Background para primitivas (e ñ só..)
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Ano letivo: 2013/2014 -
2
oSem.
Turma: GA4
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Elaborado por ROSÁRIO LAUREANO
1
Background para o cálculo de primitivas (e não
só...)
1.1
Funções trigonométricas inversas
Sabemos que as funções trigonométricas seno, coseno e tangente são periódicas. Como tal, não são funções injectivas nos respectivos domínios
Dsin= Dcos = R e Dtan = R \ {π/2 + kπ}k∈Z.
No entanto, podemos considerar (novos) domínios destas funções, mais re-stritivos, de que resultam as chamadas restrições principais destas funções trigonométricas,
y = sin x apenas para x ∈−π2,π 2
⊂ R y = cos x apenas para x ∈ [0, π] ⊂ R e
y = tan x apenas para x ∈−π2,π 2
⊂ R \ {π/2 + kπ}k∈Z.
Estas restrições principais já garantem a injectividade (i.e, cada imagem é "exclusiva" de um objecto) e mantêm todos os valores dos respectivos contradomínios,
CDsin= CDcos= [−1, 1] e CDtan = R. Para estes novos domínios, existem então as funções inversas:
arco-seno (de y) x = arcsin y com y ∈ [−1, 1] , para x ∈−π2,π 2
arco-coseno (de y) x = arccos y com y ∈ [−1, 1] , para x ∈ [0, π] e
arco-tangente (de y) x = arctan y com y ∈ R, para x ∈−π2,π 2
. Temos Darcsin = Darccos = [−1, 1] e Darctan = R. Note que o con-tradomínio de cada uma destas funções é o domínio da função da qual é inversa, ou seja,
CDarcsin= R = Dsin, CDarccos = R = Dcos e
Exemplo 1 Sabendo que cos (π/3) = 1/2, podemos escrever que π
3 = arccos 1 2.
Portanto, arccos (1/2) designa o ângulo/arco (em radianos) cujo coseno é 1/2, ou seja, o ângulo π/3.
Exemplo 2 Sabendo que sin (π/3) =√3/2, podemos escrever que π
3 = arcsin √
3 2 ,
ou seja, arcsin√3/2 designa o ângulo/arco (em radianos) cujo seno é √
3/2 (o ângulo π/3).
Exemplo 3 Sabendo que tan (π/3) =√3, podemos escrever que π
3 = arctan √
3,
ou seja, arctan√3 designa o ângulo/arco (em radianos) cuja tangente √3 (o ângulo π/3).
1.2
Funções trigonométricas secante, cosecante e
cotangente
Quando consideramos uma função inversa estamos a inverter os papeis das variáveis x e y, não a inverter números. A inversão de números tem, na trigonometria, outras designações: secante, cosecante e cotangente. Temos então sec x = 1 cos x SECANTE , csc x = 1 sin x COSECANTE e cot x = 1 tan x = cos x sin x COTANGENTE .
Como funções, apenas estão definidas onde os respectivos denominadores não se anulam, ou seja,
Exemplo 4 A secante de π/3 é secπ 3 = 1 cos (π/3) = 1 1/2 = 2, por ser o número inverso de cos (π/3), que é 1/2. Exemplo 5 A cosecante de π/3 é cscπ 3 = 1 sin (π/3) = 1 √ 3/2 = 2 √ 3, por ser o número inverso de sin (π/3) que é√3/2. Exemplo 6 A cotangente de π/3 é cotπ 3 = 1 tan (π/3) = 1 √ 3, por ser o número inverso de tangente de π/3 que é√3.
Temos o seguinte quadro-resumo:
função trigonom. função trigonom. inversa número inverso
y = sin x x = arcsin y w = 1 sin x = csc x y = cos x x = arccos y w = 1 cos x = sec x y = tan x = sin x cos x x = arctan y w = 1 tan x= cot x
NOTA: Também se designa por arco-cotangente de y o valor do ân-gulo (medido em radianos) cuja cotangente é y. Esta função trigonométrica inversa tem por domínio
1.3
Algumas fórmulas trigonométricas
Consideremos a fórmula fundamental da trigonometria, sin2(x) + cos2(x) = 1 ,
donde se conclui facilmente que
sin2x = 1 − cos2x e cos2x = 1 − sin2x . Temos ainda
tan x = sin x
cos x e cot x = cos x sin x . Dividindo em sin2(x) + cos2(x) = 1 por cos2x = 0 obtemos
tan2(x) + 1 = 1
cos2x , ou ainda tan
2(x) + 1 = sec2x. Dividindo em sin2(x) + cos2(x) = 1 por sin2x = 0, obtemos
1 + cot2x = 1
sin2x , ou ainda 1 + cot
2x = csc2x.
