B I B L I O T E C A D E C U L T U R A P E D A G Ó G I C A P E L O DR. FARIA DE VASCONCELOS
C o m o s e e n s i n a
a a r i t m é t i c a
1 L I V R A R I A C L Á S S I C A E D I T O R A L I S B O A 1 9 3 4COMO SE ENSINA
A a r i t m é t i c a
1
PIOTECA OF ÜIIITOBA PEDiüGllfilCil
80 ' ^ Tolnmes mensais de 48, 64,
120 paàinas, (ortnondo um todo completoBiblioteca compreende as seáuintes secções:
3 — F/si'oio'aiif''''^ educação
3 — Psicol(?afa^J* ^ educação
4 — S o c l o l o o i a à e d u c a ç ã o s — Medicina anP 1 ^ educação 6 — Estatística aft?? educação
- s S t
*
«-UglSS^f^P^^ssional
B I B L I O T E C A
D E
C U L T U R A
P E D A G Ó G I C A
P E L O DR. FARIA DE VASCONCELOS( D I D Á C T I C A )
C o m o
a a r i t m é t i c a
L I V R A R I A L I S B O AC L Á S S I C A
D U A S P A L A V R A S
• I m p t e n a a P o r t t u m i u »
-LW. Bna Formem. Ha
D U A S P A L A V R A S
Ê êste o primeiro volume âa Biblioteca de
Cultura Pedaéóéica, (iue tão honrosamente nos
pediram para diriétT.
A Biblioteca compreende diversas secções
^ue abarcam os dominios mais variados da
pedaéoém- T&l como foi concebida, e há de
ser realizada, esta biblioteca é de facto uma
novidade, pelo preço, pela natureza dos assun^
tos e pela maneira como serão tratados à luz
dos mais recentes pontos de vista da ciência
da educação e do ensino.
Temos o melhor empenho em fazer com
<íue esta biblioteca corresponda às mais vivas
curiosidades do professorado e o ponha em
contacto com as doutrinas, as iniciativas e as
técnicas pedaéóàicos mais modernas.
Neste primeiro volume tratamos de assun
tos e de técnicas de (iue em écral os livros de
não se ocupam, a-pesar-ãe, e salvo
melhor opinião, serem de primeira importân^
cia. aritmética é uma disciplina do mais
ato vaíor. Sem os conceitos numéricos, observa
^ v a / o r é d e £ c i e n t e , a
signihcação da natureza adulterada, o
com-porí^enío humano mal compreendido, e o
^ ® ordem, da seqfüêncía e da let e
di ^ sentido do valor dos números,
, ajnda Buckingham, tal como a vida
mo-^ ® i n a t o n e m s e a p r e n d e
diir^l^^^ ^ saèido qfue a aritmética ê a
Iraca veriíca o maior número ãe
fracassos por paríe dos aZunos.
d e í o r n a , p o i s , r e a l i z a r o e n s i n o
e a evita ^ ° maior paríido possível
dos *^onseáuínfe, os fracassos referi-
hvrxnho porá em evidência alguns
8 —
dos facíores ^«e concorrem insuces
dos alunos e indicará alguns dos
obter melhores resultados. Os pro emas
didáctica versados referem-se apenas as o
rações com números ínfeíros, <iue sao ver a
deírameníe fundamentais e sem as ^uais n
é possível dar um passo em aritmética. m
volumes suhseç[üentes, qfwe a seti tempo virao,
ocupar~nos~emos das fracções, numer
decimais, dos números complexos, do sistema
métrico, etc. A maneira de tratar os pro e
ínas, as concitisões a ^ue se chegou, as rec
mendações qfue se fazem, assentam nos resn
íados das invesífá^ções mais recentes eitas
domínio da didáctica, renovada pela psico o
e pela experimentação científicas.
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NTJfl.S-HWWO'TJti'OOCOMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
de efectuar^as operações de soma, suBtracção,
mu tip ic^ão e divisão de números inteiros,
mistos, facções, decimais, complexos; etc.;
c) capacidade e hábito de efectuar estas
ope-raçoes com nitidez, exactidão e rapidez.
de ^nção, há que notar a {unçao
o ensino de váls
a s p e c t o s d a a r i t m é t i c a d p ^ i
se consaéra o tempo apenas à
c u l a r . A s s i m „ m . ® t u n ç a o d e c a l
-troca de moedas como^ "
culo. Mas a teal signifietção°S°do'
ceito de moeda não se torna .1
fessor não chamar Z °
atençãosôhreoía,^ol"uraVT° "
duto final dum árande número d° í ^ °
raça humana, para desenvolver um'^''-"® o"
ciente de expressar o valor ComnT^j í°
a moeda é o resultado da evoW /
série de instituições sociais Uma ^"''áa
apreciar a diferença ento a^^
modernos sistemas de vUore? uod "
simplicidade e a utilidade do sistema ^
hio, que compreende elementos cn L
- . . . 1 2 —
1
COMO SE ENSINA A AklTMÊTICA
t eduÍrivi^
P°"ibilida-«do^^odTstderotrtl""''^
P"mento. área pg, "1 conceitos de
com-^spectos quantitati ' e outros
^-'-ética desde "T "'"u' ^
«=-'Wá várias matéria!
conside-para o estudo Não érandes unidades
p a r t e
d o
t e m p o
e m
■ " ™ a
=^«Pada aoXdrd"""a,'''="
^Pcial, por causa'dr í """"'
significa-^^quire a criança n. que neles
PSo' sVa"^" ^"^'Pética tm
® " ° c e s 3 o s d e d a s T
P^eetisão dfl mas t^ , ?^®^^Çoes e
i ^ aplicação nreio o ®
m ^da qug aritmética a'vá '"^Plica:
? utilizar as! P^PectosT"^ rituações
Í °ferecem''"?^-^«3 que !oh =
®Ptiquecet e X i-"® 'inerentes di P°"to
° Púmero. Y^^txar a si^nificn P'^va
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
pela siémficaçao social que encerram.
rzír;;r;tíL:rr -■■
relações sociais que se presta^^^'
análise quantitativa o ^ f ° estudo e a
Ha-ar o alul^om Í
cultura, do comércio, da indústria^ d ^
l i l r i z ^ ' ^ S u n t c Í t W !
aades cívicas : :ontS,Í4?"''"^
etc.; c) promover a compreenc:
da prosperidade pessoal da 'Vantagens
vidénda, da eacriCçt ^
pesas, da elaboração do otí-o ^^citas e
des-d) capacidade e hábito de aplkar '
processos e reáxas da aritmétic»
-problemas que a vida econômica'd
cmca e social suscita e que o indi
gtie resolver como produtor ro
como chefe de família, co»;
A aritmética pode aindn
-b o ponto de Wsta da suafc
ÉíCâ, visto que o númem r •
Paicolá-de pensar. constitue um método
O homem de ciêncíp ,,
porque imaginou meios de exu
1 4 _ e x p r e s s a r o s s e u s
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
Conceitos quantitativamente e consistentemente Bttediante o número. À ordem, a seqüência e
precisão caracterizam os seus métodos de
p e n s a r .
Os conceitos do selvagem são va^os e
Indefinidos, porque não pode expressá-los
Quantitativamente ou ordenadamente, como o
civilizado o faz mediante as técnicas que in
ventou : razão, médias, medianos, modos, cor
relações e outros procedimentos estatísticos,
áráficos, etc. O reconhecimento do valor da
Informação quantitativa exacta para formar
iuí^os e tomar decisões deve resultar da con
®i<ieração e do exame dos factos e relações
Quantitativas na solução dos problemas que
izem respeito ao indivíduo e à socíeda^ e.
