CONTROLE EXTREMAL VIA FUNÇÃO DE MONITORAÇÃO E ESCALONAMENTO TEMPORAL PARA GRAU RELATIVO ARBITRÁRIO

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CONTROLE EXTREMAL VIA FUN ¸C ˜AO DE MONITORA ¸C ˜AO E

ESCALONAMENTO TEMPORAL PARA GRAU RELATIVO ARBITR ´ARIO

Tiago Roux Oliveira∗_{, Liu Hsu}†_{, Jos´}_{e Paulo V. S. Cunha}∗_{, Victor Hugo Pereira} Rodrigues∗

∗_{Departamento de Engenharia Eletrˆ}_{onica e Telecomunica¸c˜}_{oes — Faculdade de Engenharia}

Universidade do Estado do Rio de Janeiro — 20559-900

†_{Programa de P´}_{os-Gradua¸c˜}_{ao em Engenharia El´}_{etrica — COPPE-UFRJ}

Universidade Federal do Rio de Janeiro — 21941-972

Emails: tiagoroux@uerj.br, liu@coep.ufrj.br, jpaulo@ieee.org, rodrigues.vhp@gmail.com

Abstract— An output-feedback variable-structure based extremum seeking controller was recently introduced for nonlinear uncertain systems by using a monitoring function. The class of systems considered was restricted to the relative degree one case. In this paper, generalization is achieved to include more general dynamics with arbitrary and uncertain relative degree. Global stability properties of the closed-loop system and exponential convergence to a neighborhood of the desired extremum are proved. The main contribution of this paper is to develop a time-scaling procedure in order to reduce the order of the system dynamics, and consequently, to allow the analysis and control design. Simulation results illustrate the performance of the proposed extremum seeking control algorithm in different time scales.

Keywords— Extremum seeking, Variable-structure control, Output-feedback, Arbitrary relative degree, Un-certain systems, Time-scaling.

Resumo— Um controlador extremal baseado em estrutura variável e realimenta¸cão de sa´ıda foi recentemente introduzido para sistemas incertos usando fun¸cões de monitora¸cão. A classe de sistemas considerada era restrita ao caso de grau relativo unitário. Neste artigo, uma generaliza¸cão é alcan¸cada para incluir dinâmicas com grau relativo arbitrário e desconhecido. As propriedades de estabilidade global do sistema em malha fechada e sua convergência exponencial para uma vizinhan¸ca do extremo desejado são apresentadas. A principal contribui¸cão deste artigo é o desenvolvimento de uma técnica de escalonamento temporal no sentido de reduzir a ordem do sistema dinâmico, e consequentemente, permitir a análise e o projeto do controlador. Os resultados de simula¸cão ilustram o desempenho do algoritmo de controle extremal proposto em diferentes escalas de tempo.

Palavras-chave— Controle extremal, Controle por estrutura variável, Realimenta¸cão de sa´ıda, Grau relativo arbitrário, Sistemas incertos, Escalonamento temporal.

1 Introdu¸c˜ao

O controle por busca extremal ou controle extre-mal, do inglês extremum seeking control (ESC), é uma técnica de controle adaptativo independente do modelo para o ajuste de parâmetros com o in-tuito de otimizar em tempo real um mapeamento não-linear desconhecido. A abordagem mais po-pular de busca extremal baseia-se na persistên-cia de excita¸cão, geralmente senoidal, que per-turba o parâmetro que está sendo ajustado (Krstić and Wang, 2000; Ariyur and Krstić, 2003; Tan et al., 2006; Tan et al., 2009; Tan et al., 2010). Esta abordagem quantifica os efeitos dos parâme-tros na sa´ıda do mapeamento não-linear, e então usa essa informa¸cão para gerar estimativas dos va-lores ótimos dos parâmetros.

Como uma alternativa, um novo controle por busca extremal via modo deslizante e reali-menta¸cão de sa´ıda foi introduzida em (Oliveira et al., 2011) para uma classe de sistemas linea-res com grau relativo um e fun¸cão de sa´ıda não-linear. No lugar da metodologia de perturba¸cão senoidal (Krstić and Wang, 2000; Ariyur and Krs-tić, 2003; Tan et al., 2006; Tan et al., 2009; Tan et al., 2010), o problema de otimiza¸cão em tempo real foi resolvido através de uma fun¸cão de

chave-amento peri´odica (Pan et al., 2003; Fu and ¨Ozg¨ u-ner, 2009).

