Textodeapoio-EspaçosVectoriais-Versão2

(1)

Departamento de Ciˆencias Exactas e Tecnol´ogicas

21002 - ´

Algebra Linear I

Espa¸

cos Vectoriais -

Texto de Apoio

1

o

ano - 1

o

semestre de 2008/09

Ana Lu´ısa Correia

(2)

(3)

Espac¸os Vectoriais

A no¸cão de espa¸co vectorial abstracta generaliza a do cálculo vectorial tridimensional usual, onde estão presentes a adi¸cão de vectores e a multiplica¸cão de vectores por números reais. Deve-se aliás a este espa¸co e à no¸cão f´ısica de vector a nomenclatura utilizada: espa¸co vectorial e vector. Note-se, ainda que, o conceito abstracto é definido para um conjunto qualquer, cujos elementos, embora designados por vectores, podem não ter nada a ver com a no¸cão usual de vector de R3_.

Defini¸cão: Um espa¸co vectorial sobre um corpo K é uma estrutura algébrica for-mada por um conjunto não vazio V , cujos elementos se designam por vectores, onde estão definidas

• uma opera¸cão binária designada por adi¸cão: “+′′

: V × V −→ V

(~x, ~y) 7−→ ~x + ~y − adi¸c˜ao de vectores

• opera¸cões unárias designadas por multiplica¸cão por escalar: para cada α ∈ K “α′′

: V −→ V

~x 7−→ α~x − multiplica¸cão pelo escalar α Estas duas opera¸cões têm de satisfazer os seguintes axiomas:

(A1) ∀~x, ~y, ~z ∈ V, (~x + ~y) + ~z = ~x + (~y + ~z) - a adi¸cão de vectores é associativa (A2) ∀~x, ~y ∈ V, ~x + ~y = ~y + ~x - a adi¸cão de vectores é comutativa

(A3) ∃~0 ∈ V ∀~x ∈ V : ~x + ~0 = ~x - existe elemento neutro para a adi¸c˜ao de vectores (A4) ∀~x ∈ V ∃ − ~x ∈ V : ~x + (−~x) = ~0 - existe sim´etrico para cada vector

(M1) ∀~x ∈ V ∀α, β ∈ K, (α + β)~x = α~x + β~x - distributividade (M2) ∀~x, ~y ∈ V ∀α, β ∈ K, α(~x + ~y) = α~x + α~y - distributividade (M3) ∀~x ∈ V ∀α, β ∈ K, α(β~x) = (αβ)~x - associatividade

(M4) ∀~x ∈ V, 1~x = ~x - 1 designa o elemento unidade do corpo K Observa¸c˜oes 1.

• Dizer que cada α ∈ K define uma opera¸cão unária em V é equivalente a dizer que está definida uma multiplica¸cão escalar:

“·′′

: K × V −→ V

(α, ~x) 7−→ α~x − ac¸c˜ao de K em V

• Os axiomas (A1) a (A4) dizem respeito `a estrutura aditiva de V e podem ser resumidos dizendo-se que (V, +) ´e um grupo aditivo comutativo.

(4)

• Os axiomas (M1) a (M4) dizem respeito à açcão do corpo K em V . • Se V é um espa¸co vectorial sobre o corpo K:

– Os elementos de V designam-se por vectores: usam-se as nota¸c˜oes ~x, ~y, u, v, ... – Os elementos de K designam-se por escalares: usam-se as letras α, β, a, b, k, t, ... – O elemento zero da adi¸c˜ao em V , diz-se o vector nulo e denota-se por ~0 ou 0V.

– Quando K = R ou K = C, V diz-se um espa¸co vectorial real ou complexo, respec-tivamente.

Exemplos cl´assicos 1.

a) O espa¸co vectorial modelo é o espa¸co Rn _{munido da opera¸cão de adi¸cão e das opera¸cões}

de multiplica¸c˜ao por escalares por:

• (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1+ b1, a2+ b2, . . . , an+ bn), onde ai, bi ∈ R

• α · (a1, a2, . . . , an) = (αa1, αa2, . . . , αan), onde α, ai ∈ R.

b) Mais geralmente, se K ´e um corpo, o conjunto Kn _{formado por todos os n-uplos de}

elementos de K, com opera¸c˜oes definidas por:

• (a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1+Kb1, a2+Kb2, . . . , an+Kbn), onde ai, bi ∈ K

• α · (a1, a2, . . . , an) = (α ·K a1, α ·Ka2, . . . , α ·K an), onde α, ai ∈ K

´e um espa¸co vectorial sobre K.

Note-se que as opera¸cões definidas em Kn _{são à custa das opera¸cões definidas em K.}

Para salientar esse facto está escrito ”+K” e ”·K”. Quando não há perigo de confusão,

omite-se a indexa¸c˜ao e escreve-se simplesmente ”+” e ”·” tanto para as opera¸c˜oes em K como em Kn_.

c) Dado um corpo K o conjunto das matrizes Kn×m_{, com as opera¸c˜oes naturais de adi¸c˜ao}

de matrizes e multiplica¸c˜ao de um elemento de K por uma matriz:

• A+B =      a11+ b11 a12+ b12 . . . a1m+ b1m a21+ b21 a22+ b22 . . . a2m+ b2m .. . ... ... an1+ bn1 an2+ bn2 . . . anm+ bnm      , onde A = [aij], B = [bij] ∈ Kn×m; • αA =     

αa11 αa12 . . . αa1m

αa21 αa22 . . . αa2m

..

. ... ...

αan1 αan2 . . . αanm

     , onde A = [aij] ∈ Kn×m, α ∈ K

´e um espa¸co vectorial sobre K.

d) Designando por Kn[x] o conjunto de todos os polin´omios na vari´avel x, com coeficientes

em K, de grau ≤ n, n ∈ N0, este conjunto algebrizado da maneira natural:

• (anxn+· · ·+a1x+a0)+(bnxn+· · ·+b1x+b0) = (an+bn)xn+· · ·+(a1+b1)x+(a0+b0)

(5)

Os conjuntos dos exemplos 1 - 4, com as opera¸cões mencionadas, são espa¸cos vectoriais sobre os corpos em causa, porque são verificados todos os axiomas (A1) - (A4) e (M1) - (M4). Por exemplo, prove que assim é para n = 2 e m = 3 (no caso do exemplo 3).

Exemplo 2. R2 algebrizado com opera¸c˜oes diferentes das usuais- Ver exerc´ıcio 4.1.4 do manual

1) Consideremos em R2 _{as opera¸c˜oes definidas, para quaisquer (x}

1, x2), (y1, y2) ∈ R2, α ∈ R:

• (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ y1, x2+ y2+ 1)

• α(x1, x2) = (αx1, αx2)

Para investigar se R2 _{é ou não um espa¸co vectorial sobre R ou temos uma visão de que}

falha algum dos axiomas, exibimos um contra-exemplo, e assim provamos que n˜ao ´e um espa¸co vectorial, ou corremos cada axioma e analisamos o que se passa. Neste primeiro caso, vamos percorrer os axiomas. Consideramos para o efeito (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) ∈

R2_{, α, β ∈ R elementos arbitr´arios:}

(A1) Como a adi¸cão é associativa e comutativa em R (x1, x2) + (y1, y2) + (z1, z2) = (x1+ y1, x2+ y2 + 1) + (z1, z2) = ((x1+ y1) + z1, (x2+ y2+ 1) + z2+ 1) = (x1+ (y1+ z1), x2+ (y2+ z2 + 1) + 1) = (x1, x2) + (y1+ z1, y2+ z2+ 1) = (x1, x2) + (y1, y2) + (z1, z2) (A2) Como a adi¸cão é comutativa em R

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ y1, x2+ y2+ 1) = (y1+ x1, y2+ x2+ 1) = (y1, y2) + (x1, x2) (A3) Temos (x1, x2) + (a, b) = (x1, x2) ⇐⇒ (x1+ a, x2+ b + 1) = (x1, x2) ⇐⇒ ( x1+ a = x1 x2+ b + 1 = x2 ⇐⇒ ( a = 0 b = −1 Portanto ~0 = (0, −1) - para adi¸c˜ao acima definida.

(A4) Temos (x1, x2) + (a, b) = ~0 ⇐⇒ (x1+ a, x2+ b + 1) = (0, −1) ⇐⇒ ( x1+ a = 0 x2+ b + 1 = −1 ⇐⇒ ( a = −x1 b = −2 − x2

Portanto −(x1, x2) = (−x1, −2 − x2) - para adi¸c˜ao acima definida.

(M1) Temos

(α + β)(x1, x2) = ((α + β)x1, (α + β)x2) = (αx1 + βx1, αx2+ βx2)

6= (αx1+ βx1, αx2+ βx2+ 1) = (αx1, αx2) + (βx1, βx2)

(6)

Por exemplo, para α = β = 1 e x1 = 1, x2 = 0, temos

(1 + 1)(1, 0) = 2(1, 0) = (2, 0) 1(1, 0) + 1(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) =

def. de “+”(1 + 1, 0 + 0 + 1) = (2, 1).

Portanto, (1 + 1)(1, 0) 6= 1(1, 0) + 1(1, 0) - falha a distributiva (M1).