^ capacidade para reconhecer as limitações
^03 dados e para os avaliar é um dos
aspec-do pensamento quantitativo.
Buckingham chamou a atenção sobre as
Ormas de pensamento aritmético que, embora
Rapidamente, vamos reproduzir,
aritmética fornece qualquer coisa que
Nenhuma outra disciplina da escola elemen
tar conseáue dar: oferece o tipo mais
® éeneralização e permite a organização a
^^periência. Pelo número, que nao se encontr
^a natureza, introduz o homem nela ordem
^ sistema; por meio do número aplica o
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
unidades de medida descreve com precisão c
reproduz com exactidao as suas ideas; a veri
ficação do pensamento <íuantitativo é o maior
resultado matemático e nenkuma parte da
matemática é mais poderosa para atináír este
objectivo do que a da escola elementar.
Erm segundo lugar a aritmética não só for
nece meios de generalização através a mera
apreensão do número, mas constrói também
a stracções, relacionando os números uns com P® uma delas é a idea de razão. Da
idea de razão para a idea de igualdade de
razões Ká um passo na generalização; o valor
ua proporção depende não só da sua utilidade pratica, mas também do seu poder como ins
trumento de pensamento.
Em terceiro lugar, ainda que idea de variá
vel seja Habitualmente considerada como sendo
do ensino secundário, já se encontra, contudo,
uo ensino elementar. Com efeito a relação
duma variável com outra pode ser apreendida
e despertar um tipo importante de
pensamento-o valpensamento-or duma fracçãpensamento-o cpensamento-om um denpensamento-ominadpensamento-or
constante varia com o valor do seu numerador
e inversamente; numa multiplicação o
nro-duto aumenta com o valor quer do
multipli-1 6 —
efectua, num tempo dado, é função da sua
velocidade por Kora. A aritmética introduz,
pois, a noção de função.
Em duarto lugar, o due uma criança aprende
acerca do número e o due ela aplica do número
ao meio dtie a rodeia, desenvolve inconsciente
mente uma atitude perante classes de objectos
e ideas; cbama pedueno ou grande a um
bomem pordue tem a noção dum homem
típico; como tem a noção de outras coisas ou
o b j e c t o s t í p i c o s . .
As ideas de tipo são porem grosseiras, se
não forem completadas pelas ideas de varia
ção; o homem não seria chamado pedueno ou
grande se na experiência da criança os homens
não estivessem dispostos numa ordem dada,
desde o mais pedueno ao maior.
A educação aritmética habituando o aluno
a ver a discernir, a compreender os aspectos
duantitativos das coisas e situações due encon
tra na vida faz-lhe adduirir uma atitude ma
temática due ale assume em todas as ocasioes
apropriadas.
2 A psicologia e a renovação do
ensino da aritmética.-O ensino da ari
tmética tem-se aperfeiçoado e renovado, ate
nalguns aspectos, graças principalmente a in
tervenção dos três factores seguintes: utilização
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
dos dados da psicoloáia, prática da
investiéa-çSo e aplicação das medidas mentais e
peda-éóéicas.
É fácil de compreender quanto a psicoloáia
infantil tem contribuído para o progresso do
ensino da aritmética, se se tiver presente que o
conhecimento do aluno, da sua natureza e
desenvolvimento mental, das suas capacidades
características e diferenciais, das suas
tendên-mas e interesses fornece a base, os fundamen
tos, a onentaçao para actuar sobre a criança
convenientemente. Mas nam
^ 7 a t i n é i r e s t e o b i e c
-ttvo e necessário ainda, além do conhecimento
psicoloáico do aluno, o conhecimento psico
lógico da disaplina e dos métodos e pro!essL
d e a e n s i n a r. G r a ç a s a n a x i ^ ^ " ^ e s s o s
psicologia infantil e pel nt
plina, teem sido esclarecidos proble"" í j"'
m e n t a i s d a m a i o r í m , , f u n d a
-didáctica. Tais são enf^ Pedagógica e
destacamos e ,ue se r7erelT'
c o m ^ w ? d t 7 o ; t r ^
2) às capac^X,
-ária, imagina X ra —
iôgo pelo frabalKo' arit
ciais ííue elas revestem.e Was
espe-pulação dos dados t,, ^P^^eensâo e
mani-3) àscelaçõe^enT"'"''"
j g _ _ c a p a c i d a d e s e s
-C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I -C A
p e c i a i s e o d e s e n v o l v i m e n t o m e n t a l n o r m a l ;
4) à organização dos programas da disci plina: idade em que deve ser iniciada o seu estudo, distribuição das matérias, pelos diver sos anos, princípios fundamentais a que esta
distribuição deve obedecer, finalidades a que
se deve atender;
í - . . 5 ) à m o t i v a ç ã o d o t r a b a l k o a r i t m é t i c o : ( interesse pela actividade mental, interesse pelo I aproveitamento, competição, aplicação à vida
I doméstica, actividade lúdica pondo em jôgo
a aritmética, problemas imaginários, etc.;
; 6) à natureza, condições e técnicas de
I aprendizagem, de treino; métodos mais
econó-1 micos, mais eficientes, organização da prática,
tipos de exercícios, períodos de trabalho, inter
valos, fadiga, transferência do treino, etc.;
7) ao diagnóstico, prevenção e correcção
dos erros que os alunos cometem no trabalho
aritmético: origem, natureza, complexidade
diferenças individuais, etc.
