UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE
PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIA
ELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO
Projeto de Controladores com Complexidade
Reduzida para Sistemas Lineares Sujeitos a
Restrições Usando Análise de Agrupamentos de
Dados
Amanda Danielle Oliveira da Silva Dantas
Orientador: Prof. DSc. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Tese de Doutorado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutora em Ciências.
Número de ordem PPgEEC: D231
Natal, RN, Outubro de 2018
Dantas, Amanda Danielle Oliveira da Silva.
Projeto de controladores com complexidade reduzida para sistemas lineares sujeitos a Restrições Usando Análise de Agrupamentos de Dados / Amanda Danielle Oliveira da Silva Dantas. - Natal, 2018.
159 f.: il.
Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação. Natal, RN, 2018. Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea.
1. Sistemas lineares - Tese. 2. Análise de agrupamentos de dados - Tese. 3. Conjuntos positivamente invariantes - Tese. I. Dórea, Carlos Eduardo Trabuco. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 004 Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Ao meu esposo André Felipe Oliveira de Azevedo Dantas pelo apoio incondicional. Aos meus pais.
A todos os meus familiares.
Ao meu orientador, professor DSc. Carlos Eduardo Trabuco Dórea, pela orientação e apoio.
Aos meus amigos Daniel Guerra, Kennedy Lopes, Ícaro Araújo, Douglas Alves, Welisson Moura e João Gadelha que me ajudaram imensamente, cooperando com este trabalho. Gostaria também agradecer ao CNPq pelos recursos e ao Laboratório de Automação em Petróleo (LAUT) por disponibilizar um ambiente de estudo para produção científica.
O projeto de controladores para sistemas lineares de tempo discreto sujeitos a restri-ções pode ser realizado baseado no conceito de conjuntos invariantes, juntamente com a solução de problemas de programação linear multiparamétricos. Esta solução é represen-tada por um conjunto de regiões poliédricas associadas a uma lei de controle do tipo Afim por Partes (PWA, do inglês PieceWise Affine). No entanto, em sistemas de ordem elevada a técnica de programação linear multiparametrica pode resultar em controladores de alta complexidade, que requerem um hardware com grande capacidade de armazenamento na memória e alto poder de processamento para sua implementação em tempo real, de-vido a um número elevado de regiões poliédricas definindo a lei PWA. Neste trabalho são propostos métodos numéricos que permitem reduzir a complexidade destes controlado-res. Para este propósito, são usados o conceito de conjuntos invariantes e o algoritmo de análise de agrupamento de dados K q-flat. Primeiramente, mostra-se como o algoritmo K q-flatpode ser usado para estabelecer um número menor de regiões poliédricas associadas a uma lei de controle por realimentação de estado PWA. Em seguida, tal abordagem é es-tendida para o projeto de c por realimentação de saída estática para sistemas sob restrições e de observadores de estado com limitação no erro. Além disso, problemas de otimização são propostos para calcular uma lei PWA sub-ótima capaz de reduzir ainda mais o número de regiões poliédricas. Os resultados apresentados mostram que as abordagens propostas são capazes de calcular leis PWA com um número muito menor de regiões quando com-paradas com a solução multiparamétrica, diminuindo fortemente o custo computacional associado a sua implementação.
Palavras-chave: Sistemas Lineares Sujeitos a Restrições, Programação Multiparamé-trica, Análise de Agrupamentos de Dados, Conjuntos Positivamente Invariantes.
Controller design for discrete-time linear systems subject to constraints can be carried out based on the concept of invariant sets, together with the solution of multiparametric programming problems. Such a solution is represented by a set of polyhedral regions associated to a Piecewise Affine (PWA) control law. However, for high-order systems, the multiparametric linear programming technique may result in controllers of high com-plexity, which require a hardware with great storage capacity in the memory and high processing power due to the a high number of polyhedral regions defining the PWA law. In this work we propose a number of numerical methods which aim to reduce the com-plexity of such controllers. To this end, the concept of invariant sets and the K q-flat data cluster analysis algorithm are applied. First, we show that the K q-flat algorithm can be used to establish a smaller number of polyhedral regions associated to a PWA state feedback control law. Then, this approach is extended to the design of static output feed-back controllers for constrained systems and of state observers with error limitation. In addition, optimization problems are proposed to compute a suboptimal PWA law capa-ble of further reducing the number of polyhedral regions. The results we present show that the proposed approaches are able to compute PWA laws with a smaller number of polyhedral regions when compared with the multiparametric solution, strongly reducing the computational cost associated to their implementation.
Keywords: Linear Systems Subject to Constraints, Multi-parametric Programming, Cluster Analysis, Positively Invariant Sets.
Sumário i
Lista de Figuras iv
Lista de Tabelas vii
Lista de Simbolos viii
Lista de Símbolos e Abreviaturas viii
1 Introdução 1
1.1 Objetivos Gerais . . . 5
1.2 Principais Contribuições . . . 5
1.3 Organização do Texto . . . 6
2 Controle de Sistemas Lineares Sujeitos a Restrições 7 2.1 Sistemas Sujeitos a Restrições . . . 7
2.1.1 Sistemas Lineares Discretos em Equações de Estados . . . 8
2.1.2 Conjuntos Positivamente Invariantes . . . 9
2.1.3 Projeto de Controle Sob Restrições Utilizando Conjuntos Invari-antes Controlados . . . 10
2.2 Controle Regulatório Por Realimentação de Estado . . . 20
2.2.1 Controle de Sistemas Sujeitos a Restrições Usando Programação Linear . . . 21
2.2.2 Controle de Sistemas Sujeitos a Restrições Usando Programação Multiparamétrica . . . 23
2.3 Análise de Agrupamento de Dados . . . 30
2.3.1 Agrupamento de Dados ou Clustering . . . 30
2.3.2 Medidas de similaridade ou dissimilaridade . . . 32
2.3.3 Métodos de Agrupamentos (Clustering) . . . 32
2.3.4 Algoritmos de Partição . . . 33 i
2.4.1 Controle por Realimentação de Estado . . . 38
2.5 Resultados do Projeto de Controle por Realimentação de Estado Utili-zando Data Clustering . . . 50
2.5.1 Exemplo Numérico 1 . . . 50
2.5.2 Exemplo Numérico 2 . . . 57
2.5.3 Exemplo Numérico 3 . . . 62
2.5.4 Esforço Computacional das Soluções Propostas . . . 65
2.6 Considerações Finais . . . 66
3 Observadores de Estado com Limitação no Erro 68 3.1 Projeto de Observadores de Estado com Limitação no Erro . . . 68
3.1.1 Conjuntos Invariantes Condicionados . . . 69
3.1.2 Cálculo de um Conjunto Poliédrico Invariante Condicionado . . . 72
3.1.3 Injeção de Saída . . . 74
3.1.4 Projeto de Observador de Estado com Limitação de Erro Utili-zando Análise de Agrupamento de Dados . . . 80
3.1.5 Invariância Positiva de Ωe . . . 82
3.2 Observador de Estado Sub-ótimo com Complexidade Reduzida . . . 84
3.3 Resultados do Projeto de Observador de Estado com Limitação no Erro Proposto . . . 85
3.3.1 Exemplo Numérico 1 . . . 86
3.4 Considerações Finais . . . 90
4 Controle Sob Restrições por Realimentação de Saída 91 4.1 Controle por Realimentação de Saída Estática . . . 91
4.1.1 Conjunto Invariante Controlado por Realimentação de Saída . . . 92
4.1.2 Controle por Realimentação de Saída Estática On-line . . . 97
4.1.3 Lei de Controle por Realimentação de Saída Estática Off-line . . . 97
4.2 Projeto de Controle por Realimentação de Saída Estática Utilizando Aná-lise de Agrupamento de Dados . . . 102
4.2.1 Controle por Realimentação de Saída Sub-ótimo com Complexi-dade Reduzida . . . 106
4.3 Resultados do Projeto de Controle por Realimentação de Saída Proposto . 107 4.3.1 Exemplo Numérico 1 . . . 107
4.3.4 Exemplo Numérico 4 . . . 119 4.4 Considerações Finais . . . 126
