Faculdade de Engenharia El etrica e de Computac ~ ao Marcadores M
nimos usando Watershed
Autor: Wellington Diolice Felix da Silva
Orientador: Prof. Roberto de Alencar Lotufo, Ph.D.
Tesede DoutoradoapresentadaaFaculdadede
EngenhariaEletricaede Computac~aocomoparte
dos requisitos para obtenc~ao dottulo de Doutor
em Engenharia Eletrica.
Area de concentrac~ao:
Engenharia de Computac~ao.
FICHA CATALOGR
AFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA
AREA DE ENGENHARIA- BAE - UNICAMP
Silva,WellingtonDioliceFelix da
Sa38m Marcadores mnimosusando watershed / Wellington
DioliceFelix daSilva. { Campinas, SP: [s.n.], 2001.
Orientador: Roberto de Alencar Lotufo. Tese (doutorado)
-Universidade Estadualde Campinas, Faculdade de Engenharia
Eletricae de Computac~ao.
1. Processamento de Imagens. 2. Grafo(Sistemas
de computador). I. Lotufo, Roberto de Alencar.
Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP Faculdade de Engenharia El etrica e de Computac ~ ao Marcadores M
nimos usando Watershed
Autor: Wellington Diolice Felix da Silva
Orientador: Prof. Roberto de Alencar Lotufo, Ph.D.
Tesede DoutoradoapresentadaaFaculdadede
EngenhariaEletricaede Computac~aocomoparte
dos requisitos para obtenc~ao dottulo de Doutor
em Engenharia Eletrica.
Area de concentrac~ao:
Engenharia de Computac~ao.
Banca Examinadora
Arnaldo de Albuquerque Araujo,Ph.D. DCC/UFMG
Clesio Luiz Tozzi, Ph.D. DCA/FEEC/UNICAMP
Marcio Luiz de Andrade Netto, Ph.D. DCA/FEEC/UNICAMP
NeucimarJer^onimo Leite, Ph.D. IC/DCC/UNICAMP
Roberto de Alencar Lotufo, Ph.D. DCA/FEEC/UNICAMP
Agradecoatodas aspessoasqueacreditaramqueeu seria capazde
supe-rar mais um dos meus limites e que seria possvel concluir meu doutorado.
A estas pessoas omeu sinceromuito obrigado.
Agradecoa Fapesp que aoincentivara pesquisa noEstado de S~aoPaulo
permitiu que eu conclusse um sonho, sem que eu tivesse que passar por
todas as di culdades emque se encontram varios amigos de pos-graduac~ao.
Obrigado peloconforto ea tranquilidade nanceira.
Ficamaquimeusagradecimentosaos amigosde laboratorio,comosquais
cheguei a conviver durante alguns anos e puderam emprestar parte de suas
alegrias e paci^encia comoforma de incentivarcada novo passo dado.
AgradecotambemaminhaamigaCarmenquesemprenashorasmais
con-turbadas conseguia \um tempinho" e arrumava uma maneirade me ajudar
com os \abacaxis"que eu aparecia.
Registro aqui meus agradecimentos ao Francisco, ao Marco, ao Rangel,
ao Alexandre, ao Franklin, a Jane e ao Ricardo, que durante estes anos se
tornaram meus irm~aos ao compartilharmoso mesmoorientador.
Meu obrigadoao meu orientador Lotufo que nas horas providenciais me
indicou os caminhos menos tortuosos. Pelos \pux~oes de orelha" que n~ao
deixaram com que eu meacomodasse e, principalmente, por me aturar por
quase sete anos.
Agradecoa minhafamliae principalmenteaos meus pais Diolicee
Apa-recidaeaminhairm~aIsla,quen~aomediramesforcos paraestaraomeulado
e me proporcionar esta alegria. Sinto-me um privilegiado que recebe a sua
maior heranca, sem que para isto seja necessario perd^e-los. Obrigado por
acreditar em mim,pelaminhaformac~ao,porsermeu \portoseguro"e antes
de mais nada, porme ensinara ser gente.
mi-Tenho consci^encia de t^e-la prejudicado por algumas vezes, deixando-a num
segundoplanoaoterdepriorizaralgumasatividades. Masnemporistoperdi
seu apoio, ao contrario, semprecompreensivaesteve emtodos os momentos
aomeu lado. Com todaa certeza, parte doque pude fazer e mostraraquie
consequ^encia de sua presenca eperseveranca.
Um dia ouvi a seguinte frase: \Atras de um grande homem existe uma
grande mulher". Se aindan~aosou um \grande homem",tenhoa certeza que
embreveserei,poisn~aoserapelafaltade uma\grande mulher"aomeulado
Sumario ix
Lista de Figuras xiii
Lista de Algoritmos xvii
Resumo xix
Abstract xxi
1 Introduc~ao 1
1.1 Organizac~ao daTese . . . 3
2 Revis~ao Bibliogra ca 7 2.1 Segmentac~aoMultiescala . . . 7
2.1.1 GradienteMultiescala . . . 8
2.1.2 Watershed ModeladoemGrafo . . . 9
2.2 Segmentac~aoIntraquadro e Interquadros . . . 10
2.3 Transformac~aoImagem-Floresta . . . 11
3 Segmentac~ao de Objetos em Sequ^encia de Imagens 13 3.1 Segmentac~ao3D. . . 13
3.1.1 Propagac~aode Marcadores . . . 13
3.2 Segmentac~aoInterquadros (Inter-frames) . . . 14
3.2.1 Segmentac~aoIntraquadro . . . 15
3.2.2 Segmentac~aoInterquadros . . . 15
x SUMARIO 4 Conceitos Basicos 23 4.1 Imagem . . . 23 4.1.1 Vizinhanca . . . 26 4.2 Grafo. . . 28 4.2.1 Arvore . . . 30 4.2.2 Arvore Geradora Mnima . . . 30
4.3 Matriz . . . 30
4.4 Segmentac~ao. . . 31
4.4.1 Segmentac~aoMultiescala . . . 31
5 Watershed 35 5.1 Watershed Baseado na Simulac~aode Inundac~ao . . . 37
5.1.1 Linhas de Watershed . . . 37
5.1.2 Watershed porMarcadores . . . 38
5.1.3 Watershed Hierarquico . . . 40
5.2 ModelagemWatershed usandoGrafo . . . 42
5.2.1 Floresta de Caminho Mnimo . . . 42
5.2.2 Transformac~ao Imagem-Floresta . . . 43
5.2.3 Watershed Hierarquico Combinado a Segmentac~ao Multiescala . . . 45
5.3 Arvore Geradora Mnima . . . 50
5.4 Construc~ao da Arvore Geradora Mnima . . . 53
5.4.1 Metrica . . . 59
5.4.2 Inundac~aoUniforme versus Inundac~ao Sncrona . . . . 62
6 Marcadores Mnimos 65 6.1 Marcadores Mnimosem Grafo. . . 66
6.1.1 Exemplos . . . 68
6.1.2 Selec~aoAutomatica de Marcadores Mnimos . . . 76
6.1.3 Reduc~aode cadaMarcador a um Unico Ponto . . . 81
7 Implementac~ao 85 7.1 Grafo. . . 85
7.1.1 Matriz de Adjac^encia . . . 85
7.1.2 Matriz de Pesos . . . 86
7.1.3 Estrutura de Dados Morphgraph . . . 87
7.2 Arvore Geradora Mnima . . . 90
SUMARIO xi
8 Resultados 93
8.1 Plataforma eFerramentas de Trabalho . . . 93
8.2 Exemplos de Utilizac~aodaMetodologia Desenvolvida . . . 94
8.2.1 Particionamentoda Imagem . . . 95
8.2.2 Escolha Automatica de Marcadores . . . 99
9 Conclus~ao 105 9.1 Trabalhos Futuros. . . 106
Bibliogra a 109
3.1 Modelo esquematico dasegmentac~aointerquadros. . . 16
3.2 Modelo dasegmentac~ao interquadros. . . 20
3.3 Exemplo de segmentac~ao interquadros. . . 22
4.1 Vizinhanca2D. . . 26
4.2 Vizinhanca3D. . . 27
4.3 Grafon~ao direcionalcom pesos associados aos seus arcos. . . . 28
4.4 Classi cac~ao das diferentes subdivis~oes de uma imagem. . . . 32
4.5 Segmentac~aomultiescala.. . . 33
5.1 Ilustrac~ao 1D dos conceitos de zona plana, mnimo local, global eregional. . . 36
5.2 Linhas de watershed. . . 39
5.3 Comparac~ao do watershed tradicional com o watershed por marcadores emum sinal unidimensional. . . 40
5.4 Watershed hierarquicosegundoaabordagemdeinundac~aoem um sinal unidimensional. . . 41
5.5 Exemplo das metricas mais utilizadas no watershed hierarquico aplicadas aum sinal unidimensional. . . 41
5.6 O calculo do custo do caminho obedece o sentido que vai do marcador para o pontoanalisado. . . 43
5.7 Criterios para a determinac~aodos pesos doarcos da IFT por pixel usandovizinhanca-4. . . 44
5.8 Equival^encia da imagem particionada e da representac~ao por grafo.. . . 45
5.9 Exemplo departic~aoquen~aopode ser recuperadapelo water-shed usando asmicro-bacias de contenc~ao comomarcadores. . 47
5.10 Exemplo de particionamento multiescala obtido pelo water-shed hieraquico. . . 48
5.11 Transformac~ao imagem- oresta por regi~oes no modelamento
do watershed pormarcadores. . . 51
5.12 Transformac~ao imagem- oresta por regi~oes no modelamento do watershed hierarquico. . . 52
5.13 Equival^encia das partic~oes usando grafo e arvore geradora mnima. . . 54
5.14 Exemplo 1D de metodologias de inundac~aode um relevo. . . . 63
6.1 Sinalunidimensionalutilizadonaexempli cac~aodosdiferentes criterios de selec~ao automatica dos marcadores emgrafo. . . . 70
6.2 Gradientede uma imagem 2D. . . 70
6.3 Watershed por regi~oes correspondente aFigura6.2. . . 71
6.4 Arvore geradora mnima correspondente a Figura6.2. . . 71
6.5 Matriz de adjac^encia correspondentea Figura6.3. . . 72
6.6 Particionamentodesejado correspondente a Figura6.3. . . 73
6.7 Mapeamentodapartic~aodesejada(Figura6.6) naarvore ger-adora mnima. . . 74
