REVISÃO 1ª FASE UFU – Vestibular 2012/2 – Exercícios para a Semana de 08 a 22 de julho 2012 MATEMÁTICA – prof. HAWLEY
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES
QUESTÃO 1
Sendo p o valor da parcela caso a geladeira seja paga em n parcelas, do enunciado temos: * pagamento em (n – 3) parcelas * pagamento em (n – 5) parcelas n.p = (n – 3).(p + 60) n.p = (n – 5).(p + 125)
n.p = n.p + 60n – 3p – 180 n.p = n.p + 125n – 5p – 625
60n – 3p = 180 125n – 5p = 625
Assim, temos o sistema ⎩ ⎨ ⎧ = − = − 625 p 5 n 125 180 p 3 n 60 . Resolvendo o sistema, obtém-se n = 13.
Resposta: a
QUESTÃO 2
Como (a1; a2; a3) é uma PA, temos a2 = 2 a a1 + 3 . 2 ) x 8 ( log x log ) x 4 (
log4 = 2 + 8 ⇒ 2.log4(4x) = log2x + log8(8x) ⇒ .log (8x)
3 1 x log ) x 4 ( log . 2 1 . 2 2 = 2 + 2 ) 3 ( . ] ) x 8 ( log . 3 1 x log ) x 4 (
[log2 = 2 + 2 ⇒ 3.log2(4x) = 3.log2x + log2(8x) ⇒ log2(4x)3 = log2x3. (8x) 64x3 = 8x4, com x > 0 ⇒ x = 8
Assim, a1 + a2 + a3 = log28 + log432 + log864= 3 + log2225 + 2 = 3 + 25 + 2 = 152 Resposta: b
QUESTÃO 3
Como o conjunto imagem de f(x) = a + 2bx + c é ]– 1; ∞[, temos que a = – 1. Além disso, de ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 4 3 ; 0 obtemos f(0) = 4 3 , e de (1 ; 0) obtemos f(1) = 0. Assim, – 1 + 2 b.0 + c = 4 3 ∴ 2c = 4 1 ∴ c = – 2 ; e, – 1 + 2 b.1 – 2 = 0 ∴ 2 b – 2 = 1 ∴ b = 2 Desse modo, a.b.c = (– 1).2.(– 2) = 4
Resposta: a
QUESTÃO 4
Número de pessoas Número de mulheres Número de homens
início n x n – x
com a retirada de 31 mulheres n – 31 x – 31 (*) n – x (*)
Do enunciado, temos: ⎩ ⎨ ⎧ − − = − − = − (**) ) 55 x n ( 3 31 x (*) ) 31 x ( 2 x n . ⎩ ⎨ ⎧ + = − − = ) 3 .( 134 x 4 n 3 ) 4 .( 62 x 3 n ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ + = + − = − 402 x 12 n 9 248 x 12 n 4 ⇒ 5n = 650 ⇒ n = 13 Resposta: d QUESTÃO 5
Para todo x ≠ 1 e x ≠ – 1, tem-se:
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
2 2 2 2 2 x 1 1 x 1 x x 4 1 x 1 x x 4 1 ) x ( f + − = + − + = + − = e(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 x 1 1 x 1 x x 4 1 x 1 x x 4 1 x 1 x 4 1 ) x ( f − + = − + − = − + = − + = − Portanto,(
)
(
)
(
)
(
x 1)
1 1 x . 1 x 1 x ) x ( f . ) x ( f 2 2 2 2 = − + + − = − Resposta: b QUESTÃO 6Do enunciado, temos que m(0) = c, portanto: m(10) = 0,2c ⇒ c . a – 10k = 0,2c ⇒ a – 10k = 0,2 Assim, m(20) = c . a – 20k ⇒ m(20) = c . (a – 10k)2 ⇒ m(20) = c . (0,2)2 ⇒ m(20) = 0,04c Ou seja, após 20 anos, a massa ficará reduzida a 4% da inicial.