5 Conclusões 128
2.1 Conjunto Poliédrico Invariante ControladoC∞(Ω
c, λ). . . 20
2.2 Trajetória do vetor de estados. . . 22
2.3 Regiões características (RC). . . 23
2.4 Regiões poliédricas e uma trajetória do vetor de estados (Solução off-line). 28 2.5 Diferentes forma de agrupar o mesmo conjunto de dados. . . 31
2.6 Análise de agrupamento com o algoritmo do K-means. . . 34
2.7 Adaptado de . . . 35
2.8 Conjunto de dados no espaço original e o novo sistema de coordenadas formado pela PCA . . . 37
2.9 Nuvem de pontos M. . . 39
2.10 Nuvem de pontos M e o Pn0. . . 41
2.11 Clusters no espaço de estados x1e x2. . . 45
2.12 Regiões Poliédricas. . . 46
2.13 Regiões poliédricas e a trajetória do vetor de estados. . . 46
2.14 Trajetória do vetor de estados via LP, mp-LP e Clustering. . . 47
2.15 Conjunto de restrições Ω definido no espaço de estados. . . 51
2.16 O máximo conjunto invariante controlado Ωccontido em Ω. . . 51
2.17 Solução mp-LP definida no espaço de parâmetros x no interior do con-junto Ωccom 35 regiões poliédricas. . . 52
2.18 Clustering para o exemplo numérico 1. . . 53
2.19 Regiões poliédricasHix≤ zi definidas com K = 5 para q = 2. . . . 53
2.20 Regiões poliédricasHix≤ zi definidas com K = 5 para q = 2 e as tra-jetórias dos estados x(k). . . 54
2.21 Regiões poliédricasHix≤ zi definidas com K = 5 para q = 2 e K = 1 com q = 2 e, as trajetórias dos estados x(k). . . 55
2.22 Sinal de Controle (Exemplo Numérico 1). . . 56
2.23 O máximo conjunto invariante controlado Ωccontido no conjunto de res-trições Ω. . . 57
2.25 Clustering para o exemplo numérico 2. . . 58
2.26 Solução off-line proposta . . . 59
2.27 Trajetória dos estados para diferentes condições iniciais x(0). . . 60
2.28 Regiões poliédricasHix≤ zi definidas com K = 3, q = 2 e as trajetórias dos estados x(k). . . 60
2.29 Sinal de Controle (Exemplo Numérico 2). . . 61
2.30 O máximo conjunto invariante controlado Ωccontido no conjunto de res-trições Ω. . . 62
2.31 Solução mp-LP no espaço de parâmetros x com 109 regiões poliédricas no interior do conjunto Ωc. . . 63
2.32 Clusters com K = 3 para q = 3. . . 63
2.33 Regiões poliédricasHix≤ zi definidas com K = 3, q = 3 e as trajetórias dos estados x(k). . . 64
2.34 Sinal de Controle (Exemplo Numérico 3). . . 65
3.1 Conjunto de saídas admissíveisZ(Ωe). . . 78
3.2 Conjunto de regiões poliédricas CRp. . . 79
3.3 Regiões poliédricas e a trajetória das saídas no interior do conjuntoZ(Ωe). 79 3.4 Conjunto de Saídas AdmissíveisZ(Ωe). . . 87
3.5 Solução mp-LP no interior do conjuntoZ(Ωe). . . 87
3.6 As regiões poliédricasGizz≤ ρi z no interior do conjuntoZ(Ωe). . . 88
3.7 As regiões poliédricasGizz≤ ρi z para K = 3 com q = 2 e as trajetórias das saídas z(k)com z(0) = [−1 − 0, 92]T. . . 88
3.8 Trajetórias do erro de observação. . . 89
4.1 Conjunto de saídas admissíveis. . . 101
4.2 Regiões poliédricas da solução mp-LP e a trajetória das saídas no interior do conjunto Y (Ω). . . 102
4.3 Conjunto invariante controlado Ωc. . . 108
4.4 Conjunto de saídas admissíveis Y (Ωc) para uma única saída. . . 109
4.5 Clusters K= 5 para q = 1. . . 109
4.6 Conjunto invariante controlado Ωce as trajetórias dos estados. . . 110
4.7 Sinal de Controle . . . 110
4.8 Processo de tanques acoplados. . . 111
4.12 O conjunto Y (Ωc) e as regiões poliédricas da solução mp-LP. . . 115
4.13 O conjunto Y (Ωc) e as regiões poliédricasGiy≤ ρiy . . . 116
4.14 O conjunto de saídas admissíveis Y (Ωc) e as trajetórias das saídas
calcula-das pela solução mp-LP e as soluções propostas com x(0) = [−5 − 5 4, 02 − 4, 99]T.117 4.15 Sinal de Controle u(y(k)). . . 118
4.16 Diagrama do processo de tanques quádruplos. . . 120 4.17 Conjunto de saídas admissíveis Y (Ωc). . . 123
4.18 Regiões poliédricas Rq da solução do mp-LP (4.18) contidas no interior
do conjunto Y (Ωc). . . 123
4.19 Regiões poliédricas Giyx≤ ρi
y e, as trajetórias das saídas calculadas
pela solução on-line do LP e a solução do algoritmo 4.2 para K = 5 com q= 2. . . 124 4.20 Regiões poliédricas Giyx≤ ρi
y e, as trajetórias das saídas calculadas
pela solução on-line do LP (3.1) e a solução sub-ótima para K = 3 com q= 2. . . 124 4.21 Trajetória dos estados. . . 125 4.22 Sinal de controle. . . 126
2.1 Solução do problema de programação linear multiparamétrica. . . 28
2.2 Solução com a metodologia proposta. . . 47
2.3 Solução do problema de programação linear multiparamétrica. . . 52
2.4 Lei de controle PWA proposta. . . 54
2.5 Lei de controle PWA proposta . . . 59
2.6 Esforço computacional, com 100 iterações. . . 66
3.1 Esforço computacional, com 300 iterações. . . 89
4.1 Esforço computacional, com 100 iterações. . . 117
N o conjunto dos números naturais R o conjunto dos números reais
Rn o espaço dos vetores coluna reais de dimensão n Rm×n o espaço de matrizes reais de dimensão m × n : tal que ∀ para todo ∃ existe ⊂ está contido ∈ pertence ∩ intersecção
0 vetor ou matriz (de dimensão apropriada) com todos os componentes iguais a 0
1 vetor (de dimensão apropriada) com todos os componentes iguais a 1
x1, . . . , xn coordenadas do elemento x ∈ Rn na base canônica do
es-paço Rn
Ω ⊂ Rn conjunto de estados
L(Ω) conjunto admissível a um passo /
0 conjunto vazio (conjunto sem elementos) λ taxa de contratividade
¯
λ autovalores
K número de clusters
q dimensão do subespaço afim Si subespaço afim para i = 1, . . . , K
LP Linear Programming
OFCI output-feedback controlled-invariant MIMO Multiple-Input Multiple-Output PCA Principal Component Analysis
Introdução
Desde a década de 1970, a teoria de sistemas lineares sujeitos a restrições tem sido utilizada na engenharia de controle por diversos pesquisadores, uma vez que as res-trições estão presentes na maioria dos processos de controle. Estas resres-trições geral-mente são representadas como: limitação na magnitude do atuador, saturação do si-nal de controle e limitações físicas dos equipamentos. Em muitas situações, tais res-trições são propositalmente impostas a fim de reduzir o consumo de energia, minimi-zar a utilização de recursos e, além disso, garantir a segurança ou qualidade do pro-cesso (Glattfelder & Schaufelberger 2003) (Kido 2011). Para os sistemas lineares re-presentados no espaço de estados, as restrições lineares podem ser definidas por con-juntos poliédricos convexos, onde as trajetórias do sistema devem evoluir (Glattfelder & Schaufelberger 2003) (Tarbouriech et al. 2007).
Nos últimos anos, os projetos de controle para sistemas lineares sujeitos a restrições nos estados, as quais são definidas por um conjunto poliédrico, têm sido realizados por meio do conceito de conjuntos positivamente invariantes (Santos 1996). Dado um sistema dinâmico autônomo, um conjunto de restrições no espaço de estados é positivamente invariante se a partir de qualquer condição inicial pertencente a este conjunto, a trajetória do sistema dinâmico se mantém no interior do mesmo (Alberto 2006). Este conceito tem um papel fundamental no controle e na análise de sistemas dinâmicos restritos, como pode ser observado em Rocha (1994), Castelan & Hennet (1993), Dórea (1997), Dórea & Hennet (1999), Blanchini (1999), Henrion et al. (2001), Hua et al. (2002), Dórea (2006), Blanchini & Miani (2008) e Dórea (2009), entre outros.
O conceito de conjuntos positivamente invariantes também pode ser estendido para o caso em que a entrada de controle está presente. Neste caso, o conjunto é definido como um conjunto invariante controlado se, para qualquer condição inicial escolhida entre seus elementos, a trajetória do sistema dinâmico pode ser forçada a permanecer contida no interior do conjunto por meio de uma lei de controle adequada. Este conjunto é bastante
utilizado para solucionar problemas de controle regulatório, que consistem na determina-ção de leis de controle de realimentadetermina-ção de estado de modo que todos os estados iniciais pertencentes a um conjunto invariante controlado são transferidos assintoticamente, em tempo finito, para a origem enquanto as restrições lineares no vetor de controle são res-peitadas (Blanchini 1994).
