Problemas com ABP Desbalanceamento progressivo

(1)

Renata de Matos Galante, Clesio S. Santos, Nina Edelweiss e Luciana P. Nedel Estruturas de Dados - Àrvores

Á

rvores

_rvores

Balanceadas

Á

rvores Bin

á

rias de Pesquisa

• Apresentam uma relação de ordem

• A ordem é definida pela chave

• Operações:

– inserir

– consultar

– excluir

500

300

800

150

400

600

900 Problemas com ABP

Problemas com ABP

Exemplo:

– Inserção: 10, 5, 15, 20, 25, 30, 35

– Inserção: 1, 13, 24, 27, 56

Problemas com ABP

• Desbalanceamento progressivo

• Exemplo:

– inserção: 1, 13, 24, 27, 56

1

13

24

27

56 Alternativa de solução:

• Árvores balanceadas

• AVL

(2)

Balanceamento de

Á

rvores

• Distribuição equilibrada dos nós

– otimizar as operações de consulta

– diminuir o número médio de comparações

• Distribuição

– uniforme

– não uniforme

• chaves mais solicitadas mais perto da raiz

Por Freq

ü

ência

• Por freqüência de acesso

– Pressupõe distribuição não uniforme de acessos

500

800

400

900

600

550 50%

12%

25%

4%

5%

4%

Balanceamento por distribuição

de acessos!

Uma árvore binária é

completamente balanceada

se a distância média dos nodos até a raiz for mínima

Á

rvores balanceadas por ALTURA

4%

Por

Freq

ü

ência X Por Altura

500

800

400

900

600

550 50%

12%

25%

4%

5%

4%

800

600

500

900

550 50%

50%

4%

5%

400

(3)

Balanceamento por ALTURA

220

120

80

100

300

150

260

400

110

130

200

250

270

350

140 Árvore não completamente balanceada

Á

rvores AVL

Adelson-Velskii e Landis (1962)

Uma

á

rvore AVL

rvore AVL é uma árvore binária

de pesquisa (ABP) construída de tal

modo que a altura de sua subárvore

direita difere da altura da subárvore

esquerda de no

m

á

ximo 1.

ximo 1

Á

Árvores AVL

rvores AVL

•

• árvores

FATOR(1)

são chamadas

Árvores AVL

¬ AVL

AVL

Adelson-Velskii e Landis (1962)

Á

rvores balanceadas por altura

HB(k)-Tree

→

Height-Balanced k -Tree

•

• árvore binária

•

• para qualquer nodo, as alturas de suas duas

subárvores não diferem de mais do que k

unidades

•

• cada uma das subárvores do nodo

apresenta a propriedade FATOR(k)

A

B

C

D

E

G

H

(4)

Á

rvores balanceadas por altura

HB(k)-Tree

→

Height-Balanced k -Tree

•

• árvore binária

•

• para qualquer nodo, as alturas de suas duas

subárvores não diferem de mais do que k

unidades

•

• cada uma das subárvores do nodo

apresenta a propriedade FATOR(k)

A

B

C

D

E

G

H

I

J

Ex:

verificar se a árvore ao lado é

FATOR(1)

FATOR(2)

FATOR(3)

→ Não

→ Sim

+3

0 -2

0 -1

0

0 Á

Á

rvores AVL

•

• árvores

FATOR(1)

são chamadas

Árvores AVL

Adelson-Velskii e Landis (1962)

Uma

á

rvore AVL

rvore AVL é uma árvore binária

de pesquisa (ABP) construída de tal

modo que a altura de sua subárvore

direita difere da altura da subárvore

esquerda de no

m

á

ximo 1.

ximo 1

Exerc

í

cio:

Verifique quais das ABP são AVL:

130

150

100

200

120

80

110

120

130

100

200

110

80

150 Exerc

Exerc

ício: Resposta

í

cio: Resposta

Verifique quais das ABP são AVL:

130

150

100

200

120

80

110

120

130

100

200

110

80

150 +1

-1

0

0 +1

-2

0 -1

(5)

Exerc

í

cio

Verifique quais das ABP são AVL:

42

88

15

63

27

6 ₉₄

20

57

71

42

88

15

63

27

6

94

42

88

15

63

27

20 ₅₇

₇₁

Exerc

ício: Resposta

í

cio: Resposta

Verifique quais das ABP são AVL:

42

88

15

63

27

6 ₉₄

20

57

71

42

88

15

63

27

6

94

42

88

15

63

27

20 ₅₇

₇₁

0

0 ₀

₀

0 AVL: completamente balanceada

0

0 +1

-1

0

0 +1

-2

0 -2

AVL

Não AVL

Opera

ções

ç

ões

• por exemplo: INSERÇÃO

• deve ser preservada a propriedade AVL

Reestruturar

a árvore

Opera

Operaç

ções

ões

• Como manter uma árvore AVL sempre balanceada

após uma inserção ou exclusão?

• Através de uma operação de ROTAÇÃO

• Característica da operação

• preservar a ordem das chaves

• basta uma execução da operação de rotação para

(6)

Balanceamento de

Á

rvore AVL com Rota

ç

ão

)

Rotação Dupla

• à direita

• à esquerda

)

Rotação Simples

• à direita

• à esquerda

Rota

ç

ão Simples

DIREITA

Toda vez que uma subárvore fica com um

fator:

• positivo e sua subárvore da esquerda

também tem um fator positivo

ROTA

Ç

ÃO SIMPLES

À

DIREITA

Rota

ç

ão Direita

120

110 ₁₅₀

100

80

130

200 Rota

Rota

ç

ão Direita

120

110 ₁₅₀

100

80

130

200 +1

0

0 +2

+1

0

(7)

Rota

ç

ão Direita

120

110

150

100

80

130

200 +1

0

0 +2

+1

0 Rotação

Direita

?

Rota

ç

ão Direita

120

110 Rotação

Direita

150

100

80

130

200

120

100

150

80

110

130

200 +1

+2

+1

0

0 Balanceamento de

Balanceamento de

Á

rvore AVL com Rota

ç

ão

p

u

T1

T2

T3

Nó p é a raiz de transformação

T1, T2, T3 e T4 são subárvores

(vazias ou não)

)

Rotação Simples

• à direita

Rota

ç

ão Direita

42

15 ₈₈

6

27 +1

0

0 Incluir 4

42

15

88

6

27 +2

0 +1

+1

0

4

0

(8)

Rota

ç

ão Direita

Rotação

Direita

42

15

88

6

27 +2

0 +1

+1

0

4

0

15

6

42

4 ₂₇

0

0 +1

0 ₀

88

0 Ajustado!

Rota

ç

ão Direita

p

u

T1

T2

T3

u

p

T2

T3

T1

Rotação

Direita

Rota

ç

ão Direita

p

u

T1

T2

T3

u

p

T2

T3

T1

Rotação

Direita

procedure rotacao_direita(var pt: pno);

var ptu: pno;

begin

ptu:= pt^.esq;

pt^.esq:= ptu^.dir;

ptu^.dir:= pt;

pt^.bal:= 0;

pt:= ptu;

end;

Rota

ç

ão Simples

ESQUERDA

Toda vez que uma subárvore fica com um

fator:

• negativo e sua subárvore da direita

também tem um fator negativo

ROTA

(9)

Rota

ç

ão Esquerda

120

100

130

150

200

80

110 -1

0

0 -2

-1

Rota

ç

ão Esquerda

120

100

130

150

200

80

110 Rotação

Esquerda

?

-1

0

0 -2

-1

Rota

ç

ão Esquerda

120

100 ₁₃₀

150

200

80

110 Rotação

Esquerda

120

100

150

80

110

130

200 Rota

Rota

ç

ão Esquerda

42

15 ₈₈

94

67 -1

0

0 ₀

Incluir 90

42

15 ₈₈

94

67 -2

-1

0

0 ₁

90

0

(10)

Rota

ç

ão Esquerda

88

42

94

90

67

0 +1

0

15

0

42

15

88

94

67 -2

-1

0

0 ₁

90

0 Rotação

Esquerda

Ajustado!

