CONTRIBUIÇÃO
À
ELABGRAÇÃO
DE
UM
v1sUAL1zADoR
DE
cAMPos
ELETRoMAGNÉT1cos
TR1D1MENs1oNA1s
~
\
' 'DISSERTAÇAO SUBMETIDA
A
UNIVERSIDADE
FEDERALIDE
SANTA
CATARINA
PARA
A
QETENÇÃÓ
Do GRAU
DE MESTRE
EM
*
ENGENHARIA
ELÉTRICA
FABIANO
LUIZ
SANTOS
GARCIA
›CONTRIBUIÇÃO
À
ELABORAÇÃO
DE
UM
SISTEMA
VISUALIZADOR
DE
..
CAMPOS
ELETROMAGNETICOS
TRIDIMENSIONAIS
FABIANO
LUIZ
SANTOS GARCIA
ESTA DISSERTAÇÃO
POI
JULGADA
ADEQUADA
PARA
OBTENÇÃO
DO
TITULO
DE
MESTRE
EM
ENGENHARIA
ESPECIALIDADE
ENGENHARIA
ELÉTRICA
CONCEPÇÃO
E
ANÁLISE
DE
DISPOSITIVOS
ELETROMAGNETICOS
,
E
APROVAD
SUA
FORMA
FINAL
PELO
PROGRAMA
DE PÓS-GRADUAÇÃO
\
A\\
~
A
Prof. AA‹Ir‹›aId0”
`”ize.r,
Dr.
INPC
`ntador\\
x
_\
,
Prof.
Enio
Vahnor
Kassik, Dr.
INPT
'
Coordenador do Curso
de
Pós-Graduação
BANCA
EXAMINADORA
em
Ee
1-.
fa Elétrica,
'I V'`
Prof.
^.'zer:
DM
A\
.`
I\
IM/1
_
Prof.
ffiffr'
ias,
I
.(QUAL
Mn
L;I\
Profa.
Carla
Maria
Dal
Szyo
Freitas,
Dr.
Informática
UIBÇS
,
/
/,
.Prof.
Neyoíi
adowski,
Dr.
INPT
IV
À
minha
futura
esposa
Alessandra
AGRADECINIENTOS
Ao
Professor
Adroaldo
Raizer pela amizade, dedicação
e
confiança
depositados
durante a elaboração
desta
Dissertação
e
pela
"força"
para
que eu
continuasse
na
batalha.
À
toda
a
minha
família,
em
especial
aos
meus
pais,
pelo incentivo e
por
acreditar
que eu
pudesse vencer mais
esta
etapa.
_À
Alessandra
Telles
pelo
incentivo e
compreensão
e
por
estar
ao
meu
lado
nos
momentos
dificeis.
Ao
Professor
João Pedro
Assumpção
Bastos pelo
interesse
e
auxílio
prestado
nas
soluções
de
algumas
dúvidas.
,'
Aos
amigos
do
GRUCAD
pelo convívio
ze
pelo
espírito
de equipe
presente
em
todos os
momentos.
Aos
demais
membros
da
banca examinadora,
Professores
Nelson
Sadowski,
Walter
Pereira
Carpes
Jr,
Altamir
Dias
e
Carla
Maria
Dal
Sasso
Freitas.
A
Ao
Departamento
de Pós-Graduação
em
Engenharia
Elétrica
e
ao
chefe
da Seção
de Expediente
Wilson-Silva
Costa,
pela
colaboração durante
o
curso.
À
CAPES
pela bolsa
de
estudos
oferecida.
ovi
RESUMÓ
Este trabalho apresenta
um
sistema pós-processador
utilizado
para a
exploração
gráfica
e
numérica
de
resultados
obtidos
através
de
um
programa
de
cálculo
de
campos
eletromagnéticos tridimensionais
por
elementos
finitos.
`
Iniciahnente,
são estudados os
problemas
magnetostáticos tridimensionais
e
apresentado
um
programa
que
resolve esses
problemas.
Em
seguida é
proposto
um
sistema pós-processador.
É
demonstrada
sua
interface
gráfica
bem
como
as
técnicas
de
exploração implementadas.
-Finalmente,
é realizada
uma
análise utilizando
o
sistema.
É
feita
uma
comparação
entre
os
resultados
obtidos
e
os tabelados
-
valores fornecidos pelo
fabricante
do
dispositivo analisado.
Compara-se
também
com
os
valores
calculados
analiticamente,
comprovando
assim
a eficiência
do
programa.
V
ABSTRACT
This
work
presents a post-processor
used
for
graphical
and
numerical
exploration
of
results
obtained
from
a
3D
electromagnetic
field
calculation
program
by
the finite
element method.
.At
first,
the
three-dimensional magnetostatic
field problems
are
studied
and
the
program which
resolve
these
problems
is
presented.
Afterwords,
a
post-processor
is
proposed.
The
graphical
interface
and
the
exploration
techniques
are
described.
'Finally,
an
analysis
using
the
post-processor
is
realised.
The
results
obtained
are
SUMÁRIO
RESUMO
ABSTRACT
1NTRoDUÇÃo
.CAPÍTULO
1
-
CoNcE1roS
BÁSICOS
1.1
-
Introdução
1.2
-
As
equações fundamentais do
eletromagnetismo
1.3
-
Os
casos estudados
u
.
