Com este material esperamos que você trabalhe, de acordo com a Matriz de Avaliação, o desenvolvimento das seguintes habilidades:

Caro monitor,

Preparamos este material para que possamos auxiliá-lo no desenvolvimento das aulas 42, 43, 45, 46 e 47. Objetivamos que o uso deste material possa elucidar os conteúdos trabalhados nas referidas aulas, e assim, proporcionar o preparo de nossos alunos para aplicarem os conhecimentos desenvolvidos nas situações-problemas propostas, permitindo o estabelecimento das relações entre o conhecimento e suas aplicações.

Com este material esperamos que você trabalhe, de acordo com a Matriz de Avaliação, o desenvolvimento das seguintes habilidades:

H12 – Aplicar conhecimentos da Geometria Analítica (distância ponto –ponto, distância ponto-reta, equação da reta e equação da circunferência) na resolução de situações-problemas.

H13 – Aplicar conhecimentos da trigonometria no triângulo (relações trigonométricas, lei dos senos, lei dos cossenos) na resolução de situações-problemas.

Aula 42

As relações trigonométricas

As relações trigonométricas denominadas Leis dos senos e dos cossenos é aplicada a um triângulo qualquer. As duas Leis relacionadas aos triângulos são aplicadas quando temos ângulos ou lados desconhecidos em um triângulo qualquer.

Lei dos cossenos

A Lei dos cossenos apresenta a seguinte relação:

Aplica-se a Lei dos cossenos quando conhecemos o valor de dois lados e de um ângulo do triângulo.

Dado o triângulo ABC vamos determinar o valor do lado c, conhecendo o valor de um ângulo e dos outros dois lados.

Sabendo que o lado

BC

(ou lado a) mede 4 unidades de medida e o lado

AC

( ou lado b) mede 3 unidades de medida .

Lei dos cossenos : c² = a² + b² - 2.a.b.cos

Cˆ

c² = a² + b² - 2.a.b.cos

Cˆ

c² = 4² + 3² - 2.4.3.cos60°

c² = 16 + 9 – 24.cos60° c² = 16 + 9 – 24.0,5

c² = 25 – 12 c² = 13

c =

13

c = 3,60 (aproximadamente) Concluímos então, que o lado c tem como medida aproximada 3,6 unidades de medida.

A seguir, vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação a Lei dos cossenos.

Observação:

co-seno 60° = 0,5 em representação decimal .

Em uma residência deseja-se colocar uma antena, a mesma ficará no telhado na direção da janela da sala, fornecendo assim sinal de transmissão para a sala e para a cozinha. Quantos metros de fio serão necessários comprar no total, já que da antena deverá partir uma fiação que levará a transmissão de sinal para sala e outra fiação que levará a transmissão de sinal para a cozinha.

Resolução:

Temos algumas informações que podem nos ajudar na resolução do problema proposto.

Vejamos:

Sabemos o valor do ângulo

Cˆ

= 60°

Sabemos o valor do segmento

AC

( segmento b) = 2 m Sabemos o valor do segmento

BC

(segmento a) = 2 m Desejamos saber o valor do segmento ( segmento c) = ?

Como temos o valor de um ângulo e de dois lados de um triângulo, podemos aplicar a Lei dos cossenos.

c² = a² + b² - 2.a.b.cos

Cˆ

c² = 2² + 2² - 2.2.2.cos60 c² = 4 + 4 – 8 . 0,5

sala

c² = 8 – 8 . 0,5 c² = 8 – 4 c² = 4 c =

4

c = 2

Agora, que já temos a medida do segmento c, pode-se concluir que será utilizado um total de 4 metros de fiação. Pois, utilizaremos 2 metros da antena até a sala e mais 2 metros da antena até a cozinha.

Aula 43

Lei dos senos

A Lei dos senos apresenta entre seus ângulos e seus lados uma relação de proporcionalidade.

Vejamos a utilização da Lei dos senos para encontrar o valor do lado desconhecido de um triângulo qualquer.

Dado o triângulo ABC, vamos determinar o valor do lado c, sendo conhecidos os valores dos ângulos e de dois dos lados.

