Férmions de Majorana e a cadeia de Kitaev

(1)

Universidade Federal Fluminense

Centro de Estudos Gerais

Instituto de F´ısica

Gradua¸

c˜

ao em F´ısica

Douglas Montes de Souza

F´ermions de Majorana e a cadeia de Kitaev

Niter´

oi-RJ

2018

(2)

ii DOUGLAS MONTES DE SOUZA

F ´ERMIONS DE MAJORANA E A CADEIA DE KITAEV

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Programa de Gradua¸cão em F´ısica do Instituto de F´ısica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Bacharel em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. MARCOS SERGIO FIGUEIRA DA SILVA

Niter´oi-RJ 2018

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(4)

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v

Agradecimentos

Se a quatro anos atrás, ainda que por um instante eu pudesse me ver neste momento, as coisas que aprendi, as pessoas incr´ıveis que conheci e o quanto amadureci durante este tempo, estou absolutamente convencido de que não acreditaria. Muitas pessoas participaram de minha trajetória, algumas das quais de maneira tão importante que chega a ser dif´ıcil fazer justi¸ca a minha gratidão em algumas palavras, mas aqui vai minha tentativa:

`

A meus pais, Patr´ıcia Montes de Souza e Everaldo Ferreira de Souza, cujo esfor¸co para me fornecer o estudo que não puderam ter e a dedica¸cão que sempre demonstraram a mim, por vezes abrindo mão de seus sonhos em detrimento dos meus são os principais motivos para que eu pudesse conhecer e me dedicar à Ciência. Quanto mais velho fico, mais percebo de quantas formas eles se sacrificaram por mim, são por esses e muitos outros motivos que têm a minha eterna gratidão.

`

A Hadassa Moraes de Faria, uma das pessoas mais importantes em toda esta trajetória, e que ao longo dos quatro anos em que nos conhecemos assumiu tantos papeis diferentes em minha vida que já não sei mais como me referir a ela. Não foi fácil dar conta das viagens diárias de duas ou três horas, da jornada de trabalho exaustiva “milagrosamente” conciliada com os estudos e as aulas e todos os momentos estressantes que passamos. Tive muita sorte em ter ao meu lado alguém tão mais forte e determinada do que eu jamais serei, cuja coragem frente a momentos de dificuldade me serviram de exemplo e motiva¸cão para que eu sempre desse o meu melhor em tudo, independentemente da situa¸cão.

Ao professor Dr. Marcos Sergio Figueira da Silva pela orienta¸cão neste trabalho e em diversos aspectos da vida acadêmica, por ter me apresentado uma área viva e competitiva da F´ısica e estar sempre presente e disposto a me ajudar em todos os momentos de minha gradua¸cão.

Ao professor Dr. Marco Moriconi pelos incont´aveis ensinamentos, conselhos, momentos engra¸ ca-dos e por todo apoio ao longo da gradua¸c˜ao.

Ao professor Dr. Lucas Mauricio Sigaud por todos os ensinamentos e momentos hil´arios nas aulas de F´ısica Experimental III e Laborat´orio de F´ısica Moderna II, bem como nos diversos encontros de corredor.

Aos meus amigos Maron Anka, Gabriel Soares e Lucas Lima, por tornarem a jornada sempre divertida e engra¸cada.

Finalmente, á todos os professores do IF-UFF, por formarem um ambiente de excelência em ensino, no qual aprendi quase tudo o que sei. Espero corresponder à esta excelência futuramente, pois o exemplo que deixaram não será fácil de alcan¸car.

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vi

Resumo

O objetivo deste trabalho é o estudo da realiza¸cão de férmions de Majorana na Cadeia de Kitaev, bem como dos desenvolvimentos que culminaram na proposi¸cão de tais part´ıculas por Ettore Majorana em 1937. Para isto, inclu´ımos dois cap´ıtulos que tratam de duas teorias de campo importantes para o desenvolvimento da Mecânica Quântica Relativ´ıstica, onde tratamos do conceito de antimatéria, funda-mental para o entendimento do trabalho de Majorana. Temos ainda uma análise da Cadeia de Kitaev, um toy model para um supercondutor topológico unidimensional, sistema conhecido por conter férmions de Majorana como estados de borda em sua fase topológica. Por fim, discutimos aspectos importantes sobre a realiza¸cão experimental dos férmions de Majorana.

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vii

Abstract

The goal of this work is the study of the realization of Majorana fermions in the Kitaev Chain, as well as the developments that lead to their proposal by Ettore Majorana in 1937. For that reason, we included two chapters that treat two important field theories that were relevant in the development of Relativistic Quantum Mechanics, where we review the concept of antimatter, key to the understanding of Majorana’s work. We also included an analysis of the Kitaev Chain model, a toy model of a 1D topological superconductor, a very well known system for containing Majorana fermions as edges states in it’s topological phase. Lastly, we discuss some important aspects on the experimental realization of theses fermions on the lab.

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viii

Lista de Figuras

4.1 representa¸cão da cadeia unidimensional de N=4 s´ıtios, cada ponto representa um modo de Majorana, e um par de tais modos forma um estado fermiônico comum [23]. . . 19 4.2 Ilustra¸cão da intera¸cão onsite para uma cadeia com N=4 s´ıtios. Note que todos os

majo-ranas estão acoplados a seus vizinhos [23]. . . 20 4.3 Ilustra¸cão da intera¸cão entre s´ıtios, note a presen¸ca de modos de majorana desemparelhados

nas bordas da cadeia [23]. . . 20 4.4 Espectro de energia para uma cadeia com N=25 s´ıtios, nota-se a simetria em torno de

E=0, e que a degenerescˆencia deste n´ıvel se quebra apenas quando µ ≈ 2t [23]. . . 21 4.5 Esquema da estrutura de bandas 4.8 come¸cando na fase topol´ogica e variando µ por valores

positivos. Observe o fechamento do gap ocorrendo nas extremidades da zona de Brillouin quando µ = 2t [23]. . . 23 4.6 Esquema da estrutura de bandas 4.8 come¸cando na fase topol´ogica e variando µ por valores

negativos. Observe o fechamento do gap ocorrendo no meio da zona de Brillouin quando µ = −2t [23]. . . 23 4.7 Ilustra¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda do modo de Majorana localizado na interface entre dois

dom´ınios [23]. . . 25 4.8 Ilustra¸cão do Majorana formado na interface entre os dom´ınios topológico e trivial [23]. . 25 5.1 Em 5.1a temos o sistema no regime topológico em ausência de campo magnético. Conforme

B aumenta, vemos a separa¸c˜ao dos n´ıveis de energia devida ao efeito Zeeman (5.1b e 5.1c) [23]. . . 28 5.2 Comportmento da estrutura de bandas com B. Note a degenerescˆencia quando B = 0

(figura 5.2a). À medida que B aumenta 5.2b e 5.2c o gap do bulk se fecha, mostrando que não é poss´ıvel o aparecimento dos modos de Majorana [23]. . . 29 5.3 Comportmento da estrutura de bandas com α. À medida que α aumenta, o gap do bulk

(9)

Sum´

ario

Agradecimentos v

Resumo vi

Abstract vii

Lista de Figuras viii

1 Introdu¸c˜ao 1

2 A equa¸c˜ao de Klein-Gordon 2

2.1 Mecˆanica quˆantica relativ´ıstica . . . 2

2.2 Problemas com a equa¸c˜ao de Klein-Gordon . . . 3

2.3 Quantiza¸c˜ao do campo de Klein-Gordon . . . 4

3 A equa¸c˜ao de Dirac 8 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 8

3.2 Densidade de Probabilidade e Corrente de Probabilidade . . . 10

3.3 F´ermions de Majorana . . . 11

3.4 Solu¸c˜oes de onda plana para a equa¸c˜ao de Dirac . . . 12

3.5 Quantiza¸c˜ao do campo de Dirac . . . 15

3.6 Predi¸c˜ao de anti mat´eria . . . 16

4 A Cadeia de Kitaev 18 4.1 Modos de Majorana desacoplados em supercondutores topol´ogicos . . . 18

4.2 Cadeia de Kitaev . . . 19

4.3 O hamiltoniano de Kitaev . . . 20

4.4 Prote¸c˜ao topol´ogica dos estados de borda . . . 21

4.5 Fases topol´ogicas a partir do espectro do bulk . . . 22

4.6 Invariante topol´ogico do bulk e a correspondˆencia bulk-edge . . . 24

5 A cadeia de Kitaev no mundo real 27 5.1 Desenvolvendo o modelo . . . 27

(10)

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

No campo da F´ısica, o século XX foi marcado pelo surgimento da Mecânica Quântica e da Teoria da Relatividade, duas teorias que revelam aspectos absolutamente fundamentais de nosso Universo. Contudo, descobertas como a estrutura fina e hiperfina do átomo de hidrogênio evidenciaram a necessidade de incorporar o conteúdo de ambas as teorias em nossa descri¸cão da matéria, a busca por tais teorias, onde tanto a natureza quântica quanto relativ´ıstica da matéria são respeitadas, trouxeram um entendimento da natureza do spin [1] e de outras propriedades fundamentais da matéria, incluindo a existência da antimatéria.