3. As investãgações e a renovação
da ariãmética.—É por demais conhecido o
papel importantíssimo que a investigação tem
desempenhado no progresso da pedagogia, para
que seja necessário repetir as vantagens que
ela oferece. À aritmética é uma das
f,
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
nas onde o movimento de investigação tomoumaior extensão e intensidade. O estudo feito
por Brownell sôtre as técnicas de
investiéa-ção em aritmética—classificando-as conforme
a sua natureza e os problemas a que foram
aplicadas—é particularmente elucidativo a este
respeito. Assim os principais problemas que
foram objecto de investigação agrupam-se sob
os seguintes títulos: l) usos que os adultos
fazem da aritmética; 2) a aritmética nos países
estrangeiros; 3) objectives da aritmética; 4) ati
tude perante a aritmética dos indivíduos que
não freqüentam a escola; S) idem das crian
ças; 6) usos e necessidades da aritmética para
as crianças; 7) dificuldade comparada das com
binações numéricas; 8) valores comparados de
tipos de treino; 9) correlações das
matemáti-cas; 10) contar; 11) apreciação critica de
mate-cTmo" asdpHna'esToi 1*^)
aritméfiea; l4) efeitos fio^k^
xXcSrs^a^retíf^eír^T'^
eôbre a capacidade aritkéti a "'f
variação da extensão e distril, f ^
dos de treino - 18I .fi ■- • fios
perio-alunos das escolas nãl^T "'^^tica dos
tos; 19) eliminações feitaa n"'"" '
-tmética; 20) efeitos da fadTa;'^twçÍ:
2 0 — •
da aritmética nos é^caus de ensino; 22) traba lho de aritmética em casa e na escola; 23) hi-éiene da aritmética; 24) diferenças individuais
na capacidade aritmética; 25) hereditariedade
da capacidade aritmética; 26) dificuldades de
instrução referidas pelos professores; 27) mé
todos de ensino da aritmética; 28) motivação (incluindo a utilização de experiências pes
soais, etc); 29) natureza e desenvolvimento da
consciência de número; 3o) joéos de núme ros; 3l) crianças prodígios em matemática; 32) trabalho oral e escrito em aritmética;
33) origem e desenvolvimento antropológico
do número; 34) inadequada distribuição dos alunos nos diferentes graus; 35) periodicidade em aritmética; 36) permanência dos efeitos do f t r e i n o ; 3 7 ) p e r s i s t ê n c i a d e e r r o s ; 3 8 ) p a p e l d a imaginação em aritmética; 39) preparação dos p r o f e s s o r e s d e a r i t m é t i c a ; 4 0 ) p r o m o ç ã o e atraso em aritmética; 4l) erros e dificulda des dos alunos em aritmética; 42) processos dos alunos em aritmética; 43) tempo de reac-ção a várias operações aritméticas; 44) relareac-ção entre a quantidade do treino e os efeitos pro duzidos; 45) relação entre a capacidade aritmé tica e a idade; 46) relação entre a capacidade aritmética e a escolaridade; 47) idem e a inte ligência; 48) idem e a capacidade lingüística (leitura, vocabulário, etc.); 49) idem e as outras
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
5o) idem e a posição
^ ã o
e L
^
várias «o M T """®tica; S3) idem entre
. validez'dl vaTor^s'Tos''^"-"
t i c a * • f T ^ < . + . « t e s t s » d e a r i t m é
-S6)'escolas rurais aritmética;
58) diferenças entre os ^7) horário;
59) distribuição de espac aritmética;
Picos específicos lue deve^m
aritmética; 6l) norT^^-, ensinados em
SOS de dificuldade ' 63)
pas-cos;6g) distribuição t
aritméti-64) tempo em que se deveTom
Sistemática em aritmética - ^ instrução
aritmética; 66) valor d * ' ^^^sferência em
aritmética; 67) / ^i^struçâo ocasional em
Esta lôuéa ei
pecíficos de aritmén^^^^^?° Problemas
es-variadas e numernco °s Qnais recaíram
idea da ampli^^ae d '^jestiáaçôes. dá bem a
ao estudo da pedaò^A^^ consaéra
d i s c i p l i n a . e d a d i d á c t i c a d e s t a
A '^^®«ficaçãr"segtTnt*'®í Investigação.—
técnicas da in ™".! P°t Brownell
aritmética dá também t^tPPteáadas em
^ tnbem perfeita idea da
exten-COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
são do movimento de renovação do ensino
desta disciplina, assim como exemplifica os
meios empregados.
Técnicas reíjuerendo contact© ime
diato com os indivíduos: l) técnica do inter
rogatório pessoal — forma de «testar» oral mente; exemplo, o estudo de Stanley Hall
sobre o conKecimento de alguns dos mais
POíJtienos números, (juando a criança entra na
escola; 2) a técnica do caso individual c[ue
pretende determinar não só o q;uanto mas
^^mbém o como e o poríjuê; exemplo,
invés-ttáação de Buswell sobre as operações com os
npmeros inteiros; 3) a técnica de lafioratório
permitindo a mais completa verificação da
situação experimental e constituindo uma
e objectiva; exemplo, estudo de Heilman
^Itis para descobrir a dificuldade relativa
tud numéricas por meio dum
es-£ ^ o tempo de reacçao; 4) técnica
biográ-I * ^ ^ técnica do caso individual pro-
e. a durante um período considerável de
de exemplo, estudos de Court sobre o
^Plvimento da consciência do número^^^tiça até aos oito anos.
^ ' "técnicas igualmente empregadas com
vaçã°^j°^ indivíduos; 5) técnica de
obser-og ® indivíduos, quando trabalham sem
interrogar; exemplo, estudo de Steinway
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
n ú m L °
Í ° é o s
d e
a eulí o,' «consensus» eeéundo
on^í ' " r' expressar a sua
blema que^sTinv^tóá
Lewis sobre as atitudes °
áa aritmética- 7) +- - j <=rianças em face
-adat?utb^'er,/rir" t"
dír o estado eta que'se énc"
terminada capacidade- p-!
A s K b o x i á K s o b r e n ' q e s t u d o d e
crianças de lowa- sw^"^^^®/^i*°iética das
ciai —sua forma ou mat—
s e u s e f e i t o s ; e x e m ^ l p a r a e s t u d a r o s
para descobrir a rel^t^ ° Holloway
tónações nu^é^as 1,7 <1- —
Ções a crianças due ns ° ®^sino de
combina-íJe experimentação técnica
aue é uma combinacãn^/''"^^ verificação
com aléuma coisa m. * técnicas n." 7 e 8
tipo de Procedimentn^^ ^ ^ evolução dum
sultados com os rect os seus
re-mentos em grupos ední outros
procedi-as, etc.; exemplo ^^^j^tes, secções
para-o s m é t para-o d para-o s d e C n r K e l l y s para-o b r e
m é t o d o s c o r r e n t e s e o u t r o s
C. Técni í treino,
do trabalho ;'To) resultados
-Puramento estatís^^'" correlação e de
24 __ ' exemplo, o estudo de
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
Cobb sobre a kereditariedade da capacidade
aritmética; ll) técnica da análise do trabalho
escrito; exemplo, estudo dos erros dos alunos
pelo exame dos seus cadernos.
•D. Técnicas baseadas sobre o estudo da
matéria a aprender; 12) técnica da análise
lógica pelo estudo e classificação das exigên
cias matemáticas da matéria; exemplo, estudo
de ÍCallom sobre os vários tipos de exemplos
^^e se encontram na soma de fracções; l3)
técnica da análise de textos, tests, etc., para
determinar como satisfazem aos critérios e
íiecessidades instrutivas; exemplo, a compara
ção de Knight de cinco tipos de matéria de
t r e i n o .
É> Técnicas baseadas sobre estudos feitos
Com indivíduos que não efectuam trabalho
aritmética; l4) técnica de inquérito nas
^rianças das escolas; exemplo, o inquérito
^ Wilson sobre o uso que o adulto faz da
^titmética, servindo-se das crianças para o
^stt^o dos pais.
Técnicas baseadas em dados
adminis-"^os; i5) técnica da análise dos programas
téc exemplo, o estudo de Glass; l6)
®scol^^ análise das notas e classificações
Pj. exemplo, o estudo de ludd sobre as
a r i t m é t i c a ,
i-écnicas que não podem ser
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
áas sob qualquer dos critérios anteriores- l7)
0^:;^"^*^^^= -tudo de
t °os
Estados-Uni-de dadi não *"°tca Estados-Uni-de análise
s c a r t í
leitura de jornais- i9) "ecessaria para a
antropolóéica; exemplo, estad^d
b r e ü s t ó r í a d a s S t o n e s o
-s u b t r a c ç ã o . m é t o d o s d e
rias de "Teste*"
^1®'*'"^®''*®®'catego-revestir.-Um dos ouíT"? '"'® POí«em
tribuíram poderosamente pL
ensino da aritmética r./ ^ ^ renovação do
disciplina das medida o J ^ ^P^cação a esta
razão Wilson e HoL I^izem com
onde, como na ^thr^étiZ j'j
desenvolvido mais ràn.-r* fedida se tenha
»ais valiosa. rapidamente e tenha sido
Este movimento d
começou nos Estados-Un T^ educativas
q-c respeita aos prÕbhm ^^<"te, no
Courtis no tocante à t - raciocínio e
E sobretudo a CourtiT"-^''"'' aritmética,
aoa energia, se TeZ '"^'"^tiva e à
dos «tests» de aritméticl ° "^-«Ptiolvimento
Oe «testsa pod,^ •
2 6 _ á r u p a d o s e m t r ê s
1
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
érandes cateéorias: a) «tests» de íntjuiríção;
h) «tests» de diagnóstico; c) «tests» de prática.
