Universidade de Cabo Verde

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto te´orico de An´alise Matem´atica III

Prof. Narciso Resende Gomes

⊳_∗⊲

narciso.gomes@docente.unicv.edu.cv

⋆

ng.mat.unicv@gmail.com

Ano lectivo: 2012/2013

• Aten¸c˜ao: Este texto ´e apenas uma guia que poder´a ajudar o aluno nas aulas te´oricas. Para apoio complementar, o aluno tem a obriga¸c˜ao de consultar outros textos/manuais principalmente a biblio-grafia indicada pelo professor!!

2 Propriedades - diferenciabilidade . . . 4

3 Fun¸c˜oes compostas . . . 4

3.1 Limites e continuidade de fun¸c˜oes compostas . . . 5

3.2 Deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes compostas . . . 5

3.2.1 Regra de Cadeia . . . 6

4 Derivada direccional . . . 9

5 Vector gradiente . . . 10

6 Plano tangente e recta normal . . . 11

7 Diferencial total . . . 11

8 Fun¸c˜ao Homog´enea . . . 11

9 Elementos de Campo vectorial . . . 12

9.1 Campo vectorial . . . 13

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa,C´alculo com fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, C´alculo diferencial a v´arias vari´aveis. Edi¸c˜oes Loyola e editora PUC-Rio, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.

[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.

1

Diferenciabilidade

Defini¸c˜ao 1: Seja f : _{D ⊆} Rn _{→ R uma fun¸c˜ao definida no conjunto aberto D. Seja}

x = (x1, x2, . . . , xn). Dizemos que f ´e diferenci´avel (ou deriv´avel) no ponto a ∈ D se

existirem:

• As derivadas parciais def em a, e

• O limite

x_→a

f(x)₋f(a)₋

n

X

i=1

∂f

∂x_i(a)·hi

||x₋a_|| = 0,

onde h=x₋a ehi ´e a componente da i-´esima de h e x∈ D.

Para n= 2,a fun¸c˜ao f diz-se diferenci´avel em (a, b)_∈R2 se:

• Existirem ∂f_∂x(a, b) e ∂f_∂y(a, b). • O limite

lim (x,y)→(a,b)

f(x, y)₋f(a, b)₋ ∂f_∂x(a,b)(x₋a)₋ ∂f_∂y(a,b)(y₋b)

||(x, y)₋(a, b)_|| = 0. (1) Equivalentemente, a express˜ao (1) pode ser escrita seguinte forma

lim (h,k)→(0,0)

f(a+h, b+k)₋f(a, b)₋ ∂f_∂x(a,b)h₋ ∂f_∂y(a,b)k

||(h, k)_|| = 0.

Proposi¸c˜ao 1:

• Sef _∈C1 ent˜ao f ´e diferenci´avel

• Sef ´e diferenci´avel ent˜ao f ´e cont´ınua

• Existem fun¸c˜oes cont´ınuas n˜ao diferenci´aveis

• Existem fun¸c˜oes n˜ao diferenci´aveis que tˆem derivadas parciais

• Existem fun¸c˜oes diferenci´aveis que n˜ao s˜ao de classeC1.

Exemplo 1: Seja f(x, y) =

2xy

x2_+y2, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0), n˜ao ´e cont´ınua na origem. No

entanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos, inclusive no ponto (0,0) :

∂f

∂x(0,0) = 0 e ∂f

∂y(0,0) = 0.

As derivadas parciais para (x, y)₆= (0,0) s˜ao:

∂f ∂x =

2y3₋2x2y

(x2_+y2₎2 e

∂f ∂y =

2x3 ₋2xy2

∂f

∂x(0,0) = limh→0

f(h,0)₋f(0,0)

h = limh→0 0

h = 0, ∂f

∂y(0,0) = limh→0

f(0, h)₋f(0,0)

h = limh→0 0

h = 0.

Assim, existem esses limites que ´e zero.

