2018-10-RESUMO-IEDO

(1)

Introdu¸c˜

ao `

as Equa¸c˜

oes Diferenciais

BCN0405 - Aula 10

Edson Alex Arr´azola Iriarte

Universidade Federal do ABC

October 29, 2018

Edson Alex Arr´azola Iriarte (UFABC) sites.google.com/site/edsonarrazolairiarte October 29, 2018 1 / 30

Equa¸c˜

oes Lineares de Segunda Ordem

Uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem tem a forma

d2y dx2 = f x , y ,dy dx ou y00= f (x , y , y0) onde f ´e alguma fun¸c˜ao.

Consideremos a equa¸c˜ao de segunda ordem mais simples:

d2y

dx2 = f (x )

Resolvemos integrando duas vezes dy

dx = F (x ) + C1, onde F ´e a primitiva de f

y (x ) = ˜F (x ) + C2x + C1, onde ˜F ´e a primitiva de F

Note que a condi¸cão y (x₀) = y₀ não é suficiente para encontrarmos a solu¸cão da equa¸cão. Precisamos de duas condi¸cões iniciais:

y0(x0) para encontrar C1

y (x0) para encontrar C2

Problema de Valor Inicial

(

y00= f (x , y , y0)

y0(x0) = y00 e y (x0) = y0

Note que, a solu¸c˜ao do problema de valor inicial ´e tal que passa pelo ponto (x₀, y₀)

a reta tangente `a solu¸c˜ao no ponto (x0, y0) tem coeficiente angular y

0

0.

Equa¸c˜

ao Linear de Segunda Ordem

Uma equa¸cão linear de segunda ordem é uma equa¸cão da forma a2(x )y00+ a1(x )y0+ a0(x )y = g (x )

onde

as fun¸c˜oes definidas num intervalo I

a₂, a₁, a₀_{, g : I → R} dependem s´o da vari´avel x

a₂(x ) 6= 0, para todo x ∈ I .

Note que, como a2(x ) 6= 0, podemos escrever

(2)

Equa¸c˜

ao Homogˆ

enea

A equa¸c˜ao

y00+ p(x )y0+ q(x )y = 0 (H)

´

e chamada equa¸c˜ao homogˆenea.

Note que, a equa¸cão (S ) é homogêna se f (x ) = 0, para todo x ∈ I .

Exemplos

1 y00− 3y0− 4y = 2 sen x

2 _(x2− 4)y00_{+ y}0_{+ (sen x ) y =} e

x

x , para x 6= 0

3 Equa¸cão do oscilador harmônica amórtecido e for¸cado

mx00+ µ x0+ k x = f (t) As seguintes equa¸cões são homogêneas:

y00− 3y0_{− 4y = 0}

(x2− 4)y00_{+ y}0_{+ (sen x ) y = 0}

Equa¸cão do oscilador harmônica amórtecido

mx00+ µ x0+ k x = 0

Teorema de Existˆ

encia e Unicidade

Sejam p, q, f : I → R fun¸c˜oes cont´ınuas. Ent˜ao, o problema de valor inicial (

y00+ p(x )y0+ q(x )y = f (x ) y0(x0) = y00 e y (x0) = y0

tem uma ´unica solu¸c˜ao y = φ(x ) definida em todo o intervalo I

Exemplo

(PVI )    (x2− 4)y00+ y0+ (sen x )y = e x x y0(1) = y₀0 e y (1) = y0 As fun¸c˜oes p(x ) = 1 x2_{− 4}, q(x ) = sen x x2_{− 4}, f (x ) = ex x (x2_{− 4)}

s˜ao cont´ınuas para x 6= ±2 e x 6= 0, ou seja, nos intervalos

(−∞, −2), (−2, 0), (0, 2) e (2, ∞)

Como x₀ = 1 pertence ao intervalo aberto I = (0, 2), pelo Teorema de

(3)

Duas solu¸c˜

oes para a equa¸c˜

ao (H)

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial

(H) y00+ p(x )y0+ q(x )y = 0

onde p, q s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo I . Fixado x0∈ I , segue do

Teorema de Existˆencia e Unicidade que existem duas, e somente duas,

solu¸c˜oesy₁ e y₂ de (H) satisfazendo as condi¸c˜oes inicias

y (x₀) = 1 e y0(x₀) = 0 (1)

y (x0) = 0 e y0(x0) = 1 (2)

Note que que uma das solu¸cões não pode ser múltipla da outra.

Princ´ıpio de Superposi¸c˜

ao

Se y₁, y₂ são solu¸cões da equa¸cão homogênea (H), então y (x ) = c1y1(x ) + c2y2(x )

também é solu¸cão de (H), para quaisquer constantes c₁, c₂.

Isso significa que, qualquer combina¸cão linear de solu¸cões de (H) também é solu¸cão de (H).