6.8 Regi~oes receptivas de marcadores naarvore geradora mnima. 75 6.9 Regi~oes receptivas de marcadores correspondente a Figura6.3. 75 6.10 Escolha de um conjunto de marcadores mnimos segundo o criterio de bacias de contenc~ao. . . 77
6.11 Transformada dadist^anciaaplicada aimagemda Figura6.3. . 79
6.12 Resultado nal daaplicac~aodaimagemdas regi~oes receptivas demarcadorescomomascarasobreaimagemdatransformada da dist^ancia (Figura6.11). . . 79
6.13 Selec~ao dos marcadores segundo o criterio da dist^ancia. . . 80
6.14 Selec~ao de marcadores segundo o criterio de dist^ancia. . . 81
6.15 Selec~ao de marcadores segundo o criterio damaximadin^amica. 82 6.16 Marcadores da Figura 6.15 reduzidos aos pontos com maior din^amica dentro de cada bacia de contenc~ao escolhida. . . 83
7.1 Grafo usado nos exemplos. . . 88
7.2 Modelo adjacency morphgraph. . . 89
7.3 Estrutura de dados adjacencymorphgraph. . . 89
8.2 ParticionamentodaFigura8.1nasnregi~oesmaissigni cativas
daimagem. . . 96
8.3 Exemplo de regi~oes receptivas de marcadores relativos a um
particionamentoqualquer. . . 97
8.4 Regi~oes receptivas de marcadoresdaFigura8.1suavizada
pe-los ltrosconexos de aberturae fechamentoporreconstruc~ao. 98
8.5 Posicionamento dos marcadores decorrentes das metologias
para a selec~aode micro-baciasde contenc~ao. . . 101
8.6 Posicionamento dos marcadores pontuais decorrentes das
1 Construc~ao daarvore geradora mnima. . . 56
2 Atualizando osvalores da metrica de uma baciade contenc~ao. 60
3 Regi~aoreceptiva de marcadoresrelativa aum node fronteira
em arvores geradoras mnimasbaseada emwatershed. . . 68
4 Regi~oes receptivas de marcadores em arvores geradoras
O algoritmo de watershed e a mais poderosa ferramenta de morfologia
matematica para segmentac~ao de imagens. Este trabalho baseia-se no
pro-blema inverso do watershed por marcadores. De uma partic~ao previamente
obtida pelowatershed por marcadores, encontra-se um conjunto mnimo de
marcadores que reproduza a mesma partic~aodowatershed.
E apresentada uma soluc~ao baseada em arvore geradora mnima e nos
conceitos apresentados de regi~oes receptivas de marcadores, que e uma
re-gi~ao, onde um marcador adequado deve ser posicionado para aobtenc~ao da
segmentac~aodesejada.
A motivac~ao original para estes estudos foi o auxlio a segmentac~ao de
objetos em vdeo. A segmentac~ao interquadros baseada em watershed usa
a projec~ao de marcadores vindos do quadro anterior para o quadro atual.
Com a reduc~ao do numero e do tamanho dos marcadores propagados, a
segmentac~aointerquadroe melhorada.
A metodologia de marcadores mnimos e desenvolvida, implementada e
Thewatershed algorithmisthe mostpowerfultoolof mathematical
mor-phology for image segmentation. This work is based onthe inverse problem
of the watershed frommarkers. Fromapartitionprevioulsy obtained by the
watershed frommarkers, nd theminimalset of markers that reproduce the
same watershed partition.
Wepresentasolutionbasedontheminimumspanningtreeandintroduce
the concept of marker receptive region, which is a region where one marker
must be placedin order toget the goalsegmentation.
The originalmotivation of this study was toaid invideo object
segmen-tation. The inter frame watershed based segmentation uses a projection of
the markers used in the previous frame for the actual frame. By reducing
the number and size of the markers to be propagated, the inter frame
seg-mentation is improved.
The minimalset of markers methodology isdeveloped, implemented and
Introduc~ao
A maioria dos problemas abordados pelas tecnicas de processamento de
imagens,normalmenteacabamsendoreduzidos asituac~oesque envolvem
al-gum tipo de segmentac~ao. Uma boa segmentac~ao e a base da maioria das
metodologias envolvendo processamento de imagem, possibilitando extrair
regi~oes visualmenteimportantes de uma imagem, adeterminac~aode
marca-dores, a resoluc~ao do problema de correspond^encia de regi~oes, entre outras
aplicac~oes.
Ao trabalhar com a segmentac~ao de vdeo, onde o vdeo etratado como
umasequ^encia nitadeimagensbidimensionais,oproblemaganhamaisuma
dimens~ao. Torna-se necessario conhecer maneiras alternativas de conseguir
um mesmo particionamento. Desta forma,consegue-se a otimizac~aoda
me-todologiade segmentac~ao,ondeareutilizac~aodoparticionamentodoquadro
anteriorauxiliademaneiradecisivaocorrelacionamentodas regi~oes aolongo
da sequ^enciade vdeo.
Associando este conceito de segmentac~ao gradual da sequ^encia de vdeo
com a morfologia matematica 1
, atraves da metodologia de watershed,
consegue-se uma combinac~aoe cientede segmentac~ao iterativade vdeo.
1
J. Serra e G. Matheron s~ao considerados os precursores da morfologia
ma-tematica[Ser82][Ser88],introduzindoosconceitosfundamentaisdedilatac~aoedeeros~ao
2 CAPITULO 1. INTRODUCAO
Atravesdaadoc~aodowatershed pormarcadores, oproblema de
segmen-tarumaimagemdeixadeser amaiorpreocupac~ao,poisencontrando-se
mar-cadoresconsistentes,obtem-sefacilmenteoparticionamentodesejado. Sendo
assim, quando se trata de um particionamento de uma imagem atraves do
algoritmode watershed por marcadores, o problema deixa de ser encontrar
a partic~ao desejada e passa a ser a determinac~ao de um conjunto de
mar-cadorescapaz de gerar a partic~aodesejada. Deve-se observarque conjuntos
distintos de marcadores s~aocapazes de gerar uma mesmapartic~ao.
Devidoaimport^anciadadaadeterminac~aodestesmarcadores,veri ca-se
quequantomais versatilidade setivernaescolhadeste marcadores,menores
osproblemas a serem contornados devido aoconjuntode opc~oes oferecidas.
Nesta tese, e desenvolvida a metodologia denominada regi~oes receptivas
de marcadores[LS01], voltada adeterminac~aodoconjuntouniverso de
mar-cadores que permite a escolha de um subconjunto capaz de recuperar um
determinado particionamento de uma dada imagem. A escolha de um
con-junto mnimo, denominado marcadores mnimos, tambeme abordada neste
trabalho.
O conceito de regi~oes receptivas de marcadores esta baseado nahipotese
de encontrar regi~oes da imagem que podem ser tomadas como marcadores,
onde um dado particionamento pode ser recuperado. Desta maneira, a
es-colha domelhor posicionamentodos marcadores pode ser obtida atraves da
escolhade pontos que est~ao delimitadosespacialmentedentrodestas regi~oes
receptivas. Qualquer escolhadoconjuntode marcadoresfora destas regi~oes,
implicanecessariamente emum novo particionamento.
Fundamentadanateoriade grafo,ametodologiadesenvolvidaecapazde
obterresultadosdeumamaneirabastantee cientesemquehaja necessidade
davarredura pixel a pixel da imagem. Atraves do particionamento da
ima-gem de entrada em regi~oes de watershed e o mapeamento destas regi~oes de
dispositi-1.1. ORGANIZACAODA TESE 3
menor que amanipulac~aodireta dos pontos daimagem.
Atraves da criac~ao de uma estrutura de grafo denominada morphgraph,
concebida exclusivamente para a otimizac~ao da representac~ao do grafo,
consegue-se uma maneira agil e indexada de promover pesquisas das
infor-mac~oes dentrodaestrutura de dados. Istotraz um aumentosigni cativo da
qualidadedoprocessamentodasinformac~oes,onde caaindamais
evidencia-daa e ci^enciadesta representac~aoquandocomparada avarredura exaustiva
da estrutura de grafo.
1.1 Organizac~ao da Tese
Estateseestadivididademodoafornecergradativamenteossubsdios
ne-cessariosa compreens~aodoproblema de perseguic~aode objetos quemotivou
esta pesquisa,bem comoos resultadosobtidos emetodologiasdesenvolvidas
ao longo destes ultimosanos.
No captulo Revis~ao Bibliogra ca, s~ao apresentados resumos dos
princi-pais trabalhos publicados pelos diversos pesquisadores daarea e que s~ao de
fundamental import^ancia ao esclarecimento e desenvolvimento deste
traba-lho. Trata-sede umcaptuloindependentequepodeser estudadoaqualquer
instantesemquehajaperdade compreens~aopeloleitor. Neles~aoexpostasas
linhas de estudotrilhadaspelos gruposde pesquisa daatualidade, conceitos
de relev^ancia que serviram de inspirac~aopara esta tese.
