Aula n
o. 04
Esfera e Sólidos Redondos
Área da Esfera
A área de uma esfera é a medida de sua superfície. Podemos dizer que sua área é igual a quatro vezes a área de um círculo máximo, ou seja:
St= 4πR2
Volume da Esfera
Calcular o volume de uma esfera é obter a medida do espaço ocupado por ela. O volume é dado por
v = 4 3.πR
3
01.As cidades de Quito e Cingapura encontram-se pró-ximas à linha do equador e em pontos diametral-mente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas; b) 20 horas; c) 25 horas; d) 32 horas; e) 36 horas.
02. Uma doceira vende seu “brigadeiro de colher” em pequenos potes cilíndricos com 4 centímetros de diâmetro e 2 centímetros de altura de dimensões internas. Usando π = 3,1, podemos concluir que, para produzir 100 desses potes por dia, ela precisará preparar uma quantidade de brigadeiro aproximada-mente igual a a) 1 litro; b) 1 litro e meio; c) 2 litros; d) 2 litros e meio; e) 3 litros.
03.(PUCPR) – Um vaso cilíndrico de 6 cm de diâmetro e 16 cm de altura contém água até3
4de sua altura. Despejando-se no vaso uma quantidade de água equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de diâmetro, de quanto aumentará o nível de água no vaso? a) 4cm b) 5 cm c) 4 3cm d) 6 cm e) 5,33... cm pólo paralelos eixo meridiano pólo equador O R
04.(UFPR) – Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fun-didas e moldadas em forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, o raio do cilindro. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
05.Considere um depósito para combustível na forma de um cilindro, como mostra a figura a seguir:
A função v(x) = 80 (x – sen x), para valores de x no intervalo [0,2 π], permite calcular o volume, em metros cúbicos, do combustível existente no depó-sito cilíndrico, em razão da amplitude do arco ABC (igual à amplitude do ângulo x mostrado na figura)
A capacidade total de um depósito com essas carac-terísticas é, em m3, aproximadamente igual a: Atenção: aproxime o resultado para uma casa deci-mal e useπ = 3,1416
a) 350 b) 496,9 c) 502,5
06.(PUC – PR) – O boiler é um aquecedor constituído de uma parte cilíndrica e de duas semiesferas nas extremidades, conforme a figura. Se o boiler tem as dimensões abaixo, qual o número de litros mais pró-ximo de sua capacidade?
a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 e) 600
07.Quer-se mergulhar uma esfera metálica em um tubo em forma de cilindro circular reto que contém óleo até a altura de 5 cm e cujo raio é de 8 cm. Se a altura do cilindro é 7 cm, então, o raio R máximo que a esfera pode ter para que não haja transbordamento de óleo é, em centímetros, tal que:
a) R = 1 b) 1 < R < 2 c) 2 < R < 3 d) 3 < R < 4 e) 4 < R < 5 A B C x A C B 1,00 m 0,30 m
08.Os três recipientes da figura têm formas diferentes, a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme indicado nas figuras.
Sendo a altura igual ao diâmetro e representada por V1, V2e V3o volume de líquido em cada um dos
reci-pientes tem-se a) V1= V2= V3 b) V1< V3< V2 c) V1= V3< V2 d) V3< V1< V2 e) V1< V2= V3
09.Um faraó solicitou ao sábio grego Tales de Mileto, em sua visita ao Egito, que calculasse a altura de uma pirâmide. Esse fato ocorreu em torno do ano 600 a.C, quando esse feito ainda não havia sido registrado por ninguém. Tales, próximo da pirâmide em questão, enterrou parcial e verticalmente um bastão no chão. Observando a posição da sombra, colocou o bastão deitado no chão, a partir do ponto em que foi enterrado, e marcou na areia o tamanho do seu comprimento. Feito isso, tornou a colocar o bastão na posição vertical. Quando a sombra do bastão ficou do seu comprimento, Tales mediu a sombra da pirâmide e acrescentou ao resultado a metade da medida do lado da base da pirâmide. Explicou, então, aos matemáticos que o acompa-nhavam que essa soma era a medida da altura da pirâmide.
O principal fato matemático que pode explicar o ra-ciocínio feito por Tales é dado por:
a) propriedades de ângulos retos; b) propriedades de triângulos; c) semelhança de triângulos;
d) simetria entre os objetos e suas sombras; e) relações trigonométricas nos triângulos.
10. Numa reforma, planejou-se substituir por tacos as 162 tábuas corridas do assoalho de três salas. Cada tábua tem 3 m de comprimento por 15 cm de largura, e cada taco, 20 cm por 7,5 cm.
Sabendo-se que o número de tacos necessários para reformar cada sala é diretamente proporcional aos números 3, 4 e 5, quantos tacos serão utilizados na sala maior? a) 1215 b) 1620 c) 2025 d) 2100 e) 2120 V1 V2 V 3
Gabarito
01. c
Como as cidades são diametralmente opostas, a distância entre elas equivale a meia circunferência. d =1 22πR = π . 6370 km Supondoπ = 3,1, d 19.747 km Logo, tp =19.747 km 800 km / h 24,68 ou tp 25 horas 02. d
Volume de cada pote
VCIL=πR2. H VCIL=π22. 2 = 8π
Paraπ = 3,1 ⇒ VCIL 24,8 cm3 Como são 100 potes VT= 100 x 24,8 = 2480 cm3 Considerando que 1 litro 1000 cm3
temos Q =2480
1000 2,48 litros ou Q 2,5 litros 03. a
04. d
Fusão é sempre volume! Então4 3π R1 3+4 3π R2 3=πR2. H 4 3. 4 3+4 38 3= R2. 12 3 06. c
O sólido que representa o boiler pode ser entendido como a junção de um cilindro e uma esfera. Então, VB≅ VCIL+ VESF.
Considerando que 1 litro 1 dm3, podemos transfor-mar os comprimentos em dm. Assim:
VB πR2. H + 4 3π R 3=π 32. 10 + 4 3π 3 3= 126π Adotandoπ = 3,14 VB 126 x 3,14 = 395,64 dm3 400 dm3ou VB 400 litros 07. e 08. b
Supondo que, no recipiente do meio, o líquido preen-cha uma semiesfera, do enunciado temos a figura:
r ... medida do raio da boca de cada recipiente r’ 1
2r =
h ... medida da altura de cada recipiente. Temos: • V1= 1 3.π . (r’) 2. r∴ V 1= 1 3.π . 1 2. r 2 . r∴ V1=πr 12 3 (I) • V2= 1 2 4 3 . .π . r3∴ V2=2 r 3 3 π (II) πr3 Cingapura Quito H = 2 R = 2 H = 12 R = ? + = R = 82 R = 41 H = 10 dm R = 3 dm
