O grupo de renormalização e algumas aplicações

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O GRUPO DE RENORMALIZAC

¸ ˜

AO E

ALGUMAS APLICAC

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OES

Orientador: MARCO MORICONI

Niter´oi-RJ 2014

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O GRUPO DE RENORMALIZAC

¸ ˜

AO E ALGUMAS APLICAC

¸ ˜

OES

Trabalho de monografia apresentado ao curso de graduação em F´ısica -Bacharelado, da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial à conclusão do curso.

Orientador: MARCO MORICONI

Niter´oi-RJ 2014

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O GRUPO DE RENORMALIZAC

¸ ˜

AO E ALGUMAS APLICAC

¸ ˜

OES

Trabalho de monografia apresentado ao curso de graduação em F´ısica -Bacharelado, da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial à conclusão do curso.

Aprovada em marc¸o de 2015.

BANCA EXAMINADORA:

Prof. Dr. Marco Moriconi

UFF

Prof. Dr. Rodrigo Ferreira Sobreiro

UFF

Prof. Dr. Rubens Luis Pinto Gurgel do Amaral

UFF

Niter´oi-RJ 2015

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Agradec¸o `a minha fam´ılia.

Aos meus amigos, nas horas de estudo e de recreac¸˜ao.

Aos meus professores, muito do que aprendi se reflete nesse trabalho.

Em especial ao professor Marco Moriconi, pelas discussões, referências e comentários so-bre esse tema que me era novo há um ano.

Aos professores M´arcio Argollo e Luis Oxman por dicas e discuss˜oes sobre a monografia.

(6)

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2.1 Uma trajet´oria poss´ıvel para o campo . . . p. 24

3.1 Rede do modelo de Ising . . . p. 33

3.2 Uma transformação de blocos, feita a mudança de escala. Exatamente na

temperatura cr´ıtica . . . p. 36

3.3 Uma transformação de blocos, feita a mudança de escala. Acima da

tempe-ratura cr´ıtica . . . p. 37

3.4 Fluxo do grupo de renormalizac¸˜ao para o modelo de Ising unidimensional . . p. 40

3.5 Configuração de um vórtice . . . p. 43

4.1 Fluxos do grupo de renormalizac¸˜ao do sine-Gordon. . . p. 57

4.2 Fluxos (y1× β12) para β22< 8π . . . p. 65

4.3 Fluxos (y1× β12) para β22> 8π . . . p. 65

1 Apenas uma fase. . . p. 72

2 In´ıcio da opalescˆencia. . . p. 72

3 Opalescˆencia. . . p. 73

4 Menisco comec¸a a se formar. . . p. 73

(8)

Resumo p. 10

Abstract p. 11

Notac¸˜ao p. 12

1 Introduc¸˜ao p. 14

2 Teoria quˆantica de campos p. 16

2.1 Teoria cl´assica de campos . . . p. 17

2.2 Campos escalares . . . p. 20

2.3 Integral de trajet´oria e integral funcional . . . p. 21

2.4 Extens˜ao a campos escalares . . . p. 26

2.5 Formulac¸˜ao euclidiana . . . p. 27

2.6 Fenˆomenos cr´ıticos . . . p. 28

3 O grupo de renormalizac¸˜ao p. 31

3.1 F´ısica estat´ıstica e transic¸˜oes de fase . . . p. 32

3.2 O grupo de renormalizac¸˜ao . . . p. 35

3.3 O modelo de Ising unidimensional . . . p. 38

3.4 Modelo de Ising bidimensional . . . p. 40

3.5 Teoria geral do grupo de renormalizac¸˜ao . . . p. 45

4 Os modelos sine-Gordon e sine-Gordon duplo p. 47

(9)

5 Conclus˜ao e Propostas Futuras p. 66

Referˆencias Bibliogr´aficas p. 68

Apˆendices p. 70

A Integrac¸˜ao Gaussiana . . . p. 70

B Propagador da teoria livre . . . p. 71

(10)

Resumo

Nesse trabalho estudamos o grupo de renormalização e a teoria dos fenômenos cr´ıticos. Essa é a abordagem utilizada para estudar as transições de fase nos modelos sine-Gordon e sine-Gordon duplo. Obtemos os fluxos do grupo de renormalização para esses dois modelos e interpretamos suas fases como a presença ou ausência de vórtices. Ambos os modelos são de grande interesse, o primeiro é não-linear mas tem soluções anal´ıticas, e o segundo permite observar fenômenos perturbativos nas soluções do primeiro.

(11)

Abstract

In this work we study the renormalization group and the theory of critical phenomena. This is the approach for studying phase transitions in the sine-Gordon and double sine-Gordon models. We obtain the renormalization group flows for these two models and interpret their phases as the presence or absence of vortices. Both of these models are of great interest, the first is non-linear but has analytical solutions, and the second allows one to observe perturbative phenomena in the solutions of the first one.

(12)

Notac¸˜ao

Trabalharei em unidades naturais

¯h = c = 1 (1)

Todas as quantidades nesse sistema de unidades podem ser medidas em termos de uma ´unica quantidade, massa ou comprimento, por exemplo. Usando [x] = [ct], descobrimos que

[comprimento] = [tempo] , (2)

ou ainda com E = mc2, [energia] = [massa], e de λ = ¯h/mc, que [comprimento] = [massa]−1. Todas essas unidades podem ser expressas em termos de massa, da forma:

[massa] = [comprimento]−1= [tempo]−1= [energia] (3)

O tensor m´etrico usado ´e

ηµ ν=        1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1       

e os ´ındices gregos variam de 0 a 3. Índices repetidos são sempre somados. Quadrivetores estão em itálico sem negrito e vetores espaciais são indicados por negrito. Então

xµ _{= (x}0_{, x)} ₍₄₎

p· x = ηµ νpµxν = p

0_x0_{− p · x}

(13)

Para part´ıculas massivas p2= pµpµ = E2− |p|2= m2 (6) As derivadas s˜ao ∂µ = ∂ ∂ xµ = ( ∂ ∂ x0, ∇) (7)

(14)

1 Introduc¸˜ao

Na maioria dos fenômenos f´ısicos podemos tratar separadamente cada escala, por exemplo, descrevemos moléculas de H2Ousando mecânica quântica e ondas no mar com as equações de

Navier-Stokes. A grande dificuldade em tratar fenômenos cr´ıticos está em não poder fazer essa separação. Uma vez que no ponto cr´ıtico o comprimento de correlação (e outras quantidades) divergem, observamos flutuações em todas as escalas no sistema.

O grupo de renormalização é um conjunto de técnicas e ideias desenvolvido na segunda metade do século XX para tratar fenômenos cr´ıticos no equil´ıbrio. Ele consiste em fazer uma série de transformações na Hamiltoniana do sistema de forma a obter um modelo mais simples com as mesmas propriedades no ponto cr´ıtico.

Em teoria quântica de campos, por exemplo, estamos interessados no comportamento a baixas energias (comprimentos altos) de uma teoria, mas ele não pode ser obtido diretamente da Hamiltoniana. As transformações do grupo de renormalização sucessivamente incluem flutuações em altas energias nas constantes do modelo, até que chegamos a uma Hamiltoni-ana expressa em termos de variáveis de baixas energias.

Próximo dos pontos cr´ıticos, observamos que várias propriedades dos sistemas f´ısicos se comportam como leis de potência. Os coeficientes se repetem para teorias completamente di-ferentes (por exemplo, fluidos e o modelo de Ising unidimensional), isso caracteriza a univer-salidade: os expoentes dependem apenas de algumas caracter´ısticas da Hamiltoniana, que são sua dimensionalidade, suas simetrias e a dimensionalidade do parâmetro de ordem. A´ı está o sucesso do grupo de renormalização, pois podemos reescrever um modelo complicado como um modelo bem mais simples e obter seus expoentes cr´ıticos exatamente.

Nesta monografia, as ténicas do grupo de renormalização são explicadas e aplicadas a al-guns sistemas: o modelo de Ising e os modelos sine-Gordon e sine-Gordon duplo. Encon-tramos para cada um desses sistemas os fluxos do grupo de renormalização, que descrevem como as constantes de uma Hamiltoniana se transformam com as sucessivas iterações do grupo de renormalização. Esses fluxos descrevem, ao menos topologicamente, as transições de fase

(15)

numa teoria, dividindo regi˜oes de acoplamento forte e acoplamento fraco, por exemplo.

O cap´ıtulo 2 faz uma revisão da teoria quântica de campos na abordagem da integral de caminhos, assim como a conexão desta com a f´ısica estat´ıstica. Vemos que uma teoria de campos em d dimensões espaciais é equivalente a um sistema estat´ıstico no ponto cr´ıtico em d+ 1 dimensões espaciais. Conexão que é usada no cap´ıtulo seguinte para relacionar o modelo XY com o sine-Gordon.

Antes de fazer essa conexão, o cap´ıtulo 3 explica a teoria do grupo de renormalização e das transições de fase. O exemplo clássico é o modelo de Ising, que ilustra todas as idéias e a linguagem necessárias. Também fazemos um cálculo anal´ıtico das transformações do grupo de renormalização para esse modelo em uma dimensão, encontrando seu diagrama de fases (fluxos).

