Sumário
Estatística Básica
Unidade I 1 INTRODUÇÃO ...2 2 COLETAS DE DADOS ...6 3 TIPOS DE VARIÁVEIS ... 10 4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS ...11 Unidade II 5 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ... 23 6 MEDIDAS DE POSIÇÃO ... 29 7 MEDIDAS DE DISPERSÃO ... 4423/1 1/2009
Unidade I
5 10 15 20 Apresentação Seja bem-vindo.Nesta nossa disciplina, trataremos de assuntos que auxiliam o estudante a coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados experimentais.
Entender a verdadeira essência da estatística como uma ferramenta importante em processos como a tomada de decisão ajudará o aluno a saber utilizá-la de maneira eficaz nos diferentes níveis da organização (estratégico, tático e operacional) para processos em que se necessite conhecer determinado objeto de estudo.
Aprendendo a utilizar essa importante ferramenta, o aluno terá maior apoio em seus processos de tomada de decisão, entre outros, e, consequentemente, chegará a resultados mais eficazes e adequados em momentos de tomada de decisão, por estar utilizando informações tratadas e pertinentes sobre a situação em questão.
Porém, esta disciplina exige empenho e dedicação. Seu sucesso dependerá do nível de seu comprometimento consigo mesmo.
É nossa expectativa que você aprenda bastante.
Considerando-se que será você quem administrará seu próprio tempo, nossa sugestão é que você dedique ao menos
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duas horas e meia por semana para esta disciplina, estudando os textos sugeridos e realizando os exercícios propostos. Uma boa forma de fazer isso é já ir planejando o que estudar, semana a semana.
Você deverá buscar entender bastante bem o conteúdo da leitura fundamental, só que essa compreensão será maior se você acompanhar, também, a leitura complementar. Você mesmo perceberá isso, ao longo dos estudos.
É uma disciplina fascinante e útil para você, que, em breve, será um gestor.
Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento, a utilização de outras bibliografias.
Então, vamos ao trabalho.
1 INTRODUÇÃO
Podemos considerar a estatística como a ciência que se preocupa com a coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais.
Ouvimos, com frequência, falar em estatística da bolsa de valores, estatística da loteria esportiva, estatística do crescimento populacional, etc.
Normalmente, esta parte da estatística diz respeito apenas à parte da descrição e da organização dos dados observados. Há ainda todo um campo de atuação da estatística, que se refere à análise e à interpretação dos dados observados.
Os dois modos de estatística são importantes. Para poder analisar e interpretar os dados, é necessário que antes seja feita a organização e a descrição desses dados.
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A estatística se divide em dois modos: • estatística descritiva;
• estatística indutiva.
A parte da coleta, organização, descrição faz parte da estatística descritiva, enquanto que a análise e a interpretação dos dados experimentais fazem parte da estatística indutiva, como veremos na ilustração abaixo:
Estatística
Descritiva Indutiva
Análise
Coleta Organização Resumo Interpretação
A estatística descritiva é um ramo da estatística que descreverá e resumirá um conjunto de dados.
O objetivo da estatística indutiva é o de tirar conclusões sobre as populações com base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações e que foram sumarizadas na estatística descritiva. Um processo de indução nunca é exato. Estamos sempre sujeitos a erro. A estatística indutiva nos dirá até que ponto estaremos errando em nosso raciocínio, e com que probabilidade.
Em resumo, a estatística descritiva trabalha os dados observados para a estatística indutiva, que busca obter resultados sobre as populações a partir das amostras, dizendo também qual é a precisão desses resultados e com que probabilidade se pode confiar nas conclusões obtidas.
A ciência estatística é de muita importância em qualquer ramo do conhecimento, sendo uma ferramenta de muito valor e de fundamental importância no processo de tomada de decisão
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em qualquer setor de atividade. Áreas como ciências contábeis, engenharia, ciências médicas, finanças, entre outras tendem a usar cada vez mais a estatística como ferramenta de trabalho, daí sua grande e crescente importância.
Serão apresentados, a partir de agora, dois conceitos fundamentais para o entendimento da estatística:
• população, ou universo; • amostra.
População e amostra
Uma população ou universo, de maneira geral, é um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum. Para que um conjunto de elementos seja considerado uma população, essa característica comum deverá definir, sem erros, quais elementos pertencem a esta população e quais não pertencem. Os dados que serão observados, na tentativa de se tirar conclusões sobre o fenômeno que nos interessa, serão referentes aos elementos dessa população.
