Relatório de Consultoria

Mestrado Contabilidade, Fiscalidade e Finanças Empresariais

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Carteira Eficiente | PSI20

Mestrado Contabilidade, Fiscalidade e Finanças Empresariais Mercados e Investimentos Financeiros

Trabalho Prático – PARTE I Grupo: E60205

Ana Raquel Vieira | N.º 11330 Ana Sofia Rodrigues | N.º 11582 Eduardo Torres dos Santos | N.º 11447

Ricardo André Victor | N.º 11446 Rute Daniela Elias | N.º 11372

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Carteira Eficiente | PSI20

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Exmo. Sr. Silva,

Antes de mais, gostaríamos de agradecer a confiança depositada na nossa empresa para o auxiliar na escolha pela forma mais eficiente de aplicação do montante que despenderá para investir em bolsa. Assim, e após análise exaustiva da sua situação, disponibilizamos-lhe o nosso parecer, esperando que este vá ao encontro das suas necessidades e expectativas.

Para qualquer esclarecimento estaremos ao seu dispor.

Com os nossos melhores cumprimentos,

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PARECER

O índice PSI-20, iniciais de Portuguese Stock Index, caracterizado como o índice de referência do mercado bolsista nacional, é composto pela evolução dos preços das acções de 20 empresa, sendo estas:

ALTRI SGPS, S.A.

BCP | Banco Comercial Português, S.A. BES | Banco Espírito Santo, S.A.

BPI | Banco Português de Investimento, S.A. BRISA PRIV. | Auto-estradas de Portugal, S.A.

CIMPOR | Cimentos de Portugal, SGPS, S.A. EDP | Energias de Portugal, S.A.

GALP ENERGIA-NOM | Petróleos e Gás de Portugal, SGPS, S.A. IMPRESA, SGPS, S.A.

Jerónimo Martins, SGPS, S.A

MOTA-ENGIL, SGPS

PT | Portugal Telecom, SGPS, S.A.

PORTUCEL| Empresa Produtora de Pasta e Papel, S.A PTM | Portugal Telecom Multimédia, SGPS, S.A. REN | Rede Eléctrica Nacional, S.A.

SOARES DA COSTA, SGPS, S.A.

SONAE IND. | Sonae Indústria, SGPS, S.A. SONAE, SGPS, S.A.

SONAECOM, SGPS, S.A. SEMAPA, S.A.

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Indo sempre ao encontro das necessidades do cliente, a E60205, deliberou que os dados históricos são os indicadores mais consistentes para o progresso do estudo em causa pois, com base em prospecções por nós realizadas, verificámos que a evolução económico-financeira do país para o ano de investimento, apesar de evolutiva, tenderá a ser homóloga aos dois anos anteriores, facto relevante quanto à flutuação dos preços no mercado de capitais.

Desta forma, e entrando em linha de conta com o horizonte de investimento desejado, foram recolhidas as cotações dos dois últimos anos (31-10-2005 a 30-09-2007), tendo como fonte o website da Euronext.

Na tabela abaixo são apresentadas as rendibilidades esperadas para cada empresa, bem como a volatilidade associada a cada uma delas, tendo por base as cotações já supramencionadas.

Empresas Rendibilidades Esperadas (%) Volatilidade (%) Diárias Anuais Ajustada Diária Anual ALTRI 0,30 115,13 65,60* 2,38 39,38 BCP 0,08 22,18 22,18 1,61 26,15 BES 0,10 27,65 27,65 0,87 13,95 BPI 0,12 34,12 34,12 1,57 25,41 BRISA 0,07 20,27 20,27 0,94 15,19 CIMPOR 0,06 16,77 16,77 1,31 21,11 EDP 0,12 35,48 35,48 1,11 17,91 GALP 0,26 93,66 93,66 1,56 25,24 IMPRESA 0,003 0,73 2,82* 1,42 22,91 J.MARTINS 0,13 38,79 38,79 1,33 21,48 M.ENGIL 0,13 40,34 40,34 1,79 29,19 PT 0,06 16,86 16,86 1,20 19,40 PORTUCEL 0,11 31,31 31,31 1,39 22,46 PT-MULT. 0,04 9,98 9,98 1,01 16,25 REN -0,01 -3,56 -3,56 2,70 45,16 S.COSTA 0,45 217,76 217,76 3,09 52,47 SEMAPA 0,15 47,30 45,70* 1,39 22,45 SONAE-IND. 0,06 15,85 15,85 1,75 28,46 SONAE-SGPS 0,15 45,01 45,01 1,73 28,22 SONAE-COM 0,02 4,56 4,56 2,13 34,98