Os «tests» de inquirição teem por fim avaliar
os conhecimentos, as capacidades dos alunos
em aritmética, que talvez possam subdividir-se
em dois érupos: os «tests» de inventário com
pleto dos factos e processos, como os «tests» de
Osburn, de Wilson e de Buswell e os «tests»
de informação que recaem sôbre exemplos,
escolhidos ao acaso, de factos e processos, como
os de Cleveland, W^ilson, W^oody, etc.
Os «tests» de inquirição mostram aos pro
fessores e aos inspectores se o aproveitamento
está acima ou abaixo da norma, e permitem
medir os resultados obtidos numa escola ou
^tim sistema escolar, comparando-os com os
obtidos noutra escola ou sistema escolar. Os
«tests» de inquirição são colectivos. A constru
ção e aferição do «tests» de inquirição consti
tuiu, durante os primeiros anos do movimento
das medidas educativas, a principal preocupa
Çâo e o único objectivo. Há anos para ca,
porém, começou a prestar-se uma crescente
atenção à construção de «tests» de dméuos
tico. o «tests» de diagnóstico tem duas funções
principais: a primeira consiste em desço
os erros que os alunos cometem nas op
Ç õ e s . p r o c e s s o s e p r o b l e m a s „
seéunda em descobrir as causas des e
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
É sobre os resultados obtidos que se
oréa-niza o ensino corrective das deficiências en
c o n t r a d a s .
. «tests» de diagnóstico sao aplicados no
inicio, no decurso e no fim do período de
ensino da matéria. Os «tests» de diagnóstico
podem ser colectivos e individuais. Pelos «testsv
colecuvos, descobrem-se os tipos de erros
O diagnostico individual completa a desco
berta dos upos de êrro pela descoberta das
causas de erro para, em seguida, se poderem
corrigir estas causas pela aplicação duma W
truçao especia . Entre os «testsv de diagnóstico
convém mencionar os de Buswell, Br^cltner
Co^tis, Jonb, Monroe, Stone, etc.
Os «tests» de diagnóstico são seguidos de
«tests» pratica gue teem por função fornecer
a pratica necessária para corrigir as diw!
dades e os erros diagnosticados. Entre estes
«tests» sao de citar a coleccio . ?
prática de Courtis, e os de CdebaW
Alem destes «tests» podemos ainda men
cionar os gue teem por função medir a capl
cidade com gue o aluno executa as ta í
^toéticas, e agueles gue teem por
tireinar a cnança em agilidade e adaptabiíid
intelectuais como dix Tborndike
ulumos indiguemos os seguintes- a) i
-lecçao, gue se compãem de exemi;::?;^
2 8 _
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
blemas cada um com cinco ou mais respostas ao lado, entre as quais o aluno tem que esco lher a boa; b) «tests» de acasalamento que
são constituídos por duas séries de oito ou
mais tópicos, tendo o aluno que indicar que
tópicos, na série B, correspondem aos tópicos
da série A; c) «tests» de lacuna, em que o aluno tem de preencher as palavras, números
ou sinais em branco; ã) «tests» de diferença e
identidade que consistem em séries de pares
de números, quantidades e expressões numéri
cas, sendo necessário que o aluno indique se
cada par tem o mesmo valor ou valor diferente,
marcando o par com uma letra convencional;
g) «tests» de verdade e falsidade compostos
duma série de fórmulas, reéras, definições,
operações, etc., tendo o aluno que indicar por
um. sinal convencional se o tópico dado de
cada vez é falso ou verdadeiro. Alguns destes
«tests» podem ser agrupados sob a categoria
de «tests» de capacidade, «poder» ou «habi
lidade», quando tem por fim medir até que
ponto o aluno é capaz de resolver problemas
ou fazer exercícios cada vez mais difíceis.
Para concluir devemos assinalar com us
■well que no desenvolvimento do movimento
dos «tests» um estádio novo suráiu com a
organização de serviços de medidas, em que
aplicação sistemática dos «tests» se conv
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
numa parte oréânica da actividade escolar.
A aceitaçao dos «tests» como fazendo parte
do procedimento do ensino normal é a
con-seunencia lógica dos estádios anteriores,
mo-v i m e n t o e s t e d u e t p m J - j
benéficos resultados.
fi.f■ ^ "e informação
cientí-ffíca constitue um obstãculn
da aritmética.--Kniílff ® ensino
ensino da aritmética, obstáculos qu^le aL
pou sob o título genérico de carência de
formação cientifica. Com efeito a il„
-é presentemente um o1iq+ó l ^-énorancia
bavendo muitos Ptoblemas'\L'°a^nS"
foram resolvidos por não .
conhecimentos científicos ueeesL^r"^'"
s u a s o l u ç ã o r e c í u e r K n i d ^ k f - - 1 ^
exemplos, ,ue ta^of r^ptdur
o t s e r v a ç ã o .
'
s u a
j u s t a
1) Factores de interferência.
acêrca do papel dêstes factores na '7
áem, pois não é certo oue ^
aprendiza-tes tenham sido registados.
Conj^f''"»-n m a c r i a Conj^f''"»-n ç a a p r e Conj^f''"»-n d e Conj^f''"»-n o s í c q u e
o meio de obter uma partf fr? -Jue
Çlner coisa consiste na divisfoTTí
^^sao pelo
denomina-C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I denomina-C A
dor da fracção: para obter Ve de 20, divide-se
pelo número inteiro 2; para obter Vi de l6
iD-etros de fazenda, divide-se pelo número in
teiro 4, etc. IJlteriormente a criança tem que
aprender que o «de» significa multiplicar;
como X l6 ou Vg de 3o, etc. É verdade que^
íitesmo na multiplicação, a divisão pelo
deno-®^inador é ainda empregada.
Mas um factor de interferência de séria
natureza se desenvolve no caso das crianças
que aprenderam uma vez a resolver Vá de l6,
çsprezando a idea de fracçao e fazendo a
tvisão pelo número inteiro 2 e que depois
encontram Ví de l6 que se transforma em
Uy^lS. Como esta são numerosas as
inter-erencias, cujo papel é preciso conhecer para °^ientar o ensino convenientemente.
2) Dificuldades de aprendizagem: outro
oostáculo ainda mais considerável é a nossa
^áuorância das dificuldades de aprendizagem
muitos dos importantes processos que tem ne ser aprendidos.
À quantidade de prática necessária para
nprender muitos dos processos tem que ser
determinada. áQue prática é precisa para trans
formar certas fracçÕes em decimais ou certas
Percenta^ens em decimais ? Mudar 4 % -O
® muito mais fácil para crianças normais do que
m-C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I m-C A
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
trínseca ao piotlema ou deriva principalmentede desiéualdades na prática? Consideremos o problema inteiro da relativa dificuldade dos
exercícios e da distribuição da prática nos
mesmos exercícios. No cálculo total de
per-centaéem a mudança de decimais em
percen-taéens não é de igual dificuldade. No quadro
seguinte encontra-se uma defensável classifi
cação de níveis de dificuldade. É inteiramente
provável que bá certos exercícios numa classe
de dificuldade que são realmente mais difíceis
do que outros noutra classe de maior dificul
dade média.
Tipos de dificuldade de decimais que devem
ser transformados em percentagensí
Tipo A: Decimais menores do que .01,
d e ^ N
^
=
' I o
^""de N ~7^hvX7.
Tipo p; Decimais, mesmo centésimos de
doi^algarísmos. como .24 de N = 24%
Tipo £: Decimais, de dois algarismos,
com tracçâo, como .195 de N = i9 V
de N.