As populações podem ser finitas, como o conjunto de clientes de uma determinada empresa, ou infinita, como o número de vezes possíveis em que se pode jogar um dado.
Para certas finalidades, as populações finitas podem ser consideradas infinitas de acordo com seu tamanho. Como exemplo, considere as pessoas do sexo feminino, com mais de 50 anos de idade, residentes na cidade de Belo Horizonte. O número dessas pessoas é matematicamente finito, mas tão grande que um pesquisador, ao analisar uma amostra de quinhentas pessoas, pode considerar a população como infinita.
Assim, por exemplo, estamos interessados em fazer uma pesquisa sobre a idade e o sexo dos estudantes universitários da UNIP. Logo, a população física que queremos estudar é aquela
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constituída pela totalidade dos estudantes universitários da UNIP. Isso parece ser extremamente simples, mas, na verdade, ainda não temos exatamente caracterizada a população que nos interessa.
Será ela constituída apenas de estudantes atuais? Ou deveremos incluir também aqueles que já foram estudantes desta instituição? Além de tudo, ainda teremos o problema de definir qual é a característica comum que distingue perfeitamente cada um dos elementos da população que realmente nos interessa pesquisar.
Quando são coletadas as informações de toda a população, dizemos que foi feito um recenseamento. Censo é o conjunto de dados obtidos através do recenseamento.
Muitas vezes, por motivos como tempo, orçamento, recursos disponíveis, dificuldades de coleta de dados, entre outros, não é possível colher todos os dados de uma população. Por isso, é muito comum fazer-se pesquisas baseadas em amostras da população que está sendo estudada. Portanto, quando são recolhidas informações de apenas parte da população, diz-se que foi feita uma amostragem.
Além desse fato, é importante citar que nem sempre é necessário examinar toda a população para se chegar às conclusões desejadas. Desde que o tamanho da amostra necessária seja convenientemente determinado, induções suficientemente precisas e confiáveis podem ser realizadas, não havendo necessidade de se onerar o estudo estatístico pelo exame de uma amostra maior ou de toda a população.
Portanto, podemos estabelecer que uma amostra é o subconjunto de uma população, necessariamente finito.
• Exemplo de população: idades de todos os alunos da
Universidade Paulista. 5 10 15 20 25 30
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• Exemplo de amostra: idades de 2.500 alunos da
Universidade Paulista.
É intuitivo que, quanto maior a amostra, mais precisas deverão ser as análises e as interpretações realizadas sobre as populações. Levando esse raciocínio ao extremo, concluiríamos que os resultados mais perfeitos seriam obtidos pelo exame completo de toda a população. Essa conclusão é válida em teoria, mas, na prática, muitas vezes não se verifica. De fato, o emprego de amostras pode ser feito de modo tal que se obtenham resultados confiáveis, em termos práticos equivalentes, ou até mesmo melhores do que os que seriam conseguidos através de um senso.
Parâmetros: são valores teóricos correspondentes à população.
Estatísticas: são funções dos valores amostrais.
2 COLETAS DE DADOS
Os dados são registros obtidos por meio de observações, medidas, respostas a pesquisas ou contagens em geral.
Classificação dos dados
Quantitativos
Valores atributosTipos ou Qualitativos Dados
Dados brutos
São aqueles valores a que se chegou pela simples coleta, sem qualquer preocupação quanto à sua ordenação.
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Exemplo
Tabela 1: Consumo mensal de energia elétrica, por 50 usuários particulares KWH (quilowatts-hora)
58 62 80 57 08 126 136 96 144 19
90 86 38 94 82 75 148 114 131 28
66 95 121 158 64 118 73 83 81 74
50 92 60 52 89 58 10 105 90 94
09 75 72 157 125 76 88 78 84 36
Como se pode observar, as cifras estão dispostas de forma desordenada. Em razão disso, pouca informação se consegue obter inspecionando os dados anotados. Mesmo uma informação tão simples como a de saber os consumos máximo e mínimo requer um certo exame dos dados da tabela.
Técnicas de amostragem
Como podemos determinar quantas pessoas em uma população apresentam certa característica? Por exemplo, quantas são as consumidoras de um determinado estado que comprariam determinado produto? Ou então, da população de determinado estado, quantas pessoas são idosas, qual a incidência de fumantes que desenvolvem doenças pulmonares, quantas pessoas estão desempregadas no país?
Uma forma de responder a essas questões consiste em fazermos um recenseamento, ou seja, colher dados de todos os elementos da população. Mas esse é um processo demorado e caro, como citamos anteriormente.