Na maioria dos casos, nem todos os estados iniciais de um conjunto, definido no espaço de estados, podem ser levados à origem sem violar as restrições. Contudo, vá-rios pesquisadores propuseram métodos numéricos que permitem calcular um conjunto invariante controlado a partir do conjunto de restrições, garantindo a satisfação das mes-mas (Scibilia et al. 2009) (Athanasopoulos & Bitsoris 2009) (Gondhalekar et al. 2009) (Athanasopoulos & Bitsoris 2010) (Sheer & Gutman 2016) (Li & Liu 2016). Em Dórea & Hennet (1999) um método numérico foi proposto para calcular o maior (ou máximo) conjunto invariante controlado contido no conjunto de restrições. Este conjunto contém todos os estados que podem ser controlados por uma sequência de sinais de controle em função dos estados, capaz de manter a trajetória dos estados sob o conjunto de restri-ções. Esta abordagem foi estendida para uma estrutura de realimentação de saída, onde condições necessárias e suficientes foram estabelecidas para avaliar se um determinado conjunto poliédrico é invariante controlado por realimentação da saída (do inglês Output-feedback controlled invarint set (OFCI)). A partir deste conjunto é possível calcular uma lei de controle em função da saída capaz de transferir assintoticamente a trajetória dos estados do sistema para a origem (Dórea 2009).
A sequência de sinais de controle em função dos estados pode ser calculada a partir do próprio conjunto invariante controlado, como pode ser observado em Blanchini (1994) e Dórea & Hennet (1999). Outra maneira de calcular uma sequência de sinais de con-trole em função dos estados ou da saída é utilizando as técnicas de programação linear (do inglês Linear Programming (LP)) e programação linear multiparamétrica (do inglês Multi-parametric LP (mp-LP)) (Dantas et al. 2015) (Dórea 2009).
A programação linear é uma técnica de otimização bastante usada na área de siste-mas de controle sob restrições, principalmente em projeto de controle preditivo baseado em modelo (do inglês Model Predictive Control (MPC)) (Camacho & Bordons 2007). A partir da solução de um problema de programação linear é possível estabelecer uma sequência de sinal controle de forma on-line (Blanchini 1994) (Dórea 2009) (Pimenta & Dórea 2004). No entanto, a solução de um problema de programação linear pode apre-sentar um enorme esforço computacional, ocasionado pelos repetidos cálculos exigidos a cada instante de tempo (Zeilinger et al. 2011). Já a técnica de programação linear multipa-ramétrica (do inglês Multi-parametric LP (mp-LP)), abordada em Tomas (1995), retorna
como solução um mapeamento completo das soluções ótimas representadas por uma lei de controle por realimentação explícita afim por partes PWA (PieceWise Affine) associada a regiões poliédricas (Bemporad et al. 2003) no interior do conjunto viável de restrições. Neste caso, a lei de controle por realimentação de estado (ou saída) é calculada off-line resultando em uma lei afim associada a uma região poliédrica a qual o estado medido (ou saída medida) pertence.
Outra linha de pesquisa tem estendido o conceito de conjuntos invariantes para pro-jetos de observadores de estado, onde o erro de observação é limitado a um conjunto invariante condicionado (ou (C,A)-Invariante) definido no espaço dos erros. Neste caso, uma lei de observação pode ser calculada com o objetivo de limitar a trajetória da dinâ-mica do erro de observação, garantido, assim, uma melhor estimativa dos estados reais do sistema (Pimenta & Dórea 2004). Esta lei pode ser calculada a partir dos vértices do próprio conjunto invariante condicionado ou solucionando problemas de LP e mp-LP (Dórea 2006).
A principal limitação da técnica mp-LP em projetos de controle regulatório restrito é a complexidade computacional da partição. Esta limitação está diretamente associada com o número de regiões poliédricas definido pela solução mp-LP, que pode aumentar exponencialmente conforme a ordem do sistema e a complexidade do problema de otimi-zação (Zeilinger et al. 2011). Além disso, em procedimentos on-line, a solução mp-LP requer uma capacidade maior de armazenamento e alto esforço computacional para iden-tificar a região poliédrica certa (Takács & Rohal’-IIkiv 2014) (Goebel & Allgower 2013). Ambas as limitações também estão presentes nos projetos de controle por realimenta-ção de saída para sistemas de múltiplas saídas e projetos de observadores de estado com limitação no erro (Dórea 2009).
Recentemente, vários estudos têm sido realizados com o objetivo de reduzir o nú-mero de regiões e o esforço computacional causado pela programação multiparamétrica em projetos de controladores restritos. Dentre essas pesquisas, é possível mencionar a abordagem baseada em um algoritmo geométrico (Borreli et al. 2003), método de clipping (Takács & Rohal’-Ilkiv 2012), análise de agrupamento de dados (Goebel & Allgower 2013) e o acompanhamento das condições necessárias para a otimização (do inglês Necessary Optimality Conditions (NCO)) (Sun et al. 2016). Existem também abordagens focadas em substituir a solução off-line explícita PWA por uma similar e, menos complexa caracterizada por uma representação sub-ótima da lei de controle por realimentação PWA. A lei de controle sub-ótima para sistemas discretos no tempo pode ser obtida através do cálculo da integral do erro quadrático entre a lei de controle ori-ginal e a sua contraparte mais simples (Holaza et al. 2014) ou aplicando um filtro de
clipping (Kvasnica & Fikar 2012). Outros pesquisadores têm usado a representação de polígonos (Oravec et al. 2013), algoritmo genético (Stevek et al. 2013), as técni-cas de warm-start (Zeilinger et al. 2011), princípios de modelagem avançada (Kvasnica et al. 2015), função de controle-Lyapunov PWA (Bemporad et al. 2011), politopo do-minante (Kvasnica et al. 2012), análise multirresolução wavelet (Summers et al. 2011), programação multiparamétrica quadrática aproximada (Chen et al. 2015) e a eliminação de uma parcela significativa das regiões da função PWA sobre a qual a função atinge um valor saturado (Kvasnica & Fikar 2010).
Em Goebel & Allgower (2013) a aplicação do processo de mineração de dados em projetos de controle MPC foi proposta, com o objetivo de simplificar os problemas de otimização do MPC on-line e reduzir o esforço computacional do cálculo da ação de con-trole. A mineração de dados (do inglês Data Mining) é o processo de explorar grandes quantidades de dados à procura de padrões válidos, como regras de associação, para detec-tar relacionamentos sistemáticos entre variáveis, detectando, assim, novos subconjuntos de dados (O’Brien 2011).
Atualmente, existem diferentes técnicas para resolver problemas de mineração de da-dos, algumas delas estão diretamente relacionadas à Inteligência Artificial (Russell & Norvig 2009), Árvores de Decisão (Ville 2006), Regras de Indução (Klopotek et al. 2006) e Redes Neurais Artificiais (Maimon & Rokach 2010). As técnicas inerentes à estatística também podem ser utilizadas, tais como Análise de Regressão (Montgomery et al. 2012) e a Análise Multivariada (Hair et al. 2009), entre elas a mais comumente usada é a Análise de Agrupamentos (do inglês Cluster Analysis).
Em Prass (2004), a análise de agrupamentos é definida como um processo de classi-ficação não supervisionado, utilizado para agrupar objetos similares ou dissimilares em grupos (também conhecido como classe, agrupamentos, conglomerados ou Cluster).
O principal estímulo para o desenvolvimento da análise de agrupamentos foi o artigo Principles of Numerical Taxonomypublicado em 1963 por dois biólogos, Robert Sokal e Peter Sneath. Desde então, a análise de agrupamentos vem sendo aplicada em diferentes áreas como: psicologia (Clatworthy et al. 2005), sociologia (Fonseca 2008), antropolo-gia (Langdon et al. 2012) e engenharia de controle e processos (Wiley 2008).
Na engenharia de controle a análise de agrupamentos foi introduzida na identifica-ção de sistemas híbridos discretos na forma afim por partes, por Ferrari-Trecatea et al. (2003) e, também foi aplicada por Yuksek et al. (2005) em vibrações de viadutos, com o objetivo de agrupar os diferentes tipos de vibrações e controlar cada grupo através do controle clássico PID (Proporcional Integral Derivativo) (de Campos & Teixeira 2006). Logo em seguida, a análise de agrupamentos passou a ter grande importância na síntese
dos controladores Fuzzy (Pedrycz 2013).
Portanto, devido à intensidade das pesquisas direcionadas às diversas aplicações da análise de agrupamentos de dados na engenharia, e aos problemas decorrentes das téc-nicas de otimização mencionados anteriormente, foi despertado o interesse em aplicar a análise de agrupamentos de dados em projetos de controle por realimentação estado e saída para sistemas lineares sujeitos a restrições, com o objetivo de determinar uma lei PieceWise Affine e apresentar mais eficiência do ponto de vista computacional (Cao et al. 2013). Em um segundo segmento, um projeto de observador de estado com li-mitação no erro é também proposto a partir da aplicação da análise de agrupamento de dados, onde uma lei de observação PWA é calculada para limitar a dinâmica do erro de observação em um conjunto invariante condicionado.