3 2 —
Tipo F: Decimais, de unidade ou acima da
unidade, como 1.25 de N = 125 ®/o
d e N .
Tipo G: Decimais, escritos mesmo como
décimas, como .8 de N=80 % de N.
Numa investigação feita por Ddv/ards e
Knigbt, os resultados obtidos quanto aos ní veis de dificuldade em mudar os decimais em
percentagens foram os seguintes: a) tipo B,
tipo D e tipo E mudam-se mais facilmente
nas percentagens equivalentes; menos de 20 ®/o
dos alunos não conseguem mudar correcta-mente os decimais .55, .06, .01, 1.24, I.l3 e
1.63 na percentagem equivalente; b) tipos C
e E apresentam dificuldades consideráveis; 4o Vo a 59 % dos alunos não conseguem mu dar decimais tais como .0325, .0475, .065 em
formas correctas de percentagens; c) o tipo G
m o s t r o u s e r o m a i s d i f í c i l d e t o d o s .
Consideremos agora o outro aspecto da
questão: a percentagem da prática atribuída à aprendizagem dos tipos de decimais atrás re
f e r i d o s .
Rice, servindo-se dos textos correntes, estu dou a percentagem do treino que eles estabe lecem no tocante a aprendizagem dos tipos
r e f e r i d o s . O s r e s u l t a d o s o b t i d o s f o r a m o s s e guintes :
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
G t a u V I v i r V I I I To t a l Ti p o s B. D e F (fáceis) Er e G (difíceífl) ^ ® E (fáceis) C, E e G (difíceis) B. D e F (fáceis) C, E e G (difíceis) B, D c F (fáceis) C, E e G (difíceis) I V ' M í á i a á e o i t o t e x t o s 3 8 2 7 4 4 2 5 1 1 1 3 9 3 C 5evpr,.A estudou também o número de
à ÍTi«+^° - livros de texto atribuem
cpT,+ ^ mudança dos decimais em
per-c e n t a á e n s : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 -3 4
' ^ • 04 = 4 0/„ j2 = 12 0/„
de 2 algarismos com fracções como .12 I/2
- n ~
ecoais de 1 algarismo como .8 = 80 O/q
.625 = 62 1/2 Ô/o .'005
Decimam de 3 alàarismos como . 625=62 2/- O/,
ec^. de 4 algar. como .0725 = 7. 25 OL = 7 l/i %'
D ^al mmor do que ICQ O/q. 1.5 = 150 O/q
para a mudança de decimal em 0/0. . [
e n.a mteiro em % como 2Xn = 200 O/q
^"de^u " " ^ V2Xn= 150 %
' / o o / ;
1 0
1
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
C o m o s e v ê , t a n t o a i n s t r u ç ã o c o m o a
prática nos vários tipos de relações
decimais--percentaécns estão, em conjunto, decidida
mente fora de proporção com as dificuldades
destes tipos.
3) Métodos adaptados às capacidades. A
iénorância presente relativamente à variação
dos métodos em harmonia com a capacidade
dos alunos é também impressionante. E de
boa evidência cjue uma criança lenta necessita
de mais prática do que uma criança viva; mas
de quanta necessita é que se não sabe conve
nientemente. Assim, suponKamos que a expli
cação X está perfeitamente organizada para
uma criança cuja capacidade de aprendizagem
é representada por 100. éComo é que esta ex
plicação deve ser modificada para ser perfeita
para uma criança cuja capacidade de apren
dizagem é representada por 75 ou ainda por
1 3 0 ?
4) Verificação da motivação: os nossos
co-nbecimentos actuals, relativos às técnicas cia
motivação e efeitos da variação do interesse
na aprendizagem por parte do aluno, deixam
muito a desejar. Contudo o conliecimento
científico neste problema é eficaz. Há uma
investigação interessante feita por
Panlasi-gui e KnigKt sobre uma técnica de motiva
ção, A idea da experimentação era
1 (
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
nar a í crença de aproveitamento entre dois
érupos e alunos do 4.® grau de aritmética, um
os quais tinka conKecimento dos seus êxitos
ou acassos. Por meio de normas de trabalho,
ca a aluno podia determinar a sua própria
e ciência, o lugar que ocupava na escala das
normas, fazendo a média dos valores de cada
a ^^0» cada ciasse podia determinar a sua
propria eficiência, o lugar que ocupava. Cada
s uno tinha uma carta de progresso individual
a c asse uma carta de progresso como classe,
o que tornava factível um registo sistemático de
xa CO visual do progresso efectuado. Os
re-su ta os obtídos foram mais favoráveis ao
po que tinha conhecimento dos seus
êxi-6 acassos do que àquele que ignorava os
seus progressos.
^ E^studos precisos de aprendizagem: ao
passo que há uma notável quantidade de
da-os so re da-os valores obtidda-os em «tests» pelda-os
nos e pelas classes, não se possue contudo
ma xn ormação precisa sobre as causas de
rev^ ^^^^érito sobre esta questão
j ^ nma surpreendente ausência de
estu-pormenorizados, relativamente à análise
t p « t i n e c o n d u z à o b t e n ç ã o d ê s -
es valores. Somente em certos sentidos é
de-rminado porque é que cg alunos cometem
erros ou trabalham correctamente nas
expe-3 6 —riências de aprendizagem que precedem o tra
balho com os «tests». A verificação da apren
dizagem e o valor da metodologia aumentarão,
quando se fizer uma interpretação eficaz e pro
funda dos casos exactos das histórias da apren
dizagem de alunos e de classes. Com esta
informação sobre o que acontece durante a
aprendizagem, as causas das fraquezas e da
força no trabalho final poderão ser mais bem
comprendidas e a prática na aula, nos seus
vários aspectos, mais bem realizada.
^cos de<3p^ 'pectos. — Os conceitos
numé-ir^Zl^ moderna um papel
B u c S "
s e m
ê l e s ,
® deHciente
a c o m p r e e n s ã o n a t u r e z a é m á ,
° s e n t i d o d a o r d i n c o m p l e t a .
^dittentar " «^lü®«cía e da lei é
'l^ingU^m^s^dife ^ com
Bu-»odem ser consid'^^^^J^ aspectos sot os qluais
ricos. '^«'^atderados os conceitos
numé-^®tão.''cSda°individ ° ^ de
^deas numéricas o P°aacie um capital
^ determinadl",^"^, -agir
■^«aiportamento a justeza do seu
varia. natu^X^te^r
a i e , c o m a r i q u e z aC O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
desta idea, A natureza funcional dos concei tos numéricos é o aspecto dinâmico do nú mero; é a reprodução, a identificação e a
descriminação íjuantitativas; é a comunica
ção dos números não só por meios ^t^bS.c.os,
mas também por meio da fala, do áesto; é a
acção sob a verificação do número; é âoze oü
cinco ou duzentos e Quarenta tomados sensí
veis, manifestos.
O outro aspecto do conceito numérico é
o íjue diz respeito aos dados a <iue êle se
aplica. Quando se consideram as unidades em
(lue um número pode ser expresso vê-se facil
mente a imensa extensão da aplicação dos
conceitos numéricos.
Esta aplicação, <iue no começo se limitava
apenas aos objectos da experiência do indi
víduo, foi-se alaráando gradualmente, sendo
boje extremamente variadas, complexas e di
fíceis as aplicações das ideas numéricas.
O bomem elevou-se do estágio dos núme
ros concretos ao dos abstractos, entre os (juais
existe uma série de bierarcjuias.
Além dos já referidos, bá ^ue considerar
^nda outro aspecto do conceito numérico.