Basta que falhe um axiomapara que, com estas opera¸c˜oes, R2 _n˜_{ao seja um espa¸}_co

vectorial real. Não é necessário continuar a percorrer os restantes axiomas. 2) Consideremos em R2 _{as opera¸cões definidas, para quaisquer (x}

1, x2), (y1, y2) ∈ R2, α ∈ R:

• (x1, x2) + (y1, y2) = (x1, x2+ y1+ y2)

• α(x1, x2) = (αx1, αx2)

Observando a maneira como a adi¸cão está definida vê-se que há vários axiomas que falham. Por exemplo, a adi¸cão não é comutativa:

(1, 0) + (2, 1) =

def. de “+”(1, 0 + 2 + 1) = (1, 3)

(2, 1) + (1, 0) =

def. de “+”(2, 1 + 1 + 0) = (2, 2)

Como (1, 3) 6= (2, 2) falha o axioma (A2). Também falham (A3), (A4), (M1) - verifique! Portanto, com estas opera¸cões, R2 _{não é um espa¸co vectorial real.}

1, x2), (y1, y2) ∈ R2, α ∈ R:

• (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ y1, x2+ y2)

• α(x1, x2) = (x1, αx2)

Como a opera¸cão de adi¸cão coincide com a adi¸cão usual em R2 _{é claro que os axiomas}

(A1) - (A2) são todos satisfeitos. Ora, pela defini¸cão de multiplica¸cão escalar 0(x1, x2) = (x1, 0x2) = (x1, 0) 6=

em geral

(0, 0) ´

E portanto claro que algum dos axiomas (Mi) ter´a de falhar. Ora por exemplo, temos (1 + 0)(2, 1) = 1(2, 1) = (2, 1 · 1) = (2, 1)

1(2, 1) + 0(2, 1) = (2, 1) + (2, 0) = (4, 1).

Assim, (1 + 0)(2, 1) 6= 1(2, 1) + 0(2, 1), e o axioma (M1) não é satisfeito. Portanto, com estas opera¸cões, R2 _{não é um espa¸co vectorial real.}

1, x2), (y1, y2) ∈ R2, α ∈ R:

• (x1, x2) + (y1, y2) = (x1+ y1, x2+ y2)

(7)

Subespac¸os Vectoriais

Defini¸c˜ao: Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Um conjunto F diz-se um subespa¸co vectorial de V se:

• F ⊆ V ; • F 6= ∅;

• F for um espa¸co vectorial sobre K para as restri¸cões das opera¸cões definidas em V aos elementos de F (a que chamamos opera¸cões induzidas pelas opera¸cões de V no conjunto F ).

Observa¸c˜ao 2. Qualquer espa¸co vectorial V tem sempre, pelo menos, dois subespa¸cos vecto-riais: V e {0V}. Estes subespa¸cos dizem-se os subespa¸cos triviais de V .

Existem dois critérios muito úteis para verficar se um subconjunto F de V é um subespa¸co vectorial de F .

Crit´erio de subespa¸co 3. (Ver proposi¸c˜ao 4.3.4) Seja V um espa¸co vectorial sobre K. Tem-se:

F ´e subespa¸co de V ⇐⇒          (1) F ⊆ V (2) 0V ∈ F (3) ∀u, v ∈ F, u + v ∈ F (4) ∀u ∈ F ∀α ∈ K, αu ∈ F

- a condi¸cão (3) diz-nos que F é fechado para adi¸cão definida em V : a soma de dois vectores de F tem de pertencer a F .

- a condi¸cão (4) diz-nos que F é fechado para a multiplica¸cão escalar definida em V : qualquer múltiplo escalar de um vector de F tem de pertencer a F

Crit´erio de subespa¸co 4. (Ver proposi¸c˜ao 4.3.11) Seja V um espa¸co vectorial sobre K. Tem-se:

F ´e subespa¸co de V ⇐⇒      (1′ ) F ⊆ V (2′ ) 0V ∈ F (3′ ) ∀u, v ∈ F ∀α, β ∈ K, αu + βv ∈ F - temos (1′ )=(1), (2′ )=(2) e (3′ ) ⇔ (3),(4)

(8)

Exemplos de aplica¸c˜ao 3. (Ver exerc´ıcio 4.3.9)

Consideremos o espa¸co vectorial R3 _{com as opera¸c˜oes usuais.}

a) Seja P = {(x, y, z) ∈ R3_{: x + y + z = 1}. Temos:}

• P ⊂ R3

• (0, 0, 0) 6∈ P - pois 0 + 0 + 0 = 0 6= 1

Logo, por qualquer um destes critérios, P não é um subespa¸co vectorial de R3_.

b) Seja S = {(x, y, z) ∈ R3_{: x + y + z = 0}. Temos:} • S ⊂ R3 • (0, 0, 0) ∈ S - pois 0 + 0 + 0 = 0 • Sejam u = (x, y, z), v = (x′ , y′ , z′

) ∈ S quaisquer. Então, por defini¸cão de S: u = (x, y, z) ∈ S =⇒ x + y + z = 0 v = (x′ , y′ , z′ ) ∈ S =⇒ x′ + y′ + z′ = 0 =⇒ (x + x′ ) + (y + y′ ) + (z + z′ ) = 0 =⇒ u + v = (x + x′, y + y′, z + z′) ∈ S • Sejam u = (x, y, z) ∈ S e α ∈ K quaisquer. Então, por defini¸cão de S:

u = (x, y, z) ∈ S =⇒ x + y + z = 0 =⇒ α(x + y + z) = 0 =⇒ αx + αy + αz = 0 =⇒ αu = α(x, y, z) = (αx, αy, αz) ∈ S

Portanto, pelo crit´erio de subespa¸co 1, S ´e um subespa¸co vectorial de R3_{. Aplique o}

(9)

Reunião, intersecção e soma de subespaços

Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K. Dados dois subconjuntos F e G de V podemos construir outros subconjuntos de V :

• F ∩ G =

def.{v ∈ V : v ∈ F ∧ v ∈ G}

-os element-os de F ∩ G s˜ao -os vectores do espa-¸co V que est˜ao simultaneamente em F e em G. • F ∪ G =

def.{v ∈ V : u ∈ F ∨ v ∈ G}

-os element-os de F ∪ G s˜ao -os vectores do espa-¸co V que est˜ao em F ou em G.

• F + G =

def.{u + v ∈ V : u ∈ F ∧ v ∈ G}

-os element-os de F + G s˜ao -os vectores do espa¸co V que se escrevem como soma de um vector de F com um vector de G. Observa¸c˜oes 5.

1. Da teoria dos conjuntos sabemos que: • F ∩ G ⊆ F , F ∩ G ⊆ G.

• F ⊆ F ∪ G, G ⊆ F ∪ G.

2. Suponhamos que F e G são subespa¸cos vectoriais de V . Então: • F ∩ G é um subespa¸co vectorial de V - ver proposi¸cão 4.4.6.

• F ∪ G não é, em geral, um subespa¸co vectorial de V - ver proposi¸cão 4.4.5. • F + G é um subespa¸co vectorial de V - ver proposi¸cão 4.4.9.

• Temos v = 0V + v = v + 0V e 0V ∈ F , 0V ∈ G, porque s˜ao subespa¸cos de V .

Portanto

F ⊆ F + G e G ⊆ F + G. Exemplos de aplica¸c˜ao 4. (Ver exerc´ıcio 4.4.3)

Consideremos o espa¸co vectorial R2 _{e os subespa¸cos}

F = {(x, x) : x ∈ R} , G = {(x, 2x) : x ∈ R}. a) Temos (x, y) ∈ F ∩ G ⇐⇒ (x, y) ∈ F ∧ (x, y) ∈ G ⇐⇒ x = y (por def. de F ) y = 2x (por def. de G) ⇐⇒ ( x = 0 y = 0 ⇐⇒ (x, y) = (0, 0) Segue-se que F ∩ G = {(0, 0)}.

b) Temos, por defini¸c˜ao de F e G que (1, 1) ∈ F e (1, 2) ∈ G. Logo (1, 1) ∈ F ∪ G e (1, 2) ∈ F ∪ G. Mas

(1, 1) + (1, 2) = (2, 3) 6∈ F , (1, 1) + (1, 2) = (2, 3) 6∈ G logo (1, 1) + (1, 2) = (2, 3) 6∈ F ∪ G. Portanto F ∪ G n˜ao ´e subespa¸co de V .

(10)

c) Temos w ∈ F + G ⇐⇒ w = u + v para alguns u ∈ F, v ∈ G ⇐⇒ w = (x, x) + (x′ , 2x′ ) para alguns x, x′ ∈ R ⇐⇒ w = (x + x′ , x + 2x′ ) para alguns x, x′ ∈ R Assim, F + G = {(x + x′ , x + 2x′ ) : x, x′

∈ R}. Mas, não há restri¸cões sobre as varia¸cões de x, x′ . Assim, (x + x′, x + 2x′) = (x + x′ | {z } z , x + x′ | {z } z

+x′) = (z, z + x′) c/ z, x′ percorrendo todos os reais.

Logo F + G = {(z, z + x′

) : z, x′

∈ R} = R2_.