Para ver isso, note que y0 = c1y

0 1+ c2y 0 2 e y00= c1y 00 1 + c2y 00 2, logo y00+ p(x )y0+ q(x )y = c1 h y₁00 + p(x )y₁0 + q(x )y1 i +c2 h y₂00 + p(x )y₂0+ q(x )y2 i = 0

Observa¸c˜

ao

A equa¸c˜ao (S ) define umoperador diferencialem C2(I ) como segue L : C2(I ) → C (I )

y → L[y ]

onde

L[y ] = y00+ p(x )y0+ q(x )y Com essa nota¸c˜ao temos que

L[c1y1+ c2y2] = c1L[y1] + c2L[y2]

ou seja, L ´e um operador linear.

Exemplos

1 _{As fun¸}_c˜_{oes y}₁_{(x ) = e}2x _{e y}₂_{(x ) = e}3x _s˜_{ao solu¸c˜}_{oes da equa¸}_c˜_ao

y00− 5y0+ 6y = 0 Pelo princ´ıpio de superposi¸c˜ao temos que

y (x ) = c₁e2x+ c₂e3x para constantes c₁, c₂, também é solu¸cão.

2 _{As fun¸}_c˜_{oes y}₁_{(x ) = cos kx} _{e y}₂_{(x ) = sen kx s˜}_{ao solu¸}_c˜_{oes de}

y00+ k2y = 0 Pelo princ´ıpio de superposi¸c˜ao temos que

y (x ) = c₁cos kx + c₂sen kx para constantes c₁, c₂, também é solu¸cão.

(4)

Qualquer solu¸c˜ao de (H) ´e da forma

y (x ) = c₁y₁(x ) + c₂y₂(x ) para constantes c1, c2 escolhidas de forma conveniente.

Seja y uma solu¸c˜ao de (H) e tome

c1= y (x0) e c2= y0(x0)

A fun¸c˜ao definida por

φ(x ) = y (x ) − c₁y₁(x ) − c₂y₂(x ) ´

e solu¸c˜ao de (H) tal que

φ(x₀) = 0 e φ0(x₀) = 0

Segue do Teorema de Existˆencia e Unicidade que φ(x ) = 0. Da´ı

y (x ) = c₁y₁(x ) + c₂y₂(x ).

Dependencia Linear de Fun¸c˜

oes

Defini¸c˜ao

1 Duas fun¸c˜oes y₁, y₂: I → R s˜ao linearmente dependentes (`.d .)se

existe uma constante α tal que

y1(x ) = α y2(x ), para todo x ∈ I ,

2 Duas fun¸c˜oes y₁, y₂: I → R s˜ao linearmente independentes (`.i .)se a

condi¸c˜ao

c₁y₁(x ) + c₂y₂(x ) = 0, para todo x ∈ I , implica que c₁ = c₂= 0.

Note que as fun¸cões y1 e y2 são (`.i .) se elas não forem (`.d .)

Exemplos

1 y₁(x ) = sen x e y₂(x ) = cos x s˜ao `.i .

2 _y₁_{(x ) = e}ax _e _y₂_{(x ) = e}bx_, _{com a 6= b s˜}_{ao `.i .} 3 _y₁_{(x ) = e}ax _e _y₂_{(x ) = xe}ax_, _s˜_{ao `.i .}

4 y₁(x ) = eµxsen βx e y₂(x ) = eµxcos βx s˜ao `.i .

O Wronskiano

A dependencia linear para fun¸cões diferenciáveis está relacionada com o determinante wronskiano:

Defini¸c˜ao

Sejam y₁, y₂_{: I → R duas fun¸c˜oes diferenci´aveis. O determinante}

W [y₁, y₂](x ) = det "

y₁(x ) y₂(x ) y₁0(x ) y₂0(x )

#

(5)

Teorema 1

Sejam y1, y2 : I → R duas fun¸c˜oes diferenci´aveis tais que

W [y1, y2](x0) = det " y1(x0) y2(x0) y₁0(x0) y 0 2(x0) # 6= 0

para algum x0∈ I . Ent˜ao y1 e y2 s˜ao (`.i .)

Note que a rec´ıproca do Teorema 1 ´e falsa. Considere as fun¸c˜oes y1(x ) = x3 e y2(x ) = |x |3

Teorema 2

Sejam y1, y2 : I → R duas solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (H).

y₁ e y₂ s˜ao `.i ⇔ W [y₁, y₂](x₀) 6= 0 para algum x₀∈ I

Teorema 3

Sejam y₁, y₂_{: I → R duas solu¸cões (`.i.)da equa¸cão (H). Então, qualquer} solu¸cão y (x ) da equa¸cão (H) é da forma

y (x ) = c1y1(x ) + c2y2(x )

com c₁ e c₂ constantes.

Do Teorema temos que determinando um par qualquer de solu¸c˜oes (`.i .)

da equa¸cão (H), então a solu¸cão geral está obtida e dada pela expressão acima.