Outra idéia que encontramos é a de dimensão cr´ıtica inferior. Nos modelos discretos (Ising, por exemplo), não pode haver fase ordenada em uma dimensão, apenas a partir de duas di-mensões. Já em modelos cont´ınuos, só pode haver fase ordenada a partir de três dimensões, mesmo assim o modelo XY, que é uma extensão cont´ınua do modelo de Ising bidimensional, apresenta uma transição de fase, mas sem a existência de uma fase ordenada. A diferença entre essas fases é a presença de vórtices, excitações topológicas no sistema. Devido à corres-pondência, isso também acontece no sine-Gordon.

Essa é a transição de fase estudada no cap´ıtulo 4, usando o grupo de renormalização. O sine-Gordon, além dessa transição de fase curiosa, também é de interesse pois é uma teoria de campos não-linear que tem solução exata, e que encontra aplicações em sistema reais como as Junções Josephson. Outro modelo estudado é o Gordon duplo, uma extensão do sine-Gordon, que busca capturar efeitos mais sutis em sistemas reais, e pode ser tratada como uma perturbação ao modelo original. A existência de soluções exatas para o sine-Gordon se mostra muito útil pois podemos expandir modelos não-integráveis (como o sine-Gordon duplo) em torno das soluções anal´ıticas que temos do modelo não-linear.

Finalmente, encontramos os fluxos do grupo de renormalização para o Gordon e o sine-Gordon duplo, e o modelo XY nos ajuda a entender as fases encontradas usando a interpretação dos vórtices. Os fluxos nos mostram para quais parâmetros esses modelos equivalem a teorias com ou sem vórtices.

(16)

2 Teoria quˆantica de campos

Já no in´ıcio do desenvolvimento da teoria quântica original, na década de 1920, algumas de suas falhas foram percebidas. A primeira é que ela não é uma teoria relativ´ıstica, outra teoria nova, mas que já tinha alguns testes experimentais a apoiando, à época. A primeira tentativa de Schrödinger de escrever uma equação para a dinâmica dos sistemas quânticos resultou na equação hoje atribu´ıda a Oskar Klein e Walter Gordon, mas foi descartada por fornecer os valores errados para as linhas espectrais do átomo de hidrogênio. Outra das falhas da teoria quântica é que processos simples, como o decaimento espontâneo de um átomo de hidrogênio num estado excitado, não podiam ser descritos. Nesse processo não há conservação do número de part´ıculas, pois surge um fóton fruto do decaimento, e o estado final já pertence a um espaço diferente do inicial, sendo que a equação de Schrödinger não é capaz de conectá-los. Mas, novamente da relatividade especial, sabe-se que o número de part´ıculas não precisa se conservar, uma vez que esta teoria mostra a equivalência entre massa e energia, e a quantidade que se conserva é a energia total, incluindo a energia de repouso das part´ıculas em uma reação. Outros processos em que o número e o tipo das part´ıculas muda são conhecidos, como decaimentos radioativos e os chuveiros de part´ıculas gerados pelos raios cósmicos.

As primeiras tentativas para resolver a incompatibilidade entre a mecânica quântica e a teoria da relatividade especial foram de escrever equações como a de Schrödinger, mas com Hamiltonianos relativ´ısticos, isto é, devidamente invariantes de Lorentz e que tivessem a relação de dispersão de Einstein, equações da forma:

i¯h∂ Ψ

∂ t = HΨ (2.1)

Dessa forma são as equações de Klein-Gordon, Dirac e outras ainda.Mas elas ainda apre-sentam inconsistências e paradoxos, como probabilidades negativas e energias negativas para part´ıculas livres [1, cap. 2]. Hoje, na perspectiva da teoria quântica de campos, essas equações são válidas, mas sua interpretação não é a de equações de uma part´ıcula, como Schrödinger, mas ditam a dinâmica de operadores de campo, cujos diferentes modos são part´ıculas em variados

(17)

estados. Essa mudança de perspectiva resolve os problemas citados, inclusive o de equações onde muda o número de part´ıculas, pois no ato da quantização naturalmente surgem operadores de criação e destruição de part´ıculas, e elas podem aparecer em reações mesmo quando não há energia suficiente para criá-las, mas como estados virtuais intermediários.

Outros dos problemas resolvidos pela teoria quântica de campos é a existência de anti-part´ıculas e explicar a relação entre spin e estat´ıstica, além dos cálculos teóricos mais precisos já feitos. Por exemplo o fator giromagnético do múon, predito pela eletrodinâmica quântica até a décima casa decimal, usando teoria de perturbação de quarta ordem no parâmetro α = e2_{/4π ¯hc ' 1/137. Os valores encontrados foram (g − 2)/2|exp = 11 659 204(5) × 10}−10e os preditos pela teoria (g − 2)/2|teo = 11 659 215(3) × 10−10 [2]. Cálculos ainda mais precisos são complicados, pois envolvem muitos diagramas e já envolvem contribuições hadrônicas, es-copo da cromodinâmica quântica, mas desvios em mais altas ordens podem ser indicativos de nova f´ısica.

Mas os métodos da teoria quântica de campos são muito mais gerais, e já encontram aplicações em áreas além da f´ısica de part´ıculas, tais como a matéria condensada e a f´ısica es-tat´ıstica, pois são apropriados para manipular muitos graus de liberdade, infinitos, na verdade, e tratar fenômenos coletivos.

2.1 Teoria cl´assica de campos

A teoria clássica de campos já dá um tratamento para a dinâmica de sistemas com infinitos graus de liberdade (cont´ınuos), como uma extensão natural da dinâmica de pontos materiais. Então faremos uma revisão dos princ´ıpios variacionais da mecânica e os estenderemos aos campos, essa ainda é a base para a teoria quântica de campos, onde esses objetos são tratados como operadores (ou seja, são “quantizados”).

Um sistema clássico com N graus de liberdade é descrito por um conjunto de coordenadas qi, com i = 1, ..., N, chamadas coletivamento de q. A lagrangeana é uma funçao dos qi e ˙qi,

suas derivadas no tempo, e nos casos n˜ao-relativ´ısticos ´e dada por L = ∑i(mi/2) ˙qi2− V (q). O

funcional ação é:

S=

Z T_f

Ti

dt L(q, ˙q) (2.2)

O princ´ıpio da ação afirma que, fixando os valores extremos das coordenadas no tempos inicial, Ti, e final, Tf, ou seja, q(Ti) = qi, q(Tf) = qf, a trajetória clássica q(t) que satisfaz essas

(18)

condições é também a que extremiza a ação, isto é: δ S = δ Z T_f Ti dt L(q, ˙q) = 0 (2.3) A variação da lagrangeana, δ L =

_∑

i ∂ L ∂ qi δ qi+ ∂ L ∂ ˙qi δ ˙qi, (2.4)

onde as variáveis δ q e δ ˙q são todas independentes, por isso escrevemos a variação da ação como δ S = Z T_f Ti dt

_∑

i ∂ L ∂ qi δ qi+ ∂ L ∂ ˙qi δ ˙qi = 0 . (2.5)

Já que a derivada temporal e a variação δ comutam, δ ˙q_i= _dtdδ qi. Integramos o segundo termo

por partes, gerando um termo de superf´ıcie que não contribui no cálculo, pois a variação de q é nula nas extremidades, já que estão fixas.

Z T_f Ti dt

_∑

i ∂ L ∂ qi − d dt ∂ L ∂ ˙qi δ qi+

∑

i ∂ L ∂ ˙qi δ q Tf Ti = 0 (2.6)

Cada variação δ qié independente, assim para que a integral seja nula, cada termo que

acom-panha uma dessas variações deve ser nulo, de onde se obtém as equações de Euler-Lagrange:

∂ L ∂ qi − d dt ∂ L ∂ ˙qi = 0 . (2.7)

O formalismo Hamiltoniano é obtido do lagrangeano através de uma transformação de Le-gendre, ela é poss´ıvel pois esta é uma função de concavidade bem definida nas coordenadsas

˙

qi para os modelos mais simples [3, cap. 3] [4, cap. 5], fazemos a identificac¸˜ao pi= _{∂ ˙}∂ L_q_i, e o

Hamiltoniano ´e expresso como:

H(p, q) =

_∑

i

p_iq˙_i− L (2.8) Com ˙q_iescritos em func¸˜ao dos pie possivelmente qi.