Outra maneira possível consiste, então, em colher de um subgrupo da população em estudo, ou seja, elementos de uma amostra, dados necessários à pesquisa. Se a amostra representa de fato toda a população, podemos utilizar as características
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dos seus elementos para estimar as características de toda a população.
Apresentaremos a seguir algumas técnicas de amostragem.
Amostragem Aleatória Simples (AAS): a amostragem
aleatória simples é a maneira mais fácil para selecionarmos uma amostra probabilística de uma população. Para entendermos melhor, usemos como exemplo um sorteio a ser feito dentro de um shopping. Os clientes (elementos) deste shopping preenchem um cupom e colocam na urna. Misturam-se os cupons nesta urna e sorteiam-se tantos cupons quantos desejarmos na amostra. Importante salientar que todos os elementos têm a mesma probabilidade de ser selecionados. Repete-se o procedimento até que sejam sorteadas todas as unidades estabelecidas da amostra (tamanho da amostra).
Podemos ter uma AAS com reposição, se for permitido que uma unidade possa ser sorteada mais de uma vez, e sem reposição, se a unidade sorteada for removida da população. Do ponto de vista da quantidade de informação contida na amostra, amostragem sem reposição é mais adequada.
A amostragem sem reposição é mais eficiente que a amostragem com reposição e reduz a variabilidade, uma vez que não é possível retirar elementos extremos mais do que uma vez.
Amostragem estratificada: se a população pode ser
dividida em subgrupos que consistem, todos eles, em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-se obter uma amostra aleatória de pessoas em cada grupo. Esse processo pode gerar amostras bastante precisas, mas só é viável quando a população pode ser dividida em grupos homogêneos.
Amostragem sistemática: quando se cria um sistema para
a coleta de dados. Se os elementos da população se apresentam
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ordenados, e a retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente, temos uma amostragem sistemática. Assim, por exemplo, em uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produção diária.
Amostragem a esmo: é a amostragem em que o
observador, para simplificar o processo, procura ser aleatório sem, no entanto, realizar propriamente o sorteio usando algum dispositivo aleatório confiável. Por exemplo, se desejarmos retirar uma amostra de 100 grampos de uma caixa contendo 10.000, evidentemente não faremos uma AAS, pois seria muito trabalhosa; por esse motivo, retiram-se os grampos simplesmente a esmo. Os resultados da amostragem a esmo são, em geral, equivalentes aos da amostragem probabilística se a população é homogênea e se não existe a possibilidade de o observador ser inconscientemente influenciado por alguma característica dos elementos da população.
Amostragens intencionais: enquadram-se aqui os diversos
casos em que o observador deliberadamente escolhe certos elementos para pertencer à amostra, por julgar tais elementos bem representativos. O perigo desse tipo de amostragem é grande, pois o observador pode facilmente se enganar em seu pré-julgamento.
Amostragem por voluntários: ocorre, por exemplo,
no caso da aplicação experimental de uma nova droga em pacientes, quando a ética obriga que haja concordância dos escolhidos.
Amostragem por conveniência: a amostra de
conveniência é formada por elementos que estão disponíveis para o pesquisador. Por exemplo, um médico que quer realizar uma pesquisa sobre determinado medicamento, para sua conveniência, realiza a pesquisa com pacientes do hospital em que trabalha. 5 10 15 20 25 30
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3 TIPOS DE VARIÁVEIS
Chamamos de variável uma característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população. Como o nome diz, seus valores variam de um elemento para o outro. As variáveis podem ser numéricas ou não numéricas.
Variáveis podem ser classificadas da seguinte forma:
Variáveis qualitativas: quando os dados podem ser
distribuídos em categorias mutuamente exclusivas. São caracterizadas por não possuírem valores quantitativos, mas,
ao contrário, são definidas por várias categorias. Assim, o sexo, por exemplo, é uma variável qualitativa, pois permite distinguir duas categorias: masculino e feminino. Outro exemplo de variável qualitativa é cor: ou é vermelho ou é preto, etc.
As variáveis qualitativas podem ser nominais ou ordinais: • variáveis nominais: não existe ordenação dentre as
categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio;
• variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus),
estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).
Exemplos: qualidade (defeituosa ou não defeituosa) de peças produzidas por uma máquina, grupo sanguíneo (A, B, AB ou O) dos alunos doadores de sangue da universidade.