Alternativa: Temos F +G ⊆ R2_{. Resta provar a inclus˜ao rec´ıproca. Ora, dado (x, y) ∈ R}2

qualquer (x, y) = (a + a′, a + 2a′) ⇐⇒ ( x = a + a′ y = a + 2a′ ⇐⇒ ( a = 2x − y a′ = y − x . Logo (x, y) = (2x − y, 2x − y) | {z } ∈_F + (y − x, 2(y − x)) | {z } ∈_G ∈ F + G.

(11)

Subespac¸o gerado

Defini¸c˜ao: Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam v1, . . . , vk vectores de

V .

• Chama-se combina¸c˜ao linear de v1, . . . , vk a toda a soma do tipo

α1v1+ α2v2+ · · · + αkvk,

onde α1, . . . , αk ∈ K.

• Diz-se que v ∈ V ´e combina¸c˜ao linear dos vectores v1, . . . , vk se existem escalares

α1, . . . , αk ∈ K (n˜ao necessariamente ´unicos) tais que

v = α1v1+ α2v2+ · · · + αkvk.

Observa¸c˜oes 6. Sejam v1, . . . , vk∈ V .

1. 0V ´e combina¸c˜ao linear de quaisquer vectores v1, . . . , vk, pois

0V = ov1+ ov2+ · · · + 0vk.

2. Cada vi ´e combina¸c˜ao linear de v1, . . . , vk, pois

v1 = 1v1+ 0v2+ · · · + 0vk, v2 = 0v1 + 1v2+ · · · + 0vk, . . . , vk = 0v1+ 0v2+ · · · + 1vk.

3. Os escalares α1, . . . , αk podem n˜ao ser ´unicos. Por exemplo, se considerarmos em R2 os

vectores (1, 1), (2, 2), ent˜ao:

(3, 3) = 3(1, 1) + 0(2, 2) = 1(1, 1) + 1(2, 2) = 2(1, 1) +1 2(2, 2). 4. O conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares dos vectores v1, . . . , vk, isto ´e,

{α1v1+ α2v2+ · · · + αkvk: α1, . . . , αk ∈ K}

´e um subespa¸co vectorial de V - ver p´ag. 213 e 214 do manual.

Defini¸c˜ao: Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam v1, . . . , vk ∈ V .

Chama-se subespa¸co gerado por v1, . . . , vk ao conjunto de todas as combina¸c˜oes lineares dos

vectores v1, . . . , vk:

subespa¸co gerado por v1, . . . , vk =

(12)

Observa¸c˜oes 7. Sejam v1, . . . , vk∈ V .

1. Existem v´arias nota¸c˜oes:

subespa¸co gerado por v1, . . . , vk = hv1, . . . , vki = L({v1, . . . , vk}) = L(v1, . . . , vk) (1).

2. Se F = hv1, . . . , vki, diz-se que os vectores v1, . . . , vk geramF , ou que v1, . . . , vks˜ao

ge-radoresde F , ou que F ´e gerado pelos vectores v1, . . . , vkou pelo conjunto {v1, . . . , vk}.

3. Temos

hv1, . . . , vki = {α1v1+ α2v2 + · · · + αkvk: α1, . . . , αk ∈ K}

é o menor subespa¸co de V que contém os vectores v1, . . . , vk - ver proposi¸cão 4.5.11.

Defini¸cão: Um espa¸co vectorial V sobre um corpo K diz-se finitamente gerado se for gerado por um número finito de geradores, isto é se existem k ∈ N e v1, . . . , vk ∈ V tais

que

V = hv1, . . . , vki.

Exemplos 5.

a) Dado um corpo K, o espa¸co vectorial Kn _{´e finitamente gerado. De facto}

Kn= {(x1, . . . , xn) : xi ∈ K}

= {x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, . . . , 0) + · · · + xn(0, 0, . . . , 1) : xi ∈ K}

= h(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)i.

onde 1 é a unidade do corpo K e 0 é o elemento neutro da adi¸cão definida em K. Em particular, Rn _{= h(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)i.} b) Seja A =1 0 −5∈ R1×3_{. Temos} Ax = 0 ⇐⇒ 1 0 −5   x1 x2 x3  =0 ⇐⇒ x₁− 5x₃ = 0 ⇐⇒ x₁ = 5x₃. Assim ker A = {x ∈ R3×1: Ax = 0} =      x1 x2 x3  ∈ R3×1: x₁ = 5x₃    =      5x3 x2 x3  : x₂, x₃ ∈ R    =    x2   0 1 0  + x₃   5 0 1  : x₂, x₃ ∈ R    = *  0 1 0  ,   5 0 1   + .

(13)

Mas, tamb´em temos ker A = *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + Facamos u =   0 1 0  , v =   5 0 1  , u′ =   0 4 0  , v′ =   −15 0 −3  . De facto, *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + =    α   0 4 0  + β   −15 0 −3  : α, β ∈ R    =    (4α)   0 1 0  + (−3β)   5 0 1  : α, β ∈ R    −

´e conj. de comb. li-neares dos vectores u, v ⊆ *  0 1 0  ,   5 0 1   + .

Para a inclus˜ao rec´ıproca vamos argumentar de modo equivalente: *  0 1 0  ,   5 0 1   + =    α   0 1 0  + β   5 0 3  : α, β ∈ R    =    (1/4α)   0 4 0  + (−1/3β)   −15 0 −3  : α, β ∈ R    −

´e um conj. de comb. lineares dos vectores u′ , v′ ⊆ *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + . - Ver exerc´ıcio 4.7.2.

No exemplo anterior encontr´amos dois conjuntos geradores para o mesmo subespa¸co. O seguinte resultado d´a-nos um processo simples para verificar se dois conjuntos de vectores geram o mesmo subespa¸co:

Proposi¸c˜ao 8. Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam v1, . . . , vk, u1, . . . , ut

vectores de V . Tem-se 1. hv1, . . . , vki ⊆ hu1, . . . , uti ⇐⇒ vi ∈ hu1, . . . , uti para todo i = 1, ..., k. 2. hv1, . . . , vki = hu1, . . . , uti ⇐⇒ ( vi ∈ hu1, . . . , uti, para todo i = 1, ..., k uj ∈ hv1, . . . , vki, para todo j = 1, ..., t .

Demonstra¸c˜ao. 1. (⇒) Suponhamos, por hip´otese, que hv1, . . . , vki ⊆ hu1, . . . , uti. Ora,

para qualquer i = 1, ..., k

(14)

Portanto vi ∈ hu1, . . . , uti, para todo i = 1, ..., k.

(⇐) Suponhamos, por hip´otese, que vi ∈ hu1, . . . , uti, para todo i = 1, ..., k. Ent˜ao, pelo

crit´erio 2 de subespa¸co (que se generaliza a uma soma finita) podemos afirmar que ∀α1, . . . , αk∈ K, α1v1+ · · · + αkvk∈ hu1, . . . , uti. (*)

Portanto

hv1, . . . , vki =

por def. sub.{α1v1+ · · · + αkvk: α1, . . . , αk ∈ K} ⊆_{por (*)}hu1, . . . , uti

2. Basta aplicar 1. nos dois sentidos.

Exemplo 6. Aplicando o resultado acima, podemos mais facilmente provar que

*  0 1 0  ,   5 0 1   + = *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + . Efectivamente, tem-se   0 1 0  = 1 4   0 4 0  ∈ *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + ,   5 0 1  = −1 3   −15 0 −3  ∈ *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + . Portanto *  0 1 0  ,   5 0 1   + ⊆ *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + . Analogamente   0 4 0  = 4   0 1 0  ∈ *  0 1 0  ,   5 0 1   + ,   −15 0 −3  = −3   5 0 1  ∈ *  0 1 0  ,   5 0 1   + . Portanto *  0 4 0  ,   −15 0 −3   + ⊆ *  0 1 0  ,   5 0 1   + . Da dupla inclus˜ao segue-se a igualdade.

(15)

Dependˆencia e independˆencia linear

Defini¸c˜ao: Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam v1, . . . , vk ∈ V .

• Diz-se que os vectores v1, . . . , vk s˜ao linearmente dependentes (sobre K) se existem

escalares α1, . . . , αk∈ K, com pelo menos um n˜ao nulo, tais que

α1v1+ α2v2+ · · · + αkvk = 0V.

• Diz-se que os vectores v1, . . . , vk s˜ao linearmente independentes (sobre K) se

α1v1+ α2v2+ · · · + αkvk = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0V.

Proposi¸cão 9. Sejam v1, . . . , vk ∈ V . São equivalentes as afirma¸cões seguintes:

1. v1, . . . , vk s˜ao linearmente independentes;

2. todo v ∈ hv1, . . . , vki escreve-se de modo ´unico como combina¸c˜ao linear de v1, . . . , vk;

3. α1v1+ α2v2+ · · · + αkvk= β1v1+ β2v2+ · · · + βkvk =⇒ α1 = β1, α2 = β2, . . . , αk = βk;

4. vi 6∈ hv1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vki para todo i = 1, 2, . . . , k, no caso de k ≥ 2.

Ver proposi¸c˜oes 4.6.8, 4.6.10 e 4.6.14. Observa¸c˜oes 10.