Todo o argumento acima pode ser repetido para campos φi(~x,t) ou simplesmente φi(x),

(19)

de interesse para esse trabalho, são definidos como φ0(x0) = φ (x), isto é, são invariantes sob mudanças de referencial (transformações de Lorentz). Os campos assumem a posição das coor-denadas discretas qi e, para uma lagrangeana local, suas variáveis são φ e ∂µφ , a dependência

apenas na primeira derivada garante uma dinˆamica interessante numa teoria local. Escrevemos a lagrangeana na forma

L=

Z

d3xL (φ,∂_µφ ) , (2.9) L é chamada de densidade lagrangeana, mas que será chamada apenas de lagrangeana, por não oferecer confusão devido ao contexto. A ação se torna

S=

Z

dt L=

Z

d4xL (2.10)

E os limites de integração são estendidos para todo o espaço-tempo, tal que os campos de interesse são aqueles que caem suficientemente rápido no infinito, de forma que todos os termos de superf´ıcie podem ser desconsiderados. Toda a manipulação feita para coordenadas discretas pode ser repetida para os campos, pois a dinâmica também é definida pelo princ´ıpio de que a ação deve ser estacionária. Novamente:

δ S = Z d4x

_∑

i ∂L ∂ φi δ φi+ ∂L ∂ (∂µφi) δ (∂µφi) = Z d4x

_∑

i ∂L ∂ φi − ∂µ ∂L ∂ (∂µφi) δ φi= 0 , (2.11)

de onde obtemos novamente as equac¸˜oes de Euler-Lagrange:

∂L ∂ φi − ∂µ ∂L ∂ (∂µ φi) = 0 . (2.12)

Tamb´em podemos descrever os campos no formalismo Hamiltoniano, obtido da mesma forma, definindo os momentos canonicamente conjugados

Πi(x) =

∂L ∂ (∂0φi(x))

(20)

e a densidade Hamiltoniana

H =

_∑

i

Πi(x)∂0φi(x) −L , (2.14)

com o Hamiltoniano total naturalmente dado por H =R

d3xH .

No formalismo Lagrangeano, a invariância de Lorentz fica sempre expl´ıcita, uma vez que as coordenadas são de forma covariante, o que ajuda muito a construir uma ação que seja escalar de Lorentz, pois são limitadas as maneiras de constru´ı-los, com escalares e contrações de vetores a_µbµ_{, por exemplo. Já no formalismo Hamiltoniano, o tempo tem um papel diferente, pois}

aparece na definic¸˜ao dos momentos conjugados.

2.2 Campos escalares

Como visto, são limitadas as possibilidades de se construir uma ação invariante de Lorentz, e uma ação com dinâmica o m´ınimo interessante precisa conter ∂µφ , que deve ser contra´ıdo, e

não há outro vetor no problema até então que não o próprio ∂µφ . Assim constru´ımos uma aç ão

adequada: S=1 2 Z d4x(∂µφ ∂µφ − m 2 φ2) (2.15)

O fator de 1/2 é conveniente para a normalização e pode ser obtido de uma redefinição dos campos. A equação de Euler-Lagrange para esse campo é

∂2 ∂ t2− ∇ 2_{+ m}2 φ = 0 ou (∂µ∂µ+ m 2_{)φ = 0} (2.16)

Essa é a equação de Klein-Gordon, a equação relativ´ıstica para uma part´ıcula escalar livre. Ondas planas e±ipxsão soluções dela com a relação de dispersão p2= m2, isto é:

(p0)2− (p)2= m2 (2.17) A conhecida relação de dispersão da relatividade especial permite identificar o parâmetro mcomo a massa da part´ıcula. Já que o campo deve ser real, impomos φ (x) = φ∗(x) e a solução

(21)

geral para a equac¸˜ao de Klein-Gordon deve ser: φ (x) = Z _d3_p (2π)3√_2E P (aPe−ipx+ a∗Peipx) p0_=E P (2.18) Onde EP= +p(p2+ m2). O fator √

2EP é conveniente para a normalização. E as soluções

tem frequências tanto positivas (e−ipx) quanto negativas (eipx), que na verdade não são energias negativas, como se poderia pensar em analogia com a interpretação da equação de Schrödinger. Somente após a quantização da teoria é poss´ıvel interpretar as frequências negativas [1, cap. 2].

´

E f´acil obter o Hamiltoniano seguindo a receita da teoria de campos:

Πφ = ∂L ∂ (∂0φ ) = ∂0φ (2.19) H = Πφ∂0φ −L = 1 2 h Π2_φ+ (∇φ )2+ m2φ2 i (2.20)

2.3 Integral de trajet´oria e integral funcional

Existem duas formulações equivalentes da teoria quântica de campos, a primeira é a de quantizar os campos, transformando-os em operadores, por isso o nome segunda quantização. A segunda, mais apropriada para a nossa abordagem, é a das integrais de trajetória, em que não há quantização, pois a lagrangeana não equivale a um operador, não é uma quantidade que pode ser observada.

Os métodos funcionais (ou integral de trajetória) se valem do formalismo lagrangeano, onde as simetrias ficam expl´ıcitas, o que é uma vantagem. Além de permitir um tratamento não-perturbativo para teorias interagentes e por sua conexão direta com a mecânica estat´ıstica e a teoria de fenômenos cr´ıticos, de grande interesse para este trabalho.

Operadores serão representados por quantidades com um chapéu, como ˆqe ˆp. Na represen-tação de Schrödinger, os operadores são fixos e os estados evoluem segundo

|ΨS(t)i = e−i ˆHt|ΨS(0)i (2.21)

(22)

permane-cem fixos.

|ΨHi = ei ˆHt|ΨS(t)i (2.22)

e os operadores s˜ao

ˆ

A_H(t) = ei ˆHtAˆ_Se−i ˆHt . (2.23)

Qualquer uma das duas interpretac¸˜ao pode ser usada para calcular a amplitude de um estado |qi, Tii evoluir para |qf, Tfi:

A = hqf, Tf|qi, Tii (2.24)

Observe que a um tempo fixo t, os estados |q,ti formam um conjunto completo,

1 =

Z

dq|q,tihq,t| , (2.25) que pode ser inserido entre os dois estados acima v´arias vezes, com tempos t1,t2, ...,tN−1,

orde-nados em ordem crescente Ti= t0< t1< ... < tN−1< tN= Tf, e uniformemente espac¸ados de ε

entre cada intervalo de tempo.

∏

m=0 hqm+1,tm+1|qm,tmi (2.26)

Onde na ´ultima linha foi usado que qi= q0e qf = qN.

(23)

hqm+1,tm+1|qm,tmi = hqm+1|e−i ˆHtm+1ei ˆHtm|qmi = hqm+1|e−i ˆHε|qmi = Z _{d p} m 2π hqm+1|pmihpm|e −i ˆHε_|q mi (2.27)

Escrevemos as ondas planas normalizadas, tais que hq|pi = eiqp. No Hamiltoniano é preciso tomar cuidado, para poder substituir ˆp e ˆq por seus respectivos autovalores p e q, é preciso que ˆp esteja sempre à esquerda de ˆq, mas sempre é poss´ıvel fazer isso sabendo a relação de comutação [ ˆqi, ˆpj] = iδi j. Esse procedimento é chamado de ordenamento de Weyl, assumimos

que o Hamiltoniano est´a assim ordenado e expandimos a exponencial no parˆametro ε.

hqm+1,tm+1|qm,tmi = Z _{d p} m 2π e iqm+1pm_hp m|1 − i ˆH( ˆp, ˆq)ε + O(ε2)|qmi = Z _{d p} m 2π e iqm+1pm_{[1 − iH(p} m, qm)ε + O(ε2)]hpm|qmi = Z _{d p} m 2π e

i(q_m+1−qm)pm_[e−iH(pm,qm)ε_{+ O(ε}2_)]

= Z _{d p} m 2π exp −iε H(pm, qm) − pm q_m+1− qm ε + O(ε2) (2.28)

Que pode ser inserido novamente em (2.26) resultando:

hq_f, T_f|qi, Tii = Z _{d p} 0 2π dq1 d p1 2π ... dqN−1 d pN−1 2π × × exp ( −iε N−1

∑

m=0 H(pm, qm) − pm qm+1− qm ε ) + O(ε2) (2.29)

Isso é o mesmo que integrar sobre todos os caminhos poss´ıveis para um conjunto de funções q(t) cujas extremidades, q(t0) e q(t1) são conhecidas. Na figura 2.1, um desses caminhos

poss´ıveis ´e mostrado.

No limite em que ε tende a zero, o número de variáveis de integração se torna infinito, e essa quantidade se torna uma integral funcional, ou seja, uma integral sobre todas as funções q(t), p(t) poss´ıveis sujeitas às condições de contorno q(Ti) = qi, q(Tf) = qf. Nesse caso, o limite

(24)

Figura 2.1: Uma trajet´oria poss´ıvel para o campo

N (ε):

[dqd p] = lim

ε →0N (ε)dp0

(dq1d p1)...(dqN−1d pN−1) (2.30)

Nesse limite, restaurando um fator de ¯h que será necessário para discussão futura, temos

hq_f, T_f|qi, Tii = Z q(T_f)=q_f q(Ti)=qi [dqd p] exp i ¯h Z T_f Ti dt[p ˙q− H(p, q)] . (2.31)

Para Hamiltonianas tradicionais da forma H = p2/2m + V (q), as integrais em p são gaus-sianas e podem ser resolvidas explicitamente, aparecem algumas constantes que são inclu´ıdas na medida de integração, a maioria das quantidades de interesse é dada pela razão de duas in-tegrais dessa forma, simplificando todas as constantes, mas elas serão importantes em algumas situações, mudanças de variáveis por exemplo. Desse modo resta apenas a integral em [dq],

hq_f, T_f|qi, Tii =

Z q(T_f)=q_f

q(Ti)=qi

[dq] exp {iS ¯h} , (2.32) onde S é a ação clássica definida no in´ıcio da seção.