1.1
Objetivos Gerais
Dentro do contexto apresentado, é objetivo deste trabalho, primeiramente propor mé-todos numéricos para reduzir a complexidade e o esforço computacional ocasionado pela solução via programação linear multiparamétrica em projetos de controle sob restrições. Para isso, uma lei de controle afim por partes (off-line) em função dos estados do sis-tema sob um conjunto menor de regiões poliédricas é proposta utilizando o algoritmo de análise de agrupamentos de dados. Em seguida, a análise de agrupamento de dados é utilizada para encontrar uma lei de controle afim por partes, em função do sinal de saída, em sistemas com múltiplas saídas, pois, como mencionado anteriormente, a técnica de programação multiparamétrica apresenta complexidade nos cálculos ao determinar uma solução para sistemas de múltiplas saídas e, em alguns casos pode tornar o projeto do controlador computacionalmente inviável. Por fim, utiliza-se a análise de agrupamento de dados em projetos de observadores para calcular uma lei de observação PWA capaz de limitar o erro de observação em um conjunto invariante condicionado.
1.2
Principais Contribuições
A principal contribuição desta tese é propor uma lei controle PieceWise Affine (PWA) associada à regiões poliédricas para reduzir a complexidade e o custo computacional dos projetos de controle off-line aplicados aos sistemas lineares sujeitos a restrições. A meto-dologia proposta é baseada no conceito de conjuntos invariantes controlados e na análise de agrupamento de dados. Para complementar as metodologia proposta um algoritmo
de inicialização é proposto com o objetivo de auxiliar os algoritmos de agrupamento de dados. Outra contribuição importante apresentada neste trabalho são os algoritmos desen-volvidos a partir da solução de vários problemas mp-LP que permitem calcular uma lei de observação PWA para projetos de observadores de estado com limitação no erro e a lei de controle PWA para o projeto de controle por realimentação de saída. Considerando que não existem algoritmos convencionais de baixa complexidade para calcular tais leis, em sistemas sob restrições com múltiplas saídas, outros algoritmos são propostos com base na análise de agrupamento de dados. Com o objetivo de reduzir significativamente a com-plexidade do cálculo da lei PWA, outros algoritmos também são propostos para calcular uma lei PWA sub-ótima nos projetos de controladores sob restrições e observadores de estado com limitação no erro. As abordagens propostas, quando comparadas com outras soluções já estabelecidas na literaturara, possui um número de menor de regiões polié-dricas associadas à lei PWA reduzindo, assim, o custo computacional dos controladores off-line.
1.3
Organização do Texto
Neste trabalho, além da introdução apresentada no Capítulo 1, no Capítulo 2 é re-alizada uma revisão sobre os conceitos importantes na área da engenharia de controle, conjuntos invariantes e controle sujeito a restrições. Estes conceitos foram utilizados como base para o desenvolvimento deste trabalho. Neste Capítulo primeiramente será abordada a teoria de conjuntos invariantes e sua aplicação em projetos de controle por realimentação de estado, assim como, as técnicas de programação linear e multiparamé-trica. No Capítulo 2 também será apresentado um estudo sobre a análise de agrupamentos dados, onde serão descritos os diferentes métodos de agrupamentos e os algoritmos mais conhecidos na literatura e, logo em seguida, será apresentada a metodologia proposta para o projeto de controle por realimentação de estado baseada na análise de agrupamentos de dados. No Capítulo 3 será abordado o projeto de observador de estado com limitação do erro, onde será definido o conceito de conjunto invariante condicionado e, como a análise de agrupamento de dados pode ser aplicada no projeto do observador. Ainda no Capítulo 4, será apresentado um projeto de controle por realimentação de saída baseado no con-ceito de conjuntos invariantes controlados. Neste mesmo capítulo será mostrado como a análise de agrupamento de dados pode ser usada para auxiliar os projetos de controle para sistemas com múltiplas saídas. Finalmente, no Capítulo 5, tem-se a conclusão do que foi realizado e as perspectivas da continuidade deste trabalho.
Controle de Sistemas Lineares Sujeitos
a Restrições
Neste capítulo são apresentados alguns conceitos fundamentais para o desenvolvi-mento deste trabalho. Inicialmente, serão relembradas algumas definições básicas associ-adas aos sistemas sujeitos a restrições. Em seguida, uma descrição sucinta sobre conjuntos invariantes controlados será apresentada, assim como, a sua aplicação em projeto de con-troladores. Na sequência, serão apresentadas duas técnicas de otimização, que podem ser utilizadas em projetos de controle regulatório por realimentação de estado para sistemas lineares sujeitos a restrições. Além disso, serão descritas as suas principais desvantagens e, como contorná-las a partir da aplicação da técnica de análise de agrupamento de dados. Por fim, os resultados obtidos serão apresentados por meio de três exemplos numéricos.
2.1
Sistemas Sujeitos a Restrições
As restrições normalmente surgem em problemas de controle de processo em decor-rência das limitações físicas dos equipamentos, tais como, bombas, válvulas de controle e trocadores de calor. Estas restrições também estão presentes nos limites de operação, co-locados para manter a segurança do processo. Em alguns casos as restrições são impostas nos processos com objetivo de limitar a emissão de poluentes ou por fatores econômicos que visam maximizar o lucro ou minimizar os custos (Roffel & Bettem 2007) (Kwong 2013).
Basicamente existem três tipos de restrições que atuam nos processos, que podem ser classificadas da seguinte forma:
• Restrições das Variáveis Manipuladas: Estas são restrições rígidas nas entradas, como por exemplo, restrições de saturação das válvulas.
• Restrições nas Taxas de Variação das Variáveis Manipuladas: Estas são res-trições rígidas nos movimentos das variáveis manipuladas, que influenciam direta-mente as taxas de variação destas variáveis.
• Restrições nas Variáveis de Saída: Estas são restrições rígidas impostas na saída do sistema, que podem ser caracterizadas da seguinte forma:
– Variáveis Controladas: Os limites para essas variáveis são especificados, mesmo que os desvios de seus setpoints sejam minimizados na função objetivo.
– Variáveis Associadas: Não existe setpoint para essas variáveis, mas elas de-vem ser mantidas dentro dos limites.
2.1.1
Sistemas Lineares Discretos em Equações de Estados
De acordo com Longhi (2001), a teoria de controle clássico se consolidou nas primei-ras décadas do século XX. As principais características dessa teoria é o uso de modelos matemáticos simples, que representam um sistema a ser controlado. Estes modelos ma-temáticos são normalmente representados por funções de transferência, que descrevem uma relação entre a entrada e a saída do sistema, sendo mais apropriados para sistemas lineares invariantes no tempo com uma única entrada e uma única saída (do inglês Single Input - Single Output (SISO)) (Nise 2002).
Apesar de todas as contribuições obtidas ao longo dos anos, a abordagem clássica apresenta problemas de inadequação ao lidar com sistemas não lineares e multivariá-veis. Contudo, em 1960 surgiu a teoria de controle moderno, com intuito de repre-sentar sistemas dinâmicos em modelos matemáticos com características mais comple-xas (Longhi 2001).
A teoria de controle moderno passou a ser estudada, devido à possibilidade de utili-zar computadores digitais para analisar sistemas mais complexos no domínio do tempo. Esta teoria é baseada na descrição de sistemas em equação de estados, que fornecem um modelo matemático amplo, podendo descrever não somente sistemas lineares, mas também sistemas não lineares, variantes no tempo, e com múltiplas entradas e múltiplas saídas (Lin 2007).
A representação de um sistema linear por variáveis de estado é caracterizada como interna, pois, além das variáveis de entrada e de saída, variáveis internas (estados) do sistema dinâmico também estão presentes no modelo.
Um sistema de tempo discreto linear e invariante no tempo em variáveis de estado pode ser representado conforme a equação (2.1):
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Ed(k)
y(k) = Cx(k) + η(k) (2.1) onde,
x(k) → vetor de estados Rn(dimensão n × 1);
u(k) → vetor de entradas de controle Rm(dimensão m × 1); d(k) → vetor de perturbação Rm(dimensão m × 1);
y(k) → vetor de saída Rp(dimensão p × 1).
η(k) → vetor de ruído de medição Rm(dimensão m × 1); A→ matriz de estados (n × n);
B→ matriz de entradas (n × m); C→ matriz de saída (p × m); E→ matriz de perturbação (n × m).
2.1.2
Conjuntos Positivamente Invariantes
Na engenharia de controle, os sistemas lineares sujeitos a restrições nas variáveis de estado, controle e incertezas nos parâmetros são muito comuns (Henrion et al. 2001). As restrições lineares podem ser definidas por um conjunto poliédrico convexo no espaço de estados, onde a trajetória do sistema controlado deve evoluir (Santos 1996). No en-tanto, devido à dinâmica do sistema, as restrições podem ser violadas, pois nem todas as trajetórias provenientes dos estados iniciais do poliedro permanecem no conjunto de res-trições (Marques 1994) (Blanchini 1999). Contudo, nos últimos anos, os projetos de siste-mas de controle apresentaram um grande avanço através da aplicação do conceito de con-juntos positivamente invariantes (Blanchini & Miani 2008) (Dórea 2009) (Aráujo 2011), que pode ser usado para garantir a estabilidade e a satisfação das restrições.