Variáveis quantitativas: são as variáveis expressas por
números. São variáveis quantitativas: idade, estatura, peso corporal, etc. Podem ser variáveis quantitativas contínuas ou discretas:
• variáveis discretas: características mensuráveis que
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contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia;
• variáveis contínuas: características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente, devem ser medidas através de algum instrumento — peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade. Exemplos: o peso líquido de cada um dos sabonetes
produzidos por uma empresa, a altura dos alunos do 1º ano do Ensino Médio, o diâmetro de parafusos produzidos por uma máquina.
4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Distribuição de frequências é uma técnica estatística para
apresentar uma coleção de elementos classificados de modo a mostrar o número existente em cada segmento.
Elementos de uma distribuição de frequências
a. Frequência absoluta: é o número de observações
correspondentes a essa classe ou a esse valor. Símbolo fi. b. Amplitude total: é a diferença entre o maior e o menor
valor observado da variável em estudo. Símbolo At. c. Classe estatística: conjunto de valores numéricos
agrupados, caracterizado por um certo intervalo de variação que é definido pelos limites de classe, resultante da subdivisão de uma variável.
d. Limites de classe: os limites de classes são seus valores
extremos. A segunda classe do exemplo.
e. Amplitude de classe: é a distância entre os limites
inferiores (LI) de classes consecutivas.
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Existem dois modos de distribuições de frequências: distribuição de frequências de dados tabulados não agrupados e distribuição de frequências de dados agrupados em classes.
Quando nos referimos ao tipo de apresentação de distribuição de frequências de dados tabulados não agrupados, utilizamos para representar uma variável discreta (que só assume valores pontuais).
Critério para definir uma variável discreta
Devemos optar por uma variável discreta na representação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for pequeno.
Suponha que observamos o número de irmãos de 50 alunos da turma U de estatística.
Tabela 2: Distribuição de frequências por ponto ou valores do número de irmãos dos alunos da turma U.
Disciplina Estatística.
Número de irmãos Número de alunos
0 7 1 21 2 8 3 5 4 4 5 3 6 2 Total 50
Número de irmãos dos alunos da turma U – disciplina Estatística
Observamos pouca variedade na quantidade do número de irmãos dos alunos da turma U, por isso fizemos uma distribuição discreta de frequências.
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Agora, observemos a idade, em meses, dos 50 alunos da turma U de Estatística.
Tabela 3: Idade (em meses) dos alunos da turma U – Disciplina Estatística 230 234 276 245 345 334 268 298 336 299 287 344 300 244 303 240 320 308 299 312 252 273 315 255 274 240 270 310 368 369 236 239 355 330 247 248 251 265 246 266 324 230 320 264 275 264 263 285 303 281
Observando esses valores, notamos grande número de elementos distintos, o que significa que, neste caso, a variável discreta não é aconselhável na redução dos dados. Utilizaremos, então, a distribuição contínua, como mostraremos a seguir.
Critério para definir uma variável contínua
Devemos optar por uma variável contínua na representação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for grande.
Distribuição de frequências por classes ou intervalos. Idades dos alunos da turma U – Disciplina Estatística
Idades Número de alunos
230 /-- 250 12
250 /--270 9
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Tabela de distribuição de frequências
Para construirmos uma tabela de distribuição de frequências, precisamos entender alguns tópicos importantes.
Neste momento, precisamos recordar alguns símbolos que aprendemos ao longo de nossa vida escolar:
O símbolo |--- significa:
Está contido |--- Não está contido
Ou seja, valores que sejam exatamente iguais aos valores mostrados do lado esquerdo do símbolo entram na contagem da classe. Os valores que estiverem com o mesmo valor do lado direito do símbolo não entram naquela classe, e sim na próxima.
Vamos a um exemplo: no momento de classificar os valores nas classes, utilizando o exemplo da tabela anterior, o valor 230, sempre que aparecer na coleta desses dados, será classificado na classe 1. Já o valor 250, sempre que aparecer nesta coleta de dados, será contabilizado na classe 2, onde ele está contido. O número 250 não está contido na classe 1, e sim na classe 2.
Ainda no exemplo de distribuição de frequências acima, são 7 classes, cada uma com um limite inferior (LI) e um limite superior (LS) da classe.
É importante ressaltar que toda classe possui um limite inferior (LI) e um limite superior (LS), como veremos a seguir.