Podemos observar que a Lei dos senos apresenta uma razão entre os lados e seus ângulos correspondentes, as razões entre os três lados e seus respectivos ângulos formam uma proporção.

Lei dos senos:

senÂ

a

=

B

sen

b

ˆ

=

_sen

_C

c

ˆ

Utilizando a Lei dos senos para calcular o valor do lado AB (ou lado c). Sabendo que o lado

CA

(ou lado b) mede 8 unidades de medida.

B sen b ˆ =

_sen

_C

c

ˆ



45

8

sen

=

sen

30



c

70

,

0

8

=

5

,

0

c

8. 0,5 = c. 0,70 4 = c.0,70 c =

70

,

0

4

= 5,71

Concluímos então, que o lado c tem como medida 5,71 unidades de medida.

A seguir vamos trabalhar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação a Lei dos senos.

Aplicando a Lei dos senos

A ilustração (1) abaixo apresenta um rio, deseja-se saber qual será o comprimento de uma ponte que será construída com o objetivo de permitir aos pedestres que realizem a travessia do rio. O cálculo do comprimento dessa ponte será permitido aplicando a Lei dos senos, para tanto, vamos traçar às margens do rio um triângulo (ilustração 2).

Para realizar a construção temos algumas informações:

Observações:

sen 45° = 0,70 em representação decimal .

Sabe-se que do ponto A ao ponto B há 3 km.

Sabemos a medida de dois ângulos e de um dos lados do triângulo formado, podemos então aplicar a Lei dos senos para encontrar o valor do comprimento da ponte.

O ângulo

Cˆ

mede 45°; O ângulo Bˆmede 65°; O lado ABmede 3 km;

Veja como será realizado este cálculo

O objetivo é determinar o valor do segmento AC, sendo assim utilizaremos as duas últimas proporções.







65

45

3

sen

AC

sen

3. sen 65° =

AC

. sen 45°

3. 0,90 =

AC

. 0,70 3.0,90 =

AC

. 0,7

AC

=

7

,

0

7

,

2

AC

= 3,86 km

Sabemos agora que a distância entre o ponto A e o ponto C terá 3,86 Km aproximadamente, ou seja, o comprimento da ponte deverá ter 3,86 km.

Geometria Analítica

A Geometria Analítica desenvolve seus estudos por meio da conciliação entre a álgebra e a geometria. A seguir vamos trabalhar com algumas das importantes relações estudadas em Geometria Analítica.

Observações:

sen 45° = 0,70 em representação decimal sen 65°= 0,90 em representação decimal

Aula 45

Distância entre ponto e reta

Para iniciarmos o cálculo da distância entre reta e ponto, vamos utilizar o plano cartesiano.

y r: 2x + 1 = 0

6

•

2 x

Temos a reta r e o ponto P, desejamos calcular qual é a distância entre a reta r e o ponto P. Para tanto, vamos utilizar a seguinte expressão :

d =

²

0

²

2

1

6

.

0

2

.

2







d =

0

4

1

0

4







d =

4

5

d =

2

5

d = 2,5

A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à distância entre reta e ponto.

P Distância da reta r ao ponto P. d =

²

²

b

a

c

by

ax

_{p p}







_{Utilizamos o valor zero}

porque essa equação não tem o coeficiente b.

O desenho a seguir representa a vista aérea de uma determinada ilha. Um grupo de ambientalistas deseja saber qual é a distância entre os dois pontos que estão marcados, estes representam pontos com sinais de desmatamento.

y

5

s: 2x + 1

x 4

Para auxiliar os cálculos, os ambientalistas submeteram a vista área da ilha a uma representação no plano cartesiano, conforme ilustrado. A partir dessa representação, auxiliada pelas coordenadas cartesianas, qual é a distância entre o ponto H e o ponto pertencente a reta s, ambos apontados como sinais de desmatamento?

Resolução: d =

²

²

0 0

b

a

c

by

ax







d =

²

0

²

2

1

5

.

0

4

.

2







d =

0

4

1

0

8







d =

4

9

d =

2

9

d = 4,5 Km

Podemos concluir que a distância entre os pontos que apresentam sinais de desmatamento é de 4,5 Km.