Consideremos ainda a fórmula de duplicação de ângulo para o coseno
cos (2x) = cos2(x) − sin2(x) . Dado que cos2x = 1 − sin2x, obtemos
sin2x = 1 − cos(2x) 2 pois
cos (2x) = cos2(x) − sin2(x) =1 − sin2(x)− sin2(x) = 1 − 2 sin2x. Analogamente, dado que sin2x = 1 − cos2x, obtemos
cos2x = 1 + cos(2x)
2 ,
atendendo a que
cos (2x) = cos2(x) −1 − cos2x= cos2(x) − 1 + cos2x = 2 cos2(x) − 1. Finalmente, interessa considerar a fórmula de duplicação de ângulo para o seno,
1.4 Notas soltas
Não é válido (em geral):
nem (u · v)= u· v, nem u v = u v nem a b + c = a b + a c, nem 1 b + c = 1 b + 1 c nem a b − c = a b − a c, nem 1 b − c = 1 b − 1 c Não é válido (em geral):
nem (a + b)2= a2+ b2, nem (a − b)2 = a2− b2,
nem √a + b = √a +√b, nem a2+ b2= a + b
nem √a − b = √a −√b, nem a2− b2= a − b nem |a| = a, nem √a2= a, embora √a2= a
2
Sobre limites e continuidade
Proposição 7 Sejam f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R funções reais de variável real e a ∈ R um ponto de acumulação de Df e de Dg. Se existirem os limites limx→af (x) = L e limx→ag (x) = G então também existem nesse ponto a os limites seguintes:
limx→a(f ± g) (x) = L ± G , limx→a(f × g) (x) = F × G ,
limx→a(c × f) (x) = c × F e limx→a f g (x) = F G
sempre que limx→ag (x) = G = 0 e a função g é não-nula numa vizinhança de a, do quociente das funções.
Seja L um número real. São válidas as seguintes operações (no sentido de limite): (+∞) + (+∞) = +∞ , (+∞) + L = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞ , (−∞) + L = −∞ (±∞) · (±∞) = +∞ , (±∞) · (L positivo) = ±∞ (±∞) · (∓∞) = −∞ , (±∞) · (L negativo) = ∓∞ (±∞) L positivo = ±∞ , L positivo (±∞) = 0 ± , (±∞) 0± = +∞ , 0± (±∞) = 0 + (±∞) L negativo = ∓∞ , L negativo (±∞) = 0 ∓ , (±∞) 0∓ = −∞, 0∓ (±∞) = 0 − .
No enquanto, temos indeterminações.nas operações
(±∞) − (±∞) = ? , 0 · (±∞) = ? , 00 = ? e (±∞) (±∞) = ? .
Consideremos uma função f tal que f(x) > 0 para todo x ∈ Df. Temos lim x→a f (x)g(x)=lim x→af (x) limx→ag(x)
sempre que não ocorra uma das indeterminações 00 = ? , 1(±∞)= ? e (+∞)0 = ? .
No que segue exp denota a exponencial de Neper e ln o logarítmo respectivo. Dada a igualdade
qualquer uma destas três indeterminações pode escrita como indeterminação 0 · (±∞).
São válidos os seguintes limites de referência:
limx→0sin x x = 1 , limx→0 tan x x = 1, limx→0 ln (x + 1) x = 1 limx→+∞a x xp = +∞ para a > 1, p ∈ R limx→+∞ logax xp = 0 para a > 1, p ∈ R + e limx→0 exp x − 1 x = 1, limx→+∞ 1 +k x x = exp k
Definição 8 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e a ∈ R. A função f diz-se contínua no ponto a se e só se são verificadas as três condições seguintes: (i) existe a imagem f (a), ou seja, a ∈ Df; (ii) existe o limite limx→af (x); (iii) são iguais os elementos garantidos em (i) e (ii), ou seja,
lim
x→af (x) = f (a) .
A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio.
A continuidade de f no ponto a traduz-se intuitivamente por "os valores f (x) e f (a) serão arbitrariamente próximos (isto é, a distância |f(x) − f(a)| será tão pequena quanto se queira) sempre que considerarmos valores de x suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x − a| seja suficientemente pequeno)". Simbolicamente, podemos escrever
∀δ > 0, ∃ε > 0 |
tal que∀x ∈ Df ∧ 0 < |x − a| < ε =⇒ |f(x) − f(a)| < δ. em que ε depende do δ tomado, ou seja, ε = ε (δ).
3
Elementos do cálculo diferencial
3.1
Derivada num ponto e retas tangente e normal
Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real. Seja ainda a um ponto do seu domínio, a ∈ Df.
Definição 9 A derivada (de ordem 1 ou de 1a ordem) da função f no ponto a é f(a) = lim x→af (x) − f (a) x − a , ou ainda f (a) = lim h→0f (a + h) − f (a) h ,
sempre que este limite exista como número real.
Se a função f define a trajectória de uma partícula em movimento no decurso do tempo, a derivada f(a) é a velocidade instantânea da partícula no instante de tempo t = a.
O número real f(a) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto x = a. Logo a equação desta recta é
y − f(a) = f(a) (x − a) , pois passa no ponto (a, f(a)) (ponto de tangência).
A recta normal ao gráfico de f no ponto x = a tem por declive − 1
f(a)
por ser perpendicular (⊥) à recta tangente. Logo, a equação da recta normal que passa no ponto (a, f(a)) é
y − f(a) = −f1(a)(x − a) .