H A
1.3.1
-
Potencial
escalar
-
problemas
magnetostáticos
1.3.2
-
Potencial
escalar
reduzido
-
problemas
magnetostáticos
1.3.3
-
Acoplamento
entre
o
potencial escalar
total
e
o
potencial
reduzido
` _ _ _1.4
-
A
análise
matemática
1.4.1
-
A
fonna
fraca
1.4.2
-
O
Método
de
Galerkin
- -1.5
-
O
método
de elementos
finitos
1.6
-
Conclusão
CAPÍTULO
2
_
0
SISTEMA
EFCAD
31)
2.1
-
Introdução
.2.2
-
O
Sistema
EFCAD
3D
2.2.1
-
O
programa
MALHA
2.2.2
-
O
programa
CCFOU
2.2.3
-
O
programa
GRAF
vi
Vl
V11
Xl
0
1
01
04
04
O5
O7
10
10
10
ll
15
16
16
18
21
21
2.5
-
A
interface
gráfica
2.6
-
As
implementaçõs
realizadas
no
EFvis
2.7
-
Conclusão
CAPÍTULO
3
-
A
EXPLORAÇÃO NUMÉRICA
E
GRÁFICA Dos
RESULTADOS
3.1
-
Introdução
_
3.2
-
Visualização
de
campos
vetoriais
3.2.1
-
Visualização
por
flechas
tridimensionais
3.2.2
-
Mapa
de
cores
3.3
-
Visualização
de
escalares
3.3.1
-
Linhas
equipotenciais
3.3.2
-
Mapa
de
cores
'
3.4
-
Exploração de
resultados
numéricos
3.4.1
-
Exploração
pontual
`3.4.2
-
Exploração
sobre
uma
reta
.3.4.3
-
Exploração
sobre
uma
superficie
3.5
-
O
plano
de
corte
3.6
-
O
cálculo
de
forças
em
3
dimensões
3.6.1.
O
tensor
de
Maxwell
3.6.2.
A
interação
com
o
usuário
_CAPÍTULO
4
_
APLICAÇÕES
4.1
-
Introdução
4.1.1
-
Contator
eletromagnético
de
9A
4.1.1.1.
Análise
do
problema
4.1.1.2
-
Cálculo das
forças e
fluxos
magnéticos
em
3D
_ V4.1.1.3
-
Comparação
dos
resultados
obtidos
com
valores
medidos
.4.1.1.4
-
Análise
dos
resultados
4.1.2
-
Ímãs
-
permanentes
4.1.2.1
-
Análise
do
problema
4.1.2.2
-
Cálculo
da
força entre
os
imãs
4.1.2.3
-
Resultados obtidos
`
4.1.2.4
-
Análise
dos
resultados
4.1.3
-
Dispositivo analisado
no
Workshop
/TEAM
Benchmark
Problem #20 (3D
Static
Force Problem)
-4.1.3.1
-
Análise
do
problema
4.1.3.2
-
Cálculo
da
força
eletromagnética
4.1.3.3
-
Resultados obtidos
4.1.3.4
-
Análise
dos
resultados
CONCLUSÃO GERAL
ANEXO
A-1
-
EXEMPLO
DE
GERAÇÃO
DE ARQUIVO DE
ENTRADA
DE
DADOS
PARA
O
PROGRAMA
MALHA
Como
advento dos computadores
digitais,
métodos
numéricos
para
a
resolução
de
problemas de eletromagnetismo
e
cálculo
de
campos
eletromagnéticos
começaram
a
ser
utilizados
com
bastante
freqüência. Inicialmente, utilizava-se
o
método
de
diferenças
finitas
e,
a
partir
dos anos
60,
o
método
de Elementos
Finitos [35,36,25].
O
cálculo
de campos, que
a
princípio era
realizado
em
duas dimensões, passou a
ser
feito
também
em
três
dimensões,
uma
vez
que o
cálculo
bidimensional é
apenas
uma
aproximação
da
situação
real
doproblema.
Esta
aproximação,
embora
satisfatória
para
certos casos,
pode não
ser
adequada
para
muitos
outros.
'As
décadas de
70
e,
principalmente
80,
viram
surgir
uma
grande quantidade de
formulações matemáticas
para a resolução
de problemas
tridimensionais
utilizando-se
a
técnica
de Elementos
Finitos.
Apesar de muitos
estudos já
realizados,
os
problemas
tridimensionais
continuam
a
ser
de grande
interesse
para toda a
comunidade
científica
ligada
ao
cálculo
de
campos
eletromagnéticos.
Sistemas pré
e
pós-processadores
também
recebem
uma
atenção especial nestas
pesquisas,
uma
vez
que
todos os
dados de
entrada
e
os
resultados
obtidos
-
oriundos
do
processo de
cálculo
-
necessitam
de
técnicas
computacionais
específicas
para sua
análise.
Problemas
tridimensionais resolvidos utilizando
o
método
de Elementos
Finitos
geram,
na
maioria
dos
casos,
uma
grande
quantidade
de
dados.
A
análise
desses
dados
exige
um
sistema pós-processador
poderoso
e
que
forneça
condições de
interpretar
de
forma
eficiente
todos os
resultados.
.Atuahnente,
.sistemas
pós-processadores utilizam
cada vez mais
técnicas
de
computação
gráfica[8] para
auxiliar
a
análise
de
resultados.