A amplitude de transição é escrita como uma integral sobre todos os caminhos poss´ıveis sujeitos às condições de contorno, onde cada caminho recebe como peso uma exponencial de i vezes a ação sobre esse caminho. Isso permite obter uma interpretação alternativa da mecânica clássica. O limite clássico é equivalente a tomar ¯h → 0, logo configurações longe dos extremos de S são tais que o peso oscila fortemente e essas somas acabam por se cancelar, sobrevivendo apenas termos muito próximos dos extremos de S, onde

δ

(25)

Ou, a equação que define a trajetória na mecânica clássica. Essa interpretação, devida a Feynman [1, cap. 9] [5, cap. 2], é a de que uma part´ıcula explora todos os caminhos acess´ıveis a ela simultaneamente e a amplitude é dada pela soma das amplitudes de todos esses caminhos individuais.

Os resultados acima ser˜ao ´uteis para calcular o valor de

Z q_f

qi

[dq] q(t)eiS. (2.34)

Reescrevemos separando o intervalo de integração em dois, onde um caminho genérico passa por ¯q,t, escrevemos

Z q_f qi [dq] = Z ∞ −∞ dq¯ Z q¯ qi [dq] Z q_f ¯ q [dq] (2.35)

A ação também pode ser dividida emRt

Tidt L+

RTf

t dt L, de forma que (2.34) se escreve

Z ∞ −∞ dq¯ Z q¯ qi [dq] exp i Z t Ti dt L ¯ q Z q_f ¯ q [dq] exp i Z T_f t dt L (2.36)

Mas o primeiro termo ´e h ¯q,t|qi, Tii e o segundo hqf, Tf| ¯q,ti e:

Essa relação é muito útil, pois podemos obter um elemento do operador de Heisenberg ˆ

q(t) calculando uma integral da função q(t) apenas. O argumento acima pode ser iterado para demonstrar a relação

Z q_f

qi

[dq] q(t1)q(t2)...q(tn) eiS= hqf, Tf|T { ˆq(t1)... ˆq(tn)}|qi, Tii (2.38)

Onde o T {. . .} significa ordenar os operadores em ordem de tempos decrescentes. Assim j´a sabemos como calcular o valor esperado do produto ordenado de operadores.

(26)

2.4 Extens˜ao a campos escalares

De posse das expressões acima, podemos aplicá-las a campos escalares, que seriam con-juntos de infinitas funções qi(t), ou simplesmente um função φ (x,t), com o “´ındice cont´ınuo”

x.

A expressão análoga é

hφb(x)|e−iHT|φa(x)i =

Z Dφ exp i Z T 0 d4xL (2.39)

Sujeito às condições de contorno φ (x0= 0, x) = φa(x) e φ (x0= T, x) = φb(x)

Para calcular Z Dφ (x) φ (x1)φ (x2) exp i Z T −T d4xL (φ) (2.40) Sujeito às condições de contorno φ (−T, x) = φa(x), φ (T, x) = φb(x).

Primeiro reescrevemos Z Dφ (x) = Z Dφ1(x) Z Dφ2(x) Z |{z} φ (x0₁,x)=φ1(x) φ (x)₂,x)=φ2(x) Dφ (x) (2.41)

Isso significa que a integral em Dφ também está restrita nos tempos x0₁ e x0₂, além dos ex-tremos T e −T . Mas para as integrais continuarem iguais, fazemos separadamente as integrais em φ1(x) e φ2(x).

Usamos a expressão (2.39) e observamos que podemos escrever a integral em Dφ como um produto de três integrais independentes, separando a região de integração nos tempos [−T, x0₁] , [x₁0, x0₂] e [x0₂, T ] e chegamos a Z Dφ1(x) Z Dφ2(x)φ1(x1)φ2(x2)hφb|e−iH(T −x 0 2)|φ 2ihφ2|e−iH(x 0 2−x01)|φ 1ihφ1|e−iH(x 0 1+T )|φ ai (2.42)

Também podemos introduzir o operador de campo de Schrödinger através de ˆφS(x1)|φ1i =

φ1(x1)|φ1i e usar a relac¸˜ao de completeza

R

(27)

hφb|e−iH(T −x 0 2)_φˆ S(x2)e−iH(x 0 2−x−10)_φˆ S(x1)e−iH(x 0 1+T )|φ ai (2.43)

hφb|e−iHTT{ ˆφ (x1) ˆφ (x2)}e−iHT|φai (2.44)

Tomamos o limite T → ∞(1 − iε) e

e−iHT|φai =

∑

n

e−iEnT_|nihn|φ

ai → hΩ|φaie−iE0·∞(1−iε)|Ωi (2.45)

Esse limite seleciona apenas o estado fundamental, que é o que decai mais devagar depois da introdução do tempo ligeiramente imaginário. É poss´ıvel cancelar essas fases aplicando o cálculo até aqui em (2.39) e

Z

Dφ exp i

Z

d4xL = hφ_b|e−iHTe−iHT|φai → hφb|ΩihΩ|φaie−2iE0T (2.46)

e chegamos a hΩ|T { ˆφ (x1) ˆφ (x2)}|Ωi = R Dφ φ (x1)φ (x2)ei R d4xL R Dφ eiRd4xL (2.47) Essa express˜ao pode ser usada tanto para derivar as regras de Feynman, quanto n˜ao pertur-bativamente, como veremos.

2.5 Formulac¸˜ao euclidiana

A formulação Euclidiana, que será usada neste trabalho daqui em diante, pois eviden-cia a relação com a estat´ıstica e a teoria dos fenômenos cr´ıticos, permite tratar efeitos não-perturbativos e facilita a implantação da teoria de campos no computador.

Mas não é fácil verificar se a integral (2.47) converge, o fator oscilante eiS não é o bas-tante para garantir isso, pois configurações de campo com valores muito altos da ação podem atrapalhar a convergência. O modo conveniente de garantir a que a integral seja convergente é chamado de rotação de Wick, que substitui o tempo por um tempo imaginário, ou euclidiano.

(28)

Esse ´e o tempo Euclidiano, e assim dx0= −idtE, d4x= −i(d4x)E.

A ação também é modificada para

S= iSE (2.49) Onde SE = Z (d4x)E 1 2(∂tEφ ) 2₊1 2(∂iφ ) 2₊1 2m 2 φ2+V (φ ) = Z d4x 1 2∂µφ ∂µφ + 1 2m 2 φ2+V (φ ) (2.50)

Onde já foram suprimidos os ´ındices E, de Euclidiano, na última equação, daqui para frente, todas as expressões serão escritas assim, formulação Euclidiana impl´ıcita. Também se pode ver que a métrica passa a ser euclidiana, η_{µ ν}E = (+ + + +).

∂µφ ∂µφ = (∂tEφ )

2_{+ (∂}

iφ )2 (2.51)

A ação euclidiana é positiva definida, já que a qualquer potencial pode ser somado uma constante de forma que V (φ ) ≥ 0 (isso assume que V (φ ) tenha um m´ınimo, o que é fisicamente razoável ou o modelo seria instável) e o fator

eiS→ e−SE _(2.52)

garante a convergência, já que caminhos com valores da ação muito grandes são suprimidos. ´

E poss´ıvel calcular as quantidades de interesse (funções de correlação) no espaço Euclidiano e obter suas contrapartidas de Minkowski por continuação anal´ıtica. Por isso a quantidade básica a ser calculada é:

Z

Dφ φ(x1)...φ (xn) e−S (2.53)

2.6 Fenˆomenos cr´ıticos

A abordagem da integral de caminho também deixa expl´ıcita a conexão entre a teoria quântica de campos e os fenômenos cr´ıticos, como percebeu K. Wilson [6, 7], pois a integral

(29)

(2.47), no espac¸o euclidiano, se torna: h0|T { ˆφ (x1)... ˆφ (xn)}|0i = R Dφ φ(x1)...φ (xn) e−S R Dφ e−S (2.54)

Que é idêntico a uma média estat´ıstica em quatro dimensões espaciais com peso de Boltz-mann e−S. Então, funções de correlação da teoria quântica de campos, em três dimensões espaciais e uma temporal podem ser calculadas fazendo a continuação anal´ıtica de funções de correlação estat´ısticas em sistemas de quatro dimensões espaciais. Ou, em geral, um sistema estat´ıstico em d + 1 dimensões corresponde a uma teoria de campos em d dimensões espaciais.