Rota

ç

ão Esquerda

z

p

T1

T2

T3

p

z

T2

T3

T1

Rotação

Esquerda

Rota

ç

ão Esquerda

z

p

T1

T2

T3

p

z

T2

T3

T1

Rotação

Esquerda

procedure rotacao_esquerda(var pt: pno);

var ptu: pno;

begin

ptu:= pt^.dir;

pt^.dir:= ptu^.esq;

ptu^.esq:= pt;

pt^.bal:= 0;

pt:= ptu;

end;

Rota

ç

ão Dupla

DIREITA

Toda vez que uma subárvore fica com um fator:

• positivo e sua subárvore da esquerda tem um fator

negativo

ROTA

(11)

120

110

150

80

100

130

200 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

+1

+2

-1

0

120

110

150

80

100

130

200 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

Rotação

Dupla

Direita

?

+1

+2

-1

0

0 DIREITA

ESQUERDA

120

110

150

80

100

130

200 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

120

110

150

100

80

130

200

120

100

150 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

p

u

T1

T2

T4

v

p

T3

T4

Rotação

Esquerda

v

T3

u

T1

T2

p

v

T3

T1

T4

u

T2

Rotação

Direita

(12)

Rota

ç

ão Dupla Direita

p

u

T1

T2

T4

v

p

T3

T4

Rotação

Dupla

Direita

v

T3

u

T1

T2

Rota

ç

ão Dupla Direita

procedure rotacao_esquerda_direita (var pt: pno);

var ptu, ptv: pno;

begin

ptu:= pt^.esq;

ptv:= ptu^.dir;

ptu^.dir:= ptv^.esq;

ptv^.esq:= ptu;

pt^.esq:= ptv^.dir;

ptv^.dir:= pt;

if ptv^.bal = -1

then pt^.bal:= 1

else pt^.bal:= 0;

if ptv^.bal = 1

then ptu^.bal:= -1;

else ptu^.bal:= 0;

pt:= ptv;

end;

Rota

ç

ão Dupla Direita

42

15 ₈₈

27

6 +1

0

0 Incluir 34

42

15

88

27

6 +2

0 -1

-1

0

34

0 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

42

15

88

27

6 +2

0 -1

-1

0

34

0 Rotação

Dupla

Direita

0 PASSO 1

Rotação Esquerda

42

27 ₈₈

34

15 +2

0 +1

+1

6

0

(13)

Rota

ç

ão Dupla Direita

Rotação

Dupla

Direita

PASSO 2

Rotação Direita

42

27

88

34

15 +2

0 +1

+1

0

6

0

27

15 ₄₂

34

0

0 +1

0

6

0

88

0 Rota

Rota

ç

ão Dupla

ESQUERDA

Toda vez que uma subárvore fica com um fator:

• negativo e sua subárvore da direita tem um fator

positivo

ROTA

Ç

ÃO DUPLA

À

ESQUERDA

120

100 ₁₃₀

200

150

80

110 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

-1

-2

+1

0

120

100 ₁₃₀

200

150

80

110 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

Rotação

Dupla

Esquerda

?

-1

-2

+1

0

(14)

DIREITA

120

100 ₁₃₀

200

150

80

110 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

ESQUERDA

120

100

130

150

200

80

110

120

100

150

80

110

130

200

120

100

130

200

150

80

110 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

Rotação

Dupla

Esquerda

120

100

150

80

110

130

200 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

p

z

T4

T2

T1

y

T3

ROTAÇÃO

DIREITA

p

y

T2

T1

z

T3

y

z

T3

T4

p

T1

T2

ROTAÇÃO

ESQUERDA

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

p

z

T4

T2

T1

y

z

T3

T4

Rotação

Dupla

Esquerda

y

T3

p

T1

T2

(15)

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

procedure rotacao_direita_esquerda (var pt: pno);

var ptu, ptv: pno;

begin

ptu:= pt^.dir;

ptv:= ptu^.esq;

ptu^.esq:= ptv^.dir;

ptv^.dir:= ptu;

pt^.dir:= ptv^.esq;

ptv^.esq:= pt;

if ptv^.bal = 1

then pt^.bal:= -1

else pt^.bal:= 0;

if ptv^.bal = -1

then ptu^.bal:= 1;

else ptu^.bal:= 0;

pt:= ptv;

end;

Exemplos de Rota

ç

ão

• Re-estruturar a árvore fazendo a rotação a partir do nó a

esquerda, imediato a raiz.

