ÂNGULOS E POLÍGONOS
ÂNGULOSDefinição: é o nome que se dá à abertura formada por duas semirretas que partem de um mesmo ponto.
Em que:
OA
eOB
são os lados do ângulo.O
é o vértice do ângulo. Ângulos importantes Classificações Figura Reto Raso de uma volta Agudo Obtuso Ângulos complementares Ângulos suplementares Ângulos opostos pelo vértice
Bissetriz (divide em dois ângulos congruentes)
Observação:
1
º
60
'
(1 grau = 60 minutos)
60
'
'
'
1
(1 minuto = 60 segundos) POLÍGONOSPolígono é uma superfície plana formada por uma linha poligonal fechada.
Linha poligonal é uma linha formada apenas por segmentos de reta. Seja o polígono da figura.
A
,B
,C
,D
eE
são os vértices do polígono.AB
, BC , CD,DE
eEA
são oslados do polígono.
Quando todo e qualquer par de pontos A e B, tomados na região
poligonal, determinar um segmento AB completamente interno à região, o polígono é convexo. Caso contrário o polígono é não
convexo ou côncavo.
Tipos de polígonos convexos:
Nº de lados Polígono Nº de lados Polígono
1 não existe 11 Undecágono
2 não existe 12 Dodecágono
3 triângulo 13 Tridecágono 4 quadrilátero 14 Tetradecágono 5 pentágono 15 Pentadecágono 6 hexágono 16 Hexadecágono 7 heptágono 17 Heptadecágono 8 octógono 18 Octadecágono 9 eneágono 19 Eneadecágono 10 decágono 20 Icoságono
Número de diagonais de um polígono
Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos do polígono.
O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por:
2 ) 3
(n n
d
Ex.: Quantas diagonais possui um heptágono? Heptágono: 7 lados;
n
7
.14
2
28
2
7
4
2
7
)
3
7
(
2
)
3
(
n
n
d
d
d
d
d
Um heptágono possui 14 diagonais.
Soma das medidas dos ângulos internos e externos Considere o polígono de n lados da figura.
a b c d S (n 2) 180 Si i 1 1 1 ... e 360 e a b c S S i e
S : soma dos ângulos internos
S : soma dos ângulos internos
Observações:1. Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e ângulos congruentes, logo:
Ângulo interno: Ângulo externo:
n n n S ai i( 2)180º n n S ae e360º
2. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
Compreender a definição de ângulo e associar o nome de cada polígono ao número de lados.
Lembrar das relações para encontrar a soma dos ângulos e a medida dos ângulos internos dos polígonos regulares. Também é necessário lembrar que para polígonos diferentes ou iguais se encaixarem eles devem formar um ângulo de 360°.
http://migre.me/waf3Y
https://goo.gl/8qS5hy http://bit.ly/2lF9OPC
http://twixar.me/362
LINK COM OUTRA DISCIPLINA:
Ver Química Orgânica: Geometria Molecular no caderno de
Química.
01. (PREUNI-SEED/SE - 2016) Numa aula de Matemática o professor leva algumas cartolinas e pede que os alunos construam polígonos regulares, um determinado aluno após construir os seus polígonos resolveu juntá-los como na figura que segue
Após juntar as figuras percebeu que se formava um ângulo
entre elas e resolveu calcular esse ângulo, após algumas tentativas sem sucesso o aluno pediu que o professor calculasse o valor daquele ângulo, o professor desenhou no quadro a figura, realizou os cálculos necessários e concluiu que aquele ângulo mediaA) 44° B) 48° C) 40° D) 46° E) 42°
02. (PREUNI-SEED/SE - 2016) O dono de um apartamento decide fazer uma reforma, para isso planeja comprar três tipos de ladrilhos com formatos poligonais para revestimento das paredes. Diversas formas possíveis para os ladrilhos foram apresentadas, mas ele decidiu que o conjunto de formas possíveis seria composto apenas por figuras poligonais regulares que se encaixassem e não se sobrepusessem.
Os ladrilhos escolhidos pelo morador devem ter formatos de: A) triângulo, hexágono e quadrado.
B) triângulo, pentágono e retângulo.
C) triângulo, octógono e quadrado. D) hexágono, retângulo e heptágono.
03. (PREUNI-SEED/SE - 2016) A imagem a seguir, mostra o movimento realizado ao abrir-se uma porta.
A trajetória descrita pela porta, do ponto A ao ponto C, corresponde a um ângulo
A) reto, pois apresenta uma abertura igual a 90º. B) agudo, pois apresenta uma abertura menor que 90º. C) obtuso, pois a abertura é igual a 180º.
D) agudo, pois a abertura é maior que 90º e menor que 180º. E) obtuso, pois apresenta uma abertura maior que 90º e menor que
180º.
04. (UFSCAR/2005) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Figura 1 Figura 2
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que A) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 15°.
B) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
C) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
D) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
E) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos. 05. (ENCCEJA/2002) Um artista brasileiro criou um mosaico utilizando pentágonos regulares e losangos, dispostos como mostra a figura.
Para recortar as peças do mosaico o artista precisa conhecer a medida dos ângulos das figuras. Sabendo que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108°, os ângulos internos dos losangos devem medir:
A) 18° e 162°. B) 30° e 150°. C) 36° e 144°. D) 54° e 126°. E) 36° e 126°.
06. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Um fabricante planeja colocar no mercado duas linhas de cerâmicas para revestimento de pisos. Diversas formas possíveis para as cerâmicas foram apresentadas e decidiu-se que o conjunto P de formas possíveis seria composto apenas por figuras poligonais regulares.
Duas formas geométricas que fazem parte de P são
A) triângulo e pentágono. B) Triângulo e Hexágono. C) triângulo e octógono. D) hexágono e heptágono. E) hexágono e octógono.
07. (ENEM/2012-Adaptado) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. “A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 65º 30’ 42” a leste do Meridiano de Greenwich.
Dado: 1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é aproximadamente
A) 65,34º. B) 65,51º. C) 65,57º. D) 65,60º. E) 65,72º. 08. (ENEM/2011)
Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de
A) 45°. B) 60°. C) 90°. D) 120°. E) 180°. 09. (ENEM/2002) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os
polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um
A) triângulo. B) quadrado. C) pentágono. D) hexágono. E) eneágono.
CONGRUÊNCIA, SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS, TEOREMA DE TALES E RELAÇÕES MÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
CONGRUÊNCIA
Dois triângulos são denominados congruentes quando possuem a mesma medida nos três lados e nos três ângulos.
Exemplo: Os triângulos
ABC
eA
'
B
'
C
'
são congruentes:Indicamos:
ABC
A
'
B
'
C
'
se
'
'
'
'
'
'
C
B
BC
C
A
AC
B
A
AB
e
'
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
C
C
B
B
A
A
RAZÃO DE SEMELHANÇAA razão de semelhança de dois triângulos é uma medida de proporcionalidade entre eles e é dada por uma constante:
k
c
f
b
e
a
d
TEOREMA DE TALESUm feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.
' ' ' ' C B B A BC AB Consequência CA CD OA OB EC AE DB AD EB AE DB AC
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto (90º).
Os triângulos
AHB
eAHC
são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:m
a
c
2
n
a
b
2
n
m
h
2
h
a
c
b
2 2 2c
b
a
a
m
n
Teorema de Pitágoras:o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
2 2 2
c
b
a
É relevante compreender semelhança de triângulos, o teorema de Tales e sua aplicação, bem como identificar triângulos retângulos e seus elementos.
Conhecer e saber aplicar o teorema de Pitágoras. Lembrar da
relação (3k, 4k e 5k), kR*, 3k e 4k – catetos e 5k – hipotenusa. http://twixar.me/K62 http://bit.ly/2myngsz http://migre.me/wafcd https://goo.gl/nX1wcC
LINKS COM OUTRAS DISCIPLINAS:
Ver Coordenadas Geográficas: os movimentos da terra no caderno de Geografia.
Ver Período Naturalista ou Pré-Socrático no caderno de
Filosofia.
Ver Movimento Uniformemente variado no caderno de Física.
01. (PREUNI-SEED/SE - 2016) A figura a seguir mostra o perfil de uma escada, projetada para acesso ao pavimento superior de uma auditório.
Como de costume, será colocado um corrimão, de alumínio, em cada lado dessa escada. Quanto será pago pelos dois corrimãos, sabendo que a empresa responsável pela produção cobra R$ 95,00 por metro
de alumínio. (dado: 4,682,16)
A) R$ 205,20. B) R$ 171,00. C) R$ 410,40. D) R$ 342,00. E) R$ 444,60.
02. (PREUNI-SEED/SE - 2016) A pedido de um cliente um engenheiro fez uma maquete de uma piscina retangular, utilizando uma escala de 1 : 200, conforme figura abaixo
Após observar o projeto o cliente decidiu fazer uma modificação. Pediu ao engenheiro que colocasse uma diagonal dividindo a piscina em duas partes iguais e, em uma das duas diminuísse a altura real em 80 cm, ficando uma parte para crianças e outra para adultos.
O comprimento real dessa diagonal será aproximadamente
A) 10 m; B) 12 m; C) 14 m; D) 16 m; E) 18 m. 03. (ETEC/2016) Os parques eólicos marítimos apresentam vantagens em relação aos parques eólicos terrestres, pois neles não há problema com o impacto sonoro e o desgaste das turbinas é menor, devido a menor turbulência do vento.
Na instalação dos parques eólicos marítimos, é preciso calcular sua distância até o continente, a fim de instalar os cabos condutores de eletricidade.
Observe o esquema que representa um parque eólico (A), uma estação elétrica (B) no continente e pontos auxiliares C, D e E para o cálculo da distância do parque eólico até a estação elétrica no continente.
Assim sendo, é correto afirmar que a distância do parque eólico marítimo até a estação elétrica no continente é, em metros, A) 75; B) 100; C) 300; D) 400; E) 425. 04. (IF-PE/2016-Adaptada) Durante a construção de uma torre de televisão, fez-se necessário o uso de um cabo de aço para sustentação. O pé desse cabo está fincado a 25 m de distância da base da torre e o seu topo a 60 m de altura. Refeito os cálculos, decidiu-se que o topo do cabo deve ser deslocado 4 m para baixo ao longo da torre, alterando assim a posição da extremidade fixada ao chão, conforme a figura abaixo:
Considerando a nova orientação, de quanto será o deslocamento x do pé do cabo de sustentação em relação à posição anterior? A) 4 m; B) 16 m; C) 6 m; D) 12 m; E) 8 m. 05. (UNEMAT/2015-Adaptada) Para medir a altura de uma torre um professor de Matemática recorreu à semelhança de triângulos. Em um dia ensolarado cravou uma estaca de madeira em um terreno plano próximo à torre, de modo que a estaca formasse um ângulo de 90° com o solo plano. Em determinado momento mediu a sombra
produzida pela torre e pela estaca no solo plano; constatou que a sombra da torre media 12 m e a sombra da estaca 50 cm.
