UNIVERSIDADE DOS AÇORES Curso Serviço Social Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006

(1)

UNIVERSIDADE DOS AÇORES

Curso Serviço Social

Estatística I 1º Ano 1º Semestre 2005/2006

Ficha de trabalho nº 1 – Estatística Descritiva

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Num conjunto de jovens estudantes pretende-se estudar; 1.1 A profissão que desejam ter;

1.2 As distâncias a que se encontram na escola; 1.3 O número de divisões da casa que habitam;

1.4 O tempo que demoram a percorrer a distância entre a casa e a escola. Indique em cada caso se a característica é:

a) quantitativa ou qualitativa; b) contínua ou discreta.

2. Conte o número de vogais de cada uma das palavras que António Gedeão utilizou quando escreveu:

" Eles não sabem, nem sonham, que o sonho comanda a vida que sempre que um

homem sonha o mundo pula e avança como bola colorida entre as mãos de uma criança".

2.1 Elabore um quadro de distribuição e frequências absolutas, de frequências absolutas acumuladas, de frequências relativas e frequências relativas acumuladas.

3. A distribuição do número de faltas dos alunos de uma turma do 9º Ano na disciplina é dada pela tabela seguinte:

Número de faltas Número de alunos

0 4 1 3 2 6 3 5 4 3 6 2

3.1 Determine a amplitude da distribuição. 3.2 Calcule a média e o desvio padrão.

(2)

Peso (Kg) 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60

Frequência 12 29 12 8 5 3 1

4.1 Determine o peso médio dos alunos.

4.2 Construa o histograma da distribuição e localize graficamente a moda. 4.3 Localize graficamente os quartis no polígono de frequências acumuladas. 5. As notas de 32 alunos de uma turma estão descritas a seguir:

12.0 00.0 04.0 13.0 10.0 07.0 08.0 14.0

16.0 14.0 17.0 12.0 09.0 00.0 13.0 12.0

04.0 10.0 11.0 10.0 14.0 03.0 10.0 10.0

08.0 09.0 08.0 02.0 11.0 07.0 05.0 09.0

5.1 Determine o rol e elabore as tabelas de frequências absolutas e relativas. 5.2 Calcule a média, a mediana, a amplitude e o desvio padrão.

6. Turmas que possuem determinada disciplina em comum apresentam, nessa disciplina:

Turma A (40 alunos) - média 13.0 Turma B (35 alunos) - média 12.0 Turma C (35 alunos) - média 8.0 Turma D (20 alunos) - média 15.0

Determine a média geral.

7. Interrogamos 26 pessoas sobre o número de filhos que consideravam ser o ideal. Obtivemos as seguintes informações:

Nº ideal de filhos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fi 1 2 6 2 1 2 3 6 2 1

7.1 Calcule a média, a mediana e a moda. 7.2 Comente os resultados obtidos.

8. Num inquérito efectuado a 1000 alunos, referente à distância do domicilio à escola, obteve-se a seguinte distribuição de frequências:

Distância (Km) Alunos 0-3 394 3-6 265 6-9 121 9-12 96 12-15 87 15-18 32 18-20 5

(3)

8.1 Calcule a amplitude, o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 9. Lançaram-se 7 moedas iguais sobre uma mesa 100 vezes. Em cada lançamento

contou-se o número de caras voltadas para cima e obteve-se o seguinte quadro:

Xi 0 1 2 3 4 5 6 7

Fi 5 8 18 25 20 12 9 3

9.1 Elabore um quadro de distribuição de frequências absolutas acumuladas, frequências relativas e frequências relativas acumuladas.

9.2 Construa o diagrama de barras e o polígono de frequências para as distribuições de frequências absolutas e acumuladas.

9.3 Indique a moda e a mediana.

9.4 Calcule a média, desvio médio e o desvio padrão e a variância.

10. A distribuição de frequências que se apresenta em seguida refere-se ao "tempo de

internamento" dos doentes numa unidade hospitalar de cuidados intensivos:

Dias de Internamento Nº de doentes

[0, 5[ 48 [5, 10[ 33 [10, 15[ 27 [15, 20[ 18 [20, 25[ 15 [25, 30] 9

10.1 Calcule o tempo médio de internamento dos doentes nesta unidade e o respectivo desvio padrão. Que pode dizer sobre a variabilidade presente nestes dados?