Se calcularmos o limite ao longo da recta y=mx obtemos

lim (x,y)→(0,0)

|2xy_|

(x2_+y2₎3/2 =_(x,ylim_)→(0,0)

2x2m2

x3_{(1 +m}2₎3/2 =∞. Assim, f n˜ao ´e diferenci´avel em (0,0).

Exemplo 2: Sejaf(x, y) =

(

x2

y

x2_+y2, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0), f ´e cont´ınua em (0,0).

Suas derivadas parciais s˜ao:

∂f

∂x(0,0) = ∂f

∂y(0,0) = 0.

∂f

∂x =

2xy3

(x2_+y2₎2 e

∂f ∂y =

x2(x2₋y2) (x2_+y2₎2 . Aplicando a diferenciabilidade para f no ponto (0,0) :

lim (x,y)→(0,0)

|f(x, y)_|

||(x, y)_|| =(x,ylim)→(0,0)

|x2_y| (x2_+y2₎3/2. Considerando y=mx, m >0

lim (x,y)→(0,0)

|x2y_|

(x2_+y2₎3/2 = lim_x→0

±m

(1 +m2₎3/2 =

±m

(1 +m2₎3/2. O limite depende de m. Logo f n˜ao ´e diferencial em (0,0).

Teorema 1.1: (Crit´erio de Diferenciabilidade) Seja f : _{D ⊆} Rn uma fun¸c˜ao definida no conjunto _Dtal que existem todas as derivadas parciais em cada ponto de _De cada uma delas ´e cont´ınua no ponto a_{∈ D}. Ent˜aof ´e diferenci´avel em a.

Paran= 2, se as derivadas parciais ∂f_∂x e ∂f_∂y existem em um conjunto aberto_Dcontendo (a, b) e forem cont´ınuas em (a, b) ent˜ao f ser´a diferenci´avel em (a, b).

Exemplo 3: A fun¸c˜ao z = f(x, y) = cos(xy) ´e diferenci´avel, pois existem ∂f_∂x(x, y) = −ysin(xy) e ∂f_∂y(x, y) = ₋xsin(xy) e s˜ao cont´ınuas em todo ponto (x, y)_∈R2.

Observa¸c˜ao 1: Nem todas as fun¸c˜oes diferenci´aveis num ponto a devem ter derivadas parciais cont´ınuas numa vizinhan¸ca de a.

Teorema 1.2: Sef for diferenci´avel ema_{∈ D}, ent˜aof admitir´a derivadas parciais neste ponto.

Exerc´ıcio 1: Seja f(x, y) =

(

xy3

x2

+y2, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0). Verifique se f ´e diferenci´avel

em (0,0).

Exerc´ıcio 2: Seja f(x, y) =

_x3

x2_+y2, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0), Verifique que f ´e cont´ınua em

(0,0), contudo n˜ao diferenci´avel nesse ponto.

Exerc´ıcio 3: Verifique que a fun¸c˜ao f(x, y) = sinxy´e diferenci´avel.

Exerc´ıcio 4: Sejaf(x, y) =

(

xy3

x2_+y6, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0). Conclua quef n˜ao ´e diferenci´avel

em (0,0). Justifique!

Exerc´ıcio 5: Seja f(x, y) =

xy

x2_+y2, (x, y)6= (0,0)

0, se (x, y) = (0,0). Verifique que f n˜ao ´e cont´ınua

em (0,0), contudo possui derivadas parciais nesse ponto. Conclua acerca da diferencia-bilidade no mesmo ponto.

2

Propriedades - diferenciabilidade

1. Se f for uma fun¸c˜ao diferenci´avel eα_∈R ent˜ao αf, ´e diferenci´avel.

2. A soma de fun¸c˜oes diferenci´aveis ´e a fun¸c˜ao diferenci´avel,

D(f+g)(a) = Df(a) +Dg(a).

3. O produto de fun¸c˜oes diferenci´aveis ´e a fun¸c˜ao diferenci´avel,

D(f g)(a) = f(a)Dg(a) +g(a)Df(a).