A verificação que um indivíduo exerce sobre
a função das suas ideas numéricas ou sobre
a extensão dos dados a que elas se apli
cam, é condicionada pelo conhecimento due
4 o —
1!
e e tem do número, isto é, pelo conhecimento
matemático do número. TJm número não tem
Jtm sentido, mas vários. Exemplifiquemos com
omdike. Oito significa um certo ponto ou
série de números, 1, 2, 5, 4, 5,
an * ^ ° íl^tal se encontra além do 7 e
tamb' ^ sentido é o de sérfe. Mas oito
Ia ^^énifica o número de coisas singu-
^uma colecção de 8 crianças, ou 8
cba-o d ' ^ l^pis. Êste sentidcba-o pcba-ode cKamar-se
nítida duma colecção. Oito significa
corno uma certa unidade, quer isolada,
da unidades distintas, quer
combina-s e n t i d o c b a m a - combina-s e
®lénifi também ser considerado como
Pri íl número que possue certas
pro-tal ^ relação a outros números; em
2 conhecer oito é conhecer que êle é
^ mais do que 5, 2 menos do que IO,
» este conhecimento é talvez mais
conheci-ento de relações de números do que
conhe-Ptento do sentido numérico.
d \ ^^^vestigações de Buckingham e
® Maclatchy sôbre os conhecimentos
"numéricos que possuem as crianças,
^ando entram na escola primária- —
y ensino do número, a sua aprendizagem,
uepende primacíalmente da preparação
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
criança, <lo estado do érau do seu desenvolvi
mento, do seu interesse pelo número e do co
nhecimento <íue dêle tenha adíjuirido. Se a
criança, como dizem os autores da investié®-" ção cjue vamos descrever, tem uma compreen
são funcional dos peçtuenos números, e pode
entrar em comunicação com as outras crian
ças e com adultos sôhre a base dum conheci
mento comum de pecjuenas (juantidades, então possuimos a indicação de que a criança está preparada para o ensino do número e que di
f e r i r e s t e é r e t a r d a r o s e u c r e s c i m e n t o . B u
-ckinéham e Maclatchy procuraram saber, dado o interesse da questão, que conhecimentos do número tem as crianças — de seis anos — quando entram na escola primária norte-ame ricana. Para esse efeito procederam a uma
ampla investiéação, de caracter individual,
que se efectuou em 1;356 crianças pertencentes
a l7 cidades e aldeias e a alguns distritos rurais. Na sua investigação serviram-se de seis «tests».
Os autores encontraram que as crianças de
seis anos possuem, quando entram na primeira classe da escola primária, um conhecimento considerável do número. Às conclusões seguin
tes podem ser formuladas;
l) Contas de memória: 90 % das crianças
contam pelo menos até 10 e 60 % até 20; a
criança típica (mediana) conta até 2? ou 28:
4 2 —C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
1 em 8 conta até 100. Metade das crianças
contam por dezenas até 4o, ao passo que só
um quarto conta desta maneira até lOO.
2) Contar objectos: 90 % conta pelo
me-^os 10 objectos correctamente, e para cima
^ conta pelo menos l5.
, ^ Reproduzir números; as crianças
ti-escolher especificados números de
íectos num conjunto maior e satisfazer à
^céunta que lhes era feita: «Dá-me...
(nú-tôd^*^ ^ espécie de objectos»). Praticamente
^ crianças conhecem os números de
^ 4, 85 reproduzem 5 pelo menos uma
2 em três provas, e pròximamente dois
ter-® nas três provas. Os números 6 e 7 sao
'taticamente iguais em dificuldade; 8o % das
'teproduzem-nos uma vez, e 55 ®/o três
O número 8 tinha substancialmente a
^ esma dificuldade que IO; para cima de 75 ®/o
erianças reproduzem cada um destes
núme-e cnúme-erca dnúme-e mnúme-etadnúme-e três vnúme-eznúme-es.
) Nomear os números: como «test» s
onceitos numéricos, este é mais difícil do que
e reproduzir os números, e as
percenta-de crianças que o vencem é percenta-de 4 a
Pontos de percentagem a menos. 42 %
*^tcianças vencem todas as vezes o «test»
P^úmero mais difícil, sobretudo 10; uma P, ^
^entagem adicional de 28 % mostra que
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
crianças que «estão a caminlio» duma com preensão, digna de confiança, do 10, pois ven cem a prova ora uma vez, ora duas; assim, uma percentagem total de 70 responde correc-tamente, pelo menos uma vez ao «test» com o número mais difícil da série. À percentages correspondente a 8 foi de 73, a de 7 foi de 74, a de 6 foi de 75 e a de 5 foi de 8l.
5) Combinações em problemas verbais: as
c r i a n ç a s e r a m e x a m i n a d a s m e d i a n t e d e z p r o
blemas verbais para ver se elas conheciam
algumas combinações de soma. As combina
ções empregadas neste «test» foram as seguin tes: 5 + 1, 7 + 1, 1 + 9, 4 + 4, 1 + 6, 5 + 2,
8 + 2, 4 + 5, 5 + 3 e 3 + 5, a que correspon
deram respectivamente as percentagens seguin
tes: 7l.S, 63.9, 48.5, 36.9, 48.5, 43.8. 43.6, 21.8, 3l.8, 26.9. Somente 7 ®/o das crianças responderam correctamente a todos os proble
m a s .
6) Combinações com objectos: trata-se de
a v e r i g u a r s e a c r i a n ç a t e m c o n h e c i m e n t o f u n
cional dum certo número de combinações de soma apresentadas por meio de objectos. Suponhamos que são botões. A l.** combina
ção é 2 + 2. O examinador mostra 2 botões
e pregunta: «quantos botões há aqui»? De
pois de o aluno ter respondido, os 2 botões são
cobertos, e mais 2 são mostrados com a mesma
4 4 —
pregunta que se fêz da l.'' vez; o examinador
a^éora dissimula o 2.® grupo, ao mesmo tempo
que o 1.°, e pregunta «quantos são dois botões
e dois botões»: quando o aluno respondia cor
rectamente, isso significava que era capaz de
identificar nos seus componentes, um 4 invi
sível; e a resposta era marcada na coluna «in
visível»; quando o aluno só era capaz de
che-éar a este resultado, com os objectos à vista,
^resposta era marcada na coluna «visível».
s resultados obtidos nas somas invisível evisivei, e na combinação das duas, foram os
s e g u i n t e s : Combiaaç3es S o m a i n v i s í v e l S o m a v i s i v c l P e r c e n t a g e n s Visível e invisível P e r c e n t a g e n s P e r c e n t a g e n s c o m b i n a á o s 2 + 2 6 6 6 7 8 8 . 8 8 + 1 4 5 . 2 5 5 . 3 7 5 . 5 8 + 1 5 0 . 7 5 4 . 1 7 7 . 4 1 + 7 5 3 . 0 5 7 . 0 7 9 . S 3 + 1 6 3 . 9 6 8 . 2 8 8 . 5 2 + 1 3 9 . 7 6 6 . 3 7 2 . 2 2 + 8 3 7 , 1 5 6 . G 7 2 . 7 2 + 6 5 0 . 2 5 5 . 7 7 7 . 9 3 + 7 3 2 , 6 5 9 . 3 7 2 . 6 4 + 6 3 1 . 8 5 8 . 7 7 1 . 8
Distribuição das crianças em harmonia com
o número de respostas certas:
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
N.*' d« comLina-{ õ e t c e r l A S I n v i s í v e l P e r c e n t a g e n s Invisível c visível conxbiiiodos P e t c e & t a á ^ Q S 0 11 . 4 4 . 3 1 8 . 9 2 . 7 2 9 . 2 2 . 2 3 1 0 . 0 2 . 3 4 1 0 . C 3 . 0 •5 1 0 . 3 2 . 7 6 8 . 4 4 . 1 7 8 . 1 5 . 7 8 8 . 0 7 . 5 9 0 . 8 1 4 . 5 1 0 8 . 3 5 1 . 0 M e d i a n o 5 . 0 1 0 . 0Metade das crianças responderam pelo me
nos a 5 das 10 combinações, (íuando os
objec-tos eram dissimulados; q^uando os objecobjec-tos
eram visíveis mais de metade responderam
correctamente a todas as combinações.