É de salientar a existência de uma coluna com as rendibilidades esperadas anuais ajustadas. Ela ilustra o facto de nalgumas empresas, como é o caso da Altri, Impresa e Semapa, ser preferível considerar somente como amostra o último ano, pois à posteriori e analisadocaso a caso, constatou-se que estas apresentavam rendibilidades esperadas anuais elevadas quando comparadas com as restantes. Tais afastamentos devem-se à ocorrência de factores macroeconómicos de cariz extraordinário, que causaram flutuações anómalas nos

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preços, alavancando ou atenuando as rendibilidades das acções associadas às empresas em análise. Com mero teor orientador, informamos o cliente de que as rendibilidades esperadas anuais foram calculadas com base em 365 dias, aos quais se excluiu 104 fins-de-semana e 6 feriados cumpridos na bolsa, resultando em 255 dias úteis.

No que respeita aos dados das correlações entre os diversos pares de empresas pertencentes ao índice PSI-20, encontra-se tal informação exposta no anexo 1. De igual forma informa-se o Sr. Silva que a média das correlações apresenta o valor de 0,217102.

A título elucidativo e, exemplificando com as empresas Altri e BCP, verificamos que quando a rendibilidade de uma varia unitariamente a da outra varia 0,22 no mesmo sentido.

Quanto à sua dúvida relativamente à existência de activos sem risco no mercado nacional, informamo-lo que tem à sua disposição os chamados instrumentos de financiamento do Estado, tais como, os Bilhetes e as Obrigações de Tesouro. Estes são considerados activos sem risco, pois a probabilidade de incumprimento por parte do Estado é praticamente nula, tendo em conta que num eventual défice de tesouraria este consegue obter, junto dos contribuintes (aumento dos impostos) ou junto da banca, recursos financeiros de forma a honrar os compromissos assumidos.

Numa perspectiva geral, o que distingue ambos os títulos de dívida pública é o prazo de vencimento. Enquanto os Bilhetes de Tesouro se desenvolvem num mercado de curto prazo, as Obrigações surgem como componente de médio e longo prazo.

Sendo assim e tendo em conta a restrição delineada no seu pedido (referimo-nos à disponibilidade de €5.000.000 limitada a um ano), tomámos a iniciativa de optar pelos Bilhetes de Tesouro, visto se tratar de um título de curto prazo e ir ao encontro das suas expectativas (obtenção de rendimentos dentro do prazo estabelecido).

Quanto à sua rendibilidade, esta será ditada pela taxa de juro sem risco em vigor para o respectivo prazo (1 ano), ficando assim estipulado 4%, conforme mencionado pelo Banco de Portugal.

Outra das suas questões estava relacionada com a possibilidade de se poder ou não fazer Short Selling - termo utilizado para apelidar as vendas a descoberto. Antes de mais, entenda-se este como uma estratégia de investimento que permite vender títulos que não se possui, com o objectivo de obter ganhos aquando da sua desvalorização, sendo possível assim investir noutros activos da carteira.

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Em termos legais é admissível a realização de operações de venda a descoberto por parte de intermédios financeiros, ao abrigo do artigo 370.º do Código dos Valores Mobiliários, ficando tal transacção sujeita ao regulamento próprio da Euronext Lisboa.

Passando agora à questão central do nosso relatório, analisaremos a forma mais eficiente de combinar os activos do PSI-20:

Carteira Eficiente 1

Empresas Peso na carteira % € ALTRI _{-79,14% -3.957.115,85} BCP -153,50% -7.675.244,02 BES _{123,87% 6.193.546,00} BPI 69,62% 3.481.118,31 BRISA _{-128,73% -6.436.298,10} CIMPOR -146,88% -7.344.233,48 EDP _{262,49% 13.124.504,28} GALP 347,07% 17.353.348,87 IMPRESA _{-271,23% -13.561.724,92} J.MARTINS 158,92% 7.945.870,21 M.ENGIL _{-174,81% -8.740.587,95} PT 12,29% 614.654,73 PORTUCEL _{-360,52% -18.026.128,40} PT-MULT. 68,04% 3.401.972,00 REN _{232,94% 11.647.156,96} S.COSTA 176,49% 8.824.400,15 SEMAPA _{185,02% 9.250.927,39} SONAE-IND. -42,98% -2.149.034,09 SONAE-SGPS _{-56,79% -2.839.742,09} SONAE-COM -122,15% -6.107.389,99 ∑ = 100% ∑ = € 5.000.000 % € ALTRI _- -BCP _- -BES _7,57% 378.405,14 BPI _4,25% 212.684,79 BRISA _- -CIMPOR _- -EDP _{16,04% 801.863,72} GALP _{21,20% 1.060.232,11} IMPRESA _- -J.MARTINS _{9,71% 485.466,34} M.ENGIL _- -PT _0,75% 37.553,37 PORTUCEL _- -PT-MULT. _4,16% 207.849,22 REN _14,23% 711.602,70 S.COSTA _10,78% 539.141,61 SEMAPA _11,30% 565.201,01 SONAE-IND. _- -SONAE-SGPS _- -SONAE-COM _- -∑ = 100% ∑ = € 5.000.000 Carteira Eficiente 2 Empre s a Pe s o na ca rte i ra

De forma a satisfazermos o seu pedido, ponderámos quatro formas diferentes de combinar eficientemente os activos do PSI-20, com e sem recurso à estratégia de Short Selling.

Nestas primeiras duas tabelas são expostos os dois casos extremos:

Carteira Eficiente 1 - elaboração de uma carteira supondo a possibilidade de se realizar vendas a descoberto de forma ilimitada. Colocámo-la no relatório meramente como dado informativo, pois devido à falta de liquidez do mercado bolsista torna-se muito difícil satisfaze-la.

Carteira Eficiente 2 - composição de uma carteira admitindo a não aplicação da operação de Short Selling, sendo que o investimento passará somente pelos activos descrito na tabela respectiva.

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% € ALTRI _{-23,74% -1.187.134,76} BCP _{-46,05% -2.302.573,21} BES _{42,46% 2.122.947,40} BPI _23,86% 1.193.214,85 BRISA _-38,62% -1.930.889,43 CIMPOR _{-44,07% -2.203.270,04} EDP _{89,97% 4.498.655,89} GALP _{118,96% 5.948.167,14} IMPRESA _-81,37% -4.068.517,48 J.MARTINS _{54,47% 2.723.587,50} M.ENGIL _{-52,44% -2.622.176,39} PT _{4,21% 210.683,78} PORTUCEL _-108,16% -5.407.838,52 PT-MULT. _{23,32% 1.166.086,05} REN _{79,85% 3.992.268,97} S.COSTA _{60,49% 3.024.719,17} SEMAPA _63,42% 3.170.918,92 SONAE-IND. _-12,89% -644.710,23 SONAE-SGPS _{-17,04% -851.922,63} SONAE-COM _{-36,64% -1.832.217,00} ∑ = 100% ∑ = € 5.000.000 Carteira Eficiente 3

Empre s a Pes o na ca rte i ra

Nestas duas tabelas que se apresentam, a E60205 expõe outras duas possíveis carteiras eficientes, sendo que em ambas a operação de Short Selling se encontra realizada de forma limitada. Estas duas hipóteses tentam resolver o problema de liquidez que se coloca na Carteira Eficiente 1. A diferença entre as Carteiras 3 e 4 reside no facto de esta última exigir garantias bancárias, no montante de €4.842.445,25, ao contrário da Carteira Eficiente 3 que dá possibilidade, no caso de o banco não exigir a dita garantia, de investir a totalidade dos €5.000.000.

Posto isto, apresentaremos de seguida aquela que será, no nosso entender, a melhor opção de investimento, tendo em conta que numa última instância a preferência por uma das três possíveis carteiras é deixada ao critério do cliente:

1º - Investir na Carteira Eficiente 3 (carteira realizada com base na Carteira Eficiente 1, à qual é aplicada as ponderações de 0,34, no caso das compras, e 0,30, no caso das vendas (Short Selling), com o objectivo de eliminar o problema de liquidez já mencionado);

2º - No caso de exigência de garantias por parte do banco, abandona-se a primeira opção, investindo-se na Carteira Eficiente 4.

