JOÃO CARLOS MOREIRA
ESPAÇO ℝ
𝒏
COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO
ESPAÇO ℝ
𝒏
: NÍVEL I
Defina:
• o espaço ℝ
𝒏;
• produto escalar no espaço ℝ
𝒏;
• norma no espaço ℝ
𝒏;
• normas equivalentes no espaço ℝ
𝒏;
• ângulo entre dois vetores do espaço ℝ
𝒏;
• métrica ou distância no espaço ℝ
𝒏;
• bola aberta, bola fechada, fronteira, conjunto limitado e
con-junto compacto no espaço ℝ
𝒏;
• ponto de acumulação de um conjunto A no espaço ℝ
𝒏;
• sequência no ℝ
𝑛;
• subsequência no ℝ
𝑛;
• sequência de Cauchy no ℝ
𝑛;
• sequência convergente e divergente no ℝ
𝑛;
• sequência limitada, sequência limitada inferiormente e
se-quência limitada superiormente no ℝ
𝑛;
• valor de aderência de uma sequência no no ℝ
𝑛;
• sequência monótona no ℝ
𝑛;
• 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑓 e 𝑙𝑖𝑚𝑠𝑢𝑝 de sequência no ℝ
𝑛;
• série no ℝ
𝑛;
• série convergente e divergente no ℝ
𝑛.
ESPAÇO ℝ
𝒏
: NÍVEL II
Mostre que o espaço ℝ𝒏 munido das operações de adição
+ : ℝ𝒏× ℝ𝒏→ ℝ𝒏
(𝒙, 𝒚) ↦ 𝒙 + 𝒚 e multiplicação por escalar
∙ : ℝ × ℝ𝒏→ ℝ𝒏
(𝛼, 𝒙) ↦ 𝛼 ∙ 𝒙
definidas por 𝒙 + 𝒚 = (𝑥1+ 𝑦1, 𝑥2+ 𝑦2, … , 𝑥𝑛+ 𝑦𝑛)e𝛼 ∙ 𝒙 =(𝛼 ∙ 𝑥1, 𝛼 ∙ 𝑥2, … , 𝛼 ∙ 𝑥𝑛) se
𝒙 =(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) e 𝒚 =(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛), define um espaço vetorial sobre ℝ.
Mostre que
𝒆1= (1, 0, … ,0), 𝒆𝟐= (0, 1, … ,0), … , 𝒆𝑛= (0, 0, … ,1)
é base ortonormal para o ℝ𝑛.
Mostre que
𝒙 ∙ 𝒚 = ‖𝒙‖ ∙ ‖𝒚‖ cos(∡(𝒙, 𝒚)) , ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝒏.
(Teorema de Pitágoras) Mostre que se 𝒙 ⊥ 𝒚 então ‖𝒙 + 𝒚‖2= ‖𝒙‖2+ ‖𝒚‖2.
(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Mostre que |𝒙 ∙ 𝒚| ≤ ‖𝒙‖ ∙ ‖𝒚‖, ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝒏
e
|𝒙 ∙ 𝒚| = ‖𝒙‖ ∙ ‖𝒚‖ ⟺ 𝒙, 𝒚 são linearmente dependentes. Mostre que para qualquer norma:
a) ‖𝒙‖ ≥ 0, ∀ 𝒙 ∈ ℝ𝒏 e ‖𝒙‖ = 0 ⟺ 𝒙 = 𝟎; b) ‖𝛼 ∙ 𝒙‖ = |𝛼| ∙ ‖𝒙‖, ∀ 𝒙 ∈ ℝ𝒏 e , ∀ 𝛼 ∈ ℝ; c) ‖𝒙‖ − ‖𝒚‖ ≤ |‖𝒙‖ − ‖𝒚‖| ≤ ‖𝒙 − 𝒚‖, ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ𝒏.
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 4
Exercício 5
Exercício 6
Exercício 3
Exercício 3 Mostre que 𝑑(𝒙, 𝒚) = ‖𝒙 − 𝒚‖ define uma métrica (ou dis- tância) para o ℝ𝒏. Calcule a distância entre os pontos 𝒙 = (1, −1,2,0) e 𝒚 =
(2,3,4,5), bem como o ângulo entre os vetores 𝒙⃗⃗ e 𝒚⃗⃗ .
