Análise Matemática III 2005/2006

(1)

An´alise Matem´atica III

2005/2006

Integra¸c˜ao em R

n

Manuel Guerra

Vers˜ao de 24 de Novembro de 2004

Conte´

udo

1 Integrais definidos em rectˆangulos de Rn ₂

2 Caracteriza¸cão das fun¸cões integráveis 8

3 Cálculo de integrais múltiplos através de integrais iterados 15

4 Integrais definidos em conjuntos gen´ericos 19

5 Algumas propriedades dos integrais 24

6 Integrais impr´oprios 26

7 Mudan¸ca de coordenadas 30

7.1 O teorema de mudan¸ca de coordenadas . . . 30

7.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema de mudan¸ca de coordenadas . . . 33

7.3 Alguns sistemas de coordenadas . . . 40

7.3.1 Coordenadas polares . . . 40

7.3.2 Coordenadas cil´ındricas . . . 42

7.3.3 Coordenadas esf´ericas . . . 43

8 Teoremas de convergˆencia 44 8.1 Integrais de sucess˜oes uniformemente convergentes . . . 45

8.2 Integrais de s´eries de fun¸c˜oes . . . 47

8.3 Regularidade de integrais param´etricos . . . 49

Bibliografia 51

(2)

Este texto é uma introdu¸cão à teoria do integral de Riemann para fun¸cões de várias variáveis. Embora se parta do princ´ıpio que o aluno já domina a teoria elementar do integral de Riemann para fun¸cões de uma única variável, fez-se um esfor¸co para tornar o texto compreens´ıvel sem o recurso a outras fontes. No entanto, o uso de algumas no¸cões elementares que não são definidas no texto é inevitável.

Procurou-se também ajudar o aluno a desenvolver a ”intui¸cão matemática” que é um elemento indispensável da capacidade para resolver problemas, sejam eles teóricos ou aplicados. Nesse sentido, incluem-se alguns comentários informais que evidentemente não substituem as defini¸cões e demon-stra¸cões rigorosas que acompanham. Nestes comentários usam-se aspas (”...”) para indicar termos que são usados sem uma defini¸cão matemática rigorosa e devem ser entendidos no sentido que lhes dá a linguagem comum.

Outra preocupa¸cão foi tornar todos os conceitos e propriedades fáceis de localizar em consulta. To-das as defini¸cões e propriedades estão isolaTo-das do texto e numeraTo-das para fácil referência. Defini¸cões e propriedades (teoremas, proposi¸cões, lemas e corolários) terminam sempre com o s´ımbolo ¤. Demon-stra¸cões terminam com o s´ımbolo ¥. Um ´ındice permite localizar imediatamente as defini¸cões de todos os conceitos apresentados no texto.

1 Integrais definidos em rectˆ

angulos de R

n

Defini¸c˜ao 1 Chama-se rectângulo n-dimensional, n-rectângulo ou simplesmente rectângulo a qualquer subconjunto de Rn _{que se possa representar sob a forma de um produto cartesiano de n}

intervalos fechados e limitados.

Dados dois pontos, a = (a1, a2, ..., an) ∈ Rn, b = (b1, b2, ..., bn) ∈ Rn que verifiquem

−∞ < ai≤ bi< +∞, i = 1, 2, ..., n, indica-se por E (a, b) o rectˆangulo

E (a, b) = {(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : ai≤ xi≤ bi, i = 1, 2, ..., n} .¤

Um 1-rectângulo é um intervalo limitado e fechado. Um 2-rectângulo é um ”rectângulo” no sentido comum do termo, i.e., a sua fronteira é um pol´ıgono de quatro lados paralelos dois a dois e lados adjacentes formam ângulos rectos. Um 3-rectângulo é um paralelip´ıpedo rectângulo, etc..

Note-se que a Defini¸cão 1 inclui rectângulos ”degenerados” no sentido em que alguns dos intervalos considerados podem consistir num ´unico ponto. Mais precisamente, a condi¸cão ai ≤ bi pode ser

satisfeita com igualdade para alguns (ou mesmo todos) os i ∈ {1, 2, ..., n}. Neste sentido, um conjunto formado por um único ponto de Rn _{é também um rectângulo.}

Para o que se segue é essencial dispor de um conceito que me¸ca o ”tamanho” de rectângulos. No caso de 1-rectângulos (isto é, de intervalos) uma medida ”natural” do seu tamanho é o comprimento que é definido por

C (E (a, b)) = b − a.

No caso de 2-rectângulos e de 3-rectângulos existem também medidas ”naturais” que são, respecti-vamente, definidas por

C (E (a, b)) = (b1− a1) × (b2− a2) (´area), C (E (a, b)) = (b1− a1) × (b2− a2) × (b3− a3) (volume).

(3)

Defini¸c˜ao 2 Chama-se conte´udo de Jordan do n-rectˆangulo E (a, b) ao valor C (E (a, b)) = (b1− a1) × (b2− a2) × . . . × (bn− an) = n Y i=1 (bi− ai) .¤

Defini¸c˜ao 3 Dois n-rectângulos, E1, E2 ⊂ Rn_{, dizem-se n˜}_{ao sobrepostos (ou têm sobreposi¸cão}

nula) se int (E1) ∩ int (E2) = ∅.¤

Exerc´ıcio 4 Prove a Proposi¸c˜ao 5.

Proposi¸c˜ao 5 Sejam E1, E2, ..., Ek ⊂ Rn, rectˆangulos n˜ao sobrepostos e seja bE1, bE2, ..., bEm ⊂ Rn,

uma outra fam´ılia de rectˆangulos n˜ao sobrepostos, que verifique

k [ i=1 Ei= m [ i=1 b Ei. Ent˜ao k X i=1 C (Ei) = m X i=1 C³Ebi ´ .¤

A Proposi¸cão 5 permite estender a defini¸cão de conteúdo de Jordan a conjuntos que possam ser representados sob a forma de união de rectângulos não sobrepostos.

Defini¸c˜ao 6 Sejam E1, E2, ..., Ek ⊂ Rn, rectângulos não sobrepostos. Então o conteúdo de k S i=1 Ei é definido por C Ã _k [ i=1 Ei ! = k X i=1 C (Ei) .¤

Exemplo 7 Considere-se o conjunto

A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} ∪ ½ (x, y) : 1 2 ≤ x ≤ 2, 3 4 ≤ y ≤ 3 2 ¾ . Ent˜ao, A = E1∪ E2∪ E3, em que

E1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} , E2= ½ (x, y) : 1 2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 2 ¾ , E3 = ½ (x, y) : 1 ≤ x ≤ 2,3 4 ≤ y ≤ 3 2 ¾ . Logo, C (A) = C (E1) + C (E2) + C (E3) = = (1 − 0) × (1 − 0) + µ 1 − 1 2 ¶ × µ 3 2 − 1 ¶ + (2 − 1) × µ 3 2 − 3 4 ¶ = 2.

Note-se que a decomposi¸cão de A não é única (na realidade existe uma infinidade de decomposi¸cões distintas). Uma decomposi¸cão alternativa é, por exemplo,

E1 = ½ (x, y) : 0 ≤ x ≤1 2, 0 ≤ y ≤ 1 ¾ , E2= ½ (x, y) : 1 2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 2 ¾ , E3 = ½ (x, y) : 1 ≤ x ≤ 2,3 4 ≤ y ≤ 3 2 ¾ .

(4)

Defini¸c˜ao 8 Chama-se parti¸c˜ao do intervalo [a, b] a qualquer conjunto de pontos, P = {x0, x1, x2, ..., xk} ⊂ R que verifique a = x0< x1< x2< ... < xk = b.

Uma parti¸cão decompõe o intervalo [a, b] na união de intervalos não sobrepostos,

[a, b] =

k

[

i=1

[xi−1, xi] .¤

Defini¸c˜ao 9 Considere-se um n-rectˆangulo,

E (a, b) = [a1, b1] × [a2, b2] × ... × [an, bn] .

Chama-se parti¸c˜ao do rectˆangulo E (a, b) a qualquer conjunto de pontos, P ⊂ Rn_{que possa ser}

repre-sentado sob a forma de um produto Cartesiano P = P1 × P2 × ... × Pn, em que

Pi= {x0,i, x1,i, x2,i, ..., xki,i} s˜ao parti¸c˜oes dos intervalos [ai, bi], i = 1, 2, ..., n, respectivamente.

Uma parti¸cão decompõe o rectângulo E (a, b) na união de rectângulos não sobrepostos, E (a, b) = k1 [ i1=1 k2 [ i2=1 ... kn [ in=1 [xi1−1, xi1] × [xi2−1, xi2] × ... × [xin−1, xin] = k [ i=1 Ei.¤

Exemplo 10 Considere-se o rectˆangulo E = [0, 1] × [1, 2] e sejam P1=

© 0,3 4, 1 ª , P2=©1,8 7,32, 2 ª . Então P = P1× P2= = ©(0, 1) ,¡0,8 7 ¢ ,¡0,3 2 ¢ , (0, 2) ,¡3 4, 1 ¢ ,¡3 4,87 ¢ ,¡3 4,32 ¢ ,¡3 4, 2 ¢ , (1, 1) ,¡1,8 7 ¢ ,¡1,3 2 ¢ , (1, 2)ª é uma parti¸cão de E que decompõe E na união de rectângulos não sobrepostos

E = £0,3 4 ¤ ×£1,8 7 ¤ ∪£0,3 4 ¤ ×£8 7,32 ¤ ∪£0,3 4 ¤ ×£3 2, 2 ¤ ∪£3 4, 1 ¤ ×£1,8 7 ¤ ∪£3 4, 1 ¤ ×£8 7,32 ¤ ∪ ∪£3 4, 1 ¤ ×£3 2, 2 ¤ .