Neste trabalho discutimos duas instâncias de teorias quânticas relativ´ısticas da matéria, a equa¸cão de Klein-Gordon (cap´ıtulo 2) e a equa¸cão de Dirac (cap´ıtulo 3), responsável pela predi¸cão da existência de antimatéria. Uma descoberta interessante, devida a Ettore Majorana(1937), revela que a equa¸cão de Dirac pode der manipulada de forma que forne¸ca a descri¸cão de férmions que seriam seus próprios antiférmions, ditos férmions de Majorana. Oitenta anos se passaram até então e nenhum férmion de Majorana foi observado na natureza, embora haja a possibilidade de que o neutrino e ainda outras part´ıculas previstas em teorias supersimétricas sejam férmions de Majorana [2].

Em um cenário bastante distinto do mencionado acima, férmions de Majorana existem ainda como excita¸cões coletivas em sistemas de Matéria Condensada, associados a operadores de cria¸cão e aniquila¸cão γi, em termos dos quais escrevemos os operadores fermiônicos de Dirac

c†= 1

2(γ1+ iγ2), c = 1

2(γ1− iγ2). (1.1) Existem, porém, diversos fatores complicantes em sua deteçcão. Os cap´ıtulos 4 e 5 tratam dos férmions de Majorana no contexto da Matéria Condensada, mais especificamente em supercondutores com pareamento não convencional [3].

(12)

Cap´ıtulo 2

A equa¸

c˜

ao de Klein-Gordon

2.1 Mecˆ

anica quˆ

antica relativ´ıstica

Em Mecânica Quântica a descri¸cão do estado de uma part´ıcula é dada por uma fun¸cão complexa Ψ(r, t), cujo valor absoluto ao quadrado fornece a densidade de probabilidade de encontrarmos a part´ıcula na posi¸cão r no instante t. A informa¸cão sobre o momento da part´ıcula é obtida através da transformada de Fourier de Ψ. Desta forma, se conhecemos Ψ (a fun¸cão de onda da part´ıcula) num instante t0qualquer,

temos acesso ao estado daquela part´ıcula neste instante [4, 5]. Portanto, para que esteja determinado o estado da part´ıcula num instante posterior t precisamos saber como se dá a evolu¸cão temporal da fun¸cão de onda, que, no regime não relativ´ıstico, se escreve

− ~ 2m∇ 2_{+ V} Ψ = i~∂Ψ_∂t. (2.1) Esta é a conhecida equa¸cão de Schrödinger e um dos motivos pelo qual ela é interessante se torna claro quando lembramos que as energias cinética e potencial são dadas através dos operadores p2/2m e V, respectivamente, onde p = −i~∇ é o momento linear da part´ıcula descrita pela equa¸cão 2.1, e a energia total E = i~∂/∂t. Isto significa que a equa¸cão 2.1 representa o enunciado da conserva¸cão da energia.

O fato de que a dinâmica de part´ıculas não relativ´ısticas é dada através de um enunciado tão fundamental quanto a conserva¸cão da energia nos leva a questionar se existe conexão similar no caso re-lativ´ıstico. De fato, tal conexão é postulada por Gordon [6] e um procedimento para encontrar a equa¸cão de onda relativ´ıstica para a part´ıcula única é feito a seguir.

A partir de agora, adotaremos at´_{e o fim do cap´ıtulo seguinte unidades tais que ~ = c = 1,} de forma que E = i∂/∂t e p = −i∇. Come¸camos o racioc´ınio lembrando que a energia de part´ıculas relativ´ısticas obedece a rela¸c˜ao de dispers˜ao

E2− p2= m2. (2.2) Promovendo os observ´aveis em 2.2 a operadores, obtemos

(13)

3

−∂2 t + ∇

2_{φ = m}2_φ, _(2.3)

que é conhecida como equa¸cão de Klein-Gordon. Podemos escrever esta equa¸cão numa forma covariante se notarmos que o termo entre parênteses é o produto escalar entre operadores diferenciais −∂µ∂µ. A

equa¸c˜ao de Klein-Gordon toma a forma

(∂µ∂µ+ m2)φ = 0, (2.4)

onde φ deve ser encarado como um campo escalar.

A equa¸cão de Klein-Gordon também pode ser obtida a partir do princ´ıpio variacional de Hamilton aplicado à densidade lagrangiana

L = 1 2 ˙ φ2−1 2(∇φ) 2_{− m}2_φ2₌ 1 2∂µφ∂ µ_{φ −}1 2m 2_φ2_, _(2.5) ∂L ∂φ = −m 2_φ _∂ µ ∂L ∂(∂µφ) = ¨φ − ∇2φ = −∂µ∂µφ. (2.6)

Fica evidente que a aplica¸cão da equa¸cão de Lagrange 2.7 recupera a equa¸cão 2.4. ∂L ∂φ − ∂µ _∂L ∂(∂µφ) = 0. (2.7)

2.2 Problemas com a equa¸

c˜

ao de Klein-Gordon

Embora a equa¸cão de Klein-Gordon forne¸ca uma descri¸cão relativ´ıstica para part´ıculas quânticas, o que era o objetivo desde o princ´ıpio, ela apresenta problemas que discutiremos a seguir.

Suponha que φ seja solu¸cão da equa¸cão de Klein-Gordon 2.4, temos então

∂µ∂µφ + m2φ = 0, (2.8)

multiplicando esta equa¸c˜ao por −iφ∗ obtemos

iφ∗∂

2_φ

∂t2 − iφ

∗_∇2_{φ + iφm}2_{= 0,} _(2.9)

multiplicando a equa¸c˜ao conjugada de Klein-Gordon (∂µ∂µφ∗+ m2φ∗= 0) por −iφ obtemos

iφ∂ 2_φ∗ ∂t2 − iφ∇ 2_φ∗_{+ iφ}∗_m2_{= 0,} _(2.10) subtraindo 2.10 de 2.9 obtemos ∂ ∂t i φ∗∂φ ∂t − φ ∂φ∗ ∂t + ∇ · [−i(φ∗∇φ − φ∇φ∗_{)] = 0,} _(2.11)

(14)

4 que tem a forma de uma equa¸c˜ao de continuidade ∂ρ/∂t + ∇j = 0, com a densidade de probabilidade definida por ρ = i φ∗∂φ ∂t − φ ∂φ∗ ∂t , (2.12)

e a densidade de corrente definida por

j = i(φ∗∇φ − φ∇φ∗). (2.13) Considere agora uma solu¸c˜ao de onda plana para a equa¸c˜ao de Klein-Gordon

φ = N e−ipµxµ_, _(2.14)

substituindo na equa¸c˜ao 2.12 obtemos

ρ = i(|N |2(−iE) − |N |2(iE)) = 2E|N |2, (2.15) lembrando que pµxµ= Et − x · p.

O problema com a equa¸cão 2.15 aparece quando calculamos a energia da part´ıcula através da equa¸cão de Klein-Gordon

∂_t2φ − ∇2φ + m2φ = 0 (2.16)

−N E2_e−ipµxµ_{− (−ip)}2_e−ipµxµ_{+ m}2_{N e}−pµxµ _{= 0} _(2.17)

E = ±pp2_{+ m}2_. _(2.18)

A equa¸cão 2.18 mostra que existem solu¸cões com energia negativa para a equa¸cão de Klein-Gordon, mas como a densidade de probabilidade é proporcional à energia, obtemos solu¸cões com proba-bilidade negativa, o que é um absurdo, portanto, a interpreta¸cão desta teoria como a equa¸cão de part´ıcula ´

unica com fun¸cão de onda φ não faz sentido e deve ser abandonada. A interpreta¸cão correta é que a equa-¸

c˜ao 2.5 representa uma teoria de campo, que, quando quantizada, descreve corretamente uma part´ıcula relativ´ıstica de massa m.

2.3 Quantiza¸

c˜

ao do campo de Klein-Gordon

Come¸caremos notando que a equa¸cão 2.4 toma uma forma conhecida se a escrevemos na repre-senta¸cão de momento ∂2 ∂t2 + (p 2_{+ m}2₎ φ(p, t) = 0. (2.19) Na equa¸cão acima substitu´ımos φ(x, t) por sua transformada de Fourier

(15)

5

φ(x, t) =

Z _d3_p

(2π)3e

ip·x_{φ(p, t),} _(2.20)

o resultado é que para cada valor de p, ψ(p, t) satisfaz a equa¸cão de um oscilador harmônico cuja frequência de oscila¸cão é dada por ωp ≡ (p2+ m2)1/2. Portanto, a quantiza¸cão do campo escalar φ

consiste na quantiza¸c˜ao de infinitos osciladores harmˆonicos (um para cada momento p).

