

função é A B : R bijetora é f  f 1  

Se f:AB é uma Função Bijetora, então a Relação Inversa de B em A é uma função e é chamada de Função

Inversa de B em A f1:BA. Em particular,

 

 

A 1 1 B 1 1 id f f A x , x x f f id f f B y , y y f f                  

Onde idA é a função identidade restrita ao conjunto A.

Obs.: Caso f:IRIRentão

id f f f f 1  1  Ou seja, IR x , x ) x ( f f ) x ( f f 1  1   

TEOREMA: O gráfico de uma função bijetora e o gráfico da sua função inversa são simétricos em relação à bissetriz dos

EXERCÍCIOS

NÍVEL A

AFA

1. (AFA 2009) Um estudo sobre a concentração de um candidato em provas de memorização indicou que, com o tempo

decorrido, sua capacidade de reação diminui.

A capacidade de reação (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em horas, podem ser expressos pela relação E = 3 1 t 1 t 2   . Sendo assim, é INCORRETO afirmar que

(A) a concentração tende a ser máxima por volta de 20 minutos do início da prova. (B) a cada intervalo de 1h de prova há uma queda de 33, 3 % na capacidade de reação. (C) a capacidade de reação nunca é menor que 2

(D) se a capacidade de reação é 24, então o tempo t decorrido é maior que 24 minutos.

Com base nos gráficos, assinale a alternativa FALSA. (A)g(f(0,4))g(f(x)), x[0,1].

(B)g(f(0,6))g(f(1)). (C)g(f(0,05))g(f(0,1)). (D)g(g(x))x, x[0,3;0,8].

R3. (AFA 2001) Se f e g são funções de IRem IR definidas por f(3x+2) =

2 2 x 3  e g(x – 3) = 5x – 2, então f(g(x)) ;e: (A) 5 4 x (B) 5x 9 2  (C) 5x + 13 (D) 5 11 x 5  .

4. (AFA 2001) Os números inteiros do domínio da função real f(x) (52x)(23x) são as raízes da equação g(x)0. Uma expressão analítica da função g(x) é:

(A)x3x22x (B)x3x22x

(C)x33x22x (D)x33x22x.

R5. (AFA 1999) Seja D =



1,2,3,4,5



e f: D  R, a função definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Então, pode-se afirmar que f (A) é bijetora.

(B) é somente injetora. (C) é somente sobrejetora.

(D) possui conjunto imagem com 3 elementos.

ESCOLA NAVAL

R6. (EN 2011) Considere f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n + 2) = 3 + f(n), n  N, f(0) =

10 e f(1) = 5. Qual o valor de f (81) f (70) ? (A) 2 2 (B) 10 (C)2 3 (D) 15 (E) 3 2 R7. (EN 1993) Sejam h(x) = x3, t(x) = x 1 1  , x  –1 e, f(x) = t(h(2x)). O valor de f -1 (1/9) é: (A) –2 (B) –1 (C) 1 (D) 2 (E) 3

8. (EN 1990) Se, para todo x real, f(2x + 3) = 3x + 2 então f [f(x)] é igual a: (A) x (B) 2 3 x (C) 2 5 x 3  (D) 4 25 x 9  (E) 9x + 4

9. (EN 1989) Sabendo que f , g e h são funções reais de variável real e que f e g não se anulam, considere as afirmações abaixo :

I - fo (g + h) = fog + foh II - (g + h) of = gof + hof III - og f 1 fog 1  IV - _       g 1 fo fog 1

Podemos afirmar que:

(A) todas as afirmativas acima são verdadeiras. (B) somente I a II são verdadeiras

(C) somente a IV é falsa

(D) somente II e III são verdadeiras. (E) somente I é falsa.

R10. (EN 1988) Seja x  {-1, 0, 1}. Se f1 (x) = 1 x 3 x  

e fn+1 (x) = f1



f (x) para todo n natural, então fn



1988(x) igual a: (A) 1 x 3 x   (B) x (C) x 1 3 x   (D) 1 x x 3   (E) 1 x 3 x   .

NÍVEL B

EFOMM

1. (EFOMM 2013) O gráfico da função contínua y = f(x), no plano xy, é uma curva situada acima do eixo x para x > 0 e possui a

seguinte propriedade:

“A área da região entre a curva y = f(x) e o eixo x no intervalo a  x  b(a > 0) é igual à área entre a curva e o eixo x no intervalo ka  x  kb (k > 0)”.

Se a área da região entre a curva y = f(x) e o eixo x para x no intervalo 1  x  3é o número A então a área entre a curva y = f(x) e o eixo x no intervalo 9  x  243 vale:

AFA

2. (AFA 2014) Considere os gráficos abaixo das funções reais f : A →IR e g :B→IR. Sabe-se que A = [−a, a] ; B = ]−∞, t];

g(−a) < f (−a) ; g(0) > f (0); g(a) < f (a) e g(x) = n para todo x ≤ −a .