NOTA: Uma função é crescente nos pontos em que a derivada é positiva e decrescente nos pontos em que a derivada é negativa. Os valores de x nos quais a derivada é nula, designados por pontos críticos, são os "candidatos" a extremos (máximos ou mínimos) relativos da função.
de ordem 2 : f(x) = ff(x), também denotada por f(2)(x) de ordem 3 : f(x) = ff(x), também denotada por f(3)(x)
· · ·
de ordem n : f(n)(x) = ff(n−1)(x).
Também se pode escrever f(1)(x) em vez de f(x) e f(0)(x) em vez de f (x).
3.2
Derivação da função composta e da função
in-versa
São válidas as fórmulas de derivação que se seguem.
Fórmula de derivação da função composta (ou regra da cadeia): (f ◦ u)(x) = f(u(x)) · u(x) . (1) Fórmula de derivação da função inversa:
f−1(y) = 1
f(x) em que y = f(x). (2)
3.3
Regras de derivação
Sejam u = u(x) e v = v(x). Em consequência de (1), são válidas as regras de derivação que se seguem.
Regras operacionais de derivação:
(u ± v) = u± v (k · u) = k · u (para k ∈ R) (u · v) = u· v + u · v e u v = u · v − u · v v2 (up) = p · up−1· u (para p ∈ Q),
Regra de derivação da exponencial: para a > 0, a = 1, (au)
= u· au· ln a . Em particular (exp u) = u· exp u .
Regras de derivação das funções trigonométricas: (sin u) = u· cos u e (cos u)
= −u· sin u
(tan u) = u
cos2u = u· sec2u e (cot u)
= − u
sin2u = −u
· csc2u . De facto, aplicando a regra de derivação do quociente obtemos
(tan u) = sin u cos u = u
· cos u · cos u − sin u · (−u· sin u) cos2u = u ·cos2u + sin2u cos2u = u cos2u = u · sec2u e (cot u) = cos u sin u = −u
· sin u · sin u − cos u · u· cos u sin2u = −u ·sin2u + cos2u cos2u = − u sin2u = −u · csc2u. Quanto às derivadas das funções secante e cosecante, temos
(sec u) = u · sin u cos2u = u · tan u · sec u e (csc u)= −u · cos u sin2u = −u · cot u · csc u.
De facto, por aplicação da regra de derivação da potência, temos
(sec u) =
1 cos u
=(cos u)−1 = (−1) · (cos u)−2·−u· sin u
= u · sin u cos2u = u · sin u cos u· 1 cos u = u · tan u · sec u
e (csc u) = 1 sin u
=(sin u)−1= (−1) · (sin u)−2· u· cos u
= −u · cos u sin2u = −u
·cos usin u ·sin u1 = −u· cot u · csc u. Regras de derivação para as funções inversas: para a > 0, a = 1,
(logau) = u u · ln a (em particular, (ln u) = u u ) (arctan u) = u 1 + u2 e (arccot u) = − u 1 + u2 (arcsin u)= u √ 1 − u2 e (arccos u) = − u √ 1 − u2 , por aplicação de (1) e (2).
Por exemplo, temos x = arcsin y sempre que y = sin x. Por (2) obtemos (arcsin y) = 1
(sin x) = 1 cos x.
Pela fórmula fundamental da trigonometria, temos cos x = 1 − sin2x =
1 − y2, logo
(arcsin y)= 1 1 − y2. Por (1) concluímos então que
(arcsin u) = √ 1 1 − u2 · u
= √ u 1 − u2.
Analogamente, temos x = arctan y sempre que y = tan x. Por (2) obte-mos (arctan y) = 1 (tan x) = 1 1 cos2x
Como 1
cos2x = 1 + tan
2x = 1 + y2, temos
(arctan y) = 1 1 + y2. Por (1) concluímos então que
(arctan u) = 1 1 + u2 · u
= u 1 + u2.
3.4
Exercícios propostos
Escreva a expressão da primeira derivada de cada uma das seguintes funções: 1. f(x) = 4x3+ 3x + 1 x + 5 √ x 2. f(x) = 25 + expx2 3 x + x 3 3. f(x) = (2x − 3)4 − ln2x3+ cos x
4. f(x) = cos3x − 6 cosx3− tan(4x) + 5 sin (3x)
5. f(x) = 3x + x2 5 + 4 arcsin (2x) − cot x2 6. f(x) = sec (−3x) + csc (5x) − 4 arctanx3. 3.4.1 Soluções 1. f(x) = 12x2+ 3 − 1 x2 + 5 2√x 2. f(x) = 2 2x exp x2 3 x + x 3 +5 + exp x2 −x32 +1 3 3. f(x) = 8 (2x − 3)3 −3x− sin x
4. f(x) = −3 cos2(x) sin (x) + 18x2sinx3− 4 cos2(4x) + 15 cos (3x) 5. f(x) =3 + 2x 5 + 8 √ 1 − 4x2 + 2x sin2(x2) 6. f(x) = −3 sin (−3x) cos2(−3x) − 5 cos (5x) sin2(5x) − 12x2 1 + x6