1. Os conceitos de dependência e independência linear são a nega¸cão um do outro. Efec-tivamente, se α = (α1, . . . , αk) ∈ Kk e P (x) designar a propriedade “combina¸cão linear

nula dos vectores dos vectores v1, . . . , vk”, ent˜ao o conceito de dependˆencia linear para

v1, . . . , vk pode ser escrito na forma

∃ (α1, . . . , αk) 6= (0, 0, ..., 0) P (α) ou mais simples ∃ α 6= 0 P (α).

Assim

v1, . . . , vk n˜ao s˜ao linearmente dependentes ⇔ ¬(∃α 6= 0 P (α))

⇔ ∀α 6= 0 ¬P (α)

⇔ [P (α) ⇒ (α1, . . . , αk) = (0, 0, ..., 0)]

⇔ v1, . . . , vk s˜ao linearmente independentes

2. No caso de termos um ´unico vector v, temos

v ´e linearmente dependente ⇐⇒ ∃α 6= 0 αv = 0V =⇒ α−1αv = 0V =⇒ v = 0V.

Por outro lado,

v = 0V =⇒ 1 · v = 0V =⇒ v ´e linearmente dependente

Deste modo, podemos afirmar que

v ´e linearmente dependente ⇐⇒ v = 0V,

(16)

Exemplos 7.

1. Consideremos em R4_{, o seguinte conjunto de vectores}

{(1, 1, 1, 1), (1, 0, −1, 2), (0, 2, 1, −1)}.

Vamos averiguar se ´e um conjunto linearmente dependente ou independente. Para isso vamos considerar uma combina¸c˜ao linear nula e ver o que se passa com os escalares:

α1(1, 1, 1, 1) + α2(1, 0, −1, 2) + α3(0, 2, 1, −1) = (0, 0, 0, 0) ⇐⇒ (α1+ α2, α1+ 2α3, α1− α2+ α3, α1+ 2α2− α3) = (0, 0, 0, 0) ⇐⇒          α1+ α2 = 0 α1+ 2α3 = 0 α1− α2+ α3 = 0 α1+ 2α2− α3 = 0 ⇐⇒     1 1 0 1 0 2 1 −1 1 1 2 −1     | {z } A   α1 α2 α3  =     0 0 0 0     ⇐⇒ A   α1 α2 α3  =     0 0 0 0    

Assim, utilizando os conhecimentos sobre matrizes e sistemas de equa¸c˜oes lineares (1, 1, 1, 1), (1, 0, −1, 2), (0, 2, 1, −1) s˜ao linearmente independentes

⇐⇒ (α1, α2, α3) = (0, 0, 0) é a única solu¸cão de Ax = 0

⇐⇒ Ax = 0 tem solu¸cão única (0, 0, 0) ⇐⇒ Ax = 0 é poss´ıvel e determinado

⇐⇒ rank A = 3 = número de incógnitas = número de vectores

(1, 1, 1, 1), (1, 0, −1, 2), (0, 2, 1, −1) são linearmente dependentes ⇐⇒ existe um triplo (α1, α2, α3) 6= (0, 0, 0) que é solu¸cão de Ax = 0

⇐⇒ Ax = 0 não tem solu¸cão única ⇐⇒ Ax = 0 é poss´ıvel e indeterminado

⇐⇒ rank A < 3 = número de incógnitas = número de vectores Vamos assim determinar a caracter´ıstica da matriz A:

    1 1 0 1 0 2 1 −1 1 1 2 −1    L−→2−L1 L3−L1 L4−L1     1 1 0 0 −1 2 0 −2 1 0 1 −1    L−→3−2L2 L4+L3     1 1 0 0 −1 2 0 0 −3 0 0 1    L4−→+1/3L3     1 1 0 0 −1 2 0 0 −3 0 0 0    .

Portanto, como rank A = 3 = número de incógnitas, os vectores (1, 1, 1, 1), (1, 0, −1, 2), (0, 2, 1, −1) são linearmente independentes.

2. Consideremos em R4_{, o seguinte conjunto de vectores}

{(1, −1, −1, 1), (1, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 1)}. Procedendo de modo an´alogo ao exemplo acima:

(17)

⇐⇒          α1+ α2 = 0 −α1+ α2+ 2α3 = 0 −α1+ α3 = 0 α1+ 2α2+ α3 = 0 ⇐⇒     1 1 0 −1 1 2 −1 0 1 1 2 1     | {z } A   α1 α2 α3  =     0 0 0 0     Temos _    1 1 0 −1 1 2 −1 0 1 1 2 1    L−→2+L1 L3+L1 L4−L1     1 1 0 0 2 2 0 1 1 0 1 1    L3−→−1/2L2 L4−1/2L3     1 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0    .

Portanto, como rank A = 2 < número de incógnitas, os vectores (1, −1, −1, 1), (1, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 1) são linearmente dependentes.

Alternativa: Repare-se que as colunas da matriz A s˜ao os vectores dados. Equivalente-mente, poder´ıamos ter considerado a matriz cujas linhas s˜ao os vectores dados e estudar a sua caracter´ıstica, uma vez que rank A = rank AT_{. Efectivamente}

  1 −1 −1 1 1 1 0 2 0 2 1 1   −→ L2−L1   1 −1 −1 1 0 2 1 1 0 2 1 1   −→ L3−L2   1 −1 −1 1 0 2 1 1 0 0 0 0  .

Assim, rank AT _{= 2 < n´}_{umero de vectores e, portanto, os vectores s˜ao linearmente}

dependentes.

Alternativa: Repare-se ainda que olhando para os vectores dados, verificamos facilmente que o segundo vector ´e soma do primeiro com o terceiro: (1, 1, 0, 2) = (1, −1, −1, 1) + (0, 2, 1, 1). Assim temos a seguinte combina¸c˜ao linear nula destes vectores sem que todos os escalares sejam iguais a zero:

1(1, −1, −1, 1) + −1(1, 1, 0, 2) + 1(0, 2, 1, 1) = (0, 0, 0, 0). Portanto os vectores s˜ao linearmente dependentes.

No caso geral, decidir se um dado conjunto de vectores de Rn _{´e linearmente dependente}

ou independente reduz-se ao c´alculo da caracter´ıstica duma matriz.

Proposi¸c˜ao 11. Sejam v1, . . . , vm ∈ Rn e suponhamos que vi = (v1i, v2i, ..., vni), i = 1, ..., m.

Seja A =      v11 v12 · · · v1n v21 v22 · · · v2n .. . ... ... vm1 vm2 · · · vmn     

∈ Rn×m _{a matriz cujas colunas s˜}_{ao os vectores} _v

1, . . . , vm.

S˜ao equivalentes as afirma¸c˜oes seguintes:

1. v1, . . . , vm s˜ao linearmente independentes;

2. Ax = 0 tem solu¸c˜ao ´unica (0, 0, ..., 0) ∈ Rm_;

3. rank A = m; 4. rank AT _{= m;}

(18)

Demonstra¸c˜ao. No caso geral procedemos como foi feito no caso particular do exemplo anterior. Temos α1v1+ α2v2+ · · · + αmvm = (0, 0, ..., 0) ⇐⇒ α1(v11, v21, ..., vn1) + α2(v12, v22, ..., vn2) + · · · + αm(v1m, v2m, ..., vnm) = (0, 0, ..., 0) ⇐⇒          α1v11+ α2v12+ · · · αmv1m= 0 α1v21+ α2v22+ · · · αmv2m= 0 · · · α1vn1+ α2vn2+ · · · αmvnm = 0 ⇐⇒      v11 v12 · · · v1n v21 v22 · · · v2n ... ... ... vm1 vm2 · · · vmn           α1 α2 ... αm      =        0 0 0 .. . 0        ⇐⇒ A      α1 α2 ... αm      =      0 0 ... 0     

Deste modo, usando a defini¸c˜ao de vectores linearmente independentes e utilizando os conhe-cimentos sobre matrizes e sistemas de equa¸c˜oes lineares

(v11, v21, ..., vn1), (v12, v22, ..., vn2), ..., (v1m, v2m, ..., vnm) s˜ao linearmente independentes

⇐⇒ (α1, α2, ..., αm) = (0, 0, ..., 0) é a única solu¸cão de Ax = 0

⇐⇒ Ax = 0 tem solu¸cão única (0, 0, ..., 0) ∈ Rm ⇐⇒ Ax = 0 é poss´ıvel e indeterminado

⇐⇒ rank A = número de incógnitas = número de vectores = m ⇐⇒ rank AT _{= m}

Por fim, note-se que no caso de n = m a matriz A ´e quadrada e, portanto rank A = n ⇐⇒ |A| 6= 0 ⇐⇒ |AT| 6= 0.

Para a dependência linear obtém-se, por nega¸cão, o critério seguinte:

Proposi¸c˜ao 12. Sejam v1, . . . , vm ∈ Rn e suponhamos que vi = (v1i, v2i, ..., vni), i = 1, ..., m.

Seja A =      v11 v12 · · · v1n v21 v22 · · · v2n .. . ... ... vm1 vm2 · · · vmn     

∈ Rn×m _{a matriz cujas colunas s˜}_{ao os vectores} _v

1, . . . , vm.