O conceito de conjuntos postivamente invariantes foi formado a partir da teoria de Lyapunov sobre a "energia de um sistema" (Blanchini 1999). Assim, um conjunto no espaço de estados é um conjunto positivamente invariante se, para qualquer condição
inicial contida no conjunto, a trajetória dos estados futuros permanecer no interior do mesmo em todo o tempo (Nogueira 2009).
Considere um sistema linear sem entrada, com um conjunto Ω de restrições impostas ao vetor de estados representado na forma da equação (2.2):
x(k + 1) = Ax(k) (2.2) Existem duas definições importantes dentro do conceito de conjuntos positivamente invariantes sobre os domínios particulares relativos ao sistema (2.2) que podem ser des-critas da seguinte forma:
Definição 2.1.1. Um conjunto Ω ⊂ Rn é um conjunto positivamente invariante com re-lação ao sistema descrito na equação (2.2) se, e somente se,∀x(0) ∈ Ω ⊆ Rn, x(k) ∈ Ω, para todo k≥ 0.
Definição 2.1.2. Um conjunto não vazio e fechado, contendo a origem Ω é um conjunto λ-contrativo para o sistema descrito na equação (2.2) com x∈ Ω, se para um dado escalar λ ∈ [0, 1], x(k + 1) ∈ λΩ ∀x ∈ Ω. Se o conjunto Ω é λ-contrativo, então ele também é positivamente invariante. Porém, a recíproca nem sempre é verdadeira.
2.1.3
Projeto de Controle Sob Restrições Utilizando Conjuntos
Inva-riantes Controlados
Nesta seção, será discutida, primeiramente, a importância de incluir nos projetos de controle a teoria de conjuntos invariantes controlados. Em seguida, serão apresentados definições e teoremas relacionados à invariância controlada de poliedros convexos. Em particular, será apresentada uma abordagem proposta por Dórea & Hennet (1999) que per-mite calcular um conjunto invariante controlado a partir do conjunto de restrições definido no espaço de estados.
Características do Conjunto Invariante Controlado
O conceito de conjunto invariante tornou-se importante nos projetos de controladores para sistemas dinâmicos sujeitos a restrições. A razão para utilizar este conceito está dire-tamente relacionada com a condição fundamental para manter a estabilidade do sistema e
garantir que as restrições não serão violadas, independentemente da técnica adotada para calcular o sinal de controle (Blanchini & Miani 2008).
Considere o sistema linear discreto invariante no tempo representado por:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (2.3) em que k ∈ N é o tempo de amostra, x ∈ Rné o estado do sistema e u(k) ∈ Rmé a entrada de controle.
Definição 2.1.3. (Blanchini 1994)(Dórea & Hennet 1999): Um conjunto não-vazio, fe-chado Ω ⊂ Rné invariante controlado com relação ao sistema apresentado na equação (2.3), se:
∃u(k) ∈ Rm: Ax(k) + Bu(k) ∈ Ω, ∀x ∈ Ω
De acordo com Dórea & Hennet (1999), a definição 2.1.3 mostra, que o conjunto de restrições é um conjunto invariante controlado se, ∀x(0) ∈ Ω, existe uma sequência de entradas de controle u(k) (k ∈ N), que mantém a trajetória do vetor de estados completa-mente no conjunto Ω.
Definição 2.1.4. (Dórea & Hennet 1999): O conjunto admissível a um passo para Ω é definido da seguinte maneira:
L(Ω) = {x ∈ Rn: ∃u ∈ Rm: Ax + Bu ∈ Ω}
onde, L(Ω) é o conjunto de todos os estados que podem ser transferidos a um passo para o conjunto Ω.
Teorema 2.1.1. (Blanchini 1994)(Dórea & Hennet 1999): O conjunto Ω ⊂ Rn é um conjunto invariante controlado com respeito ao sistema 2.3 , se e somente se, a seguinte condição geométrica for satisfeita:
Invariância Controlada de Poliedros Convexos para Sistemas Lineares
Recentemente, as técnicas de cálculos geométricos, associadas aos poliedros con-vexos, têm sido objeto de estudo nas diferentes áreas de pesquisa (Dórea & Hennet 1999), (Dórea & Pimenta 2005), (Alessio et al. 2009), (Aráujo et al. 2010) e (Aráujo 2011). Estes poliedros são frequentemente utilizados em problemas de programação ma-temática, geometria computacional, estatística, ciência dos materiais e engenharia de con-trole. Em sistemas de controle, as expressões naturais de restrições físicas nos estados e na variável de controle podem ser definidas por conjuntos poliédricos convexos.
Um conjunto poliédrico convexo, contendo a origem, pode ser representado da se-guinte maneira:
Ω = R[G, ρ] = {x : Gx ≤ ρ} =x : Gjx≤ ρj, j = 1, · · · , g , ρ ≥ 0
Para um dado tempo k, a admissibilidade do vetor de estados no momento k + 1, utilizando o sistema descrito da equação (2.3), é caracterizada pelo seguinte conjunto de restrições:
Gx(k) ≤ ρ ⇒ Gx(k + 1) ≤ ρ (2.4) Substituindo (2.3) em (2.4), temos um conjunto de restrições que define um poliedro convexo, que pode representar um conjunto admissível a um passo para Ω da seguinte forma:
GAx(k) + GBu(k) ≤ ρ (2.5) O conjunto de restrições (2.5) representa um poliedro convexo ∏ no espaço linear definido pelo vetor estendido
" x(k) u(k) #
. De acordo com Dórea & Hennet (1999), o maior conjunto de vetores de estado admissíveis a um passo, associado à (2.5), é a projeção do conjunto ∏ no espaço de estados. Esta projeção é realizada a partir da seguinte proposi-ção:
Proposição 2.1.1. O conjunto admissível a um passo L (R [G, ρ]) é o poliedro convexo R[T G, T ρ], onde T ∈ Rt×gé uma matriz cujos vetores linhas formam um conjunto mínimo de geradores do núcleo esquerdo não-negativo da matriz GB, definido por:
Γ =w ∈ ℜg: w ≥ 0, (GB)Tw= 0
Em outras palavras, T é uma matriz cujas linhas geram o cone poliédrico Γ. Esta matriz é utilizada para anular o termo GB quando multiplicada à esquerda de ambos os lados da equação (2.5) da seguinte forma:
T GAx(k) + T GBu(k) | {z }
0
≤ T ρ ∴ T GAx(k) ≤ T ρ ⇒ R [T GA, T ρ] Utilizando o Lema de Farkas (Schrijver 1996), temos que:
∃u : GBu ≤ ρ − GAx se e somente se T (ρ − GAx) ≥ 0
A partir do Teorema 2.1.1 e da Proposição 2.1.1, a invariância controlada de R [G, ρ] pode ser geometricamente caracterizada por:
R[G, ρ] ⊂ R [T GA, T ρ] (2.6) A caracterização geométrica em (2.6) pode ser traduzida em relações matriciais (ou caracterização algébrica) a partir do Lema de Farkas Estendido da seguinte maneira (Dórea & Hennet 1999):
Teorema 2.1.2. O poliedro convexo R [G, ρ] é invariante controlado se, e somente se, existir uma matriz não-negativa Y tal que:
Y G= T GA (2.7) Y ρ ≤ T ρ (2.8) De acordo com Dórea & Hennet (1999), uma das vantagens da caracterização algé-brica é que o Teorema 2.1.2 pode ser aplicado a qualquer poliedro convexo fechado. Além
disso, as condições (2.7) e (2.8) podem ser verificadas a partir da solução de um problema linear simples, ao contrário da abordagem proposta em Gutman & Cwikel (1986) e Blan-chini (1994), onde o teste da invariância controlada do conjunto é realizada a partir do cálculo dos vértices do poliedro, que é computacionalmente difícil para sistemas de or-dem elevada.