Resultados relacionados a dinâmicas mais ge-rais incluindo não-linearidades descasadas e de-pendentes do estado não-medido que podem pro-vocar escape em tempo finito foram obtidos em (Oliveira et al., 2012) e (Aminde et al., 2013), esse último utilizando uma outra ferramenta, cha-mada fun¸cão de monitora¸cão. Nas duas aborda-gens, apenas sistemas com grau relativo unitário foram considerados.

Em compara¸cão com o ESC baseado em perturba¸cões senoidais (Krstić and Wang, 2000; Ariyur and Krstić, 2003; Tan et al., 2006; Tan et al., 2009; Tan et al., 2010), a fun¸cão de mo-nitora¸cão introduzida em (Aminde et al., 2013) pode garantir propriedades de estabilidade global, sem afetar a taxa de convergência do algoritmo de busca pelo extremo. Além disso, o algoritmo pro-posto pode ser modificado para atingir o ponto de extremo global mesmo na presen¸ca de extremos locais como em (Tan et al., 2009).

Neste artigo, a generaliza¸cão para o caso de grau relativo arbitrário é obtido para o ESC base-ado em fun¸cões de monitora¸cão. A mitiga¸cão do grau relativo e a busca extremal são alcan¸cados por meio de uma técnica de escalonamento

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tempo-ral. Por uma questão de simplicidade, restringe-se aqui ao caso de plantas dinâmicas lineares e est´ a-veis (Zhang et al., 2007). Utilizando-se o método de perturba¸cão singular, é mostrado que na nova escala de tempo o sistema considerado é reduzido a um simples integrador perturbado por uma di-nâmica rápida de sensor, que por sua vez converge a um pequeno conjunto residual. Deste modo, explorando-se esta estrutura particular, reprojeta-se a lei de controle original (Aminde et al., 2013) com amplitude de controle reduzida para mostrar sua robustez com respeito a dinâmicas de grau re-lativo arbitrário, às custas de uma dilata¸cão tem-poral que desacelera a resposta do sistema.

A estabilidade global com respeito a um con-junto residual compacto é demonstrada. A abor-dagem resultante garante a convergência da sa´ıda do sistema a uma pequena vizinhan¸ca do extremo usando apenas realimenta¸cão de sa´ıda. Simu-la¸cões ilustram a efetividade do controlador por busca extremal proposto.

1.1 Nota¸c˜oes e Defini¸c˜oes

Em todo o artigo, a norma Euclidiana de um ve-tor x e a correspondente norma induzida de uma matriz A são denotadas por kxk e kAk, respec-tivamente. O termo πi(t) significa qualquer fun-¸cão com decaimento exponencial, tal que |πi(t)| ≤ Re−βt,_{∀t, sendo R e β escalares positivos.} Do ponto de vista técnico, os resultados teóricos aqui obtidos são baseados na defini¸cão de Filippov para solu¸cão de equa¸cões diferenciais com lado direito descont´ınuo (Filippov, 1964).

2 Formula¸c˜ao do Problema

Considere o seguinte subsistema linear de grau re-lativo arbitr´ario n∗_:

˙v = u , (1)

˙x = Ax+ Bv , (2)

z = C x , (3)

em cascata com um subsistema est´atico

y= Φ(z) , (4)

onde u ∈ R é a entrada de controle, x ∈ Rn _{é o} vetor de estado, z ∈ R é uma sa´ıda não mensurada do subsistema linear (1)–(3) e y ∈ R é uma sa´ıda mensurada do subsistema estático (4), respectiva-mente.

O integrador em (1) ´e usado para obter um si-nal virtual de controle v ∈ R, que aumenta o grau relativo do sistema (Levant, 2003), i.e., n ≥ n∗

− 1 em vez de n ≥ n∗_{. O aumento do grau relativo} faz com que o chaveamento em alta frequˆencia fi-que retido apenas no sinal de controle u, enquanto que o controle virtual v que aciona a planta dire-tamente seja cont´ınuo. Desta maneira, espera-se

uma melhora quanto a atenua¸c˜ao dos efeitos de

chattering(Utkin et al., 1999) no sistema em ma-lha fechada.