Defini¸c˜ao 11 Uma parti¸c˜ao bP = bP1 × bP2 × ... × bPn diz-se mais fina do que a parti¸c˜ao

P = P1× P2× ... × Pn se verificar P ⊂ bP (isto ´e, se Pi⊂ bPi, i = 1, 2, ..., n).¤

Note-se que a Defini¸cão 11 não obriga a que, dadas duas parti¸cões, alguma delas seja mais fina do que a outra. O exemplo seguinte mostra que duas parti¸cões do mesmo rectângulo podem não ter qualquer rela¸cão em termos de uma ser mais ou menos fina do que a outra. Dito de outra forma, ”mais fina” é uma rela¸cão de ordem parcial mas não é uma rela¸cão de ordem total.

Exemplo 12 P = ©0,3₄, 1ª×©1,8₇,3₂, 2ª, bP = ©0,2₃,3₄, 1ª×©1,8₇,3₂, 2ª, eP = ©0,1₂, 1ª×©1,3₂, 2ª são três parti¸cões do rectângulo [0, 1] × [1, 2]. bP é mais fina do que P mas não é mais fina do que eP , nem eP é mais fina do que P .

Defini¸c˜ao 13 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn _{e uma fun¸c˜ao limitada, f : E 7→ R. Seja P , uma}

parti¸cão que decompõe E na união de rectângulos não sobrepostos E = Sk

i=1

Ei.

A soma superior de Darboux de f em rela¸cão à decomposi¸cão P é definida por U (f, P ) = k X i=1 C (Ei) sup x∈Ei f (x) .

(5)

A soma inferior de Darboux de f em rela¸cão à decomposi¸cão P é definida por L (f, P ) = k X i=1 C (Ei) inf x∈Ei f (x) .¤

Proposi¸c˜ao 14 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn _{e uma fun¸c˜ao limitada, f : E 7→ R. Sejam P ,}

b

P , parti¸c˜oes de E.

Se bP for mais fina do que P ent˜ao

L (f, P ) ≤ L³f, bP´, U³f, bP´≤ U (f, P ) .¤

Demonstra¸c˜ao. Seja P , uma parti¸cão que decompõe E na união de rectângulos não sobrepostos,

E = Sm

i=1

Ei. Se bP for uma parti¸cão mais fina do que P , então bP decompõe E numa união de

rectˆangulos n˜ao sobrepostos E = Sm

i=1 ki S j=1 b Ei,j, em que Ei= ki S j=1 b

Ei,j ´e uma decomposi¸c˜ao de cada um

dos rectângulos Ei em rectângulos menores não sobrepostos (verifique que isto é verdade). Então

L (f, P ) = m X i=1 C (Ei) inf x∈Ei f (x) = m X i=1   ki X j=1 C³Ebi,j ´  inf x∈Ei f (x) ≤ ≤ m X i=1 ki X j=1 C³Ebi,j ´ inf x∈ bEi,j f (x) = L³f, bP´; U (f, P ) = m X i=1 C (Ei) sup x∈Ei f (x) = m X i=1   ki X j=1 C ³ b Ei,j ´  sup x∈Ei f (x) ≥ ≥ m X i=1 ki X j=1 C ³ b Ei,j ´ sup x∈ bEi,j f (x) = U ³ f, bP ´ .

A Proposi¸cão 14 implica a seguinte rela¸cão entre somas inferiores e somas superiores, respeitantes a quaisquer parti¸cões (não necessariamente respeitantes à mesma parti¸cão).

Corol´ario 15 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn _{e uma fun¸c˜ao limitada, f : E 7→ R. Quaisquer}

que sejam as parti¸c˜oes de E, P , bP (n˜ao necessariamente uma mais fina do que a outra), verifica-se L (f, P ) ≤ U

³

f, bP

´

.¤

Demonstra¸c˜ao. Sejam P = P1× P2× ... × Pn, bP = bP1× bP2× ... × bPn, parti¸c˜oes de E. A parti¸c˜ao

e P = ³ P1∪ bP1 ´ × ³ P2∪ bP2 ´ × ... × ³ Pn∪ bPn ´

é mais fina do que P e do que bP . Então a Proposi¸cão 14 garante que L (f, P ) ≤ L³f, eP´≤ U³f, eP´≤ U³f, bP´.

(6)

Corol´ario 16 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn _{e uma fun¸c˜ao limitada, f : E 7→ R. As seguintes}

condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

1. Para cada ε > 0 existe uma parti¸c˜ao Pε, que verifica U (f, Pε) − L (f, Pε) < ε;

2. sup {L (f, P ) : P é parti¸cão de E} = inf {U (f, P ) : P é parti¸cão de E} .¤

Demonstra¸c˜ao. Suponha-se que a condi¸cão 1 é satisfeita. Então, para todo ε > 0 existe uma parti¸cão Pεtal que sup {L (f, P ) : P é parti¸cão de E} > U (f, Pε) − ε. Isto implica que

sup {L (f, P ) : P é parti¸cão de E} > inf {U (f, P ) : P é parti¸cão de E} − ε. Fazendo ε tender para zero, verifica-se que a condi¸cão 2 é satisfeita.

Considere-se uma sucess˜ao de parti¸c˜oes, {Pi, i ∈ N} que verifica

lim L (f, Pi) = sup {L (f, P ) : P ´e parti¸c˜ao de E} ,

lim U (f, Pi) = inf {U (f, P ) : P ´e parti¸c˜ao de E}

(tal sucessão existe, tendo em conta a defini¸cão de supremo e ´ınfimo e a Proposi¸cão 14). Se a condi¸cão 2 for satisfeita, então, lim (U (f, Pi) − L (f, Pi)) = 0, pelo que a condi¸cão 1 é também satisfeita.

Defini¸c˜ao 17 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn_{. Uma fun¸c˜ao limitada, f : E 7→ R diz-se}

in-tegr´avel no sentido de Riemann se para todo ε > 0 existir uma parti¸c˜ao de E, Pε, tal que

U (f, Pε) − L (f, Pε) < ε.

Se f : E 7→ R for integrável, então o seu integral indica-se por R_Ef (x) dx e é definido por

Z

E

f (x) dx = sup {L (f, P ) : P é parti¸cão de E} = inf {U (f, P ) : P é parti¸cão de E} .¤

Nota¸c˜ao 18 O integral de f : E 7→ R tamb´em se costuma indicar pelo s´ımbolo Z

E

f (x1, x2, ..., xn) dx1dx2...dxn

ou, mais simplesmente, _Z

E

f.

Teorema 19 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn_{, e sejam f : E 7→ R, g : E 7→ R, fun¸c˜oes}

integráveis. Então, são verdadeiras as seguintes proposi¸cões:

1. Quaisquer que sejam α, β ∈ R, a fun¸cão αf + βg é integrável e verifica

Z E αf (x) + βg (x) dx = α Z E f (x) dx + β Z E g (x) dx; 2. Se f (x) ≥ g (x) ∀x ∈ E, ent˜aoR_Ef (x) dx ≥R_Eg (x) dx;

3. Para todo m, M ∈ R tais que m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ E, verifica-se mC (E) ≤

Z

E

(7)

4. |f | ´e integr´avel e¯¯R_Ef (x) dx¯¯ ≤R_E|f (x)| dx.¤

Demonstra¸c˜ao. Para provar a proposi¸cão (1), basta provar que f + g e αf são integráveis e verificamR_Ef (x) + g (x) dx =R_Ef (x) dx +R_Eg (x) dx eR_Eαf (x) dx = αR_Ef (x) dx, ∀α ∈ R.

Seja P , uma parti¸c˜ao de E. Ent˜ao

L (f, P ) + L (g, P ) ≤ L (f + g, P ) ≤ U (f + g, P ) ≤ U (f, P ) + U (g, P ) . (1) Logo,

U (f + g, P ) − L (f + g, P ) ≤ (U (f, P ) − L (f, P )) + (U (f, P ) − L (f, P )) ,

o que prova que f +g é integrável. Além disso, tomando os supremos das somas inferiores e os ´ınfimos das somas superiores, a desigualdade (1) implica

Z E f (x) dx + Z E g (x) dx ≤ Z E f (x) + g (x) dx ≤ Z E f (x) dx + Z E g (x) dx,

o que prova queR_Ef (x) + g (x) dx =R_Ef (x) dx +R_Eg (x) dx.

Note-se que

αL (f, P ) = L (αf, P ) ≤ U (αf, P ) = αU (f, P ) , se α ≥ 0; αU (f, P ) = L (αf, P ) ≤ U (αf, P ) = αL (f, P ) , se α ≤ 0.

(2)

Estas desigualdades provam que

U (αf, P ) − L (αf, P ) ≤ |α| (U (f, P ) − L (f, P )) ,

pelo que αf é integrável. Além disso, tomando os supremos das somas inferiores e os ´ınfimos das somas superiores, as desigualdades (2) implicam

α Z E f (x) dx ≤ Z E αf (x) dx ≤ Z E αf (x) dx, ∀α ∈ R.

Para provar a proposi¸c˜ao (2), basta notar que f (x) ≥ g (x) ∀x ∈ E implica L (f, P ) ≥ L (g, P ). Logo Z

E

f (x) dx = sup {L (f, P ) : P é parti¸cão de E} ≥ sup {L (g, P ) : P é parti¸cão de E} =

Z

E

g (x) dx.

A proposi¸cão (3) decorre imediatamente da proposi¸cão (2) através da compara¸cão de f com as fun¸cões

g (x) = m, h (x) = M , ∀x ∈ E.