S˜ao equivalentes as afirma¸c˜oes seguintes:

1. v1, . . . , vm s˜ao linearmente dependentes;

2. existe um m-uplo (α1, α2, ..., αm) 6= (0, 0, ..., 0) que ´e solu¸c˜ao de Ax = 0;

3. rank A < m; 4. rank AT _{< m;}

(19)

Exemplo 8. (Ver exemplo 4.6.3)

1. Os vectores (1, 2, 3), (0, 1, 2), (3, 1, −1) são linearmente dependentes. Vamos justificar esta afirma¸cão de várias maneiras poss´ıveis:

a) Pela defini¸c˜ao: α(1, 2, 3) + β(0, 1, 2) + γ(3, 1, −1) = (0, 0, 0) ⇔ (α + 3γ, 2α + β + γ, 3α + 2β − γ) = (0, 0, 0) ⇔      α + 3γ = 0 2α + β + γ = 0 3α + 2β − γ ⇔      α = −3γ −6γ + β + γ = 0 −9γ + 2β − γ = 0 ⇔      α = −3γ β = 5γ β = 5γ

Como existe mais do que uma solu¸cão para α, β, γ os vectores são linearmente depen-dentes. Temos infinitas combina¸cões lineares nulas destes vectores. Por exemplo

(0, 0, 0) = −3(1, 2, 3) + 5(0, 1, 2) + 1(3, 1, −1) = −9(1, 2, 3) + 15(0, 1, 2) + 3(3, 1, −1). b) Calculando caracter´ısticas:

Podemos considerar a matriz cujas linhas s˜ao estes vectores e calcular a sua caracter´ıstica:   1 2 3 0 1 2 3 1 −1   −→ L3−3L1   1 2 3 0 1 2 0 −5 −10   −→ L3+5L2   1 2 3 0 1 2 0 0 0  

A matriz tem caracter´ıstica 2 < 3 logo os vectores s˜ao linearmente dependentes. Em alternativa, pod´ıamos ter considerado a matriz das colunas.

c) Calculando determinantes: porque temos 3 vectores de R3

Podemos considerar a matriz cujas linhas s˜ao estes vectores e calcular o seu determinante: 1 2 3 0 1 2 3 1 −1 = L3−3L1 1 2 3 0 1 2 0 −5 −10 = Laplace-col11 · (−1) 1+1 1 2 −5 −10 = 0.

A matriz tem determinante 0 logo os vectores s˜ao linearmente dependentes. Em alter-nativa, pod´ıamos ter calculado o determinante da matriz das colunas.

2. Os vectores (1, 2, 3), (0, 1, 2), (4, 1, −1) são linearmente independentes. Vamos justificar esta afirma¸cão de várias maneiras poss´ıveis:

a) Pela defini¸c˜ao: α(1, 2, 3) + β(0, 1, 2) + γ(4, 1, −1) = (0, 0, 0) ⇔ (α + 4γ, 2α + β + γ, 3α + 2β − γ) = (0, 0, 0) ⇔      α + 4γ = 0 2α + β + γ = 0 3α + 2β − γ ⇔      α = −4γ −8γ + β + γ = 0 −12γ + 2β − γ = 0 ⇔      α = −3γ = 0 β = 7γ = 0 γ = 0 Como α = β = γ = 0 os vectores s˜ao linearmente independentes.

(20)

b) Calculando caracter´ısticas:

Podemos considerar a matriz cujas linhas s˜ao estes vectores e calcular a sua caracter´ıstica:   1 2 3 0 1 2 4 1 −1   −→ L3−4L1   1 2 3 0 1 2 0 −7 −13   −→ L3+7L2   1 2 3 0 1 2 0 0 1  

A matriz tem caracter´ıstica 3 = n´umero de vectores logo os vectores s˜ao linearmente independentes. Em alternativa, pod´ıamos ter considerado a matriz das colunas.

c) Calculando determinantes: porque temos 3 vectores de R3

Podemos considerar a matriz cujas linhas s˜ao estes vectores e calcular o seu determinante: 1 2 3 0 1 2 4 1 −1 = L3−4L1 1 2 3 0 1 2 0 −7 −13 = Laplace-col1 1 · (−1) 1+1 1 2 −7 −13 = 1 6= 0.

A matriz tem determinante 6= 0 logo os vectores s˜ao linearmente independentes. Em alternativa, pod´ıamos ter calculado o determinante da matriz das colunas.

(21)

Bases e dimens˜ao

Nesta seçcão E é um espa¸co vectorial finitamente gerado sobre um corpo K. Por outro lado, no conceito de base (ordenada) é importante a ordem porque são considerados os vectores. Assim, em vez de conjuntos de vectores consideram-se sequências de vectores.

Defini¸c˜ao: Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e sejam v1, . . . , vk∈ V . Dizemos

que a sequˆencia (v1, . . . , vn) ´e uma base se:

• v1, . . . , vn geram V , isto ´e V = hv1, . . . , vni,

• v1, . . . , vn s˜ao vectores linearmente independentes (sobre K).

Convenciona-se que se V = {0V} ent˜ao ∅ ´e base de V .

Exemplo 9. (Ver exerc´ıcio 4.7.2)

Vamos determinar uma base para o seguinte subespa¸co de R4_:

F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4: x1+ x2 = x3+ x4}. Temos (x1, x2, x3, x4) ∈ F ⇐⇒ x1+ x2 = x3+ x4 ⇐⇒ x1 = −x2+ x3+ x4 ⇐⇒ (x1, x2, x3, x4) = (−x2 + x3+ x4, x2, x3, x4) ⇐⇒ (x1, x2, x3, x4) = x2(−1, 1, 0, 0) + x3(1, 0, 1, 0) + x4(1, 0, 0, 1) Portanto F = {x2(−1, 1, 0, 0) + x3(1, 0, 1, 0) + x4(1, 0, 0, 1) : x2, x3, x4 ∈ R} = h(−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)i

isto ´e, os vectores (−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) geram F . Temos de provar, agora, que s˜ao linearmente independentes:   −1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1   −→ L2+L1 L3+L1   −1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1   −→ L3−L2   −1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 −1 1  

- esta matriz tem caracter´ıstica 3, logo a matriz cujas linhas são os vectores em estudo também tem caractar´ıstica 3 = número de vectores. Portanto (−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1) são linearmente independentes. Deste modo, ((−1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)) é uma base de F . Observa¸cão 13. Dado um corpo K, a sequência formada pelos vectores de kn

e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), e3 = (0, 0, 1, ..., 0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1)

´e uma base do espa¸co vectorial Kn _{, pois estes vectores geram K}n _{(como j´a t´ınhamos}

obser-vado) e são linearmente independentes (a matriz cujas linhas (ou colunas) são estes vectores é a matriz identidade In que tem determinante 1). Esta base, dada a sua simplicidade, diz-se

(22)

Quando temos um conjunto de geradores para um espa¸co, podemos afirmar que todo o vector escreve-se como combina¸cão linear desses vectores geradores, mas essa escrita não é necessariamente única ver exemplos 7 e 8. O conceito de base assegura a unicidade.

Proposi¸c˜ao 14. Ver Proposi¸c˜ao 4.7.4

Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K e seja (v1, . . . , vn) uma sequˆencia de

vectores de V . Ent˜ao

(v1, . . . , vn) ´e uma base de V ⇐⇒

qualquer vector v ∈ V escreve-se de modo ´unico como combina¸c˜ao linear dos vectores v1, . . . , vn.

⇐⇒ existem escalares ´unicos α1, . . . , αn∈ K tais que v = α1v1+ α2v2+ · · · + αnvn

Os escalaresα1, . . . , αk dizem-se as coordenadas de v na base (v1, . . . , vn).

Observa¸cão 15. Se (v1, . . . , vn) é uma base de V então, cada vector v ∈ V

• escreve-se como combina¸c˜ao linear dos vectores v1, . . . , vn- porque os vectores v1, . . . , vn

geram V

• de modo ´unico - porque os vectores v1, . . . , vn s˜ao linearmente independentes.

Na proposi¸cão seguinte resumem-se vários resultados do manual que têm a ver com a existência de base, possibilidade de completar um conjunto gerador a uma base, possibilidade de excluir vectores de um conjunto gerador de modo a obter uma base, número de vectores das bases.

Proposi¸c˜ao 16. Seja V um esp¸co vectorial finitamente gerado sobre um corpo K. 1. V tem, pelo menos, uma base - ver Corol´ario 4.7.9.

2. Qualquer conjunto de vectores linearmente independentes de V pode ser estendido a uma base de V - ver Corol´ario 4.7.10.

3. Qualquer conjunto gerador de V contém uma base de V - ver Corolário 4.7.13. 4. Todas as bases de V têm igual número de vectores - ver Corolário 4.7.15.

Observa¸c˜oes 17. Seja V um espa¸co vectorial finitamente gerado sobre um corpo K. 1. Note-se que para obtermos uma base...

• ... a partir de um conjunto linearmente independente, não podemos acrescentar quaisquer vectores, e podemos fazê-lo de várias maneiras - ver exemplo 10 abaixo. • ... a partir de um conjunto gerador, é preciso cuidado nos vectores a excluir, e

podemos fazˆe-lo de v´arias maneiras - ver exemplo 10 abaixo.