A
visualização científica é
uma
delas,
cuja aplicação
principal é
a
análise
exploratória
de
dados,
ou
seja,
realizar
uma
exploração
dos
dados, para
fms
de
compreensão
dos
fenômenos que
estes
xii
O
presente
trabalho
mostra
a
implementação de
um
sistema
pós-processador
utilizado
para
a exploração
gráfica
e
numérica de
resultados
obtidos
pelo
cálculo
de
campos
eletromagnéticos tridimensional
por Elementos
Finitos.
O
pós-processador
foi
totahnente elaborado
em
ambiente
gráfico,
sob
a plataforma
Sun-OS
(Unix
compatível)
seguindo o padrão gráfico
OpenLook
[30]
e desenvolvido
utilizando
a
linguagem
C
padrão[26].
As
rotinas
matemáticas
já
existentes
-
escritas
em
Fortran
-
foram
reescritas
em
C
para que o
sistema
obtivesse
maior
portabilidade.
As
novas
rotinas criadas,
foram
implementadas
e testadas
previamente
em
Fortram,
e
em
seguida
reesciitas
em
C.
Automaticamente, o
estilo
tradicional
de
programação
-
utilizando-se
a
biblioteca
gráfica
GKS[7]
e
somente
a
linguagem
Fortran
-foi
substituído
por
uma
programação que
controla
de
forma
centralizada
todo o
fluxo
de
operações
do
programa.
Para
a implantação
de
um
sistema totalmente criado
em
ambiente gráfico,
foi
necessário
o conhecimento
do
sistema
XWindow[22],,
a
fim
de
que
funções
existentes
na
biblioteca
gráfica
Xlib[2l]
e
ferramentas
de
auxílio
à
programação
como
o
GUIDE[31],
pudessem
ser utilizadas
com
êxito.
O
capítulo
1
deste trabalho
apresenta algums conceitos básicos associados às
leis
de
Maxwell, métodos
para a resolução
de problemas
magnetostáticos tridimensionais
e
a
aplicação
do método
de Elementos
Finitos.
No
capítulo
2,
é
apresentado
um
sistema
de
cálculo
de
campos
eletromagnéticos
tridimensionais,
suas
etapas
de
pré-processamento,
processamento
e
pós-processamento
e
também
o
sistema pós-processador
-
EFvis[27]
-
totahnente elaborado
em
um
ambiente
gráfico.
O
capítulo 3
mostra
as técnicas
de
exploração
gráfica
e
numérica
implementadas
no
EFvis
ie,
fmalmente no
capítulo
4,
faz-se
uma
análise
de problemas
tridimensionais
utilizando
o
sistema
EFvis
e
compara-se
os
resultados
obtidos
com
os valores
medidos
-
CAPÍTULO
1
_
coNcE1Tos
BÁs1cos
1 .1.
Introdução
Este
capítulo
apresenta
iniciahnente
_urna
revisão
das
equações
fimdamentais do
eletromagnetismo.
Em
seguida são abordados'
três
métodos
utilizados
para a resolução
de
problemas
magnetostáticos
tridimensionais,
quais sejam,
o
potencial escalar
total,
o
potencial
escalar
reduzido
e
o acoplamento
entre
o
potencial
escalar
total
e
o
potencial
escalar
reduzido.
São
abordados
também
os conceitos
de condição de contorno
.e
formulação
fraca
e,
fmalmente,
são apresentados os
métodos
de
Galerkin
e
de elementos
finitos.
1.2.
As
Equações Fundamentais do
Eletromagnetismo
As
equações de
Maxwell
são
um
grupo de equações
diferenciais
sobre
o
tempo
e
o
espaço
aplicadas
às
grandezas
ditas
"eletromagnéticas".
_..
_.
_.
O
campo
elétrico
E,
a
indução
elétrica
D,
a indução magnética
B
e
o
campo
-r
magnético
H,
dependentes
da posição
e
do
‹tempo,
caracterizam
um
campo
,
eletromagnético.
_ 'Os
fenômenos
eletromagnéticos são
govemados
pelas seguintes
equações
[1l]:
n
r‹›rÊ
+
Q
=
0
(1.1)
ât
MH-
Q
=
.7
(12)
âr
_.
âfvB
_
o
(1.2.)
d_ivÊ
=
p
(l.4)
W
m,
2
onde:
'_.
H
-
campo
magnético
(A/m);
_.
_B
-
indução magnética
(T);
Ê
-
campo
elétrico
(V/m);
_.
D
-
indução
elétrica
(C/mz);
.Í
-
densidade
superficial
de
corrente
(A/rinz);
'p
-
densidade
volumétrica
de
carga
elétrica
(C/m3);
t -
tempo
Outras equações
ou
relações
complementam
as
equações de
Maxwell.
Estas são
chamadas
de
relações
constitutivas e
dependem
do
meio onde
existe
0
campo:
i s
õz||z||Ê
(15)
B=¡|u||fi+â,
(Ló)
vJ
_
||õ||E
V(1.7)
onde:
-
tensor
de
permissividade
elétrica
do
meio
(F/m);
Hu"
-
tensor
de
permeabilidade
magnética
do
meio
(H/m);
s
"GH
-
tensor
de
condutividade
elétrica
do
meio*
(1/Q.
m);
Ê,
-
indução magnética remanente
A
indução magnética remanente
é
acrescentada
para
que imãs permanentes
possam
ser tratados,
caso
estes
existam
no
domínio.
No
caso
de
materiais isotrópicos,
ostensores
Hs
,
u||
e "G" se
reduzem
aos
escalares 8,
pl
e
6.
.
Considerando apenas meios
isotrópicos e lineares
e
fenômenos onde
a variação
.