Invariância Controlada de Poliedros Convexos com Restrição no Sinal de Controle O Teorema 2.1.2 também pode ser estendido para o caso quando o vetor de controle u(k) está sujeito a restrições lineares da seguinte forma:
u(k) ∈ U = R [V, ϕ] = {u ∈ Rm: Vu ≤ ϕ} (2.9) Neste caso, o conjunto admissível a um passo deve considerar as restrições nos vetores de estados e controle:
GAx(k) + GBu(k) ≤ ρ (2.10) Vu(k) ≤ ϕ (2.11) Agora a matriz T é representada por [Tg Tu] cujas linhas formam um conjunto
mí-nimo de geradores do núcleo esquerdo não-negativo da matriz "
GB V
#
. A matriz [Tg Tu] é
utilizada para anular os termos GB e V quando multiplicada à esquerda de ambos os lados das equações (2.10) e (2.11):
TgGAx(k) + TgGBu(k) + TuVu(k)
| {z }
0
≤ Tgρ + Tuϕ
(2.12) O conjunto admissível a um passo é agora definido da seguinte forma:
TgGAx(k) ≤ Tgρ + Tuϕ ⇒ R [TgGA, Tgρ + Tuϕ]
Portanto, o poliedro convexo Ω = R [G, ρ] é invariante controlado, com respeito ao sistema (2.3) sujeito a restrições no controle u(k) ∈ U = R [V, ϕ] se, e somente se, existir
uma matriz não negativa Y tal que:
Y G= TgGA (2.13)
Y ρ ≤ Tgρ + Tuϕ (2.14)
Conjunto Invariante Controlado λ-Contrativo
A contratividade de um conjunto invariante controlado é representada por uma taxa de contração λ. Esta taxa determina a convergência da trajetória do sistema ao ponto de equilíbrio x∗(Kirk 2004).
Definição 2.1.5. Um conjunto fechado Ω ⊂ Rné dito invariante controlado λ-contrativo com0 < λ < 1, se:
∃u ∈ U ⊂ Rm: Ax + Bu ∈ λΩ, ∀x ∈ Ω (2.15) As condições de invariância controlada apresentadas anteriormente, para admissibili-dade a um passo, podem ser estendidas para a condição de um conjunto invariante con-trolado λ-contrativo da seguinte forma:
GA(k) + GBu(k) ≤ λρ em que resulta nos seguintes pontos:
1. Dada uma taxa de contração λ, o conjunto admissível a um passo do poliedro R[G, ρ] é o poliedro convexo R [TgGA, λTgρ + Tuϕ];
2. O poliedro convexo R [G, ρ] ⊂ Rné invariante controlado λ-contrativo com respeito ao sistema (2.3) sujeito a restrições no controle u(k) ∈ U = R [V, ϕ] se, e somente se, existir uma matriz não negativa Y tal que:
Y G= TgGA (2.16)
O Máximo (ou Supremo) Conjunto Invariante Controlado
As restrições lineares impostas aos sistemas dinâmicos discretos podem ser repre-sentadas por um conjunto poliédrico de restrições Ω definido no espaço de estados. No entanto, na maioria dos casos, este conjunto não é invariante controlado, ou seja, para x(0) ∈ Ω, não existe necessariamente uma entrada de controle u(k) (k ∈ N), que man-tém a trajetória do vetor de estados completamente no conjunto Ω (Kerrigan 2000). Em vista desse problema, os pesquisadores observaram que é possível restringir os es-tados do sistema em um conjunto invariante controlado contido no conjunto de restri-ções. Desde então, diferentes métodos numéricos vêm sendo desenvolvidos com o in-tuito de calcular o maior conjunto invariante controlado contido no conjunto de restrições Ω (Blanchini 1994).
Em Dórea & Hennet (1999) métodos numéricos foram propostos para calcular o má-ximo conjunto invariante controlado contido no conjunto de restrições, onde inicialmente é determinado um conjunto admissível para o qual as restrições são satisfeitas no instante x(k + 1). Em seguida, é verificada uma condição geométrica, descrita pelo lema esten-dido de Farkas, onde inicialmente é determinado um conjunto admissível para o qual as restrições são satisfeitas no instante x(k + 1). Logo em seguida, as relações de invariância controlada (2.20) e (2.21) são usadas e, a partir da interseção entre os dois conjuntos, um novo conjunto de restrições é obtido. Estes passos são realizados até a convergência para o máximo conjunto invariante controlado sem gerar inequações redundantes em cada iteração, que possui as seguintes propriedades:
Proposição 2.1.2. A família de todos os conjuntos invariantes controlados contidos em um conjunto convexo Ω é fechado em relação à operação envelope convexo da união. Esta proposição garante a existência de um elemento máximo que contém todos os ou-tros elementos na família de conjuntos invariantes controlados contidos no conjunto de restrições Ω.
C∞(Ω) , máximo conjunto invariante controlado contido em Ω
Definição 2.1.6. O conjunto máximo C∞(Ω) contido no conjunto de restrições Ω é o
conjunto de todos os estados para os quais existe uma sequência de controle capaz de mantê-los em Ω.
O máximo conjunto pode ser caracterizado pela seguinte fórmula (Blanchini 1994) (Dórea & Hennet 1999):
Ci+1
= L(Ci) ∩Ci, comC0= Ω (2.18) C∞(Ω) = lim
i→∞C
i (2.19)
O máximo conjunto invariante controlado pode ser adaptado para um conjunto com uma taxa de contração λ, representado da seguinte maneira:
C∞(Ω, λ) , máximo conjunto invariante controlado λ-contrativo contido em Ω
Introduzindo a taxa de contração no máximo conjunto invariante controlado, as equa-ções (2.18) e (2.19) passam a ser representadas por:
Ci+1= L(λCi) ∩Ci, comC0= Ω (2.20)
C∞(Ω, λ) = lim
i→∞C
i (2.21)
Em Scibilia et al. (2009) e Athanasopoulos & Bitsoris (2009) foram propostos ou-tros métodos para calcular o máximo conjunto invariante controlado para o controle pre-ditivo explícito e o controle por realimentação de estado para sistemas lineares incer-tos (Athanasopoulos & Bitsoris 2010). Já em Gondhalekar et al. (2009) foi observado que em alguns casos nem sempre é possível determinar o máximo conjunto invariante controlado, então foram propostos algoritmos para contornar este problema, onde o con-junto calculado é definido como uma generalização do concon-junto invariante controlado usual (Gondhalekar et al. 2009). Uma outra abordagem para calcular o máximo con-junto de invariante controlado foi proposta por Sheer & Gutman (2016) com o objetivo de reduzir a complexidade e o esforço computacional dos métodos comuns usando sis-temas não-iterativos para sissis-temas lineares. Além disso, o cálculo do máximo conjunto invariante controlado foi estendido a diferentes tipos de sistemas e aplicações, como por exemplo, os sistemas não-lineares usando métodos de álgebra intervalar (Li & Liu 2016). Invariância Controlada para Sistemas com Perturbação
Considere agora o sistema linear discreto invariante no tempo representado por: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Ed(k) (2.22)
onde, d(k) → vetor de perturbação Rm, restrito a um domínio limitado D ⊂ Rq.
Definição 2.1.7. Um conjunto não-vazio, fechado Ω ⊂ Rn é invariante controlado com relação ao sistema apresentado na equação (2.22), se∀x ∈ Ω:
∃u ∈ U ⊂ Rm: Ax(k) + Bu(k) + Ed(k) ∈ Ω, ∀d ∈ D O conjunto admissível a um passo é agora definido da seguinte forma:
L(Ω, D) = {x ∈ Rn: ∃u ∈ U ⊂ Rm: Ax + Bu + Ed ∈ Ω, ∀d ∈ D}
Portanto, o conjunto Ω é invariante controlado com respeito ao sistema (2.22) se, e somente se, Ω ⊂ L(Ω, D).
Considere agora o caso poliédrico:
R[D, ω] = {d ∈ Rq: Dd ≤ ω} Defina as componentes δjdo vetor δ da seguinte forma:
δi= max d
GjEd
Su jeito a: Dd ≤ ω (2.23) em que, vetor δ representa o maior efeito causado pelas perturbações presentes no sistema.
A admissibilidade do vetor de estados no instante k + 1 é agora caracterizada por: GAx(k) + GBu(k) + GEd(k)
| {z }
δ
≤ λρ ⇒ GAx(k) + GBu(k) ≤ ρ − δ
Proposição 2.1.3. No caso poliédrico, o conjunto admissível a um passo é dado por: L(Ω, D) = R [T GA, T (ρ − δ)]
onde os vetores linha da matriz T formam um conjunto mínimo de geradores do núcleo esquerdo não-negativo da matriz GB.