Se a altura da estaca é de 2 metros a partir da superfície do solo, qual a altura da torre?
A) 24 m. B) 12 m. C) 6 m. D) 96 m. E) 48 m.
06. (ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.
A largura e o comprimento reais da pegada, em centímetros, são, respectivamente, iguais a
A) 4,9 e 7,6. B) 8,6 e 9,8. C) 14,2 e 15,4. D) 26,4 e 40,8. E) 27,5 e 42,5.
07. (ENEM/2014) Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome.
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?
A) Retirar 16 células. B) Retirar 40 células. C) Acrescentar 5 células. D) Acrescentar 20 células. E) Acrescentar 40 células.
08. (ENEM/2013-Adaptado) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 12 m e 8 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
A) 4,8 m. B)
2
5
m
. C) 4 m. D) 3,2 m. E) 2,4 m.09. (ENEM/2009-Cancelado) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que
a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 23 da
medida do queixo da esfinge até o alto de sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’,
respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da altura e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por A) c d a b ' B) c d a b 3 2 C) c d a b 2 ' 3 D) c d a b 3 ' 2 E) c d a b2 '
10. (ENEM/2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
A) 1,16 metros. B) 3,0 metros. C) 5,4 metros. D) 5,6 metros. E) 7,04 metros.
11. (ENEM/2006-Adaptado)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a: A) 1,5 m. B) 1,75 m. C) 2,0 m. D) 2,25 m. E) 2,5 m. 12. (ENEM/1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
A) 30 cm. B) 45 cm. C) 50 cm. D) 80 cm. E) 90 cm.
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
a
hipotenusa;
b
cateto;
c
cateto;
sin
seno;
cos
cosseno;
)
tg
(
tan
tangente.hipotenusa
oposto
cateto
sin
a
c
C
a
b
B
sin
ˆ
;
sin
ˆ
hipotenusa
adjacente
cateto
cos
a
b
C
a
c
B
cos
ˆ
;
cos
ˆ
adjacente
cateto
oposto
cateto
tg
b
c
C
c
b
B
tg
ˆ
;
tg
ˆ
VALORES NOTÁVEISx
sin
x
cos
x
tan
x
Grau radiano 0° 0rad 0 1 0 30°
6
π
rad 2 1 2 3 3 3 45°4
π
rad 2 2 2 2 1 60°3
π
rad 2 3 2 1 3 90°2
π
rad 1 0 indeterminado CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICAÉ uma circunferência orientada na qual o sentido positivo é o sentido anti-horário, cujo centro está na origem do sistema cartesiano, e cujo raio mede 1 unidade de comprimento.
Ângulo central
É um ângulo de vértice no centro da circunferência e de lados coincidentes com os raios da mesma.
Arco geométrico
É uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os.
O Ciclo trigonométrico
Círculo unitário e sua orientação
Unidades para medir Arcos
Os arcos geralmente são medidos em graus ou em radianos, com
º
180
.Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um grau (1°).
Radiano: um arco de 1 radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência.
Graus Radianos (rad)
0º
0
rad 90º2
rad 180º
rad 270º2
3
rad 360º2
radI.P.C.: Nos problemas de comprimento,
3,14. I.P.C.: º 360 1 ) º ( Grau da circunferência 60 1 ) ' ( Minuto do grau 60 1 ) '' ( Segundo do minuto ou 600 3 1 do grauCOMPRIMENTO DO ARCO
l
º
180
r
l
Exemplo:Determine o comprimento de um arco com ângulo central igual a 30º contido numa circunferência de raio 2 cm.
ℓ = α · π ∙ r / 180º
ℓ = 30º · 3,14 ∙ 2 / 180º
ℓ = 188,40 / 180
ℓ = 1,05 cm
Arcos côngruosDois arcos são ditos côngruos quando diferem um do outro apenas pelo número de voltas.
rad
2
3
ou
º
360
º
60
I.P.C.: Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma extremidade.
A fórmula geral para arcos medidos em: Graus:
360k, kZ Radianos:
2
k, kZ ( em radiano) RELAÇÕES IMPORTANTES1
cos
sin
2x
2x
;x
x
x
cos
sin
tg
; FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASFunções Seno Cosseno Tangente
Domínio IR IR x k ,kZ 2 π Imagem [-1;1] [-1;1] IR par ou ímpar Ímpar ) ( ) (x sen x sen Par ) ( cos ) ( cos x x Ímpar ) ( ) (x tg x tg periodici-dade
2
2
Sinais_
+ +
_
_
_
+
+
_
_
+
+
GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
I.P.C.: Para determinarmos o período de uma função devemos
simplesmente ter:
x
P
de
e
coeficient
indicada
função
da
período
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
Lei dos Senos
As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro da circunferência circunscrita.