As matrizes A ∈ Rn×n_{, B ∈ R}n_{, C}T ∈ Rn são incertas, a ordem n do subsistema (2) e, con-sequentemente, o grau relativo são desconhecidos. A fun¸cão não-linear incerta Φ : R → R a ser ma-ximizada (ou minimizada) é localmente Lipschitz cont´ınua e suficientemente suave. Assume-se que o tempo inicial é t = 0 s. Para cada solu¸cão de (1)–(4), existe um intervalo de tempo máximo de defini¸cão dado por [0, tM), onde tM pode ser finito ou infinito.

2.1 Objetivo do Controle

O objetivo do controle por busca extremal é a otimiza¸cão em “tempo real”, e não a “estabili-za¸cão” ou o “rastreamento” (Tan et al., 2009). No entanto, o problema de ESC pode ser refor-mulado com um problema de rastreamento em que a dire¸cão de controle é desconhecida (Oliveira et al., 2011; Oliveira et al., 2012). Deseja-se en-contrar uma lei de controle u por realimenta¸cão de sa´ıda tal que, para qualquer condi¸cão inicial, o sistema é guiado a alcan¸car o ponto extremo y∗ = Φ(z∗) de (4) e depois disso é mantido tão perto quanto poss´ıvel de tal ponto. Sem perda de generalidade, aborda-se aqui o problema de busca pelo máximo. O problema de busca pelo m´ınimo pode ser tratado aplicando-se o mesmo algoritmo redefinindo o mapeamento estático em (4) por y = −Φ(z).

2.2 An´alise por Perturba¸c˜ao Singular

Em (Aminde et al., 2013), foi mostrado que uma classe de controladores por busca extremal basea-dos em fun¸c˜oes de monitora¸c˜ao podem ser proje-tados para o problema acima se n∗_{= 1.}

Aqui, pretende-se mostrar que o ESC pro-posto em (Aminde et al., 2013) pode também ser estendido para o caso de grau relativo arbitrário. No sentido de apresentar tal generaliza¸cão, consi-dere abaixo o caso mais simples de um integrador com um mapeamento de sa´ıda não-linear:

˙v = u , (5)

y = Φ(v) , (6)

que pode ser controlado efetivamente pelo método das fun¸cões de monitora¸cão.

Usando a abordagem da perturba¸cão singu-lar (Kokotović et al., 1999), pode-se mostrar que o método da fun¸cão de monitora¸cão para o ESC (Aminde et al., 2013) é robusto a dinâmicas não-modeladas rápidas tal que o sistema pertur-bado (5)–(6) é reescrito na forma de bloco sensor

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(Kokotović et al., 1999, p.50): ˙v = u , (7) µ˙x = Ax+ Bv , (8) y = Φ(Cx) , (9) e satisfaz a inequa¸cão |y − y∗| ≤ O(√µ) , (10) após um transitório rápido, onde µ > 0 é uma constante suficientemente pequena. A demons-tra¸cão completa de (10) segue os mesmos passos apresentados em (Costa and Hsu, 1991; Costa and Hsu, 1992) considerando y∗_{como um setpoint em} um problema de regula¸cão.

2.3 Escalonamento Temporal para o Reprojeto do Controlador

Aplicando-se um escalonamento temporal linear apropriado (Moya et al., 2002)

dt

dτ = µ , (11)

o sistema (7)–(9) pode ser reescrito como

v′ = µu (12) x′ = Ax+ Bv , (13) z = C x , (14) y = Φ(z) , (15) onde v′_:= dv dτ e x ′_:= dx

dτ. Isto significa que ∃µ ∗_> 0 tal que o sinal de entrada u pode ser escalonado (12) para controlar o sistema original (2)–(4) em uma diferente escala de tempo dilatada dada por t= µτ , ∀µ ∈ (0, µ∗].