Sabemos, que a quantiza¸cão do oscilador harmônico unidimensional de massa unitária, cuja Hamiltoniana é da forma H = 1 2p 2₊1 2ω 2_x2 _(2.21)

é obtida através dos operadores de cria¸cão e aniquila¸cão, respectivamente

a†=r ω 2x − i √ 2ωp a = r ω 2x + i √ 2ωp, (2.22)

cuja rela¸cão de comuta¸cão escreve-se [a, a†] = 1. Através das equa¸cões 2.22, obtemos as variáveis canônicas em fun¸cão dos operadores,

x = √1 2ω(a + a †₎ _{p = −i}r ω 2(a − a †_). _(2.23) A substitui¸c˜ao de 2.23 em 2.21 fornece H = ω a†a +1 2 . (2.24)

Aplicando a quantiza¸c˜ao do oscilador harmˆonico ao campo escalar ψ obtemos

φ(x) = Z _d3_p (2π)3 1 p2ωp [apeip·x+ ape−ip·x] (2.25) π(x) = Z _d3_p (2π)3(−i) r ωp 2 [ape ip·x_{− a} pe−ip·x] (2.26)

Para obter a densidade hamiltoniana associada `a lagrangiana 2.5 primeiro calculamos o momento canˆonico conjugado a ψ (π = ∂L/∂ ˙φ) e depois realizamos a transformada de Legendre

H = (π ˙φ − L)_{φ≡ ˙}_˙ _φ(π), (2.27) da qual resulta H =1 2π 2₊1 2(∇φ) 2₊1 2m 2_φ2_. _(2.28)

(16)

6 H = 1 2 Z _d3_{p d}3_{q d}3_x (2π)6 − √ ωpωq 2 (ape ip·x

− a†pe−ip·x)(aqeiq·x− a†qe−iq·x)

+ 1 2√ωpωq

(ipapeip·x− ipa†pe−ip·x) · (aqeiq·x− a†qe−iq·x)

+ m

2

2√ωpωBq

(apeip·x+ ape−ip·x)(aqeiq·x+ aqe−iq·x)

, (2.29) a integra¸c˜ao em x fornece termos que envolvem as frequˆencias e operadores multiplicados por

(2π)3δ(3)(p ± q),

de tal modo que a integra¸c˜ao em q “seleciona” q = ±p, resultando na integral em p

H = 1 2 Z _d3_p (2π)3 ωp 2 (−apa−p+ apa † p+ a†pap− apa†−p) + p2 2ωp (apa−p+ apa†p+ a†pap+ apa†−p) + m 2 2ωp (apa−p+ apa†p+ a † pap+ apa†−p), (2.30) mas, como p2_{+ m}2_{= ω}2 p, obtˆem-se H = 1 2 Z _d3_p (2π)3 ωp 2 (2apa † p+ 2a † pap) = 1 2 Z _d3_p (2π)3ωp(apa † p+ a † pap).

Agora, utilizando a rela¸c˜ao de comuta¸c˜ao [ap, a†q] = (2π)3δ(3)(p − q) conclui-se que

H = Z _d3_p (2π)3ωp a†_pap+ 1 2(2π) 3_δ(3)₍₀₎ . (2.31)

Nota-se que há uma divergência devida à distribui¸cão delta de Dirac avaliada na origem, se analisamos o estado fundamental do campo, onde a única contribui¸cão para a energia vem do segundo termo, visto que ap|0i = 0, percebemos que esta divergência vem do fato de que a integral em x foi

realizada em todo espa¸co. Para corrigir este problema devemos confinar a integra¸cão à um certo volume V e impor condi¸cões de contorno periódicas no campo, em outras palavras, a quantidade que realmente faz sentido é a densidade de energia uE0.

(2π)3δ(3)(0) = lim L→∞ Z L/2 −L/2 d3xeip·x p=0= V uE0 = E0 V = Z _d3_p (2π)3 1 2ωp. (2.32)

A integral em 2.32 ainda diverge, pois ωp´e crescente com p, e quanto maior a frequˆencia, menor o

comprimento de onda associado à φ, de forma que, ao realizar a integra¸cão em 2.32 estamos considerando que a teoria desenvolvida é válida para escalas arbitrariamente pequenas de comprimentos de onda. Para corrigir este problema dever´ıamos truncar a integra¸cão a partir de um certo valor de p. Felizmente, existe uma maneira mais prática de lidar com esta divergência, que vem do fato de que tudo a que temos acesso experimentalmente são excita¸cões do campo em rela¸cão ao vácuo, portanto, estamos mais interessados

(17)

7 na diferen¸ca de energias entre os estados excitados e o estado fundamental. Desta forma, subtra´ımos de 2.31 o segundo termo da soma, obtendo

H =

Z _d3_p

(2π)3ωpa †

pap, (2.33)

que não apresenta os problemas discutidos acima. De fato H |0i = 0, como era esperado. Além disso, [H, a†p] = ωpa†p e [H, ap] = −ωpap, de forma que estados excitados são produzidos pela atua¸cão de a†p

e ap múltiplas vezes. Por exemplo, o estado com momento p é obtido pela atua¸cão de a†p no estado

fundamental

|pi = a†

p|0i . (2.34)

Este estado tem energia

H |pi = ωp, (2.35)

lembramos que ωp = p2 + m2, que reconhecemos como a rela¸c˜ao de dispers˜ao de energia para uma

part´ıcula de massa m. O momento total cl´assico ´e dado por.

Pi= Z

d3x ˙φ∂iφ, (2.36) A quantiza¸cão é obtida promovendo-se a expressão acima ao observável

P = − Z d3x π∇φ = Z _d3_p (2π)3 pa † pap. (2.37)

Nota-se que, de fato P |pi = p |pi . A atua¸cão do operador de momento angular revela que os estados descritos por esta teoria não possuem spin [7]. Além disso, o fato de que [a†_p, a†_q] = 0 significa que os estados |p, qi e |q, pi são simétricos. Conclu´ımos, portanto, que esta teoria descreve bósons de spin 0.

(18)

Cap´ıtulo 3

A equa¸

c˜

ao de Dirac

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Dirac desejava encontrar uma equa¸cão que comportasse as informa¸cões sobre qualquer variável dinâmica da part´ıcula (posi¸cão, momento linear, momento angular, etc), e que possu´ısse a mesma inter-preta¸cão da equa¸cão de Schrödinger 2.1, para isso seria necessário uma equa¸cão que também fosse linear em derivadas temporais [8], assim como 2.1 e que fosse covariante sobre transforma¸cões de Lorentz, duas caracter´ısticas muito dif´ıceis de se conciliar.

Partiremos da rela¸cão de dispersão relativ´ıstica 2.2 e procuraremos uma forma de fatorá-la alge-bricamente. Mas para isso será interessante trabalhar em nota¸cão covariante pµ_{= (E, p):}

E2− p2_{− m}2_{= 0 → p}µ_p

µ− m2= 0. (3.1)

Fatorar a equa¸c˜ao 3.1 significa escrever

pµpµ− m2= (βκpκ+ m)(γλpλ− m) (3.2)

para certos βκ e γλ.

Da equa¸c˜ao 3.2 temos

pµpµ− m2= βκγλpκpλ− mβκpκ+ mγλpλ− m2, (3.3)

como o lado esquerdo n˜ao possui termos lineares em p e m temos que βκ_{= γ}κ_{, de forma que}

pµpµ− m2= γκγλpκpλ− m2. (3.4)

(19)

9 p2₀− p2 1− p 2 2− p 3 3− m 2_{= (γ}0₎2_p2 0+ (γ 1₎2_p2 1+ (γ 2₎2_p2 2+ (γ 3₎2_p2 3+ (γ0γ1+ γ1γ0)p0p1+ (γ0γ2+ γ2γ0)p0p2+ (γ0γ3+ γ3γ0)p0p3+ (γ1γ2+ γ2γ1)p1p2+ (γ1γ3+ γ3γ1)p1p3+ (γ2γ3+ γ3γ2)p2p3− m2, (3.5)

precisamos, portanto de objetos γµ _{tais que, para µ 6= ν {γ}µ_{, γ}ν_{} = 0 e cujo quadrado ´}_{e igual `}_{a unidade.}

Ou, de forma geral, a partir da equa¸c˜ao 3.4 conclu´ımos que

{γµ_{, γ}ν_{} = 2η}µν_. _(3.6) com ηµν=         1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1        

Os objetos mais simples que satisfazem a esta álgebra (conhecida como álgebra de Clifford) são matrizes 4 × 4. Portanto, escolhidos 4 representantes desta álgebra, a equa¸cão de Dirac é um dos fatores de 3.2, normalmente se escolhe o segundo:

(γµpµ− m)ψ = 0, (3.7)

substituindo pµ por i∂µ, como sugerido por Gordon, a equa¸c˜ao de Dirac toma a forma:

(iγµ∂µ− m)ψ = 0. (3.8)

´

E comum escolher a seguinte representa¸c˜ao para a ´algebra de Clifford (que chamaremos apenas de matrizes γ no restante do cap´ıtulo):

γ0=   0 1 1 0   (3.9) γi=   0 σi −σi ₀   (3.10)

Onde 1 e 0 representam a matriz identidade e a matriz nula 2 × 2 respectivamente. Al´em disso, σi_{, para i = 1, 2, 3 representam as matrizes de Pauli}

σ1=   0 1 1 0   (3.11) σ2=   0 −i i 0   (3.12)

(20)

10 σ3=   1 0 0 −1   (3.13)

Desta forma temos:

γ0† = γ0, (3.14)

γi†= −γi= γ0γiγ0. (3.15) Uma consequência muito importante decorre do fato de que os representantes da álgebra de Clifford são matrizes (neste caso 4 × 4), não podemos mais tomar ψ como um campo escalar, mas sim como um objeto com 4 componentes. Curiosamente ψ também não se comporta como um quadrivetor, mas sim como um espinor [1].