‹›
'
_
temporal
das grandezas envolvidas
é desprezível
ou nao
existe,
as
equaçoes
(l.1), (l.2),
rotÊ
=O
›(l.8)
rotH-
J
V(l.9)
divišz
0
(1.1o)
dz'vD=
p
(1.11)
sNa
interface entre materiais
com
propriedades
constitutivas
diferentes,
verificam-
se as
seguintes condições sobre os
vetores
de
campo
[18]:
_-
ñ-Ê,=ñ-E2
(1.12)
fi^FIl=ñ^H,
(1.13)
_..
_.
__.
_.
n/\E¡=n/\E2
(l.14)
ñ-D,=`ñ-D,
(1.15)
onde:
` '-›
n
-
Vetor
nonnal
à superñcie
entre
dois
meios
diferentes;
'
-
Indica
o produto
escalar;
_
/\ -
Indica
o produto
vetorial;
1
e
2
-
Caracterizam
os
dois
meios
diferentes.
As
equações
(1.13) e (l.l4)
estabelecem
que
as
componentes
tangenciais
do
campo
elétrico
e
do
campo
magnético
são contínuas
na
interface
entre
dois
meios
diferentes.
As
equações
(1.12) e (l.l5)
estabelecem
que
as
componentes
normais
da
indução magnética
e
da indução
elétrica
são continuas
na
interface entre
dois
meios
com
propriedades
constitutivas
diferentes.
`
Para
as
condições
de
contomo
nos
limites
do
domínio, são consideradas
as
condições de
contomo
de
Dirichlet,
onde o
valor
do
potencial
é
especificado, e a
condição de contorno de
Neumann,
onde
a derivada
normal
do
potencial é
especificada
4
1.3.
Os
casos estudados
Os
problemas
eletrostáticos
apresentam equações semelhantes
às
do
caso
magnetostático
sem
correntes,
e
podem
ser
calculados
por
um
programa que
trata
problemas
magnetostáticos
tridimensionais.
Desta
maneira, optou-se
por
analisar
um
problema
mais
geral
-
o
magnetostático.
`~
Dentre
os
métodos
propostos
na
literatura,
para a resolução
_de
problemas
magnetostáticos,
foram
escolhidos,
para
este trabalho,
o
potencial
escalar
total,
o
potencial
escalar
reduzido e
o
potencial escalar
total
associado
ao
potencial
escalar
reduzido.
'A
seguir,
apresenta-se
cada
um
destes
métodos.
1.3.1.
O
potencial
escalar
-
Problemas
magnetostáticos
Na
análise
de problemas
em
um
domínio
onde não há
presença
de
correntes,
a
equação
(1.9)
pode
ser
escrita
da
seguinte
fonna:
'mríl =
0
~
(1.17)
Assim
sendo,
pode-se defmir
um
potencial escalar
magnético
\|/,
de
maneira
que:
Hz-grado
(1.1s)
A
validade desta
equação
pode
ser
comprovada
substituindo-se
a
equação
(1.
18)
na
equação
(1.
17).
Aplicando-se
(1.
18)
em
(l.6)
e
(1.
10),
tem-se:
div(p.grad
ty)
=
div
Ê,
'
que
é
a
equação de Poisson
para
o
campo
magnético.
A
equação
(l.l9)
na fonna
apresentada, representa a presença
de
imãs' pennanentes.
Caso não
existam
írnãs
permanentes
na
região,
considera-se
B,
=
0.'
Tem-se
então,
a
equação
de
Laplace para
o
campo
magnético.
~`
1.3.2.
O
potencial
escalar
reduzido
-
Problemas
magnetostáticos
A
fonnulação que
utiliza
o
potencial escalar
total
não pode
ser
aplicada
na
análise
de problemas
em
domínios
tridimensionais
onde
existam
correntes.
Nestes
casos
aplica-se
_.
o
potencial vetor
magnéticoA
[l8].
Entretanto, este
apresenta
certos
problemas.
Em
função
disso,
foram
desenvolvidas
forrnulações
que
perrnitem
a
análise
em
dornínios
com
correntes
e
que
utilizam
potenciais escalares
[18].
VUma
das
formulações
existentes
propõe
decompor
FI
em:
._.
..
_.
H-Hj
+H,
(l.20)
onde:
_.
_
H
J.
-
Campo
criado
por
correntes
de
excitação
de
densidade
J
no
ar;
Ê,
-
Carnpo
criado pela reação das
partes
magnéticas
ou
condutoras;
Os
materiais
são considerados
isotrópicos
com
penneabilidades
constantes.
O
campo
ÊJ-
é
dado,
em
qualquer
ponto
do
espaço, pela
lei
de
Biot-Savart
[2]:
_
..
1
J/\ro
Hj
21-Tc-Ã]-'TF-ds)
_.
(1.21)
onde:
if,
-
Vetor
tmitário,
posicionado
entre
o elemento
portador
de
corrente
e
o ponto de
observação;
v6
EI,
'-
Região
na
qual circulam
as correntes;
Q-
Domínio
de
estudo.
e
satisfaz
a
equaçãoí
_mr
Hj
=
.7
(W122)
Com
Êj
conhecido
e
com
as
equações
(
1.9),
(
1.20) e
(
1.22),
obtém-se:
mr
H, =
0
(123)
_.
logo,
H,
pode
.ser
representado pelo
gradiente
de
um
potencial
escalar,
denominado
potencial
escalar
reduzido
(p:
Ê,
=
-grad‹p
(1.24)
Combinando
(l.24)
com
as
equações
(l.20)
e
(1.10),
tem-se:
div(p(FI¡.