% € ALTRI _{-2,49% -124.692,48} BCP _{-4,84% -241.854,23} BES _{3,90% 195.164,52} BPI _{2,19% 109.693,35} BRISA _{-4,06% -202.813,87} CIMPOR _{-4,63% -231.423,78} EDP _{8,27% 413.565,60} GALP _{10,94% 546.820,52} IMPRESA _{-8,55% -427.342,84} J.MARTINS _{5,01% 250.381,92} M.ENGIL _{-5,51% -275.424,23} PT _{0,39% 19.368,35} PORTUCEL _{-11,36% -568.020,44} PT-MULT. _{2,14% 107.199,37} REN _{7,34% 367.012,99} S.COSTA _{5,56% 278.065,24} SEMAPA _{5,83% 291.505,51} SONAE-IND. _{-1,35% -67.718,11} SONAE-SGPS _{-1,79% -89.482,97} SONAE-COM _{-3,85% -192.449,66} 157.554,75 Carteira Eficiente 4 Empre s a Pe s o na ca rte i ra

Como referido no seu pedido risco de carteiras homogéneas dos aumenta.

Verifica-se que à medida eliminar aquilo a que se chama

empresas), ou seja, quando combinamos activos de diferentes empresas, cotações não variem todas no mesmo sentido (umas ir

com que seja possível diminuir tal risco.

mercado o qual não é possível eliminar pois corresponde ao risco associado a factores afectam a totalidade dos activos cotados no mercado, ou seja, por mais que se diversif todos os activos serão afectados; daí

activos o risco tenderá para o

Fazendo ponte com o que já fo

eficiente, e entrando agora em linha de conta com o modelo de nossa sugestão, quanto à formação da designada carteira

Tal mudança de opinião fundamenta

operações de Short Selling e a proporção a investir em cada activo ser alterada, passando mesmo pelo investimento nu

gráfico: 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1 R is co ( V a ri â n ci a ) 9% 7%

Carteira Eficiente

referido no seu pedido, representámos graficamente o modo como evolui o risco de carteiras homogéneas dos activos do PSI 20 à medida que o número de activos

que à medida que incorporamos maior número de activos conseguimos aquilo a que se chama o risco específico (risco associado a factores internos às , quando combinamos activos de diferentes empresas, é natural que as suas não variem todas no mesmo sentido (umas irão aumentar e outras diminuir)

com que seja possível diminuir tal risco. Apesar do mencionado, existe ainda o risco de mercado o qual não é possível eliminar pois corresponde ao risco associado a factores afectam a totalidade dos activos cotados no mercado, ou seja, por mais que se diversif

afectados; daí se conclui que, a partir de determinado número de o risco tenderá para o de mercado.

Fazendo ponte com o que já foi mencionado aquando do aconselhamento da carteira eficiente, e entrando agora em linha de conta com o modelo de Correlações

quanto à formação da designada carteira, seria alterada.

Tal mudança de opinião fundamenta-se no facto de nesta carteira já não se exercer e a proporção a investir em cada activo ser alterada, passando investimento num menor número dos activos do PSI-20, como se observa no

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Nº Activos 35% 40% 7% 6% 2%1%

Carteira Eficiente - Correlações Constantes

S.COSTA GALP SEMAPA EDP BES J.MARTINS ALTRI

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o modo como evolui o à medida que o número de activos

que incorporamos maior número de activos conseguimos (risco associado a factores internos às é natural que as suas ão aumentar e outras diminuir) fazendo Apesar do mencionado, existe ainda o risco de mercado o qual não é possível eliminar pois corresponde ao risco associado a factores que afectam a totalidade dos activos cotados no mercado, ou seja, por mais que se diversifique, a partir de determinado número de

i mencionado aquando do aconselhamento da carteira orrelações Constantes, a o de nesta carteira já não se exercer e a proporção a investir em cada activo ser alterada, passando , como se observa no S.COSTA GALP SEMAPA J.MARTINS ALTRI