3.2 Densidade de Probabilidade e Corrente de Probabilidade

Vamos escrever a equa¸cão de Dirac na forma de uma equa¸cão de continuidade e calcular a densidade de probabilidade e corrente de probabilidade associadas à equa¸cão de Dirac.

Primeiramente precisamos da equa¸c˜ao adjunta de Dirac:

[(iγµ∂µ− m)ψ]† = [iγ0∂tψ + iγ1∂xψ + iγ2∂yψ + iγ3∂zψ − mψ]†= 0 (3.16)

[(iγµ∂µ− m)ψ]†= −i∂tψ†γ0†+ −i∂xψ†γ1†+ −i∂yψ†γ2†+ −i∂zψ†γ3†− mψ†= 0, (3.17)

utilizando as rela¸c˜oes 3.14 e 3.15,

[(iγµ∂µ− m)ψ]†= −i∂tψ†γ0+ −i∂xψ†(−γ1) + −i∂yψ†(−γ2) + −i∂zψ†(−γ3) − mψ†= 0, (3.18)

há um problema com a equa¸cão 3.18, ela deixou de ser covariante de Lorentz quando tomamos o adjunto das matrizes γ, pois apareceu um sinal negativo em todas elas exceto na primeira. Para resolver esse problema podemos multiplicar toda a equa¸cão por γ0_{pelo lado direito, posto que −γ}i_γ0_{= γ}0_γi_,

−i∂tψ†γ0γ0+ −i∂xψ†(−γ1γ0) + −i∂yψ†(−γ2γ0) + −i∂zψ†(−γ3γ0) − mψ†γ0= 0, (3.19)

−i∂tψ†γ0γ0+ −i∂xψ†(γ0γ1) + −i∂yψ†(γ0γ2) + −i∂zψ†(γ0γ3) − mψ†γ0= 0, (3.20)

agora que recuperamos a covariˆancia, definimos o espinor adjunto de Dirac ¯ψ = ψ†γ0, o que nos possibilita escrever

¯

(21)

11 onde o operador diferencial atua pela esquerda.

Agora se multiplicamos a equa¸c˜ao de Dirac por ¯ψ pela esquerda, obtemos

¯

ψ(iγµ∂µ− m)ψ = 0, (3.22)

e, de forma semelhante, se multiplicamos a equa¸c˜ao adjunta de Dirac por ψ pela direita, obtemos

¯

ψ(i∂µγµ+ m)ψ = 0. (3.23)

Somando as equa¸c˜oes 3.22 e 3.23 obtemos

¯

ψ(γµ∂µψ) + ( ¯ψ∂µγµ)ψ = 0 (3.24)

que pode ser escrita como uma derivada total

∂µ( ¯ψγµψ) = 0. (3.25)

3.25 tem a forma de uma equa¸c˜ao de continuidade, onde identificamos

jµ= ¯ψγµψ. (3.26) A densidade de carga associada ´e, portanto

j0= ¯ψγ0ψ = ψ†ψ, (3.27) que, em termos das componentes ψi de ψ fica

j0= |ψ1|2+ |ψ2|2+ |ψ3|2+ |ψ4|2. (3.28)

A equa¸c˜ao 3.28 mostra que j0´e positivo definido, e portanto pode ser interpretado como densidade de probabilidade.

3.3 F´

ermions de Majorana

Em geral, o espinor ψ e a base da álgebra de Clifford são objetos complexos. Por isso, ainda que encontrássemos algum ψ real que satisfizesse a equa¸cão de Dirac, após uma transforma¸cão de Lorentz esta solu¸cão deixaria de ser real. Existe uma maneira de contornar este problema: se trabalhamos com uma base puramente imaginária para a álgebra de Clifford

γ0=   0 σ2 σ2 ₀  , γ1=   iσ3 ₀ 0 iσ3  , γ2=   0 −σ2 σ2 ₀  , γ3=   −iσ1 ₀ 0 −iσ1  . (3.29) Devido ao fato da base 3.29 ser puramente imaginária, a representa¸cão do grupo de Lorentz é real [7], portanto, a imposi¸cão ψ = ψ∗ não é destru´ıda pela atua¸cão deste grupo. Espinores que satisfazem

(22)

12 esta propriedade s˜ao chamados de espinores de Majorana.

Podemos ainda trabalhar em uma base qualquer, desde que satisfa¸ca (γ0₎† _{= γ}0_{e (γ}i₎† _{= −γ}i_.

Definimos

ψ(c)= Cψ∗, (3.30)

onde C ´e uma matriz unit´aria 4×4 que satizfaz C†_γµ_{C = −(γ}µ₎∗_{. De fato, se ψ ´}_{e uma solu¸}_c˜_{ao da equa¸}_c˜_ao

de Dirac, 3.30 tamb´em ´e:

(iγµ∂µ− m)ψ = 0 ⇒

(−i(γµ)∗∂µ− m)ψ∗= 0 ⇒

C(−i(γµ)∗∂µ− m)ψ∗= 0 ⇒

(iγµ∂µ− m)ψ(c)= 0.

3.4 Solu¸

c˜

oes de onda plana para a equa¸

c˜

ao de Dirac

Consideremos o seguinte ansatz para a equa¸c˜ao 3.8:

ψ = u(p)e−ip·x, (3.31) onde u(p) é um espinor de quatro componentes a determinar, que não depende das coordenadas do espa¸co-tempo e p · x ≡ pµxµ. O termo iγµ∂µ= γµpµ em 3.8 é equivalente a

p0   0 1 1 0  − X i pi   0 σi −σi ₀  =   0 p0− piσi p0+ piσi 0  . Definindo σµ_{≡ (1, σ}i_{) e ¯}_σµ_{≡ (1, −σ}i_{), escrevemos p} 0− piσi= pµσµ≡ p · σ e p0+ piσi= pµσ¯µ≡

p · ¯σ. Desta forma, a equa¸c˜ao de Dirac se escreve

(γµpµ− m)u(p) =   −m pµσµ pµ¯σµ −m  u(p) = 0. (3.32) Escrevendo u(p) =   u1 u2  ,

onde u1e u2s˜ao espinores de duas componentes, obtemos as equa¸c˜oes

pµσµu2= mu1,

pµσ¯µu1= mu2.

(23)

13 Escolhendo o ansatz u1 = (p · σ)ξ0 e substituindo na segunda equa¸c˜ao em 3.33 obtemos mu2=

(p · ¯σ)(p · σ)ξ0, mas (p · ¯σ)(p · σ) = (p0+ piσi)(p0− piσi) = p20− pipjσiσj = p20− pipjδij = p20− pi2 = pµpµ = m2. Portanto u2= mξ0 e u(p) = A   (p · σ)ξ0 mξ0  .

Podemos escolher A = 1/m e ξ0=√p · ¯σξ de forma a obter uma forma mais sim´etrica para u(p) :

u(p) =   √ p · σξ √ p · ¯σξ  . (3.34)

Procedendo de maneira análoga, encontramos mais solu¸cões da equa¸cão de Dirac considerando o ansatz

ψ = v(p)eip·x. (3.35) O an´alogo da equa¸c˜ao 3.32 se torna

(γµpµ+ m)v(p) =   m pµσµ pµ¯σµ m  v(p) = 0, (3.36) cuja solu¸c˜ao ´e v(p) =   √ p · ση −√p · ¯ση   (3.37)

para algum espinor constante η de duas componentes, normalizado por η†η = 1.