No captulo Segmentac~ao, e apresentada uma metodologia de
segmen-tac~aode sequ^encia de vdeo que serviu de inspirac~aopara chegar aos
princi-pais conceitos deste trabalho. Trata-sede uma metodologia de segmentac~ao
inspirada emum problema de acompanhamentode regi~oes nos diversos
ins-tantes de tempo de uma sequ^encia de vdeo. Adicionalmente, o captulo
apresenta uma metodologia de Perseguic~ao de Objetos propondo uma
4 CAPITULO 1. INTRODUCAO
de segmentac~ao
NocaptuloConceitos Basicos s~aolevantadasasdiversasfundamentac~oes
teoricas utilizadas nodesenvolvimento deste trabalho. Tratam-sede
concei-tos ja consagrados na literatura e que servem de sustentac~ao para todos
metodos e resultados aquiapresentados.
E um captulo vitala compreens~ao
do trabalho e que eventualmente pode ser negligenciado caso o leitor
com-preenda os conceitos nele apresentados.
No captulo Watershed, a metodologia de trabalho comeca a ser
desen-volvidae oleitor comecaaser posicionadosobre asnuancas queenvolvem o
problema. Trata-sede um captulo defundamentac~aoteorica sobreo
princi-palconceitoenvolvendootrabalho,oqualedetalhadode maneiraexaustiva,
com objetivo de esclarecer todos os pontos de import^ancia, bem como
rela-cionaralguns conceitos.
Marcadores Mnimos eumcaptulodestinadoaapresentac~aoda
metodo-logiaproposta nesta tese. Toda a parte conceitual e desenvolvida de modo
a expor as di culdades e principalmente as soluc~oes encontradas.
Apoia-da nos dois captulos anteriores, a metodologia e descrita de forma a estar
sustentada conceitualmente.
Nocaptulo Implementac~ao s~aoapresentadososrecursos emetodos
com-putacionais utilizados para a viabilizac~ao da metodologia. Estruturas de
dados de representac~ao e manipulac~aodas informac~oes s~ao descritas em
de-talhes, de modo que seja possvel a reproduc~ao e a melhoria dos artifcios
utilizadospara sechegara um conjuntode operac~oes funcionais. Vantagens
e desvantagens observadas s~ao discutidas de modo a justi car as escolhas
feitasao longodo projeto.
OcaptuloResultados trazumconjuntodeexperimentosfeitosdemodoa
ilustrarosresultadosobtidos. Diversostestess~aoapresentadosecomentados
emrelac~aoa sua relev^ancia.
ob-1.1. ORGANIZACAODA TESE 5
Revis~ao Bibliogra ca
Estecaptulotemcomoobjetivoprincipalaapresentac~aodemetodologias
de segmentac~ao que s~ao utilizadas como inspirac~ao e refer^encia para a
ob-tenc~ao de resultados desta dissertac~ao. Atraves de uma revis~ao bibliogra ca
pretende-se expor os principais artigos referenciados, destacando os pontos
derelev^anciaapresentadosemcadaabordagem,bemcomoalgunsresultados.
2.1 Segmentac~ao Multiescala
A segmentac~ao multiescala consiste na determinac~ao de nveis de
seg-mentac~ao da imagem.
A medida que e exigido um maior detalhamento do
particionamento,aumenta-seonumerodepartesemqueaimagemedividida
e os pequenos detalhes passam a de nir regi~oes na imagem. Quando o nvel
de detalhamentoe menor, o numero de regi~oes do particionamento diminui
de modo que somente as bordas mais signi cativas da imagem de nem a
8 CAPITULO 2. REVISAO BIBLIOGRAFICA
2.1.1 Gradiente Multiescala
Antes de mencionar as abordagens de segmentac~ao multiescalae
impor-tante destacar o trabalho publicado por Wang sobre gradiente
multiesca-la[Wan97], ondeo objetivoeobter uma segmentac~ao de imagememregi~oes
homog^eneas e localizar com exatid~ao os contornos destas regi~oes atraves de
um novoconceito de gradiente.
Para a segmentac~ao da imagem utiliza-se o watershed aplicado ao
gra-diente da imagem a ser segmentada. assimindo-se a imagem do gradiente
como uma superfcie tridimensional, onde a intensidade do gradientee
vis-ta como sendo a altura, as regi~oes de borda mais intensa na imagem s~ao
geralmente segmentadas por terem altos valores de gradiente que aparecem
comoaslinhas de watershed de umasuperfcie3D. Ointeriorde cada regi~ao
usualmentetem baixo valorde gradiente e s~aoconsiderados como bacias de
contenc~ao da superfcie 3D.
Apartic~aoobtidapelaslinhasdewatershed divideaimagememdiferentes
regi~oes que correspondem as regi~oes homog^eneas da imagem segmentada.
Destaforma,o desempenho dasegmentac~ao baseada emwatershed depende
diretamente doalgoritmode gradiente.
Ogradienteconvencionalpossuiseriosinconvenientesparaasegmentac~ao
baseada emwatershed. A operac~ao convencional de gradiente vista como o
gradiente morfologico produz muitos mnimos locais decorrentes de rudos
e erros de quantizac~ao dentro das regi~oes homog^eneas. Cada mnimo do
gradienteresultaemuma baciadecontenc~aonowatershed,resultandonuma
supersegmentac~ao,onde uma regi~aohomog^enea pode ser particionada num
grandenumerode regi~oes econtornoscoerentes podemser perdidosnomeio
de falsos contornos.
Buscando resolver este problema, Wang prop~oe um novo gradiente
de-nominado gradiente multiescala, onde e possvel borrar arestas de modo a
2.1. SEGMENTACAO MULTIESCALA 9
Oconceitode gradientemultiescala,MG(f),consistenamedia
pondera-dadosgradientesmorfologicosobtidospordiferenteselementosestruturantes
quadrados, B
i
, de tamanho (2i+1)(2i+1),com 0in
MG(f)= 1 n n X i=1 [((f B i ) (f B i )) B i 1 ] (2.1)
onde e denotam as operac~oes de dilatac~ao e eros~ao morfologicas,
res-pectivamente.
Desta maneira, Wang evidencia as bordas que s~ao mais representativas
e que s~ao encontradas nas diversas iterac~oes de gradiente morfologico que
determinam o gradiente multiescala. Quanto maior o valor de n, maior a
suavizac~ao do gradiente multiescala e, consequentemente, menor o numero
de regi~oes resultantes da aplicac~ao do watershed, decorrente da remoc~ao de
alguns mmimoslocais daimagemdo gradiente.
Assim, variando ovalor de n consegue-se uma ferramenta multiescalade
segmentac~aoda imagem,onde as bordas mais signi cativass~aopriorizadas.
Seguindo ainda a abordagemde segmentac~ao multiescala,Salembier
pu-blica uma abordagemde segmentac~ao multiescalausando watershed [SP94].
2.1.2 Watershed Modelado em Grafo
Fundamentado noconceito de junc~ao das regi~oes obtidas pelowatershed
tradicional aplicadoa imagemdogradiente morfologico, Meyer consegue
hi-erarquizar estas junc~oes de modoqueas regi~oes sejamunidas seguindo uma
hierarquia de menor custo de junc~ao.
Buscando uma ferramenta mais interativa onde fosse possvel trabalhar
em um nvel mais altode abstrac~ao, Meyer em [Mey94 ][Mey96 ] mostra que
o problema de watershed pode ser abordadosegundo ateoria de grafo.
origi-10 CAPITULO 2. REVISAO BIBLIOGRAFICA
contenc~ao da imagemoriginalvista como um relevo.
A representac~ao da relac~ao de vizinhanca entre as diversas micro-bacias
de contenc~ao e representada na forma de grafo, onde cada micro-bacia de
contenc~ao corresponde a um no dografo. A cada duas micro-bacias de
con-tenc~aovizinhas, de ne-seumarco nografounindoosnoscorrespondentes as
micro-baciasdecontenc~ao. Paracada arcodografoecalculadoum peso que
corresponde ao menor custo de passagem de uma micro-bacia de contenc~ao
paraaoutra. Originalmenteestecustoera dadoexclusivamentepela
profun-didade da bacia de contenc~ao, no entanto novos criterios como o de area e
de volume foramsugeridos e incorporados ametodologia[LF00].
Devido ao watershed estar fundamentado no criterio de minimizac~aodo
custo maximoepossvelsimpli caro grafode vizinhancaoriginalpara uma
arvore geradora mnima, a qualcontem todas as informac~oes necessarias ao
processamento dowatershed.
Maioresinformac~oes podemser obtidasnoCaptulo5,onde esta
aborda-gem e detalhada, oferecendo subsdios para o desenvolvimento e a
apresen-tac~ao dos novos resultados.
2.2 Segmentac~ao Intraquadro e Interquadros
Focado em uma metodologia de codi cac~ao de vdeo baseada em regi~oes
parataxasdetransmiss~oesmuitobaixas,Salembierapresentaem[STMG95],
uma metodologia para a codi cac~ao de sequ^encias de vdeo baseada em
re-gi~oes. A codi cac~ao envolve uma segmentac~ao recursiva no tempo
relaci-onada a homogeneidade das regi~oes, estimativa de movimento baseada em
regi~oes e compensac~ao de contornos e de texturas codi cados.
No contexto de codi cac~ao de vdeo com baixas taxas de transmiss~ao,
existe um crescente interesse em gerar tecnicas de compress~ao de imagens.
qua-2.3. TRANSFORMACAOIMAGEM-FLORESTA 11
propriedades dosistema visualhumano.