Para provar a proposi¸cão (4), considere-se uma parti¸cão de E que decompõe E na união de rectângulos não sobrepostos, E = Sm

i=1

Ei. Note-se que

sup {f (x) : x ∈ Ei} − inf {f (x) : x ∈ Ei} = sup {f (x) − f (y) : x, y ∈ Ei} =

= sup {|f (x) − f (y)| : x, y ∈ Ei} ≥ sup {||f (x)| − |f (y)|| : x, y ∈ Ei} =

= sup {|f (x)| : x ∈ Ei} − inf {|f (x)| : x ∈ Ei} .

Logo,

(8)

pelo que |f | é integrável. Então, a proposi¸cão (2) implica que Z E f (x) dx ≤ Z E |f (x)| dx, Z E −f (x) dx ≤ Z E |f (x)| dx,

Logo, usando a proposi¸c˜ao (1) obt´em-se

− Z E |f (x)| dx ≤ Z E f (x) dx ≤ Z E |f (x)| dx.

2 Caracteriza¸c˜

ao das fun¸c˜

oes integr´

aveis

Fácilmente se verifica que existem fun¸cões integráveis (considere-se por exemplo uma fun¸cão con-stante). O exemplo seguinte mostra que existem também fun¸cões que não são integráveis.

Exemplo 20 A fun¸c˜ao f : [0, 1] 7→ R definida por

f (x) =    1, se x ∈ Q ∩ [0, 1] ; 0, se x ∈ [0, 1] \Q,

não é integrável. Com efeito, quaisquer que sejam 0 ≤ a < b ≤ 1, verifica-se

sup {f (x) : x ∈ [a, b]} = 1, inf {f (x) : x ∈ [a, b]} = 0.

Logo, qualquer que seja a parti¸c˜ao P do intervalo [0, 1] verifica-se U (f, P ) = 1, L (f, P ) = 0.

Dado que existem fun¸cões integráveis e fun¸cões não integráveis, é importante termos um critério que nos permita distinguir entre os dois casos. O objectivo desta seçcão é apresentar uma condi¸cão

necessária e suficiente para uma fun¸cão ser integrável (Teorema 41). Para isso é necessário introduzir

algumas no¸cões adicionais e discutir algumas propriedades que, no âmbito destas folhas têm interesse essencialmente técnico.

Há no entanto uma condi¸cão suficiente para uma fun¸cão ser integrável que tendo em conta a sua simplicidade vale a pena mencionar. A sua demonstra¸cão é um bom exerc´ıcio para o aluno verificar o seu dom´ınio das matérias expostas na seçcão anterior. Por isso, apresenta-se a condi¸cão sob a forma do seguinte exerc´ıcio.

Exerc´ıcio 21 Considere um rectˆangulo E ⊂ Rn_{, e seja f : E 7→ R, uma fun¸c˜ao cont´ınua. Prove que}

f ´e integr´avel.

Exerc´ıcio 22 Mostre que a fun¸c˜ao

f (x) =    1 − x se x ∈ [0, 1] ; x + 1 se x ∈ [1, 2] ´e integr´avel no intervalo [0, 2].

(9)

O exerc´ıcio 22 mostra que continuidade não é condi¸cão necessária para uma fun¸cão ser integrável. Por outro lado, o exemplo 20 sugere que ”demasiada descontinuidade” pode impedir a integrabil-idade de uma fun¸cão. Em termos informais, podemos afirmar que uma fun¸cão será integrável se for ”suficientemente regular”, sabendo-se desde já que essa ”regularidade” não implica continuidade. A defini¸cão seguinte ajudar-nos-à a definir o ”grau de regularidade” que caracteriza as fun¸cões in-tegráveis de uma forma rigorosa.

Defini¸c˜ao 23 Considere-se um conjunto n˜ao vazio, D ⊂ Rn _{e uma fun¸c˜ao f : D 7→ R. Para cada}

conjunto não vazio, A ⊂ D, a oscila¸cão de f em A é o valor osc (f )_A∈ [0, +∞], definido por osc (f )_A= sup {f (x) − f (y) : x, y ∈ A} .

Para cada ponto x ∈ D, chama-se oscila¸c˜ao de f no ponto x ao valor ωf(x) ∈ [0, +∞], definido

por ωf(x) = inf n osc (f )_D∩B(x,ε): ε > 0o= lim ε→0+osc (f )D∩B(x,ε), em que B (x, ε) = {y ∈ Rn _{: |y − x| < ε}.¤} Exerc´ıcio 24

1. Construa uma fun¸c˜ao f : R2_{7→ R que verifique ω}

f(0) = 0;

f(0) = 1;

f(0) = +∞;

A seguinte Proposi¸cão dá-nos a rela¸cão entre continuidade de uma fun¸cão e o valor da sua oscila¸cão num ponto.

Proposi¸c˜ao 25 Considere-se um conjunto não vazio, D ⊂ Rn_{. Uma fun¸cão f : D 7→ R é cont´ınua}

no ponto a ∈ D se e s´o se ωf(a) = 0.¤

Demonstra¸c˜ao. Suponha-se que f : D 7→ R é cont´ınua no ponto a ∈ D, e fixe-se ε > 0, arbitrário. Então existe δ > 0 tal que |f (x) − f (a)| < ε

2 sempre que |x − a| < δ, x ∈ D. Ent˜ao ωf(a) ≤ sup {f (x) − f (y) : x, y ∈ D ∩ B (a, δ)} =

= sup {(f (x) − f (a)) − (f (y) − f (a)) : x, y ∈ D ∩ B (a, δ)} ≤

≤ 2 sup {|f (x) − f (a)| : x ∈ D ∩ B (a, δ)} ≤ ε.

Fazendo ε tender para zero, esta desigualdade implica ωf(a) ≤ 0. Tendo em conta que a oscila¸c˜ao ´e

um n´umero n˜ao negativo, isto prova que a continuidade de f no ponto a implica ωf(a) = 0.

Suponha-se que f : D 7→ R não é cont´ınua no ponto a ∈ D. Então existe uma sucessão, {xi∈ D, i ∈ N}

que verifica lim xi = a, lim f (xi) 6= f (a). Logo,

(10)

Considere-se um rectângulo E ⊂ Rn_{, e uma fun¸cão f : E 7→ R. Seja P uma parti¸cão que decompõe}

E na união de rectângulos não sobrepostos, E = mS

i=1 Ei. Note-se que U (f, P ) − L (f, P ) = m X i=1 osc (f )_E iC (Ei) .

Esta expressão sugere que uma fun¸cão será integrável se existirem parti¸cões de E para as quais existe apenas um ”pequeno” n´umero de ”pequenos” rectângulos nos quais a oscila¸cão de f é ”grande”. A Proposi¸cão 25 indica que f será integrável se for poss´ıvel escolher as parti¸cões de E de modo que os rectângulos que contêm pontos de descontinuidade de f sejam ”pequenos”. As seguintes defini¸cões permitir-nos-ão formular estas ideias de modo rigoroso.

Defini¸c˜ao 26 Um conjunto A ⊂ Rn _{tem conte´}_{udo de Jordan nulo se para cada ε > 0 existir uma}

fam´ılia de rectˆangulos, E1, E2, ..., Ek, tal que

A ⊂ k [ i=1 Ei, k X i=1 C (Ei) < ε (3)

(o número de rectângulos pode depender de A e ε mas é necessáriamente finito).¤

Defini¸c˜ao 27 Um conjunto A ⊂ Rn _{tem medida de Lebesgue nula se para cada ε > 0 existir uma}

sucess˜ao de rectˆangulos, {Ei, i ∈ N}, tal que

A ⊂ ∞ [ i=1 Ei, ∞ X i=1 C (Ei) < ε.¤ (4)

Note-se que um conjunto com conteúdo de Jordan nulo tem também medida de Lebesgue nula. Para verificar que isto é verdade basta notar que se E1, E2, ..., Ekverificar a condi¸cão (3), então basta

escolher uma sucess˜ao de rectˆangulos de conte´udo nulo, {Ei, i = k + 1, k + 2, ...} para obter uma

sucess˜ao {Ei, i ∈ N} que satisfaz a condi¸c˜ao (4). No entanto, o exemplo seguinte mostra que existem

conjuntos que têm medida de Lebesgue nula mas não têm conteúdo de Jordan nulo.

Exemplo 28 Seja A = [0, 1] ∩ Q. Considere-se uma fam´ılia de intervalos [a1, b1] , [a2, b2] , ..., [ak, bk],

tal que A ⊂ Sk i=1 [ai, bi]. ]0, 1[ \ k S i=1

[ai, bi] ´e um conjunto aberto. Tendo em conta que em qualquer

vizinhan¸ca de um número real existe um número racional, a existência de x ∈ ]0, 1[ \ Sk

i=1

[ai, bi] implica

a existˆencia de ex ∈ A\ Sk

i=1

[ai, bi] Isto prova que ]0, 1[ ⊂ k S i=1 [ai, bi]. Logo, k P i=1 (bi− ai) ≥ C (]0, 1[) = 1,

o que prova que A n˜ao tem conte´udo de Jordan nulo.

Para provar que A tem medida de Lebesgue nula, note-se que A é numerável, visto ser um subconjunto de Q. Isso significa que existe uma sucessão, xi tal que A = {xi, i ∈ N}. Fixe-se ε > 0, arbitrário e

considere-se a sucess˜ao de intervalos [ai, bi] =

£ xi−2i+1ε xi+2i+1ε ¤ . Ent˜ao, A⊂ ∞ [ i=1 [ai, bi] , ∞ X i=1 (bi− ai) = ∞ X i=1 ε 2i= ε.