4. O quociente de fun¸c˜oes diferenci´aveis ´e a fun¸c˜ao diferenci´avel,

D

f g

(a) = g(a)Df(a)−f(a)Dg(a)

g2_(a) .

Exemplo 4: A aplica¸c˜aof(x, y) =

( _xy

√

x2

+y2, (x, y)6= (0,0)

0, (x, y) = (0,0), n˜ao ´e cont´ınua na origem

e portanto, n˜ao ser´a diferenci´avel nesse ponto. Em R2 _\(0,0) ´e diferenci´avel por ser o quociente de fun¸c˜oes diferenci´aveis.

3

Fun¸

c˜

oes compostas

Defini¸c˜ao 2: Sejam as aplica¸c˜oes f : _D1 ⊂ Rn → Rm e g : D2 ⊂ Rm → Rp, define-se a fun¸c˜ao composta g_◦f : _{D ⊂} Rn _→ Rp, que cada x _{∈ D} faz corresponder g _◦f(x) =

Rn Rm _Rp

X f(X) g(f(X))

f g

gof

3.1

Limites e continuidade de fun¸

c˜

oes compostas

Sejam f :_{D1 ⊂}Rn _→Rm e g :_{D2 ⊂} Rm _→Rp. Sejama e b = lim

x_→af(x) pontos de

acumula¸c˜ao de_D1 eD2 respectivamente. A seguinte igualdade ´e v´alida desde que exista o limite de f em atal que

lim

x_→a(gof)(x) = limu_→bg(u).

Exemplo 5: Determinemos o lim (x,y)→(0,0)

sin(x2_+y2₎

x2_+y2 . Tomando a fun¸c˜ao u = f(x, y) =

x2 +y2, e g(u) = sinu

u , os dom´ınios de f, Df = R

2 _{e de g, D}

g = R\ {0}. Assim,

lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0 e limu→0g(u) = 1.

Exerc´ıcio 6: Determine o lim

(x,y)→(1,0)f(x, y) e (x,ylim)→(0,0)g(x, y) com f(x, y) =

sin(xy)

xy e

g(x, y) = sin 2_(xy)

(xy)2 .

Proposi¸c˜ao 2: Se ja f : Rn _→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua em a _{∈ D}f e g : R → R uma

fun¸c˜ao cont´ınua emb =f(a).Ent˜ao a fun¸c˜ao composta tamb´em ´e cont´ınua no pontoa.

3.2

Deriva¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes compostas

Teorema 3.1: Sejam f eg nas condi¸c˜oes de Defini¸c˜ao 2. Sef ´e diferenci´avel no pontoa

e g ´e diferenci´avel no ponto f(a), ent˜ao g_◦f ´e diferenci´avel no ponto a

D(g_◦f)(a) =Dg(f(a))Df(a).

3.2.1 Regra de Cadeia

De uma forma muito mais simplificada, consideremos a defini¸c˜ao seguinte indepen-dente da nota¸c˜ao utilizada anteriormente:

Seja uma fun¸c˜ao real de n vari´aveis reais f(x₁, x₂, . . . , x_n). Uma fun¸c˜ao ´e dita com-posta se as suas vari´aveis x₁, x₂, . . . , x_n dependem ainda de outras vari´aveis, digamos

t1, t2, . . . , tr, ou seja,

h(t₁, t₂, . . . , t_r) =f(x₁(t₁, t₂, . . . , t_r), x₂(t₁, t₂, . . . , t_r), . . . , x_n(t₁, t₂, . . . , t_r)). (2)

Utilizaremos a regra de cadeiapara derivar as fun¸c˜oes compostas. A partir de (2):

1. Se r = 1,

x1, x2, . . . , xn s˜ao fun¸c˜oes de uma s´o vari´avel t:

h(t) =f(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)).

Sejamf(x₁, x₂, . . . , x_n) uma fun¸c˜ao real denvari´aveis reais ex1(t), x2(t), . . . , x_n(t) fun¸c˜oes de uma vari´avel realt, diferenci´aveis emt0 (i.e., x1(t), x2(t), . . . , xn(t) tem

derivada em t0).