Metodosdecompensac~aodemovimentobaseadosemregi~oesdescrevema
imagememtermosdeumconjuntoderegi~oesqueconsistenapartic~ao.
Algu-mas informac~oes para cada regi~aos~ao usadas pelo receptor para reconstruir
a imagem.
Esta abordagem e melhor explorada no Captulo 3, onde a
metodolo-gia e descrita e aplicadaa um problema de perseguic~ao de objetos em uma
sequ^encia de vdeo.
2.3 Transformac~ao Imagem-Floresta
A transformac~ao imagem- oresta (image foresting transformation) e
apresentadaem[FLA99],ondeoproblemadecrescimentoderegi~oesetratado
de modogenerico e n~aoapenas considerando ocaso particular dowatershed
emgrafo. Atravesdomapeamentodaimagemde entradaemum grafo
usan-do aabordagemapresentada em[Mey94], computa-se a orestade caminho
mnimo deste grafo[Dia69][Dij59].
Devidoarelac~aodiretacom osconceitosapresentadosno
Segmentac~ao de Objetos em
Sequ^encia de Imagens
3.1 Segmentac~ao 3D
O objetivo da segmentac~ao 3D e particionar a sequ^encia de quadros, de SEGMENTAC ~
AO3D
modoacomporos volumes3D referentes acada regi~aoda sequ^encia. O
vo-lume 3D pode ser de nido comojunc~aodas diferentes partic~oes encontradas
ao longo do tempo referentes a uma mesma regi~ao. Segmentar este tipo de
sequ^enciausandoasegmentac~ao3Deequivalenteaencadearordenadamente
no tempo, todas aspartic~oes encontradasreferente aos quadros queformam
a sequ^encia.
3.1.1 Propagac~ao de Marcadores
A segmentac~ao 3D pode ser classi cada segundo duas abordagens
dis-tintas, diferenciadas pela forma de propagac~ao dos marcadores ao longo da
sequ^encia de vdeo: interquadros e puramente3D.
A primeira delas e a abordagem interquadros, onde os marcadores s~ao
distribudos noprimeiroquadro dasequ^encia eestes s~aopropagados quadro
14CAPITULO3. SEGMENTACAODEOBJETOSEMSEQUENCIADEIMAGENS
abordageme a diminuic~ao do volume de dados manipulado durante o
pro-cesso de propagac~ao dos marcadores. S~ao necessarios apenas dois quadros
da sequ^encia de vdeo a cada iterac~ao do processo: o quadro anterior e o
atual. Em complemento,s~ao necessarios tambemos marcadores relativos a
segmentac~aodoquadroanterioreumaimagem\vazia"quetraraoresultado
doparticionamentoaposa conclus~aoda iterac~ao.
Na segunda abordagem de segmentac~ao, a puramente 3D, toda a
sequ^encia e manipulada ao mesmo tempo. Independentemente do quadro
onde um marcador e colocado, este marcador se propaga
simultaneamen-te nos eixos espaco-temporal, para instantes de tempo passados e futuros.
Desta forma, a sequ^encia de vdeo e manipulada como um todo, havendo a
necessidade do conhecimento previo de todo o conjunto de quadros. Alem
doinconvenientedamanipulac~aosimult^aneadeumgrandevolumede dados,
atravesdestaabordagemeimpossveloprocessamentodeimagensadquiridas
emtemporeal. Qualquerreadequac~aocomoacolocac~aoouaremoc~aodeum
marcador, resultano reprocessamento completo dasequ^encia de imagens.
3.2 Segmentac~ao Interquadros
(Inter-frames)
Partindo dapremissade quepequenas alterac~oes ocorrem de um quadro
para seu adjacente, o aproveitamento da segmentac~ao do quadro anterior
na segmentac~ao do atual mostra-se interessante devido a reutilizac~ao das
informac~oes das segmentac~oes passadas, o que facilita o acompanhamento
temporaldas regi~oes.
Para queoprocesso sejainicializado,haanecessidadede que umquadro
sejapreviamentesegmentado. Concludaasegmentac~aodoprimeiroquadro,
afase de segmentac~aointer-quadros pode ser iniciada, aqual obtemde
3.2. SEGMENTACAO INTERQUADROS (INTER-FRAMES) 15
anterior.
3.2.1 Segmentac~ao Intraquadro
A segmentac~ao intraquadro, conhecida tambem por segmentac~ao intra- SEGMENTAC ~
AOINTRAQUADRO
frame,e um processo 2D, que consiste emutilizar-sede artifcios que
possi-bilitemadivis~aodeumquadrodasequ^enciadeimagensempartesrotuladas.
Durante a inicializac~ao do processo de segmentac~ao intraquadros, e
ne-cessario de nir a primeira partic~ao, que inicialmentee propagada pela fase
interquadros. A princpio, qualquer algoritmode segmentac~ao 2D pode ser
aplicado nesta fasesem quehaja prejuzos as fases subsequentes.
Concluda a segmentac~ao 2D, s~ao associados rotulos a cada grupo de
partesquepossuamummesmosigni cadosem^anticodentrodacenaeatraves
destes rotulostorna-sepossvelacompanharum dadoobjetonasequ^encia de
vdeo.
3.2.2 Segmentac~ao Interquadros
O objetivo da segmentac~ao interquadros, conhecida tambem por seg- SEGMENTAC ~
AOINTERQUADROS
mentac~ao inter-frames, e segmentar iterativamente os demais quadros da
sequ^encia de vdeo e estabelecer a correspond^encia do movimento de cada
partic~ao aolongo desta sequ^encia.
A segmentac~ao interquadros efeita apartir dos quadros anteriore atual
e atraves da propagac~ao dos marcadores do quadro anterior para o atual.
Inicialmente, a cada nova iterac~ao, a imagem dos marcadores do instante
atual e inicializadocomo sendouma regi~aode incerteza, ouseja, n~ao possui
nenhum rotulo associado (Figura3.1).
Os marcadores rotulados do quadro anterior s~ao propagados nos eixos
espaco-temporal,demodoqueocupemtodososespacosdos quadrosde
mar-cadores.
seg-16CAPITULO3. SEGMENTACAODEOBJETOSEMSEQUENCIADEIMAGENS
Quadros
Marcadores
Segmentação
Anterior
Atual
Anterior
Atual
Anterior
Propagação dos marcadores
Atual
Nova
Segmentação
Área de
Incerteza
Figura3.1: Modelo esquematico dasegmentac~aointerquadros.
cam cada regi~ao de maneira unica, consegue-se determinar qual a evoluc~ao
sofrida porcada uma das partes doquadro segmentado.
Os marcadores obtidos nasegmentac~ao doquadro atual ser~ao utilizados
na proxima iterac~ao da fase interquadros fazendo com que os rotulos dos
marcadores sejam mantidos durante toda a segmentac~ao da sequ^encia de
vdeo.
Orecursode propagac~aode marcadoresentre um quadroeseu adjacente
e e ciente para as situac~oes onde um objeto se mantem em cena. Nos
ca-sos onde novos objetos s~ao inseridos no transcorrer da sequ^encia de vdeo,
existe anecessidadedainserc~aode novosmarcadores paraareadequac~aodo
particionamentoobtido. Odesaparecimentoderegi~oesn~aoprecisaser
3.3. PERSEGUICAO DE OBJETOS 17
3.3 Perseguic~ao de Objetos
Comaevoluc~aotecnologica,aarea deprocessamentodeimagenstem
ga-nhado cada diamais adeptos interessados emperseguir um objetode forma
e ciente, numa sequ^encia de vdeo. Padr~oes tradicionais de vdeo como o
MPEG-1 eoMPEG-2, n~aopossuemumadescric~aoapropriadaaeste
proble-ma. As imagenss~aotratadascomoum unico objetoretangular, di cultando
a representac~ao de objetoscujas formas n~aos~aoretangulares.
Coma especi cac~ao donovo padr~aoMPEG-4, recursos conhecidoscomo
VOP 1
fazem o armazenamento de um objeto de forma irregular de uma
maneira coerente. Deste modo, a sequ^encia de vdeo pode ser tratadacomo
uma composic~ao ordenada por camadasde VOPs. Este arranjo e conhecido
como VOL 2
e representam o historico evolutivode um dado objeto da cena
ao longo dotempo.
Para imagens naturais, a grande di culdade na codi cac~ao do
MPEG-4 esta no processo de determinac~ao dos VOPs que e o acompanhamento
temporal do objeto na cena, ou seja, conseguir uma maneira e ciente de
encontrar o objeto de interesse nos diferentes instantes de tempo.
A perseguic~ao de objetos em uma sequ^encia de vdeo esta baseada no PERSEGUIC ~
AODEOBJETOS
fato de queum objetoimersonum fundo qualquer (background),se move ao
longo do tempo, sofrendo deformac~oes geometricas. Este objeto e delineado
num dadoquadro dasequ^enciade vdeoe apartirdeste instante passaa ser
perseguido aolongo dacena, independente domovimentodescrito.
Apartir dos conceitos de processamento de imagens,localizarum objeto
nacenasigni casegmenta-lo. Perseguiresteobjetoaolongodotempo
impli-ca em fazer uma segmentac~ao, identi cando oobjeto emtodos os diferentes
instantes de tempo dacena.
Partindodapremissadequeocorrem\pequenas"alterac~oesdeumquadro
para seu adjacente, o aproveitamento das informac~oes da segmentac~ao 3D
1
VOP:Doingl^esVideoObjectPlane.