2. Se V tem uma base com n elementos então qualquer base de V tem n elementos -consequência de 4. da proposi¸cão 16.

(23)

Observa¸cões 18. Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K com dim V = n. Então: 1. Qualquer conjunto gerador de V tem ≥ n vectores - por 3. e 4. da proposi¸cão 16. 2. Qualquer conjunto linearmente independente de V tem ≤ n vectores - por 2. e 4. da

proposi¸c˜ao 16.

3. Se V = {0V} ent˜ao dim V = 0 - porque o conjunto ∅ ´e base de V .

Exemplo 10. (Ver exerc´ıcio 4.7.12)

a) Consideremos o conjunto de vectores {(1, 4, 2), (0, 2, 1)} de R3_{. Este conjunto ´e}

lin-earmente independente, pois a matriz

1 4 2 0 2 1

tem caracter´ıstica 2. Podemos assim estender este conjunto a uma base de R3_{. O processo mais simples a seguir ´e}

consid-erar os vectores da base can´onica de R3 _{e fazer substitui¸c˜oes convenientes. Ora a base}

can´onica de R3 _´e

((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).

Logo dim R3 _{= 3. Assim como j´a temos 2 vectores linearmente independentes s´o falta}

um para completar este conjunto a uma base de R3_{. Se escolhemos (1, 0, 0) n˜ao vamos}

obter uma base, pois

1 4 2 0 2 1 1 0 0 = 0. Agora tentemos o segundo vector. Como

1 4 2 0 2 1 0 1 0 = −1 6= 0,

então ((1, 4, 2), (0, 2, 1), (0, 1, 0)) é uma base de R3 _{que estende o conjunto dado. Mas há}

outras possibilidades. Por exemplo

((1, 4, 2), (0, 2, 1), (0, 0, 1)) , ((1, 4, 2), (0, 2, 1), (0, 1, 1)) s˜ao outras bases poss´ıveis.

b) Consideremos o conjunto gerador {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)} de R3 _{- verifique!}

Sabemos que uma base de R3 _{tem sempre 3 vectores, ent˜ao temos de excluir um destes}

vectores. Vamos experimentar excluir o quarto vector. Ora 1 1 1 1 1 0 0 0 1 = 0,

logo n˜ao podemos excluir este vector. Tentemos retirar o terceiro 1 1 1 1 1 0 1 0 1 = −1 6= 0.

Portanto ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)) ´e uma base de R3 _{que cont´em o conjunto gerador}

dado. Outras bases poss´ıveis s˜ao:

((1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)) , ((1, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 0, 1)) - verifique!

(24)

Proposi¸cão 19. (Ver Proposi¸cão 4.7.18.) Seja V um esp¸co vectorial sobre um corpo K com dim V = n. Então:

1. Qualquer conjunto linearmente independente de vectores de V ´e um subconjunto de uma base de V .

2. Qualquer conjunto com n vectores linearmente independentes de V ´e uma base de V . 3. Qualquer conjunto gerador de V com n vectores de V ´e uma base de V .

Exemplo 11. Em R3 _{consideremos os vectores v}

1 = (1, 1, 1), v2 = (α, −1, −α), v3 = (1, α, 1).

Vamos determinar α ∈ R de modo que (v1, v2, v3) ´e uma base de R3. Usando a Proposi¸c˜ao

19 ´e suficiente determinar α ∈ R de modo que {v1, v2, v3} seja um conjunto linearmente

independente. Portanto:

(v1, v2, v3) base de R3 ⇐⇒

Prop. 19{v1, v2, v3} linear. ind. de R 3 ⇐⇒ 1 1 1 α −1 −α 1 α 1 6= 0 ⇐⇒ α(α − 1) 6= 0 ⇐⇒ α 6∈ {0, 1}

Do resultado anterior podemos provar facilmente que a dimensão de um subespa¸co não pode exceder a do espa¸co. Ver afirma¸cão (v) no final da página 232.

Corol´ario 20. Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K de dimens˜ao finita. Seja U um subespa¸co de V . Tem-se:

1. dim U ≤ dim V .

2. dim U = dim V se e somente se U = V .

Demonstra¸c˜ao. 1. Suponhamos que dim U = m. Seja (u1, . . . , um) uma base de U.

Então {u1, . . . , um} é um conjunto linearmente independente de V . Logo pela Proposi¸cão

19-1 temos que {u1, . . . , um} ´e um subconjunto de uma base de V . Portanto m ≤ dim V .

2. Suponhamos que dim U = dim V = n. Seja (u1, . . . , un) uma base de U. Ent˜ao

{u1, . . . , un} ´e um conjunto linearmente independente de V . Como este conjunto tem

n = dim V vectores então (u1, . . . , un) é uma base de V (pela Proposi¸cão 19-2). Logo

V = hu1, . . . , umi = U.

A outra implica¸c˜ao ´e imediata.

Exemplo 12. Em R3 _{consideremos o subespa¸co}

F = h(1, 1, 1), (2, −1, −2), (1, 2, 1)i.

Sabemos pelo exemplo 11 que {(1, 1, 1), (2, −1, −2), (1, 2, 1)} é um conjunto linearmente inde-pendente. Então ((1, 1, 1), (2, −1, −2), (1, 2, 1)) é uma base de F . Logo dim F = 3 = dim R3_.

(25)

Matrizes e espac¸os vectoriais

Já observámos, várias vezes, que as matrizes são muito úteis no estudo dos espa¸cos Kn_,

pois podemos colocar os vectores, que são n-uplos formados por elementos de K, em linhas ou colunas e estudar a caracter´ıstica ou calcular determinantes (quando a matriz é quadrada) - ver Proposi¸cões 11 e 12. Por outro lado, com a introdu¸cão dos conceitos de dependência, independência linear e de base, vários conceitos sobre matrizes poderão agora ficar mais claros.

Seja A = [aij] ∈ Kn×m uma matriz (com n linhas e m colunas):

A =      a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m .. . ... ... an1 an2 . . . anm      = [aij]n×m.

Caracter´ıstica de uma matriz:

Uma matriz em forma de escada ´e uma matriz cujas linhas satisfazem as duas condi¸c˜oes seguintes:

• se A′

tem uma linha nula, todas as linhas abaixo dessa linha tamb´em s˜ao nulas; • se a′

ij é o pivot da linha i (isto é o elemento não nulo mais à esquerda nessa linha) então

o pivot da linha abaixo estar´a numa coluna mais `a direita da coluna j. Exemplo 13.   1 2 3 0 4 5 0 0 9   ,   3 0 0   ,       0 2 0 −1 0 0 2 3 −2 0 0 0 4 1 1 −2 2 −1 0 0 0 0 −1 0 1 7 3 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

s˜ao matrizes em forma de escada. Os pivots s˜ao · .

Efectuando transforma¸c˜oes elementares sobre as linhas de A podemos transform´a-la numa matriz A′

= [a′

ij] em forma de escada:

A −→

transf. nas linhasA ′

− matriz em forma de escada

- a demonstra¸cão desta afirma¸cão faz-se por indu¸cão no número de linhas n. O processo que transforma uma matriz A numa matriz A′

em forma de escada designa-se por condensac¸˜ao da matriz A. As matrizes A e A′

dizem-se equivalentes (por linhas) e a matriz A pode ser equivalente (por linhas) a v´arias matrizes em forma de escada.

Exemplo 14. Seja A =   0 0 0 −1 4 2 1 0 3 4 1 2 0 1 −2  . Ent˜ao A −→ L1↔L3   1 2 0 1 −2 2 1 0 3 4 0 0 0 −1 4   −→ L2−2L1   1 2 0 1 −2 0 −3 0 1 8 0 0 0 −1 4  = A′

(26)

A −→ L1↔L2   2 1 0 3 4 0 0 0 −1 4 1 2 0 1 −2   −→ L3−1/2L1   2 1 0 3 4 0 0 0 −1 4 0 3/2 0 −1/2 −4   −→ L2↔L3   2 1 0 3 4 0 3/2 0 −1/2 −4 0 0 0 −1 4  = A′′ As matrizes A′ e A′′

são exemplos de matrizes em forma de escada equivalentes por linhas à matriz A. Mas há muitas mais, por exemplo, basta multiplicar cada linha, de A′

ou A′′

, por um escalar que continuamos a obter matrizes em escada e equivalentes por linhas a A. Proposi¸c˜ao 21. Se A′

e A′′

s˜ao duas matrizes em forma de escada e equivalentes por linhas a A ent˜ao A′

e A′′

têm os pivots nas mesmas colunas e o mesmo número de linhas não nulas. Demonstra¸cão. Seja s′

o n´umero de linhas n˜ao-nulas de A′

e s′′

o n´umero de linhas n˜ao-nulas de A′′

. Como A′

e A′′

est˜ao em forma de escada ent˜ao s′

=n´umero de pivots de A′ e s′′ = n´umero de pivots de A′′ . Temos que A −→

transf. nas linhas A ′

, A −→

transf. nas linhasA ′′

. Ora fazendo as transforma¸c˜oes inversas em A′

`as que fiz´emos de A para A′

vamos obter obviamente A. Assim podemos efectuar transforma¸c˜oes nas linhas de A′

de modo a obter A′′

:

A′ −→

transf. nas linhasAtransf. nas linhas−→ A ′′

e, por um racioc´ınio idˆentico, podemos obter A′

a partir de A′′

: A′′

−→

transf. nas linhasAtransf. nas linhas−→ A ′

. Suponhamos, com vista a um absurdo, que a coluna k de A′

n˜ao tem pivot e que a coluna k de A′′

tem um pivot. Ora se C′

k= 0 ent˜ao qualquer transforma¸c˜ao que se fa¸ca nas linhas de A ′

mant´em a coluna k zero (pois multiplicam-se e/ou somam-se zeros), donde C′′

k = 0 - contradiz

haver um pivot na coluna k de A′′

. Logo C′

k6= 0 e, portanto, podemos considerar nessa coluna

a entrada não nula ∗ que está na linha mais abaixo poss´ıvel (designemos essa linha por ℓ) e à esquerda dessa entrada haverá um pivot ∗ :

A′ =          ∗ .. . 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ · · · · 0 .. . 0          linhaℓ col.j col.k Como A′

está em forma de escada então nas linhas acima de ℓ existirão eventualmente outros pivots em colunas mais à direita da coluna j (por defini¸cão de matriz em forma de escada). Assim qualquer transforma¸cão que se fa¸ca nas linhas de A′

vamos sempre obter alguma entrada n˜ao nula mais `a esquerda da coluna k. Portanto em A′′

não poderá haver um pivot na coluna k. Portanto provámos que se uma coluna k de A′

n˜ao tem pivot, a coluna k de A′′

também não tem pivot. Por um racioc´ınio idêntico provávamos a mesma afirma¸cão trocando A′

com A′′

. Deste modo, A′

e A′′

(27)

O n´umero de linhas n˜ao-nulas (ou pivots) de qualquer matriz A′

em forma de escada que seja equivalente por linhas a A, diz-se a caracter´ıstica de A, e denota-se por rank A, isto ´e

rank A = n´umero de linhas n˜ao-nulas de qualquer matriz em forma de escada equivalente por linhas a A

- rank é a palavra inglesa para caractar´ıstica e rank A é a nota¸cão mais usada para este conceito, embora por vezes também apare¸ca nalguns livros c(A).

Observa¸c˜ao 22.

1. Matrizes equivalentes por linhas tˆem igual caracter´ıstica: se A −→

transf. nas linhas B ent˜ao

como B −→

transf. nas linhasB ′

(f. escada) então também A é equivalente por linhas a B′

:

A −→

transf. nas linhasB transf. nas linhas−→ B ′

(f. escada) . Logo rank A = n´umero de pivots de B′

= rank B

2. rank A ≤ min{n, m}: pois a caracter´ıstica n˜ao pode exceder o n´umero de linhas e/ou de colunas, logo rank A ≤ n, rank A ≤ m.

3. • As linhas n˜ao-nulas de uma matriz em forma de escada s˜ao vectores linearmente independentes de Km_.

• As colunas que contˆem os pivots duma matriz em forma de escada s˜ao vectores linearmente independentes de Kn_.

No caso geral uma matriz em forma de escada tem o seguinte aspecto               0 · · · 0 a′ 1k1 ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 a′ 2k2 ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ .. . ... 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 a′ sks ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 .. . ... 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0              

Assim qualquer combina¸c˜ao linear nula das linhas n˜ao-nulas obriga a que os escalares sejam todos zero:

α1L1+ α2L2+ · · · + αsLs = 0 ⇐⇒            α1a′1k1 = 0 α1∗ +α2a′2k2 = 0 .. . α1∗ +α2∗ + · · · + αsa′sks = 0 ⇐⇒            α1 = 0 α2 = 0 .. . αs = 0

e, portanto, as linhas n˜ao-nulas s˜ao linearmente independentes. Do mesmo modo:

β1Ck1+β2Ck2+· · ·+βsCks = 0 ⇐⇒            β1a′1k1 = 0 β1∗ +β2a′2k2 = 0 ... β1∗ +β2∗ + · · · + βsa′sks = 0 ⇐⇒            β1 = 0 β2 = 0 ... βs = 0

(28)

Espa¸co coluna de uma matriz:

Designemos por C1, C2, . . . , Cm todas as colunas da matriz A. Ent˜ao

C1 =      a11 a21 ... an1      , C2 =      a12 a22 ... an2      , ..., Cm =      a1m a2m ... anm      ∈ Kn×1.

O conjunto de todas as somas da forma α1C1+ α2C2+ · · · + αmCm para α1, α2, . . . , αm ∈ K

´e um subconjunto de Kn×1 e ´e designado pelo espa¸co-coluna da matriz A. Este conjunto designa-se, muitas vezes, por R(A). Assim,

R(A) = {α1C1+ α2C2+ · · · + αmCm: α1, α2, . . . , αm ∈ K} = hC1, C2, . . . , Cmi

- é o subespa¸co gerado pelas colunas da matriz A. Identificando uma matriz-coluna de tipo n × 1 com um vector de Kn _{então R(A) é um subespa¸co vectorial de K}n_.

Por outro lado, temos:

α1C1+ α2C2 + · · · + αmCm = α1      a11 a21 ... an1      + α2      a12 a22 ... an2      + · · · + αm      a1m a2m ... anm      =      α1a11 α1a21 ... α1an1      +      α2a12 α2a22 ... α2an2      + · · · +      αma1m αma2m ... αmanm      =      a11α1+ a12α2+ · · · + a1mαm a21α1+ a22α2+ · · · + a2mαm ... an1α1+ an2α2+ · · · + anmαm      =      a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m ... ... ... an1 an2 . . . anm           α1 α2 ... αm      = A      α1 α2 ... αm      = Ax com x =      α1 α2 ... αm      ∈ Km×1 Assim R(A) = hC1, C2, . . . , Cmi = Ax : x ∈ Km×1 .

Dada uma matriz A particular podemos considerar o espa¸co gerado pelas suas colunas R(A) e determinar directamente uma base e assim calcular a dimensão de R(A). No entanto, o resultado seguinte permite-nos, sem calcular uma base, saber qual a dimensão de R(A). Proposi¸cão 23. Seja A′

´

e uma matriz em forma de escada ent˜ao: 1. dim R(A′

) = n´umero de pivots de A′

. 2. dim R(A) = dim R(A′

) , se A′

(29)

Demonstra¸cão. 1. Temos, pela Observa¸cão 22, que as colunas que contêm pivots são lin-earmente independentes. Logo

número de pivots de A′ ≤ número máximo de colunas lin. indep. de A′

= dim R(A′). Por outro lado, se C′

k ´e uma coluna de A ′

que pertence a uma base de R(A′

) ent˜ao C′ k tem

um pivot ou se não tem um pivot (como não pode ser uma coluna nula porque faz parte de uma base) existe um pivot mais à esquerda da última entrada não nula na linha mais abaixo poss´ıvel (ver a matriz da demonstra¸cão da Proposi¸cão 21). Portanto,

dim R(A′

) = n´umero de vectores de qualquer base ≤ n´umero de pivots de A′

. Da dupla desigualdade segue-se a igualdade.

2. Suponhamos que A −→

transf. nas linhas A ′

. Sejam Ck1, Ck2, . . . , Ckt t colunas de R(A). Con-sideremos a submatriz de A formada só por estas colunas e designêmo-la por Ak1,k2,...,kt. Então efectuando exactamente as mesmas transforma¸cões que efectuámos de A para A′

vamos obter uma submatriz de A′

(com t colunas) que ser´a equivalente por linhas a Ak1,k2,...,kt: Ak1,k2,...,kt −→

iguais transf. nas linhasA ′ k1,k2,...,kt. Como temos α1Ck1 + α2Ck2 + . . . + αtCkt = 0 ⇐⇒ Ak1,k2,...,kt      α1 α2 .. . αt      =      0 0 .. . 0      . ent˜ao,

{Ck1, Ck2, . . . , Ckt} é linearmente ind. ⇐⇒ Ak1,k2,...,ktX = 0 é determinado ⇐⇒ A′ k1,k2,...,ktX = 0 é determinado ⇐⇒ {C′ k1, C ′ k2, . . . , C ′

kt} ´e linearmente ind. Daqui segue-se que dim R(A) = dim R(A′

). 3. Seja A′

uma matriz em forma de escada equivalente por linhas a A. Temos por 1 e 2 que

dim R(A) = dim R(A′) = n´umero de pivots de A′ =

def.rank A.

Observa¸cão 24. De igual modo podemos considerar matrizes equivalentes por colunas a A efectuando somente transforma¸cões elementares sobre as colunas de A e também podemos considerar os espa¸co gerado pelas linhas de A, que usualmente se denota por L(A). Tem-se, trivialmente, que:

1. dim L(A) = dim R(AT_{), onde A}T _{´e a matriz transposta de A.}

2. dim L(A′

) = n´umero de linhas n˜ao-nulas de A′

, se A est´a em forma de escada.

3. A −→

transf. nas colunasA ′

⇐⇒ AT _−→

transf. nas linhas A ′T_.