C
c
B
b
A
a
ˆ
sin
ˆ
sin
ˆ
sin
I.P.C.: caso o triângulo esteja inscrito numa circunferência, devemos adotar:
R
C
c
B
b
A
a
2
ˆ
sin
ˆ
sin
ˆ
sin
Lei dos Cossenos
O quadrado de um lado, é a soma dos quadrados dos lados restantes, menos o duplo produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam.
A
c
b
c
b
a
²
²
²
2
cos
B
c
a
c
a
b
²
²
²
2
cos
C
b
a
b
a
c
²
²
²
2
cos
MÁXIMO E MÍNIMO DAS FUNÇÕES COSSENO E SENO
As funções cosseno e seno podem de forma simplificada ser definidas por
y
f
x
cos
x
ey
f
x
sin
x
, respectivamente.A a R C c O B b
Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real:
D
R
Conjunto Imagem: Como seno e cosseno possuem valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e – 1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores:Im
1
;
1
.VALORES NOTÁVEIS DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO
Observação: Para determinar o seno, o cosseno ou tangente de um arco maior que uma volta (maior que 360° ou
2
rad
), basta considerar seu côngruo na 1ª volta positiva.É importante conhecer as relações trigonométricas no triângulo retângulo, as relações fundamentais e inteirar-se sobre as leis do seno e cosseno.
Indispensável memorizar os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º.
Lembrar que os valores do seno e cosseno estão entre – 1 e 1. http://migre.me/vRsUk
http://migre.me/vRt1R http://migre.me/vRt4l
LINKS COM OUTRAS DISCIPLINAS: Física: Adição de vetorial;
Física: Decomposição ortogonal de vetor; Física: Movimento circular;
Física: Plano Inclinado; Filosofia: Pitágoras: Os números.
TRIGONOMETRIA
01. (PREUNI-SEED/SE – 2016) A figura a seguir, mostra o esboço da planta de um galpão, para futuras instalações de uma loja, onde são apresentados o comprimento de cada lado do telhado, com uma inclinação de 30° e a altura das paredes .
Sabendo que o desenho foi feito em uma escala de 1 : 200, a altura real, em metros, do topo do telhado, em relação ao solo é
A) 2,8 m. B) 3,8 m. C) 6,6 m. D) 3,3 m. E) 6,1 m. 02. (EBMSP/2016) Estudos mostram que a demanda por produtos eficientes, seguros e não tóxicos é crescente. Roupas feitas com algodão orgânico e corantes naturais, e cosméticos não testados em animais estão na lista de startups que podem crescer. Com base nessas informações, um jovem empreendedor interessado em iniciar um negócio continuou pesquisando e constatou que determinados itens podem apresentar flutuações em suas vendas ao longo do ano. Considerando-se as vendas mensais de determinado produto, em
milhares de reais, dadas pela função t 56
6 π cos 8 V(t) , 0
≤ t ≤ 11, em que t é dado em meses e t = 0 representa o mês de janeiro, pode-se estimar a média de vendas desse produto no segundo bimestre do ano em
A) R$ 50 100,00. B) R$ 54 000,00. C) R$ 56 280,00. D) R$ 58 000,00. E) R$ 62 400,00.
03. (PUCCAMP/2016) “...tudo teria começado com a haste vertical ao
sol, que projetava sua sombra num plano horizontal demarcado.”
Com um ângulo de inclinação de 30°, em relação ao solo plano, os raios solares incidindo sobre uma haste vertical de 2,5 m de comprimento geram uma sombra de x m. Um pouco mais tarde, quando o ângulo de inclinação dos raios solares é de 45° graus, a mesma sombra gerada agora é de y m. A diferença ente x e y é de, aproximadamente,
sin
30
º
0
,
5
;cos
30
º
0
,
866
;tg
30
º
0
,
577
sin
45
º
0
,
707
;cos
45
º
0
,
707
;tg
45
º
1
A) 1 m. B) 1,83 m. C) 2,45 m. D) 0,88 m. E) 2,27m. 04. (UNICESUMAR/2016) Dois postos de abastecimento estão na mesma margem de um trecho retilíneo de um rio e seus ancoradouros localizam-se nos pontos1
P
e 2P
, conforme mostra o esquema abaixoSabe-se que:
- no ponto V, situado na margem oposta à de 1
P
e2
P
localiza-se o ancoradouro de uma pequena vila;- de 1
P
, avista-se 2- de 2
P
, avista-se 1P
e V sob um ângulo de 60°; - a distância de 2P
a V é igual a20 3
.Nessas condições, a distância de 1
P
a V, em quilômetros, é A)25 3
B)30 2
C)40 3
D)45 2
E)50 3
05. (FGV/2005) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica
onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 x 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a
A) 600. B) 800. C) 900. D) 1500. E) 1600.
06. (ENEM-PPL/2015) Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com
a função
12
12
sin
)
(
h
A
B
h
T
, sendo h o tempo,medido em horas, a partir da meia-noite (0 < h < 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26°C, a mínima 18°C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã.
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?
A) A = 18 e B = 8. B) A = 22 e B = - 4. C) A = 22 e B = 4. D) A = 26 e B = - 8. E) A = 26 e B = 8.
07. (ENEM/2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço
P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal
pode ser descrito pela função
6 cos 5 8 ) (x
x
P , onde xrepresenta o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é
A) janeiro. B) abril. C) junho. D) julho. E) outubro.
08. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) A quantidade de certa espécie de crustáceos, medida em toneladas, presente num trecho de mangue, foi modelada pela equação
600 ( ) 6 4 ( ) Q t sen wt = +
onde t representa o número de meses transcorridos após o início de estudo e w é uma constante.
O máximo e o mínimo de toneladas observados durante este estudo são, respectivamente,
A) 600 e 100. B) 600 e 150. C) 300 e 100. D) 300 e 60. E) 100 e 60.
09. (ENEM-PPL/2014) Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por
y
a
sin
b
x
c
, em que os parâmetros a,b, c são positivos. O programa permite ao usuário provocar
mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda.
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessitam ser alterado(s) é(são) A) a. B) b. C) c. D) a e b. E) b e c. 10. (ENEM/2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Disponível em: www.fickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
A) menor que 100 m2. B) entre 100 m2 e 300 m2.
C) entre 300 m2 e 500 m2. D) entre 500 m2 e 700 m2.
E) maior que 700 m2.
11. (ENEM/2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2
. A figura ilustra essa situação:Suponha que o navegante tenha medido o ângulo = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2.000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
A) 1.000 m. B) 1.000 3 m. C) 2.000
3 3
m.
D) 2.000 m. E) 2.000 3 m.
12. (ENEM/2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
t
t
r
06
,
0
cos
15
,
0
1
5865
)
(
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de A) 12 765 km. B) 12 000 km. C) 11 730 km. D) 10 965 km. E) 5 865 km.
13. (ENEM/2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região.
O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A) 1,8 km. B) 1,9 km. C) 3,1 km. D) 3,7 km. E) 5,5 km.
14. (ENEM/2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km X 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a
(considere 3 0,58 3 )
A) 50% B) 43% C) 37% D) 33% E) 19% 15. (ENEM/2009) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça
A) 1 após girá-la 90° no sentido horário. B) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. C) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. D) 2 após girá-la 180° no sentido horário. E) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
UNIDADES DE MEDIDAS
MEDIDAS DE COMPRIMENTOO comprimento é a grandeza que expressa a distância entre dois pontos.
Múltiplos Unidade padrão
Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
MEDIDAS DE MASSA
Grandeza física que mede a inercia de um corpo, sua resistência à aceleração, e cuja unidade de medida padrão é o grama (
g
).Múltiplos Unidade
padrão Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Obs.: 1 tonelada (t) = 1000 kg 1t1000kg
Transformação de unidades para metro (m) e grama (g). Para transformar unidades, seguimos o procedimento:
a) De uma unidade maior para uma menor, multiplica por 10, 100, 1000, 10000, ... a depender da transformação.
b) De uma unidade menor para uma maior, divide por 10, 100, 1000, 10000, ... a depender da transformação.
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA)
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.
A unidade de medida padrão é o metro quadrado (m2).
O metro quadrado é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos quilômetro quadrado hectômetro quadrado decâmetro quadrado metro quadrado decímetro quadrado centímetro quadrado milímetro quadrado km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Transformação de unidades
Para transformar unidades, seguimos o mesmo procedimento anterior, porém a variação de uma unidade para outra é de 100 em 100.
MEDIDAS AGRÁRIAS
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca) Equivalência de
valor 100 a 1a 0,01a
Obs: 1ha 1hm2; 1a 1dam2; 1ca 1m2. MEDIDAS DE VOLUME
O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo.
A unidade de medida padrão é o metro cúbico (m3).
Múltiplos Unidade padrão Submúltiplos quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico Metro cúbico decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Transformação de unidades
Para transformar unidades, seguimos o mesmo procedimento anterior, porém a variação de uma unidade para outra é de 1000 em 1000.
MEDIDA DE CAPACIDADE
Volume interior de um corpo (sólido geométrico). A unidade de medida padrão é o litro (
L
).Múltiplos Unidade
padrão Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro Litro decilitro centilitro mililitro
kL hL daL L dL cL mL
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
Transformação de unidades
a) De uma unidade maior para uma menor, multiplica por 10, 100, 1000, 10000, ... a depender da transformação.
b) De uma unidade menor para uma maior, divide por 10, 100, 1000, 10000, ... a depender da transformação.
RELAÇÕES ENTRE VOLUME E CAPACIDADE: 3
1
1
L
dm
;
1
mL
1
cm
3;
1
kL
1
m
3.
RESUMO DAS TRANSFORMAÇÕESquilômetro (km) hectômetro (hm) decâmetro (dam) metro (m) decímetro (dm) centímetro (cm) milímetro (mm) 0,001km 0,01hm 0,1dam 1m 10dm 100cm 1000mm 10−6km2 10−4hm2 10−2dam2 1m2 102dm2 104cm2 106mm2 10−9km3 10−6hm3 10−3dam3 1m3 103dm3 106cm3 109mm3
Memorizar as escalas das unidades de medidas.
Perceber que as transformações de unidades seguem um padrão, onde deve-se multiplicar ou dividir determinado valor por 10, 100, 1000, etc.
Lembrar da relação: 1 litro = 1dm³.
http://migre.me/vRtwH http://migre.me/vRtWl http://migre.me/vRtXL
LINKS COM OUTRAS DISCIPLINAS:
Ver população da terra no caderno de Geografia; Ver ciclo da água no caderno de Química;
Ver uma medição importante: A densidade no caderno de
Física.
LINK COM O CADERNO THÉTIS: Texto 3: Lama no Eldorado.