(11)

Exerc´ıcio 30 Prove que o conjunto A = ©(x, y) ∈ R2_{: x = y, 0 < x < 1}ª _{tem conte´udo de Jordan} nulo.

Exerc´ıcio 31 Seja f : [a, b] 7→ R, uma fun¸c˜ao cont´ınua.

Prove que o conjunto G =©(x, y) ∈ R2_{: y = f (x) , x ∈ [a, b]}ª_{tem conte´udo de Jordan nulo.}

Exerc´ıcio 32 Seja A ⊂ Rn_{, um conjunto compacto e seja f : A 7→ R}m_{, uma fun¸c˜ao cont´ınua.}

Prove que o conjunto G = {(x, y) ∈ Rn+m_{: x ∈ A, y = f (x)} tem conte´udo de Jordan nulo.}

O Lema 33 mostra que fenómenos como o ilustrado no exemplo 28 (um conjunto com medida de Lebesgue nula e conteúdo de Jordan positivo) não podem ocorrer quando o conjunto é compacto. Lema 33 Um conjunto compacto, A ⊂ Rn _{tem medida de Lebesgue nula se e só se tiver conteúdo de}

Jordan nulo.¤

Demonstra¸cão. Pelas Defini¸cões 26 e 27, um conjunto de conteúdo nulo tem também medida nula (independentemente de ser compacto). Basta então mostrar que um conjunto compacto com medida de Lebesgue nula tem conteúdo de Jordan nulo.

Seja A ⊂ Rn_{, um conjunto compacto com medida de Lebesgue nula. Fixe-se ε > 0, arbitr´ario, e seja}

{Ei, i ∈ N}, uma sucess˜ao de rectˆangulos que verifique

A ⊂ ∞ [ i=1 Ei, ∞ X i=1 C (Ei) < ε.

Para cada rectˆangulo Ei existe um rectˆangulo maior, bEi, tal que

Ei⊂ int ³ b Ei ´ , C³Ebi ´ < C (Ei) + ε 2i. Ent˜ao, nint³Ebi ´

, i ∈ No ´e uma cobertura aberta de A. Tendo em conta que A ´e compacto, essa cobertura admite uma subcobertura finita, ou seja existe k ∈ N, tal que A ⊂ Sk

i=1 b Ei. Al´em disso, k X i=1 C³Ebi ´ ≤ ∞ X i=1 C³Ebi ´ ≤ ∞ X i=1 ³ C (Ei) + ε 2i ´ < 2ε.

Tendo em conta que ε ´e arbitr´ario, isto prova que A tem conte´udo de Jordan nulo.

Defini¸c˜ao 34 Um conjunto A ⊂ Rn_{diz-se mensur´}_{avel no sentido de Jordan se para cada ε > 0}

existirem fam´ılias de rectˆangulos n˜ao sobrepostos, {E_i, i = 1, 2, ..., k},©Ei, i = 1, 2, ..., m

ª , tais que k [ i=1 E_i⊂ A ⊂ m [ i=1 Ei, m X i=1 C¡Ei ¢ − k X i=1 C (E_i) < ε.¤

Exerc´ıcio 35 Mostre que um c´ırculo, B (0, r) = ©(x, y) ∈ R2_{: x}2_{+ y}2_{≤ r}2ª_{´e mensur´avel no} sen-tido de Jordan.

Nota¸c˜ao 36 Dado um conjunto A ⊂ Rn_{, χ}

A: Rn7→ R indica a fun¸c˜ao χA(x) =    1, se x ∈ A; 0, se x ∈ Rn_\A.

A fun¸c˜ao χA chama-se fun¸c˜ao caracter´ıstica do conjunto A.

(12)

Proposi¸c˜ao 37 Considere-se um rectângulo E ⊂ Rn_{. Um conjunto A ⊂ E é mensurável no sentido}

de Jordan se e s´o se χA: E 7→ R for integr´avel.¤

Demonstra¸c˜ao. Suponha-se que χA é integrável. Então, para cada ε > 0 existe uma parti¸cão

de E, P , tal que

U (χA, P ) − L (χA, P ) < ε.

Esta parti¸cão decompõe o rectângulo E na união de rectângulos não sobrepostos, E = Sk

i=1 Ei. Sejam I = {i : Ei⊂ A} , J = {i : A ∩ Ei 6= ∅} . Ent˜ao, verifica-se [ i∈I Ei⊂ A ⊂ [ i∈J Ei, X i∈J C (Ei) − X i∈I C (Ei) = U (χA, P ) − L (χA, P ) < ε,

Pelo que A ´e mensur´avel no sentido de Jordan.

Suponha-se agora que A é mensurável no sentido de Jordan. Fixe-se ε > 0, arbitrário e sejam

{E_i, i = 1, 2, ..., k},©Ei, i = 1, 2, ..., m ª , tais que k [ i=1 Ei ⊂ A ⊂ m [ i=1 Ei, m X i=1 C¡Ei ¢ − k X i=1 C (Ei) < ε.

Tendo em conta que a união de um número finito de rectângulos pode ser representada sob a forma de uma união de um número finito de rectângulos não sobrepostos, a Proposi¸cão 5 implica que podemos considerar, sem perda de generalidade, que {Ei, i = 1, 2, ..., k} ⊂

©

Ei, i = 1, 2, ..., m

ª . A Propriedade 5 implica tamb´em que, podemos subdividir os rectˆangulos Ei, i = 1, 2, ..., m, de modo

que se pode também supor sem perda de generalidade que existe uma parti¸cão, P , que decompõe o rectângulo E numa união de rectângulos não sobrepostos, E = Sp

i=1 Ei, tal que {Ei, i = 1, 2, ..., k} ⊂ © Ei, i = 1, 2, ..., m ª ⊂ {Ei, i = 1, 2, ..., p} . Ent˜ao U (χA, P ) − L (χA, P ) ≤ m X i=1 C¡Ei ¢ − k X i=1 C (Ei) < ε,

pelo que χA ´e integr´avel.

Lema 38 Se {Ai⊂ Rn, i ∈ N} for uma sucess˜ao de conjuntos com medida de Lebesgue nula, ent˜ao ∞

S

i=1

Ai tem medida de Lebesgue nula.¤

Demonstra¸c˜ao. Seja {Ai⊂ Rn, i ∈ N}, uma sucess˜ao de conjuntos com medida de Lebesgue

nula, e seja ε > 0, arbitrário. Então, existe uma dupla sucessão de rectângulos, {Ei,j, i, j ∈ N}, tal

que Ai⊂ ∞ [ j=1 Ei,j, ∞ X j=1 C (Ei,j) < ε 2i. Ent˜ao, ∞ [ i=1 Ai⊂ ∞ [ i=1 ∞ [ j=1 Ei,j, ∞ X i=1 ∞ X j=1 C (Ei,j) ≤ ∞ X i=1 ε 2i = ε.

(13)

Note-se que se substituirmos ”medida de Lebesgue” por ”conteúdo de Jordan” no Lema 38, obtemos uma proposi¸cão falsa. Basta notar que existe uma sucessão {xi, i ∈ N} que percorre todos

os elementos do conjunto Q. Logo, Q é união de uma sucessão de conjuntos com conteúdo de Jordan nulo (visto que todos têm um único elemento). No entanto, no Exemplo 28 provou-se que Q não tem conteúdo de Jordan nulo.

Lema 39 Considere-se um rectângulo E ⊂ Rn _{e uma fun¸cão f : E 7→ R, limitada. Então, qualquer}

que seja ε > 0, o conjunto Dε= {x ∈ E : ωf(x) ≥ ε} ´e fechado.¤

Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que existe um conjunto aberto, Aε⊂ Rn, tal que

E\Dε= E ∩ Aε.

Para isso basta mostrar que para cada a ∈ E\Dε existe uma vizinhan¸ca, B (a, δ) tal que

E ∩ B (a, δ) ⊂ E\Dε.

Seja a ∈ E\Dε= {x ∈ E : ωf(x) < ε}. Ent˜ao existe δ > 0 tal que osc (f )E∩B(a,δ)< ε. Logo,

qual-quer que seja x ∈ E ∩ B (a, δ), verifica-se ωf(x) ≤ osc (f )E∩B(a,δ)< ε, ou seja E ∩ B (a, δ) ⊂ E\Dε.

Lema 40 Considere-se um rectˆangulo E ⊂ Rn _{e uma fun¸c˜ao f : E 7→ R. Se existir ε > 0 tal que}

ωf(x) < ε, ∀x ∈ E, então existe uma parti¸cão que decompõe E numa união de rectângulos não

sobrepostos, E = Sk

i=1

Ei, tal que osc (f )Ei< ε, i = 1, 2, ..., k.¤

Demonstra¸c˜ao. Para cada x ∈ E existe δx> 0 tal que osc (f )E∩B(x,δx)< ε. Ent˜ao, para cada

x ∈ E existe um rectˆangulo Ex⊂ B (x, δx), tal que x ∈ int (Ex). {int (Ex) , x ∈ E} ´e uma cobertura

aberta do compacto E, logo admite uma subcobertura finita, {int (Exi) , i = 1, 2, ..., m}. Basta-nos

então tomar a parti¸cão constitu´ıda pelos vértices dos rectângulos Exi, i = 1, 2, ..., m.

Estamos finalmente em condi¸cões de formular a anunciada caracteriza¸cão das fun¸cões integráveis. Teorema 41 Uma fun¸cão f : E (a, b) 7→ R é integrável se e só se o conjunto

D = {x ∈ E (a, b) : f ´e descont´ınua no ponto x} tiver medida de Lebesgue nula.¤

Demonstra¸c˜ao. Suponha-se que f é integrável. Pela Proposi¸cão 25, verifica-se

D = {x ∈ E (a, b) : ωf(x) > 0} = +∞_[ i=1 ½ x ∈ E (a, b) : ωf(x) ≥ 1 i ¾ .