Um conjunto A⊂ ℝ𝒏 é dito convexo se
∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨, (1 − 𝑡)𝒙 + 𝑡𝒚 ∈ 𝑨, ∀ 𝑡 ∈ [0,1].
Mostre que toda bola aberta ou fechada no ℝ𝑛 é convexa.
Mostre que toda bola aberta no ℝ𝑛 é um conjunto aberto no
ℝ𝑛.
Mostre que toda bola fechada no ℝ𝑛 é um conjunto fechado
no ℝ𝑛.
Determine a equação da fronteira de uma bola aberta centra- da em 𝒙𝟎 =(𝒙𝟏𝟎, 𝒙𝟐𝟎, … , 𝒙𝒏𝟎) e raio r no ℝ𝑛.
Mostre que toda bola fechada no ℝ𝑛 é compacta e que o
complementar de uma bola aberta no ℝ𝑛 não é compacto.
Mostre que todo ponto 𝒙𝟎 ∈ [0,1] × [0,1] × [0,1] ⊂ ℝ𝟑 é
ponto de acumulação do conjunto (0,1) × (0,1) × (0,1) ∪ {(2, 2, 2)}, mas (2, 2, 2) não é ponto de acumulação do mesmo.
Analise a convergência das sequências abaixo:
a) 𝑥𝑚= 2𝑚+1 3𝑚2−𝑚−1; b) 𝑥𝑚= ((−1)𝑚, 3𝑚2−𝑚−1 2𝑚+1 );
Exercício 7
Exercício 8
Exercício 9
Exercício 10
Exercício 11
Exercício 12
Exercício 13
Exercício 14
c) 𝑥𝑚= ((−1)𝑚 1𝑚, 𝑚+1 2𝑚+3, cos (𝑚) 𝑚3 ) d) 𝑥𝑚= ((1 + 1 𝑚) 𝑚, √𝑚𝑚 , (2 3) 𝑚 , 𝑠𝑒𝑛 (1 𝑚))
Mostre que se lim
𝑚→+∞𝑥𝑚> 0 então ∃ 𝑚0∈ ℕ tal que 𝑥𝑚> 0
se 𝑚 > 𝑚0, 𝑛 = 1.
Mostre que lim
𝑚→+∞ ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑚𝑖 ∑𝑙𝑖=0𝑏𝑖𝑚𝑖 = { 0 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑛 < 𝑙 𝑎𝑛 𝑏𝑛, 𝑠𝑒 𝑛 = 𝑙 +∞, 𝑠𝑒 𝑛 > 𝑙 𝑒 𝑎𝑛 𝑏𝑙 > 0 −∞, 𝑠𝑒 𝑛 > 𝑙 𝑒 𝑎𝑛 𝑏𝑙 < 0 .
Mostre que lim
𝑚→+∞𝑥 𝑛= { 0, se − 1 < 𝑥 < 1, 𝑥 ≠ 0 1, se 𝑥 = 1 0, se 𝑥 = 0 +∞, se 𝑥 > 1 ∄, se 𝑥 ≤ −1 Analise a convergência das séries abaixo:
a) ∑ 1 𝑚 +∞ 𝑚=1 ; b) ∑ ((−1)𝑚 1 𝑚2, 0) +∞ 𝑚=1 ; c) ∑ (1 2𝑚, ( 2 3) 𝑚 , 1 5𝑚) +∞ 𝑚=1 ; d) ∑ (𝑚, (−2 3) 𝑚 , 𝑚+1 2𝑚+3, 3𝑚2−𝑚−1 2𝑚+1 ). +∞ 𝑚=1
Exercício 15
Exercício 18
Exercício 16
Exercício 17
ESPAÇO ℝ
𝒏
: NÍVEL III
Mostre que ‖𝒙‖ = √∑𝑛 𝑥𝑖2
𝑖=1 , ‖𝒙‖𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑎𝑥{|𝑥𝑖|, 𝑖 = 1, … 𝑛}
e ‖𝒙‖𝑠= ∑𝑛𝑖=1|𝑥𝑖| definem normas no ℝ𝒏 que são equivalentes.