Suponha ainda que f ´e diferenci´avel em x0 = (x1(t₀), x2(t₀), . . . , x_n(t0)). Ent˜ao a fun¸c˜ao real de uma vari´avel real

h(t) = f(x1(t), x2(t), . . . , x_n(t))

´e diferenci´avel em t0 e

∂h(t0)

∂t =

n

X

i=1

∂f ∂x_i(x

0₎dxi

dt (t0).

Exemplo 7: Seja f(x, y) = x2_{y + e}y _{com x(t) = sint e y(t) = cost. A fun¸c˜ao}

composta ´e dada por h(t) =f(sint,cost). Usando a regra de cadeia obt´em-se:

h′(t) = ∂f

∂x(sint,cost) dsint

dt +

∂f

∂y(sint,cost) dcost

dt

= (2 sintcost) cost+(sin2t+ecost)(₋sint) = (2 sintcost) cost₋(sin2t+ecost) sint.

2. Se r >1,

h(t₁, t₂, . . . , t_r) =f(x₁(t₁, t₂, . . . , t_r), x₂(t₁, t₂, . . . , t_r), . . . , x_n(t₁, t₂, . . . , t_r)) em t0 e s˜ao dadas por

∂h(t0)

∂t_j =

n

X

i=1

∂f ∂x_i(x

0₎∂xi

∂t_j(t

0_),

comt0 = (t0₁, t0₂, . . . , t0_r) ex0 =

x1(t0₁, t0₂, . . . , t0_r), x2(t01, t02, . . . , t0r), . . . , xn(t01, t02, . . . , t0r)

.

Exemplo 8: Sejaz =x2lny, comx= u

v ey = 3u−2v.

Pretendemos determinar ∂z

∂u(3,4) e ∂z ∂v(3,4).

Ent˜ao ∂z ∂u = ∂z ∂x ∂x ∂u + ∂z ∂y ∂y

∂u = 2xlny ∂x ∂u + x2 y ∂y ∂u.

Substituindo os respectivos valores de x e y e suas derivadas, fica:

∂z

∂u(u, v) = 2 u

v ln(3u−2v)

1

v + 3

(u v)

2

3u₋2v ⇒ ∂z

∂u(u, v) = 2 u

v2 ln(3u−2v) + 3

u2 v2_(3u−2v).

Assim, ∂z

∂u(3,4) =

27 16.

∂z

∂v(u, v) = ∂z ∂x ∂x ∂v + ∂z ∂y ∂y

∂v = 2xlny ∂x ∂v + x2 y ∂y ∂v.

Do mesmo modo, substituindo os valores de x ey e suas derivadas, obtemos:

= 2u

v ln(3u−2v)

−u v2 + ( u v) 2

3u₋2v(−2) =−2 u2

v3 ln(3u−2v)−2

u2 v2_(3u−2v).

Assim, ∂z

∂v(3,4) =−

9 8.

Em forma de resumo, esquematizamos o seguinte:

1. Sendo n = 2 e z =f(x, y) uma fun¸c˜ao de classe C1, x =x(r, s) e y= y(r, s) s˜ao fun¸c˜oes tais que as suas derivadas parciais existem, ent˜ao:

∂z ∂r = ∂z ∂x ∂x ∂r + ∂z ∂y ∂y ∂r e ∂z ∂s = ∂z ∂x ∂x ∂s + ∂z ∂y ∂y ∂s. z x y

r s r s

Em particular, se x=x(t) e y=y(t) diferenci´aveis, ent˜ao

z

x y

t

2. Sendo n= 3 e w=f(x, y, z) uma fun¸c˜ao de classe C1_{,x=x(r, s, t),y=y(r, s, t)} ez =z(r, s, t) s˜ao fun¸c˜oes tais que as suas derivadas parciais existem, ent˜ao:

∂w

∂r =

∂w ∂x

∂x ∂r +

∂w ∂y

∂y ∂r +

∂w ∂z

∂z ∂r,

∂w ∂s =

∂w ∂x

∂x ∂s +

∂w ∂y

∂y ∂s +

∂w ∂z

∂z ∂s,

∂w ∂t =

∂w ∂x

∂x ∂t +

∂w ∂y

∂y ∂t +

∂w ∂z

∂z ∂t.

w

x y z

r s _t r s _t r s _t

Em particular, se x=x(t), y =y(t) e z =z(t) diferenci´aveis, ent˜ao

∂w ∂t =

∂w ∂x

∂x ∂t +

∂w ∂y

∂y ∂t +

∂w ∂z

∂z ∂t.

w

x y z

t

Exerc´ıcio 7: Calcule a derivada z′(t) da fun¸c˜ao seguinte, resultante da composi¸c˜ao de fun¸c˜oes indicadas:

z = x

y, x=e

Exerc´ıcio 8: Calcule as derivadas parciais ∂z

∂x e ∂z

∂y da fun¸c˜ao seguinte, resultante da

composi¸c˜ao de fun¸c˜oes indicadas:

z = arctan

u v

, u= sin(xy), v = cos(xy).

4

Derivada direccional

Defini¸c˜ao 3: Sejam _{D ⊂} Rn um aberto, f : _{D ⊂} Rn _→ R uma fun¸c˜ao, x _{∈ D} e v um vector unit´ario em Rn.

A derivada direccional de f no ponto x e na direc¸c˜ao v ´e denotada por _∂∂fv(x) (ou Dfv) e ´e definida por

∂f

∂v(x) = limt→0

f(x+tv)₋f(x)

t

se o limite existir.

Se n = 2, x = (x, y) _∈ R2 _{e o vector unit´ario v = (v}

1, v2) em R2. A derivada

direccional def no ponto (x, y) na direc¸c˜ao v= (v1, v2) ´e definida por

∂f

∂v(x, y) = limt→0

f(x+tv₁, y +tv₂)₋f(x, y)

t

se o limite existir.

Analogamente para n= 3.

Exemplo 9: A fun¸c˜ao f(x, y) =

(

x2

y

x2_+y2, (x, y)6= (0,0)

0, (x, y) = (0,0). Determinemos as derivadas

direccionais na origem e em qualquer direc¸c˜aov= (v₁, v2).De facto: f((0,0)+t(v₁, v2))₋

f(0,0) =f(tv1, tv2) = (tv1)

2

tv2

(tv1) 2

+(tv2)2 =t

v12v2

(v1) 2

+(v2)

2. Ent˜ao,

∂f

∂v(0,0) = limt→0

f(tv1, tv2)−f(0,0)

t = limt→0

t v12v2

v12+v22

t =

v2₁v2

v₁2_+v 22

.

Exemplo 10: Pretendemos calcular a derivada direccional def(x, y) = x2+y2na direc¸c˜ao

u = (1,1). O vector u n˜ao ´e unit´ario, logo v = _||(1(1_,,1)_1)|| = √1

2(1,1) ´e unit´ario. Assim, a

derivada direccional def no ponto (x, y) na direc¸c˜ao v = (v1, v2) = √1₂(1,1) ´e definida por

∂f

∂v(x, y) = limt→0

f(x+t√1

2, y+t 1 √

2)−f(x, y)

t = limt→0

(x+_√t

2)

2_{+ (y+√}t

2)

2_{−f(x, y)}

t =

lim

t→0

(x+√t 2)

2_{+ (y+} t

√

22)−x 2 _−y2

t = limt→0 2t

√

2(x+y) +t 2

t =

2 √

2(x+y).

Exerc´ıcio 9: Determine a derivada direccional de f(x, y, z) = xyz na direc¸c˜ao u = (1,0,1) e na direc¸c˜ao v= (0,0,1).