-grad‹p)
+Ê,)
=0
'(1.25)
Para
garantir
a continuidade
da
componente
normal
do
vetor
indução magnética
Ê"
,
tem-se:
_'
_.
..
-z
_.
_.
.z
[U1(H¡ `grad(Px)
+Br¡]
'V1
-[ll2(Hj
_grad(P2) +Br2]
'n
(1-25)
onde:
ñ
-
Vetor normal
à
superficie entre dois
meios
diferentes;
°
-
Indica
o produto
escalar;
O
potencial
escalar
reduzido
(p
é
contínuo e único
em
todo o
espaço, incluindo
as
regiões condutoras. Esta
é
a
grande
vantagem
desta
formulação.
O
seu
ponto
fraco é
o
erro
de cancelamento que
ocorre
quando
(1.20)
é
utilizada
para
o
cálculo
no
interior
de
materiais ferromagnéticos
de
alta
penneabilidade.
A
origem
deste erro
é
o
fato
de
que
o
_.
campo
"fonte",.
H
J.
,e
o
campo
"induzido",
-gradtp,
são
quase
iguais
em
módulo,
com
sentidos
praticamente opostos dentro
de
materiais
magnéticos.
Como
resultado,
dois
_.
números
relativamente
grandes são
subtraídos
mn
do
outro e
o
campo
total
H,
é
determinado
pela
diferença,
a
qual é
muito
pequena
(na
faixa
dos
erros
de
trlmcamento).
Isto
toma
virtualmente
irnpossível
a
obtenção de
uma
solução precisa
de
um
problema
magnetostático não-linear
[19].
1.3.3.
Acoplamento
entre potencial escalar
total
e
o
potencial escalar
reduzido
p
Para
evitar-se
o problema de cancelamento
associado
à
utilização
do
potencial
escalar
reduzido
dentro
de
materiais
magnéticos de
alta
penneabilidade
e
ainda
permitir
o
cálculo
em
regiões
onde
existam
correntes, realiza-se
o acoplamento
entre
o
potencial
escalar
total
e
o
potencial escalar
reduzido[20].
Considerando
na figura
1.1,
Q
como
o
dornínio
de
estudo,
pode-se
dividi-lo
em
dois sub-domínios,
QI.
e
Qkp
Em
QI.
,
existem
correntes
e
a
penneabilidade
magnética
é
constante, igual
à penneabilidade
do
ar,
po.
Utiliza-se
o
potencial
escalar
reduzido
‹p
e
a
equação
(l.24)
para
descrever seu
comportamento.
Em
Qk
,
existem
volumes
de
material
magnético
e
não
existem
correntes. Utiliza-
se
o
potencial
escalar
total, ql,
e
a
equação
(1.
19)
descreve seu
comportamento.
Na
interface
l`,,¡
entre as
regiões QI.
ei
Qk,
a
componente normal do
vetor
indução magnética
Ê"
,
e as
componentes
tangenciais
do
vetor intensidade
de
campo
111
fik
__
‹,
nk
I
p_'
H
t
Q
Í
oI`2k
BJ
4Figura
1.1:
Domínio
de estudo e sub-domínios
V
Señkéovetorunitáriononnalaf-
,U
e,
Í
,
um
vetor
unitário
tangente
(Fig.l.1),
então,
para
satisfazer
a
condição de
continuidade
de
É"
,
tem-se:
i
(-uk
gradw
+
Ê,
)-fik
=
»0(Ê,-
-
gmd
âv)-fik
‹1.2v›
Para
satisfazer
a
condição de
continuidade
de Ê,,
tem-se:
-grad
W-Í'
=(I7I¡
-
grad‹p)-Í
(l.28)
A
equação
(l.28)
pode
ser
integrada utilizando-se
qualquer
caminho
sobre
a
fionteira
I`,,¡.
Sejam
por
exemplo
A
e
B
dois
pontos
pertencentes a
esta
fronteira,
então:
B
_.
__
_No
contorno
do
domínio
I`
,
pode-se
ter
as
seguintes
condições de
contomo:
a)
Condições
de Contorno de
Dirichletz
(P=(Po
›
em
rlj
da
\V=\Vo
,em
.fik
(1-30)
b)
Condições
de
Contomo
de
Neumarmz
õ
-
_.
-uoã-n(§+u0H¡-n=O
,em
1`2¡
-u
%+Ê,-ñ=0
V,em
13,,
(131)
Observações:
1)
Se
a
região
for
simplesmente
conexa,
ou
um
conjunto
de
regiões
simplesmente
conexas,
o
potencial
em
cada
região
será único.
Por
outro
lado,
-se
Va
região
for
multiplamente
conexa
envolvendo
regiões
portadoras
de
corrente,
a aplicação
direta
da
lei
de
Ampère
para
um
caminho
fechado
em
Qk,
envolvendo
uma
corrente
I
,
fomece
[l8]:
§H-fdzzzzwa)-wa)
(132)
2)
O
acoplamento
das
fonnulações de
potencial escalar
total
e
reduzido
permite,
então,
a
inclusão
de
correntes
no
domínio de
estudo,
a
utilização
de
potenciais
escalares e
10
1.4.
A
análise
matemática
O
tratamento
clássico
das
equações
diferenciais
exige
que
a solução
satisfaça
a
equação
em
todos os
pontos do
domínio.
