FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Notas de aula --- Parte II

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Escritas pelo Professor Wilson Canesin

1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis.

Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é

P = f( L, K)

O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis.

1.2 – Funções de duas variáveis

Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função.

Assim,

D é o domínio da função em R2 , f é a função

f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y).

Exemplos de valores de função de 2 variáveis:

Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 Ex.2- f(x,y) = (3x+y3₎1/2 _{f(1,2) = (3.1+2}3₎1/2 _{= 3,32}

Domínio das funções de duas variáveis

O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 _{, tal}

que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y).

Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = y−x

A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D ={ (x,y) ε R2 _{/ y - x ≥ 0 }.}

y

z

x

z

Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) =

y x

x −

2 2

, a função é finita quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que,

D ={ (x,y) ε R2 / y ≠ 2x }.

Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) =

y x x

−

3 2

, a função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que,

D ={ (x,y) ε R2 _{/ 3x - y > 0 }.}

1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis

Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x).

Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.

y

z

z

x

D D

A superfície é obtida para cada par x,y , fixando um valor de x e variando y, em seguida fixa um 2o valor de x e varia y , depois fixa um 3o _{x e} varia y ,etc., até variar x e y em todo o domínio.

Y

X Y 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 ... ... X

Exemplos de funções de 2 variáveis:

Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5

Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser

escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer :

a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 c) y =0 e z = 0 → x = 3

X

Y 5

Z

A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando por z=5

X

Y Z

(3,0,0)

(0,2,0) (0,0,6)

Portanto, o gráfico de f no plano é ⇒

Z

Y

X

A superfície é um parabolóide de revolução.

A superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem.

Z

Y

X

Ex. 4 - A função é

z = f(x,y) = 2 2

1−x − y

1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

) , ( ) , (

) , (

0

0 y

x y

x

L y

x f m i l

→

=

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),

dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas restrições.

Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y Ex.2 f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y

Ex.3 f(x,y) =

1

2 2

− +

y x

y x

é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x

Ex. 4 f(x,y) =

y x

y x

− +

é contínua se ∀ x ≠ y

X y

D

X y

D

Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0 ou y > x

Ex.6 f(x,y) = 2 2

1−x −y é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1

Ex.7 f(x,y) = y−1/x a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x

Que resulta no gráfico:

y > x

y

x

x y

D

O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio r ≤ 1

y

1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis

A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é

) , ( ) ,

(x x y f x y f

f = +∆ −

∆ incremento da função

x

y x f y x x f x f

∆ − ∆ + = ∆

∆ ( , ) ( , ) _{taxa de variação da função}

Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é

1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial

Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela

ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

f (x, y)

x f x

f

x

= ∂ ∂ = ∆

∆ _{Derivada parcial em x}

y0

y x0

x

z

β

α

Assim,

tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x

tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y l i m

∆x→0

0 → ∆y

m i l

) , (x y f y f x f

y

= ∂ ∂ = ∆ ∆

TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais)

Número Função f = f(x,y) Derivada fs = ∂f/∂s , s = x,y

1 f = k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.)

2 f = x ou f = y fs = 1 s = x ou y

3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y)

4 _{f =} n m

u _D

s

n m

s

n m

u u n

u m

u =

5 f = ln u _D

s ln u =

u us

6 f = lga u _D

s lga u =

a u

u_s

ln

7 f = au Ds a

u

= au lna us

8 f = eu Ds e

u

= eu us

9 f = u v fs = v us + u vs

10 f = u / v , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v2

11 f = senu fs = cosu .us

12 f = cosu fs = -senu .us

13 f = tanu fs = sec

2

u .us

14 f = secu fs = secu.tanu.us

15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us

1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais

A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante.

fx = ∂ f / ∂ x → y=constante

fy = ∂ f / ∂ y → x=constante

Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2

fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2 fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y

Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2

fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y

Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 )

f = u / v , u =x e v = x2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v 2

fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2

fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2

Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da

superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.