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No contexto do Modelo Índice Único, o índice recomendado foi o PSI-20, pois é aquele que, por ser composto pelas principais empresas portuguesas a nível de dimensão e liquidez, melhor se adapta, do nosso ponto de vista, às necessidades do cliente (investir no mercado nacional). Assim sendo, e após estimação, os valores tomados por alfa (α) e beta (β) da carteira eficiente são: 0,000230087 e 0,299868055, respectivamente, enquanto que para cada uma das empresas do PSI-20 são:

M.ENGIL PT PORTUCEL PTM REN S.COSTA SEMAPA SONAE-IND SONAE SONAECOM

α αα α 0,00026 -0,00017 0,00031 -0,00003 0,00256 0,00340 0,00081 -0,00018 0,00015 -0,00099 β β β β 1,19077 0,87184 0,83784 0,45200 1,38698 1,25566 0,79125 0,96763 1,45193 1,29647

A forma eficiente de combinar os activos, segundo este modelo é como se apresenta no gráfico abaixo:

Em tom de conclusão e fazendo uma análise comparativa entre as carteiras eficientes 3 e a baseada no Modelo de Índice Único, podemos mencionar que a primeira evidencia o investimento em todos os activos do PSI-20 sendo possível a realização da operação de Short Selling de forma limitada, enquanto que a do referido modelo não permite a estratégia de vendas a descoberto, fazendo assim parte do seu portfolio somente sete das vinte empresas do PSI-20. O que as distingue é o facto do risco associado à carteira 3 depender tanto da variabilidade dos seus activos bem como das correlações entre eles, ao invés da do modelo, em que a sua rendibilidade e risco são explicados pela forma como cada activo se correlaciona com o mercado.

ALTRI BCP BES BPI BRISA CIMPOR EDP GALP IMPRESA J.MARTINS

α α α α 0,00178 -0,00060 0,00042 0,00048 0,00016 -0,00028 0,00034 0,00199 -0,00070 0,00062 β ββ β 1,36128 1,53949 0,60174 0,74831 0,62624 0,98745 0,94356 0,97778 0,80819 0,73655 27% 44% 14% 9% 4% 1% 1%

Carteira Eficiente - Modelo Índice Único

S.COSTA GALP SEMAPA EDP BES J.MARTINS ALTRI € 1.333.541,37 € 2.227.453,02 € 683.127,31 € 458.907,87 € 200.659,56 € 57.837,90 € 38.499,97

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ANEXO 1 – CORRELAÇÕES ENTRE OS PARES DE EMPRESAS DO PSI-20

ALTRI BCP BES BPI BRISA CIMPOR EDP GALP IMPRESA J.MARTINS M.ENGIL PT PORTUCEL PT-MULT. REN S.COSTA SEMAPA SONAE IND. SONAE SONAECOM

ALTRI 1 BCP 0,22 1 BES 0,25 0,21 1 BPI 0,13 0,02 0,34 1 BRISA 0,20 0,22 0,19 0,18 1 CIMPOR 0,29 0,35 0,32 0,13 0,33 1 EDP 0,21 0,20 0,14 0,10 0,30 0,21 1 GALP 0,40 0,37 0,31 0,10 0,28 0,31 0,19 1 IMPRESA 0,25 0,25 0,26 0,12 0,23 0,37 0,13 0,39 1 J.MARTINS 0,24 0,22 0,20 0,06 0,22 0,32 0,22 0,17 0,00 1 M.ENGIL 0,29 0,30 0,28 0,10 0,25 0,31 0,20 0,45 0,00 0,28 1 PT 0,07 0,12 0,17 0,11 0,08 0,12 0,13 0,09 0,00 0,12 0,09 1 PORTUCEL 0,33 0,30 0,29 0,13 0,15 0,27 0,19 0,50 0,00 0,25 0,33 0,08 1 PT-MULT. 0,08 0,14 0,08 0,16 0,12 0,08 0,18 0,10 0,00 0,15 0,13 0,19 0,12 1 REN 0,85 0,66 0,56 0,23 0,53 0,72 0,30 0,98 0,03 0,45 0,86 0,28 1,01 0,06 1 S.COSTA 0,17 0,22 0,16 0,09 0,15 0,18 0,13 0,32 0,01 0,21 0,27 0,01 0,15 0,11 0,45 1 SEMAPA 0,26 0,24 0,26 0,13 0,13 0,28 0,24 0,34 0,00 0,22 0,29 0,12 0,43 0,15 0,53 0,16 1 SONAE IND 0,23 0,19 0,18 0,15 0,18 0,32 0,29 0,24 0,00 0,22 0,31 0,08 0,31 0,17 0,49 0,15 0,34 1 SONAE 0,29 0,28 0,26 0,14 0,23 0,37 0,28 0,38 0,00 0,24 0,37 0,22 0,27 0,23 0,93 0,16 0,21 0,34 1 SONAECOM 0,23 0,21 0,17 0,06 0,14 0,25 0,21 0,26 0,01 0,16 0,30 0,19 0,24 0,16 0,63 0,14 0,18 0,25 0,55 1