Equação reduzida da reta

Para determinarmos a equação reduzida da reta s vamos analisar o gráfico a seguir:

y s

4

x

Para determinar a equação reduzida da reta vamos utilizar a seguinte expressão:

1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x     

Identificaremos

x

₁ e

y

₁como sendo as coordenadas (2,4). Identificaremos

x

₂e

y

₂como sendo as coordenadas (4,6). Aplicando a fórmula teremos:

4

6

4

2

4

2











y

x

2

4

2

2

_





y

x

) 4 .( 2 ) 2 .( 2 x  y 8 2 4 2x  y 2x482y y x 4 2 2  

2

2

2

4

2

2

x

y





6 2 4

Simplificamos todos os termos por 2, para isolarmos a variável y.

Podemos cancelar o denominador, já que temos o mesmo denominador nos dois membros da equação.

Logo, obteremos a equação da reta s: y =

x



2

A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à equação reduzida da reta

Em uma corrida de táxi é cobrado uma taxa fixa de R$10,00 mais 2,00 por quilômetro rodado. Sabendo que o gráfico a seguir representa os valores cobrados pelo taxista em algumas viagens, determine quanto ele deverá cobrar em uma viagem de 25 km.

Resolução:

Para resolver o problema proposto, vamos encontrar a equação da reta apresentada no gráfico. Algumas informações do gráfico vão nos auxiliar na obtenção da equação da reta.

Para calcular a equação da reta vamos utilizar a seguinte expressão:

1 2 1 1 2 1

y

y

y

y

x

x

x

x











De acordo com o gráfico, vamos considerar

(

x

₁

,

y

₁

)

= (1,12); (x2,y2 )= (2,14);

Aplicando a fórmula temos:

12

14

12

1

2

1











y

x

2

12

1

1







y

x

Quilômetros rodados

V

a

lore

s

e

m

re

a

is

Aplicando a distributiva temos 12 . 1 2 . 2x  y 2.x2121.y















Isolamos a variável y y x10

2 , obtemos a equação da reta.

Agora vamos utilizar essa equação para calcular o valor que será cobrado por 25 quilômetros rodados.

y = 2x + 10 (x representa os quilômetros rodados e y representa o valor que será cobrado)

y = 2.25 + 10 y = 50 + 10 y = 60

Aula 46

Coeficiente angular da reta

Observe a figura a seguir:

k

Para calcularmos o coeficiente angular da reta utilizamos a seguinte expressão:

m = 1 2 1 2

x

x

y

y





, sendo x e y coordenadas de pontos que pertencem a reta.

Coeficiente angular é representado pela tangente do ângulo de inclinação da reta. ) 12 .( 1 ) 1 .( 2 x  y

Vejamos um exemplo:

Dados os pontos A (4,2) e B( 5,3) pertencentes a reta k , determine o seu coeficiente de inclinação. m = 1 2 1 2

x

x

y

y





m =

4

5

2

3





m =

1

1

m = 1

Consultando a tabela trigonométrica, podemos verificar que o coeficiente angular do valor 1 corresponde a tangente de 45°.

Fazendo um esboço da reta e do seu coeficiente angular temos a seguinte representação gráfica: y k x

Aula 47

Equação da circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela seguinte expressão:

(x - a)² + (y – b)² = R² a partir dessa expressão vamos resolver algumas situações.

Ângulo 0° 30° 45° 60° 90° Tangente do ângulo 0

3

3

1

3

 5 4 2 3

Inclinação da reta igual a 45°

1) Dada a equação (x – 4) + (y – 2)= 25 , determine o seu raio. Resolução:

O raio da circunferência é igual a raiz quadrada do valor que está a direita do sinal de igualdade. Logo raio igual a

25

, raio igual a 5.

2) Dada a equação (x – 4)² + (y – 6)² =25, determine se o ponto A (7,10) pertence a circunferência.

Resolução:

Para resolver este tipo de problema, basta substituir as coordenadas do ponto na equação dada.