Ent˜ao, tendo em conta o Lema 38, para provar que D tem medida de Lebesgue nula basta provar que cada um dos conjuntos

Di =

½

x ∈ E (a, b) : ωf(x) ≥ 1

i

(14)

tem medida de Lebesgue nula. Para isso basta provar que Di tem conte´udo de Jordan nulo.

Qualquer parti¸c˜ao de E (a, b), verifica

U (f, P ) − L (f, P ) = k X j=1 Ã sup x∈Ej f (x) − inf x∈Ej f (x) ! C (Ej) ≥ X j:Ej∩Di6=∅ 1 iC (Ej) .

Se f for integrável, então a parti¸cão P pode ser escolhida de modo a que a diferen¸ca U (f, P )−L (f, P ) seja arbitrariamente pequena, ou seja Di tem conteúdo de Jordan nulo. Isto prova que o conjunto de

pontos de descontinuidade de uma fun¸c˜ao integr´avel tem medida de Lebesgue nula.

Suponha-se agora que D tem medida de Lebesgue nula. Fixe-se i ∈ N. Di tem medida de Lebesgue

nula porque Di ⊂ D. O Lema 39 garante que Di ´e fechado e, dado que est´a contido no conjunto

limitado E (a, b), ´e compacto. Usando o Lema 33, conclui-se que Di tem conte´udo de Jordan nulo.

Ent˜ao existe uma parti¸c˜ao de E (a, b) que verifica X

j:Ej∩Di6=∅

C (Ej) <1

i. (5)

´

E poss´ıvel refinar esta parti¸cão de modo a obter uma nova parti¸cão que satisfaz a condi¸cão (5) e também osc (f )_E_j ≤ 1

i para todo j tal que Ej∩ Di= ∅. Considerando uma tal parti¸c˜ao temos

U (f, P ) − L (f, P ) ≤ P j:Ej∩Di6=∅ Ã sup x∈Ej f (x) − inf x∈Ej f (x) ! C (Ej) + P j:Ej∩Di=∅ osc (f )_E_jC (Ej) ≤ ≤ P j:Ej∩Di6=∅ Ã sup x∈E(a,b) f (x) − inf x∈E(a,b)f (x) ! C (Ej) +1_i P j:Ej∩Di=∅ C (Ej) ≤ ≤ Ã sup x∈E(a,b) f (x) − inf x∈E(a,b)f (x) ! 1 i +1iC (E (a, b)) .

Tendo em conta que para cada i ∈ N é poss´ıvel escolher uma parti¸cão que satisfa¸ca esta desigualdade, provou-se que f é integrável.

Conclu´ımos esta seçcão com uma importante propriedade que mostra que a integrabilidade de uma fun¸cão e o valor do integral não dependem do valor da fun¸cão num ”pequeno” conjunto de pontos.

Proposi¸c˜ao 42 Considere-se um rectˆangulo, E ⊂ Rn _{e duas fun¸c˜oes limitadas, f, g : E 7→ R.}

Suponha-se que existe um conjunto A ⊂ E, com conte´udo de Jordan nulo, tal que f (x) = g (x), ∀x ∈ E\A.

Então, f é integrável se e só se g for integrável e nesse caso verifica-se

Z E f = Z E g.¤

Demonstra¸c˜ao. Considerem-se fun¸cões f, g : E 7→ R, verificando as hipóteses da Proposi¸cão, e seja M = sup

x∈E|f (x) − g (x)|.

Suponha-se que f é integrável e considere-se uma parti¸cão P , que decompõe o rectângulo E na união de rectângulos não sobrepostos E = Sk_i=1Ei. Fixe-se um valor ε > 0 arbitrário. Uma vez que o

(15)

conjunto {x ∈ E : f (x) 6= g (x)} tem conteúdo de Jordan nulo, a parti¸cão P pode ser refinada de modo a verificar _X i:∃x∈Ei,f (x)6=g(x) C (Ei) < ε. Então, U (g, P ) ≤ U (f, P ) + X i:∃x∈Ei,f (x)6=g(x) M C (Ei) < U (f, P ) + M ε; L (g, P ) ≥ L (f, P ) − X i:∃x∈Ei,f (x)6=g(x) M C (Ei) > L (f, P ) − M ε.

Dado que a parti¸cão P é arbitrária, isto implica que sup

P L (f, P ) − M ε ≤ supP L (g, P ) ≤ infP U (g, P ) ≤ infP U (f, P ) + M ε.

Tendo em conta que ε ´e arbitr´ario, isto prova que sup

P L (f, P ) ≤ supP L (g, P ) ≤ infP U (g, P ) ≤ infP U (f, P ) ,

pelo que a integrabilidade de f implica que g ´e integr´avel e Z E f = Z E g.

Pelo mesmo argumento, a integrabilidade de g implica a integrabilidade de f .

O exemplo 20 mostra que a hipótese de A ter conte´udo de Jordan nulo não pode ser substitu´ıda na Proposi¸cão 42 pela hipótese de A ter medida de Lebesgue nula. Com efeito, a fun¸cão f apresentada no exemplo difere da fun¸cão nula apenas no conjunto [0, 1] ∩ Q, que se provou no exemplo 28 ter medida de Lebesgue nula mas não conteúdo de Jordan nulo.

3 C´

alculo de integrais m´

ultiplos atrav´

es de integrais iterados

Não deve ter escapado à observa¸cão do aluno o facto que o cálculo de um integral a partir da Defini¸cão 17 é extremamente laboriosa, mesmo quando a fun¸cão integrada é muito ”simples”. No entanto, é extremamente importante dispormos de um método de cálculo que nos permita calcular de forma relativamente fácil uma vasta gama de integrais. O aluno deve estar familiarizado com o teorema fundamental da análise que permite calcular o integral de uma fun¸cão cont´ınua num intervalo compacto através de uma primitiva da fun¸cão integrada. O objectivo desta seçcão é apresentar um teorema que permite reduzir o problema de calcular o integral de uma fun¸cão com dom´ınio num n-rectângulo, ao problema de calcular um certo conjunto de integrais de fun¸cões definidas em intervalos compactos.

Considere-se um n-rectˆangulo, E = [a1, b1] × [a2, b2] × ... × [an, bn] ⊂ Rn. O rectˆangulo E pode

ser representado na forma E = [a1, b1] × E2, em que E2= [a2, b2] × [a3, b3] × ... × [an, bn]. Na mesma

perspectiva, um ponto de E ser´a indicado por (x, y), sendo entendido que x ∈ [a1, b1], y ∈ E2. O

valor de uma fun¸c˜ao f : E 7→ R no ponto (x, y) ∈ E ser´a naturalmente indicado por f (x, y).

Considere-se agora uma fun¸cão f : E 7→ R, particular (i.e., fixa à partida mas em princ´ıpio arbitrária). No que se segue vai ser necessário considerar as seguintes fam´ılias de fun¸cões definidas a partir de f .

(16)

• Para cada x ∈ [a1, b1], temos uma fun¸c˜ao de dom´ınio E2 que faz corresponder a cada y ∈ E2

o valor f (x, y) (em que x é sempre o mesmo ponto de [a1, b1], fixo à partida). Esta fun¸cão é indicada por f (x, ·). Se quisermos sublinhar o facto que o dom´ınio desta fun¸cão é o rectângulo

E2, podemos escrever f (x, ·) : E2 7→ R. Temos ent˜ao uma fam´ılia de fun¸c˜oes parametrizada

por x ∈ [a1, b1]: para cada valor de x temos uma fun¸cão possivelmente diferente das restantes. Todas essas fun¸cões têm como dom´ınio o mesmo rectângulo E2.

Pode acontecer que, pelo menos para alguns valores de x ∈ [a1, b1], a fun¸c˜ao f (x, ·) : E2 7→ R

seja integrável1_{. Então, podemos definir uma fun¸cão com dom´ınio} D1= {x ∈ [a1, b1] : f (x, ·) : E27→ R é integrável}

que, a cada ponto x ∈ D1 faz corresponder o valor F (x), definido por F (x) =

Z

E2

f (x, y) dy.

• De modo análogo, para cada y ∈ E2, temos uma fun¸cão f (·, y) : [a1, b1] 7→ R que faz corre-sponder a cada x ∈ [a1, b1] o valor f (x, y) (em que y é sempre o mesmo ponto de E2, fixo à

partida). Temos assim tamb´em uma fam´ılia de fun¸c˜oes parametrizada por y ∈ E2.

Pode acontecer que, pelo menos para alguns valores de y ∈ E2, a fun¸cão f (·, y) : [a1, b1] 7→ R seja integrável. Então, podemos definir uma fun¸cão com dom´ınio

D2= {y ∈ E2: f (·, y) : [a1, b1] 7→ R ´e integr´avel}

que, a cada ponto y ∈ D2faz corresponder o valor G (y), definido por G (y) =

Z

[a1,b1]

f (x, y) dx.

Exemplo 43 Considere-se a fun¸c˜ao f : [0, 1] × [0, 2π] 7→ R, definida por

f (x, y) = x cos (x + y) .

Então f (1, ·) é a fun¸cão y 7→ cos (1 + y), com dom´ınio em [0, 2π]. f (·, 2) é a fun¸cão x 7→ x cos (x + 2), com dom´ınio no intervalo [0, 1].