18CAPITULO3. SEGMENTACAODEOBJETOSEMSEQUENCIADEIMAGENS
mostra-se e ciente para oacompanhamentodas regi~oes.
Resgatando a metodologia de segmentac~ao interquadros apresentada na
sec~ao3.2.2epossvelacompanharaevoluc~aotemporaldasregi~oesdaimagem
atravesdos rotulos associados a elas.
Para que o processo de perseguic~ao de objeto seja iniciado, ha a
neces-sidade de um quadro previamente segmentado e rotulado. A segmentac~ao
deste quadroeobtidaatraves de uma segmentac~aointraquadros. Concluda
a segmentac~ao do primeiro quadro, passa-se para a fase de segmentac~ao
in-terquadros, na qual obtem-se de formaiterativa,a segmentac~ao dos demais
quadros dasequ^encia.
Atravesdapropagac~ao temporaldos rotulosutilizandoametodologiade
segmentac~ao interquadros, consegue-se trilhar o caminho percorrido pelas
regi~oes da imagem.
Aoselecionarum dadoobjetoaserperseguido, bastadescobrirosrotulos
das regi~oes que o constituem e apos a segmentac~ao interquadros ter sido
processada, localizar o conjunto de rotulos no quadro segmentado. Desta
maneira, consegue-se identi car o objeto de interesse em todos os quadros
dasequ^encia de vdeo segmentada.
Durante a inicializac~ao do processo de perseguic~ao de objetos atraves
dasegmentac~aointerquadros, e necessariode nir a partic~aoinicial que sera
propagada. A princpio, qualquer algoritmo de segmentac~ao 2D pode ser
aplicadosem que haja prejuzos nas etapas subsequentes.
Como exemplo de segmentac~aointraquadros, sugere-se a abordagem
ba-seadanos mnimosregionaisde alturah,ondepartindode umasequ^enciade
vdeo, aplica-se inicialmente um ltro conexo para a simpli cac~ao do
qua-dro,preservandoaintegridadedoscontornosmaissigni cativoseeliminando
pequenos rudos na imagem. Como exemplo de ltro conexo utiliza-seuma
aberturaporreconstruc~aoseguidade umfechamentoporreconstruc~ao
3.3. PERSEGUICAO DE OBJETOS 19
usando um elemento estruturante cruz 33 de modo a determinar os
con-tornosdas regi~oes queformamaimagem. De ne-segradientemorfologico de GRADIENTEMORFOL
OGICO
uma imagemnvelde cinza comosendo adiferencadaimagemdilatadapela
erodida.
Apos a determinac~ao do gradiente morfologico da imagem simpli cada,
encontram-se os mnimos regionais de altura h da imagemdo gradiente, de
modoa obter as regi~oes planas daimagem, cuja variac~aomaximana
inten-sidade dos pixels e igual a h. S~ao consideradas regi~oes planas da imagem,
aquelas que contenhamum numero mnimode pontos conexos.
Buscando evitar que pequenos rudos sejam considerados regi~oes planas
da imagem, as regi~oes cujo numero de pontos e inferior a uma area pr
e-estabelecidas~aodescartadas. Alemdisso, buracosconstitudosporpequenas
regi~oes n~ao planas, imersas nas regi~oes planas, tambem s~ao considerados
parte das regi~oes planas da imagem. As dimens~oes mnimas de uma regi~ao
plana easdimens~oes maximas de um buracoaser ignorados~aoselecionadas
de acordocom a conveni^encia do problema aser resolvido.
Aimagemcontendoasregi~oesplanaserotuladaeutilizadacomoimagem
de marcadores pelowatershed, obtendo-se asegmentac~ao das regi~oes.
Os marcadores que ser~ao utilizados na segmentac~ao do proximo quadro
s~ao obtidos atraves da eros~ao das regi~oes binarias do particionamento.
Es-ta eros~ao e necessaria, pois e atraves dela que se consegue acompanhar as
deformac~oes das regi~oes e tambem evitar o posicionamento de marcadores
proximos as bordas que normalmente s~aoregi~oes ruidosas daimagem. Para
queacoer^enciadas regi~oessejamantida,oscorrespondentes rotuloss~ao
apli-cados acada regi~aoapos aeros~ao.
E atraves damanutenc~aodos rotulosque
se consegueacompanhar temporalmenteaevoluc~aode cada umadas regi~oes
que comp~oem a imagem.
Tendocompletadoafaseintraquadro,passa-seafaseinterquadros
20CAPITULO3. SEGMENTACAODEOBJETOSEMSEQUENCIADEIMAGENS
Figura3.2: Modelo dasegmentac~ao interquadros.
regi~aoaolongodasequ^encia. Asegmentac~aointerquadros e feitaatravesdo
crescimentodos marcadoresdoquadro anteriorpara oatual. Na faseinicial,
osmarcadores s~aoos encontrados nafase intraquadro.
A segmentac~aointerquadros e feita a partir dos quadros: anterior, atual
e dos quadros contendo os marcadores dos quadros anterior e atual
(Figu-ra 3.2). Inicialmente, a cada nova iterac~ao, o quadro de marcadores do
instante atual e inicializado como sendo uma regi~ao de incerteza, ou seja,
n~ao possui nenhum rotulo associado.
3.3. PERSEGUICAO DE OBJETOS 21
quadros de marcadores. A propagac~ao destes marcadores e feita
atraves de um algoritmo de crescimento de regi~ao escolhido
previamen-te [Gu96][STMG95][SBCP96 ][Wan98]. Neste trabalho, foi escolhido um
al-goritmo baseado emwatershed porsimilaridade [Sil97].
Concludaapropagac~aodos marcadores, oresultadoobtidore ete a
seg-mentac~ao do quadro atual. Atraves da propagac~ao dos rotulos que
identi -cam cada regi~ao de maneira unica, consegue-se determinar qual a evoluc~ao
sofrida emcada uma das regi~oes segmentadas.
A determinac~aodo quadro de marcadoresque sera utilizadonaproxima
iterac~ao e feita atraves da eros~ao da imagem binaria das regi~oes do quadro
segmentac~ao atual, conforme apresentado no nal da etapa de segmentac~ao
intraquadro. Osrotulos das regi~oes daimagem de marcadores s~aomantidos
de acordocom os rotulos obtidosna segmentac~ao.
Para a identi cac~ao do objeto perseguido aolongo da sequ^encia de
qua-dros segmentados, basta selecionar as regi~oes cujos rotulos s~ao os mesmos
que foramselecionado nafase intraquadro.
Aseguir, naFigura3.3eapresentado um exemplode segmentac~ao
inter-quadrosutilizadanaperseguic~aodeobjetos. Oexemplocontemplaaimagem
de um tenistade mesa que deve ser delineado emcada um dos quadros
pro-cessados.
Na Figura 3.3(a) e apresentada a imagem original a ser segmentada.
Atraves do conjunto de marcadores iniciais, apresentados na Figura 3.3(b)
obtem-se a primeira partic~ao (Figura 3.3(c) correspondente a segmentac~ao
intraquadro. Deve-se observar a necessidade da colocac~ao de um marcador
externo paraa recuperac~aodofundo. Na Figura3.3(d)eapresentada a
22CAPITULO3. SEGMENTACAODEOBJETOSEMSEQUENCIADEIMAGENS
(a)Imagemoriginal (b)Marcadoresiniciais
Conceitos Basicos
Este captulo tem o objetivo de levantar os principais conceitos de
pro-cessamento de imagens, procurando de n-los de maneira simples e precisa.
Conceitos como o de imagem e de grafo formam parte doalicerce usado no
desenvolvimentode todoomaterialproduzidonesta tese e,por este motivo,
s~ao apresentados aseguir.
4.1 Imagem
Umaimagem [FvFH97]e umafunc~aode variaveiscontnuas, de nida no IMAGEM
domniodacena representada. Devidoa sua natureza contnua, imagens
re-ais s~ao complicadas de serem modeladas, tornando praticamente inviavel o
seu processamento atraves de computadores digitais. A soluc~ao
comumen-te adotada para este problema e criar uma representac~ao discretizada desta
imagem,amostrando algunspontos daimagemcontnua. Destaforma,a
in-formac~aocontida naimagemereduzida aumaquantidade nita, facilitando
o manuseio earmazenamento destas informac~oes.
Dispositivoscomoscanners, lmadoras,c^amerasfotogra casdigitais,
en-tre outros,utilizam-sedesteprocessoparaaquisic~aodesuasimagens.
Obser-vequeaqualidadedaamostraobtidadependedaqualidadedoequipamento
24 CAPITULO 4. CONCEITOS BASICOS
capturada.
Uma imagem digital ou discreta, I, e uma matriz n-dimensional ni-IMAGEMDIGITAL
ta, onde para cada uma de seus elementos denominado ponto ou pixel,
PONTO
I(x
1
; ;x
n
), de ne-se uma colec~ao ordenada de i valores que descrevem
seus atributos, k ;1k i. I(x 1 ;;x n )=( 1 ; ; i ) (4.1)
De ne-seodomniodeumaimagemdigital,D,comooconjuntodos pon-DOM
INIO
tos da imagem I, onde cada elemento do domnio possui um unico
corres-pondente noconjuntoimagem. O conjunto imagem de uma imagemdigital, CONJUNTOIMAGEM
K i
, e de nido como conjunto de atributos associados a cada elemento do
domnio.
I :D!K i
(4.2)
Nestedocumentos~aoapresentadasmetodologiasdesenvolvidasno
contex-to de imagens digitais, as quais s~ao referenciadas ao longo do texto apenas
porimagem.