– Repetir o procedimento até que a árvore fique balanceada

• não precisa ser AVL

82

50

44

42

27

17

5 Exemplos de Rota

Exemplos de Rota

ç

ão (Esquerda e Direita)

• Considere a árvore abaixo, no qual 12 está entre 9 e 15.

– Fazendo a rotação direita em 9, onde ficará 12?

– Terminada a rotação a direita, tente agora a rotação a esquerda

em 15.

15

9

22

4

12 Exemplos de Rota

Exemplos de Rota

ç

ão (dentro da

á

rvore)

• Considere a árvore abaixo:

– Execute a rotação em 15. O que acontece com o nó 42 (que é pai de 15)?

– Execute agora a operação oposta em 42. O que acontece com 15 (que é pai

de 42)?

50

23

42

17

30

43

15

6

(16)

• Mostre que a árvore abaixo pode ser completamente balanceada usando rotações

a direita e a esquerda.

• Vamos ver quem consegue estruturar a árvore com o caminho mais curto da raiz

até as folhas (altura da árvore)?

– Dica: uma abordagem é fazer o balanceamento sobre a raiz e recursivamente nas suas

subárvores.

82

100

50

42

27

107

98

140

120

166

44

17

5

2

12 http://www.cs.queensu.ca/home/jstewart/applets/bst/bst-rotation.html

Exemplos de Rota

ç

ão

Inser

ç

ão

de

Á

rvores

AVL

220

120

80

100

300

150

260

400

110

130

200

250

270

350

500 Excluir 500

Inserir 140

Inser

ç

ão

de

Á

rvores

AVL

220

120

80

100

300

150

260

400

110

130

200

250

270

350

140

(17)

AVL

•

• árvores

FATOR(1)

são chamadas

Árvores AVL

Adelson-Velskii e Landis (1962)

Uma

á

rvore AVL é uma árvore binária

rvore AVL

de pesquisa (ABP) construída de tal

modo que a altura de sua subárvore

direita difere da altura da subárvore

esquerda de no

m

á

ximo 1.

ximo 1

[-1,1]

FATOR (1)

AVL

-

Rota

ç

ões

)

Rotação Dupla

• à direita

• raiz fator positivo

• subárvore fator negativo

• à esquerda

• raiz – fator negativo

• subárvore – fator positivo

)

Rotação Simples

• à direita

• raiz fator positivo

• subárvore fator positivo

• à esquerda

• raiz – fator negativo

• subárvore – fator negativo

Rota

ç

ão Direita

120

110 Rotação

Direita

150

100

80

130

200

120

100

150

80

110

130

200 +1

+2

+1

0

0 Rota

Rota

ç

ão Esquerda

120

100 ₁₃₀

150

200

80

110 Rotação

Esquerda

-1

0

0 -2

-1

120

100

150

80

110

130

200

0

(18)

120

110

150

80

100

130

200 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

Rotação

Dupla

Direita

?

+1

+2

-1

0

0 DIREITA

ESQUERDA

120

110 ₁₅₀

80

100

130

200 Rota

Rota

ç

ão Dupla Direita

120

110 ₁₅₀

100

80

130

200

120

100

150

80

110

130

200

120

100 ₁₃₀

200

150

80

110 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

Rotação

Dupla

Esquerda

?

-1

-2

+1

0

0 DIREITA

120

100

130

200

150

80

110 Rota

Rota

ç

ão Dupla Esquerda

ESQUERDA

120

100

130

150

200

80

110

120

100

150

80

110

130

200

(19)

Exerc

í

cios

• Inserir em AVL, refazendo a árvore quando tiver

rotação e anotando as rotações realizadas:

–50, 40, 30, 45, 47, 55, 56, 1, 2, 3

Inser

ç

ão

de nodo

s

em

á

rvores AVL

Alguns Problemas

• Percorre-se a árvore verificando se a chave já existe ou

não

– Em caso positivo, encerra a tentativa de inserção

– Caso contrário, a busca encontra o local correto de inserção do

novo nó

• Verifica-se se a inclusão tornará a árvore desbalanceada

– Em caso negativo, o processo termina

– Caso contrário, deve-se efetuar o balanceamento da árvore

• Descobre-se qual a operação de rotação a ser executada

• Executa-se a rotação

Inser

ç

ão

de nodo

s

em

á

rvores AVL

• Como saber se a árvore está balanceada?

