Seja f : R ! R uma função contínua, em que R = {(x,y), a x b, y1(x) y y2(x)}.
Podemos definir uma nova função F, dada por
F(x) =
Z y2(x) y1(x)
f (x, y)dy. (3.1)
Por sua vez, podemos calcular a integral
I = Z b a F(x)dx. (3.2) Substituindo (3.1) em (3.2), obtemos I = Z b a 0 BBBB @ Z y2(x) y1(x) f (x, y)dy 1 CCCC A dx. (3.3)
Exemplo 3.1. Consideremos o conjunto R = {(x,y), 0 x 1, 0 y 1 x} e a função f (x,y) = 1 x y. Então podemos construir a função de uma variável
F(x) = Z 1 x 0 (1 x y)dy = y xy y2 2 ! y=1 x y=0 =1 2 x + x2 2.
Por sua vez, podemos calcular a integral de F(x) entre x = 0 e x = 1, que é dada por
I = Z 1 0 1 2 x + x2 2 ! dx = 1 6.
De modo análogo, se nosso conjunto é da forma R = {(x,y), c y d, x1(y) x x2(y)},
podemos definir F(y) = Z x2(y) x1(y) f (x, y)dx 20
e, então, calcular I = Z d c F(y)dx =I = Z d c 0 BBBB @ Z x2(y) x1(y) f (x, y)dx 1 CCCC A dx. (3.4) Integrais iteradas
Se f é uma função contínua, então qualquer uma das integrais Z b a Z y2(x) y1(x) f (x, y)dydx = Z b a 0 BBBB @ Z y2(x) y1(x) f (x, y)dy 1 CCCC A dx (3.5) ou Z d c Z x2(y) x1(y) f (x, y)dxdy = Z d c 0 BBBB @ Z x2(y) x1(y) f (x, y)dx 1 CCCC A dy (3.6)
é chamada integral iterada da função f .
Deve ser observado que a integral iterada mostra exatamente a ordem de integração, como se pode ver nas duas expressões acima. Por exemplo, a expressão à esquerda em (3.5) diz que primeiro fazemos a integração na variável y e, em seguida, na variável x. Isso é, inclusive, explicitamente escrito na parte direita da mesma equação. Por sua vez, a parte esquerda de (3.6) indica primeiro integração em x e posterior integração em y, conforme mostrado no lado direito da mesma equação.
Observação
Em nossa apresentação partimos de um conjunto R e da função f para construir a in-tegral iterada. No entanto, usualmente o conjunto é subentendido e a região é inferida a partir da correspondente integral.
Exercício Resolvido 3.1. Determine o conjunto do plano xy sobre o qual a integral iterada Z 2
1
Z 4 x2xe
ydydx
é calculada e determine seu resultado.
Solução: Note que primeiramente devemos encontrar a integração com respeito à variá-vel y, que varia entre x2 e 4, ou seja x2 y 4, enquanto x varia de x = 1 a x = 2. Isso é
y=x^2 y=4 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 1 2 3 4
Figura 3.1: Região da integral (3.4)
Primeiro calculemos
F(x) =
Z 4 x2
xeydy.
Neste caso, a variável x é uma mera constante, do ponto de vista da integração. Então, obte-mos F(x) = x Z 4 x2e ydy = x ey y=4 y=x2 = e4x xex2. Agora, calculamos Z 2 1F(x)dx = Z 2 1(e 4x xex2)dx = e4Z 2 1xdx Z 2 1xe x2dx.
A primeira integral do lado esquerdo é facilmente calculada, isto é,
e4 Z 2 1xdx = x2 2 x=2 x= 1 = e4 2(4 1) = 3 2e4.
Para a segunda integral, usaremos uma mudança de variáveis. Se fizermos u = x2, então du = 2xdx. Além disso, se x = 1, então u = 1, enquanto x = 2 implica u = 4. Logo,
Z 2 1 xe x2dx = 1 2 Z 4 1 e udu = e4 2 u=4 u=1 =e4 e 2 . Desse modo, temos Z
2 1F(x)dx = 3 2e4 e4 e 2 = e4+ e 2. Com isso, encontramos a integral (3.4), dada por
Z 2 1 Z 4 x2 xeydydx = e4+ e 2. ⌅
Exercício Resolvido 3.2. Calcule Z
1 0
Z x x2
e Z 1 0
Z py
y 2ydxdy.
Solução: A representação geométrica de onde estamos integrando são dada na Figura 3.2. A Figura 3.2a mostra a descrição da região em que a primeira integral é calculada. Nela
x varia livremente entre 0 e 1, mas y varia entre y = x2 a y = x. Numa descrição na forma de conjunto, temos R1= {(x,y), 0 x 1, x2 y x}. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y x x2
(a) x variando entre 0 e 1, y variando entre x2e x.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y x x2
(b) y variando de 0 a 1 e x variando entre y e py. Figura 3.2: Geometria envolvida nas integrais do Exercício Resolvido 3.2.