Mostre que se:
a) 𝐴𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑚 ∈ ℕ, são conjuntos abertos do ℝ𝑛 então ⋂𝑚𝑖=1 𝐴𝑖 é
aberto do ℝ𝑛;
b) (𝐴𝜆)𝜆∈𝐿 é uma família de conjuntos abertos do ℝ𝑛 então ⋃𝜆∈𝐿𝐴𝜆 é aberto
do ℝ𝑛;
c) 𝐹𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑚 ∈ ℕ, são conjuntos fechados do ℝ𝑛 então ⋃𝑚𝑖=1𝐹𝑖 é
fechado do ℝ𝑛;
d) (𝐹𝜆)𝜆∈𝐿 é uma família de conjuntos fechados do ℝ𝑛 então ⋂𝜆∈𝐿𝐹𝜆 é
fechado do ℝ𝑛. e)
(Convergência de Sequências no ℝ𝒏)
a) Mostre que a definição de sequência convergente no ℝ𝑛 não depende da
norma adotada.
b) Mostre que se uma sequência é convergente, então seu limite é único. c) Mostre que se 𝒙𝑚= (𝑥1𝑚, … , 𝑥𝑛𝑚) → 𝒙0= (𝑥10, … , 𝑥𝑛0) ⟺ 𝑥𝑙𝑚→ 𝑥𝑙0, ∀ 𝑙 =
1, … , 𝑛.
d) Mostre que se 𝒙𝑚→ 𝒙0, então ‖𝒙𝑚‖ → ‖𝒙0‖. A recíproca não é
verdadeira.
e) Mostre que toda sequência convergente é limitada, mas nem toda
sequência limitada é convergente.
f) Mostre que toda sequência limitada possui pelo menos um valor de
aderência.
g) Mostre que se 𝒙𝑚→ 𝒙0, então toda subsequência (𝒙𝑚𝑗)
𝑗∈ℕ converge para
𝒙0 (existe um único valor de aderência de (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ). h) Mostre que toda sequência de Cauchy é limitada.
Exercício 1
Exercício 2
i) Mostre que se (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ é uma sequência limitada, então (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ possui
um possui um valor de aderência.
j) Mostre que se uma sequência (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ de Cauchy possui um valor de
aderência então (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ converge para este valor.
k) Mostre que uma sequência (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ é de Cauchy se, e somente se,
(𝒙𝑚)𝑚∈ℕ for convergente.
l) Mostre que se (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ é uma sequência limitada, então (𝒙𝑚)𝑚∈ℕ é
convergente se, e somente se, 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑓 𝒙𝑚= 𝑙𝑖𝑚𝑠𝑢𝑝 𝒙𝑚. m) Mostre que se lim
𝑚→+∞𝒙𝑚= 𝟎 e 𝒚𝑚 for limitada então lim𝑚→+∞〈𝒙𝑚, 𝒚𝑚〉 = 0. n) Mostre que se lim
𝑚→+∞𝒙𝑚= 𝒙0 e lim𝑚→+∞𝒚𝑚= 𝒚0 então: ( i ) lim 𝑚→+∞𝒙𝑚+ 𝒚𝑚= 𝒙0+ 𝒚0; ( ii ) lim 𝑚→+∞𝛼 ∙ 𝒙𝑚= 𝛼 ∙ 𝒙0; ( iii ) lim 𝑚→+∞〈𝒙𝑚, 𝒚𝑚〉 = 〈𝒙0, 𝒚0〉.
o) Mostre que se 𝜑(𝑡) = (𝑥1(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡)) e lim
𝑡→+∞𝜑(𝑡) = 𝒙0, então
lim
𝑚→+∞𝜑(𝑚) = 𝒙0, 𝑚 ∈ ℕ. f)
(Convergência de Sequências em ℝ)
a) Mostre que se lim
𝑚→+∞𝑥𝑚= 𝑥0 e lim𝑚→+∞𝑦𝑚= 𝑦0 então: ( i ) lim 𝑚→+∞𝑥𝑚+ 𝑦𝑚= 𝑥0+ 𝑦0; ( ii ) lim 𝑚→+∞𝛼 ∙ 𝑥𝑚= 𝛼 ∙ 𝑥0; ( iii ) lim 𝑚→+∞𝑥𝑚∙ 𝑦𝑚= 𝑥0∙ 𝑦0; ( iv ) lim 𝑚→+∞ 𝑥𝑚 𝑦𝑚= 𝑥0 𝑦0, se 𝑦0≠ 0.
