Licenciatura em Engenharia e Arquitectura Naval
Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial
Electromagnetismo e Óptica
1º Semestre - 2016/17
2º Teste/1º Exame - 13/01/2017 – 8:00h
Duração do teste: 1:30h
Duração do exame: 2:30h
Leia o enunciado com atenção. Justifique detalhadamente todas as respostas.
Indique todas as aproximações consideradas.
Identifique e numere todas as folhas da prova.
Problema 1 (Só Exame)
Considere uma esfera homogénea de raio , constituída por um material dielétrico com uma permitividade elétrica , uniformemente eletrizada em volume, com uma carga total . A esfera encontra-se imersa no vácuo (permitividade elétrica no exterior da esfera )
a) Determine a expressão do campo elétrico num ponto exterior à esfera, em função da distância ao centro desta e dos parâmetros dados no enunciado.
b) Considerando o potencial nulo para , determine a expressão do potencial elétrico num ponto genérico, exterior à esfera, situado a uma distância do centro da mesma (apresente o resultado em função dos parâmetros dados no enunciado).
c) Determine a expressão do campo elétrico num ponto genérico situado no interior da esfera em função da distância ao centro desta e dos parâmetros dados no enunciado.
d) Determine a expressão das densidades de carga de polarização em volume e em superfície (caso existam). Determine também as expressões das cargas totais de polarização distribuídas respetivamente em volume e em superfície e soma total das cargas de polarização existentes na esfera (apresente os resultados em função dos parâmetros dados no enunciado).
Problema 2 (Só Exame)
Suponha que liga uma resistência a uma fonte de tensão contínua .
a) Admitindo que se trata de uma fonte de tensão ideal, determine o valor da corrente elétrica na resistência e a energia dissipada na mesma se esta se encontrar ligada à bateria durante uma hora.
b) Sabendo que a resistência é constituída por um fio de secção circular de diâmetro , de um material de resistividade , determine o comprimento do fio.
c) Se a corrente elétrica determinada na alínea a) percorrer um fio com um diâmetro através de um material com uma densidade de portadores de carga , qual será a velocidade de
deriva dos eletrões associada à corrente elétrica nestas circunstâncias?
d) Ao substituir a resistência de , referida inicialmente, por uma outra, agora com o valor verifica que a queda de potencial aos terminais da mesma não é , como estava à espera (tendo suposto que se tratava de uma fonte de tensão ideal), mas sim . O que é que pode concluir relativamente à resistência interna da bateria?
Problema 3 (2º Teste/Exame)
Considere um fio retilíneo, muito longo (idealmente infinito), percorrido por uma corrente elétrica . Uma espira quadrada de lado , coplanar com o fio, tem o seu centro à distância do mesmo.
a) Determine a expressão do vetor campo magnético resultante da corrente , (módulo, direção e sentido) no centro da espira (faça um esquema).
b) Mostre que o fluxo do campo através da espira é dado por
.
c) Tomando como ponto de partida o resultado da alínea b), verifique que, para , é uma boa aproximação considerar o fluxo do campo uniforme na superfície da espira. Sugestão: utilize a aproximação
para ≪ e tome como valor de , o valor no centro da espira.
d) Se a espira tiver uma resistência elétrica e se deslocar com velocidade uniforme de módulo , afastando-se radialmente em relação ao fio, sem mudar de orientação, qual será a expressão da corrente induzida na espira, quando o centro desta se encontra a uma distância do fio? (utilize para o fluxo de , a aproximação considerada na alínea c)
Problema 4 (2º Teste/Exame)
Considere um circuito RLC série em regime forçado alternado sinusoidal (tensão de alimentação: ).
a) Mostre que a amplitude complexa da corrente no circuito é dada por:
.
b) i) Sendo , determine o valor da frequência angular para o qual a corrente no circuito está em fase com a tensão (desfasagem nula); ii) nestas condições, qual será o valor da amplitude da corrente ( ) se a tensão aplicada tiver uma amplitude .
c) Determine o valor máximo da energia acumulada na bobina nas condições definidas na alínea b).
d) Qual o valor da amplitude da corrente no circuito se a frequência angular da tensão aplicada for
Problema 5 (2º Teste/Exame)
Considere que faz incidir um feixe laser He-Ne ( ) sobre uma rede de difração com 80 linhas por mm. Considere ainda que o feixe laser se encontra polarizado verticalmente (campo elétrico segundo z: perpendicular ao plano da figura).
a) A que distância, , da rede de difração deverá colocar o alvo se pretender que o máximo de primeira ordem se encontre a uma distância do centro do alvo.
b) Nas condições do problema, quantos máximos é possível observar à esquerda e à direita do máximo de ordem 0?
c) Qual a frequência angular, , da radiação emitida pelo laser? Admitindo que a radiação incidente na rede de difração pode ser descrita por uma onda plana, determine o vetor de onda correspondente à mesma.
d) i) Escreva as expressões do campo elétrico e do campo magnético da onda referida na alínea c), considerando um valor de referência para a amplitude do campo elétrico; ii) determine o valor de , sabendo que a radiação emitida pelo laser tem uma intensidade de -
Soluções Problema 1 a) b) c) d) ou
Considerando uma superfície de Gauss, com dois lados (interior e exterior) tangenciais à esfera, e espessura desprezável temos:
porque a distribuição de carga (não de polarização) é em volume.
etc. Problema 2 a) b) c)
d) Problema 3 a) b) c)
d) Problema 4 a) b)
Nestas condições c)
Nas condições da alínea anterior ( ):
O valor máximo desta expressão corresponde a , ou seja: d)
Problema 5 a) 1º máximo: Ou verificando-se que ( ) b)
c) d)
( e determinados nas alíneas anteriores) Usando a representação complexa:
Ou