Na Figura 3.2b temos descrição da região em que a segunda integral é cal-culada. Aqui, y varia livremente entre 0 e 1, enquanto x varia da reta (x,x) à parábola (y,py), o qual pode ser repre-sentada como
R2= {(x,y), 0 y 1, y x py}.
Note, em particular, que embora a descrição entre esses dois conjuntos seja distintas, matematicamente eles des-crevem a mesma região, ou seja, R1 =
R2.
Para a primeira integral, temos
I1= Z 1 0 Z x x2 2ydydx = Z 1 0 y 2 y=x y=x2 dx = Z 1 0 (x 2 x4)dx = x3 3 x5 5 ! x=1 x=0 = 1 3 1 5 = 2 15.
Calculando a segunda integral, temos
I2= Z 1 0 Z py y 2ydxdy = Z 1 0 2xy x=py x=y dy = Z 1 0 (2y 3/2 2y2)dy =✓4 5y5/2 2 3y3 ◆ y=1 y=0 = 2 15. ⌅
O resultado do Exercício Resolvido 3.2 não deve ser surpreendente, por uma razão bas-tante simples: as duas operações acima calculam a integral da mesma função, na mesma
região, mudando apenas a representação do conjunto. Independentemente da forma de se
representar o conjunto, é de se esperar o que o resultado final seja o mesmo. De fato, isso é assegurado pelo seguinte teorema.
Teorema de Fubini
Suponha que f : [a,b] ⇥ [c,d] ! R seja uma função contínua. Então Z d c Z b a f (x, y)dxdy = Z b a Z d c f (x, y)dydx.
Exercício Resolvido 3.3. Esboce a região de integração e calcule a integral Z 1 0 Z 2 1 xex y dydx.
Solução: Neste caso, observemos que y varia de 1 a 2, enquanto x varia de 0 a 1. Assim, como não há dependência entre x e y na região de integração R, ela é retangular e seu esboço é dado como na Figura 3.3.
x y R 1 1 2 0
Figura 3.3: Região retangular de integração do Exemplo 3.3.
Escrevendo F(x) = Z 2 1 xex y dy,
conseguimos reescrever a integral como Z 1 0 Z 2 1 xex y dydx = Z 1 0 F(x)dx.
de tal forma que temos F(x) = Z 2 1 xex y dy = xe x Z 2 1 1 ydy = xe x(lny) y=2 y=1 = (ln2)xex.
Substituindo a expressão encontrada para F(x) na integral que queremos calcular,
encontra-mos Z 1 0 Z 2 1 xex y dydx = Z 1 0 F(x)dx = Z 1 0 (ln2)xe xdx = (ln 2) Z 1 0 xe xdx. (3.7)
A integral R01xexdx pode ser determinada utilizando integração por partes. De fato,
to-mando v = x e u0= ex, a fórmula de integração por partes nos dá Z 1 0 xe xdx =Z 1 0 u 0vdx = uv 1 0 Z 1 0 uv 0dx = xex x=1 x=0 Z 1 0 e xdx = e ex x=1 x=0 1 = 1.
Portanto, substituindo o valor da integral em (3.7), concluímos que Z 1 0 Z 2 1 xex y dydx = ln 2. ⌅
Exercício Resolvido 3.4. Determine a região do plano xy sobre o qual a integral iterada Z 4 1 Z 2 1 x y + y x ! dydx é calculada e determine seu resultado.
Solução: Note que y varia entre 1 e 2, enquanto x varia entre 1 e 4. Desta forma, como não há dependência entre x e y na região de integração R, a região é retangular e é representada pela Figura 3.4.
Passemos para o cálculo da integral. Se escrevermos
F(x) = Z 2 1 x y + y x ! dy,
podemos reescrever nosso problema como Z 4 1 Z 2 1 x y+ y x ! dydx = Z 4 1 F(x)dx,
x R 1 1 2 4
Figura 3.4: Região retangular de integração do Exemplo 3.4.
e desta forma devemos calcular F(x). Como a integração é em y, x é visto como constante, de tal forma que temos
F(x) = Z 2 1 x y + y x ! dy = x Z 2 1 1 ydy + 1 x Z 2 1 ydy = x(ln y) y=2 y=1 +1 x y2 2 y=2 y=1 = x ln2 +2 x 1 2x = x ln2 + 3 2x. Agora calculamos Z 4 1 F(x)dx = Z 4 1 ✓ x ln 2 + 3 2x ◆ dx = ln 2 Z 4 1 xdx + 3 2 Z 4 1 1 xdx.
A primeira integral do lado direito é dada por Z 4 1 xdx = x2 2 x=4 x=1 = 15 2 ,
enquanto a segunda integral também é facilmente calculada como Z 4 0 1 xdx = ln x x=4 x=1 = ln4.
Portanto, ao substituirmos os resultados em suas respectivas expressões, concluímos que Z 4 1 Z 2 1 x y + y x ! dydx = ln 2 Z 4 1 xdx + 3 2 Z 4 1 1 xdx = 15 2 ln2 + 3 2ln4 = 21 2 ln2. ⌅
Exercício Resolvido 3.5. Esboce a região de integração e calcule a integral Z 1 0 Z 2 x x (x 2 y)dydx.