No
entanto,
a
existência
de.
materiais
com
propriedades
constitutivas diferentes
no
domínio de
estudo
causa
descontinuidades
nas
interfaces entre estes materiais, e
esta,
.se
toma
uma
exigência
muito
forte.
V
Para vencer
esta
dificuldade, reformula-se
o
problema
de
fonna
a admitir
condições mais
fracas
para a solução
e
suas derivadas
[4,l8,l6].
1.4.1.
A
fonna
fraca
A
forma
fraca
para
mn
problema de acoplamento
entre
potencial
escalar
total
e
o
potencial
escalar
reduzido,
é
mostrada
em
[l8],
o
qual fornece achar
{\|/,(p}
e -H(Q)
tal
(1116
Í_
'
~
_Í
Qk
gradu-(ugradq/)d§2+J. _gradu-(u0grad‹p)dQ=_Í
QJ
Qk
gradu-Ê,dQ+
é
_.
'_.
_.
[Dq
n0(H,.
-ni
)udr+ƒr2j
n0(H,.-n)zzz1r
,v
zz
E
Hom)
(133)
onde:
u
-
Função
de
teste escalar;
VHo
-
Classe
de funções
teste
para
o
potencial
escalar;
ñj
-
Vetor normal
à região
Qj
em
l`k
1.;
H
(Q)
-
Classe das funções
admissíveis.
1.4.2.
O
Método
de Galerkin
O
método
de
Galerkin
consiste
na
procura
de
uma
solução
aproximada
para
(l.33)
dimensão
infinita,
procura-se
uma
solução
aproximada
para
{\|1n ,(pn
}
e
Há'
de
forma
que:
i ~ z{\Vn
Y(pn
}=
ÊQÍNÍ
i=l
onde
N,
são
funções de
base,
ot,
são constantes desconhecidas,
n
é
a
dimensão do
espaço
e Há'
é
um
subconjimto
de
Ho com
dimensão
n.
A
aplicação
do
método
de
Galerkin à
fonna
fraca (l.33)
é
feita
de
maneira
padrão,
como
é
apresentado
em
[18].i
V
A
Assim
,
a
fonna
fraca consiste
em
achar
{\|Jn ,‹pn
}
e
Há'
,
tal
que:
_.
Ink
grad
un
-(u
grad
\|/n)dQ
+
_ÍQJ_
grad
un
-
(po
grad‹pn)dQ
=J.Qk
grad
un -B,
dš)
+
jrn
u0(H,
-ñ,
)zz,,
dr+jnj
n0(11¡,. -fi)zz,,
dr
,v
un
e
H¿'(Q)
(rss)
O
método
de
Galerkin
é
extremamente
poderoso,
mas
possui
um
sério
inconveniente:
não
fornece
uma
maneira
sistemática
de
construção das
funções de base
N,
para funções de
teste un.
_1.5.
O
método
de elementos
finitos
O
método
de elementos
finitos
fomece
urna
técnica geral
para
a construção das
funções para o
método
de
Galerkin
em
problemas de
contomo
baseados
na
formulação
fraca.
Sua
idéia principal é
que
as
fimções
de
interpolação
podem
ser
definidas de
maneira independente
sobre
as sub-regiões
do domínio
e que,
em
cada
subdominio
N
,.,
podem
ser
funções
simples,
geralmente polinomiais
de
baixa
ordem
[15].
12
De
maneira
geral,
pode-se
dizer
que a
idéia central
do
método
de elementos
fmitos
é
subdividir
o domínio
em
pequenas
regiões
finitas
e
adjacentes
chamadas
elementos
finitos.
O
comportamento
da grandeza
ñsica
é
aproximado
por
um
-polinômio,
preferencialmente
de
baixa
ordem.
Em
cada
elemento, são identificados
pontos
chamados
de nós
ou
pontos
nodais.
O
conjunto
de elementos que
formam
o
domínio
é
chamado
de
malha
de elementos
fmitos
(Fig.
1.2).
'
Malha
. .‹›.-. _V
«
-M
zm:
zz=:zäê:'‹:~m:à“
zggaw
~;;==:ê;,z°‹à'<m›¿'
WN-.tw-.z
wutauaw-
~.~.~.~.~›>z-_`i"<._._;~_›¢z-.;§ägzwãäwi
.gw
_-.W
-:'-. ."
‹.~»w.\
: -.',‹.‹
.~. _ziëzaaúaa *M
›.-.“-.`-mu
-.‹=z=::“`¬`
Ešëiëëšëšgftëíššëg
-"^*'‹*
fc
-'ëäšëfššëäš
_ . Ê›ÊÊ?šÊäa`.›.'‹xz=z$e-qe
=**?$=`ãzÊäÊ›=
~:-:›.-.‹:-:~.-.‹.~.-.-.-.-.-.z×z -.~:-.-. ~.-: _ --.~.‹.×-:;`
5:'$Ê'§`§.xII`-Iza:-mx-z=::.==~z::
tztzuwš
“tada
r
“za
atäazzta
<-:M
V.-.ztztw
›'-N:
_ ~:~:›':›.=x::›.zàs-...wi
-.-.-.~wa
Í
y
-.tt-...M
»
zttwzazr-.»