O significado f´ısico é de que como o ESC base-ado em fun¸cão de monitora¸cão originalmente pro-posto para sistemas de grau relativo um é robusto às dinâmicas não-modeladas estáveis e rápidas à medida que µ → 0, então ele também será ade-quado para controlar dinâmicas de grau relativo arbitrário, se este estiver corretamente escalonado. Como esperado, o pre¸co a ser pago é que a resposta do sistema em malha fechada desacelera quando µ_{→ 0.}

2.4 Principais Hip´oteses

Como mencionado anteriormente, apenas a sa´ıda yé assumida mensurável, já a sa´ıda linear do sub-sistema z e o estado x não estão dispon´ıveis para a realimenta¸cão. Com respeito à planta controlada (1)–(4), ou equivalentemente (12)–(15), as seguin-tes hipóteses são admitidas:

(H1) (Sobre as incertezas): todas as incerte-zas param´etricas da planta pertencem a um con-junto compacto Ω.

(H2) (Sobre o subsistema linear ): a matriz A em (2) deve ser Hurwitz.

Estas suposi¸cões são necessárias para que se-jam obtidos limitantes das incertezas para o pro-jeto do controlador. Em particular (H2) exibe que a dinâmica do sistema seja estável, que é algo usual em controle extremal (Krstić and Wang, 2000). Usando a nota¸cão Φ′_{(z) :=} dΦ(z) dz e Φ ′′_{(z) :=} d2 Φ(z)

dz2 , considera-se que (em Ω):

(H3) (Sobre a fun¸c˜ao objetivo): Existe um ´

unico ponto z∗

∈ R tal que y∗= Φ(z∗) ´e o extremo (m´aximo) de Φ: R → R, satisfazendo

Φ′_(z∗_{) = 0, Φ}′′_(z∗_{) < 0} Φ(z∗_{) > Φ(z), ∀z ∈ R, z 6= z}∗

e para qualquer ∆ > 0 dado, existe uma constante LΦ(∆) > 0 tal que

LΦ(∆) ≤ |Φ′(z)|, ∀z /_{∈ D∆}:= {z : |z − z∗_{| < ∆/2},} onde D∆ ´e chamada de ∆-vizinhan¸ca de z∗_{. A} constante ∆ pode ser feita arbitrariamente pe-quena permitindo-se um menor LΦ.

Note que a Hipótese (H3) não é restritiva uma vez que Φ é assumida ser suave.

3 Controle Extremal via Realimenta¸cão de Sa´ıda e Fun¸cão de Monitora¸cão Esta se¸cão resume alguns resultados obtidos em (Aminde et al., 2013) para o sistema (7)–(9) na ausência de dinâmicas não-modeladas (µ = 0).

3.1 O Caso Singular µ= 0

Neste caso, a equa¸cão diferencial (8) é substitu´ıda pela equa¸cão algébrica x = −A−1_{B v}_{e, a partir de} (7) e (9), a primeira derivada em rela¸cão ao tempo do sinal de sa´ıda y é dada por

˙y = kp(z)u , (16)

onde o ganho em alta frequˆencia, do inglˆes high

frequency gain (HFG), denotado por kp, ´e o co-eficiente de u que aparece na primeira derivada temporal da sa´ıda y, sendo dado por

kp(z) = −Φ′(z)CA−1B . (17) Assim como em (Oliveira et al., 2011; Oliveira et al., 2012), o sgn(kp) ´e tamb´em chamado de

di-re¸cão de controle. A Hipótese (H3) nos leva a considerar um sistema de controle não-linear com HFG dependente do estado, que muda de sinal ao redor do ponto extremo de interesse de modo cont´ınuo.

A partir de (17) e (H3), kp(z) satisfaz |kp(z)| ≥ kp>0 , _{∀z /}_{∈ D∆}, (18) sendo kp ≤ LΦ|CA−1B| um limitante infe-rior constante conhecido para o HFG, obtido

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considerando-se todas as incertezas admiss´ıveis em Φ(·), A, B, e C.

Neste caso, a lei de controle para a planta com HFG desconhecido proposto por (Aminde et al., 2013) ´e:

u=

u+ = _{−ρ(t) sgn(e) ,} t_{∈ T}+, u− = +ρ(t) sgn(e) , t_{∈ T}−, (19) no qual a fun¸cão de monitora¸cão é usada para de-cidir quando u deve ser chaveado de u+ _{para u}− e vice versa. Em (19), ρ(t) > 0 é uma fun¸cão de modula¸cão cont´ınua a ser projetada adiante e os conjuntos T+ _{e T}− _{satisfazem T}+

∩ T− = ∅ e T+ _{∪ T}−= [0, tM).