Uma medida conveniente para calcular essas integrais de caminho é defin´ı-las numa caixa e discretizar o espaço, assim o número de configurações de campo poss´ıveis se torna finito e a integral funcional se torna uma integral múltipla comum, mas num número extremamente grande de dimensões. Para que a teoria de campos correspondente a esse modelo estat´ıstico faça sentido, é preciso tomar o limite do cont´ınuo, já que o parâmetro de rede a, usado para discretizar o sistema, não tem um significado f´ısico.

´

E poss´ıvel ver uma relação direta com a mecânica estat´ıstica ao calcular a função de corre-lação abaixo, sabendo que o propagador Euclidiano é 1/(p2+ m2) [1, cap. 9].

hφ (x)φ (0)i =

Z _d4_p

(2π)4

eipx

p2_{+ m}2 (2.55)

A integral pode ser calculada exatamente, mas é suficiente analisar o limite m|x| 1, o resultado é proporcional a (1/|x|2)e−m|x|. Considere um ponto a n espaçamentos da origem, a menos de uma constante, temos:

hφnφ0i ∼ e−amn (2.56)

O comprimento de correlação (ξ ) é uma quantidade muito útil em mecânica estat´ıstica e é definida através de hφnφ0i ∼ e−n/ξ, de onde imediatamente podemos fazer a conexão com a

express˜ao anterior.

ξ = 1

am (2.57)

Para tomar o limite do cont´ınuo e manter a massa finita, é preciso que o comprimento de correlação vá para infinito. Então, o limite do cont´ınuo corresponde num sistema estat´ıstico a

(30)

ajustar os parâmetros de forma que o comprimento de correlação seja infinito. Esse comporta-mento é conhecido na mecânica estat´ıstica e é chamado de ponto cr´ıtico.

(31)

3 O grupo de renormalizac¸˜ao

Para tratar o comportamento cr´ıtico no equil´ıbrio, foi desenvolvido um conjunto de técnicas chamadas coletivamente de grupo de renormalização. O nome vem de sua primeira aplicação, para obter significado dos infinitos da eletrodinâmica quântica, mas depois foi percebido que o mesmo formalismo poderia ser aplicado a muitos outros problemas, especialmente aqueles com transições de fase de segunda ordem, próximos do ponto cr´ıtico.

O comportamento cr´ıtico é um problema complexo pois envolve flutuações em todas as escalas do sistema, desde o microscópico até o vis´ıvel, isso inviabiliza todas as abordagens já usadas em outros problemas f´ısicos, que supõem, com sucesso, que se pode tratar escalas diferentes independentemente. Assim, por exemplo, a estrutura microscópica dos fluidos não importa ao escrevermos as equações de Navier-Stokes.

O grupo de renormalização foi a técnica desenvolvida para tais problemas. Quando os aspectos f´ısicos de interesse estão em um dos extremos de uma escala, comprimentos muito grandes, por exemplo, buscamos fazer uma transformação nos parâmetros que descrevem o sistema de forma a incluir as flutuações desde o outro extremo, os comprimentos pequenos, até a escala de interesse, e com sorte simplificar a descrição do problema sem alterar as caracter´ısticas a serem estudadas.

Esse é um processo feito a passos lentos, incluindo flutuações cada vez maiores na nova descrição, e tem como resultado equações de fluxos, chamados de fluxos do grupo de renor-malização, no espaço de parâmetros do problema, e mostram como é poss´ıvel transformá-los, sem mudar as propriedades próximas do ponto cr´ıtico. Já é poss´ıvel ter uma ideia que essa transformação não é um grupo, no sentido matemático, uma vez que ela não é invers´ıvel, pois a cada passo algum tipo de média é feita para chegar a novos parâmetros.

Um problema importante e útil para ilustrar o uso do grupo de renormalização é o de spins numa rede, ele é dif´ıcil de ser tratado por métodos perturbativos pois não há parâmetros peque-nos em torno do qual expandir, e permite ilustrar a discussão feita sobre a técnica do grupo de renormalização.

(32)

3.1 F´ısica estat´ıstica e transic¸˜oes de fase

Existem muitos sistemas que apresentam transições de fase de segunda ordem, aquelas em que o sistema se aproxima continuamente de um estado cujo comprimento de correlação é infinito. Continuamente significa que as derivadas primeiras da energia são cont´ınuas. Isso é chamado de transição de fase pois geralmente ocorre uma mudança na simetria do sistema junto com mudanças nas derivadas segundas da energia (calor espec´ıfico, compressibilidade).

O fenômeno da opalescência cr´ıtica é, por exemplo, um sinal de uma transição de fase, ele ocorre por causa de flutuações na escala do comprimento de onda da luz vis´ıvel, os micrometros, por isso a luz é fortemente espalhada em todas as direções [8, cap. 9]. O apêndice C tem um série de fotos mostrando essa transição de fase. Outro exemplo é a divergência da suscetibilidade nos ferromagnetos.

Outra marca dessas transições de fase é a presença de fortes flutuações. Geralmente, fenômenos em diferentes ordens de grandeza são independentes, por exemplo, ondas e cor-rentes mar´ıtimas independem do natureza atômica da matéria. Mas próximo de pontos cr´ıticos, que marcam transições de fase, ocorrem flutuações em todas as escalas ao mesmo tempo, no caso da água no ponto cr´ıtico, temos bolhas de todos os tamanhos, de algumas moléculas até o tamanho do recipiente, mas isso complica muito a análise do problema.

A grandeza que mede a escala das flutuações num sistema é o comprimento de correlação, nos ferromagnetos, por exemplo, ele é definido por:

hs(x)s(0)i ∼

|x|→∞exp(−x/ξ ) (3.1)

e diverge pr´oximo do ponto cr´ıtico segundo uma lei de potˆencia

ξ =    f+(T − Tc)−ν T > Tc f−(T − Tc)−ν 0 T < Tc (3.2)

Esse comportamento de lei de potência é caracter´ıstico do ponto cr´ıtico. Muitas outras gran-dezas tem comportamentos parecidos e foi percebido que os expoentes se repetem para diferen-tes modelos, ferromagnetos e l´ıquidos próximos do ponto de opalescência cr´ıtica, por exemplo, apresentam os mesmos expoentes, chamados de expoentes cr´ıticos. Quando isso acontece, dize-mos que diferentes fenômenos estão na mesma classe de universalidade, que é determinada por apenas algumas caracter´ısticas: dimensionalidade do sistema, dimensionalidade do parâmetro

(33)

de ordem1e simetrias da Hamiltoniana.

A universalidade é muito importante na teoria do grupo de renormalização, pois, se essas caracter´ısticas são mantidas, podemos fazer transformações na Hamiltoniana que simplificam muito os cálculos e mesmo assim obter resultados exatos. Já os valores de f+ e f−, acima,

dependem de cada sistema, e podem precisar de ajustes com dados experimentais para serem determinados.

O principal modelo para estudar as transições de fase é o de Ising: spins localizados nos vértices de uma rede (no nosso caso, quadrada). Cada spin só pode apontar em duas direções, para cima ou para baixo. Sua solução anal´ıtica pode ser encontrada em alguns casos, também pode ser feita a análise pelo grupo de renormalização, expansões de alta temperatura e cálculos numéricos: diferentes métodos para encontrar e comparar seus expoentes cr´ıticos.

Definimos para esse modelo a temperatura cr´ıtica TC e a temperatura reduzida:

t=T− TC

T_C . (3.3)

Figura 3.1: Rede do modelo de Ising

Os expoentes cr´ıticos desse modelo já foram encontrados, alguns calculados exatamente, outros por simulação computacional ou expansão de alta temperatura, alguns deles, a h = 0 e t → 0 são:

(34)

C∼ |t|−αcapacidade térmica M∼ |t|β_{magnetização}

χ ∼ |t|−γsuscetibilidade (3.4)

E seus valores est˜ao na tabela abaixo [9]

d 2 3 4

α 0 0,110 0 β 1/8 0,3265 1/2 γ 7/4 1,2372 1

As primeiras tentativas de obter esses valores foram pelas teorias do campo médio, Lev Landau a sistematizou reduzindo a descrição ao que considerou mais básico nesses sistemas: o parâmetro de ordem, uma grandeza que diz se o sistema está ordenado ou não. Nos ferromag-netos, por exemplo, o parâmetro de ordem é a magnetização: é nulo se não há magnetização, e diferente de zero se há magnetização, indicando uma transição de fase (e a presença de ordem no sistema, isto é, magnetização).

O sucesso do campo médio está em apresentar transições de fase com expoentes cr´ıticos, já os valores dos expoentes não se mostraram tão bem sucedidos. Por exemplo, não foi levada em consideração a dimensionalidade de cada sistema, e os expoentes cr´ıticos obtidos do campo médio só correspondem com os valores reais quando d = 4.

A principal transição de fase tratada por Landau foi a transição ferromagnética, cujo exem-plo caracter´ıstico é obviamente o Ferro. Sem qualquer campo magnético, o ferro não tem qualquer magnetização a temperaturas acima de 1043 K, ao chegar a essa temperatura, ele subi-tamente adquire uma magnetização espontânea, que cresce suavemente conforme a temperatura é reduzida [10].