01. (ETEC/2016) Ao examinar a embalagem de determinado alimento, uma pessoa observou que o valor energético estava expresso sob duas formas: 377 kcal (quilocalorias) e 1 583 kJ (quilojoules).
Assim sendo, é correto concluir que 1 J (um joule) vale, aproximadamente, A) 0,2 cal. B) 1,2 cal. C) 4,2 cal. D) 1 200,0 cal. E) 4 200,0 cal.
02. (ETEC/2016) Vertedouro é um canal artificial com a finalidade de conduzir a água através de uma barreira. Nas usinas hidrelétricas os vertedouros são importantes, pois escoam o excesso de água, regulando, assim, seu nível. A capacidade máxima de escoamento do vertedouro da usina de Itaipu é de 62 200 m³/s, 40 vezes a vazão média das Cataratas do Iguaçu.
<https://www.tinyurl.com/hzbz7ou> Acesso em: 29.02.2016. Adaptado.
<http://tinyurl.com/ybhugd> Acesso em: 29.02.2016. Original colorido.
Sobre o texto, é correto concluir que a vazão média das Cataratas do Iguaçu é, em m³/min,
A) 10 337. B) 29 033. C) 50 373. D) 74 330. E) 93 300. 03. (PUC-GO/2016) Um fragmento de texto afirma “Salva da própria maldade e completamente alheia às grandes tragédias que assolam o Planeta”. Mas não há quem não pense sobre a questão do desmatamento, uma das grandes tragédias ambientais brasileiras e mundiais. O instituto de pesquisa Imazon, em Belém, monitora o desmatamento na Amazônia há mais de 20 anos. Em levantamento divulgado recentemente, constatou-se que foram derrubados 1.700 quilômetros quadrados de floresta nativa – uma área maior que a cidade de São Paulo – de agosto de 2014 a fevereiro de 2015, inclusive, o que corresponde a um aumento de 200% em relação ao mesmo período anterior.
(DESMATAMENTO na Amazônia cresce 215% em um ano, segundo Imazon. Disponível em: www.g1.globo.com/jornalnacional/noticia/2015/03/desmatamento-na amazonia-cresce-215- em-um-ano-segundo-o-imazon.html. Acesso em: 21 jan.2016.) Com base nessas informações, a área média desmatada por dia no período anterior foi de aproximadamente (assinale a única alternativa correta)?
A) 1 km² B) 2 km² C) 3 km² D) 4 km² E) 5 km² 04. (UCB/2016) Normalmente as papelarias vendem papel A4 em embalagens com uma resma (500 folhas). Sabendo que a espessura de uma folha é 0,1 mm, ao colocar 50 resmas uma sobre a outra, a altura da pilha, sem considerar as dimensões da embalagem de cada resma, é igual a
A) 250 mm. B) 2,5 cm. C) 25 cm. D) 2,5 m. E) 25 m. 05. (UNINORTE/2016) Se o volume de 22,4 litros de qualquer gás contém, aproximadamente, 6,0221023 moléculas, então em um recipiente na forma de um paralelepípedo reto – com dimensões iguais a 1 m de largura, 3 m de comprimento e 2 m de altura, totalmente preenchido com oxigênio puro e hermeticamente fechado – o número de moléculas de oxigênio existente é de, aproximadamente,
Volume do paralelepípedo:
largura
comprimento
altura
paralelepípedo
V
A) 2,81024 B) 1,61025 C) 3,21025
06. (ENEM/2016) A London Eye é uma enorme roda-gigante na capital inglesa. Por ser um dos monumentos construídos para celebrar a entrada do terceiro milênio, ela também é conhecida como Roda do Milênio. Um turista brasileiro, em visita à Inglaterra, perguntou a um londrino o diâmetro (destacado na imagem) da Roda do Milênio e ele respondeu que ele tem 443 pés.
www.mapadelondres.org. 14 maio 2015 (adaptado). Não habituado com a unidade pé, e querendo satisfazer sua curiosidade, esse turista consultou um manual de unidades de medidas e constatou que 1 pé equivale a 12 polegadas, e que 1 polegada equivale a 2,54 cm. Após alguns cálculos de conversão, o turista ficou surpreendido com o resultado obtido em metros. Qual a medida que mais se aproxima do diâmetro da Roda do Milênio, em metro?
A) 53 B) 94 C) 113 D) 135 E) 145 07. (ENEM-PPL/2015) Na imagem, a personagem Mafalda mede a circunferência do globo que representa o planeta Terra.
Em uma aula de matemática, o professor considera que a medida encontrada por Mafalda, referente à maior circunferência do globo, foi de 80 cm. Além disso, informa que a medida real da maior circunferência da Terra, a linha do Equador, é de aproximadamente 40.000 km.
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008 (adaptado). A circunferência da linha do Equador é quantas vezes maior do que a medida encontrada por Mafalda?
A) 500 B) 5 000 C) 500 000 D) 5 000 000 E) 50 000 000 08. (ENEM-PPL/2015) Atendendo à encomenda de um mecânico, um soldador terá de juntar duas barras de metais diferentes. A solda utilizada tem espessura de 18 milímetros, conforme ilustrado na figura.
Qual o comprimento, em metros, da peça resultante após a soldagem?
A) 2,0230 B) 2,2300 C) 2,5018 D) 2,5180 E) 2,6800
09. (ENEM/2015) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012.
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012.