10.2 Utilizando um diagrama de extremos e quartis (caixa de bigodes), represente graficamente a distribuição da variável "Dias de Internamento". Que conclusões podem retirar a partir deste gráfico?

10.3 Que pode dizer quanto à simetria e ao achatamento da distribuição da variável "Dias de Internamento"?

(4)

UNIVERSIDADE DOS AÇORES

Curso Serviço Social

Ficha de trabalho nº 2 – Teoria Elementar da Probabilidade

______________________________________________________________________

1. Um grupo de pessoas encontra-se numa sala em que:

5 são homens com idade igual ou superior a 21 anos 6 são mulheres com idade igual ou superior a 21 anos 4 são homens com idade inferior a 21 anos

3 são mulheres com idade inferior a 21 anos

1.1 - Determine a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser mulher ou ter

menos de 21 anos.

1.2 -Determine a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser homem ou ter

uma idade igual ou superior a 21 anos.

2. Uma gaveta contém 50 parafusos e 150 pregos; metade dos parafusos e metade dos

pregos encontram-se com ferrugem. Se escolher uma peça ao acaso, qual a probabilidade da peça ser parafuso ou estar com ferrugem?

3. Num certo colégio, 25% dos alunos reprovam na disciplina de Matemática, 15% em

Química e 10% em ambas as disciplinas.

3.1 - Qual a probabilidade de um estudante reprovar em Matemática dado que reprovou

em Química?

3.2 - Qual a probabilidade de um estudante reprovar em, pelo menos, uma disciplina? 4. Um lote de 30 peças contém 10 defeituosas. Tiram-se ao acaso, sucessivamente, sem

reposição, três peças. Qual a probabilidade de que sejam todas não defeituosas?

5. Admitamos que existem 3 (três) revistas A, B e C com as seguintes percentagens de

leituras: Revista: (A) 9,8 % (B) 22,9 % (C) 12,1 % Revistas: (A e B) 5,1 % (A e C) 3,7 % (B e C) 6,0 % Revistas: (A e B e C) 2,4 %

(5)

5.1 - Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso, ser leitor de, pelo

menos, uma revista.

5.2 - Determine a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, ser leitor das

revistas (A e B) e não leitor da revista (C) .

6. Segundo certa empresa de estudos de mercado, a preferência da população de uma

dada cidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, é dada pelos seguintes valores (percentagens sobre o total da população):

Consumidores de A: 51% Consumidores de B: 62% Consumidores de C: 40% Consumidores de A ou B: 85% Consumidores de A ou C: 70% Consumidores de B ou C: 78% Consumidores de A ou B ou C: 90%

6.1 - Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso nessa cidade, ser

consumidora somente da marca A?

6.2 - Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso nessa cidade, ser

consumidora das marcas B ou C, dado que é consumidora da marca A?

7. Numa determinada cidade foi efectuado um levantamento de dados sobre certos

acontecimentos. A probabilidade de ocorrência de cada um deles é dada no quadro seguinte: Cancro Indivíduo Têm Não Têm Fumador 0.5 0.2 Não Fumador 0.1 0.2 Considere os acontecimentos: A= "o indivíduo é fumador"

B= "o indivíduo tem cancro"

Verifique se A e B são acontecimentos independentes.

8. Em certa Faculdade, 4% dos alunos e 1% das alunas têm mais de 1.75m de altura; por

(6)

Admitamos que se escolhe ao acaso um estudante e verifica-se que tem mais de 1.75m de altura; qual a probabilidade desse estudante ser do sexo feminino?

9. A máquina I produz por dia o dobro das peças produzidas pela máquina II. Todavia,

6% das peças produzidas pela máquina I são defeituosas enquanto 5%das produzidas pela máquina II o são.

Qual a probabilidade de uma peça, escolhida ao acaso do conjunto de todas as peças produzidas num dia, ser defeituosa?

10. Em certa fábrica existem 3 máquinas A, B e C as quais fabricam respectivamente

50%, 30% e 20% do total dos produtos da fábrica; a produção da máquina A apresenta 3% de produtos defeituosos, a máquina B 4% e a máquina C 5% de produtos defeituosos.