O sinal de erro e(t) ´e dado por

e(t) = y(t) − ym(t) , (20) onde ym ∈ R ´e uma simples rampa gerada pelo modelo de referˆencia

˙ym= rm, (21)

onde rm>0 é uma constante de projeto. No sen-tido de se evitar um sinal de referência ilimitado ym(t) no sistema de controle, pode-se saturar a sa´ıda do modelo em um limitante superior gros-seiro conhecido de y∗_{, sem comprometer o} desem-penho do controlador. Desta maneira, y é for¸cado a alcan¸car a vizinhan¸ca do máximo y∗ _{= Φ(z}∗₎ e se manter perto do valor ótimo y∗_{. Para este} fim, deve-se propor ρ tal que o rastreamento do erro de sa´ıda e tenda a zero em tempo finito, pelo menos do lado de fora da ∆-vizinhan¸ca, que está na vizinhan¸ca de z∗_.

Assim sendo, conclui-se que y = Φ(z) tenta rastrear ym e, consequentemente, y deve se apro-ximar do máximo y∗ _{desde que y permane¸ca} afas-tado de uma pequena vizinhan¸ca de y∗_{, onde o} HFG não é zero. Em contraste, uma vez que y alcan¸ca a vizinhan¸ca de y∗_{, o HFG irá se} apro-ximar de zero e então sua observabilidade é per-dida. Consequentemente, o rastreamento de ym irá cessar. Contudo, a vizinhan¸ca do ponto ótimo já terá sido alcan¸cada como desejado. A estraté-gia de controle foi desenvolvida para garantir que ypossa se manter perto de y∗depois disso. É evi-dente que a taxa de convergência de z para a ∆-vizinhan¸ca D∆definida em (H3) é uma fun¸cão de ρ. Embora D∆ não seja positivamente invariante, depois de alcan¸carmos D∆, foi mostrado que z se mantém perto de z∗ _{onde o máximo ocorre. Isto} não implica que z(t) permanece em D∆, ∀t. No entanto, como mostrado em (Aminde et al., 2013, Teorema 1), pode-se garantir que y se mantém perto do valor ótimo y∗_.

3.2 Limitante Superior do Erro para µ= 0 A partir de (16), (20) e (21), adicionando-se e subtraindo-se λme `a derivada temporal do erro

e(t) tem-se

˙e = kpu_{− r}_m+ λme_{− λ}_me , (22) ˙e = −λe + kp(u + de) , (23) onde λm>0 ´e uma constante arbitr´aria e

d_e:= 1

k_p[−rm+ λm

e] . (24) Em (Aminde et al., 2013), mostrou-se que se a lei de controle

u= − sgn(kp)ρ sgn(e) (25) fosse usada com uma fun¸cão de modula¸cão não-negativa ρ satisfazendo

ρ_{≥ |de| + δ,} (26)

e δ > 0 sendo uma constante arbitrariamente pequena, ent˜ao usando o lema da compara¸c˜ao (Filippov, 1964), teria-se que, ∀t ∈ [ti, t_M):

|e(t)| ≤ |e(ti)|e−λm(t−ti), (27) onde ti∈ [0, tM).

3.3 Limitante Superior do Erro para µ 6= 0

Quando µ 6= 0 em (8), o escalonamento tempo-ral (11) permite que se considere a planta origi-nal (2)–(4), em uma diferente escala de tempo, sendo controlada pelo controlador (19) devida-mente escalonado por µu, vide (12). No sentido de incorporá-lo, a fun¸cão de modula¸cão deve ser reprojetada para satisfazer

ρ_{≥ µ[|d}_e_{| + δ],} (28) em vez de (26).

Da análise da perturba¸cão singular esbo¸cada na Se¸cão 2.2, se (25) fosse usada novamente, um li-mitante superior para o rastreamento do erro e(t) poderia ser obtido diretamente, para µ suficiente-mente pequeno, adicionando-se os termos de re-gime permanente e transitório em (10) e (27), res-pectivamente:

|e(t)| ≤ ζ(t) , ζ(t) := |e(ti)|e−λm(t−ti)+πe+O(√µ), (29) sendo πe um termo com decaimento exponencial rápido que envolve os efeitos da dinâmica estável não-modelada (8).