O modo mais simples de modelar um ferromagneto é usando o modelo de Ising. Se, no limite termodinâmico, existe um excesso de spins apontando em uma direção, a rede estará magnetizada, portanto a grandeza que caracteriza a transição de fase ordem/desordem será a magnetização. Outros modelos para os ferromagnetos são os modelos de Heisenberg e tridi-mensional (neles, os spins são vetores, respetivamente, bidimensionais e tridimensionais), cada um desses modelos tem um parâmetro de ordem (magnetização) de dimensionalidade diferente, e sua rede também pode ser uni, bi ou tridimensional, para cada uma dessas situações temos expoentes cr´ıticos diferentes.

(35)

O comportamento dos spins no modelo de Ising é dado pelo tipo de interação entre eles, ela pode ser do tipo ferromagnética, paramagnética, e ainda existem outros tipos de comportamento magnético. No nosso caso, só há interações entre primeiros vizinhos e ela é tal que a energia de dois spins vizinhos é menor quando eles estão paralelos. Uma Hamiltoniana com essas caracter´ısticas é:

H= −J

_∑

i j

si· sj (3.5)

Na ausência de qualquer perturbação, é fácil perceber que existem duas configurações de energia m´ınima: todos os spins apontam para cima, ou todos para baixo. Mas isso só aconteceria a temperatura nula, a qualquer temperatura finita existe agitação térmica no sistema, excitações que invertem os spins aleatoriamente e podem ser suficientes para desordenar todo o sistema.

Essa mudança de comportamento é marcada por variações abruptas em várias quantidades no material: calor espec´ıfico, compressibilidade e comprimento de correlação, por exemplo. Se um spin é mantido fixo apontando para cima, seus vizinhos terão uma probabilidade maior de apontar para cima, isto é, estarão correlacionados, assim como os vizinhos destes e assim em di-ante. A distância máxima em que essa influência pode ser percebida é chamada de comprimento de correlação.

A temperaturas altas, o comprimento de correlação é praticamente zero devido às flutuações térmicas, e é dif´ıcil encontrar ilhas de spins correlacionados na rede, conforme a temperatura abaixa, começam a se formar conjuntos de spins paralelos, mas a magnetização total perma-nece nula. O comprimento de correlação cresce rapidamente próximo ao ponto de Curie e, exatamente nele, é infinito. Um comprimento de correlação infinito significa que há flutuações em todas as escalas na amostra e todos os spins estão correlacionados entre si. Nessa situação, manter um spin fixo deixaria todo o sistema com alguma magnetização total. Abaixo do ponto de Curie, ocorre magnetização espontânea, isto é, mesmo sem perturbações externas, até que, a temperatura zero, o sistema todo se magnetiza numa única direção, completamente uniforme.

3.2 O grupo de renormalizac¸˜ao

Uma maneira de implementar as transformações do grupo de renormalização ao modelo de Ising é pelos blocos de spin, ideia de Leo Kadanoff, que consiste de três passos feitos itera-tivamente. Primeiro a rede é dividida em blocos com alguns spins cada, por exemplo, blocos quadrados com três spins de lado, totalizando nove s´ıtios (e definindo o parâmetro de escala

(36)

b= 3). Então calculamos uma média nos valores dos spins e o bloco é subsitu´ıdo por um único spin com esse valor calculado. Como ilustração, a média pode ser feita usando a regra da maioria: se a maior parte dos spins aponta para cima (baixo), o bloco é substitu´ıdo por um spin apontando para cima (baixo). Após essas etapas, é preciso reescalar o parâmetro de rede a seu tamanho original, no exemplo, dividindo-o por três. Essa primeira transformação elimi-nou do sistema todas as flutuações menores que um bloco (três por três dos s´ıtios originais) e incorporou seus efeitos no novo conjunto de spins.

As figuras 3.2 e 3.3 mostram uma transformação de blocos no modelo de Ising. As duas redes são do mesmo tamanho pois apenas uma parte dela é mostrada, e depois de corrigida a es-cala, ambas tem o mesmo parâmetro de rede (distância entre os s´ıtios). Na primeira figura, 3.2, o sistema começa à temperatura cr´ıtica, e a aplicação da transformação gera um padrão estatis-ticamente equivalente ao primeiro, também com grandes flutuações e sem uma magnetização total. Isto é, o sistema é invariante de escala exatamene no ponto cr´ıtico. Já na segunda figura, 3.3, o sistema começa ligeiramente acima do ponto cr´ıtico e os dois sistemas se parecem muito, mas após algumas iterações eles logo estarão bem diferentes, se aproximando do limite de altas temperaturas.

Figura 3.2: Uma transformação de blocos, feita a mudança de escala. Exatamente na tempera-tura cr´ıtica

A nova rede tem novas constantes de acoplamento entre os spins, até mesmo interações com vizinhos mais distantes podem aparecer. Mesmo assim, observa-se que as interações do-minantes são de curto alcance, até após muitas iterações. É poss´ıvel calcular os valores dessas novas constantes de acoplamento descobrindo a distribuição estat´ıstica de cada configuração do novo sistema de spins, a partir da distribuição original, uma tarefa de contagem simples, mas extremamente trabalhosa e computacionalmente intensa.

Encontrado o conjunto de constantes de acoplamento do novo sistema, uma nova rede é calculada, usando a nova Hamiltoniana para determinar uma configuração poss´ıvel dos spins.

(37)

Figura 3.3: Uma transformação de blocos, feita a mudança de escala. Acima da temperatura cr´ıtica

Sobre essa rede o mesmo procedimento é feito novamente, dividir em blocos, calcular médias, corrigir a escala e obter novos parâmetros de acoplamento. A cada iteração, um sistema di-ferente é criado, ainda relacionado com o primeiro, mas flutuações em escalas cada vez mai-ores vão sendo suprimidas sucessivamente e incorporadas à Hamiltoniana. Até que todas as flutuações até o comprimento de correlação tenham sido eliminadas.

Se as constantes da Hamiltoniana são chamadas coletivamente de um vetor {K}. Come-çamos por um vetor escolhido {K0} e cada aplicação do grupo de renormalização modifica

esse vetor, levando-o em {K1}, {K2}, etc. O efeito de sucessivas transformac¸˜oes do grupo

de renormalização é gerar trajetórias desse vetor no espaço vetorial das constantes. Essas tra-jetórias são chamadas de fluxos do grupo de renormalização e indicam as transições de fase do sistema. Se escolhemos um vetor {K} inicial e acompanhamos o caminho que ele percorre, po-demos chegar a situações limites: sistema magnetizado ou sistema desordenado, por exemplo, e diferentes vetores iniciais levam a diferentes configurações finais.

Matematicamente, o sistema original é descrito pela função de partição

Z= Trse−H(s), (3.6)

o fator β = 1/kT foi inclu´ıdo e o que vemos na equação é a Hamiltoniana reduzida. Existe mais de uma maneira de implementar a regra da maioria, mas é preciso garantir que a função de partição seja preservada:

Tr_s0e−H 0_(s0₎

= Tr_se−H(s). (3.7)

(38)

fiquem inalteradas, portanto toda a f´ısica de longas distâncias permanece a mesma, mas está expressa em termos das variáveis transformadas, e não das originais. Isso justifica a aplicação do grupo de renormalização, pois os fenômenos de interesse estão em uma escala, e não serão afetados pelas transformações.

Esses argumentos servem para compreender qualitativamente o grupo de renormalização, mas efetivamente calcular o lado esquerdo de (3.7) é muito dif´ıcil e em geral é preciso recorrer a aproximações. No entanto, o cálculo anal´ıtico é poss´ıvel no caso unidimensional, que faremos.

3.3 O modelo de Ising unidimensional

Considere o hamiltoniano H = −K ∑isisi+1. Agrupamos os spins de trˆes em trˆes (definindo

o fator de escala b = 3) e, ao invés de usar a regra da maioria, substitu´ımos o bloco pelo spin do meio, a justificativa para isso é que, a baixas temperaturas, geralmente os spins estarão quase todos na mesma direção, então a diferença entre essa escolha e a regra da maioria é pequena. A estratégia de ignorar alguns spins é chamada de dizimação e funciona muito bem para uma dimensão.