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de A) 4,129103 B) 4,129106 C) 4,129109 D) 12 10 129 , 4 E) 15 10 129 , 4
10. (ENEM/2015) Deseja-se comprar lentes para óculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de espessuras: 3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm.
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura escolhida será, em milímetros, de
A) 2,099. B) 2,96. C) 3,021. D) 3,07. E) 3,10. 11. (ENEM/2015) Alguns exames médicos requerem uma ingestão de água maior do que a habitual. Por recomendação médica, antes do horário do exame, uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 mililitros a cada meia hora, durante as 10 horas que antecederiam um exame. A paciente foi a um supermercado comprar água e verificou que havia garrafas dos seguintes tipos:
Garrafa I: 0,15 litro Garrafa II: 0,30 litro Garrafa III: 0,75 litro Garrafa IV: 1,50 litro Garrafa V: 3,00 litros
A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo tipo, procurando atender à recomendação médica e, ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas garrafas antes do exame.
Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente?
A) I B) II C) III D) IV E) V 12. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) O gelo marinho no Ártico está em sua segunda menor extensão já registrada: 5,56 milhões de km2.
Essa medida foi feita com o auxílio de satélites no dia 14 de agosto de 2011 e é apenas 220 mil km2 maior do que a baixa recorde de
2007.
ANGELO, C. Volume de gelo no Ártico nunca foi tão baixo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 08 nov. 2011
De acordo com esses dados, a menor extensão territorial do gelo marinho registrada no Ártico em 2007, em metros quadrados, foi A) 214,44103 B) 5,34106 C) 5,34109 D) 5,341012 E) 214,441012
13. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Estudo com funcionários que trabalham como caixas de supermercado revelou que metade deles apresentou sinais de infecção urinária. A maioria fica até 5 horas sem beber água e sem urinar. Segundo a pesquisadora Thalita Galindo, é necessário ingerir água diariamente e o ideal de consumo de água diário seria ingerir 35 mililitros de água para cada quilo de peso.
Jornal do Comércio, 22 jan. 2012(adaptado).
Sabe-se que uma pessoa pesando 80 kg consome 6 galões de 20 litros de água em 60 dias. Para que essa pessoa atinja a ideal ingestão diária de água, a quantidade mínima de litros de água que ela deve acrescentar à sua ingestão diária média, no mesmo período de dias, deve ser de
14. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Um medidor de velocidade funciona com dois sensores instalados sob o asfalto. Um microprocessador recebe os sinais elétricos emitidos pelos sensores, calculando a velocidade V em função da distância fixa entre os sensores e o tempo gasto durante a passagem do veículo, assim,
tempo
distância
V
Se a velocidade for maior do que a máxima permitida para a via, um sistema de vídeo é acionado para capturar a imagem do veículo infrator. Dois destes medidores estão instalados em uma avenida, onde a velocidade máxima permitida é de 60km/h e a distância entre os sensores é de meio metro (0,5 m).
Um motorista dirige um carro, nessa avenida, com o velocímetro descalibrado. Ao passar pelo primeiro medidor ele se lembra da existência dos medidores, reduzindo em 10 km/h a velocidade do seu veículo, e passa pelo segundo medidor. Sabe-se que o microprocessador do primeiro medidor registrou que o veículo passou entre os sensores em 0,024 segundos e, pela legislação vigente, a multa é classificada em:
Média: se a velocidade do veículo é maior do que 60 km/h e menor ou igual a 72km/h;
Grave: se a velocidade do veículo é maior do que 72 km/h e menor ou igual a 90 km/h;
Gravíssima: se a velocidade do veículo é maior do que 90 km/h. (Para transformar a velocidade de m/s para km/h multiplica-se por 3,6).
Qual (ais) multas (s) esse infrator recebeu?
A) Somente uma média B) Somente uma grave C) Uma grave e uma média D) Somente uma gravíssima E) Duas multas gravíssimas
15. (ENEM-PPL/2014) O criador de uma espécie de peixe tem sete tanques, sendo que cada tanque contém 14 600 litros de água. Nesses tanques, existem em média cinco peixes para cada metro cúbico (m3) de água. Sabe-se que cada peixe consome 1 litro de
ração por semana. O criador quer construir um silo que armazenará a ração para alimentar sua criação.
Qual é a capacidade mínima do silo, em litros, para armazenar a quantidade de ração que garantirá a alimentação semanal dos peixes?
A) 511 B) 5 110 C) 51 100 D) 511 000 E) 5 110 000
ESCALA
Definimos escala de um desenho como sendo a razão entre o comprimento do projeto e o comprimento real correspondente, sempre medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas, maquetes, etc.
Se num mapa a escala indicada é de 1 : 1000, isso quer dizer que cada medida no desenho do mapa é 1000 vezes menor que a realidade, sendo assim : Cada 1 cm medido no mapa representará no real 1000 cm = 10 m.
Se num projeto arquitetônico cada cm desenhado equivale a 120 cm
(1,2m) de dimensão real, afirmamos que esse modelo está
na escala de 1 : 120, ou seja, tudo na realidade é 120 vezes maior que no projeto arquitetônico.
Todo mapa cartográfico é feito em escala. Todo projeto arquitetônico é feito em escala.
Toda maquete reproduz fielmente o real, já que sempre é projetada em escala.