Ser´a util introduzir uma base ξse ηs, s = 1, 2 para os espinores de duas componentes, de tal forma que ξr†ξs= ηr†ηs= δrs, (3.38) por exemplo ξ1=   1 0   e   0 1  . us(p) =   √ p · σξs √ p · ¯σξs   (3.39)

(24)

14 Rela¸c˜oes ´uteis

As seguintes rela¸cões serão utilizadas no processo de quantiza¸cão da teoria:

ur†(p) · us(p) = ξr†√_{p · σ} _ξr†√_{p · ¯}_σ   √ p · σξs √ p · ¯σξs  = ξr†p · σξs+ ξr†p · ¯σξs= 2ξr†p0ξs ⇒ ur†_{(p) · u}s_{(p) = 2p} 0δrs (3.40) ¯ ur(p) · us(p) = ur†γ0· us_{(p) =} ξr†√_{p · σ} _ξr†√_{p · ¯}_σ   0 1 1 0     √ p · σξs √ p · ¯σξs   ⇒ ¯ur(p) · us(p) = 2mδrs. (3.41) Semelhantemente, para v(p) encontramos:

vr†(p) · vs(p) = 2p0δrs (3.42) ¯ vr(p) · vs(p) = −2mδrs (3.43) Produtos entre u e v : ¯ ur(p) · vs(p) = ξr†√_{p · σ} _ξr†√_{p · ¯}_σ   0 1 1 0     √ p · σηs −√p · ¯σηs  = ξr†p(p · ¯σ)(p · σ)ηs− ξr†p(p · ¯σ)(p · σ)ηs ⇒ ¯ur(p) · vs(p) = 0 (3.44) ur†(p) · vs(−p) = ξr†√_{p · σ} _ξr†√_{p · ¯}_σ   √ p0_{· ση}s −√p0_{· ¯}_σηs  = ξr†p(p · σ)(p0_{· σ)η}s_{− ξ}r†p (p · ¯σ)(p0_{· ¯}_σ)ηs ⇒ ur†_{(p) · v}s_{(−p) = 0,} _(3.45)

onde definimos (p0)µ≡ (p0_{, −p) e utilizamos (p · σ)(p}0_{· σ) = (p}

(25)

15

3.5 Quantiza¸

c˜

ao do campo de Dirac

Primeiramente, apresentamos a nota¸c˜ao introduzida por Feynman para um objeto contra´ıdo com as matrizes gama:

γµAµ≡ /A.

A Lagrangiana que dá origem à equa¸cão de Dirac se escreve [7]

L = ¯ψ(x)(i /∂ − m)ψ(x) = i ¯ψγµ∂µψ − m ¯ψψ. (3.46)

Desta forma, obtemos para o momento

π = ∂L ∂ ˙ψ = i ¯ψγ

0_{= iψ}†_(γ0₎2_⇒

π = iψ†. (3.47)

Para quantizar 3.46 promovemos ψ e π a operadores:

ψ(x) = 2 X s=1 Z _d3_p (2π)3[b s pu s_(p)eip·x_{+ c}s† pv s_(p)e−ip·x_] _(3.48) ψ†(x) = 2 X s=1 Z _d3_p (2π)3[b s† pu s†_(p)e−ip·x_{+ c}s pv s†_(p)eip·x_], _(3.49) onde os operadores bs†

p e cs†p criam part´ıculas associadas aos espinores us(p) e vsp, respectivamente.

Impomos, agora, as rela¸c˜oes de anti-comuta¸c˜ao

{ψα(x), ψβ(y)} = {ψα†(x), ψ †

β(y)} = 0, (3.50)

{ψα(x), ψ†β(y)} = δαβδ(3)(x − y). (3.51)

Ou, em termos dos operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao

{brp, b s† q } = (2π) 3_δrs_δ(3)_{(p − q)} _(3.52) {cr p, c s† q } = (2π) 3_δrs_δ(3)_{(p − q)} _(3.53) O hamiltoniano da teoria Utilizando 3.47 temos H = π ˙ψ − L = i ¯ψγ0∂0ψ − (i ¯ψγµ∂µψ − m ¯ψψ) ⇒ H = i ¯ψγ0∂0ψ − (i ¯ψγ0∂0ψ + i ¯ψγi∂iψ) + m ¯ψψ ⇒ H = −i ¯ψγi∂iψ + m ¯ψψ ⇒

(26)

16

H = ¯ψ(−iγi∂i+ m)ψ. (3.54)

Queremos promover H a um operador, analisemos primeiro (−iγi∂i+ m)ψ :

(−iγi∂i+ m)ψ = 2 X s=1 Z _d3_p (2π)3 1 p2Ep [bsp(−γ i

pi+ m)us(p)eip·x+ cs†p(γ i

pi+ m)vs(p)e−ip·x].

Utilizando as equa¸c˜oes 3.32 e 3.36 podemos escrever

(−γipi+ m)us(p) = γ0p0us(p) e (γipi+ m)vs(p) = −γ0p0vs(p). Portanto (−iγi∂i+ m)ψ = Z _d3_p (2π)3 r Ep 2 γ 0_[bs pu s_(p)eip·x_{− c}s† pv s_(p)e−ip·x_]. _(3.55)

Finalmente, utilizamos 3.55 para calcular o hamiltoniano

H = Z d3x ψ†γ0(−iγi∂i+ m)ψ = Z _d3_{x d}3_{p d}3_q (2π)6 s Ep 4Eq

[br†_q ur†(q)e−iq·x+ cr_qvr†(q)eiq·x]· [bs_pus(p)eip·x− cs† pv s_(p)e−ip·x_] = Z _d3_p (2π)3 1 2[b r† pb s p[u r†_{(p) · u}s_{(p)] − c}r pc s† p[v r†_{(p) · v}s_{(p)] − b}r† pc s† −p[ur†(p) · vs(−p)] +cr_pbs_−p[vr†(p) · us(−p)]]. (3.56)

Utilizando as rela¸c˜oes 3.40, 3.42 (continuar) obtemos

H = Z _d3_p (2π)3Ep(b s† pb s p− c s pc s† p) ⇒ H = Z _d3_p (2π)3Ep(b s† pb s p+ c s† pc s p− (2π) 3_δ(3)_(0)).

J´a vimos como lidar com o termo δ(3)_{(0), podemos abandon´}_{a-lo, resultando no hamiltoniano}

H = Z _d3_p (2π)3Ep(b s† pb s p+ c s† pc s p). (3.57)

3.6 Predi¸

c˜

ao de anti mat´

eria

Dirac considerava sua equa¸cão como a versão relativ´ıstica da equa¸cão de Schrödinger, escrevendo-a descrevendo-a seguinte formescrevendo-a:

i∂tψ = −α · ∇ψ + mβψ, (3.58)

onde α = −γ0γ e β = γ0. A expressão ˆH = −α · ∇ + mβ era interpretada como o hamiltoniano de part´ıcula única. Nesta linguagem, as solu¸cões 3.31 e 3.35 representam autoestados de ˆH com energias

(27)

17 Epe − Ep, respectivamente. Isto significa que para cada estado com energia positiva existe outro com

energia negativa em mesmo valor absoluto e como, a princ´ıpio, Ep´e ilimitada, o espectro de ˆH n˜ao possui

limite inferior. A solu¸cão de Dirac para este problema baseava-se na constata¸cão de que os elétrons são férmions, obedecendo, portanto, o princ´ıpio de exclusão de Pauli. Com isto, Dirac postulou que todos os estados de energia negativa estariam ocupados no vácuo absoluto, de forma que apenas aqueles com energia negativa estariam acess´ıveis. Em princ´ıpio, isto daria origem a uma quantidade infinita de carga elétrica no vácuo, porém, Dirac argumenta que apenas diferen¸cas entre cargas são observáveis.

Outra importante constata¸cão de Dirac era de que estados de energia negativa poderiam ser ex-citados para estados de energia positiva, deixando para trás um “buraco”, que teria todas as propriedades do elétron, mas carga elétrica oposta. Inicialmente, Dirac imaginou que os buracos fossem prótons, porém mais tarte concluiu que correspondiam a outro tipo de part´ıcula, o pósitron, que foi observado em 1932.

Embora a interpreta¸cão de que 3.58 represente a equa¸cão de part´ıcula única esteja equivocada, Dirac previu corretamente a existência de anti matéria, um dos maiores feitos de toda a F´ısica teórica. Além disso, a ideia de que estados de energia negativa estão ocupados e podem ser excitados para cima do mar de Dirac assemelha-se muito ao que ocorre na estrutura de bandas de um material com gap finito. Em matéria condensada, as bandas ocupadas por elétrons são determinadas pelo energia (ou n´ıvel) de Fermi, quando o n´ıvel de Fermi se encontra no gap entre a banda de valência e a banda de condu¸cão, elétrons da banda de valência podem ser excitados à estados de condu¸cão, com um custo energético finito, deixando na banda de valência um buraco.

(28)

Cap´ıtulo 4

A Cadeia de Kitaev

4.1 Modos de Majorana desacoplados em supercondutores

to-pol´

ogicos

Em F´ısica da matéria condensada, modos de Majorana são quasipart´ıculas que representam suas próprias anti-quasipart´ıculas [9], o que significa que devem ser descritos por uma superposi¸cão equivalente de estados de elétrons e buracos. Este fato torna natural a procura destes modos em sistemas supercon-dutores, onde as fun¸cões de onda das quasipart´ıculas de Bogoliubov possuem componentes de part´ıcula e buraco como graus de liberdade igualmente relevantes. A forma mais comum de acoplamento em su-percondutores é do tipo onda-s, onde os pares de Cooper são formados de pares de elétrons num estado singleto (proje¸cões de spin opostas). Desta forma, o operador de aniquila¸cão para uma quasipart´ıcula de Bogoliubov é da forma b = uc†_↑+ vc↓, onde σ =↑, ↓ representa as poss´ıveis proje¸cões de spin do elétron.