– Verificando se existe um nó “desregulado”

• Como saber se um nó está desregulado?

– Determina-se as alturas de suas sub-árvores e subtrai-se uma da

outra

• Procedimento muito lento!

• Como ser mais eficiente?

– Para cada nó v de uma árvore, armazena-se uma variável

balanço, onde

balanço(v) = altura(v

↑

.esq)- altura(v

↑

.dir)

Inser

ç

ão

de

nodo

s

em

á

rvores AVL

Alguns problemas...

• Que valores são possíveis para balanço?

– -1, 0, 1

• De novo, como ser eficiente no cálculo do balanço?

– Dado q, como o nodo inserido.

– Se q pertencer à sub-árvore esquerda de v e essa inclusão

resultar em aumento na altura da sub-árvore, então

balanço(v) := balanço(v) + 1

• Se balanço(v) = 2, então v está desregulado

– Se q pertencer à sub-árvore direita de v e essa inclusão resultar

em aumento na altura da sub-árvore, então

balanço(v) := balanço(v) - 1

(20)

Inser

ç

ão

de

nodo

s

em

á

rvores AVL

Alguns problemas...

• Mas, quando é que a inclusão de q causa aumento

na altura da sub-árvore v?

• Suponha que q seja incluído na sub-árvore à

esquerda de v.

• Para q incluído na sub-árvore à direita,

considera-se o caso simétrico.

Inser

ç

ão

de

nodo

s

em

á

rvores AVL

INSER

Ç

ÃO A DIREITA

• Se, antes da inclusão:

–

Balan

ç

o(v)= 1

o(v)= 1, então Balanço(v) se tornará 0

• altura da árvore não foi alterada

• Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, não se altera

também.

–

Balan

ç

o(v)= 0

o(v)= 0, então Balanço(v) se tornará -1

• altura da árvore foi modificada

• Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, pode ter sido

alterada também.

• Repetir o processo (recursivamente), com v substituído por seu pai.

–

Balan

ç

o(v)=

-

1 1, então Balanço(v) se tornará -2

• altura da árvore foi modificada e o nó está desregulado

• Rotação correta deve ser empregada.

• Como a árvore será redesenhada, não é necessário verificar os outros nós.

Inser

ç

ão

de nodo

s

em

á

rvores AVL

INSER

Ç

ÃO A DIREITA

120

100

150

1 Inser

Inser

ç

ão

de nodo

s

em

á

rvores AVL

INSER

Ç

ÃO A DIREITA

120

100

150

1 ₁₂₀

100

150

0

(21)

Inser

ç

ão

de nodo

s

em

á

rvores AVL

INSER

Ç

ÃO A DIREITA

120

100

150

1 ₁₂₀

100

150

0

155

120

150

0

155 -1

Inser

ç

ão

de

nodo

s

em

á

rvores AVL

INSER

Ç

ÃO A ESQUERDA

• Se, antes da inclusão:

–

Balan

ç

o(v)=

-

1 1, então Balanço(v) se tornará 0

• altura da árvore não foi alterada

• Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, não se altera

também.

–

Balan

ç

o(v)= 0

o(v)= 0, então Balanço(v) se tornará 1

• altura da árvore foi modificada

• Por consequência, altura dos outros nós no caminho até a raiz, pode ter sido

alterada também.

• Repetir o processo (recursivamente), com v substituído por seu pai.

–

Balan

ç

o(v)= 1

o(v)= 1, então Balanço(v) se tornará 2

• altura da árvore foi modificada e o nó está desregulado

• Rotação correta deve ser empregada.

• Como a árvore será redesenhada, não é necessário verificar os outros nós.