Ambas as casas estão desenhadas em escala. A moça que aparece à frente da casa tem, por definição em projetos de arquitetura, a altura de 1,70 m. Assim se tem uma ideia melhor das dimensões da casa.
Outros dois projetos, também executados em escala.
O Mapa parcial do Estado de Sergipe está construído na escala 1 : 2.500.000, ou seja, cada cm medido no mapa, medirá, na verdade 2.500.000 vezes maior, ou seja: 1 cm no mapa será equivalente, no mapa, a 2.500.000 cm = 2.500 m = 25 km.
Compreender a definição de escala.
http://migre.me/vRK7o http://migre.me/vRKx5 http://migre.me/vRKjT
Ver Escalas Cartográficas e Densidade Demográfica no caderno de Geografia.
01. (PREUNI-SEED/SE - 2016)
A Arena Batistão foi inaugurada com festa no dia 4 de janeiro de 2015, o estádio tem novos sistemas de iluminação, hidráulico, irrigação, sanitários, vestiários, gramado, ampliação do estacionamento, modernos painéis informativos, com novo sistema de som. A capacidade sairá dos atuais 15 mil para 18 mil torcedores. Devido a essa ampliação, o gramado terá suas medidas reduzidas para o padrão FIFA, com medidas de 105 metros de comprimento por 68 metros de largura.
Figura 1
Figura 2
Disponível em: http://www.fsf-se.com.br . Acesso em 13/11/2015 (Adaptado)
A Figura 2 com dimensões 3,4cm 5,25cm, nos mostra uma reprodução do gramado da nova Arena Batistão. A escala utilizada nessa figura foi:
A) 1 : 150 B) 1 : 20 C) 1 : 1.500 D) 1 : 2.000 E) 1 : 15.000 02. (IF-AM/2015) A figura abaixo representa a planificação de uma árvore de natal, vista em corte, com as medidas reais em metro, desenhada em centímetros na escala 1:10. Neste caso, a medida real do lado AB é: A) 2,55 m. B) 2,50 m. C) 2,45 m. D) 2,40 m. E) 2,35 m. (UNICAMP/2007- ADAPTADA)
Para responder as questões 03, 04 e 05 , considere o texto A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da estrada(que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à estrada estão uniformemente espaçados de 1 cm.
03. Para representar a escala de um mapa, usamos a notação
1 X
:
,
onde é a distância real correspondente à distância de 1 unidade do mapa. Usando essa notação, indique a escala do mapa dado acima. A) 1 : 425 B) 1 : 525 C) 1 : 4250 D) 1 : 425.000 E) 1 : 525.000 04. Repare que há um posto exatamente sobre um traço perpendicular à estrada. Em que quilômetro (medido a partir do ponto de início da estrada) encontra-se tal posto?A) 18 B) 21,25 C) 34,25 D) 38 E) 44 05. Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado usando a escala 1 : 500.000. Se você fizer a figura em uma folha de papel, qual será a distância, em centímetros, entre as cidades de Paraguaçu e Piripiri?
A) 6,8 B) 8 C) 15,6 D) 21,5 E) 34
06. (ENEM-PPL/2015) Na construção de um conjunto habitacional de casas populares, todas serão feitas num mesmo modelo, ocupando, cada uma delas, terrenos cujas dimensões são iguais a 20 m de comprimento por 8 m de largura.
Visando a comercialização dessas casas, antes do início das obras, a empresa resolveu apresentá-las por meio de maquetes construídas numa escala de 1 : 200.
As medidas do comprimento e da largura dos terrenos, respectivamente, em centímetros, na maquete construída, foram de A) 4 e 10. B) 5 e 2. C) 10 e 4. D) 20 e 8. E) 50 e 20. 07. (ENEM/2014 – 3ª Aplicação) Na figura, estão indicadas as medidas reais da largura e do comprimento de uma casa.
Um arquiteto fez a planta dessa casa numa folha de papel retangular utilizando a escala 1 : 30, deixando 6 cm em cada uma das margens da folha (direita, esquerda, inferior e superior).
Quais são, respectivamente, o comprimento e a largura, em centímetros, da folha de papel utilizada?
A) 50 e 30. B) 50 e 42. C) 56 e 36. D) 62 e 30. E) 62 e 42. 08. (ENEM/2014 - Adaptada) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto de garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm.
Volume do paralelepípedo:
largura
comprimento
altura
paralelepípedo
V
O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será
A) 6. B) 600. C) 6 000. D) 60 000. E) 6 000 000.
09. (ENEM/2014) A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.
Figura 1
Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.
Figura 2
A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1.
PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).
A escala da gravura reproduzida na folha de papel é?
A) 1 : 3. B) 1 : 4. C) 1 : 20. D) 1 : 25. E) 1 : 32. 10. (ENEM/2013) A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25.000, por um período de cinco dias.
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 20 E) 40 11. (ENEM/2013) A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.
Esse número é A) menor que 10.
B) maior que 10 e menor que 20. C) maior que 20 e menor que 30. D) maior que 30 e menor que 40. E) maior que 40.
12. (ENEM/2012 - Adaptado) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 30 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011(adaptado)
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
A) 1 : 140. B) 1 : 1.400. C) 1 : 14.000. D) 1 : 140.000. E) 1: 1.400.000.
13. (ENEM/2012) Um biólogo mediu a altura de cinco arvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.
Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?
A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. 14. (ENEM/2011) Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250.