3 3

2

8 ) ( )

4

( x y xy y

x y

x x x

z _{= −}

∂ ∂ − ∂

∂ = ∂ ∂

mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se tanα = (3,2)

x f

∂ ∂

= 40 ⇒ α = tan-1(40) = 88,57°

Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície

x f

∂ ∂

= 3x2 + 2y tanα = (1,1)

x f

∂

∂ _{= 5 ⇒ α = tan}-1_{(5) = 78,69°}

Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx

x f

∂ ∂ ₌

x v u

∂

∂( . ) ₌

x v u v x u

∂ ∂ + ∂ ∂

.

. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx

y f

∂ ∂

=

y v u

∂

∂( . ) ₌

y v u v y u

∂ ∂ + ∂ ∂

.

. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx

1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis

A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é :

dy y f dx x f z d

∂ ∂ + ∂

∂

=

Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1

x f

∂

∂ _{= 9x}2_y2 _{– 2y}3 _{+y e}

y f

∂

∂ _{= 6x}3_{y – 6xy}2 _{+ x}

assim, a diferencial da função é

df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy

A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n

variáveis é:

dF = 1

1

dx x F

∂

∂ ₊

2 2

dx x

F

∂

∂ _+...+

n n

dx x

F

∂

∂ ₌

_∑

= ∂

∂

n i

i i

dx x F

1

Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy

dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz

1.8 – Derivada de funções compostas

Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é

t d y d y f t d x d x f t d f d ∂ ∂ + ∂ ∂ =

Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 ,

onde x(t) = et e y(t) = t3 .

a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5 E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2

b) Calcula-se pelas derivadas parciais

x f

∂ ∂

= 2x ;

y f

∂ ∂

= 3 ; =

t d

x

d _et _{; =}

t d

y

d _3t2

Assim

t d

F

d _{= 2x.e}t _{+ 3.3t}2 _{= 2 e}t _{+ 9t}2

Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),

x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é

dada pela regra da cadeia

t d x d x f dt

df n _i

i

∑

Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2

fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t

t e t t d f d _t 4 . 3 cos .

2 + −

Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt

1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z _{, com x=t}2 _{; y= t}3 _{e z = t-1}

3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3

1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis

Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.

A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a x é

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂

dx dy y f dx dx x

f _→

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂

dx dy y f x f

ou,

Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a

fórmula acima,

2

15 4

y x

y f x f

dx

dy ₌₋

∂ ∂ ∂ ∂ − =

Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0

x y

y

y f x f

dx dy

6 8

6 − = ∂ ∂ ∂ ∂ − =

Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, e após algumas considerações teremos

y x f f

y f x f

dx dy

Ex.3 - Achar as derivadas ∂z ∂x e ∂z ∂y, da função x2+y3- z=0. Solução; z f x f x z ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂

= x 2x

1 2 ₌ − − z f y f y z ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ = 2 2 3 1 3 y x ₌ − −

Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar ∂z ∂x e y

z ∂

∂ , nas expressões abaixo 1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0

2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0

1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem

Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas

mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por

2 2 x f f_xx ∂ ∂ = , y x f f_xy ∂ ∂ ∂

= 2 ,

x y f f_yx ∂ ∂ ∂

= 2 ,

x y f f_yy ∂ ∂ ∂ = 2

Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx .

Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy

fx =∂f /∂x = 8x – 6y e fy = ∂f /∂y = 6y – 6x

z x f f z f x f x

z ₌₋

∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ e z y f f z f y f y

z ₌₋

2 2 x f f_xx ∂ ∂

= = 8 ; ;

x y f f_yx ∂ ∂ ∂

= 2 = -6

y x f f_xy ∂ ∂ ∂

= 2 = -6 ;

x y f fyy ∂ ∂ ∂

= 2 = -6

EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y

fx =∂f /∂x = 2e2x+5y fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y

2 2 x f f_xx ∂ ∂

= = 4e2x+5y ;

x y f f_yx ∂ ∂ ∂

= 2 = 10e2x+5y

y x f f_xy ∂ ∂ ∂

= 2 = 10e2x+5y ;

x y f f_yy ∂ ∂ ∂

= 2 = 25e2x+5y

EX.3 -Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)

fx =∂f /∂x = 2 2

2

y x

x

+ ; fy = ∂f /∂y = V U y x y ₌ + 2 2 2 2 2 x f f_xx ∂ ∂

= = . ₂ .