Definição 2.1.8. O poliedro convexo R[G, ρ] é D-invariante controlado com respeito ao sistema (2.22), com D= R [D, ω], se, e somente se, existir uma matriz Y não-negativa tal que:
Y G= T GA (2.24) Y ρ ≤ T (ρ − δ) (2.25) De acordo com Dórea & Hennet (1999), para o caso de um sistema linear com pertur-bações, a existência de um máximo conjunto D-invariante controlado contido num dado conjunto Ω é estabelecido como:
C∞(Ω, D) , máximo conjunto D-invariante controlado contido em Ω
O máximo conjunto é agora estabelecido da seguinte forma:
Ci+1= L(Ci, D) ∩Ci, comC0= Ω (2.26) C∞(Ω, D) = lim i→∞C i (2.27) Exemplo Numérico 2.1:
Considere o sistema linear sujeito a restrições descrito por Dórea & Hennet (1999) da seguinte forma: A= " 0, 4 0, 9 0, 6 1, 8 # ; B = " 0 1 #
A taxa de contratividade pré-estabelecida é λ = 0, 8 e as restrições nas variáveis de estado e controle são definidas pelos poliedros Ω = R[G, ρ] e U = R[V, ϕ]:
G= 0, 2 0, 2 −1 −1 −1 0, 35 0, 25 −0, 5 , ρ = 1 1 1 1 ,V = " 1 −1 # , ϕ = " 10 10 #
A figura 2.1 ilustra o conjunto poliédrico Ω = R[G, ρ], que representa um conjunto de restrições definido no espaço de estados. Neste exemplo, o conjunto de restrições não é invariante com respeito ao sistema descrito na equação (2.3). Contudo, com a aplicação do algoritmo proposto por Dórea & Hennet (1999), mencionado anteriormente, é possível encontrar o máximo conjunto invariante controlado Ωc= R[Gc, ρc] com taxa de contração
λ = 0, 8.
Figura 2.1: Conjunto Poliédrico Invariante ControladoC∞(Ω c, λ).
2.2
Controle Regulatório Por Realimentação de Estado
Esta seção tem como objetivo principal apresentar duas técnicas de otimização que po-dem ser utilizadas para calcular uma sequência de entradas de controle capaz de manter a trajetória do sistema, descrito na equação (2.3), sob o novo conjunto de restrições Ωc
res-peitando as restrições impostas ao sinal de controle. Primeiramente, será apresentado um problema de programação linear, que pode ser utilizado para calcular um sinal de controle on-line. Em seguida, a técnica de programação linear multiparamétrica será apresentada, assim como, a sua aplicação em projeto de controle off-line por realimentação de estado associado com conjuntos invariantes controlados e, controle preditivo baseado em mo-delo. Por fim, serão apresentadas as vantagens e desvantagens das técnicas de otimização em projetos de controle para sistemas lineares sob restrições.
2.2.1
Controle de Sistemas Sujeitos a Restrições Usando
Programa-ção Linear
A programação linear é uma técnica de otimização bastante utilizada nos projetos de controle para sistemas lineares sujeitos a restrições, pois determina soluções ótimas a cada instante de tempo (on-line) para o controle do sistema satisfazendo as restrições exigidas. Em Blanchini (1994), um problema de programação linear foi proposto com obje-tivo de calcular um sinal de controle u(k) on-line capaz de manter a trajetória do vetor de estados no interior do novo conjunto de restrições Ωc, convergindo assintoticamente
para origem (na ausência de perturbações) sem violar as restrições impostas ao sinal de controle U. Este problema possui a seguinte formulação matemática:
min
u(k),ε ε
Su jeito a: GcBu(k) − ρcε ≤ −GcAx(k) − δ
Vu(k) ≤ ϕ (2.28) em que 0 < ε ≤ λ é taxa de contração a ser minimizada a cada instante k, u(k) é o sinal de controle a ser calculado e x(k) é o estado atual do sistema (2.3). A expressão Gc(Ax(k) +
Bu(k)) ≤ ερc− δ representa um poliedro convexo no espaço Rn+m, e U = {u : Vu ≤ ϕ} é
um politopo convexo que representa as restrições na variável de controle.
O problema (2.28) pode ser solucionado on-line, ou seja, para cada instante de tempo k, o sinal de controle u(k) é calculado em função do estado atual x(k) ∈ Ωc de forma
a minimizar a taxa de contração ε. Esta minimização garante que no instante de tempo k+ 1, o estado pertencerá a um conjunto menor contido no conjunto de restrições x(k) ∈ εΩc ⊂ Ωc e a trajetória convergirá para o ponto de equilíbrio, satisfazendo as restrições
Exemplo Numérico 2.2:
Dado o conjunto invariante controlado Ωc, definido no exemplo numérico 2.1, a
so-lução do problema LP, descrito na equação (2.28), pode ser obtida a partir da função Linprogdo software Matlabr. Este método permite encontrar uma solução ótima de u(k) a cada iteração de forma a minimizar ε, satisfazendo as restrições. A partir desta solução a trajetória do vetor de estados pode ser controlada, como mostra a figura 2.2.
Figura 2.2: Trajetória do vetor de estados.
A figura 2.2 descreve a trajetória do vetor de estados, obtida através do valor de u(k), via programação linear, com condição inicial x(0) = [0, 3910; 3, 9744]T. A partir desta figura é possível observar que a trajetória do vetor de estados está convergindo para a origem e contida completamente no conjunto Ωc, confirmando, assim, que existe uma
sequência de controle que mantém a trajetória do vetor de estados contida completamente em Ωc, ou seja, o conjunto de restrições Ωc é positivamente invariante sob a solução
on-line.
Apesar das diversas contribuições da técnica de programação linear (LP) em sistemas de controle sob restrições, existem desvantagens significativas quando se trata do elevado tempo computacional exigido em sistemas mais complexos (caracterizados por apresen-tar perturbações ou um número maior de variáveis). Este elevado tempo computacional ocorre devido aos repetitivos cálculos para encontrar a solução ótima do problema sob res-trições, tornando, assim, a programação linear inadequada para o controle de processos, que necessitam de tomadas de decisões rápidas (Zeilinger et al. 2011).
2.2.2
Controle de Sistemas Sujeitos a Restrições Usando
Programa-ção Multiparamétrica
A programação multiparamétrica é uma ferramenta importante de otimização, que analisa sistematicamente o efeito de incertezas e variabilidade em problemas de progra-mação matemática (Filippi 2004). Esta ferramenta soluciona um problema matemático que depende de um vetor de parâmetros, que podem aparecer na função custo e nas res-trições (Borreli et al. 2003).
Em problemas de otimização, a técnica de programação multiparamétrica tem como objetivo minimizar ou maximizar um critério de desempenho sujeito a um determinado conjunto de restrições, onde alguns dos parâmetros variam entre os limites inferiores e superiores específicos (Sakizlis et al. 2007).
A principal característica da programação multiparamétrica para otimização é a sua capacidade de, sistematicamente, subdividir um espaço de parâmetros em regiões caracte-rísticas (RC), onde o valor ideal e o otimizador são expressos como funções explícitas dos parâmetros. Portanto, a tomada de decisão é realizada a partir de um mapeamento com-pleto de todos os possíveis resultados (Bemporad et al. 2002), como mostra a figura 2.3.
Figura 2.3: Regiões características (RC).
A Programação multiparamétrica pode ser aplicada em diversas áreas (Pistikopoulos 1997) tais como:
• Planejamento de processos sob incertezas; • Concepção de materiais sob incertezas;
• Otimização multi-objetivo; • Análise de flexibilidade;
• Cálculo de probabilidades normais multivariadas singulares; • Controle preditivo baseado em modelo;
• Controle explícito baseado em programação multiparamétrica. Solução do Problema de Programação Linear Multiparamétrica
O primeiro método desenvolvido para solucionar os problemas de programação mul-tiparamétrica linear foi formulado por Gal & Nedoma (1972), e somente depois de alguns anos os autores Fiacco (1976), McBride & Yorkmark (1980) e Geoffrion & Nauss (1977), apresentaram interesse na solução de problemas de programação multiparamétrica não-lineares, quadráticas e inteiras. No entanto, apesar dos maiores avanços nos problemas de programação multiparamétrica, existem ainda pesquisas direcionadas apenas para o de-senvolvimento de algoritmos de programação muiltiparamétrica linear, devido às diversas aplicações em sistemas dinâmicos lineares (Pistikopoulos et al. 2012a).
Algoritmo de Programação Linear Multiparamétrica
O algoritmo de programação linear multiparamétrica (do inglês multi-parametric li-near programming(mp-LP)) proposto por Borreli et al. (2003) é um algoritmo iterativo, que utiliza argumentos geométricos ao explorar diretamente o espaço de parâmetros ao invés de visitar diferentes bases do programa linear associado. Este algoritmo possui vantagens computacionais na sua implementação, pois apresenta simplicidade e a pos-sibilidade de procurar as soluções paramétricas dentro de um dada região poliédrica do espaço de parâmetros, sem solucionar o problema para todo x ∈ X (Neves et al. 2013). Este algoritmo resolve o seguinte problema matemático:
J(x) = min
v c
Tv+ dTx
Su jeito a: Av ≤ b + Ex (2.29) onde, x ∈ X ⊂ Rn, v ∈ Rp, A ∈ Rm×p, b ∈ Rm, E ∈ Rm×n, c ∈ Rpe d ∈ Rn.