O maior problema é que o sgn(kp) é desconhe-cido, então não se pode implementar a lei de con-trole (25). A seguir, o esquema de chaveamento baseado em fun¸cão de monitora¸cão é projetado para lidar com a falta de conhecimento da dire-¸cão de controle fora da ∆-vizinhan¸ca. Note que, o termo πepode ser desconsiderado no projeto da fun¸cão de monitora¸cão uma vez que ele apenas representa modos rápidos e estáveis pelos quais o controlador já provou ser robusto na Se¸cão 2.2.

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3.4 Projeto da Fun¸c˜ao de Monitora¸c˜ao

A descri¸cão detalhada da fun¸cão de monitora¸cão pode ser encontrada em (Yan et al., 2008; Oliveira et al., 2010). Aqui, apenas uma breve descri¸cão é dada. Lembrando-se que a desigualdade (29) é ve-rificada quando a dire¸cão de controle está correta, parece natural utilizarmos ζ como uma referên-cia para decidir se um chaveamento no sinal de controle u em (19) de u+ _{para u}− _{(ou u}− _para u+) é necessário, i.e., o chaveamento ocorre ape-nas quando (29) é violada.

Assim sendo, considere a seguinte fun¸cão ϕ_k(t) = |e(tk)|e−λm(t−tk)+ r, (30) onde tké o instante de chaveamento e r > 0 é qual-quer constante arbitrariamente pequena de ordem O(√µ). A fun¸cão de monitora¸cão ϕmpode ser de-finida como

ϕm(t) := ϕk(t), _{∀t ∈ [tk}, tk+1) ⊂ [0, tM). (31) Note que de (30) e (31), tem-se |e(t)| < |ϕk(t)| em t = tk. Por isso, tk é definido como o instante de tempo quando a fun¸cão de monitora¸cão ϕm(t) encontra |e(t)|, i.e.,

t_k+1:= (

min{t > tk : |e(t)| = ϕk(t)}, se existir ,

t_M, caso contr´ario ,

(32) onde k ∈ {1, 2, . . .} e t0:= 0 s.

Por constru¸c˜ao, a seguinte desigualdade ´e ob-tida diretamente de (31)

|e(t)| ≤ ϕm(t), ∀t ∈ [0, tM) . (33) Nesta aplica¸cão de ESC, o conjunto residual final do algoritmo proposto ao redor do máximo y∗ _é dependente dos valores para o qual a fun¸cão de monitora¸cão converge. De acordo com a defini¸cão em (30), o conjunto residual final será de ordem O(√µ).

3.5 Parˆametros Escalonados do Controlador

De acordo com (12), o controlador (19) deve ser escalonado para ser aplicado à planta original (1)– (4). Neste caso, a fun¸cão de modula¸cão ρ deve satisfazer a inequa¸cão (28).

Lembre-se que a derivada da fun¸cão objetivo não desaparece ∀z fora da ∆-vizinhan¸ca. Deste modo, o limitante inferior da norma kp para kp dado em (18) é válido.

Portanto, pode-se obter o seguinte limitante da norma para dedefinido em (24):

|de(t)| ≤ ¯d_e, d¯_e:= (rm+ λm_|e|)/kp. (34) No esquema desenvolvido, a seguinte proposi-¸cão apresenta uma poss´ıvel implementaproposi-¸cão para a fun¸cão de modula¸cão de modo que (26) seja v´ a-lida.

Proposi¸cão 1. Considere o sistema (1)–(4), o modelo de referência (21) e a lei de controle (19). Fora da∆-vizinhan¸ca D∆, se ρ em (19) é proje-tada como

ρ:= µ

k_p[rm+ λm|e|] + µδ , (35)

para µ suficientemente pequeno, ent˜ao, enquanto

z /_{∈ D∆}, tem-se que: (a) o chaveamento da fun¸c˜ao

de monitora¸cão pára, (b) não ocorre escape em tempo finito em nenhum dos sinais do sistema, o que implica que tM → +∞, e (c) o erro e(t) tende

a zero em tempo finito. O termo δ >0 ´e qualquer

constante arbitr´aria.