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Exmo. Sr. Silva,

É com muito agrado que vemos novamente a sua confiança depositada em nós.

O trabalho a seguir apresentado foi realizado com a mesma vontade e prontidão do anterior, pelo que esperemos alcançar os objectivos por nós traçados, ao mesmo tempo que satisfazemos as suas preferências e expectativas.

Ficaremos assim à espera, dentro em breve, de uma resposta da sua parte com as considerações tomadas em relação a ambos os relatórios.

Para qualquer esclarecimento estaremos ao seu dispor.

Com os nossos melhores cumprimentos,

(Brokers & Brokers)

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RELATÓRIO

Começando por responder à primeira pergunta que nos colocou, uma carteira de activos eficiente é aquela em que, para o mesmo nível de risco não é possível encontrar outra carteira com rentabilidade esperada superior. Isto foi o que se fez aquando do seu pedido acerca da carteira eficiente do PSI 20, ou seja existe só uma carteira eficiente, mesmo existindo vários perfis de investidores, porque esta só entra em linha de conta com a rentabilidade esperada e a variância dessa mesma rentabilidade e não com os gostos, ou utilidade dos investidores.

Face ao seu novo pedido, o objectivo passa agora pela maximização da sua utilidade esperada, ao invés da maximização da rendibilidade esperada ponderada pelo nível de risco, como foi o caso do seu pedido anterior.

Assim sendo, a função de utilidade que calculámos com base no questionário anexado ao pedido, a qual apresentaremos adiante, descreve a sua atitude face ao risco -avessa- como iremos verificar.

Foram tidos em consideração os seguintes pressupostos para a construção da função utilidade:

1ª Propriedade⇒ U´(W) =

∫

-a = -aw + b, com –aw + b>0 b>aw 2ª Propriedade⇒ U´´(W) = -a , com a>0

A 3ª Propriedade assenta na alteração das preferências do investidor face a variações na riqueza. No seu caso e de acordo com as respostas ao questionário constatamos que exibe uma aversão absoluta ao risco crescente.

Assim:

b

aw

a

w

A

w

U

w

U

w

A

+

−

=

⇔

−

=

(

)

)

´(

)

´´(

)

(

2 2

)

(

)

(

b

aw

a

dw

w

dA

+

−

2

E

60205

Brokers & Brokers

a

Sociedade Consultoria, S.A.

U(W)

W Função de Utilidade

125.000

A 4ª Propriedade assenta na alteração da percentagem de riqueza investida em activos com risco face a variações na riqueza. De acordo com as respostas ao questionário constatamos que exibe uma aversão relativa ao risco crescente.

Assim:

b

aw

aw

W

U

W

WU

w

R

+

−

=

−

=

)

´(

)

´´(

)

(

0

)

(

)

(

)

(

2 2 2

>

+

−

+

+

−

=

b

aw

w

a

ab

w

a

w

d

w

dR

, com a e b > 0

Então, com base nas propriedades anteriores, uma função que pode “matematizar” as suas preferências e é a adequada ao seu comportamento face ao risco, de acordo com o questionário por si preenchido, poderá ser:

w

w

w

U

(

)

=

−

0

.

0002

2

+

50

, com w∈

]

0

,

125000

[

Após o cálculo da função de utilidade, e indo ao encontro do seu pedido, determinámos a função de tolerância ao risco.

E

60205

Brokers & Brokers

a

Sociedade Consultoria, S.A.