Resposta: c
QUESTÃO 7
Entre os 12 artrópodes apresentados, 7 não são insetos, a saber: aranha, camarão, ácaro, caranguejo, carrapato e escorpião.
Assim, a probabilidade de os dois escolhidos não serem insetos é dada por:
22 7 11 6 . 12 7 = . Resposta: c QUESTÃO 8 3% de R$ 50.000,00 = R$ 1.500,00 5% de R$ 10.000,00 = R$ 500,00 4% de R$ 10.000,00 = R$ 400,00
Com a venda da casa, Bruno recebeu R$ 1.500,00 a mais do que ele pagou na compra.
Além de devolver as quantias emprestadas, ele deve pagar ainda R$ 500,00 a Edson e R$ 400,00 a Carlos. Seu lucro, em R$, é dado por: 1500 – 500 – 400 = 600.
Portanto seu lucro foi de R$ 600,00.
QUESTÃO 9
QUESTÃO 10
QUESTÃO 11
QUESTÃO 13 QUESTÃO 14 Logo, t 13,8 0,06 t 13,86 15 45 , 0 2 8 , 13 t 1995 2010 35 , 13 8 , 13 2010 2012 8 , 13 t = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ − − = − − . Resposta: b QUESTÃO 15
h(x) = a.(x – x1).(x – x2) ⇒ h(x) = a.(x – 0).(x – 40) ⇒ h(30) = a . 30 . (– 10) ⇒ 3 = – 300a ⇒ a = 100 1 − ∴ h(x) = .x.(x 40) 100 1 − − Logo: hMÁX = h(20) = .20.( 20) 100 1 − − ⇒ h(20) = 4 ∴ hMÁX = 4 metros Resposta: b QUESTÃO 16
Os ladrilhos cinza são em número de 1ª camada: 4
2ª camada: 20 3ª camada: 36 . . .
A sequência (4; 20; 36; . . .) é uma PA em que, a1 = 4 e r = 16. Assim, a10 = a1 + 9r ∴ a10 = 4 + 9 . 16 = 148
A 10ª camada de ladrilhos cinza contém 148 ladrilhos.
Resposta: d
QUESTÃO 17
Sendo x o número de homens, temos:
Gasto de cada homem = x 2400 Quantidade de mulheres = 40 – x
Gasto de cada mulher = x 40 2400 − Logo, 64 x 2400 x 40 2400 = − − ⇒ x 64 -2400 x 40 2400 = − ⇒ 2400x = (2400 – 64x).(40 – x) Resposta: c QUESTÃO 18 Salário bruto: 2.500
Tributo sobre salário: 13,3% de 2.500 = 332,50
Tributo sobre produtos e serviços: 31,5% de 1800 = 567
Total gasto com tributos: 899,5
O percentual gasto com tributos é: .100% 35,98% 36% 2500 5 , 899 ≈ = Resposta: d QUESTÃO 19
Sendo x, y e z as quantidades de chocolates recebidas pelo 1º, 2º e 3º colocados, respectivamente, temos:
2x = 3y = 5z = k ∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 5 k z 3 k y 2 k x e x + y + z = 310 ⇒ 310 5 k 3 k 2 k + + = ∴ k = 300 Logo, x = 150, y = 100 e z = 60 Resposta: C QUESTÃO 20
Sejam r, s e t as raízes e (r; s; t) a PA.
Da PA, temos: 2 t r s = + ∴ r + t = 2s (1) ; Da equação, temos: r + s + t = 3 1 3 = − − (2) De (1) e (2) obtemos: 2s + s = 3s ∴ s = 1 Aplicando Briot-Ruffini: ⇒ k – 3 = 0 ∴ k = 3 Resposta: D
QUESTÃO 21
Sendo: PT o preço da TV; PF o preço do freezer; PC o preço da churrasqueira.