Certamente o atributo mais utilizado na representac~ao de imagens
dis-creta e o de intensidade de cores. A grande maioria das imagens reais s~ao
imagens coloridas. Suas cores s~ao costumeiramente descritas utilizando-se
modelosderepresentac~oesquebuscamreproduzirdamelhormaneirapossvel
todoo espectro de cores.
Para imagens apresentadas em monitores do tipo CRT 1
, normalmentee
utilizadoomodelo de cores conhecido comoRGB 2
. Nocaso das impressoras
o modelo mais adotadoe o CMY 3
. Nas transmiss~oes de TVs convencionais
omodeloutilizadoeo YIQ 4
.Nasantigas televis~oes brancoe preto,apenas a
1
CRT:doingl^es,Cathode RayTube.
2
RGB: doingl^es,Red,Blue eGreen.
3
CMY:doingl^es,Cian, Magenta eYellow.
4
informac~aodalumin^anciaeprocessada pelo aparelho.
Como os modelos de representac~ao de cores do tipo RGB, CMY, HSV 5
,
HLS 6
, entre outros s~ao modelos tridimensionais, estes precisam ser
proces-sados em cada uma das suas componentes de cores, fazendo com que uma
imagem tenhaque ser processada tr^es vezes (umapara cada componente de
cor), tornando o processo mais custoso.
Boa parte das metodologiasdesenvolvidas na literaturapressup~oe a
uti-lizac~ao da lumin^ancia como unico atributo para a representac~ao de cor,
re-sultando em imagens nveis de cinza. A utilizac~ao de um dos modelos de
representac~ao YIQ ou YCrCb traz a informac~ao de lumin^ancia na
compo-nente Y.
De ne-seimagem nvel de cinza, I
g (x
1
;;x
n
)comoumaimagemonde, IMAGEMN
IVELDECINZA
para cada ponto,o atributointensidade de cor erepresentado porum unico
valor, , normalmentecorrespondenteainformac~aode lumin^aciadaimagem
colorida. I g (x 1 ; ;x n )= (4.3)
Comumente, asvariac~oesnaintensidadedos nveisde cinzade uma
ima-gem discreta s~ao normalizadas para o intervalo [0;255] Z. Em outros
casos, as informac~oes das intensidades dos nveis de cinza s~ao mapeadas no
intervalo [0;1]R.
Utilizando-sedarepresentatividadedalumin^ancia,estetrabalhoe
basea-doemimagensnveisdecinza,ondeoatributointensidadedecorcorresponde
ao campo de lumin^ancia daimagem originalmentecolorida. Para a
simpli -cac~aodanotac~ao,imagensnveis de cinzaI
g
ser~aoreferenciadas aolongo do
texto como I. No contexto desta tese s~ao utilizadasimagens 2D e 3D nvel
de cinza, onde as imagens 3D s~ao uma sequencia de imagens2D ordenadas
temporalmente.
5
HSV:doingl^es,Hue,Saturation eValue
26 CAPITULO 4. CONCEITOS BASICOS
(a)Vizinhanca-4 (b)Vizinhanca-8
Figura 4.1: Vizinhanca2D.
4.1.1 Vizinhanca
De ne-sevizinhanca,Ne(x
1
; ;x
n
),comooconjuntodepontosda ima-VIZINHANCA
gem,I,ondeestade nidauma relac~aodois adoisentre oponto(x
1
;;x
n )
ecada um dos pontos de Ne(x
1
; ;x
n ).
Apesar da possibilidade de se de nir um conjunto in ndavel de
vizi-nhancas, s~ao apresentadas a seguir as duas vizinhancas mais conhecidas em
imagensbidimensionais(Figura4.1): a vizinhanca-4 e vizinhanca-8.
A vizinhanca-4, Ne
4
(x;y) I, conhecida tambemcomo 4-conexo, e de-VIZINHANCA-4
nida abaixo como o conjunto de pontos vizinhos ao ponto, (x;y)2 I, cuja
dist^anciae menorou igual a1 (Figura4.1(a)).
Ne 4 (x;y)=f(x n ;y n )2I j p (x n x) 2 +(y n y) 2 1g (4.4) A vizinhanca-8, Ne 8
(x;y) I, conhecida tambemcomo 8-conexo, e de-VIZINHANCA-8
nida abaixo como o conjunto de pontos vizinhos ao ponto, (x;y)2 I, cuja
dist^anciae menorque 2 (Figura4.1(b)).
Ne 8 (x;y)=f(x n ;y n )2I j p (x n x) 2 +(y n y) 2 <2g (4.5)
(a)Vizinhanca-6 (b)Vizinhanca-26
Figura4.2: Vizinhanca 3D.
s~ao asvizinhanca-6 e vizinhanca-26 (Figura4.2).
A vizinhanca-6, Ne
6
(x;y;z) I, e de nida abaixo como o conjunto de VIZINHANCA-6
pontos vizinhos ao ponto (x;y;z) 2 I, cuja dist^ancia e menor ou igual a 1
(Figura 4.2(a)). Ne 6 (x;y;z)=f(x n ;y n ;z n )2I j p (x n x) 2 +(y n y) 2 +(z n z) 2 1g (4.6) A vizinhanca-26, Ne 26
(x;y;z) I, e de nida abaixo como o conjunto VIZINHANCA-26
de pontos vizinhos ao ponto (x;y;z) 2 I, cuja dist^ancia e menor que 2
(Figura 4.2(b)). Ne 26 (x;y;z)=f(x n ;y n ;z n )2I j p (x n x) 2 +(y n y) 2 +(z n z) 2 <2g (4.7) Um ponto, (x 1 ; ;x n
) 2 I e denominado vizinho de um outro ponto VIZINHO
(x 0 1 ; ;x 0 n )2I, se esomentese (x 0 1 ;;x 0 n )2Ne(x 1 ; ;x n ).
Uma regi~ao da imagem I e denominada regi~ao conexa, R i
, se para todo REGI ~
AOCONEXA
ponto pertencente a esta regi~ao, existe ao menos um vizinho pertencente
28 CAPITULO 4. CONCEITOS BASICOS
8
6
4
2
3
Arcos
Pesos
N
ós
Figura 4.3: Grafon~aodirecionalcom pesos associadosaos seus arcos.
imageme igual aoconjuntodomnioda imagem.
4.2 Grafo
Umgrafo,G(V;A),ede nido comoum conjuntode n pontos, V, chama-GRAFO
dos nos ou vertices, juntamente com um conjunto A denominado arcos ou
N
OS
ARCOS
arestas (Figura 4.3). Cada arco de A e um par ordenado (p;q);p;q 2 V, e
determina a adjac^encia entre p e q. Aos arcos podem ser associados pesos,
PESOS
w(p;q),de modoa quanti car uma relac~ao entre nosadjacentes.
De ne-se peso de um grafo, W(G(V;A)) como a soma de todos os pesos
PESODEUMGRAFO
dos arcos dografo, G(V;A).
W(G(V;A))= X
w(p;q);8(p;q)2A (4.8)
Um grafo, G(V;A), e classi cado como grafo n~ao direcional quando GRAFON
~
AODIRECIONAL
(p;q) 2 A , (q;p) 2 A. Um grafo, G(V;A), e classi cado como grafo
GRAFODIRECIONAL
direcional quando existe aomenos um arco dografo que n~aoobedece a
res-tric~aoanterior. Nestateseeutilizadaarepresentac~aode grafon~aodirecional
com pesos, a qualsera referenciadaao longo dotexto apenas porgrafo.
Umpasseioemgrafo,P(p;q),eumasequ^encia nitaen~aovaziaP(p;q)= PASSEIO (p=v 0 ;a 1 ;v 1 ; ;a k ;v k
=q),cujostermoss~aoalternadamentenosv
i
e
extremos de a i s~aov i 1 ev i
. Dizemos queP e umpasseio dep=v
0 aq=v k e que os nos v 0 e v k
s~ao a origem e o termino de P, respectivamente. O
inteirok e de nido como o comprimento do passeio P(p;q). COMPRIMENTODOPASSEIO
Casoexista,umcaminhosimples emgrafo,(p;q),eumpasseio,P(p;q),
CAMINHOSIMPLES
sem nos repetidos.
Ocusto de um caminho,C(),ede nido por uma func~ao dos pesos dos CUSTODEUMCAMINHO
arcos do caminho.
A seguir e apresentada a formulac~ao de custo da soma, C
s
, que e dado CUSTODASOMA
pelasoma dos pesos dos arcos docaminho.
C s ()= j 1 X k=i w(v k ;v k+1 ) (4.9)
Outraformulac~aodecustoaser destacadaeadocusto maximo,C
m
,que CUSTOM
AXIMO
e dado pelo maximopeso dos arcos do caminho.
C s ()= j 1 max k=i w(v k ;v k+1 ) (4.10)
De ne-se ocusto entre doisnos p eq,C(p;q), comoo menorcusto entre CUSTOENTREDOISN
OS
todos ospossveiscaminhos entre osnos p eq.
C
(p;q)=minC();8(p;q) (4.11)
De ne-se ocusto entre umaregi~ao L e um no p, C
(L;p),como omenor CUSTOENTREUMAREGI ~
AOLE
UMN
OP
custo do no p atodos osnos daregi~aoL,onde LV e L6= .
C
(L;p)=minC
(q;p);8q2L (4.12)
De ne-seocustoentreduasregi~oesLeM,C
(L;M),comoomenorcusto CUSTOENTREDUASREGI ~
OESL
EM
entre qualquer noda regi~aoM a regi~ao L,onde L;M V eL;M 6= .