Um modo de Majorana deve estar associado a um operador de aniquila¸c˜ao da forma γ = uc†_σ+ u∗cσ,

note que γ = γ†, o que é necessário para um férmion de Majorana, como consequência, os operadores fermiônicos compondo os férmions de Majorana devem estar associados à mesma proje¸cão de spin, em contraste com o que ocorre em supercondutores de onda-s, isto faz com que modos de Majorana não sejam observados na maioria dos supercondutores conhecidos [9]. Contudo, modos de Majorana isolados podem ser produzidos em superf´ıcies de supercondutores de onda-p, nos quais a fun¸cão de onda possui s = 1, o que significa que os pares de Cooper são formados por elétrons num estado tripleto. Esta forma de acoplamento foi prevista para o estado fundamental do supercondutor Sr2RuO4, [10] porém

´e altamente sens´ıvel `a desordem e, portanto, nunca foi observada experimentalmente [9]. Felizmente, um trabalho devido a Fu e Kane [11] mostrou que o pareamento tipo px± ipy pode ocorrer em estados

de borda em isolantes topológicos quando postos em contato com um supercondutor comum de onda-s, dando origem ao fenômeno de supercondutividade induzida por efeito de proximidade. Algum tempo depois, dois trabalhos [12, 13] sugeriram uma simplifica¸cão do problema, utilizando fios semicondutores unidimensionais. Cabe notar que existem também propostas de cria¸cão de modos de Majorana em vórtices

(29)

19 de isolantes topológicos dopados [14] , na interface entre um ferromagneto e um supercondutor depositado em um isolante topológico bidimensional [15, 16, 17] , em gases de átomos frios [18, 19], em nanotubos de carbono [20, 21, 22] e ainda outros sistemas. Neste trabalho, contudo, trataremos do sistema proposto por Kitaev.

4.2 Cadeia de Kitaev

Consideremos um modelo composto por uma cadeia unidimensional de N s´ıtios, cada um capaz de comportar um estado fermiˆonico c†_n, ou, equivalentemente, dois modos de Majorana γ2n−1e γ2n,

conforme ilustrado na figura 4.1.

Figura 4.1: representa¸c˜ao da cadeia unidimensional de N=4 s´ıtios, cada ponto representa um modo de Majorana, e um par de tais modos forma um estado fermiˆonico comum [23].

Podemos pensar em duas formas de acoplar os modos de Majorana: uma é através da intera¸cão entre majoranas que ocupam o mesmo s´ıtio (intera¸cão onsite), a outra se dá atraves da intera¸cão de majoranas pertencentes a s´ıtios vizinhos. Analisaremos os dois casos a seguir, come¸cando com o primeiro. Intera¸cão onsite

Atribuindo um custo de ocupa¸c˜ao µ para os estados fermiˆonicos, o hamiltoneno da cadeia fica

H = µ

N

X

n=1

c†_ncn, (4.1)

ou, em termos dos operadores de Majorana (ver equa¸c˜ao 1.1):

H = i 2µ N X n=1 γ2n−1γ2n. (4.2)

Note que todas as excita¸cões tem energia ±|µ|₂ e todos os majoranas participam do hamiltoniano. A intera¸cão é ilustrada na figura 4.2.

Intera¸c˜ao entre s´ıtios

Se quisermos obter majoranas desacoplados nas bordas, precisamos de uma intera¸c˜ao que acople modos de s´ıtios vizinhos. Como ilustra a figura 4.3.

Atribuindo uma diferen¸ca de energia igual a 2t entre estados ocupados e desocupados para cada par formado desta maneira, obtemos o hamiltoniano

(30)

20

Figura 4.2: Ilustra¸cão da intera¸cão onsite para uma cadeia com N=4 s´ıtios. Note que todos os majoranas estão acoplados a seus vizinhos [23].

H = it

N

X

n=1

γ2nγ2n+1. (4.3)

Nota-se que o primeiro e o último modo não participam do hamiltoniano, esta cadeia possui dois estados com energia zero localizados em suas bordas. Além disso, estados do bulk possuem energia ±|t|. Temos, então, um sistema unidimensional com gap no bulk e estados de energia zero nas bordas.

Figura 4.3: Ilustra¸c˜ao da intera¸c˜ao entre s´ıtios, note a presen¸ca de modos de majorana desemparelhados nas bordas da cadeia [23].

4.3 O hamiltoniano de Kitaev

Os dois hamiltonianos expostos acima s˜ao casos especiais do hamiltoniano de Kitaev

H = −µX n c†ncn− t X n (c†_n+1cn+ h.c.) + ∆ X n (cncn+1+ h.c.), (4.4)

que possui três parâmetros reais: o potencial qu´ımico µ, o hopping entre s´ıtios e o pareamento supercon-dutor ∆. A partir do hamiltoniano 4.4, o regime com estados de borda é obtido quando ∆ = t e µ = 0, enquanto o regime totalmente trivial composto apenas de fermions comuns é obtido quando ∆ = t = 0 e µ 6= 0.

Conforme o discutido no in´ıcio deste cap´ıtulo, toda a motiva¸cão para a procura de modos de Majorana em sistemas supercondutores se deve ao fato da existência da simetria part´ıcula-buraco que estes exibem. Portanto, com a inten¸cão de explorar esta simetria, passaremos ao formalismo de Bogoliubov de Gennes escrevendo 4.4 na forma H = 1

2C †_H

BdGC, onde C ´e um vetor coluna definido por C =

(c1, . . . , cN, c†1, . . . , c † N)

T_{. Portanto, H}

BdG´e uma matriz 2N × 2N, elegantemente escrita utilizando-se as

matrizes de Pauli (τi, i = x, y, z) e definindo o vetor |ni = (0, . . . , 1, . . . , 0) correspondendo ao n-´esimo

(31)

21 HBdG= − X n µτz|ni hn| − X n [(tτz+ i∆τy) |ni hn + 1| + h.c.]. (4.5)

HBdG atua em estados do tipo |ni ⊗ |τ i , onde τ = ±1 correspondendo a estados de el´etron e

buraco, respectivamente. A simetria part´ıcula-buraco ´e evidenciada por PHBdGP−1 = −HBdG, com

P = τxK.

4.4 Prote¸

c˜

ao topol´

ogica dos estados de borda

Nesta se¸cão avaliaremos a persistência dos modos de majorana frente à desvios das condi¸cões iniciais. Lembre-se que a condi¸cão para a existência de estados de borda a partir do hamiltoniano de Kitaev 4.4 era ∆ = t e µ = 0. Portanto seria natural questionar se os estados de borda persistem no sistema quando come¸camos no regime acima e mudamos gradualmente o potencial qu´ımico, por exemplo.

A figura 4.4 contém o espectro de energia de 4.5 para uma cadeia com 25 s´ıtios, a primeira caracter´ıstica notável é a simetria do espectro, que nada mais é do que uma consequência da simetria part´ıcula-buraco exibida pelo sistema. Outra caracter´ıstica notável é que a degenerescência dos estados de energia zero só é quebrada quando µ ≈ 2t, mostrando que os modos de majorana persistem até este ponto, que ocorre justamente quando o gap está próximo de se fechar.

Figura 4.4: Espectro de energia para uma cadeia com N=25 s´ıtios, nota-se a simetria em torno de E=0, e que a degenerescˆencia deste n´ıvel se quebra apenas quando µ ≈ 2t [23].

Para entender porque isto ocorre, recorremos à simetria part´ıcula-buraco, que pro´ıbe que um estado no n´ıvel zero se mova individualmente (já que isso produziria um espectro assimétrico). A única

(32)

22 forma de quebrar a degenerescência é acoplando os dois majoranas, o que é imposs´ıvel devido à separa¸cão entre eles, de forma que apenas quando gap se fecha a quebra torna poss´ıvel

Conclui-se que os estados de borda no sistema persistem enquanto o gap no bulk for finito, o que ´e garantido pela simetria part´ıcula-buraco.

4.5 Fases topol´

ogicas a partir do espectro do bulk

Vamos agora nos preocupar em encontrar uma maneira de deduzir a existência de modos de majorana a partir do espectro de bulk da cadeia. Primeiramente, vamos eliminar as bordas do sistema e impor condi¸cões de contorno periódicas, com isto, o sistema possui simetria translacional |ni → |n + 1i , uma vez que os parâmetros t, µ e ∆ não dependem dos s´ıtios. Agora é interessante escrever o hamiltoniano no espa¸co de momentos |ki = N−1/2 N X n=1 e−ikn|ni , (4.6)

onde |ki representa um estado com momento cristalino k.