Prova: Considerando o argumento da pertur-ba¸cão singular e o escalonamento temporal (11), que mostra que os sistemas (7)–(9) e (12)–(15) são equivalentes para µ suficientemente pequeno, então, a demonstra¸cão para a planta original (1)– (4) segue os mesmos passos que os apresentados na prova da (Aminde et al., 2013, Proposi¸cão 1) para o caso de grau relativo um. Observa¸cão 1. Uma vez que o projeto de controle é desenvolvido pensando-se na escala de tempo lenta µt, é natural que os parâmetros rm e λm

do modelo de referência (21) e fun¸cão de monito-ra¸cão (30)–(31) sejam reescalonados apropriada-mente, ou seja: µrm e µλm.

3.6 Resultado de Convergˆencia Global

O Teorema 1 afirma que o controlador proposto por realimenta¸cão de sa´ıda baseado em fun¸cão de monitora¸cão conduz z a uma ∆-vizinhan¸ca defi-nida em (H3) do maximizante z∗ _{desconhecido.} Isto não implica que z(t) se mantém em D∆, ∀t. Contudo, a amplitude de oscila¸cão do sinal em torno de y∗ _{pode ser feita de O(}√_µ_).

Teorema 1. Considere o sistema (2)–(3), com sa´ıda ou fun¸cão objetivo em (4), lei de controle (1) e (19), fun¸cão de modula¸cão (35), fun¸cão de mo-nitora¸cão (30)–(31) e modelo de referência (21). Assume-se que (H1)–(H3) são válidas, então:

(i) a ∆-vizinhan¸ca D∆ em (H3) ´e globalmente

atrativa sendo alcan¸cada em tempo finito e (ii)

para LΦ(µ) em (H3) suficientemente pequeno, as

oscila¸c˜oes de y(t)em torno do valor m´aximo y∗

podem ser feitas de ordem O(√µ), com r definido

em (30) sendo tamb´em uma constante de ordem

O(√µ). Uma vez que o sinal ym em (21) pode

ser saturado, todos os sinais do sistema em malha fechada se mant´em uniformemente limitados.

Prova: Assim como na prova da Proposi-¸cão 1, a demonstraProposi-¸cão é baseada nos argumen-tos de perturba¸cão singular/escalonamento tem-poral e seguem os passos apresentados na prova do (Aminde et al., 2013, Teorema 1), para µ

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4 Resultado das Simula¸c˜oes

Considere neste exemplo dois sistemas dinâmicos com fun¸cões objetivo desconhecidas e grau relativo três.

O primeiro deles ´e descrito por ˙ v₁= u1 (36) ˙x = 0 1 −10000 −40 x+ 0 10000 v₁ (37) z₁= 1 0 x , (38)

com fun¸c˜ao de transferˆencia de u1 para z1 dada por

G1(s) = 10000 s(s2+ 40s + 10000) e fun¸c˜ao de sa´ıda

y₁= Φ(z1) = 10 − (z1_{− 3)}2. O segundo sistema ´e descrito por

˙v2= u2 (39) ˙x = 0 1 −1 −0.4 x+ 0 1 v₂ (40) z₂= 1 0 x , (41)

com fun¸c˜ao de transferˆencia de u2 para z2 dada por

G2(s) = 1

s(s2+ 0.4s + 1) e a mesma fun¸c˜ao de sa´ıda

y₂= Φ(z2) = 10 − (z2_{− 3)}2.

A fun¸c˜ao objetivo tem um m´aximo y∗ _{= 10} em z∗_{= 3, como pode ser visto na Figura 1.}

0 10 −4 −2 2 4 6 8 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 0 −40 −20 −50 −30 −10 10 −55 −45 −35 −25 −15 −5 5 15 z y

Figura 1: Fun¸c˜ao objetivo y = Φ(z). Devido a diferen¸ca das escalas de tempo dos dois sistemas, dois valores de µ foram escolhidos: µ= 1 para (36)–(38) e µ = 0.01 para (39)–(41).