Do enunciado, temos: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + = + 588 . 2 P P 698 . 3 P P 288 . 1 P P T C F T F C 2 PT + 2 PF + 2 PC = 7.574 ⇒ PT + PF + PC = 3.787 Resposta: C QUESTÃO 22 Resposta: C QUESTÃO 23
Como o produto dos módulos é igual ao módulo do produto, temos ⎜x(x – 5)⎥ ≥ 6, ou seja, ⎜x2 – 5x⎥ ≥ 6. Devemos ter: x2 – 5x ≥ 6 ou x2 – 5x ≤ – 6 ⇒ x2 – 5x – 6 ≥ 0 ou x2 – 5x + 6 ≤ 0.
Conjunto solução de x2 – 5x – 6 ≥ 0: S1 = {x ∈ IR / x ≤ – 1 ou x ≥ 6} Conjunto solução de x2 – 5x + 6 ≤ 0: S
2 = {x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 3}
Sendo S o conjunto solução, temos S = S1∪ S2 e, portanto, S = {x ∈ IR / x ≤ – 1 ou 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 6}
Resposta: C
QUESTÃO 24
Sendo 2,5 m = 25 dm, considerando os dois anos de crescimento, temos a PG, dada por a1 = 1 (altura em novembro de 2009) e a3 = 25 (altura em 2011).
Sendo q, q > 0, a razão da PG, temos: a3 = a1 . q2 ⇒ 25 = 1 . q2 ⇒ q = 5.
Resposta: C
QUESTÃO 25
z3 = i ⇒ z3 – i = 0; note que – i é raiz dessa equação e, portanto, z3 – i é divisível por z + i. logo, z3 – i = (z + i).(z2 – iz – 1). z2 – iz – 1 = 0 ⇒ Δ = (– i)2 – 4.(1).(– 1) ⇒ Δ = 1 + 4 ∴ Δ = 3 ⇒ z = 2 3 i ± ∴ z = 2 i 2 3 + ± Resposta: C
QUESTÃO 26 z = cos 6 π + i.sen 6 π ⇒ z3 = cos 6 3π + i.sen 6 3π ⇒ z3 = i Assim, z3 + z6 + z9 = z3 + (z3)2 + (z3)3 = i + i2 + i3 = i – 1 – i = – 1 Resposta: D QUESTÃO 27
Como as massas de Paulo e João são iguais, temos:
O consumo de oxigênio de Paulo, em ml/kg, em função de t, é: 35 . 75 + t . 65 = 2625 + 65t (1)
O consumo de oxigênio de João, em ml/kg, em função de t, é: 30 . 65 + t . 80 = 1950 + 80t (2)
Como queremos que João não consuma mais oxigênio que Paulo, de (1) e (2), devemos ter:
1950 + 80t ≤ 2625 + 65t ⇒ 15t ≤ 675 ⇒ t ≤ 45 ∴ assim o valor máximo de t é 45.
Resposta: A
QUESTÃO 28
Do enunciado, temos a figura, em que a aresta AE é perpendicular à face ABCD:
Sendo S a área da face ABCD e V o volume do paralelepípedo, temos: S . (x + 1) = V ⇒ S . (x + 1) = x3 + 7x2 + 14x + 8 ⇒ S = 1 x 8 x 14 x 7 x3 2 + + + +
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para dividir os polinômios acima, temos:
Portanto, S = x2 + 6x + 8
Resposta: E
QUESTÃO 29
Sendo x, y e z, nessa ordem, os preços, em reais, de uma lapiseira, um caderno e uma borracha, temos:
⇒
De (2) e (1), temos x + 30 + z = 33, ou seja, x + z = 3 (3)
De (2) e (3), temos x + y + z = 13. Resposta: C
QUESTÃO 30
O montante pedido é dado por: 15000 . (1,02)10 = 15000 . [(1,02)5]2 = 15000 . (1,1)2 = 15000 . 1,12 = 18150, ou seja, R$18.150,00.