Podemos escrever o hamiltoniano no espa¸co de momentos

H(k) ≡ hk|HBdG|ki = (−2t cos k − µ)τz+ 2∆ sin k τy (4.7)

Diagonalizando este hamiltoniano, obtemos as rela¸c˜oes de dispers˜ao

E(k) = ± q

(2t cos k + µ)2_{+ 4∆}2_sin2

k. (4.8)

Nota-se a presen¸ca de um gap no espectro para todos os valores de k quando µ = 0 (ver figura 4.5a), isto ocorre pois retiramos as bordas da cadeia, de forma que n˜ao existem mais os estados com energia zero que t´ınhamos antes para este valor do potencial qu´ımico. Contudo, ´e poss´ıvel observar o fechamento do gap ocorrendo para os valores de µ = +2t (figura 4.5c) e µ = −2t (figura 4.6c).

`

A primeira vista, a estrutura de bandas antes e depois do fechamento do gap parecem idênticas. De fato, olhando apenas para os gráficos acima, não fica claro que o fechamento do gap corresponde a uma mudan¸ca de fase do modelo. Não obstante, seremos capazes de chegar a este resultado através do estudo das propriedades de H(k) em mais detalhes.

Estudo da transi¸c˜ao de fase no bulk a partir de um hamiltoniano de Dirac efetivo

Vamos analisar em mais detalhes o que acontece com o pontos vizinhos de k = 0 quando o gap se fecha para µ = −2t. Pr´oximo deste ponto uma lineariza¸c˜ao do hamiltoniano fornece

H(k) ≈ mτz+ 2∆kτy, (4.9)

(33)

23

(a) (b)

(c)

Figura 4.5: Esquema da estrutura de bandas 4.8 come¸cando na fase topol´ogica e variando µ por valores positivos. Observe o fechamento do gap ocorrendo nas extremidades da zona de Brillouin quando µ = 2t [23].

(a) (b)

(c)

Figura 4.6: Esquema da estrutura de bandas 4.8 come¸cando na fase topol´ogica e variando µ por valores negativos. Observe o fechamento do gap ocorrendo no meio da zona de Brillouin quando µ = −2t [23].

E(k) = ±pm2_{+ 4∆}2_k2 _(4.10)

(34)

24 ou menor que −2t, o que essencialmente informa em que regime o sistema se encontra: se m < 0, então o sistema se encontra na fase topológica, isto é, naquele regime em que existem estados de borda, se m > 0, dizemos que o sistema está na fase trivial, o que corresponde ao regime sem estados de borda. Quando m = 0, o hamiltoniano possui dois autoestados com energias E = ±2∆k, estes são autoestados também de τy, e portanto são superposi¸cões de equivalentes de elétrons e buracos. De fato, estes estados

representam modos de majorana se movendo para a esquerda (E = −2∆k) e para a direita (E = 2∆k). Estes estados estão livres para se propagarem, já que o bulk não possui gap agora. Em nosso modelo, a velocidade desses modos é dada por v = 2∆.

Modos de majorana em fronteiras de dom´ınios

Agora consideraremos o que ocorre quando o parˆametro m varia espacialmente, mudando de sinal em algum ponto da cadeia, em outras palavras

m(x) → ±m se x → ∞ e m(x = 0) = 0.

Dizemos que o ponto x = 0 ´e uma fronteira de dom´ınio, que demarca duas regi˜oes do espa¸co com sinais de m opostos. Escrevendo 4.9 no espa¸co real, obtemos

H = −vτyi∂x+ m(x)τz. (4.11)

Já sabemos que quando m = 0, 4.11 admite um modo de majorana com energia zero como solu¸cão. Para estudar este estado em mais detalhes precisamos resolver a equa¸cão HΨ = 0, que pode ser escrita como

∂xΨ(x) =

1

vm(x)τxΨ(x), (4.12) As solu¸c˜oes s˜ao da forma

Ψ(x) = exp  τx x Z 0 m(x0) v dx 0  Ψ(0). (4.13)

Duas solu¸c˜oes linearmente independentes s˜ao dadas pelos autoestados de τx,

Ψ(x) = exp  ± x Z 0 m(x0) v dx 0     1 ±1  . (4.14)

Apenas uma destas solu¸cões é normalizável, já que m(x) muda de sinal quando x = 0. Desta forma, obtemos uma fun¸cão de onda localizada em x = 0 (ver figura 4.7)

4.6 Invariante topol´

ogico do bulk e a correspondˆ

encia bulk-edge

Agora vamos generalizar o critério discutido anteriormente para a existência de modos de majo-rana, encontrando um invariante topológico para o bulk a ser calculado diretamente de H(k).

(35)

25

Figura 4.7: Ilustra¸c˜ao da fun¸c˜ao de onda do modo de Majorana localizado na interface entre dois dom´ınios [23].

Figura 4.8: Ilustra¸c˜ao do Majorana formado na interface entre os dom´ınios topol´ogico e trivial [23].

No que se segue, determinamos o invariante topológico associado à transi¸cão de fase da Cadeia de Kitaev, utilizaremos o fato de que podemos levar o hamiltoniano da cadeia nos extremos da primeira zona de Brillouin a uma forma antissimétrica. Para matrizes antissimétricas, existe uma quantidade, o Paffiano, que definimos a seguir:

Seja A uma matriz antissim´etrica 2n × 2n, o Pfaffiano de A ´e definido por [24]:

pf(A) = 1 2n_n! X σ∈S2n sign(σ) n Y i=1 aσ(2i−1),σ(2i), (4.15)

onde S2n é o grupo simétrico de dimensão 2n e aij representa as entradas da matriz A.

O sinal do Pfaffiano 4.15, muda de sinal sempre que o gap no espectro do hamiltoniano se fecha [23], o que nos indica que o sinal de 4.15 seja um invariante topológico para o nosso sistema. Por outro lado, este é exatamente o comportamento do parâmetro de massa m do problema, o que sugere relacionar m com um Pfaffiano.

O Pfaffiano pode mudar apenas quando algum autovalor de H(k) passa por zero. Mas por causa da simetria part´ıcula-buraco, para cada autovalor E(k) existe outro em −E(−k). Portanto, se E(k) passa por zero, seu parceiro também o faz. Além disso, o espectro deve ser periódico na zona de Brillouin, o que significa que fechamentos de gap ocorrem em pares, e portanto, não podem mudar o Pfaffiano. As únicas exce¸cões são os pontos k = 0 e k = π, que são mapeados em si mesmos pela simetria part´ıcula-buraco. Para esses pontos temos

τxH∗(0)τx= −H(0)

(36)

26 Portanto, H(0) e H(π) podem sempre ser postos em forma antissimétrica individualmente e podemos sempre calcular o Pfaffiano para estas matrizes facilmente. Nota-se, também, que estes são exatamente os pontos em que o gap de fecha, em k = 0 para µ = −2t e em k = 0π para µ = −2t. Por estes motivos focaremos apenas em H(0) e H(π),

˜ H(0) =1 2   1 1 i −i     −2t − µ 0 0 2t + µ     1 1 i −i  = −i   0 −2t − µ 2t + µ 0  , (4.16) ˜ H(π) = 1 2   1 1 i −i     2t − µ 0 0 2t + µ     1 1 i −i  = −i   0 2t − µ −2t + µ 0  . (4.17) Obtemos facilmente Pf[iH(0)] = −2t − µ Pf[iH(π)] = 2t − µ.

Observe que o Pfaffiano de H(0) muda de sinal quando µ = −2t e o de H(π) quando µ = 2t, em concordˆancia com a estrutura de bandas.

Cada Pfaffiano calculado acima está associado ao fechamento de um gap, de forma que o invariante topológico do bulk como um todo (Q)é dado pelo produto

Q = sign(Pf[iH(0)]Pf[iH(π)]). (4.18) Se Q = −1 significa que o bulk se encontra na fase topológica, de forma que se cortássemos o fio em qualquer ponto, ter´ıamos dois modos de Majorana desemparelhados nas bordas. Se Q = +1 significa que o sistema está na fase trivial.

Resta agora encontrar o significado f´ısico do invariante Q. Sabemos que o Pfaffiano de um hamil-toniano de Bogoliubov de Gennes está associado à paridade fermiônica do estado fundamental do sistema [23]. Ao tomarmos o produto 4.18 estamos de alguma forma comparando as paridades fermiônicas dos estados com k = 0 e k = π, e temos que que Q = −1 se e somente se as duas paridades são diferentes. Isto significa que se deformamos continuamente H(0) em H(π) sem quebrar a simetria elétron buraco, devemos encontrar um cruzamento do n´ıvel de Fermi no espectro de energia, que corresponde à mudan¸ca de paridade fermiônica (fermion parity switch), ou no nosso caso, à uma transi¸cão de fase topológica.