10.1 - Determine a probabilidade de um produto, escolhido ao acaso da produção, ser

defeituoso.

10.2 - Admitamos que se escolhe ao acaso um produto e verifica-se que o produto tem

defeito; determine a probabilidade de esse produto ter sido fabricado pela máquina A.

11. O Ronaldo entrou agora na universidade e foi informado de que há 30% de

possibilidade de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar é de 0,85 enquanto que no caso de não a obter, a probabilidade de se licenciar é de apenas 0,45.

11.1 - Qual a probabilidade do Ronaldo se licenciar?

11.2 - Se, daqui a anos, encontrar o Ronaldo já licenciado, qual a probabilidade de que

tenha recebido a bolsa de estudo?

12. Estudos efectuados por uma empresa mostram que as razões dos atrasos ao trabalho,

apresentadas pelos seus empregados, se classificam numa das seguintes categorias: A - problemas de trânsito B - problemas pessoais graves C - outros problemas Admitindo que:

- Em 50% dos dias há problemas de trânsito, em 2% dos dias se verificam problemas pessoais graves e em 10% dos dias ocorrem outros problemas.

- Verifica-se atraso:

- Sempre que se verificam problemas pessoais graves. - Em 20% das vezes que há problemas de trânsito. - Em 30% das vezes quando ocorrem outros problemas.

12.1 - Calcule a probabilidade dum empregado, escolhido ao acaso, chegar atrasado. 12.2 - Se um empregado chegar atrasado, qual a probabilidade de ter sido devido a

(7)

Curso Serviço Social

Ficha de trabalho nº 3 – Variáveis Aleatórias

______________________________________________________________________

1. Consideremos o lançamento simultâneo de 3 moedas. Seja X o número de caras

possíveis de saírem no lançamento de 3 moedas. Defina as funções massa de probabilidade e de distribuição. Esboce os seus gráficos.

2. Uma caixa contém três bolas vermelhas e duas pretas. Duas bolas são tiradas ao acaso

e sem reposição. Seja X o número de bolas vermelhas na extracção referida; determine

pX(x), E(X) e Var(X).

3. Seja X uma variável aleatória que representa o número de filhos do sexo masculino

numa família de 4 crianças.

3.1 Defina a função probabilidade de X e represente graficamente. 3.2 Defina a função de distribuição de X.

3.3 Defina a função de distribuição de X. 3.4 Calcule E(X) e Var(X).

3.5 Suponha que os pais recebem 6 euros por cada filho homem e 5 euros por cada

menina. Qual o lucro médio esperado pela família quando nascem?

4. Um par de dados, não viciado é lançado uma vez. Seja X o maior número saído,

X=max(i,j). Defina a função massa de probabilidade e o valor médio.

5. Seja X uma variável aleatória com função massa de probabilidade

5.1 P(X≥2) 5.2 P(X<3|X>1)         ≠ = = = = 0,1,2,3 x , 0 3 x , k 2 x , 3k 1 x , 2k 0 x , k

(8)

6. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função de probabilidade conjunta: Y X -2 -1 4 5 PX(x) 1 0.1 0.2 0.0 0.3 2 0.2 0.1 0.1 0.0 PY(y)

6.1 Defina as funções de probabilidade marginais. 6.2 Defina a função de distribuição conjunta FX,Y(x,y). 6.3 Determine P (X=2|Y≤3).

6.4 Determine Cov (X,Y)

7. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com a seguinte função de probabilidade

conjunta:

com A={0, 1, 2, 3} e B={0, 1, 2}.

7.1 Defina as funções de probabilidade marginais. 7.2 Defina a função de distribuição FX,Y(x,y).

8. Considere a experiência aleatória lançamento de dois dados em que um dos dados é

de cor azul e o outro de cor vermelho. Seja X o número de pontos saídos no dado azul e Y o número de pontos saídos no dado vermelho.

8.1 Defina, justificando a função de probabilidade conjunta.

8.2 Determine a probabilidade de sair mais do que 7 pontos no lançamento de dois

dados.