9 . A i d a d e m e n t a l d a c r i a n ç a m í
nima e õptima para começar o estudo
d a s d i f e r e n t e s o p e r a ç õ e s e p r o c e s s o s aritméticos- — Í Haverá um estado de prepa
ração mental para a aprendizaéem duma de terminada operação aritmética? áEm tal caso,
esta preparação pode medir-se? éQuais são os
eíeitos do ensino duma operação, antes que
a criança esteja mentalmente em condições de
a estudar, comparados com os efeitos do ensina
4 6 —.
i
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
epois de a criança ter atingido esta
prepara-pode o programa ser reorganizado
Sm harmonia com. o crescimento psicológico da
cnança, de modo que ela possa estudar os tó
picos do programa, quando está apta
mental-^eme para os estudar?
fl-is são as questões a que a Comissão dos
da Conferência do Illinois, sobre
Inspec-Ç o, procurou responder através duma série de
" I t i e s e e s t e n d e r a m s o b r e u m p e
-** cinco anos e requereram a
coopera-de i4ô cidacoopera-des e coopera-de muitos milKares coopera-de
crianças.
Os tópicos estudados foram os seguintes:
subtracção, multiplicação, divisão,
frac-5oes, decimais, percentagens. A investigação
c cada um destes tópicos estava a cargo dum
^ 0 3
C o m i s s ã o .
técnica empregada foi devida e cuidado
lamente estudada e aplicada. Não entraremos
sua descrição porque isso nos levaria ?
^ a s i a d o
l o n g e .
.
.
As conclusões a que chegou a Comíssa
oram as seguintes:
l) Há um ponto no crescimento^
uma criança em que não só é -^^tíca.
e n s i n a r u m a d a d a o p e r a ç ã o g e x
3) Passado êste ponto, a operaça
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
3) Os pioéramas actuais não tomam em conta os factos descobertos mediante as
inves-tiéações a que nos referimos.
4) Há uma idade mental mínima e optima
para o ensino das diferentes operações, proces
sos e factos aritméticos.
5) Tentar o ensino destas operações, pro cessos ou factos, antes de a criança ter atingido este estádio de crescimento mental, é não só fazer perder muito tempo e esforço ao profes sor e ao aluno, mas condenar um número con siderável de crianças ao fracasso e um muito maior número a conhecimentos obscuros, in-compatibilizando-as com o pensamento claro e o progresso firme que deve caracterizar o
e s t u d o d a m a t e m á t i c a .
Agrupemos no quadro seguinte, sob as ru bricas— percentagem de crianças, idade mental
mínima, idem optima—os resultados obtidos na investigação realizada pela «Comissão dos
S e t e » : l á a d e m e n t a l m í n i m a I d a d e m e n t a l 6 p t i m a Tópicos Pactos de adição. So
mas at£ 10, . . C anos e 5 meses 7 anos e 4 meses
Pactos de snbtracção.
Os 50 mais fáceis. O anos e 7 meses 8 anos e 3 meses
Pactos de adição.So-d . 1 0 . 7 , 4 7 e 1 1
4 8 —
I d a d e l a e i t t a l I d a d e m e n t a l T ó p i c o s m i n i m a ú p t i m a Pactos de subtiacçõc.
Os õO mais difíceis ' anos e S meses b anos e 11 meses
Processos de
sabtiac-ção 8 anos e O meses 8 anos e O meses
Si^ificação de
frac-çÕes .... 9 anos e O meses 10 anos e 9 meses
Adição e snbtracçãc de fracções homo g ê n e a s e n ú m e r o s w i s t o s c o m f r a c
ções homogêneas . 9 anos e 10 meses 11 anos e 1 mês i'actos de multiplica
ção 10 anos e 2 meses 10 anos e 2 meses ^«ItipIicaçSo de
com-postos .... 10 anos e 4 meses 11 anos e O meses tráficos .... 10 anos e 5meses
(Idade cranolóStca)
I^ecimaia . . . . 10 anos e 11 meses 12 anos e 9 meses l^ivisão breve . . 11 anos e tmeses II anos e tmeses
Significação de frac
ç õ e s . A g r u p a m e n
to (1) . . . . 11 anos e 7 meses 13 anos e t meses
(1) Isto implica mostrar S/i de 12 obiectos, Vs
objectos. a vista, antes do ensino da manipulação das fracçoes,
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
I d a d e m e n t a l m i n i m a 12 anos e 4 meses Idade mental o p t i m a !•) anos e H meses Tópicos Percentalem .Divisão lon^a . . 12 anos e 7 meses 12 anos e 7 meses Adição e snbtxacção de (racções keteio-é keteio-é n e a s e - n ú m e r o s m i s t o s c o m £ r a c -ções Ketexoáéneas, e s n b t r a c ç ã o d e n ú m e r o s m i s t o s .
Os fracassos na aritmética são devidos, em écande parte, ao facto de o ensino das opera
ções e processos ser feito em tempo impróprio,
c o m o o t s e r v a c o m r a z ã o AVa s K b u r n e .
1 0 . C a p a c i d a d e s e o p e r a ç õ e s a r i * tmêticas* — A análise da capacidade aritmé
tica revela que ela é extremamente complexa, como ressalta com evidência dos tralsalKos que neste sentido têm sido feitos por Bruck ner, Courtis, KniéKt, TKorndike, Wells, entre
o u t r o s .
TKorndike por exemplo analisou os passos
ou conexões necessárias numa simples soma
de inteiros de duas colunas. Além do número
considerável de passos relativos ao
reconKe-cimento, escrita e expressão verbal dos
nú-S o —
COtdO SE ENSINA A ARITMÉTICA
meros e a aprendizagem das combinações até
9 -L 9 etc a soma de inteiros implica os
se-éuintes processos ou funções menores, cada
uma das quais é psicolõéicamente distinta e
requere um distinto tratamento especial: 1)
aprender a conservar o lugar da unidade na
coluna, emquanto se soma; 2) aprender a con
servar no espírito o resultado de cada soma,
até que se tenlia adicionado ao algarismo
ime-aato: 3) aprender a adicionar um número
visto a um número pensado; 4) aprender a
desprezar os espaços vasios numa coluna;
5) idem os zeros numa coluna; 6) aprender
a apUcação das combinações às dezenas; 7}
aprender a escrever os números que
signiK-cam unidades antes do que a soma total da
coluna; 8) aprender a escrever o zero nos casos
em que a soma da coluna é 10, 20, etc.; 9) apren
der a transportar que implica também em st
pelo menos dois processos distintos.
Uma outra análise é devida a J. Wells que
considera a destreza geral na adição como o
resultado do funcionamento adequado de capa
cidades, as quais se compõem de unidades de
capacidade na manipulação das combinações
da adição.