b) Mostre que se (𝑥𝑚)𝑚∈ℕ é uma sequência divergente, então (𝛼 ∙ 𝑥𝑚)𝑚∈ℕ
será uma sequência divergente, ∀ 𝛼 ∈ ℝ∗ .
c) Mostre que se (𝑥𝑚)𝑚∈ℕ é uma sequência decrescente e limitada
inferiormente e se 𝑥0= 𝑖𝑛𝑓{𝑥𝑚, 𝑚 ∈ ℕ} então lim
𝑚→+∞𝑥𝑚= 𝑥0.
d) Mostre que se (𝑥𝑚)𝑚∈ℕ é uma sequência crescente e limitada
superiormente e se 𝑥0= 𝑠𝑢𝑝{𝑥𝑚, 𝑚 ∈ ℕ} então lim
𝑚→+∞𝑥𝑚= 𝑥0.
e) Mostre que se 𝑥𝑚> 0, ∀ 𝑚 ∈ ℕ e lim 𝑚→+∞
𝑥𝑚+1
𝑥𝑚 < 1 , então lim𝑚→+∞𝑥𝑚= 0. f) Mostre que se lim
𝑚→+∞𝑥𝑚= 𝑥0 e lim𝑚→+∞𝑦𝑚= 𝑦0 e 𝑥𝑚≤ 𝑦𝑚 então 𝑥0≤ 𝑦0. g) Mostre que se lim
𝑚→+∞𝑥𝑚= 𝑥0 e lim𝑚→+∞𝑦𝑚= 𝑥0 e 𝑥𝑚≤ 𝑧𝑚≤ 𝑦𝑚 então
lim
𝑚→+∞𝑧𝑚= 𝑥0. h) Mostre que se lim
𝑚→+∞𝑥𝑚= 𝑥0 e 𝑓: ℝ ⟶ ℝ for uma função contínua em 𝑥0,
então lim
𝑚→+∞𝑓(𝑥𝑚)= 𝑓(𝑥0).
Analise a convergência das sequências abaixo: a) ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑚𝑖, 𝑎𝑖∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛. b) ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑚𝑖 ∑𝑙𝑖=0𝑏𝑖𝑚𝑖 , 𝑎𝑖, 𝑏𝑖∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛. c) 𝑎𝑚, 𝑎 ∈ ℝ. d) log𝑎𝑚 , 𝑎 ∈ ℝ+∗ − {1}. e) sen(𝑚). f) cos(𝑚) (Convergência de Séries no ℝ𝒏) a) Mostre que ∑+∞𝑚=1(𝑥1𝑚, … , 𝑥𝑛𝑚)→ (𝑥10, … , 𝑥𝑛0) ⟺ ∑+∞𝑚=1𝑥𝑙𝑚→ 𝑥𝑙0, ∀ 𝑙 = 1, … , 𝑛. b) Se ∑+∞𝑚=1𝒙𝑚 = 𝒙0 e ∑+∞𝑚=1𝒚𝑚 = 𝒚0 então ∑+∞𝑚=1𝛼𝒙𝑚+ 𝛽𝒚𝑚 = 𝛼𝒙0+ 𝛽𝒚0. c) Mostre que se ∑+∞𝑚=1𝒙𝑚é convergente então lim𝑚→+∞𝒙𝑚= 𝟎.
(Convergência de Séries em ℝ)
a) Mostre que se ∑+∞𝑚=1|𝑥𝑚| for convergente, então a série ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚 será
convergente. A recíproca não é verdadeira.
b) Mostre que se 0 ≤ 𝑥𝑚≤ 𝑦𝑚 e
( i ) ∑+∞ 𝑦𝑚
𝑚=1 for convergente então ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚será convergente.