Para obter uma melhor compreensão de como a solução do mp-LP é caracterizada, algumas definições devem ser abordadas (Bemporad & Filippi 2006):
Definição 2.2.1. O conjunto factível X ⊂ Rné um conjunto de parâmetros x∈ Rnpara o qual o problema de otimização (2.29) é factível. Em outras palavras:
X= {x ∈ Rn|Av ≤ b + Ex}
Definição 2.2.2. A partição poliédrica é uma coleção de conjuntos poliédricos {Ri}Ri=1=
R1, · · · , RNreg é a partição poliédrica de um conjunto poliédrico X se,
(
{ui}
Nreg
i=1Ri = X
(Ri/∂Ri) ∩ (Rq/∂Rq) = ∅, ∀i 6= q
onde, ∂ significa a fronteira.
Definição 2.2.3. A função afim por partes ou Piecewise-Affine Function (PWA) é uma função u: x → Rd com d∈ N+ é afim por partes se a partição {Ri}
Nreg
i=1 de um conjunto X
existir, como:
u(x) = Fix+ gise x∈ Ri
Programação Linear Multiparamétrica em Controle de Sistemas
O método de programação multiparamétrica surgiu nas últimas décadas como uma técnica importante para a solução de problemas de otimização. Este método é bastante reconhecido, e muitos avanços significativos foram estabelecidos, tanto na teoria, quanto na aplicação em problemas de engenharia, como por exemplo, projetos de controle para sistemas sob restrições (Pistikopoulos 2012b).
A programação multiparamétrica possui um reconhecimento generalizado na área de controle, pois permite substituir os métodos de otimização existentes por cálculos simples e eficientes (Pistikopoulos et al. 2012a).
Recentemente, métodos têm sido desenvolvidos usando a programação multiparamé-trica com o intuito de controlar sistemas lineares sujeitos a restrições nas variáveis de estado e controle (Johansen et al. 2006).
A programação multiparamétrica, quando aplicada ao projeto de controle por reali-mentação de estado, tem como objetivo principal determinar uma lei de controle explí-cita, ou seja, antes de o sistema estar em operação já serão conhecidos todos os valores de ações de controle, estabelecidas de forma off-line (Neves et al. 2013). Esta lei de controle pode ser obtida a partir da solução de um problema de otimização mp-LP.
De acordo com Bemporad et al. (2002), a solução do algoritmo mp-LP, em projetos de controle, assume a forma de uma lei de controle por realimentação de estado PWA explícita, que pode ser representa da seguinte forma:
u(x(k)) u1= F1x(k) + g1 Se x(k) ∈ R1 .. . ... ... ui= Fix(k) + gi Se x(k) ∈ Ri i= 1, · · · , Nreg (2.30)
em que, x é o estado do sistema, que atua como entrada para a função de controle. As ma-trizes Fi e os vetores gi definem uma realimentação fixa, e uma mudança constante para
uma dada lei de controle. O estado atual medido representa uma parte de uma região polié-drica Ri, a soma destes conjuntos formam uma partição de poliedros X = R1, R2, R3, ..., Ri
no espaço de estados. As região poliédricas Ripodem ser caracterizadas da seguinte forma
(Tokáscs & Rohal’-llkiv 2013):
Ri= {x ∈ Rn|ARix≤ bRi} (2.31)
A solução explicita PWA (2.30), pré-calculada off-line, pode ser representada por uma tabela de pesquisa da lei de controle PWA (do inglês lookup-table of PWA control law). Esta tabela é armazenada para ser utilizada em procedimentos on-line (Prajapati & Patel 2013). Neste procedimento os parâmetros Fie gisão selecionados de forma on-line
para um determinado valor conhecido de x(k) ∈ Ri, conforme o Algoritmo 2.1 (Kvasnica
Algoritmo 2.1 A solução mp-LP off-line no controle on-line
1: Observe o estado atual x(k) do sistema no instante k ;
2: Identifique a região Rique contém o estado x(k)
3: Calcule u(k) avaliando a lei de realimentação ui= Fix(k) + gi;
4: Aplique u(k) no sistema. =0 Exemplo Numérico 2.3:
O problema LP (2.28) do exemplo numérico 2.2 pode ser representado por problema mp-LP parametrizado em x(k) ∈ Ωc= {Gcx≤ ρc} usando manipulações algébricas
dire-tas, como segue:
min z Hz Su jeito a: Dz ≤ W + Ex (2.32) em que, H=h0 1 i , D = " GcB −ρc V 0 # , z = " u ε # ,W = " −δ ϕ # , E = " GcA 0 # .
A solução do problema mp-LP (2.32), no projeto de controladores sob restrições, resulta em uma lei de controle por realimentação de estado PWA associada a um conjunto de regiões poliédricas no espaço dos parâmetros x(k) da seguinte forma (Bemporad et al. 2002) (Borreli et al. 2003):
1. O conjunto Ωc (poliédrico invariante controlado) é particionado em diferentes
re-giões poliédricas, i. e.:
Ri= {x ∈ Rn|Pix≤ bi} i = 1, · · · , Nreg
2. A solução ótima u∗(x(k)) : Ωc→ Rmé uma função afim sobre Ri, i. e.:
u∗(x(k)) = Fix(k) + gi para x(k) ∈ Ri
3. A função custo ótima V : X → R é contínua, convexa e afim por partes, i. e.: V(x) = Bix+Cise x∈ Ri;
O problema de programação linear multiparamétrica (2.32) pode ser resolvido pela função mp-LP do pacote MPT para software Matlabrdesenvolvido no ETH-Zurich. Para o exemplo 2.3, a função mp-LP retornou como solução uma lei de controle por realimen-tação de estado PWA, como mostra a figura 2.4.
Figura 2.4: Regiões poliédricas e uma trajetória do vetor de estados (Solução off-line).
No exemplo numérico 2.3 a função mp-LP subdividiu o conjunto invariante contro-lado Ωc, em duas regiões poliédricas (R1, R2) e determinou suas respectivas leis de
con-trole explícitas em função dos estados do sistema, como mostra a Tabela 2.1: Tabela 2.1: Solução do problema de programação linear multiparamétrica.
Região Poliédrica Ri= Hix≤ zi u(x) = Fix(k) + gi
Se x(k) ∈ R1 [−0, 5714 − 1, 7357]x(k) + 0 Se x(k) ∈ R2 [−0, 6000 − 1, 8000]x(k) + 0
Na figura 2.4 também é apresentada a trajetória do vetor de estados do sistema conver-gindo para a origem, com a mesma condição inicial do exemplo numérico anterior. Esta trajetória foi obtida a partir da solução off-line, onde a cada instante de tempo k a região Ri, do estado atual x(k), foi localizada e a lei de controle explícita u(x) = Fix(k) + gi foi utilizada, como mostrado na Tabela 2.1.
A grande vantagem da técnica mp-LP para os projetos de controle por realimentação de estado, associado com conjuntos invariantes controlados, é que a lei de controle u(x(k)) pode ser obtida avaliando apenas função explícita PWA para um valor conhecido de x. Contudo, o número de regiões poliédricas pode aumentar exponencialmente, conforme o número de variáveis do sistema, exigindo um espaço de memória considerável para armazenar as regiões, assim como um algoritmo eficiente para verificar a região a qual o estado medido x(k) pertence.
Programação Multiparamétrica em Controle Preditivo
O controle preditivo baseado em modelo (Model Predictive Control - MPC) é uma técnica bem conhecida, amplamente usada nos processos industriais para a regulação au-tomática de plantas industriais sob restrições operacionais (Camacho & Bordons 2007). A tecnologia do controlador MPC foi originalmente desenvolvida para usinas e aplica-ções de controle em refinaria de petróleo, mas atualmente pode ser encontrada em uma grande variedade de ambientes de produção, incluindo produtos químicos, processamento de alimentos, automotivos e aeroespaciais (Kouvaritakis & Cannon 2001).
Tradicionalmente, na estratégia clássica do controlador MPC, as entradas futuras são obtidas a partir de um processo de otimização realizado a todo instante (on-line), que leva em consideração uma função custo e as restrições específicas do sistema (Pistikopoulos 2012b).
Apesar das vantagens do controlador MPC ao lidar com restrições, sua aplicação pode se tornar inviável em sistemas de grande dimensão e de dinâmica rápida, devido aos re-quisitos computacionais existentes na otimização on-line (Pistikopoulos et al. 2012a). Os métodos de otimização on-line, atualmente utilizados nos controladores MPC, realizam todos os cálculos a cada instante de tempo. Este procedimento, geralmente, para uma quantidade maior de entradas, saídas e restrições mais complexas, torna o uso do con-trolador MPC inviável para sistemas dinâmicos rápidos, como, por exemplo, sistemas embarcados encontrados na robótica e aeronáutica (Weinkeller et al. 2008).
Ao observar, os problemas provenientes do controle MPC com otimização on-line, surgiu, nos últimos anos um interesse em aplicar o método de programação multiparamé-trica ao controle preditivo baseado em modelo, tornando-o comumente conhecido como controle MPC explícito (Sakizlis et al. 2007). Este controle pode ser considerado um tipo de controle avançado, que realiza de maneira off-line um mapeamento exato das variáveis de controle ótimas em função das variáveis de estado do sistema (Kouramas et al. 2011).