( x – 4)² + ( y – 6)² = 25 substituindo as coordenadas do ponto ( 7 – 4)² + ( 10 – 6)² = 25 3² + 4² = 25

9 + 16 = 25 25 = 25

Podemos afirmar que o ponto A pertence a circunferência dada, já que substituindo as coordenadas do ponto na equação, obtivemos o valor igual ao valor do raio ao quadrado.

3) Determine a equação da circunferência com centro no ponto (2,3) e que é tangente à reta z de equação 3x + 4y+ 2 = 0

Resolução:

Para determinarmos a equação da circunferência, dados o centro e uma reta tangente a circunferência, vamos utilizar a expressão que nos permite calcular a distância entre ponto e reta. d =

²

4

²

3

2

3

.

4

2

.

3







d =

16

9

2

12

6







d =

²

²

0 0

b

a

c

by

ax







d =

25

20

d =

5

20

= 5

O valor obtido representa a distância entre a reta e o centro da circunferência, sendo o mesmo considerado o raio. A partir desta informação, podemos obter a equação da circunferência, levando em consideração que já temos as coordenadas do centro e a medida do raio.

A equação será: ( x – 2)² + ( y – 3)² = 25 valor do raio elevado ao quadrado

A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação à equação geral da circunferência.

Em um jogo de futebol, o jogador 1 vai bater um falta, ele deverá tocar a bola para o jogador que tiver no raio de 2 metros, conforme orientação de seu técnico. Levando em consideração essa orientação, o jogador 1 visualizou que ele poderia tocar a bola para o jogador 2 ou para o jogador 3. Mas, após o final do jogo seu técnico apontou que ele não cumpriu sua ordem, já que a bola foi tocada para o jogador 3. O técnico está correto, quando diz que a bola deveria ser tocada para o jogador 2 e não para o 3? ( levando em consideração que o toque de bola deveria ser para o jogador que tivesse no raio de 2 metros).

Informações adicionais:

- o jogador 1 está localizado no centro de uma circunferência de equação

(x – 4)² + ( y – 4)² = 4.

- o jogador 2 está localizado no ponto de coordenadas ( 3,6).

- o jogador 3 está localizado no ponto de coordenadas ( 4,2).

Coordenada y do centro Coordenada x do centro

y Jogador 2 x Resolução:

Vamos utilizar a equação da circunferência e verificarmos se os pontos que representam as localizações dos jogadores pertencem ou não a circunferência dada. Jogador 2 - coordenadas ( 3,6)

Equação da circunferência: (x – 4)² + ( y – 4)² = 4

Vamos substituir as coordenadas x e y pelos valores que representam a localização do jogador 2.

( 3 – 4)² + ( 6 – 4)² = 4 ( - 1)² + 2² = 4

1 + 4 = 4 5 ≠ 4

Podemos verificar que o jogador 2 não está no raio de 2 metros do jogador 1, pois, substituindo as coordenadas do jogador 2 na equação da circunferência, que representa a localização do jogador 1, não obtivemos uma igualdade.

Jogador 1 Jogador 3

Jogador 3 – coordenadas (4,2)

Equação da circunferência: (x – 4)² + (y – 4)² = 4

Vamos substituir as coordenadas x e y pelos valores que representam a localização do jogador 3. (x – 4)² + ( y – 4)² = 4 ( 4 – 4)² + ( 2 – 4)² = 4 ( 0)² + (-2)² = 4 0 + 4 = 4 4 = 4

Neste caso, verificamos que o jogador 3 está localizado no raio de 2 metros do jogador 1, pois, substituindo as coordenadas de localização do jogador 3 na equação da circunferência, que representa a localização do jogador 1, obtivemos uma igualdade.

Portanto, o técnico não está correto em dizer que o toque deveria ser para o jogador 2, pois o jogador que estava a uma distância de 2 metros do jogador 1 era exatamente o jogador 3.

Caro monitor,

A utilização deste material poderá acontecer posterior a finalização das aulas 42, 43, 45, 46 e 47, os exercícios aqui propostos poderão ser desenvolvidos pelos alunos em casa, e em momento oportuno discutidas as resoluções em sala. Procuramos, com a produção deste material, complementar as aulas já mencionadas e auxiliar nossos alunos no preparo para a 4ª avaliação processual.

Referências Bibliográficas