22/12/2020 Terça-feira Aula 01: Semelhança de Triângulo e Teorema e Tales Páginas 1, 2, 3, 4 e 5 do Compêndio

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Colégio São Francisco Xavier Professor: Otávio Ribeiro Trindade

Disciplina: Matemática 2 – Semelhança de Triângulo, Teorema e Tales e Teorema de Pitágoras

Série: 1º Ano

Data Dia da

semana

Conteúdos/Atividades

22/12/2020 Terça-feira Aula 01: Semelhança de Triângulo e Teorema e Tales Páginas 1, 2, 3, 4 e 5 do Compêndio

 Vídeo do Conteúdo está disponível em:

https://www.youtube.com/watch?v=pyAapMye4Ts https://www.youtube.com/watch?v=VdNXnLfMp1A  Resolver as Questões 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 do Exercício 29/12/2020 Terça-feira Aula 02: Teorema de Pitágoras

Páginas 6, 7 e 8 do Compêndio  Vídeo do Conteúdo está disponível em:

https://www.youtube.com/watch?v=dUiiGW0Tw5M  Resolver as Questões 8, 9, 10, 11 e 12 do Exercício

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GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ

SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA

EEEFM SÃO FRANCISCO XAVIER

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA 2 ANO/SÉRIE: 1º ANO PROFESSOR RESPONSÁVEL: OTÃVIO RIBEIRO TRINDADE

ALUNO (A):____________________________________________________

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois polígonos, com o mesmo número de lados, são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e lados

correspondentes proporcionais. Em outras palavras, polígonos semelhantes possuem o mesmo formato, mas suas dimensões nem sempre apresentam o mesmo tamanho. Observe na imagem a seguir um exemplo contendo dois triângulos semelhantes. Como essas figuras também são polígonos, então essa também é a sua definição de semelhança.

Os triângulos são polígonos que possuem o menor número de lados, portanto, é possível criar estratégias para diminuir o trabalho de verificar a semelhança entre eles. Essas estratégias são conhecidas como casos de semelhança de triângulos e serão discutidas a seguir.

1º Caso de semelhança: Ângulo-Ângulo (AA)

Sempre que dois triângulos possuírem dois ângulos correspondentes congruentes, eles já serão completamente semelhantes. Perceba que, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, eles também apresentam o terceiro ângulo congruente. Isso é garantido pela soma dos ângulos internos dos triângulos que sempre será igual a 180°.

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O exemplo seguinte mostra em vermelho dois ângulos congruentes de

dois triângulos distintos. O restante das medidas foi colocado em cinza apenas para perceber-se a semelhança entre os triângulos.

Observe que os lados correspondentes desses dois triângulos são proporcionais e que os ângulos que sobraram, destacados na cor cinza, são congruentes.

2º Caso de semelhança: Lado-Lado-Lado (LLL)

Sempre que dois triângulos possuírem três lados correspondentes proporcionais, então eles serão semelhantes. Em outras palavras, triângulos que possuem três lados proporcionais sempre apresentam os ângulos correspondentes congruentes. O exemplo a seguir mostra dois triângulos semelhantes, pois eles possuem as medidas de seus três lados proporcionais. Em cinza, estão as medidas dos ângulos desses triângulos.

3º Caso de semelhança: Lado-Ângulo-Lado (LAL)

Se dois triângulos distintos possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre esses lados é congruente, então esses dois triângulos são semelhantes. Na imagem a seguir, veja um exemplo de triângulos com dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente. Colocamos no exemplo o restante das medidas do triângulo em cinza para evidenciar a semelhança entre eles.

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3

Exemplo: Os dois triângulos a seguir são semelhantes. Determine a medida do segmento DF.

Como dois triângulos semelhantes possuem lados correspondentes proporcionais, para descobrir a medida de x, basta montar a proporção:

5 𝑥 = 4 14 4𝑥 = 5.14 4𝑥 = 70 𝑥 =70 4 𝑥 = 17,5𝑐𝑚

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TEOREMA DE TALES

O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria, que é expresso pela sentença:

"A interseção, por duas retas transversais, de um feixe de retas paralelas formam segmentos proporcionais."

Fórmula do teorema de Tales

Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:

Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: D, E e F. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:

𝐴𝐵 𝐵𝐶=

𝐷𝐸 𝐸𝐹

Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.

Exemplo: Determine a medida de x indicada na imagem.

Aplicando o teorema de Tales, temos: 3

9= 2 𝑥

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5

3𝑥 = 2.9 3𝑥 = 18 𝑥 =18 3 𝑥 = 6

Teorema de Tales nos triângulos

O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema:

De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:

Δ ABC ~ Δ AED

Exemplo: determine a medida x indicada na imagem.

