Apresentação do Professor
Formado em Engenharia Elétrica pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (2000).
Formado em Engenharia de Sistemas e Computação pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (2002).
Mestre em Engenharia Aeronáutica com ênfase em Sistemas Embarcados pelo ITA (2005).
Doutor em Engenharia Eletrônica e Computação pelo ITA (2016).
Conteúdo Programático desta aula
Conjuntos e Elementos
Representações
Subconjuntos
Pertinência e Inclusão
Tipos de Conjunto
Teoria de Conjuntos
Conceitos Primitivos (não-definidos):
A idéia de conjunto é a mesma de coleção.
Conjuntos
Elementos e Conjuntos
Elementos e Conjuntos
•
Uma coleção de revistas é um
conjunto
;
Elementos e Conjuntos
Elementos e Conjuntos
•
Um time de futebol é um
conjunto
; cada
jogador do time é um
elemento
desse
1
. Tabular
Representação de um Conjunto
forma de tabela
entre chaves { } e separados por vírgula.
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
2. Diagramas de Venn
Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples.
A B
• 1
• 2
• 3
• 4 • a • e
• i
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal
Representação através de uma propriedade
(a) A = {x | x é país da Europa}
o conjunto A é formado por todos os países da
(b) B = {x | x é número natural par}
o conjunto B é formado por todos os números naturais pares
Relação de Pertinência
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
u é elemento do conjunto A e
não é elemento do conjunto B.
Relação de Pertinencia
De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos:
Tipos de Conjuntos
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Exemplos:
(a) C = {5}
(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
Tipos de Conjuntos
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por ou { }.
Exemplos:
D = {x | x é número e x . 0 = 5} =
E = {x | x é computador sem memória} = { }
Tipos de Conjuntos
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim”
da contagem de seus elementos.
Exemplos:
B = {1, 2, 3, 4}
D = {x | x é brasileiro}
H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
Tipos de Conjuntos
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus
elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da
contagem.
Exemplos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjuntos Iguais
• Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
temos A = B.
os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.
• Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se “A é
A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e}
Conjunto Universo
Conjunto Universo
Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Subconjunto
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é
subconjunto de B se, e somente se, todo
elemento de A pertence a B.
Subconjuntos
Conjunto B, formado por todos os brasileiros.
Com os elementos de B podemos formar
o conjunto A, dos homens brasileiros, e
Subconjuntos
{2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5} {9, 6}
Pertinência e Inclusão
1
–
A relação de
inclusão (
) é usada
exclusivamente para relacionar
um subconjunto
B com um conjunto A
que contém B: B
A.
2 –
A relação de
pertinência (
) é usada
exclusivamente para relacionar
um elemento x
com um conjunto A que possui x como
Pertinência e Inclusão
1
–
A relação de
inclusão (
) é usada
exclusivamente para relacionar
um subconjunto
B com um conjunto A
que contém B: B
A.
2 –
A relação de
pertinência (
) é usada
Conjuntos e Subconjuntos
A
• Brasil: conjunto de 26 estados e o distrito federal;
• Cada estado é um conjunto de municípios; cada
município é um conjunto de distritos; e cada distrito é um conjunto de bairros.
Brasil Estado
Município
Distritos
Bairro
Intervalos Reais: Subconjuntos
Exercício
Identifique as afirmativas verdadeiras e as falsas
(a) 3
(3,
)
(b) 3
[3,
)
(c) 3
(4,
)
(d) 3
(-
,3)
Propriedades
1 –
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto:
A,
A
Exemplos:
{1, 2, 3}
Não é Subconjunto
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:
A B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se
“B não contém A”)
Exemplo:
Conjuntos cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos:
P = {, {a}, {b}, {a, b}}
Nesse caso, é elemento de P e, portanto, escrevemos
P e não P. {a} P,
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A:
com nenhum elemento: com um elemento: {1}, {2} com dois elementos: {1,2}
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
União e Interseção
x
x
A
e
x
B
B
Diferença entre Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
diferença
entre A e B
ao conjunto formado pelos elementos
de A que
não
pertencem a B.
x
x
A
e
x
B
B
A
/
Diferença entre Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se
diferença
entre B e A
ao conjunto formado pelos elementos
de B que
não
pertencem a A.
A
B
x
x
B
e
x
A
A
Exemplo
A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9}
A = {3, 5}
B = {2, 3, 4, 5, 6} A – B = { } = B – A = {2, 4, 6}
Complementar
Dados dois conjuntos A e B, tais que A
B.
Chamamos de complementar de B em relação a A
ao conjunto A-B.
B
A
B
C
BNúmero de Elementos da União
A={1,2,3,4,6,8,12,24}
n(A)=
B={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
n(B)=
A
B =
n(A
B) =
A
B =
n(A
B)=
)
(
)
(
)
(
)
(
A
B
n
A
n
B
n
A
B
Número de Elementos da União
A={1,2,3,4,6,8,12,24}
n(A)= 8
B={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
n(B)=12
A
B = {1,2,3,4,6,12}
n(A
B) = 6
A
B = {1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,60}
Exemplo
n(A)= 12
A
Exemplo
n (A B)= 20
8
n(A)= 10 e n(B)= 15
x
4
y
n(AB)= 20 e n(AB)= 3
x
y
9
Problema dos Esportes
Problema dos Esportes
Numa turma de 35 alunos, 27 gostam de futebol,
16 de basquete e 13 gostam dos 2. Quantos não
gostam nem de futebol nem de basquete?
14
13
3
Problema do Sorvete
Em uma pesquisa de opinião, uma empresa perguntou a oitocentas pessoas qual era o sabor de sorvete que elas gostavam.
Duzentas pessoas disseram que gostavam do sorvete de creme, trezentas responderam sorvete de chocolate. Dessas pessoas, cento e trinta disseram que gostavam
Problema do Sorvete
Total de pessoas: 800. Creme: 200. Chocolate: 300. Creme e chocolate: 130.
Problema do Sorvete
Total de pessoas: 800. Creme: 200. Chocolate: 300. Creme e chocolate: 130.
Quantas pessoas não responderam nenhum dos dois sabores?