( )

[

U

w

]

E

[

w

w

]

E

[ ]

w

E

[ ]

w

w

w

E

=

−

0

,

0002

2

+

50

=

−

0

,

0002

2

+

50

=

−

0

,

0002

σ

2

−

0

,

0002

2

+

50

( )

[

]

+

_



−

+

_











−

+

−

−

=

*

5000

5000

5000

5000

50

5000

*

5000

5000

5000

0002

,

0

0002

,

0

2 2

w

w

w

U

E

σ

Com

5000

5000

−

=

w

r

Assim sendo, a Função de Tolerância ao Risco define-se como:

( )

[

U

r

]

=

−

0

,

0002

2

−

0

,

0002

(

5000

r

+

5000

)

2

+

50

(

5000

r

+

5000

)

E

σ

Para ir de encontro á sua pergunta sobre qual o investimento final óptimo importa ter em conta as seguintes considerações:

% 4

=

f

R (Rendibilidade do activo sem risco)

%

5

,

235

=

p

R

(Rendibilidade esperada da carteira eficiente que maximiza a relação

rendibilidade/risco) % 96 , 66 = p

σ (Risco da carteira eficiente que maximiza a relação rendibilidade/risco)

p p p p

E

R

R

E

σ

(

)

4

3

,

46

σ

96

,

66

4

5

,

235

4

)

(

=

+

−

⇔

=

+

A função tolerância ao risco sujeita a: E(Rp)=4+3,46σp

{

−

0

,

0002

2_p

−

5000

(

4

+

3

,

46

_p

)

2

+

240000

(

4

+

3

,

46

_p

)

+

24500

0

}

p

Max

σ

σ

σ

σ

{

−

59858

,

0002

_p2

+

692000

_p

+

112500

0

}

p

Max

σ

σ

σ

Aplicando a Condição de primeira ordem: 0 692000 119716 + = − σp % 78 , 5 = p σ

4

E

60205

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a

Sociedade Consultoria, S.A.

5,78% 24%

Logo, E(R_p)=4+3,46×5,78⇔ E(R_p)=24%

Com base na função calculada previamente obtemos a seguinte representação gráfica:

Neste gráfico representa-se o investimento óptimo (Z), apropriado ao seu perfil de risco, com base no conjunto de carteiras eficientes exposto no relatório anterior.

Então a composição da carteira é dada por: 24 ) 1 ( 5 , 235 4x_f + −x_f = Em que: % 36 , 91 = f

x , x_f é a % a aplicar em activo sem risco e100%−91,36%=8,64% é o Investimento na carteira, considerada no relatório anterior.

Por outro lado, se entrarmos em linha de conta com as preferências do casal, a proposta de investimento feita anteriormente seria alterada se tivéssemos em consideração o perfil de risco da senhora Silva, uma vez que esta tem um perfil ainda mais avesso ao risco do que o seu marido. Assim sendo, achamos que se deve construir uma nova função de utilidade, que irá resultar numa nova carteira óptima, que denota uma maior aversão ao risco que a função anterior.

Nova Função Utilidade:

U

(

w

)

=

−

0

.

0003

w

2

+

50

w

, com

E

∈

]

0

;

83333

,

(

3

)

[

Para esta nova função importa registar que as quatro propriedades que foram definidas para a função de utilidade do Sr. Silva se continuam a verificar.

E(R)

Rf

• M •Z

E

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a

Sociedade Consultoria, S.A.

Assim a função tolerância ao risco pode ser definida por:

( )

[ ]

_U

_r

=

−

0

,

0003

2

−

0

,

0003

(

5000

_r

+

5000

)

2

+

50

(

5000

_r

+

5000

)

E

σ

Esta função sujeita a: E(Rp)=4+3,46σp

{

−

0

,

0003

2_p

−

7500

(

4

+

3

,

46

_p

)

2

+

235000

(

4

+

3

,

46

_p

)

+

24250

0

}

p

Max

σ

σ

σ

σ

Aplicando a Condição de primeira ordem: 0 605500 179574 + = − σp % 37 , 3 = p σ

Do que se conclui que, a carteira óptima tem um risco de 3,37%. Logo, % 66 , 15 ) ( 37 , 3 46 , 3 4 ) (Rp = + × ⇔ E Rp = E

Então, a composição da carteira é dada por: 66 , 15 ) 1 ( 5 , 235 4xf + −xf = Em que: % 95 = f

x , x_f é a % a aplicar em activo sem risco e

100

%

−

95

%

=

5

%

, é o investimento na