Aplicando o teorema de Tales, temos: 24 30= 6 𝑥 24𝑥 = 6.30 24𝑥 = 180

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6

𝑥 =180

24 𝑥 = 7,5

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras tem inerente ligação com o triângulo retângulo, logo, antes de definir esse teorema deve-se relembrar a geometria por trás da teoria. O triângulo retângulo possui esse nome por ter um dos seus ângulos internos retos, ou seja, com o valor de 90 graus representado por um “quadradinho”.

Os lados do triangulo retângulo recebem nomes especiais, o lado oposto ao ângulo de 90 graus recebe o nome de hipotenusa e é geralmente representada pela letra “a” enquanto os outros dois lados são denominados catetos representados pelas letras “b” e “c”.

Cateto c

A Regra do Teorema de Pitágoras.

O valor da área do quadrado de lado “a” é igual a soma dos valores das áreas dos quadrados de lados “b” e “c”. Algebricamente, tem-se: 𝑎2 _{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2

Geometricamente tem-se:

A figura geométrica acima é o triângulo base para o Teorema de Pitágoras onde o valor de b = 4, c = 3 e a = 5.

Se substituirmos esses valores na fórmula do Teorema de Pitágoras se verifica sua autenticidade, note também que a quantidade de unidades de áreas, ou seja, Hipotenusa Cateto a b c b _a

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“quadradinhos” do quadrado maior de lado “a” é igual a soma das quantidades de “quadradinhos” dos quadrados de lados “b” e “c”.

Para os valores b = 4,c = 3 e a = 5 tem-se: 𝑎2 _{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2

52 _{= 4}2 _{+ 3}2

25 = 16 + 9 25 = 25

Assim verificou-se que o Teorema de Pitágoras realmente é válido.

Exemplo: 1ª Em um triângulo retângulo tem-se o valor de 𝑏 = 12 e 𝑐 = 9, encontre o valor de 𝑎.

Para resolver esse exercício basta aplicar o teorema. 𝑎2 _{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2 𝑎2 _{= 12}2 _{+ 9}2 𝑎2 _{= 144 + 81} 𝑎2 _{= 225} 𝑎 𝑎 = 15

Exemplo: Em um triângulo retângulo tem-se o valor de 𝑎 = 10 e 𝑐 = 8, encontre o valor de 𝑏.

𝑎2 _{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2

102 _{= 𝑏}2 _{+ 8}2

100 = 𝑏2 _{+ 64}

Alterando os lados da igualdade tem-se: 𝑏2 _{+ 64 = 100}

𝑏2 _{= 100 − 64}

𝑏2 _{= 36}

𝑏

𝑏 = 6

Exemplo: Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro.

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𝑎2 _{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2

122 _{= b}2 _{+ 8}2

144 = 𝑏2 _{+ 64}

Alterando os lados da igualdade tem-se: 𝑏2 _{+ 64 = 144} 𝑏2 _{= 144 − 64} 𝑏2 _{= 80} 𝑏 = √80 𝑏 = 4√5 𝑏 = 4 𝑥 2,24 𝑏 ≅ 8,94

O muro mede aproximadamente 8,94 metros

Exemplo: A distância entre os muros laterais de um lote retangular é

exatamente 12 metros. Sabendo que uma diagonal desse lote mede 20 metros, qual é a medida do portão até o muro do fundo?

𝑎2 _{= 𝑏}2 _{+ 𝑐}2 202_{= 12}2_{+ x}2 400 = 144 + x2 400 – 144 = x2 x2_{= 256} x = √256 x = 16 metros

Logo, a medida do portão é 16 metros

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-semelhanca-triangulos.htm

https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/

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ANEXO A – Exercício 1

GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO

A.O.S. DIOCESE DE ABAETETUBA EEEFM SÃO FRANCISCO XAVIER

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA 2 ANO/SÉRIE: 1º ANO____ PROFESSOR RESPONSÁVEL: OTÁVIO RIBEIRO TRINDADE

ALUNO (A):__________________________________________________________

1ª – Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x?

2ª – Para descobrir a altura de um prédio, Luiz mediu a sombra do edifício e, em seguida, mediu sua própria sombra. A sombra do prédio media 7 metros, e a de Luiz, que tem 1,6 metros de altura, media 0,2 metros. Qual a altura desse prédio?

3ª – A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é:

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4ª – Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m?

5ª – A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste?

6ª – No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Determine o valor de x aplicando a proporcionalidade entre segmentos paralelos cortados por segmentos transversais.

7ª – Observe a figura r // s // t. Calcule o valor de x de acordo com o Teorema de Tales.

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8ª – Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.

9ª – Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura.

10ª – Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.

11ª – Um garoto observa uma coruja no alto de um poste de 8 metros de altura. A sombra projetada desse poste no chão possui comprimento de 6 metros naquele horário. Sabendo que o poste forma um ângulo de 90° com o solo, qual é a distância do garoto até a coruja?

12ª – Para alcançar o galho mais alto de uma árvore, foi utilizada uma escada de 7 metros com sua base colocada a 3,4 metros de distância da árvore. A que altura, do chão, esse galho se encontra?