C
(L;M)=minC
(L;p);8p2M (4.13)
30 CAPITULO 4. CONCEITOS BASICOS
onde ounico noa ser visitado duas vezes duranteo passeioeo nop.
De ne-se vizinhancade um no,N (p), como osubconjunto de nosde V, VIZINHANCADEUMN O
quesejam adjacentes aonop.
N (p)=fq;8(p;q)2Ag (4.14) 4.2.1 Arvore
Umaarvore,T(V;A),e um grafoque n~aopossui ciclos. ARVORE T(V;A)=G(V;A),8p2V;@ c (p) (4.15) 4.2.2
Arvore Geradora Mnima
Umaarvoregeradoramnima (minimumspanningtree)[Bol79],T
m (V;A), ARVOREGERADORAM INIMA e um subconjunto de um grafo G(V;A 0 ). T m (V;A) contem todos os nos de
G. Para todonode V,oconjuntode vizinhosen~aovazio easomados pesos
dos arcos daarvore, W
s
(T(V;A)),e mnimo.
4.3 Matriz
Umadasformasmaistradicionaisde representac~aodeumgrafoeatraves
de matrizes. O produto cartesiano dos nos do grafo produzem uma matriz
nn,ondencorrespondeaonumerodenosdografo. Aescolhadediferentes
associac~oes acada coordenada damatriz,de neas diferentes representac~oes
daestrutura de grafo. Aseguirs~aoapresentadasalgumasdas representac~oes
mais conhecidas.
Umgrafo,G(V;A),podeser representado porumamatriz de adjac^encia, MATRIZDEADJAC
^
ENCIA
M, de dimens~oes nn, com n correspondendo ao numero de nos do grafo.
4.4. SEGMENTACAO 31 1;2; ;n. Para (v i ;v j )62A, M(i;j)=0. M(i;j)= 8 < : 1 se (v i ;v j )2A
0 caso contrario
(4.16)
A representac~ao atraves da matriz de pesos, P, e adotada para os casos MATRIZDEPESOS
em que s~ao associados pesos aos arcos do grafo, w(v
i ;v
j
). Para cada arco
(v i ;v j )2A faz-se M(i;j)=w(v i ;v j ). Para (v i ;v j )62A, M(i;j)=1. P(i;j)= 8 < : w(p;q) se(p=v i ;q=v j )2A
1 caso contrario
(4.17)
4.4 Segmentac~ao
Em processamento de imagens digitais [Gon92] e comum ter que
sepa-rar os diferentes elementos que comp~oem uma cena. De nir o conjunto de
pontos que corresponda a um dado elemento signi ca segmenta-lo. Assim,
segmentac~ao de uma imagem consiste em divid-la em regi~oes, que normal- SEGMENTAC ~
AO
mente possuem algumconteudo sem^antico associado (Figura4.4).
Cada regi~ao segmentada de uma imagem e denominada parte de uma PARTE
imagem,ondeaintersec~aode duaspartesdistintasquaisquerde umamesma
segmentac~aoe sempre vazia.
Umapartic~ao consisteno conjunto das partes de uma imagem. PARTIC ~
AO
Um partic~aoe denominada partic~ao otima, quando o custo entre
quais-PARTIC ~
AO
OTIMA
querpontosinternosaumaparteemenordoqueocustodequalquercaminho
entre dois pontos pertencentes a partic~oes distintas.
4.4.1 Segmentac~ao Multiescala
De ne-seumapartic~aomultiescaladenveli [SL00],P i
,comooconjunto PARTIC ~
AOMULTIESCALADE
32 CAPITULO 4. CONCEITOS BASICOS
Figura 4.4: Classi cac~aodas diferentes subdivis~oes de uma imagem.
das partes P i j , talque P i =fP i 1 ;P i 2 ; ;P i n i+1 g. Onde P i e igual a P i 1 , a
menosdas duas partes P i 1
k e P
i 1
l
, ques~aosubstitudas pelasua respectiva
uni~ao(Figura4.5). Aescolhadas partesP i 1
k eP
i 1
l
, queseunemformando
uma nova parte unica, obedece ao criterio de minimizac~ao dos custos de
junc~ao entre regi~oes de uma partic~aoP i
, onde o custo de junc~ao, C
j (P i ),e CUSTODEJUNC ~ AO
omenor custo entre todas aspartes de P i , duas a duas. C j (P i )=minC (L;M) 8L=P i j ;M =P i k ;j 6=k (4.18)
Destaforma,tem-sequeasegmentac~aomultiescalaeoconjuntode todas SEGMENTAC
~
AOMULTIESCALA
aspartic~oes multiescalade nveli de uma imagem segmentada emregi~oes.
Na segmentac~ao multiescalaaspartic~oes s~ao organizadascomo uma
seg-mentac~ao em nveis de re namento, onde a partic~ao de menor nvel, P 1
,
re ete a soluc~ao mais re nada contendo n regi~oes. A partic~ao P n
represen-tao resultado menos re nado, onde todas as regi~oes s~aojuntadas formando
uma unica regi~ao. A partic~ao P i
representa a junc~ao das i 1 regi~oes com
menorcusto associado, resultando numa partic~aocom n i+1regi~oes.
Watershed
Recentemente o watershed tem emergido como ferramenta primaria da
morfologia matematica para segmentac~ao de imagens. Partindoda hipotese
de que uma imagem nvel de cinza pode ser observada como um relevo
tri-dimensional, onde aintensidade dos pixels corresponde a alturado relevo,o
watershed determina todas asbacias hidrogra casdeste relevo.
Antes dede niroconceitode watershed,s~aonecessarios algunsconceitos
adicionais, como os de vizinhanca, zonas planas, mnimo regional e
micro-bacias de contenc~ao, que ir~aoapoiaro desenvolvimento dametodologia.
De ne-se zona plana como uma regi~ao conexa da imagem, na qual a ZONAPLANA
intensidade de seus pixels e constante.
Um mnimo regional [DVG94] e uma zona plana onde todos os pixels M
INIMOREGIONAL
vizinhos t^em intensidade superior a da zona plana emquest~ao. O conjunto
conexo de pixels de uma imagem, no qual n~ao existe nenhum pixel cuja
intensidade sejamenoredenominado mnimo global. Dadauma vizinhanca, M
INIMOGLOBAL
de ne-se mnimo local como o ponto para o qual n~ao existe nenhum pixel
M
INIMOLOCAL
pertencente a esta vizinhanca, cuja intensidade seja menor que a da regi~ao
emquest~ao. Notequeenquantoomnimolocaleumapropriedadeassociada
a um pixel, omnimo regionale associado auma regi~ao.
Para cada mnimo regionalda imageme possvelde nir a sua din^amica,
denominada din^amica do mnimo regional, onde esta medida consiste na DIN ^
AMICADOM
INIMO
36 CAPITULO 5. WATERSHED
Mínimo
global
Mínimo
regional
Zona
plana
Dinâmica
do mínimo
regional
Mínimo
local
Figura5.1: Ilustrac~ao1D dos conceitos de zona plana, mnimo local, global
eregional.
menordiferencadealturaaser transpostaparasechegaraumoutromnimo
regionalde menor intensidade.
Na Figura 5.1 e apresentado um exemplo unidimensional ilustrando as
propriedadesdescritas anteriormente.
As diversas abordagens de watershed s~ao normalmente calculadas sobre
aimagemdogradiente. De ne-segradiente [Gon92]comouma diferenciac~ao GRADIENTE
daimagens,ondepara uma func~ao f(x);x=(x
1 ;x 2 ; ;x n ),o gradientede
f nacoordenada xe de nido pelovetor
rf = 2 6 6 6 6 4 @f @x 1 @f @x 2 . . . @f @xn 3 7 7 7 7 5 (5.1)
cujamagnitude e dada por
rf =mag(rf)= h ( @f @x1 ) 2 +( @f @x2 ) 2 ++( @f @xn ) 2 i 1=2 (5.2)
5.1. WATERSHED BASEADO NA SIMULACAO DE INUNDACAO 37
No contexto de morfologia matematica, ecomum a utilizac~ao dos
gradi-entes interno, externo emorfologicobaseados nas operac~oes morfologicas de
dilatac~ao,Æ, e eros~ao," [Ser82][Ser88 ]. O gradiente interno de uma imagem GRADIENTEINTERNO
e dado pela diferenca da imagem original, pela sua correspondente eros~ao.
O gradiente externo de uma imageme dado pela diferenca da dilatac~ao da GRADIENTEEXTERNO
imagemoriginal,pelapropriaimagemoriginal. Finalmente,ogradiente
mor-GRADIENTEMORFOL
OGICO
fologico de uma imageme dado pela diferenca saturada, , daimagem
ori-ginal dilatada,pelasua correspondenteeros~ao(equac~ao 5.3).
rf =Æ " (5.3)
A seguir s~ao apresentadas as duas maneiras de interpretar as diversas
nuancas do watershed: simulac~aode inundac~ao eem grafo.
5.1 Watershed Baseado na Simulac~ao de
Inundac~ao
5.1.1 Linhas de Watershed
Interpreta-seogradientedeumaimagemnveldecinza2D,I(x;y),como
sendo um relevo de nido pela intensidade de seus pixels, onde os proximos
ao preto representam um baixo relevo eos proximos aobranco representam
um altorelevo. Orelevoeinundadoprogressivamente, atravesdain ltrac~ao
d'agua pelos furos posicionados em cada um dos mnimos regionaisda
ima-gem, de modo a formar bacias hidrogra cas denominadas micro-bacias de MICRO-BACIASDECONTENC ~
AO
contenc~ao, CB
i
. As micro-bacias de contenc~ao no contexto de watershed
tambem s~aoconhecidas porregi~oes de watershed.