O sinal de referência ymé escolhido como em (21) com rm= µ. O sinal ymé saturado em 20, tal

que e(t) é mantido uniformemente limitado. Os parâmetros da fun¸cão de monitora¸cão são λm= µ e r = 0.5.

A lei de controle (19) pode ser aplicada com a fun¸cão de modula¸cão (35) satisfazendo (28). Con-tudo, para simplificar seu projeto, usou-se uma fun¸cão de modula¸cão constante dada por ρ = 2µ, que era adequada para alcan¸car o objetivo de con-trole nas simula¸cões.

Como mostrado na Figura 2 e 3, depois de um transitório inicial, y cresce para rastrear ym até z alcan¸car a vizinhan¸ca do maximizador z∗_{= 3, e} y alcan¸car y∗ = 10. Em seguida, o rastreamento exato não é mais obtido, contudo y permanece preso em alguma√µ–vizinhan¸ca de y∗= 10 e ym cresce até o valor de satura¸cão especificado igual a 20 (não mostrado nos gráficos).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 2 4 6 8 12 t (s) y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 −1 1 3 t (s) z

Figura 2: Sinais y e z obedecendo a escala de tempo t = τ . A sa´ıda y tende ao valor m´aximo y∗

1 = 10, com maximizador em z1∗= 3.

As Figuras 4 e 5 ilustram o comportamento da fun¸cão de monitora¸cão e o chaveamento da dire¸cão de controle para os sistemas considerados em suas respectivas escalas de tempo. Pode-se notar que depois de alcan¸car o máximo, o erro irá aumentar devido a escolha da rampa como a trajetória de referência e depois tenderá a um valor constante (não ilustrado nas figuras), que depende do n´ıvel de satura¸cão escolhido.

Nas Figuras 2, 3, 4 e 5, as duas escalas de tempo que individualmente governam cada sis-tema estão bem claras. Os dois sistemas apresen-tam respostas similares mas a constante de tempo do primeiro é 100 vezes mais rápida do que a do segundo, já que t = µτ .

(7)

0 500 1 000 1 500 2 000 0 10 2 4 6 8 12 t (s) y 0 500 1 000 1 500 2 000 0 2 4 −1 1 3 t (s) z

Figura 3: Sinais y e z obedecendo a escala de tempo t = µτ com µ = 0.01. A sa´ıda y tende ao valor m´aximo y∗ 2 = 10, com maximizador em z∗ 2 = 3. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 10 2 4 6 8 12 t (s)

Monitoring function, |e|

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 −1 1 −1.5 −0.5 0.5 1.5 t (s) Control direction

Figura 4: Fun¸cão de monitora¸cão ϕm(tracejada), norma do erro |e| (cont´ınua) e chaveamento da dire¸cão de controle para o sistema (36)–(38).

5 Conclus˜oes

Um controlador por busca extremal baseado em estrutura variável e realimenta¸cão de sa´ıda foi de-senvolvido para sistemas com incertezas paramé-tricas, ordem e grau relativo arbitrários e também desconhecidos. A combina¸cão da fun¸cão de moni-tora¸cão com a técnica de escalonamento no tempo levaram à estabilidade global assintótica do sis-tema em malha fechada e à convergência da sa´ıda do sistema a uma pequena vizinhan¸ca arbitrária do ponto de extremo. A estratégia de controle pro-posta foi testada com sucesso através de exemplos de simula¸cão numérica. 0 500 1 000 1 500 2 000 0 10 2 4 6 8 12 t (s)

Monitoring function, |e|

0 500 1 000 1 500 2 000 0 −1 1 −1.5 −0.5 0.5 1.5 t (s) Control direction

Figura 5: Fun¸cão de monitora¸cão ϕm(tracejada), norma do erro |e| (cont´ınua) e chaveamento da dire¸cão de controle para o sistema (39)–(41).

A aplica¸cão da presente abordagem para re-solver o obstáculo do grau relativo arbitrário em controladores por busca extremal baseados em fun¸cões de chaveamento periódica (Oliveira et al., 2011; Oliveira et al., 2012) parece ser um tópico interessante para pesquisas futuras.

A extensão dos resultados teóricos para siste-mas multivariáveis bem como a inclusão de dinˆ a-micas mais gerais (e.g, duplos integradores e pólos instáveis) estão sob desenvolvimento.

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