~az
'-'~“'~1‹=$.uzäzrršwâzazzaztu
-ܤ
äemeutø
V
E
ri
lr
M
V'
vu
aa
\'
\"
`×
"\
\
\
'\
À
À
4
Figura
1.2:
Elementos
Finitos/
malha
/
nós
4/
A
título
de exemplo,
aplica-se
o
método
de elementos
fmitos à
forma
fraca
(l.33),
referente
ao
problema
envolvendo o acoplamento
entre
o
potencial
escalar
total
e
o
potencial
escalar
reduzido. Esta aplicação
tem
início
definindo-se
classes
de funções
para
a
aproximação por
elementos
fmitos.
As
classes
de
funções
defmidas
são:
ENN
Há'(Q)={uh:uh
=
ZN,-u,‹
;u,-
=0,Vnó
i
e1"¡k
ul`¡¡}
(l.36)
i=1
iH"(Q)-
"-
"-NNÍN
-
-
v
"
r
,-
-
av-‹r›
-Z
,-‹v,~,‹:›z~-«›‹›,
nvf
G
1,
11
_NN¡‹
Hh(Qk)={\|/hi
\|/h
=
ZN,-\|/¡
;\|/,-
=\|/0,Vnó'i
e1`¡¡,}
z'=1
_H"(Q)
=
{{\v".‹:›"}
-'W”
€H"(Qz,)
:‹|›"€H"(Q,-)
wi'
=
wi'
+
Gz .V
nó1€1`z,,~}
(137)
G,
=
valor
do
salto
entre
‹p
e
\|/
na
interface
l`,,¡
Onde
NNj
é
o
número
de nós
em
Qj,
NNk
é
o
número
de nós
em Qk
e
NN
é
o
número
total
de
nós.
Com
estas
aproximações, obtém-se, a
partir
da equação
(l.33)
o
sistema
de
equações:
NNk
_NNj
Z
ƒpgradN,-
-gradN¡
dQ
\|/j
+
2
J'ugradI\/;
-gradN¡dQ
(pj
=
./.=l
Qk
Í=1
Qj
=
ƒnk
gradM
.B,dQ+ƒr¡q Ur”
n(,(F1¡..fi)1v',.d1¬,
i=1,NN
(rss)
Para
verificar
o que
ocorre
com
os
nós
situados
sobre
a
interface
l",,¡
,
o
segimdo
tenno ao
lado
esquerdo da equação
(l.34) é isolado e
dividido
em
dois
tennos,
um
contendo
os
nós
sobre a
fronteira
l`,,'¡
e
o
outro
os
demais
nós:
14
-NN¡
VZ
_Íp.gradN,z-gradN¡dQ
‹p¡
=
Z
[Jp0gradIV,.-gradN,dQ
<p¡]+
j=l
QI-
_leI`k¡~
Q
NN
¡
'_+
Z
_Íp0gradIV,-
-gradN¡
dQ
(pj.
(1.39)
j=
1, jzel,
Q
~ sNos
nós
sobre a
fronteira
I`,,¡
,
o
valor
de
(p,
é
dado
por
:
.
11
V‹p¡=\|¡¡+J'Ê¡-Í`dl=\|1,+G,
,
emI`k¡
(l.40)
o
Com
isto,
pode-se
eliminar
‹p¡
nestes
nós
[l8],
obtendo-se:
Z
p0gradN,.
-gradN,d§2
(p,]=
lêfkj
Q
Z
p0gradN,.
-gradN,dQ
(p,
+ƒp0gradN,.
-gradN,dQ
G,:|
(l.4l)
Iêrkj
QI.
Q
Substituindo
(l.4l)
em
(l.39)
e
esta
em
(l.38),
obtém-se:
-NNk
NN
¡
Z
;,LgradN,--gradN¡dQ
\|/J-1+
2
`Í|.10gradN,‹-grad1\/`¡dQ
‹p¡i|+
j=1
ok
1=1;1'¢1
Q;
+
Z
|:_Íg0gradN,.-gradN,dQ
\|¡¡:|=
-
Z
{J'p0gradN,.-gradN,dQ
G,}+
IeI`¡,¡-
Q¡
IeI`¡,¡
Q¡
+jQk
gradlx/1.-B,dQ+j'nqV
Uru
n0(H,.-ñ)N,.d1`,
i=1,NN
(1.42)
NN
'ZK¡¡(P¡'=fz'
J`=1
'que
é
o
sistema
matricial
a
ser resolvido.
Neste
estudo,
no
qual
se
trabalha
em
um
domínio
tridirnensional, utiliza-se
elementos
finitos isoparamétricos
do
tipo
hexaedro
trilinear
de
13
ordem,
com
funções de
interpolação
lineares,
apresentando continuidade
C0
[l5].
'-l.6.
Conclusão
Foram
apresentados
neste capítulo as
equações de
Maxwell
e
três
métodos
de
resolução
de problemas
magnetostáticos,
utilizando
como
base
a
formulação
do
potencial
escalar.
Verificou-se
a necessidade
de
utilização
de
métodos numéricos
para
o
tratamento
das
equações
diferenciais resultantes
do
equacionamento de
tais
problemas. Utilizou-se
então
o
método
de elementos
finitos.
Este
método
produz
como
resultado
o
valor
dos
potenciais
nos
nós,
o que
corresponde
em
certos casos,
a
uma
grande quantidade de
valores.
Em
fimção
disso
foram
desenvolvidos sistemas
computacionais
que
utilizam
o
método
de elementos
fmitos
e
que
realizam
uma
análise
completa de
seus
resultados.