Exerc´ıcio 10: Considere a fun¸c˜aof(x, y) =_|x2_−y2_|1

2. Determine a derivada direccional,

5

Vector gradiente

Defini¸c˜ao 4: Sejaf :_{D ⊂}Rn_{→Ruma fun¸c˜ao com derivadas parciais ema. Ogradiente}

def(grad f ou _∇f) no ponto a_{∈ D ⊂}Rn ao vector

∇f(a) =

∂f ∂x1

(a), ∂f ∂x2

(a),_{· · ·} , ∂f ∂xn

(a)

.

Equivalentemente,

∇f(a) = ∂f

∂x₁(a)e1+ ∂f

∂x2(a)e2+· · ·+

∂f

∂x_n(a)en,

com (e1,e2, . . . ,en) a base can´onica deRn.

Em R2, fica

∇f(a, b) =

∂f ∂x(a, b),

∂f ∂y(a, b)

.

Analogamente emR3.

Exemplo 11: O gradiente da fun¸c˜ao f(x, y) = x2+y2 ´e_∇f = ∂f_∂x,∂f_∂y

= (2x,2y).

Propriedades 1: Seja o vector gradiente no ponto a diferente de vector nulo:

• O vector gradiente aponta para uma direc¸c˜ao segundo a qual a fun¸c˜ao ´e crescente.

• De entre todas as direc¸c˜oes ao longo das quaisf´e crescente, a direc¸c˜ao do gradiente ´e a de crescimento mais r´apido.

• O gradiente de f no pontoa´e perpendicular `a curva (ou superf´ıcie) de n´ıvel de f

que passa por esse ponto.

Exemplo 12: Verifique as propriedades do vector gradiente da fun¸c˜ao f(x, y) = 2x+ 3y.

−3 ₋2 ₋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−2 −1 1 2 3 4 5

0

∇f = (2,3).

Nk = 2x+ 3y=k, k∈R.

6

Plano tangente e recta normal

Defini¸c˜ao 5: Seja f :_{D ⊂} R2 _{→Ruma fun¸c˜ao diferenci´avel em (a, b). O plano}

z =f(a, b) + ∂f

∂x(a, b)(x−a) + ∂f

∂y(a, b)(y−b)

denomina-se plano tangente ao gr´afico def no ponto (a, b, f(a, b)).

Defini¸c˜ao 6: Denomina-serecta normalao gr´afico def no ponto (a, b, f(a, b)) e denota-se

(x, y, z) = (a, b, f(a, b)) +λ

∂f ∂x(a, b),

∂f

∂y(a, b),−1

, λ _∈R.

Exerc´ıcio 11: Seja f(x, y) = 3x2_{y − x. Pretendemos determinar a equa¸c˜ao da plano}

tangentee da recta normal do ponto (1,2, f(1,2)). Assim, a equa¸c˜ao do plano tangente ´e z = 5 + 11(x₋ 1) + 3(y ₋2). E a equa¸c˜ao da recta normal (x, y, z) = (1,2,5) +

λ(11,3,₋1), λ_∈R.

7

Diferencial total

Sejaf :_{D ⊂}Rn_{→Ruma fun¸c˜ao diferenci´avel. Define-se diferencial totalda fun¸c˜ao}

f no ponto apor

df(a) =

n

X

i=1

∂f

∂x_i(a)dxi.

Em R2, a diferencial total da fun¸c˜ao f no ponto (a, b)_∈R2,por

df(a, b) = ∂f

∂x(a, b)dx+ ∂f

∂y(a, b)dy.

Analogamente em R3.

Exemplo 13: Considere a fun¸c˜ao f(x, y) = exy_{. A diferencial total de f num ponto}

arbitr´ario (x, y)_∈R2 ser´a

df =yexydx+xexydy.

8

Fun¸

c˜

ao Homog´

enea

A fun¸c˜ao f : _{D ⊂} Rn _→ R diz-se homog´enea de grau α se f(λx) = λαf(x) com

x = (x₁, x₂, . . . , x_n) _{∈ D}, λ _∈ R+ e α _∈ Q. A α chama-se grau de homogeneidade da fun¸c˜ao.