Duranteainundac~ao,acadatentativadejunc~aodeduas micro-baciasde
contenc~ao adjacentes, cria-se um divisor de aguas de modo a impedir esta
38 CAPITULO 5. WATERSHED
De ne-se linha de watershed ou simplesmente watershed como a pro-WATERSHED
jec~ao2D doconjuntode todospontosqueformamosdivisores d'agua,
resul-tantedoprocesso de inundac~aodescrito anteriormente (Figura5.2).
O watershed por regi~oes e de nido de modo semelhante ao watershed. WATERSHEDPORREGI
~
OES
Os divisores d'agua deixam de existir e assume-se que a agua in ltrada em
cada mnimo regional possua uma cor distinta. O processo de inundac~ao e
analogo ao watershed, com a excec~ao de que n~aoe permitidaa mistura das
aguas de duas micro-bacias de contenc~ao. A projec~ao das regi~oes formadas
apos completadoo processo de inundac~ao de ne owatershed por regi~oes.
Oconceito de aguascoloridas,usadas nowatershed porregi~oes esta
inti-mamenteligadoaoconceitoderotulo. De ne-serotulocomoumidenti cador R
OTULO
atribudoaumconjuntodepixels daimagem,ondeoconjuntodepontosque
compartilham um mesmo rotulo possuem um mesmo signi cado sem^antico
naimagem.
De ne-se bacia de contenc~ao, CB, no contexto de watershed, como a BACIADECONTENC
~
AO
uni~ao aleatoria de algumas micro-bacias de contenc~ao obtidas por outros
tipos de watershed: por marcadores e hierarquicos, descritos nas proximas
sec~oes.
Devido a construc~ao do watershed, o alagamento graduale uniforme do
relevofazcom que aaguatome primeiramenteoscaminhos de menor altura
(menorcusto),demodoqueoparticionamentodaimagemsejasempreotimo.
Em [DVG94], encontra-se descrita uma maneira e ciente de calcular as
linhas de watershed utilizando-se do recurso de la hierarquica para
otimi-zac~aodo processamento.
5.1.2 Watershed por Marcadores
en-5.1. WATERSHED BASEADO NA SIMULACAO DE INUNDACAO 39
Linhas de
Watershed
Figura 5.2: Linhas de watershed.
shed normalmente resultam na super-segmentac~ao 1
da imagem processada.
Buscando reduzir o numero de regi~oes obtidas pelo watershed tradicional,
generaliza-se o conceito de watershed atraves do watershed por marcadores, WATERSHEDPORMARCADORES
onde o processo de in ltrac~aopassa a ser feitoatraves dos pixels
correspon-dentes as posic~oes dos marcadores rotulados distribudos estrategicamente
na imagem do gradiente. Quando os marcadores s~ao posicionados em cada
um dos mnimosregionaisdaimagem,onde para cadamarcador eassociado
um rotulo diferente, obt^em-se owatershed tradicional.
Observe, na Figura 5.3, a comparac~ao entre o watershed tradicional e o
watershed pormarcadoresemumaimagemunidimensional. NaFigura5.3(a)
e apresentado o particionamento segundo a abordagem tradicional, onde o
processo dein ltrac~aoefeitoemcadaum dosmnimosregionaisdaimagem,
que possuem rotulos distintos. Na Figura 5.3(b) e apresentada a mesma
imagem,particionadapelaabordagempormarcadores,onde hasigni cativa
reduc~ao donumero de bacias de contenc~ao. Observe que osmarcadores n~ao
necessariamentepontuais, s~aoposicionadosarbitrariamentepelaimagem,de
modoa obter o particionamento desejado. Marcadores distintos podem ser
1
40 CAPITULO 5. WATERSHED
Mínimos Regionais
(a)Tradicional
Marcadores
(b)Pormarcadores
Figura5.3: Comparac~aodowatershed tradicionalcom owatershed por
mar-cadoresemum sinal unidimensional.
associadosarotulos iguais,forcandoa obtenc~ao de partic~oes quaisquer,com
partes eventualmente n~ao conexas decorrentes da atribuic~ao de um mesmo
rotulo,a mais de um marcador.
5.1.3 Watershed Hierarquico
O watershed tambem pode ser observado como uma segmentac~ao
multi-escala (sec~ao 4.4.1) denominada watershed hierarquico (Figura 5.4). O wa-WATERSHEDHIER
ARQUICO
tershed hierarquicopermitede nirnveisprogressivosdeparticionamentode
modoa controlar o numero de regi~oes obtidas,mantendo-se as bordas mais
signi cativasdaimagem.
Prosseguindocom aanaliseporinundac~ao, fazero watershed hierarquico
consisteeminundaro relevode nidopelaintensidade dos pixels daimagem,
atravesdosmnimosregionaisdaimagem,atequecadaumadasmicro-bacias
atinjaum limiarpre-estabelecido,s, para uma metricaescolhida. Para cada
valordes,haveraumanovapartic~aodowatershed,formandoumahierarquia
entreassegmentac~oes. Observeaformac~aodebaciasdecontenc~aoresultante
do processo de inundac~ao, que pode provocar a junc~ao de algumas
5.1. WATERSHED BASEADO NA SIMULACAO DE INUNDACAO 41
H
(a)Marcadores (b)Watershed hierarquico
Figura 5.4: Watershed hierarquico segundo a abordagem de inundac~ao em
um sinal unidimensional.
H
(a)AlturaA
(b) AreaV
(c) VolumeFigura 5.5: Exemplo das metricas mais utilizadas nowatershed hierarquico
aplicadas aum sinal unidimensional.
des da altura (Figura 5.5(a)), da area (Figura 5.5(b)) e do volume
(Figu-ra5.5(c)) de umabacia hidrogra ca. No exemploapresentado naFigura5.4
e utilizadoo criterio de altura.
Tomandoos mnimosregionaisdo relevo resultantedoprocesso de
inun-dac~aoateolimiarscomosendoosmarcadoresdaimagem,ondecadamnimo
regional recebe um rotulo distinto, executa-se o watershed por marcadores
de modoa conseguir o particionamento desejado para a hierarquia (escala)
42 CAPITULO 5. WATERSHED
numero de partes obtidas pelo watershed hierarquico. Quando adotado o
limiarigualazero,owatershed hierarquicoequivaleaowatershed tradicional.
5.2 Modelagem Watershed usando Grafo
A abordagempor inundac~ao traz uma maneira bastante interessante de
visualizarowatershed,promovendoumainterpretac~aovisualdametodologia.
Noentando,origormatematicosefaznecessarioparaagarantiadacoer^encia
eda precis~aodos resultadosobtidos pela metodologia.
Aproveitando a formalizac~ao da teoria de grafos, e apresentada a seguir
uma forma de modelar as diferentes abordagens dowatershed usando grafo
(sec~ao4.2),enfatizandoautilizac~aodateoriade orestadecaminhomnimo.
5.2.1 Floresta de Caminho Mnimo
De ne-se arvore de caminho mnimo de um no raiz n, como a arvore ARVOREDECAMINHOM INIMO DEUMN ORAIZN
derivada de um grafo,G, quedescreve oscaminhos que levamonon acada
um dos nos dografo,atraves docaminhode menorcusto.
Encontrar a oresta de caminho mnimo de um grafo,G, associada a m FLORESTADECAMINHO M INIMO nosraizesn i
,correspondeaografoquecontenhatodasasarvoresdecaminho
mnimo de nidas para cada no de G aono raiz n
i .
Quando o custo de um caminho e dado pelo maximo peso dos arcos
do caminho, a oresta de caminho mnimo e equivalente ao watershed por
marcadores.
Deve-se observar que o custo de um caminho deve ser calculado sempre
do marcador para o ponto desejado (Figura 5.6), caso contrario, n~aose
po-de garantir que a partic~ao seja otima. O processo de inundac~ao feito pelo
watershed pressup~oe o crescimento dos marcadores, ou seja, os marcadores
v~ao se expandindo ordenadamente em direc~ao aos demais pontos da
W
M
1
M
2
M
3
M
4
Figura 5.6: O calculo do custo do caminho obedece o sentido que vai do
marcador parao ponto analisado.
5.2.2 Transformac~ao Imagem-Floresta
A transformac~ao imagem- oresta 2
(IFT) euma sequ^encia de dois mape- TRANSFORMAC ~
AO
IMAGEM-FLORESTA
amentosconsecutivos, I !G!I
a
, onde Ge um grafo de nido na imagem
digital I e I
a
euma imagemanotadade I.
De ne-se imagem anotada como uma imagem associada a uma oresta IMAGEMANOTADA
de caminhomnimo.
Em [LF00], os autores mostram que o particionamento otimo de uma
imagem pode ser obtido utilizandoatransformac~aoimagem- oresta,
basea-da noconceito de grafo. Fundamentado peloalgoritmode Dial [Dia69] para
orestade caminhomnimo,atransformac~aoimagem- orestagaranteo
par-ticionamento otimo segundo um criterio de custo calculado como o maximo
peso doarco no caminho.
Aabordagemdatransformac~aoimagem- orestapode ser de nida
segun-do duas maneirasdiferenciadas de manipulac~ao: por pixel e por regi~oes.
Para atransformac~ao imagem- oresta por pixel,cada pixel daimageme TRANSFORMAC ~
AO
IMAGEM-FLORESTAPORPIXEL
mapeado comoum nodo grafoeosarcos s~aode nidos entre os nos segundo
avizinhancaescolhida(versec~ao4.1.1). Paracadanovizinhoexiste umarco
queointerligaaonoanalisado. Independentementedavizinhancaescolhida,