Facilmente se verifica que para cada x ∈ [0, 1], a fun¸cão f (x, ·) é cont´ınua, logo é integrável. Usando o Teorema fundamental da análise obtém-se

F (x) =

Z _2π

0

x cos (x + y) dy = 0, ∀x ∈ [0, 1] . De modo análogo, f (·, y) é integrável, qualquer que seja x ∈ [0, 1], e verifica-se

G (y) =R₀1x cos (x + y) dx = [x sin (x + y)]x=1_x=0−R₀1sin (x + y) dx =

= sin (1 + y) + [cos (x + y)]x=1_x=0= sin (1 + y) + cos (1 + y) − cos y, ∀y ∈ [0, 2π] .

O teorema que nos permite reduzir o cálculo de um integral com dom´ınio num n-rectângulo ao cálculo de integrais em intervalos compactos pode ser formulado nos seguintes termos.

1_{Por exemplo, se f : E 7→ R for cont´ınua, ent˜}_{ao f (x, ·) : E}

2 7→ R ´e integr´avel, qualquer que seja x ∈ [a1, b1] (o

(17)

Teorema 44 Considere-se uma fun¸cão integrável, f : [a1, b1] × E27→ R. Se, para cada x ∈ [a1, b1], a fun¸cão f (x, ·) : E27→ R for integrável, então verifica-se

Z [a1,b1]×E2 f = Z b1 a1 µZ E2 f (x, y) dy ¶ dx.¤ (6)

Observa¸c˜ao 45 O Teorema 44 não tem qualquer rela¸cão com a ordem pela qual são indicados os

argumentos da fun¸c˜ao f . Com efeito, pod´ıamos igualmente representar o rectˆangulo E na forma E = E1× [ak, bk] × E3, em que E1= [a1, b1] × ... × [ak−1, bk−1], e E1= [ak+1, bk+1] × ... × [an, bn].

Nesse caso obter´ıamos a seguinte formula¸c˜ao equivalente ao Teorema 44:

Considere-se uma fun¸cão integrável, f : E 7→ R. Se, para cada xk ∈ [ak, bk], a fun¸cão f (·, xk, ·) :

E1× E37→ R for integr´avel, ent˜ao verifica-se

Z E f = Z _b_k ak µZ E1×E3 f (x1, ..., xk−1, xk, xk+1, ..., xn) dx1...dxk−1dxk+1...dxn ¶ dxk.¤

Demonstra¸cão do Teorema 44. Suponha-se que f satisfaz as hipóteses do Teorema e considere-se a fun¸cão definida no in´ıcio desta seçcão, F (x) = R_E

2f (x, y) dy. A igualdade que se

pretende provar (6) pode ser escrita na forma Z [a1,b1]×E2 f = Z b1 a1 F.

Seja P = P1× P2, uma parti¸cão em que P1= {x0, x1, ..., xk}, com a1 = x0< x1 < ... < xk = b1, e P2é uma parti¸cão do rectângulo E2 que define uma decomposi¸cão em rectângulos não sobrepostos,

E2= l [ j=1 b Ej. Ent˜ao, U (f, P ) =Pk i=1 l P j=1 sup (x,y)∈[xi−1,xi]× bEj f (x, y) (xi− xi−1) C ³ b Ej ´ ≥ ≥Pk

i=1x∈[xsupi−1,xi]

Ã l P j=1_{y∈ b}sup_E_jf (x, y) C ³ b Ej ´! (xi− xi−1) = =Pk i=1 sup x∈[xi−1,xi] U (f (x, ·) , P2) (xi− xi−1) ≥ k P i=1 sup x∈[xi−1,xi] F (x) (xi− xi−1) = = U (F, P1) .

de modo an´alogo, verifica-se

L (f, P ) = Pk i=1 l P j=1 inf (x,y)∈[xi−1,xi]× bEj f (x, y) (xi− xi−1) C ³ b Ej ´ ≤ ≤Pk i=1 inf x∈[xi−1,xi] Ã l P j=1 inf y∈ bEj f (x, y) C³Ebj ´! (xi− xi−1) = =Pk i=1 inf x∈[xi−1,xi] L (f (x, ·) , P2) (xi− xi−1) ≤ k P i=1 inf x∈[xi−1,xi] F (x) (xi− xi−1) = = L (F, P1) .

(18)

Temos portanto L (f, P ) ≤ L (F, P1) ≤ U (F, P1) ≤ U (f, P ), qualquer que seja a parti¸c˜ao P . Tendo

em conta que a parti¸c˜ao pode ser escolhida arbitrariamente fina, isto prova a igualdade (6).

Exemplo 46 Considere-se a fun¸c˜ao do exemplo 43,

f (x, y) = x cos (x + y) , (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 2π] .

f é cont´ınua, logo o Teorema 41 garante que é integrável. Igualmente, a fun¸cão f (x, ·) é cont´ınua (logo, integrável), qualquer que seja x ∈ [0, 1]. Então aplica-se o Teorema 44 e, tendo em conta os cálculos realizados no exemplo 43, o cálculo deR_{[0,1]×[0,2π]}f reduz-se a

Z [0,1]×[0,2π] f = Z ₁ 0 µZ _2π 0 x cos (x + y) dy ¶ dx = Z ₁ 0 0 dx = 0.

Tendo em conta a observa¸c˜ao 45, o Teorema permite tamb´em representar o integral de f na forma

Z [0,1]×[0,2π] f = Z 2π 0 µZ ₁ 0 x cos (x + y) dx ¶ dy

(verifique que as hipóteses são também satisfeitas). Nesse caso obtém-se o mesmo resultado através de um cálculo um pouco mais laborioso:

Z

[0,1]×[0,2π]

f =R₀2π³R₀1x cos (x + y) dx´dy =

=R₀2πsin (1 + y) + cos (1 + y) − cos y dy = = [− cos (1 + y) + sin (1 + y) − sin y]y=2π_y=0 = 0. Observa¸c˜ao 47 O Teorema 44 pode ser tamb´em aplicado ao integralR_E

2f (x, y) dy. Em particular,

se a fun¸cão f : E 7→ R for cont´ınua, o cálculo do integral R_Ef reduz-se ao cálculo de um integral iterado Z E f = Z b_i1 a_i1 ÃZ b_i2 a_i2 ... ÃZ b_in−1 a_in−1 ÃZ bin ain f (x1, x2, ..., xn) dxin ! dxin−1 ! ... dxi2 ! dxi1, (7)

em que i1, i2, ..., in é uma permuta¸cão arbitrária de {1, 2, ..., n}. No entanto, o exemplo 46 mostra

que, embora (no caso de todas as hipóteses serem satisfeitas) todas as permuta¸cões dos n primeiros naturais conduzam a integrais iterados com o mesmo valor (e, nesse sentido, sejam teoricamente equivalentes), pode dar-se o caso de certas permuta¸cões (i.e., certas ordens pela qual se calculam os integrais em rela¸cão a cada uma das variáveis) conduzirem a cálculos mais simples do que outras.

Nota¸c˜ao 48 Os parêntesis numa expressão como o lado direito da igualdade (7) são desnecessários.

Com efeito, para que não haja ambiguidade basta adoptar a conven¸cão segundo a qual a indica¸cão da variável que se encontra mais à esquerda (i.e., dxin no termo do lado direito da igualdade (7)) diz

respeito ao sinal de integral que se encontra mais `a direita (i.e., Rbin

ain na mesma express˜ao).

Por outras palavras, a express˜ao

Z _b i1 a_i1 ... Z _b in−1 a_in−1 Z _b_in ain f (x1, x2, ..., xn) dxindxin−1... dxi1

(19)

deve ler-se de acordo com o seguinte esquema: Z b_i1 a_i1 ... Z b_in−1 a_in−1 Z bin a_in f (x1, x2, ..., xn) dxin | {z } dxin−1 | {z } .. . ... dxi1 | {z } .

4 Integrais definidos em conjuntos gen´

ericos

A defini¸cão de integral estudada nas seçcões anteriores é demasiado restritiva por se aplicar apenas a fun¸cões definidas em rectângulos. Nesta seçcão trataremos de generalizar a Defini¸cão 17 de modo a incluir integrais do tipo R_Af , em que A ⊂ Rn _{é um conjunto limitado mas bastante mais geral}

do que um rectângulo. A classe de conjuntos na qual é poss´ıvel definir tais integrais é deixada propositadamente vaga. Em última análise, a possibilidade de definir um integral de uma dada fun¸cão num dado dom´ınio é decidida com base no Teorema 41 (numa forma ligeiramente adaptada). Tal como a integrabilidade de uma fun¸cão num rectângulo depende requer que a fun¸cão seja suficientemente ”regular”, a integrabilidade de uma fun¸cão num conjunto arbitrário requer um grau suficiente de ”regularidade conjunta” da fun¸cão e do dom´ınio de integra¸cão.

Come¸camos por definir o integral de uma fun¸cão cujo dom´ınio é a união de um número finito de rectângulos não sobrepostos:

Defini¸c˜ao 49 Considere-se um conjunto finito de n-rectˆangulos n˜ao sobrepostos, {E1, E2, ..., Ek}.

Seja A = Sk

i=1

Ei, e seja f : A 7→ R, uma fun¸cão limitada. Então, f diz-se integrável no conjunto A

se for integr´avel em cada um dos conjuntos Ei, i = 1, 2, ..., k. O integral de f no conjunto A ´e

definido por Z A f = k X i=1 Z Ei f,

em que os integrais que figuram no somatório são definidos nos termos da Defini¸cão 17.¤

O estudante atento poderá duvidar se a Defini¸cão 49 está correctamente formulada. Essa dúvida é leg´ıtima porque um mesmo conjunto pode admitir uma infinidade de representa¸cões sob a forma de uniões finitas de rectângulos não sobrepostos, não sendo claro que todas essas representa¸cões conduzem ao mesmo valor do integral. A seguinte Proposi¸cão remove essa objeçcão.