Para
um
estudo
mais aprofundado
sobre
a aplicação
do método
de elementos
finitos
a
problemas
magnetostáticos
em
domínios
tridimensionais,
pode-se
consultar
[18].
No
próximo
capítulo,
será
apresentado
um
desses sistemas
de
cálculo
de
campos
eletromagnéticos
tridimensionais.
.
16
CAPÍTULO
2
-
0
SISTEMA EFCAD-3D
2.1
.Introdução
Neste
capítulo
serão
apresentados
o
'sistema
de Cálculo de
Campos
Eletromagnéticos
Tiidimensionais
l-
EFCAD-3D
[24],
seus
módulos
de
pré-
processamento, processamento
e
pós-processamento
e
também,
o
sistema
EFvis
-
"Electromagnetic Field
Visualization
Tool"
[27,28]
-
um
visualizador
de
campos
eletromagnéticos
tridimensionais
aplicado
à
exploração
de
resultados obtidos
através
do
EFCAD-3D.
2.2.
O
Sistema
EFCAD-3D
O
cálculo
de
campos
eletromagnéticos tridimensionais
através
do
método
de
elementos
fmitos,
tomou-se
atuahnente
o mais
utilizado
na
concepção
e
análise
de
dispositivos
eletromagnéticos,
uma
vez
que
os
dispositivos utilizados
em
engenharia
são
tridimensionais.
'Existem
sistemas
completos de
análise
de
campos
eletromagnéticos'bidimensionais
que
são
utilizados
com
êxito
em
várias indústrias
de
dispositivos
eletromagnéticos.
No
entanto,
a
análise
bidimensional
não
é
satisfatória
em
certos
problemas, e
muitos
dispositivos
necessitam
ser
analisados
em
um
sistema
tridimensional.
O
EFCAD-3D,
seguindo
uma
moderna
sistemática
de desenvolvimento de
softwares, divide-se
em
três
módulos
distintos,
conforme mostra
a
figura
2.1:
-
O
sistema pré-processador, cujos
objetivos
são receber os
dados geométricos
e as
propriedades fisicas
dos
materiais
que
compõem
o
dispositivo
a
ser
analisado,
definir
o
tipo
de
análise
a
ser
realizada e gerar
a
malha
de elementos
finitos;
_O
sistema processador,
que
é
o
responsável
por
toda
a
parte
de
cálculo
do
problema,
através
do método
de elementos
finitos;
`
O
sistema pós-processador,
que
possibilita
a exploração
gráfica
e
numérica
dos
resultados oriundos
dos
cálculos realizados
no
processador,
bem
como
permite
uma
análise geral
do comportamento
dos
campos
e
induções,
fluxos
e forças
eletromagnéticas
atuantes
no
dispositivo
a
ser
estudado.
'
|
DADOS
GEOMÉTRICOS
E
PROPRIEDADES
I
FÍSICAS
DOS
MATERIAIS
MALHA
'.Í'fT.*l.'.ÍL'I,Z¿'
§l'1`ZíE§"'°
"°
"°"'”
ARQUNO
CONTENDO MALHA GERADA
'
E
DADOS
GERAIS
DO PROBLEMA
`
C C
F
O
U
sgoglrgiãíêrälãlälso
através
do
método
ARQUIVO
CONTENDO MALHA GERADA
_
DADOS
GERAIS
DO
PROBLEMA,
VALORES
DOS
POTENCIAIS
NOS
NÓS,
DOS
CAMPOS
E
DAS
INDUÇÕES
Programa
do
análise
dos
resultados
em
fuma
numérica
eƒou
gráfica
18
2.2.1.
O
programa
MALHA
O
programa
MALHA
é
o
módulo
pré-processador
do
sistema
EFCAD-3D.
Neste
módulo
é
realizada a entrada
dos dados
geométricos
do problema
e das
características
fisicas
dos
materiais
que
compõem
a
estrutura analisada.
De
posse
destes
dados,
o
programa
gera
uma
malha
de elementos
finitos,
que
são
armazenados
em
um
arquivo
do
tipo
texto,
no
formato
ASCII,
com
extensão
"as3",
ou
em
um
arquivo binário
com
extensão
"fo3".
-.
Toda
a entrada
de dados
é realizada
em
modo
texto,
ou
seja,
nenhum
menu
de
opções gráficas
aparece durante a
definição do
problema.
A
seqüência
de
entrada
de
dados
pode
ser descrita
acompanhando
o
menu
principal
do programa
mostrado
na figura
2.2.
A A______í_,,,,__
M__________M
Ê:-_z>_:'`
\-¡&¿'¡:-,""Ê"“3
W'
:1¡""5'~ '- `ÊÍ':"` zz'-:~,_:-`. Ã; :-3*ÉE`É53ÉÊ¡`‹""'~._._._'¢;›,Êz§§¡_Êɧië,:;2:;:‹_:;É3šÉÉíšë33ÉÉÊ';§:'§ÊÉEÊC:-zÊz`¡`._§._š_"3'$Ê:;:;'-'-^-§-','Ç~¡zäf:YÊ:-z: ¬.-.-ä.-:-z:<<\:<‹\:e-:›c-:-:-:-:-:‹‹‹‹:<-;‹‹‹~:€-..-.-.-1-.-:-:-:-:-:-:-.-.-.~.-.zze-:-:-:;:-:-:-:-:-:-.-.-:-:-:-:-:-:-:<~:‹‹,:;:$~ . :-: .- ‹.~. -;-\
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