Por exemplo, ao somar os spins s3e s4, mantendo s0₁= s2 e s0₂= s5fixos, o termo que eles

contribuem na função de partição é:

eKs01s3_eKs3s4_eKs4s02 _(3.8)

Para fazer a soma em s3e s4, espandimos eKs3s4 em sua s´erie de Taylor:

eKs3s4 _{= 1 + Ks} 3s4+ K2 2!(s3s4) 2₊K3 3!(s3s4) 3_{+ · · ·} _(3.9)

Os spins s´o podem assumir os valores +1 e −1, logo s2n_j = 1 e s2n+1_j = sj, qualquer que

seja sj, logo: eKs3s4 _{= (1 +}K 2 2! + · · · ) + (s3s4)(K + K3 3! + · · · ) = cosh K + s3s4sinh K = cosh K(1 + xs3s4) (3.10)

(39)

Onde usamos x = tanh K. Podemos fazer isso para todos os temos em (3.8) e obtemos:

(cosh K)3(1 + xs0₁s₃)(1 + xs3s4)(1 + xs4s02) (3.11)

Multiplicamos todos os termos e fazemos a soma em s3e s4:

∑

s3=±1,s4=±1 (cosh K)3(1 + xs0₁s₃)(1 + xs₃s₄)(1 + xs₄s0₂) =

_∑

s3=±1,s4=±1 (cosh K)31 + x(s0₁s₃+ s3s4s4s02) + x2(s0₁s₄+ s₁0s₃s₄s0₂+ s3s24s02) + x3(s01s24s02) = 4 cosh3K(1 + x3s0₁s0₂) (3.12)

Quando expandimos e somamos em s3 e s4, sobram apenas as potˆencias pares dessas

vari´aveis:

22(cosh K)3(1 + x3s0₁s0₂) (3.13)

E, fora a constante, essa quantidade pode ser reescrita como um peso de Boltzmann eK0s01s02.

K0= tanh−1[(tanh K)3] (3.14)

Com essa nova constante, a função de partição assume novamente a forma original Z = Tr_s0e−H

0_(s0₎

com os novos parˆametros

H0(s0) = Ng(K) − K0

_∑

i

s0_is0_i+1 (3.15)

Onde N ´e o n´umero total de s´ıtios originalmente e

g(K) = −1 3ln (cosh K)3 cosh K0 −2 3ln 2 (3.16)

O novo hamiltoniano tem duas diferenças em relação ao original: a constante de acopla-mento mudou para K0 e surgiu um termo independente dos s0_i, que não altera o cálculo de nenhum valor esperado, ele aparece como uma diferença na energia livre dos dois sistemas, e

(40)

representa a contribuição dos graus de liberdade de curta distância.

A equação (3.14) expressa um fluxo do grupo de renormalização, em termos da variável x, ela é escrita como x0= x3. Lembrando que há um fator de β = 1/kT embutido em K, vemos que altas temperaturas correspondem a x0→ 0+ _{e baixas temperaturas a x}0_{→ 1}−_.

Se x começa em qualquer valor diferente de zero, x0vai se aproximando de x = 0+(T → ∞) após sucessivas aplicações do grupo de renormalização, e o sistema pode ser bem descrito por um Hamiltoniano com temperatura efetiva alta, ou numa fase paramagnética. Já se ele começa em x = 1 ou x = 0, seu valor não muda, esse são os pontos fixos da transformação , o primeiro instável, pois qualquer pequena perturbação leva o sistema para longe dele, o segundo estável, pois pequenas perturbações o trazem de volta para o ponto fixo. A imagem 3.4 representa o diagrama de fases, muito simples, desse modelo.

Figura 3.4: Fluxo do grupo de renormalizac¸˜ao para o modelo de Ising unidimensional

Isso ilustra um fato conhecido sobre sistemas unidimensionais com interações de curto alcance: não há fase ordenada a temperatura finita. É uma caracter´ıstica de todos os sistemas que a ordem desaparece conforme se diminui o número de dimensões, até chegar à dimensão cr´ıtica inferior dl abaixo da qual não há mais transições de fase. Em geral, sistemas com simetrias

discretas, como o de Ising, tem d_l = 1 e em sistemas com simetrias cont´ınuas (modelos XY e sine-Gordon, por exemplo), dl= 2.

3.4 Modelo de Ising bidimensional

O modelo de Ising captura os apectos essenciais do comportamento cr´ıtico e das transições de fase. Já vimos que em uma dimensão não há transição de fase nem fase ordenada e existe um argumento simples (devido ao f´ısico alemão Rudolf Peierls) para mostrar a existência de uma transição de fase em duas dimensões:

`

A temperatura fixa, um sistema procura minimizar sua energia livre de Helmholtz F = U− T S. O que significa um compromisso entre minimizar a energia interna U e maximizar a entropia S. Vamos investigar a contribuição de cada um desses termos, começando em uma dimensão.

Partimos de uma rede linear ordenada de spins num estado fundamental (todos para cima, digamos) e nela criamos uma regi˜ao de tamanho ` onde os spins est˜ao no outro estado

(41)

funda-mental (todos para baixo naquela região), o custo energético de ter dois spins antiparalelos é 2J, portanto o custo energético de virar um segmento de spins é U = 4J, independentemente de seu tamanho. Para analisar a entropia, vemos que esse dom´ınio criado pode estar em O(`) posições diferentes na rede, tal que a entropia associada é S ∼ ln `. A variação da energia li-vre é cerca de 4J − kBTln `, portanto formar um dom´ınio grande de spins invertidos dentro da

rede é sempre favorável, no limite termodinâmico ` → ∞, a qualquer temperatura finita. Vários dom´ınios assim podem ser formados, pois eles são sempre prefer´ıveis, o que logo desordena todo o sistema.

Em duas dimensões, criamos um dom´ınio de per´ımetro `, cujo custo energético é O(J`), pois há spins de orientações opostas em toda a borda do dom´ınio. Para calcular a entropia, queremos saber de quantas formas se pode criar um caminho fechado com o per´ımetro correto. Começando por um ponto, a cada passo há no máximo três escolhas poss´ıveis de caminho a se-guir, pois ele nunca passa por si mesmo e precisa ser fechado. Então o número de configurações poss´ıveis é cerca de µ`, onde µ < 3, e a entropia associada kBT` ln µ. Assim a energia livre é

aproximadamente J` − kBT` ln µ e já podemos identificar uma transição de fase a uma

tempe-ratura da ordem de O(J/kB). Abaixo dessa temperatura a fase ordenada é estável, pois não é

favorável inverter alguns spins, mas acima dela é, logo vários dom´ınios menores se formam até que o sistema se quebra em vários dom´ınios pequenos.

Em duas dimensões os cálculos são bem mais complicados, a solução anal´ıtica foi encon-trada por Lars Onsager em 1944 para uma rede quadrada, sem campo externo e com interações de primeiros vizinhos [11, 8] [12, cap. 6]. Da solução vemos que o calor espec´ıfico diverge próximo do ponto cr´ıtico:

c−−−→

T→TC

ln |T − TC| (3.17)

Para apresentar essa divergência, a energia livre não pode ser anal´ıtica em todos os pontos, um resultado imposs´ıvel de ser obtido pelas teorias do campo médio (perturbativamente). Mais tarde, Yang e Lee [8] em uma teoria geral de transições de fase, mostraram que é recorrente a não analiticidade mesmo na mecânica estat´ıstica de equil´ıbrio.

A contabilidade da energia livre é bem diferente para sistemas com simetrias cont´ınuas e pode ser vista em [13]. O resultado também é diferente, as flutuações são muito mais severas nesses sistemas, de forma que a dimensão cr´ıtica inferior é d_l = 2, o que é confirmado pelo teorema de Mermin-Wagner [1, cap. 13] [13].

(42)

ocupam continuamente o espaço, como uma função vetorial s(r) e n indica a dimensão desses vetores, que é indenpendente da dimensionalidade d da rede, como nos modelos cont´ınuos análogos.

No caso n = 2, d = 2 (chamado de modelo XY), o teorema de Mermin-Wagner pro´ıbe que haja fase ordenada, mesmo assim podemos observar uma transição de fase no sistema, chamada de transição de fase de Kosterlitz-Thouless [13, 6], onde as duas fases são desordenadas, mas são caracterizadas pela presença ou não de vórtices. Esse modelo pode ser usado para descrever a transição de fase do hélio superfluido, por exemplo.

A Hamiltoniana ´e muito parecida com a do modelo de Ising

H= −1 2β

∑

_r,r0

J(r − r0)σ (r) · σ (r0) , (3.18)

e a parametrizac¸˜ao σ (r) = (cos θ (r), sin θ (r)) a reduz para

H= −1 2β

∑

_r,r0

J(r − r0) cos(θ (r) − θ (r0)) . (3.19)

A baixas temperaturas, espera-se que os valores de θ (r) sejam pequenos, expandimos em potˆencias de cos(θ (r) − θ (r0)) e tomamos o limite do cont´ınuo para obter

H= K Z [1 2a 2_{(∇θ )}2_{− u} 4a4(∇θ )4+ · · · ] d2r a2 (3.20)

O termo (∇θ )4e os de ordem maior são irrelevantes, reduzindo a Hamiltoniana ao modelo Gaussiano, a baixas temperaturas. A diferença entre esse modelo e a Hamiltoniana de uma part´ıcula livre é o caráter angular de θ , definida apenas modulo 2π. Por θ ser uma grandez periódica, não podemos fazer uma mudança de escala livremente e eliminar K, isso é importante pois K parametriza uma linha de pontos fixos do modelo. Além disso K ∼ β J.