Vejamos um exemplo. Considere a distribuição de frequências a seguir: 5 10 15 20 25
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Classes de salários
(em reais) funcionáriosNúmero de
500 |--- 1000 8 1000 |--- 1500 4 1500 |--- 2000 9 2000 |--- 2500 7 2500 |--- 3000 10 3000 |--- 3500 5 3500 |--- 4000 7 Total 50
Limite inferior da classe Limite superior da classe
• Cada classe possui um limite inferior (LI) e um limite superior (LS).
• Amplitude de classes é a distância entre os limites
inferiores (LI) de classes consecutivas.
• A amplitude de classes no exemplo citado é Ac = 1000-500
Ac = 500
A diferença entre o máximo e o mínimo das entradas de dados é chamada Amplitude Total (At).
At = xmax – xmin
Exemplo: se a entrada máxima de dados for 29 e a entrada mínima for 1, a amplitude total será
29 – 1 = 28
A amplitude de classes pode ser calculada pela seguinte fórmula: At AC = ---5 10 15
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Sendo n o tamanho da amostra, ou, se preferir, a somatória das frequências.
A partir desses tópicos é que começaremos a construir uma tabela de distribuição de frequências.
Pra entendermos melhor este conceito, vamos a um exemplo desde o começo, no momento em que os dados ainda não estão agrupados em uma tabela de frequências. Temos, abaixo, dados dos salários de funcionários de um determinado setor de uma empresa. Foi coletada esta amostra de salários, e o que temos são apenas valores coletados. Chamamos esses dados de dados não agrupados.
A seguir estão listados os salários, em reais, de cinquenta funcionários de um determinado setor de uma empresa automobilística. 2500 1800 2200 680 700 950 1050 980 1090 2100 600 750 1800 1200 520 2450 1490 1600 1800 2000 3000 2800 2100 1900 1880 2300 2750 3200 3800 3700 3500 900 1980 2900 2650 2700 2900 2600 2650 2800 3800 3900 3100 3250 1550 1800 2100 3700 3800 3100
Utilizando o exemplo desses dados não agrupados, vamos calcular, antes de mais nada, a Amplitude de Classes (AC).
At
AC = nº de classes nº de classes =
√
nComo vimos, para calcular a amplitude de classes, é preciso primeiro calcular a Amplitude Total (At), conforme pedido na fórmula da amplitude de classes:
At = xmax – xmin
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Em seguida, precisamos calcular o número de classes que teremos na tabela. Isso se consegue a partir da raiz quadrada do número de elementos da amostra:
√
50 = 7,07 Nº de classes = 7 At AC = nº de classe Portanto, 3380 AC = --- = 482,85 ~ 483 7 3380 AC = --- = 482,85 ~ 483 7Arredondar para o primeiro número inteiro superior.
O resultado da amplitude de classes de um valor não inteiro, seja ele qual for, sempre deve ser arredondado para o primeiro número inteiro superior.
Portanto, sabemos que nossa tabela terá uma amplitude de classe igual a 483.
Classes de
salários (em reais) funcionáriosNúmeros de
520 |--- 1003 8 1003 |--- 1486 3 1486 |--- 1969 9 1969 |--- 2452 8 2452 |--- 2935 10 2935 |--- 3418 5 483 483 483 483
Sempre a menor entrada
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Tipos de frequências
Trabalharemos com três tipos de frequência: • frequência simples: absoluta (fi);
• frequência acumulada: absoluta (Fi); • relativa (Frel ou Frel%).
Número de matrículas de educação básica no Brasil, por etapas e modalidades de ensino, em 29/03/2006.
Etapas e modalidade de ensino Número de pessoas matriculadas
Educação Infantil 7.016.095
Ensino Fundamental 33.282.663
Ensino Médio 8.906.820
Educação Especial 375.488
Educação de Jovens e Adultos 5.616.291
Educação Profissional 744.690
Total 55.942.047
Fonte: MEC/INEP
A tabela acima mostra o número de pessoas matriculadas em cada modalidade de ensino; este número é denominado
frequência absoluta (fi).
• Em estatística, denomina-se frequência relativa o resultado obtido pela divisão entre a frequência observada (ou seja, a quantidade de vezes que o elemento aparece) na população e a quantidade total de elementos desta população;
• geralmente, é apresentada na forma de porcentagem; • podemos encontrar a frequência relativa para cada
modalidade apresentada em um trabalho estatístico; • para isso, basta dividir a frequência absoluta de cada
modalidade pelo total de frequências (Σ f) ƒabs ƒr = --- ∑ƒ 5 10 15
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Número de matrículas de educação básica no Brasil, por etapas e modalidade de ensino, em 29/03/2006.