Propriedades 2:

• Se f ´e homog´enea de grau α ent˜ao todas as suas derivadas parciais de primeira ordem s˜ao homog´eneas de grau α₋1.

• Qualquer fun¸c˜ao homog´enea de grau α verifica a identidade de Euler:

n

X

i=1

x_i∂f

EmR2, a identidade de Euler fica:

x∂f

∂x(x, y) +y ∂f

∂y(x, y) =αf(x, y).

Analogamente emR3.

Exemplo 14: Considere f(x, y) = y2_{(lnx− lny). Averigue se f ´e homog´enea e caso} afirmativo verifique a igualdade de Euler.

Exerc´ıcio 12: Verifique se a fun¸c˜aof(x, y) =xy+yz+z2´e homog´enea. Caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade e verifique a identidade de Euler.

9

Elementos de Campo vectorial

A aplica¸c˜ao

F :_{D ⊂}Rn_→Rm, x_7→(f1, f2,· · ·, fm) (3)

designa-se fun¸c˜ao vectorial. Cada componente f1, f2, . . . , fm, definidas em D

designam-se fun¸c˜oes componentesda fun¸c˜ao vectorial de F.

1. O dom´ınio de uma fun¸c˜ao vectorial ´e a intersec¸c˜ao dos dom´ınios das respectivas fun¸c˜oes componentes, ou seja,

DF =Df1 ∩ Df2 ∩ · · · ∩ Dfm.

2. O limite de uma fun¸c˜ao vectorial num dado ponto existe se e s´o se existir o limite de cada uma das fun¸c˜oes componentes nesse ponto. No caso de existir, o limite da fun¸c˜ao vectorial ´e o vector cujas coordenadas s˜ao limites de cada uma das fun¸c˜oes componentes.

3. Uma fun¸c˜ao vectorial ´e cont´ınua num ponto do seu dom´ınio se e s´o se cada uma das respectivas fun¸c˜oes componentes forcont´ınua nesse mesmo ponto.

4. Uma fun¸c˜ao vectorial ´e diferenci´avel num ponto interior se e s´o se cada umas das respesctivas fun¸c˜oes componentes for diferenci´avel nesse mesmo ponto.

Exemplo 15: Seja F :_{D ⊂} R2 _→R3, com

F(x, y) =

xy2 x2_+y2,

2yx2 x2_+y2,

√_xy

.

Pretende-se determinar o dom´ınio _D. Assim,

O dominio de f1(x, y) = xy 2

x2_+y2, Df1 =R

2

\ {(0,0)_}.

O dominio de f₂(x, y) = yx 2

x2_+y2, Df2 =R

2

\ {(0,0)_}.

O dominio de f3(x, y) =√xy, _Df3 ={(x, y)∈R

A fun¸c˜ao vectorialf tem dom´ınio_D=_Df1∩Df2∩Df3 ={(x, y)∈R

2 _{:xy≥0}\{(0,0)}.} Podemos ainda verificar que:

1. O limite da fun¸c˜ao vectorial ´e (0,0,0).

2. A fun¸c˜ao F ´e cont´ınua no seu dom´ınio _D, com f₁, f₂ e f₃ fun¸c˜oes cont´ınuas no dom´ınio _D.

3. A fun¸c˜aoF ´e diferenci´avel por f1, f₂ e f₃ todos serem de classeC1 _{e cont´ınuas.}

Exerc´ıcio 13: Verifique que a fun¸c˜ao F(x, y, z) = sinx, x2+y2, exyz ´e cont´ınua no seu dom´ınio.

9.1

Campo vectorial

A fun¸c˜ao vectorial nas condi¸c˜oes de (3), quando n = m, designamos de Campo Vectorial, ou seja, F :_{D ⊂}Rn _→Rn, x_7→(f₁, f₂,_{· · ·} , f_n).

Exemplo 16: Sejam F :R2 _→R2 e G:R2 _→R2 com

F(x, y) = (x, y) e G(x, y) = (₋y, x).