( ii ) ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚 for divergente então ∑+∞𝑚=1𝑦𝑚 será divergente.
c) Mostre que se 𝑦𝑚≤ 𝑥𝑚≤ 𝑧𝑚, ∑𝑚=1+∞ 𝑦𝑚 e ∑+∞𝑚=1𝑧𝑚 forem convergentes
Exercício 6
Exercício 7
Exercício 5
então ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚será convergente. d) Suponha que 𝑥𝑚≥ 0, 𝑦𝑚> 0 e lim
𝑚→+∞ 𝑥𝑚
𝑦𝑚= 𝐿.
( i ) Se 0 < 𝐿 < 1, então ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚 e ∑+∞𝑚=1𝑦𝑚são ambas convergentes ou
divergentes;
( ii ) Se 𝐿 = 0 e ∑+∞𝑚=1𝑦𝑚for convergente, então ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚será convergente;
( iii ) Se 𝐿 = +∞ e ∑+∞𝑚=1𝑦𝑚for divergente, então ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚será divergente.
e) Suponha que ∑+∞ 𝑥𝑚
𝑚=1 e ∑+∞𝑚=1𝑦𝑚 são ambas séries de termos não
negativos e 𝑥𝑚+1
𝑥𝑚 ≤
𝑦𝑚+1
𝑦𝑚 , então: ( i ) se ∑+∞ 𝑦𝑚
𝑚=1 for convergente, teremos que ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚será convergente;
( ii ) se ∑+∞𝑚=1𝑥𝑚for convergente, teremos que ∑+∞𝑚=1𝑦𝑚será convergente. f) Seja 𝑓 uma função real, contínua, positiva e decrescente, então:
( i ) ∑+∞ 𝑓(𝑚)
𝑚=1 converge ⇔ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞
𝑁 converge para algum 𝑁 > 0;
( ii ) ∑+∞ 𝑓(𝑚)
𝑚=1 diverge ⇔ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞
𝑁 diverge. g) Mostre que se ∑+∞ 𝑥𝑚
𝑚=1 é uma série de termos não negativos, então se:
( i ) {𝑚→+∞lim 𝑥𝑚+1 𝑥𝑚 = 𝐿 < 1 , então ∑ 𝑥𝑚 converge +∞ 𝑚=1 lim 𝑚→+∞ 𝑥𝑚+1 𝑥𝑚 = 𝐿 > 1 ou + ∞ , então ∑ 𝑥𝑚 diverge +∞ 𝑚=1 Obs.: Se lim 𝑚→+∞ 𝑥𝑚+1
𝑥𝑚 = 𝐿 = 1, nada podemos afirmar sobre a convergência de ∑+∞ 𝑥𝑚. 𝑚=1 ( ii ) {𝑚→+∞lim √𝑥𝑚 𝑚 = 𝐿 < 1 , então ∑ 𝑥 𝑚 converge +∞ 𝑚=1 lim 𝑚→+∞ √𝑥𝑚 𝑚 = 𝐿 > 1 ou + ∞ , então ∑ 𝑥 𝑚 diverge +∞ 𝑚=1 Obs.: Se lim 𝑚→+∞ √𝑥𝑚 𝑚
= 𝐿 = 1, nada podemos afirmar sobre a convergência de ∑+∞ 𝑥𝑚.
𝑚=1
Analise a convergência da série geométrica ∑+∞ 𝑎 ∙ 𝑞𝑚 , 𝑎, 𝑞 ∈ ℝ
𝑚=1 .
Analise a convergência da série harmônica
Exercício 8
∑ 1
𝑚𝑝 , 𝑝 ∈ ℝ
+∞
𝑚=1 .
Analise a convergência das séries: a) ∑ (∑𝑛 𝑎𝑖𝑚𝑖 𝑖=0 ) , 𝑎𝑖∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛. +∞ 𝑚=1 b) ∑ (∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑚𝑖 ∑𝑙𝑖=0𝑏𝑖𝑚𝑖 ) , 𝑎𝑖, 𝑏𝑖∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛. +∞ 𝑚=1 c) ∑+∞ (𝑎𝑚) , 𝑎 ∈ ℝ. 𝑚=1 d) ∑+∞𝑚=1(log𝑎𝑚) , 𝑎 ∈ ℝ+∗ − {1}. e) ∑+∞ (sin(𝑚)). 𝑚=1 f) ∑+∞ (cos(𝑚)). 𝑚=1
Exercício 10
UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DE CÁLCULO
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