Em resumo, descobrimos que a cadeia de Kitev é capaz de comportar modos de Majorana de-sacoplados tanto como estados de borda, quanto em pontos de transi¸cões de dom´ınio entre fases triviais e topológicas. A existência destes modos é protegida pela simetria elétron buraco e está associada ao invariante topológico 4.18, cuja interpreta¸cão f´ısica é diferen¸ca entre as paridades fermiônicas dos estados dos extremos da zona de Brillouin (k = 0 e k = π).

(37)

Cap´ıtulo 5

A cadeia de Kitaev no mundo real

Neste cap´ıtulo, discutimos como construir a cadeia de Kitaev utilizando materiais e m´etodos dispon´ıveis em laborat´orio.

5.1 Desenvolvendo o modelo

Conforme visto no cap´ıtulo 4, a cadeia de Kitaev é um modelo bastante simples, porém, a neces-sidade que os férmions de Majorana impõe sobre o acoplamento de spins é experimentalmente bastante desafiadora. Tentaremos contornar cada um dos problemas discutidos na se¸cão anterior, equipando o modelo com elementos externos até torná-lo fisicamente realizável. Come¸camos com a cadeia de Kitaev pura e simples, cujo hamiltoneno no espa¸co de momentos se escreve

HKitaev= (−2t cos k − µ)τz+ 2∆τysin k. (5.1)

Primeiramente, queremos um sistema com parâmetros controláveis, o que nos leva a utilizar um semicondutor. Nestes sistemas o valor do potencial qu´ımico pode ser variado por meio de dopagem ou variando voltagens adequadamente. Mas ainda precisamos da supercondutividade, podemos contornar este problema aproximando um supercondutor do sistema, formando uma estrutura h´ıbrida. Desta forma, por efeito de proximidade, é poss´ıvel fazer com que a supercondutividade seja induzida no semicondutor. Chamamos de efeito de proximidade, o fenômeno que ocorre quando colocamos um supercondutor em contato com um material comum (que não é um supercondutor). Em sistemas como este é poss´ıvel observar uma supercondutividade fraca no material comum ao longo de uma certa espessura [25].

A próxima coisa que podemos considerar é que µ permanecerá pequeno comparado à largura de banda (µ 2t). O mesmo vale para o pareamento supercondutor (∆ t), pois a supercondutividade é um efeito fraco comparado com a energia cinética dos elétrons. Podemos, então, expandir o termo em cos k e trabalhar no limite cont´ınuo da modelo de Kitaev

H = k

2

2m− µ

τz+ 2∆τyk. (5.2)

(38)

28 Spin eletrˆonico

Algo de que precisamos tratar em nosso modelo 5.2 é o spin eletrônico. O modelo precisa de uma cadeia de férmions onde apenas uma proje¸cão é permitida. Uma maneira de incorporar o spin eletrônico é expandir o espa¸co de Hilbert tomando o produto tensorial entre o espa¸co de momentos e o espa¸co de spins. O problema com este procedimento é ele daria origem a uma degenerescência dupla, que faria com que dois modos de Majorana pudessem ocupar as bordas da cadeia, em outras palavras, um férmion comum ocuparia os estados de borda.

A solu¸cão consiste em tornar a cadeia de Kitaev para uma proje¸cão de spin topologicamente trivial e para a outra, não trivial. Como µ é o parâmetro que controla o regime do sistema, digamos que a proje¸cão de spin ↑ corresponda a µ > 0 e spin ↓ corresponda a µ < 0. Isto pode ser feito adicionando um acoplamento Zeeman entre o spin e um campo magnético externo

H = k

2

2m− µ − Bσz

τz+ 2∆τyk. (5.3)

Um campo magnético B forte o suficiente é capaz de separar os spins, tornando poss´ıvel fazer com que uma proje¸cão corresponda a µ > 0 e a outra a µ < 0 (ver figura 5.1)

(a) (b) (c)

Figura 5.1: Em 5.1a temos o sistema no regime topológico em ausência de campo magnético. Conforme B aumenta, vemos a separa¸cão dos n´ıveis de energia devida ao efeito Zeeman (5.1b e 5.1c) [23].

Pareamento supercondutor

Precisamos encontrar uma maneira de produzir um pareamento tipo p efetivo utilizando super-condutores tipo s, dos quais dispomos. Supersuper-condutores tipo s acoplam singletos

Hpar= ∆(c↑c↓− c↓c↑) + h.c. (5.4)

O que significa que precisamos mudar o pareamento. Come¸caremos com um mudan¸ca de base em HBdG : seja T = U K um operador de simetria de revers˜ao temporal, podemos aplicar a transforma¸c˜ao

unit´aria U aos buracos, de forma que na nova base, o hamiltoneno de Bogoliubov de Gennes fica

HBdG=   H ∆0 −∆∗ _−H∗  , (5.5)

onde ∆0 = ∆U†. Com esta base é fácil calcular o hailtoneano dos buracos, basta trocar os sinais de todos os termos que respeitam a simetria de reversão temporal, deixando os termos que quebram a simetria

(39)

29 intactos, por exemplo, termos contendo B. Resumidamente, se o elétrons possuem hamiltoniano H(B), então o dos buracos será −H(−B). Finalmente, a simetria elétron-buraco se escreve P = σyτyK.

Como os termos em B trocam de sinal frente à simetria de reversão temporal, temos que o campo Zeeman tem a mesma forma para elétrons e buracos na nova base, assim, o hamiltoniano fica

HBdG=

k2

2m− µ

τz+ Bσz+ ∆τx. (5.6)

Diagonalizando 5.6 para k = 0 obtemos quatro n´ıveis de energia

E = ±B ±pµ2_{+ ∆}2_. _(5.7)

Sabemos que B=0 corresponde à fase trivial, devido à degenerescência de spin. Assim, esperamos que o sistema estará na fase topológica quando B2_{> ∆}2_{+ µ}2_.

Intera¸c˜ao spin-´orbita

Vejamos o espectro de 5.6 para diferentes valores de k (figura 5.2a, 5.2b e 5.2c).

(a) (b) (c)

Figura 5.2: Comportmento da estrutura de bandas com B. Note a degenerescência quando B = 0 (figura 5.2a). À medida que B aumenta 5.2b e 5.2c o gap do bulk se fecha, mostrando que não é poss´ıvel o aparecimento dos modos de Majorana [23].

Note que o gap do sistema se fecha, o que pro´ıbe a existência dos modos de Majorana. Se quisermos obtê-los precisamos encontra uma maneira de abrir o gap. Para este fim, podemos adicionar um acoplamento spin-órbita da forma

HSO= ασyk, (5.8)

que atua como um campo de Zeeman apontando na dire¸cão y com intensidade proporcional ao momento da part´ıcula. Este termo é invariante por reversão temporal, pois tanto σy quanto k trocam de sinal. O

hamiltoniano final fica

Hf io=

k2

2m+ ασyk − µ

τz+ Bσz+ ∆τx. (5.9)

Quando k = 0 o termo de acoplamento spin-órbita é nulo, portanto não influencia a fase do sistema (trivial ou topológica). Veja agora a estrutura de bandas (figura 5.3)

(40)

30

(a) (b) (c)

Figura 5.3: Comportmento da estrutura de bandas com α. `A medida que α aumenta, o gap do bulk se abre [23].

Temos e presen¸ca de um gap, o que significa que os modos de majorana podem ser obtidos no sistema. Conclu´ımos que é poss´ıvel realizar a Cadeia de Kitaev utilizando elementos existentes no laboratório, incluindo um supercondutor de onda s no lugar de um supercondutor exótico que o modelo exigia, se adicionarmos elementos externos ao modelo, como campo magnético externo e acoplamento spin-órbita.

Contudo, umas das principais dificuldades experimentais vem do fato de que o sistema exige pelo menos quatro parâmetros controláveis [23]: o potencial qu´ımico µ, que determina a densidade eletrônica no fio; o gap supercondutor ∆, que é responsável pela forma particular assumida pelo emparelhamento supercondutor; a constante de acoplamento spin-órbita α, responsável por quebrar a conserva¸cão de spin e o campo magnético externo B, responsável por quebrar a degenerescência de Kramers.

(41)

Cap´ıtulo 6

Conclus˜

oes

Neste trabalho estudamos duas teorias de campo importantes no desenvolvimento da Mecânica Quântica Relativ´ıstica, exploramos os problemas com a equa¸cão de Klein-Gordon e de que maneira Dirac os resolveu. Discutimos a ideia da existência de antimatéria e mostramos como os férmions de Majorana surgem neste contexto.

Nos cap´ıtulos 4 e 5 tratamos da realiza¸cão dos modos de Majorana em sistemas de matéria condensada, foi feita uma apresenta¸cão da Cadeia de Kitaev, onde mostramos que os férmions de Majorana surgem tanto como estados de borda da cadeia quanto como pontos de transi¸cão entre dom´ınios.

Por fim, analisamos como realizar a Cadeia de Kitaev utilizando elementos dos quais dispõe-se em laboratório, vimos que é poss´ıvel, sobretudo, eliminar a necessidade de um supercondutor de onda p em favor de um supercondutor de onda s, que é o mais comum.

(42)

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