Proposi¸c˜ao 50 Considerem-se duas fam´ılias finitas de n-rectˆangulos n˜ao sobrepostos, {E1, E2, ..., Ek},

n b E1, bE2, ..., bEm o , tais que Sk i=1 Ei= m S i=1 b

Ei, e considere-se uma fun¸c˜ao limitada, f : k

S

i=1

Ei7→ R.

Se f for integrável em cada um dos rectângulos Ei, i = 1, 2, ..., k, então f é integrável em cada um

dos rectˆangulos bEi, i = 1, 2, ..., m. Nesse caso, verifica-se k X i=1 Z Ei f = m X i=1 Z b Ei f.¤

Demonstra¸c˜ao. Para cada i ∈ {1, 2, ..., k} seja Pi, uma parti¸cão do rectângulo Ei. A parti¸cão

Pi decompõe o rectângulo Ei numa união de rectângulos não sobrepostos, Ei = li

S

j=1

(20)

análogo, para cada i ∈ {1, 2, ..., m} seja bPi, uma parti¸cão que decompõe o rectângulo bEinuma união

de rectˆangulos n˜ao sobrepostos, bEi= ri

S

j=1

b

Ei,j. Definam-se as somas de Darboux

U (f, P1, P2, ..., Pk) = k X i=1 U (f, Pi) = k X i=1 li X j=1 sup x∈Ei,j f (x) C (Ei,j) ; L (f, P1, P2, ..., Pk) = k X i=1 L (f, Pi) = k X i=1 li X j=1 inf x∈Ei,j f (x) C (Ei,j) ; U ³ f, bP1, bP2, ..., bPk ´ = m X i=1 U ³ f, bPi ´ = m X i=1 ri X j=1 sup x∈ bEi,j f (x) C ³ b Ei,j ´ ; L ³ f, bP1, bP2, ..., bPk ´ = m X i=1 L ³ f, bPi ´ = m X i=1 ri X j=1 inf x∈ bEi,j f (x) C ³ b Ei,j ´ ;

Note-se que as parti¸c˜oes Pi, i = 1, 2, ..., k podem ser escolhidas independentemente umas das outras.

Logo, inf P1,P2,...,Pk U (f, P1, P2, ..., Pk) = k X i=1 inf Pi U (f, Pi) ; sup P1,P2,...,Pk L (f, P1, P2, ..., Pk) = k X i=1 sup Pi L (f, Pi) .

Isto prova que inf

P1,P2,...,Pk

U (f, P1, P2, ..., Pk) = sup P1,P2,...,Pk

L (f, P1, P2, ..., Pk) se e s´o se f for integr´avel

em cada um dos rectˆangulos Ei.

Suponha-se então que f é integrável em cada um dos rectângulos Ei, i = 1, 2, ..., k. Para cada

conjunto de parti¸c˜oes Pi, i = 1, 2, ..., k existe um conjunto de parti¸c˜oes bPi, i = 1, 2, ..., m tal que cada

um dos rectângulos bEb_i,b_j, definido pela parti¸cão bPbiestá contido nalgum rectângulo Ei,j, definido pela

parti¸c˜ao Pi. Um tal conjunto de parti¸c˜oes verifica

U (f, P1, P2, ..., Pk) ≥ U ³ f, bP1, bP2, ..., bPm ´ ≥ L ³ f, bP1, bP2, ..., bPm ´ ≥ L (f, P1, P2, ..., Pk) .

Isto prova que Pk

i=1 R Eif = m P i=1 R b Eif .

Existem muitos conjuntos nos quais poderá ser útil definir integrais mas que não podem ser representados como a união finita de rectângulos (por exemplo, um c´ırculo em R2_{). Para definir o}

integral de uma fun¸c˜ao com dom´ınio nesse tipo de conjuntos, segue-se uma abordagem diferente da utilizada na Defini¸c˜ao 49.

Defini¸c˜ao 51 Considere-se uma fun¸c˜ao limitada, f : A 7→ R, definida num conjunto limitado,

A ⊂ Rn_.

Para cada rectˆangulo E ⊃ A, considere-se a fun¸c˜ao fA,E : E 7→ R, definida por

fA,E(x) =    f (x) se x ∈ A; 0 se x ∈ E\A.

(21)

A fun¸cão f diz-se integrável no conjunto A se existir algum rectângulo E ⊃ A tal que fA,E é

integrável no sentido da Defini¸cão 17. Nesse caso o integral de f no conjunto A é definido pela

express˜ao _Z A f = Z E fA,E.¤

Tal como no caso da Defini¸cão 49, coloca-se a questão de saber se a defini¸cão de integral agora dada é correctamente formulada. Por outras palavras, dado um conjunto limitado A ⊂ Rn _{e dois}

rectângulos quaisquer, E ⊃ A, bE ⊃ A, será que fA,E é integrável se e só se f_{A, b}_E for integrável? Será

que nesse caso se verifica sempre R_EfA,E =

R

b

EfA, bE? A Proposi¸c˜ao seguinte garante que a resposta

´e afirmativa.

Proposi¸c˜ao 52 Considere-se uma fun¸c˜ao limitada, f : A 7→ R, definida num conjunto limitado,

A ⊂ Rn_{. Sejam E ⊃ A, b}_{E ⊃ A, rectˆangulos.}

fA,E é integrável se e só se fA, bE for integrável. Nesse caso verifica-se

Z E fA,E = Z b E f_{A, b}_E.¤

Demonstra¸c˜ao. E ∩ bE é um rectângulo e E\ bE pode ser representado sob a forma de uma união

finita de rectângulos, E\ bE =Pk_i=1Ei (verifique que isto é verdade). Logo, a Proposi¸cão 50 garante

que fA,Eé integrável se e só se fA,Efor integrável em cada um dos rectângulos

³

E ∩ bE

´

, E1, E2, ..., Ek.

Note-se que A ⊂ E ∩ bE, pelo que fA,E(x) = 0, ∀x ∈ int (Ei), i = 1, 2, ..., k. Logo a Proposi¸c˜ao 42

garante que fA,E é integrável em cada um dos rectângulos Ei, e verifica

R

EifA,E = 0, i = 1, 2, ..., k.

Logo, a Proposi¸cão 50 garante que fA,E é integrável em E se e só se for integrável em E ∩ bE e nesse

caso verifica-se Z E fA,E = Z E∩ bE fA,E.

O mesmo argumento prova que que f_{A, b}_Eé integrável em bE se e só se for integrável em E ∩ bE e nesse

caso verifica-se Z b E f_{A, b}_E= Z E∩ bE f_{A, b}_E,

o que conclui a demonstra¸c˜ao.

O Teorema 41 tem o seguinte Corolário que caracteriza as fun¸cões integráveis num conjunto limitado arbitrário.

Corol´ario 53 Seja A ⊂ Rn_{, um conjunto limitado e seja f : A 7→ R, uma fun¸c˜ao limitada. Fixe-se}

um n-rectˆangulo qualquer, E, que contenha A.

f é integrável em A se e só o conjunto {x ∈ E : fA,E é descont´ınua no ponto x} tiver medida de

Lebesgue nula.¤

Demonstra¸cão. Basta aplicar o Teorema 41, tendo em conta a Defini¸cão 51 e a Proposi¸cão 52.

A seguinte condi¸cão á também um Corolário do Teorema 41. O seu principal interesse reside no facto de ser facilmente aplicável em muitas situa¸cões de interesse prático.

(22)

Corol´ario 54 Considere-se um conjunto aberto, U ⊂ Rn_{, e uma fun¸c˜ao cont´ınua, f : U 7→ R. Seja}

A ⊂ U , um conjunto limitado.

Se f for limitada em A e f r (A) tiver medida de Lebesgue nula, então f é integrável em A.¤

Demonstra¸c˜ao. Seja E um rectângulo que contém A (não é necessário que contenha também

U ). Se as hipóteses do Corolário forem satisfeitas, então fA,E é uma fun¸cão limitada e o conjunto

dos seus pontos de descontinuidades está contido em f r (A). Aplicando o Teorema 41 obtém-se o Corolário.

Exemplo 55 A fun¸cão f (x, y) = x cos (x + y) é integrável no conjunto

Com efeito, f é cont´ınua em U = R2 _{e |f (x, y)| ≤ π, ∀ (x, y) ∈ A. Por outro lado f r (A) =} {(x, 0) : x ∈ [0, π]} ∪ {(π, y) : y ∈ [0, 2π]} ∪ {(x, 2x) : x ∈ [0, π]}. Usando o resultado do exerc´ıcio 31, conclui-se que f r (A) tem conteúdo de Jordan nulo (logo, tem medida de Lebesgue nula), pelo que todas as hipóteses do Corolário 54 são satisfeitas.

Observa¸c˜ao 56 Note-se que, para um conjunto A ⊂ Rn _{limitado, as condi¸c˜oes}

1. f r (A) tem medida de Lebesgue nula; 2. f r (A) tem conte´udo de Jordan nulo;

são equivalentes. Com efeito, se A é limitado, então f r (A) é também limitado. Dado que f r (A) é necessariamente fechado, isto implica que f r (A) é compacto. Pelo Lema 33, um conjunto compacto tem medida nula se e só se tiver conteúdo nulo. Isto prova que o Corolário 54 não perde generalidade se substituirmos a hipótese de f r (A) ter medida de Lebesgue nula pela hipótese (aparentemente mais forte) de f r (A) ter conteúdo de Jordan nulo.