Solução: Para o esboço da região de integração, observe que a integral pode ser reescrita
como Z 1 0 Z 2 x x (x 2 y)dydx =Z 1 0 F(x)dx,
com F(x) =Rx2 x(x2 y)dy. Desta forma, vemos que x está variando entre 0 e 1, enquanto y varia de x a 2 x. Desta forma, a região de integração é a área hachurada representada
na Figura 3.5. Calculemos a integral F(x). Como a integração é dada em y, x é considerada
Figura 3.5: Região de integração, na qual a curva em azul representa y = x e a curva laranja se refere a y = 2 x. Considerando que 0 x 1, a região de interesse é dada pela parte hachurada.
constante, de tal forma que temos
F(x) = Z 2 x x (x2 y)dy = x2 Z 2 x x dy Z 2 x x ydy = x2y y=2 x y=x 1 2y2 y=2 x y=x = 2x3+ 2x2+ 2x 2.
Desta forma, substituindo F(x) na integral e prosseguindo com os cálculos, obtemos Z 1 0 Z 2 x x (x2 y)dydx = Z 1 0 F(x)dx = Z 1 0 ( 2x 3+ 2x2+ 2x 2)dx = x4 2 + 2 3x3+ x2 2x ! x=1 x=0 = 5 6. ⌅
Exercício Resolvido 3.6. Esboce a região de integração e calcule a integral Z 1 0 Z ey y p xdxdy.
Solução: Da integral em y, observamos que 0 y 1. Além disso, temos y x e x
ey. Da primeira condição temos que x é maior ou igual do que a reta y = x, enquanto da segunda temos que x é menor do que a curva x = ey. Observe que como a função logaritmo é crescente, podemos aplicá-la a ambos os lados da inequação x ey sem alterar o sinal, de tal forma que teremos lnx y, ou seja, y deve ser maior ou igual do que lnx. Assim, nossas condições são dadas por 0 y 1, x y e y lnx, de tal forma que a região de integração é a área hachurada da Figura 3.6. Para calcularmos a integral, observe que podemos
reescrevê-Figura 3.6: A curva laranja representa a função y = lnx, enquanto em azul temos a cuva
y = x. Na imagem, x varia (horizontalmente) e y a ey, enquanto y varia (verticalmente) de 0 a 1. la como Z 1 0 Z ey y p xdxdy = Z 1 0 F(y)dy,
com F(y) =Ryeypxdx. Determinemos então a expressão para F(y) : F(y) = Z ey y p xdx = 2 3x3/2 x=ey x=y =2 3(e3y/2 y3/2).
Substituindo a expressão para F(y) na integral e prosseguindo com os cálculos, obtemos Z 1 0 Z ey y p xdxdy = Z 1 0 F(y)dy = 2 3 Z 1 0 (e 3y/2 y3/2)dy = 2 3 ✓2 3e3y/2 2 5y5/2 ◆ y=1 y=0 = 4 45(5e3/2 8). ⌅
Exercício Resolvido 3.7. Esboce a região de integração e calcule a integral Z 2
1
Z 2
y xydxdy.
Solução: Da integral em y, observamos que 1 y 2. Além disso, temos y x 2 de tal forma que a região de integração é a área hachurada da Figura 3.7. Reescrevendo a integral
Figura 3.7: A curva azul representa a função y = x, enquanto a curva laranja corresponde a
x = 2. Na imagem, x varia (horizontalmente) e y a 2, enquanto y varia verticalmente de 1 a
2. como Z 2 1 Z 2 y xydxdy = Z 2 1 F(y)dy,
com F(y) =Ry2xydx, podemos calcular a integral F(y) como F(y) = Z 2 y xydx = y x2 2 x=2 x=y = 2y y23,
de tal forma que, ao substituirmos F(y) na integral, calculamos Z 2 1 Z 2 y xydxdy = Z 2 1 F(y)dy = Z 2 1 2y y3 2dy = y2 y4 8 ! y=2 y=1 =9 8. ⌅
Exercícios
Exercício 3.1. Com respeito às integrais abaixo, faça o seguinte: descreva a região de integração
e calcule a respectiva integral. a) R01Rxx2(2x + 2y)dydx. b) R01R01xy2dydx. c) R04R0y3p9 + y2dxdy. d) R13R0lnyyexdxdy. e) R01R pp1 y2 1 y2ydxdy.
Exercício 3.2. Com respeito às integrais abaixo, faça o seguinte: descreva a região de integração,
escreva uma integral iterada equivalente à integral original com ordem de integração invertida, e calcule ambas as integrais e cheque que a resposta é a mesma.
a) R01Rp1y2x3dxdy. b) R02R04 x22xydydx. c) R1e3Rlny3 dxdy. d) R45Ry+23 2 p4 ydxdy. e) R p 2 0 Rp4 2x2 p 4 2x2xdydx.