Analise as afirmativas abaixo e marque a FALSA. (A) A função f é par.

(B) Se x∈] d,m [, então f (x) . g(x) < 0 (C) Im(g) = [n, r [ { s }

(D) A função h :E→IR dada por h(x) = 2

f (x) g(x)



 está definida se E = {x ∈IR | − a ≤ x < −d ou d < x ≤ a}

3. (AFA 2013) O gráfico abaixo descreve uma função f:A  B

Analise as proposições que seguem. I. A = IR*

II. f é sobrejetora se B = IR – [–e, e]

III. Para infinitos valores de x  A, tem-se f(x) = –b IV. f(–c) – f(c) + f(–b) + f(b) = 2b

V. f é função par. VI. x IR | f (x) f

São verdadeiras apenas as proposições (A) I, III e IV (B) III, IV e V (C) I, II e VI (D) I, II e IV.

4. (AFA 2014) Seja f uma função quadrática tal que:

• f (x) > 0 ∀ x∈ IR

• tem gráfico interceptando o gráfico da função g, dada por g(x) = 2, num único ponto cuja abscissa é 2 • seu gráfico possui o ponto Q, simétrico do ponto R (0, − 3) em relação à origem do sistema cartesiano. Seja h uma função afim cujo gráfico intercepta o gráfico de f no eixoOy e no ponto de menor ordenada de f. Assim sendo, o conjunto solução da inequação

3 10 15 f (x) . g(x) h(x)              0 contém o conjunto

(A) [0, 8] (B) [1, 7] (C) [2, 6] (D) [3, 5]

ITA

R5. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações:

I. {0}  S e S  U  

II. {2}  S\ U e S  T  U = {0, 1} III. Existe uma função f : S  Tinjetiva. IV. Nenhuma função g : T  Sé sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s)

(A) apenas I. (B) apenas IV.

(C) apenas I e IV. (D) apenas II e III. (E) apenas III e IV.

IME

R6. (IME 2007) Seja f : IR  IR, onde IR é o conjunto dos números reais, tal que:

      ) 4 ( f . ) x ( f ) 4 x ( f 5 ) 4 ( f O valor de f(–4) é: (A) – 5 4 (B) – 4 1 (C) – 5 1 (D) 5 1 (E) 5 4 .

R7. (IME 2006-2007) Considere os conjuntos A={(1,2),(1,3),(2,3)} e B={1,2,3,4,5}, e seja a função f : A  B tal que: f(x,y)

= x + y

É possível afirmar que f é uma função: (A) injetora (B) sobrejetora (C) bijetora (D) par (E) ímpar.

NÍVEL C

EFOMM

R1. (EFOMM 2010) Seja f: R  R uma função estritamente decrescente, quaisquer xl e x2 reais, com xl < x2 tem-se f(xl) > f(x2) Nessas condições, analise as afirmativas abaixo.

I - f é injetora .

II - f pode ser uma função par.

III- Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. Assinale a opção correta.

(A) Apenas as afirmativas I é verdadeira. (B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. (C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. (D) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. (E) Apenas a afirmativa II é verdadeira.

ITA

2. (ITA 201) Considere funções f, g, f + g : IR → IR. Das afirmações:

I. Se f e g são injetoras, f + g é injetora; II. Se f e g são sobrejetoras, f + g é sobrejetora; III. Se f e g não são injetoras, f + g não é injetora; IV. Se f e g não são sobrejetoras, f + g não é sobrejetora, é (são) verdadeira(s)

(A) nenhuma. (B) apenas I e II. (C) apenas I e III. (D) apenas III e IV. (E) todas.

R3. (ITA 2005) Seja D = R \ {1} e f : D D uma função dada por f(x) = 1 x 1 x   . Considere as afirmações: I. f é injetiva e sobrejetiva

II. f é injetiva, mas não sobrejetiva III. f(x) + f       x 1 = 0,para todo x  D, x  0

IV. f(x) . f(–x)



1

, para todo x  D Então, são verdadeiras

(A) apenas I e III. (B) apenas I e IV. (C) apenas II e III. (D) apenas I, III e IV. (E) apenas II, III e IV.

R4. (ITA 2003) Considere uma função f : IR  IR não- constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y), x, y  IR.

Das afirmações: I. f(x) > 0, x  IR.

II. f(nx) = [f(x)]n, x  IR, n  IN*. III. f é par.

é (são) verdadeira(s):

(A) apenas I e II. (B) apenas II e III.

(C) apenas I e III. (D) todas.

(E) nenhuma.

5. (ITA 2003) Mostre que toda função f : IR \ {0}  IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. 6. (ITA 2002) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por:

f(x) = c x b ax   , –c < x < c. Então f(x), para – c < x < c, é constante e igual a

(A) a + b. (B) a + c.

(C) c. (D) b.

(E) a.

R7. (ITA 2010) Seja f : IR  IR bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f –1 : IR  IR também é ímpar.