8.3 Considere a variável aleatória Z=5X+10. Determine E(Z) e Var(Z). 8.4 Determine P(Z≥40).     ∉ ∈ + = AxB y) (x, , 0 AxB y) (x, ), y x ( ) y , x ( P_X_,_Y ₃₀ 1

(9)

Curso Serviço Social

Ficha de trabalho nº 4 – Distribuições Importantes

______________________________________________________________________

1. A probabilidade de um possível cliente realizar uma compra é 0.3.

1.1 - Determine a probabilidade de um vendedor ao visitar 15 clientes presumíveis,

realizar menos de 5 vendas.

1.2 - Idem, considerando a aproximação de Poisson.

1.3 - Determine a probabilidade de um vendedor ao visitar 25 clientes presumíveis,

realizar menos de 5 vendas.

2. Um distribuidor de batatas de semente chegou à conclusão, após numerosos ensaios,

que 5% das batatas não germina; as batatas são vendidas em sacos, contendo 200 batatas, garantindo a germinação de 90% das batatas.

Qual a probabilidade de um determinado saco não cumprir o garantido?

3. São escolhidas 20 pessoas em que:

8 são homens de raça branca, 4 são mulheres de raça branca, 5 são homens de raça não branca, 3 são mulheres de raça não branca.

Destas 20 pessoas, escolhe-se aleatoriamente 6 pessoas para constituir um júri; qual a probabilidade de o júri ser constituído por:

3.1 - 4 homens,

2 mulheres.

3.2 - 3 homens de raça branca,

1 mulheres de raça branca, 1 homens de raça não branca, 1 mulheres de raça não branca.

4. A procura diária para certo tipo de artigo numa determinada loja obedece a uma

distribuição de Poisson. Sabendo que a procura média diária é de 3 artigos e que o stock diário é mantido em 6 unidades, calcule:

4.1 - O número esperado de clientes que ficam por satisfazer (num determinado dia). 4.2 - A probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no máximo 3 dias

com vendas inferiores a 2 produtos.

5. A uma prova de admissão a uma escola universitária, apresentaram-se 3500

(10)

aproximadamente normal (gaussiana) com valor médio 55 pontos e desvio padrão 5 pontos. Uma vez que a referida escola apenas admite 700 candidatos, indique a nota do último candidato admitido.

6. Supondo que as classificações dos alunos de duas Universidades, seguem a Lei

Normal e que na Universidade A um aluno foi classificado com 62 pontos, sendo a média 58 e o desvio padrão 10, na Universidade B, um aluno foi classificado com 81 pontos, sendo a média 78 e o desvio padrão 12. Qual dos alunos obteve melhor classificação?

7. Foram medidos os coeficientes intelectuais (Q.I.) de uma população escolar de 2000

alunos e verificou-se que seguem a Lei Normal de distribuição cuja média é 85 e o desvio padrão 30. Determine:

7.1 o número de alunos cujo Q.I. é inferior a 100. 7.2 o número de alunos cujo Q.I. é menor do que 55. 7.3 o número de alunos cujo Q.I. está entre 70 e 100. 7.4 o número de alunos cujo Q.I. é superior a 130.

8. Admita que um avião apenas consegue descolar se a sua carga não exceder 9000 Kgs.

O avião transporta 20 pessoas, podendo levar cada uma delas a sua bagagem; é transportada outra espécie de carga. Admitindo que:

- O peso de uma pessoa é uma variável aleatória (X₁) , com distribuição gaussiana ou

normal com valor médio µ₁= 75 e desvio padrão σ1= 5,

- O peso da bagagem por pessoa é uma variável aleatória (X₂) com distribuição

gaussiana ou normal com valor médio µ₂= 20 e desvio padrão σ₂= 2,

- O peso de "outra espécie de carga" é uma variável aleatória (X₃) com distribuição

gaussiana ou normal com valor médio µ₃= 6000 e desvio padrão σ₃ = 1000

Determine a probabilidade de o avião não levantar voo, não tendo havido qualquer espécie de controlo!

9. Admitamos que o número de chamadas recebidas diariamente num certo telefone

particular, obedece a uma distribuição de Poisson, de valor médio µ = 2. Determine a probabilidade de, em 50 dias escolhidos ao acaso durante o ano, a média dos telefonemas diários exceder 3 telefonemas.

10. Determine a probabilidade de em 1000 lançamentos de uma moeda, obter-se um