As fun¸c˜oes do Teorema formam um conjunto de fun¸c˜oes chamado

conjunto fundamental de solu¸c˜oes.

Equa¸c˜

ao Linear Homogˆ

enea com Coeficientes Constantes

Vamos determinar a solu¸c˜ao geral da eq homogˆenea

y00+ py0+ qy = 0 (?)

em que os coeficientes p e q s˜ao constantes.

Segue do Teorema de Existência e Unicidade que as solu¸cões desta equa¸cão são fun¸c˜es definidas em toda a reta.

Sabemos que a solu¸c˜ao geral ´e da forma

y (x ) = c₁y₁(x ) + c₂y₂(x ) onde y₁ e y₂ s˜ao solu¸c˜oes `.i .

O método de solu¸cão consiste em buscar solu¸cões da forma y (x ) = eλx

onde λ ´e um parˆametro a determinar. Como

d dx(e

λx_{) = λ e}λx _e d2

dx2(e

λx_{) = λ}2_eλx

substituindo na equa¸c˜ao temos

λ2eλ x+ pλ eλ x + q eλ x = 0 eλ x(λ2+ p λ + q) = 0

Como eλ x 6= 0, segue que

(6)

A equa¸c˜ao

λ2+ p λ + q = 0

´

e chamada equa¸c˜ao caracter´ıstica.

O discriminante desta esqua¸c˜ao ´e

p2− 4q

Dependendo do sinal do discriminante temos trˆes casos a considerar:

CASO 1: p

2

− 4q > 0 (ra´ızes reais distintas)

Neste caso, as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao

λ1= − p 2 + r p 2 2 − q e λ2 = − p 2 − r p 2 2 − q Ent˜ao, as fun¸c˜oes

y1(x ) = eλ1x e y2(x ) = eλ2x

são solu¸cões `.i . da equa¸cão (?).

Exemplos

1 _{Encontre a solu¸}_c˜_{ao geral da equa¸}_c˜_ao

y00+ y0− 6y = 0 e a solu¸c˜ao que satisfaz as condi¸c˜oes iniciais

y (0) = 1 e y0(0) = 2.

2 Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao

y00− 2y0 = 0

CASO 2: p

2

− 4q = 0 (ra´ızes reais repetidas)

Neste caso, temos que

λ1 = λ2 = λ = −

p 2

e assim obtemos apenas uma solu¸c˜ao

y1(x ) = e−p x/2

Pergunta: Como determinar uma outra solu¸c˜ao y2(x ) de modo que y1 e y2

(7)

M´

etodo da redu¸c˜

ao da ordem

Conhecendo uma solu¸cão encontramos uma equa¸cão diferencial de primeira ordem que permitirá encontrar a segunda solu¸cão

Fazendo a substitui¸c˜ao y (x ) = u(x ) eλx, onde λ = p₂ na equa¸c˜ao (?) obtemos u00= 0 Fazendo u0= v temos v0 = 0

Ent˜ao v = c e assim u = cx + ˜c. Tomando c = 1 e c = 0 temos que a

segunda solu¸c˜ao de (?) ´e

y2(x ) = xeλx, onde λ = p₂

Exemplo

Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao

y00+ 2y0+ y = 0 e a solu¸c˜ao que satisfaz as condi¸c˜oes iniciais

y (0) = 0 e y0(0) = 1.

CASO 3: p

2

− 4q < 0 (ra´ızes complexas conjugadas)

Neste caso, as ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica s˜ao complexas

λ1= −µ + i ν e λ2= −µ − i ν onde µ = p 2 e ν = 1 2 p 4q − p2

Ent˜ao, as fun¸c˜oes

y₁(x ) = e−µ xei ν x e y₂(x ) = e−µ xe−i ν x são solu¸cões `.i . da equa¸cão (?).

Note que usando af´ormula de Euler

ei x = cos x + i sen x podemos escrever

y1(x ) = e−µ x[cos (ν x ) + i sen (ν x )]

y2(x ) = e−µ x[cos (ν x ) − i sen (ν x )]

Pela linearidade da equa¸c˜ao (?) temos que v₁(x ) = 1 2[y1(x ) + y2(x )] = e −µ x_{cos (ν x )} e v2(x ) = 1 2i[y1(x ) − y2(x )] = e −µ x sen (ν x )

(8)

Exemplo

Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao

y00+ 2y0+ 5y = 0 e a solu¸c˜ao que satisfaz as condi¸c˜oes iniciais

y (0) = 1 e y0(0) = 0.

Usando o Geogebra, esbo¸car o gr´afico de fun¸c˜oes da forma y (x ) = eρ x[Acos (ωx ) + Bsen (ω x )] para A = B = 1 e ω = 1 e para ρ = −1, ρ = 0 e ρ = 1