Etapas e modalidade de
ensino Frequência Frequência relativa
Educação Infantil 7.016.095 7.016.095 --- = 0,13* 55.942.047
Ensino Fundamental 33.282.663 0,59
Ensino Médio 8.906.820 0,16
Educação Especial 375.488 0,01
Educação de Jovens e Adultos 5.616.291 0,10
Educação Profissional 744.690 0,01
Total 55.942.047 ∑fr = 1
Fonte: MEC/INEP * arredondamento de duas casas decimais.
Número de matrículas de educação básica no Brasil, por etapas e modalidade de ensino, em 29/03/2006.
Etapas e modalidade de
ensino Frequência Frequência relativa (em porcentagem)
Educação Infantil 7.016.095 7.016.095 --- . 100 = 13% 55.942.047
Ensino Fundamental 33.282.663 59%
Ensino Médio 8.906.820 16%
Educação Especial 375.488 1%
Educação de Jovens e Adultos 5.616.291 10%
Educação Profissional 744.690 1%
Total 55.942.047 100%
Fonte: MEC/INEP
Para encontrarmos a frequência acumulada das classes,
devemos, antes de mais nada, repetir a frequência absoluta da primeira classe. Em seguida, começamos a somar a frequência absoluta de cada uma das classes à frequência acumulada anterior. Por fim, a última soma deve ser igual à somatória das frequências absolutas.
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Número de matrículas de educação básica no Brasil, por etapas e modalidade de ensino, em 29/03/2006.
Etapas e modalidade
de ensino Frequência Frequência relativa
Educação Infantil 7.016.095 7.016.095 Ensino Fundamental 33.282.663 7.016.095 + 33.282.663 = 40.298.758 Ensino Médio 8.906.820 40.298.758 + 8.906.820 = 49.205.578 Educação Especial 375.488 49.205.578 + 375.488 = 49.581.066 Educação de Jovens e Adultos 5.616.291 49.581.066 + 5.616.291 = 55.197.357 Educação Profissional 744.690 55.197.357 + 744.690 = 55.942.047 Total 55.942.047 Fonte: MEC/INEP
Exemplo: continuemos do exemplo anteriormente apresentado:
Classes de salários
(em reais) funcionáriosNúmero de
500 |--- 1000 8 1000 |--- 1500 4 1500 |--- 2000 9 2000 |--- 2500 7 2500 |--- 3000 10 3000 |--- 3500 5 3500 |--- 4000 7 Total = 50
Vamos encontrar agora as frequências relativas de cada
classe:
Classes de salários (em reais)
Número de funcionários Frequências (fi) Frequências relativas (fr) 500 |--- 1000 8 8 --- = 0,16 ou 16% 50 1000 |--- 1500 4 0,08 ou 8% 1500 |--- 2000 9 0,18 ou 18% 2000 |--- 2500 7 0,14 ou 14% 2500 |--- 3000 10 0,20 ou 20%
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Vamos encontrar agora as frequências acumuladas de
cada classe: Classes de salários (em reais) Frequências (fi) (fa) 500 |--- 1000 8 8 1000 |--- 1500 4 8 + 4 = 12 1500 |--- 2000 9 12 + 9 = 21 2000 |--- 2500 7 21 + 7 = 28 2500 |--- 3000 10 28 + 10 = 38 3000 |--- 3500 5 38 + 5 = 43 3500 |--- 4000 7 43 + 7 = 50 n = 50
Vamos a mais um exemplo. Considere a tabela de dados abaixo:
Classes de
notas médioPonto
Número de alunos Frequências (fi) 0 |--- 2 1 2 2 |--- 4 3 6 4 |--- 6 5 10 6 |--- 8 7 8 8 |--- 10 9 4 Total 30
23/1
1/2009
A partir da tabela acima, poderemos encontrar as frequências relativa e acumulada:
Classes de
notas médioPonto
Número de alunos Frequência (fi)
Frequências
relativas Frequências acumuladas
0 |--- 2 1 2 2 --- = 0,07 30 2 2 |--- 4 3 6 6 --- = 0,20 30 2 + 6 = 8 4 |--- 6 5 10 10 --- = 0,33 30 8 + 10 = 18 6 |--- 8 7 8 8 --- = 0,27 30 18 + 8 = 26 8 |--- 10 9 4 4 --- = 0,13 30 26 + 4 = 30 Total 30