4. dim L(A) = dim R(AT) = dim R(A′T_{) = dim L(A}′

) = rank A , para qualquer A′

em forma de escada e equivalente a A

(30)

Exemplo 15. Se A =

1 2 1

−3 0 1

, ent˜ao dim R(A) = 2 = rank A (verifique!). Por outro lado, R(A) =Ax : x ∈ R3×1 ₌    1 2 1 −3 0 1   x1 x2 x3  : x₁, x₂, x₃ ∈ R    = x1+ 2x2+ x3 −3x1+ x3 : x1, x2, x3 ∈ R = 1 −3 , 2 0 , 1 1 = 2 0 , 1 1 pois (1, −3) = 2(2, 0) − 3(1, 1). Espa¸co nulo ou n´ucleo de uma matriz:

O conjunto de todos os vectores x ∈ Km×1 _{que satisfazem Ax = 0 diz-se o espa¸co nulo}

ou n´ucleo da matriz A. Este conjunto ´e denotado por ker A e, portanto, ker A = {x ∈ Km×1: Ax = 0} .

Dada uma matriz A particular podemos considerar o núcleo da matriz ker A e determinar directamente uma base e assim calcular a dimensão de ker A. No entanto, o resultado seguinte permite-nos, sem calcular uma base, saber qual a dimensão de ker A.

Proposi¸c˜ao 25. Identificando uma matriz-coluna de tipom × 1 com um vector de Km _ent˜_ao

ker A ´e um subespa¸co vectorial de Km _{e tem-se:}

dim ker A = m − rank A = m − dim R(A) . Demonstra¸c˜ao. Seja A′

em forma de escada e equivamente a A. Ent˜ao Ax = 0 se e s´o se A′

x = 0, donde ker A = ker A′

. Como A′

est´a em forma de escada, A′

x = 0 tem m − rank A′

vari´aveis livres, ou seja podemos obter m − rank A′

vectores linearmente independentes de ker A′

que geram ker A′

. Portanto dim ker A′

= m − rank A′

. Assim dim ker A = dim ker A′

= m − rank A′

= m − rank A = m − dim R(A).

Exemplo 16. Se A = 1 2 1 −3 0 1 , ent˜ao Ax = 0 ⇔ 1 2 1 −3 0 1   x1 x2 x3  = 0 0 ⇔ x1 + 2x2+ x3 −3x1+ x3 = 0 0 . Ora ₍ x1 + 2x2+ x3 = 0 −3x1+ x3 = 0 ⇔ ( x2 = 2x1 x3 = 3x1 e, portanto, ker A = {x ∈ R3×1: Ax = 0} =      x1 2x1 3x1  : x₁ ∈ R    =      1 2 3  x₁: x₁ ∈ R    = *  1 2 3   + = h(1, 2, 3)i.

(31)

Mudan¸ca de base:

Seja V um espa¸co vectorial sobre um corpo K de dimens˜ao finita n. Se B = (v1, . . . , vn) ´e

uma base de V então qualquer vector de v ∈ V escreve-se de modo único como combina¸cão linear dos vectores de B, isto é existem escalares únicos α1, . . . , αi tais que

v = α1v1+ α2v2+ · · · + αnvn.

Por outro lado, dada outra base, B′

= (u1, . . . , un) de V existem tamb´em escalares ´unicos

β1, . . . , βn∈ K tais que

v = β1u1 + β2u2+ · · · + βnun.

Uma pergunta natural a fazer-se é: que rela¸cão existe entre estes escalares? Novamente as matrizes vão ter um papel importante ne resposta a esta questão.

Exemplo 17. Consideremos em R3 _{duas bases}

B = (v1, v2, v3) , B ′

= (u1, u2, u3),

onde

u1 = −v1+ v2+ v3 , u2 = v1− v2 , u3 = v1− v3.

Consideremos o vector v = v1 + 2v2 + 3v3. Na base B as suas coordenadas s˜ao (1, 2, 3) por

esta ordem. Vamos, agora, determinar as coordenadas de v na base B′

: v1+ 2v2+ 3v3 = β1u1+ β2u2+ β3u3

= β1(−v1+ v2+ v3) + β2(v1− v2) + β3(v1 − v3)

= (−β1+ β2+ β3)v1+ (β1 − β2)v2+ (β1− β3)v3.

Sabemos que cada vector escreve-se de modo único como combina¸cão linear dos vectores de uma base logo, por unicidade, terá de ser

     −β1 + β2+ β3 = 1 β1 − β2 = 2 β1 − β3 = 3 ⇐⇒ matricialmente   −1 1 1 1 −1 0 1 0 −1     β1 β2 β3  =   1 2 3  = S   β1 β2 β3  =   1 2 3  .

Repare-se que as colunas da matriz S s˜ao as coordenadas dos vectores da base B′

em rela¸c˜ao `a base B: _     u1= (−1)v1+ (−1)v2+1v3 u2=1v1+ (−1)v2+0v3 u3=1v1+0v2 + (−1)v3 e S =   −1 1 1 1 −1 0 1 0 −1  .

Como a matriz S ´e invert´ıvel (pela Proposi¸c˜ao 11), temos

S   β1 β2 β3  =   1 2 3   ⇐⇒   β1 β2 β3  = S−1   1 2 3  =   1 1 1 1 0 1 1 1 0     1 2 3  =   6 4 3   (confirme!). Portanto v = v1+ 2v2+ 3v3 =6u1+4u2+3u3.

Assim, temos as seguintes identifica¸c˜oes:

(32)

No caso geral procede-se de igual modo. Dadas duas bases para um espa¸co vectorial, e conhecendo uma rela¸cão entre os seus vectores, podemos “passar de uma base para outra” através da matriz cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vectores duma das base em rela¸cão à outra base:

Proposi¸c˜ao 26. (Ver Proposi¸c˜ao 4.8.2) Sejam B = (v1, . . . , vn) e B′ = (u1, . . . , un) duas bases

de um espa¸coV sobre um corpo K e seja v ∈ V . Se (α1, . . . , αn) ´e a sequˆencia das coordenadas

de v na base B, isto é, v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn ≡ (α1, . . . , αn) então a sequência das

coordenada de v na base B′ ´e (β1, . . . , βn) com      β1 β2 .. . βn      = S−1      α1 α2 .. . αn     

e S = matriz cujas colunas s˜ao as coordenadas dos vectores de B′

escritos na base B

Defini¸c˜ao: Se B e B′

são duas bases de um espa¸co V sobre um corpo K então S = matriz cujas colunas são as coordenadas

dos vectores de B′

escritos na base B

diz-se a matriz mudan¸ca de base ou matriz de passagem da base B para a base B′

(porque vamos escrever uma “nova” base B′

à custa de uma velha B). Observa¸cão 27. Nas condi¸cões acima

1. Se S ´e a matriz mudan¸ca de base de B para a base B′

ent˜ao S−1 _{´e a matriz mudan¸ca de}

base de B′

para a base B.

2. É comum usar-se a nota¸cão MB_,B′(id) - matriz da aplica¸cão linear identidade id : V → V , em que estamos a considerar no espa¸co de partida os vectores escritos na base B e no espa¸co de chegada os vectores escritos na base B′

. Como se trata da aplica¸cão identidade, id(v) = v, para todo v ∈ V . Portanto apenas escrevemos o mesmo vector em rela¸cão a outra base de V . Esta nota¸cão será fundamentada no tema 4.

3. De acordo com a nota¸c˜ao em 2, tem-se

S = MB′_,B(id) , S

−1 _{= M}

B,B′(id). Deste modo, a proposi¸c˜ao 26 pode ser reescrita na forma

     β1 β2 .. . βn      = MB_,B′(id)      α1 α2 .. . αn      .

Exemplo 18. Consideremos em R4 _{duas bases B = (v}

1, v2, v3, v4) e B′ = (u1, u2, u3, u4).



(33)

informam que:

u1 = 0v1+ 1v2+ 1v3+ (−1)v4 = v2+ v3− v4

u2 = 1v1+ 0v2+ (−1)v3+ (−1)v4 = v1− v3− v4

u3 = (−1)v1+ (−1)v2 + 1v3+ 1v4 = −v1 − v2+ v3+ v4

u4 = 1v1+ (−1)v2+ (−1)v3+ 0v4 = v1− v2− v3

Determinando a inversa desta matriz obtemos S−₁

= MB′_,B(id) =     1 0 1 0 −2 −1 −1 −2 −1 −1 0 −1 2 0 1 1     (con-firme!) e, assim v1 = 1u1+ (−2)u2+ (−1)u3+ 2u4 = u1− 2u2− u3+ 2u4

v2 = 0u1+ (−1)u2+ (−1)u3+ 0u4 = −u2− u3

v3 = 1u1+ (−1)u2+ 0u3+ 1u4 = u1− u2+ u4

v4 = 0u1+ (−2)u2+ (−1)u3+ 1u4 = −2u2− u3+ u4

Portanto conhecida uma das bases e conhecida uma das matrizes mudan¸ca de base conhecemos a outra base. Por exemplo, se B′

é a base canónica de R4 _então:

B = ((1, −2, −1, 2) v1 , (0, −1, −1, 0) v2 , (1, −1, 0, 1) v3 , (0, −2, −1, 1) v4 ).