8. (ITA 2010) Sejam f, g : R  R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações

I. f . g é ímpar, II. f g é par, III. g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) (A) apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e II (E) todas.

9. (ITA 2009) Seja f: IR → IR \ {0} uma função satisfazendo às condições:

f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y  IR e f(x) ≠ 1, para todo x  IR \ {0}. Das afirmações:

I. f pode ser ímpar. II. f (0) =1. III. f é injetiva.

IV. f não é sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x  IR. é(são) falsa(s) apenas

(A) I e III. (B) II e III. (C) I e IV. (D) IV. (E) I.

10. (ITA 2009) Seja f : IR \ {–1} → IR definida por f(x) = 1 x 3 x 2  

a) Mostre que f é injetora.

b) Determine D= {f(x), x  IR \ {−1}} e f −1

: D → IR\ {−1}.

R11. (ITA 2001) Se f : ] 0,1 [  IR é tal que, x



] 0, 1[ ,

2 1 ) x ( f  e f(x) = _                    2 1 x f 2 x f 4 1

então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é: (A) 2 1 2 1 ) x ( f n   (B) 2 1 ) x ( f 2 1 n   (C) 1 f(x) 1

(D) _n 2 1 ) x ( f  (E) _n 2 1 ) x ( f  .

12. (ITA 1999) Sejam f, g, h: RR funções tais que a função composta h o g o f : R  R é a função identidade. Considere as afirmações:

I– A função h é sobrejetora.

II– Se xo  R é tal que f(x0) = 0, então f(x)  0 para todo x  R com x  x0. III– A equação h(x) = 0 tem solução em R.

Então:

(A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. (B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. (C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são falsas.

13. (ITA 1997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais,

considere as funções f , g : R  R definidas por:

            I x se 0, Q x se , 1 ) x ( g I x se 1, Q x se , 0 ) x ( f

Seja J a imagem da função composta f o g: R  R. Podemos afirmar que: (A) J = R

(B) J = Q (C) J = {0} (D) J = {1} (E) J = {0, 1}.

R14. (ITA 1997) Seja f, g : RR funções tais que g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3, para todo x R. Então f[g(x)] é igual a (A) (x – 1)3 (B) (1 – x)3 (C) x3 (D) x (E) 2 – x.

15. (ITA 1996) Seja f : R*_  R uma função injetora tal que f (1) = 0 e f (x . y) = f (x) + f (y) para todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que 

 5 1 i i ) x ( f = 13 f (2) + 2 f (x1) e 4 i i 1 i 1 x f( ) x  _



= – 2 f (2 x1), então, o valor de x1 é: (A) –2 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 1.

16. (ITA 1993) Seja f: IR  IR uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes informações:

I. f(p)  0

II. f(–x) = –f(x–p), x  IR III. f(–x) = f(x–p), x  IR IV. f(x) = –f(–x), x  IR Podemos concluir que:

(A) I e II são falsas (B) I e III são falsas (C) II e III são falsas (D) I e IV são falsas (E) II e IV são falsas

R17. (ITA 1992) Dadas as funções f:IR  IR e g: IR  IR, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog.

Então podemos afirmar que:

(A) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (B) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. (C) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível.

(D) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. (E) n.d.a

18. (ITA 1991) Considere as afirmações:

I- Se f: IR  IR é uma função par e g: IR  IR uma função qualquer, então a composição gof é uma função par. II- Se f: IR  IR é uma função par e g: IR  IR uma função ímpar, então a composição fog é uma função par. III- Se f: IR  IR é uma função ímpar e inversível então f -1: IR  IR é uma função ímpar.

Então:

(A) Apenas a afirmação I é falsa;

(B) Apenas as afirmações I e II são falsas; (C) Apenas a afirmação III é verdadeira; (D) Todas as afirmações são falsas; (E) n.d.a.

19. (ITA 1990) Seja a função f: IR – {2}  IR – {3} definida por f(x) = 1 2 x 3 x 2 _  

. Sobre sua inversa podemos garantir que: (A) não está definida pois f é não injetora.

(B) não está definida pois f não é sobrejetora. (C) está definida por f-1 (y) =

3 y 2 y   , y  3. (D) está definida por f-1 (y) =

3 y 5 y   – 1, y  3. (E) está definida por f-1 (y) =

3 y 5 y 2   , y  3.

IME

20.(IME 2011_2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real,

2(x b) (x c) 2(x c) (x a) 2(x a) (x b)

f (x) a b c

(a b) (a c) (b c)(c a) (c a)(c b)

     

  

      , obtém –se f(x) igual a :

(A) x2 – (a + b + c)x + abc (B) x2 + x – abc

(C) x2 (D) –x2

(E) x2 – x + abc

21. (IME 2009) Sejam f uma função bijetora de uma variável real, definida para todo conjunto dos números reais e as relações h

e g, definidas por:

 

 



 



2 2 3 h : IR IR x, y h x, y x , x f y    