Podemos verificar a presença da transição de fase calculando hei(θi−θj)_{i, para os detalhes do}

cálculo, veja [14]. Essa função de correlação está diretamente ligada à magnetização espontânea do sistema e mostra como existe transição de fase sem fase ordenada. A baixas temperaturas encontramos:

hei(θi−θj)_{i ∼ |R}

(43)

e, sob altas temperaturas,

hei(θi−θj)_{i ∼ e}−|Ri−Rj|/ξ _, _(3.22)

onde

ξ−1= ln(2/K) . (3.23)

Em ambos os casos a função de correlação decresce com a distância, de forma que as duas fases são desordenadas. Mas o decaimento não é tão rápido na fase de baixa temperatura, é apenas uma lei de potência, o que caracteriza a ordem de quase-longo alcance.

Em alta temperatura não podemos usar a mesma expansão devido ao caráter angular de θ , pois existem configurações, chamadas vórtices em que os ângulos variam pouco localmente, mas a maiores distâncias variam muito, como na figura 3.5.

Figura 3.5: Configuração de um vórtice

Usando a equac¸˜ao (3.20), mantendo apenas os termos relevantes, obtemos a Hamiltoniana do modelo Gaussiano:

H= K 2

Z

(∇θ )2d2r, (3.24) e podemos usá-la para analisar os vórtices, desde que levemos em consideração o caráter angular da variável θ . A equação de movimento para esse modelo é ∇2θ = 0 e uma soluç ão com um

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v´ortice na origem ´e da forma:

∇θ = ± ˆ φ

r (3.25)

Substitu´ımos essa solução em (3.24) e encontramos que a energia dessa configuração é:

E= K 2 Z L a 1 r 2 d2r∼ πK ln L/a , (3.26) onde L é o tamanho do sistema. No limite termodinâmico, L → ∞, a energia diverge, mesmo assim pode haver vórtices se eles estiverem em pares de vorticidade total nula, de modo que sua energia será

E= πK ln R/a , (3.27)

e R não é o tamanho do sistema, mas o tamanho caracter´ıstica dos vórtices. Podemos usar essa energia para encontrar a temperatura cr´ıtica em que os vórtices se tornam relevantes no modelo, fazendo a mesma análise que a do modelo de Ising.

Existem cerca de (R/a)2 locais na rede onde podemos posicionar um vórtice, logo sua entropia é 2 ln R/a. Lembrando que a quantidade K já inclui um fator 1/β , a energia livre do sistema é (πK − 2) ln R/a, e uma estimativa para a temperatura cr´ıtica é, restaurando J:

T = πJ/2kB (3.28)

Abaixo dessa temperatura não há vórtices livres, apenas pares vórtice-antivórtice. Mas acima da temperatura cr´ıtica o tamanho desse estado ligado diverge, permitindo o apareci-mento de vórtices livres. J. B. Kogut [6] mostra que os vórtices interagem com um poten-cial logar´ıtmico (como um gás de Coulomb em duas dimensões), o que mantém pares vórtice-antivórtice ligados a baixas temperaturas devido à interação de longo alcance. Sob altas tem-peraturas, os vórtices não podem ser tratados como excitações livres, pois a interação continua sendo de longo alcance, apesar de blindada dinamicamente, tal qual um plasma.

Como estamos interessados no regime de longas distâncias do modelo, precisamos ex-pressá-lo em termos de variáveis de longa-distância (ou baixa energia), para observar os efeitos coletivos da presença dos vórtices. Isso é feito usando o grupo de renormalização. Antes de aplicá-lo, incluimos um potencial qu´ımico para a criação de novos-vórtices, y, que generaliza o

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modelo XY e deixa os vórtices expl´ıcitos [6], essas observações permitem reescrever o modelo XY como o modelo de sine-Gordon quântico, que é adequado para a análise usando o grupo de renormalização.

3.5 Teoria geral do grupo de renormalizac¸˜ao

Nessa seção apresentaremos as consequências de haver um ponto fixo do grupo de renor-malização. Uma transformação geral é da forma {K0} =R {K}, onde {K} é um vetor (suas componentes são as constantes da Hamiltoniana) eR depende da transformação escolhida e do parâmetro de escala b.

Supondo que há um ponto fixo em {K0} = {K∗} e que a transformaçãoR é diferenciável nele, calculamos {K0}({K}) ao redor do ponto fixo usando uma expansão de Taylor:

K_a0− K_a∗∼

_∑

b

T_ab(K_b− K_b∗) , (3.29) com Tab= ∂ Ka0/∂ Kb|K=K∗ .

Tamb´em definimos os autovalores de T: λie seus autovetores pela esquerda: {φi}. Isto ´e:

∑

a

φ_aiTab= λiφbi (3.30)

Definindo as vari´aveis de escala ui= ∑aφai(Ka− Ka∗), vemos que elas se transformam

mul-tiplicativamente sob as transformações do grupo de renormalização:

u0_i=

_∑

a φ_ai(K_a0− K_a∗) =

_∑

a,b φ_aiTab(Kb− Kb∗) =

∑

b λiφ_bi(Kb− Kb∗) = λiui (3.31) ´

E conveniente redefinir os autovalores como λi= byi_{, onde os y}

i s˜ao chamados de

autova-lores do grupo de renormalização e estão relacionados com os expoentes cr´ıticos. Existem três casos para yi

• Se yi> 0, então ui é dita relevante, pois a atuação repetida da transformação do grupo de

renormalizac¸˜ao a leva para longe do ponto fixo.

• Se yi< 0, então ui é irrelevante, pois, começando próximo ao ponto fixo, uitende a zero

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• Já para yi= 0, ui é marginal. Pois não se pode dizer somente das equações lineares se ui

vai afastar ou voltar ao ponto fixo.

Um ponto fixo que tenha n autovalores relevantes envolverá n parâmetros externos que podem ser ajustados, como temperatura e campo magnético. Variar apenas esses parâmetros é suficiente para garantir que estamos numa região próxima do ponto cr´ıtico.

Os valores de b nas transformações de blocos de spin eram limitados aos inteiros, pois a nova rede deveria ter a mesma estrutura da original, mas em situações mais gerais, por exemplo, em uma teoria quântica de campos, podemos considerar b infinitesimal, b = 1 + δ l, com δ l 1. E os acoplamentos também se transformarão infinitesimalmente, formando fluxos cont´ınuos no espaço {K}.

K_a→ Ka+ dKa/dl δ l + O(δ l2) (3.32)

e as equações para o grupo de renormalização assumem a forma

dK_a/dl = −βa(K) . (3.33)

As funções βasão as “funções beta”, ou fluxos, do grupo de renormalização. Agora os pontos

fixos correspondem aos zeros das funções beta. A matriz T de (3.29) é dada por Tab = δab−

(∂ βa/∂ Kb)δ l e seus autovalores s˜ao (1 + δ l)yi ∼ 1 + yiδ l, podemos reconhecer os yicomo os

autovalores da matriz −∂ βa/∂ Kbavaliada num zero da func¸˜ao beta.

Substituindo na equac¸˜ao (3.33):

∑

a φ_ai δab− ∂ βa ∂ K_bδ l = (1 + yiδ l)φbi −

_∑

a φ_ai∂ βa ∂ Kb δ l = yiφbiδ l , (3.34)

que é uma equação de autovalores. Esse cálculo só vale na vizinhança do ponto fixo (de um zero da função beta), mas podemos refazê-lo para cada ponto fixo e obter pelo menos uma descrição topológica dos fluxos no espaço {K}.

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4 Os modelos sine-Gordon e

sine-Gordon duplo

O modelo sine-Gordon é de grande interesse na f´ısica, pois é uma extensão não-linear do equação de Klein-Gordon, mas é integrável (tem solução exata). Seu nome deriva inclusive de uma brincadeira com esses nomes. A equação de movimento

φtt− φxx+ m2φ = 0 (4.1) é um equivalente clássico da equação de Klein-Gordon, pois apresenta a relação de dispersão E2= k2+ m2, podemos ver isso com a solução φ (x,t) = φ0eikx−iEt. Sua extensão não-linear é

φtt− φxx+ m2sin φ = 0 . (4.2)

Apesar de sua não-linearidade, essa equação pode ser resolvida exatamente com as trans-formações de Bäcklund [15]. As soluções apresentam solitons, ondas de caráter topológico que mantém sua forma enquanto se propagam a velocidade constante, apesar da não-linearidade da relação de dispersão. Isso acontece como um cancelamento de efeitos não-lineares e disper-sivos. As transformações de Bäcklund permitem obter soluções arbitrariamente complicadas, pois geram n + 1 solitons a partir de soluções com n solitons, uma mir´ıade de soluções que podem ser investigadas. Podemos investigar, por exemplo, o que acontece quando dois soli-tonscolidem, e observar que eles podem ser refletidos ou transmitidos sem mudar sua forma, a depender de um número topológico caracter´ıstico de cada soliton. A versão quântica do mo-delo também é integrável, ou seja, podemos encontrar seu espectro de autovalores e autovetores exatamente.

Além de todo o interesse teórico numa teoria não-linear integrável com soluções tão varia-das, o modelo sine-Gordon é de grande interesse em várias aplicações: para estudar a dinâmica de tunelamento em Junções Josephson, transparência auto-induzida em ótica não-linear e ondas