Capacidades, juízos e procedimentos impli
cados na soma de números inteiros:
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A
C O M O S E E N S I N A A A R I T M É T I C A Capacidades " o _ 3 « & Q J U a a 4 a . g Q > O > V s t s g a 3 « í " 2 a * o O J «I >4 2 ã-g a §■8 Uaidades de capacidade' Números expressos como nos n.*" 1, 2 ou 3 g r a v u r a s o u o b j e c t o s 1
P a l a v r a s 2
A l g a r i s m o s 3 Forma da exposição como nos 4, 5 e 0;
c o m o s s i n a i s + e e = . . . . 4
Com palavras como «somar. . «encon
t r a r a s o m a » , e t c i )
P o n d o u m p r o b l e m a ü C o m o s s i n a i s + e , 7
Cm forma de coluna com:
D o i s s o m a n d o s S
T r ê s s o m a n d o s o u m a i s 9 Somandos em relação um com o outro.
Somando com o mesmo número de al
g a r i s m o s c o m o o p r e c e d e n t e . . . 1 0 Somando com maior número de algaris
mos do que o somando precedente. . II
Somando com um número menor de al garismos do que o somando prece
d e n t e j 2 V o o ^ ã a B ; ^ .a .§ 43 'a S j de capacidade n.®» 7, 8 e 9. S 8 p < e * U ' 3 « d • V . -a a m N w V - a - O - fl <9 '3 . o J o i h u • 1 3 ^ U 3 < e 9 Unidades de capacidade n.®® 8 9 10 11 e 1 2 . ' ' $2 — r -^ s s a . " « " 5 2 a d d u 7 2 ^ 3 (jTs d'u'g a " g a S § s o . 0 I S a - « " O f t o d 9 d O o *u ft 4-Ô " « > < n »o 'ã o S * t í d •M V « A a f t j j u - S o s g ^ a o < aJü t fl O 2 s f t f c • u a ... u d M B . d • d fl i u ® t3 o o d s o f t S -u § 'S ti
^ i
£ 8 U a Unidades de capacidade n.®* 7, 8 e 9,Factos basilares de adição sem passagem
à dezena, como 2-j- 3
Idem com passagem à dezena, como 7-p Ij. Factos basilares com o zero, como 4-pO.
Factos de soma de dezenas sem passagem
à imediata, como 24 -}- 1
Idem com passagem, como 24-{-8. Dois algarismos
T r ê s a m a i s
Soma menor do que 10 Soma de 10 ou maior N o e x e m p l o : D u a s c o l u n a s 2 2 T r ê s o \ i m a i s 2 3 N e c o l u n a : D o i s a l g a r i s m o s 1 8 T r ê s a l g a r i s m o s o u m a i s 1 9 S o m a m e n o r d o q u e 1 0 2 0 Soma de 10 ou maior do que 10 . . .21
No exemplo: 1 3 1 4 l õ l õ 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1
Coluna somente dos unidades . . 2 4
De outras colunas além das unidades . . 2 5
Duplo transporte
Mais do que dois transportes . . 2 7 N a c o l u n a ;
Transporte de nm Transporte de dois .
Transporte de três ou mais. 3 0 — 5 3
I i n
-COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
O J í S. 8 ""C A N * " ? a « n H
âg a-l
-9 w R « ^ 8 S £ a 8 S « a - - a ft ^ o -« « _ •O 50 S • 0 1 V «t?g a
U 9 o 5 f t •a B. o - § « I O 0 o * 1 3 - i B ™ o o *1 ^ « 2 " S u { : < a 8 o B S 0 « S f l ® ü •- e 0 i o P i « 0 ) t 3 O Z e t o o u z e r o s n a c o l u n a 3 1 C o l u n a c o m z e r o s 3 2 Espaço vário ou espaços na coluna . . 33 Z e r o s n a c o l u n a 3 4 C o l u n a s s i m p l e s 3 5 Unidades de capacidade n,®' 22 e 23.Posição da soma com sinais -f- e = . . 33 E m f o r m a d e c o l u n a 3 7
Natureza da soma. No exemplo:
Soma de uma única coluna .... 38 Idem de duas colunas ou mais. ... 30
Na coluna:
S o m a m e n o r d o q u e 1 0 4 0 Idem maior do que lÜ e escrita ... 41 S o m a z e r o ■ . . , 4 . 0
Soma maior do que 10. escrevendo 9Ôm'entê
o algarismo das unidades 43
Soma múltipla de 10. escrevendo sômente
• 4 4
I "»íá«des de capacidade n 38 e 37.
a - u 5 4 — B S-S-S \ o ♦» -g g I- - S S ) Uftidades de capacidade n.®' 4. 5 e 6.
4S§& f
t *-COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
Unidades de capacidade n.®» 30, 38 e 30.
Unidades de capacidade n.®® 30 e 37
Unidades de capacidade n.®® 4, .5 g ({
^pacidade total Wmada pela
funcional de canaHdn^ oráanização
^
. .
de quarenta e qnatro unid-,,! j eompõem
(n." 1 a 44). "idades de capacidade
' " S "
• •
Pacidade são as canT'-.Í j unidades de
ca-«e aárupanr pit " as
constttuir
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
ções mais largas. 2) A capacidade total é uma
oréamzaçao funcional de capacidades e uma
integração de factos e procedimentos; um aluno
nunca soma ou subtrae. em geral, mas utiliza
sempre certas combinações específicas num
dado momento. 3) Toda a operação, todo o
processo aritmético é uma hierarquia de
capa-T ã o ^ u r i r capa-T c a p a c i d a d e s
3 d a d ã ^ d e t e r m i n a d a
unidade de capacidade pode preceder ou
se-éuir-se a outra; e certo»? (an+r^.,
j t a c t o s e n a o o u t r o s
un?d"d capacidades ou as
unidades de capacidade ou os elementos da
solução total podem ser analisados ou regis
tados de vano_s modos; um exemplo pode cot
ter alguns e nao todos os factos que fazem nart
do processo total. 4) Um processo aritmétt
como a soma de inteiros, a subtracção dTfrac
çoes, a multiplicação de deci»r.«;c /
-de complexos não é uma catin ^ '^^^sao
ou uma simples colecção de
é uma capacidade capacidades. Não
aprendida pouco a pouco- ser
muito bem conhecer nart cnança pode
e não toda ela. Também^ " capacidade total
colecção. porque, .uando
deve constantemente escolha uma criança
des ou rejeitar outras a cad^ certas
capacída-operação é mais do que uma^ ^O'^ento. Uma
que uma colecção de
capa-5 6 —COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
cidades, do mesmo modo que uma máquina é
mais do que uma colecção de peças. Um
pro-cesso e uma hierarquia ou oráanízação de
capacidades, muitas destas são por sua vez
érupamentos ou complexos de unidades de
apacidade. Por conseguinte um processo pol
á e c t r ? ; " ' " ' ' - - p - t o
unid ^ menores, e cada uma destas de
W o s
c o r p o
d a d o
d e
^ P P ^ a s c o r r e i a s d e n c o n t r a r
eorrectas das seguintes adições:
■' t r " O
5 8 1 ' t ' S
— -
^ " 2
c , 8 Q
P eriança utihtt^/^® Parcelas do
exem-itaa os factos seguintes:
4^r,í! 2 + 3= .5 . , ,
'° + -'==20 10^2^5° ' + °
1--^—12 0-f3 = 12
COMO SE ENSINA A ARITMÉTICA
conclue K Ã acertada da soma,
f ° '«"Itado de
conhe-compSer '^^pacidades que
tínáLm d os quais se
dis-f c a l Ü
U m
t r a
-capacidar''^° ínteéração de
pacidades, como as referidas nas análises
5 8