Considere-se uma fun¸c˜ao limitada, f : A 7→ R, cujo dom´ınio ´e um conjunto limitado, A ⊂ Rn_,

arbitrário. Seja bf : Rn _{7→ R, uma extensão arbitrária de f (i.e., uma fun¸cão, não necessariamente}

cont´ınua, definida em todo Rn _{que verifica b}_{f (x) = f (x) ∀x ∈ A). Ent˜ao, o integral} R

Af pode

definir-se de modo equivalente à Defini¸cão 51 através da expressão Z A f = Z E b f (x) χA(x) dx,

em que E é um rectângulo qualquer que contenha o conjunto A e χA é a fun¸cão caracter´ıstica do

conjunto A. Para simplificar a nota¸c˜ao, e dado n˜ao existir ambiguidade, costuma-se omitir o acento circunflexo no integral da direita e escrever simplesmente

Z A f = Z E f (x) χA(x) dx.

Esta nota¸cão é bastante conveniente para lidar com fun¸cões que admitem extensões ”naturais” com dom´ınio Rn_{, como é o caso do seguinte exemplo.}

(23)

Exemplo 57 Calcular o integral _Z

A

Fazendo E = [0, π] × [0, 2π] e usando a defini¸c˜ao, temos

Z A x cos (x + y) dx dy = Z [0,π]×[0,2π] x cos (x + y) χA(x, y) dx dy.

No exemplo 55 mostrou-se que a fun¸cão é integrável no dom´ınio indicado. Usando o Teorema 44 (verifique que as hipóteses são satisfeitas), podemos representar o integral na forma

Z A x cos (x + y) dx dy = Z _π 0 Z _2π 0 x cos (x + y) χA(x, y) dy dx.

Note-se que para cada x ∈ [0, π] fixo, verifica-se χA(x, y) = 1 se e s´o se y ∈ [0, 2x]. Logo, o integral

pode ser representado como

Z

A

x cos (x + y) dx dy =R₀πR₀2πx cos (x + y) χ[0,2x](y) dy dx =

=R₀πR₀2xx cos (x + y) dy dx =R₀πx [sin (x + y)]y=2x_y=0 dx =

=R₀πx (sin (3x) − sin x) dx =

=h−x³cos(3x)₃ − cos x´ix=π

x=0+ R_π 0 ³ cos(3x) 3 − cos x ´ dx = = −2 3π + h sin(3x) 9 − sin x ix=π x=0 = − 2 3π. Com alguma pr´atica o aluno dever´a ser capaz de fazer a passagem

Z A x cos (x + y) dx dy = Z π 0 Z 2x 0 x cos (x + y) dy dx sem ter que invocar explicitamente a fun¸c˜ao caracter´ıstica χA.

Para terminar, notamos que a Defini¸cão 51 permite também definir o conteúdo de Jordan de qualquer conjunto mensurável no sentido de Jordan:

Defini¸c˜ao 58 Considere-se um conjunto A ⊂ Rn_{, mensur´avel no sentido de Jordan. O seu conte´udo}

de Jordan ´e o n´umero real C (A), definido por C (A) = Z A 1 = Z E χA,

em que E é um rectângulo que contém A.¤

Exerc´ıcio 59 Verifique que o conte´udo de Jordan das seguintes figuras geom´etricas coincide com as

respectivas áreas medidas pelas fórmulas habituais: 1. o triângulo de base b e altura h;

(24)

5 Algumas propriedades dos integrais

O objectivo desta Seçcão é apresentar algumas propriedades elementares de integrais de fun¸cões definidas num conjunto genérico. A primeira destas propriedades é uma generaliza¸cão da Proposi¸cão 50.

Teorema 60 Sejam A1, A2⊂ Rn _{conjuntos mensur´aveis no sentido de Jordan, tais que A1}_{∩ A2}_tem

conte´udo de Jordan nulo. Considere-se uma fun¸c˜ao limitada, f : A1∪ A27→ R.

Então f é integrável em A1∪ A2 se e só se for integrável em A1 e em A2. Nesse caso,

Z A1∪A2 f = Z A1 f + Z A2 f.¤

Demonstra¸cão. Note-se que a Proposi¸cão 37 juntamente com o Teorema 41 e a observa¸cão 56 garante que um conjunto limitado é mensurável no sentido de Jordan se e só se a sua fronteira tiver conte´udo nulo. Logo, f r (A1) e f r (A2) têm conteúdo de Jordan nulo.

Suponha-se que f ´e integr´avel em A1 ∪ A2. Pelo Teorema 41, o conjunto

{x ∈ Rn _{: f χ}

A1∪A2 ´e descont´ınua no ponto x} tem conte´udo de Jordan nulo. Tendo em conta que

{x ∈ Rn: f χA1 ´e descont´ınua no ponto x} ⊂ {x ∈ R

n_{: f χ}

A1∪A2 ´e desc. no ponto x} ∪ f r (A1) ;

{x ∈ Rn: f χA2 ´e descont´ınua no ponto x} ⊂ {x ∈ R

n_{: f χ}

A1∪A2 ´e desc. no ponto x} ∪ f r (A2) ,

o Teorema 41 garante que f é integrável em A1e em A2. Reciprocamente se f for integrável em A1

e em A2, tendo em conta que {x ∈ Rn _{: f χ}

A1∪A2 ´e descont´ınua no ponto x} ⊂

⊂ {x ∈ Rn_{: f χ}

A1 ´e desc. no ponto x} ∪ {x ∈ R

n_{: f χ}

A2 ´e desc. no ponto x} ,

o Teorema 41 garante também que f é integrável em A1∪ A2.

Finalmente,

f χA1∪A2 = f (χA1+ χA2− χA1∩A2) = f χA1+ f χA2− f χA1∩A2,

ou seja, f χA1∪A2 difere de f χA1+ f χA2 apenas num conjunto contido em A1∩ A2. Tendo em conta

que, por hipótese, A1∩ A2tem conteúdo de Jordan nulo, a Proposi¸cão 42 juntamente com o Teorema

19 garante que R_A 1∪A2f = R A1f + R A2f.

O Teorema 60 é usado com muita frequência no cálculo de integrais, como se ilustra no seguinte exemplo.

Exemplo 61 Considere-se o conjunto A = ©(x, y) ∈ R2_{: −1 ≤ x ≤ 1, −}√_{1 − x}2_{≤ y ≤ 1 − x}2ª_{, e} seja f : A 7→ R, uma fun¸c˜ao cont´ınua.

O Teorema 41 garante que f ´e integr´avel em A, e o Teorema 44 permite-nos reduzir o integral

Z A f = Z ₁ −1 Z _1−x2 −√1−x2 f (x, y) dy dx. (8)

No entanto, existe tamb´em a seguinte redu¸c˜ao: Sejam

(25)

O exerc´ıcio 31 prova que f r (A1) e f r (A2) têm conteúdo de Jordan nulo, logo A1 e A2 são men-suráveis no sentido de Jordan. Além disso A = A1∪ A2 e A1∩ A2= [−1, 1] × {0} tem conteúdo de

Jordan nulo. Logo, o Teorema 60 permite-nos escrever

Z A f = Z A1 f + Z A2 f. Ent˜ao o Teorema 44 permite-nos reduzir o integral

Z A f = Z 0 −1 Z √1−y2 −√1−y2 f (x, y) dx dy + Z 1 0 Z √ 1−y −√1−y f (x, y) dx dy. (9)

Note-se que na expressão (9) o integral fica reduzido à soma de dois integrais iterados, enquanto na expressão (8) fica reduzido a um único integral iterado. No entanto, na grande maioria dos casos, a principal dificuldade encontrada no cálculo de um integral decorre de dificuldades no cálculo das primitivas. Por isso a expressão (9) pode ser mais conveniente do que a expressão (8) ou vice-versa, dependendo da fun¸cão integrada.

Teorema 62 Considere-se um conjunto A ⊂ Rn_{, mensur´avel no sentido de Jordan, e uma fun¸c˜ao}

f : A 7→ R, integr´avel. Ent˜ao existe α ∈ R, tal que

inf

x∈Af (x) ≤ α ≤ sup_x∈Af (x) ,

Z

A

f = αC (A) . Se f for cont´ınua e A for conexo, ent˜ao existe x ∈ A, tal que

Z

A

f = f (x) C (A) .¤

Demonstra¸c˜ao. Sejam m = inf

x∈Af (x), M = supx∈Af (x). Pelo Teorema 19, verifica-se

mC (A) ≤

Z

A

f ≤ M C (A) .

Se C (A) = 0, ent˜ao qualquer α ∈ [m, M ] verifica o Teorema. Se C (A) > 0, ent˜ao α = 1

C(A)

R

Af

verifica o Teorema.

Suponha-se agora que f é cont´ınua e A é conexo. Se C (A) = 0, então qualquer x ∈ A verifica o Teorema. Suponha-se então que C (A) > 0 e f (x) 6= 1

C(A)

R

Af , ∀x ∈ A. Dado que f ´e cont´ınua,

existem abertos U ⊂ Rn_{, V ⊂ R}n_{, tais que}

½ x ∈ A : f (x) < 1 C (A) Z A f ¾ = A ∩ U, ½ x ∈ A : f (x) > 1 C (A) Z A f ¾ = A ∩ V.

Então, verifica-se (A ∩ U ) ∩ (A ∩ V ) = ∅ e A = (A ∩ U ) ∪ (A ∩ V ), ou seja, A não é um conjunto conexo. Como isto é uma contradi¸cão, conclui-se que existe pelo menos um elemento x ∈ A que verifique f (x) = 1

C(A)

R