V V U U

V x− x =

2 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 y x x y + − _; x y f f_yx ∂ ∂ ∂

= 2 = _{2 2 2}

) ( 4 y x xy + − y x f f_xy ∂ ∂ ∂

= 2 = . ₂ .

V V U U

V _y − _y

= _{2 2 2}

) ( 4 y x xy + − ; x y f fyy ∂ ∂ ∂

= 2 = ₂2 ₂2₂

1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis

As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis e são representadas da mesma forma.

Exemplos:

1) f(x,y,z) = x2 _{+ y}3 _+z2_x

fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx

2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 )

fx = _{2 2}

3 2

2

t z y

x+ − + ; fy = 2 2

3 2

3

t z y

x+ − +

fz = 2 2

3 2

2

t z y x

z

+ − +

−

; ft = 2 2

3 2

2

t z y x

t

+ −

+

Exercícios propostos - Derivar as funções: 1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z

2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz 3) f(x,y,z) =

z x

y x

− +

4) f(x,y,z) =

xyz

7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)

1.12 – Derivadas de Ordem Superior

Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas. fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.

Ex.1 – f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3

fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0

fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2

Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função :

f(x,y,z) = ln(xy2_z3_{) .Lembrando que D}

s lnu = us /u e Dsun =unn-1us

fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = ( −1) ∂

∂

x

x = -1.x

-2 _{= -1/x}2

fxy = 0 ; fxz = 0

fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = _∂∂ (2y−1)

y = -2y

-2 _{= -2 / y}2

fyz = (2 −1) ∂

∂

y

z = 0

fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2

EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas)

1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y

fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3

f yx=2 ; fyy=0 ; fyz=4

fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0

2) f(x,y,z) =

z y

y x

− +

; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2

fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;

fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3

3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2

;fxx= 6(x+2y+3z); fxy= 12(x+2y+3z); fxz= 18(x+2y+3z)fyx= 12(x+2y+3z)

;fyy=24(x+2y+3z); fyz= 36(x+2y+3z); fzx= 6(x+2y+3z); fzy= 12(x+2y+3z)

; fzz= 18(x+2y+3z).

4) f(x,y,z)=

xyz

fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;

fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;

fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;

fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 .

5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)

fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;

fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;

fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2;

fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2

6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;

fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);

fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)

fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2)

fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)

fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;

fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2)

7) f(x,y,z) =

e

3 2 2 _{y z}

x

e

3 2 2 _{y z}

x

e

3 2 2 _{y z}

x

e

fxx=2

3 2 2 _{y z}

x

e

e

3 2 2 _{y z}

x

e

3 2 2 _{y z}

x

e

fyx=fxy ; fyy=2

3 2 2 _{y z}

x

e

e

3 2 2 _{y z}

x

e

fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z

3 2 2 _{y z}

x

1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis

Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir.

H(x0,y0 ) =

) , (x₀ y₀ yy yx

xy xx

f f

f f

Assim ,

Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e

a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo.

b) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo.

c) H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela.

d) H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo.

P

Q

S

L T

Os pontos P e Q são pontos de máximo, porque qualquer deslocamento em sua vizinhança, irá descer.

O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce.

Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm

de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima.

A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois triângulos.

A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a) f(x, θ) = x2 _{cosθsenθ + 12xsenθ -2x}2_senθ

Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0

2xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0

= x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ

substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a _{equação e}

resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2 cosθ = ½ → θ = 60o

O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas, também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.

sen2θ = 2senθcosθ =2 cos2θ - 1

cos2θ =cos2θ - sen2θ = 2cos2θ -1

x x

x senθ y cosθ

12-2x

X Y, ,Z

Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 )

0 ₅

10 ₁₅

20

0 5 10 15 20 0

5 10 15 20

XYZ

0 1 2

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

4 6 3.336

4 12 6.58

4 18 9.647

4 24 12.453

4 30 14.928

4 36 17.013

4 42 18.662

4 48 19.846

4 54 20.553

4 60 20.785

4 66 20.562

4 72 19.919

4 78 18.904

4 84 17.576

4 90 16

=

Ex.2 – Achar os extremos da função

f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5]. Calculando as primeiras derivadas , tem-se:

fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0

fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0

Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 0 , que resulta x = 10 e y =10 .

Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as segundas derivadas.

fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045

fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045

Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.

máximo

Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é confirmado pelo gráfico tridimensional da função.

M

Gráfico 3D da função seno

0 5 _{10 15}

0 5 10 15 0.5

0 0.5

Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do

exemplo 2, para uma exponencial. f(x,y) = 0,0225( ) 0,45( ) 4,5

2

2_{+ + + +}

− x y x y

e

fx = [-0,045 x + 0,45] . 0,0225( ) 0,45( ) 4,5

2

2_{+ − + +}

y x y

x

e

fy = [-0,045 y + 0,45] . 0,0225( ) 0,45( ) 4,5

2

2_{+ − + +}

y x y

x

e

fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)

fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y)

No ponto x=y=10, tem-se: fxx + fyy < 0

que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser verificado no gráfico da função.

M

Gráfico 3D da função exponencial 0

10 20

0

10

20 0.2

0.4 0.6 0.8 1

Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é

dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região.

fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y

Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando

x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 .

H(x0,y0 ) =

) , (x0 y0

yy yx

xy xx

f f

f f

=

) 0 , 4 / 3 (

80 0

0 32

−

> 0

H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo.

X Y, ,Z

Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0)

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

0 100

XYZ

0 1 2

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

-1 1.2 49.6

-1 1.6 94.4

-1 2 152

-0.8 -2 151.04

-0.8 -1.6 93.44

-0.8 -1.2 48.64

-0.8 -0.8 16.64

-0.8 -0.4 -2.56

-0.8 0 -8.96

-0.8 0.4 -2.56

-0.8 0.8 16.64

-0.8 1.2 48.64

-0.8 1.6 93.44

-0.8 2 151.04

-0.6 -2 151.36

=

Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x .

Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema: fx = 2x –2 = 0 , ou x=1

fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0)

Por outro lado,

fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2

H(1,0) =

yy yx

xy xx

f f

f f

=

2 0

0 2

= 4 >0

fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y).

1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis

Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto

P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando

f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho

de P0(x10,x20,...xn0).

mínimo

Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local

de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)

vizinho de P0(x10,x20,...xn0).

O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações:

fx1 =0 , fx2=0 , ..., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto)

O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou

de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por:

H(P0) =

) ( .... ) ( ) ( .... .... .... .... ) ( .... ) ( ) ( ) ( .... ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 P f P f P f P f P f P f P f P f P f n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Além disso é necessário calcular os n determinantes

∆0 =1

∆1 = ( ₀) 1

1 P

f_xx

∆2 =

) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 2 2 1 2 2 1 1 1 P f P f P f P f x x x x x x x x

∆3 =

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 P f P f P f P f P f P f P f P f P f x x x x x x xx x x x x x x x x x x x ...

∆n =

Então, se:

a) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de

mínimo de f .

b) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é

um ponto de máximo de f.

Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e

verificar se são de máximos ou de mínimos.

H(0,0,0) =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

= 8

∆0=1 ; ∆1= 2= 2 ; ∆2 =

2 0

0 2

= 4 ; ∆3 =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

=8

todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f.

Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 .

Os pontos críticos da função são: fx = 2x = 0 →x =0

fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico

fz = 2z =0 → z =0

fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0

fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0

fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2

fx = -2x = 0 →x =0

fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico

fz = -2z=2 =0 → z =1

fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0

H(0,2,1) =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

− − −

= - 8

∆0=1 ; ∆1= −2 = -2 ; ∆2 =

2 0

0 2

− −

= 4 ; ∆3 =

2 0 0

0 2 0

0 0 2

− − −

=-8

Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto

de máximo da função f.

Ex.3 – Estudar os extremos da função:

f(x,y) = x3 _{/ 3 + 2y}3 _{/ 3 – 3x}2_{+ 10y}2 _{+ 8x + 42y + 2}

O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) =

20 4 0

0 6 2

− −

y x

H(4,7) =

8 0

0 2

>0 e ∆0=1 ; ∆1=2 = 2 ; ∆2 =

8 0

0 2

= 4 ;

O ponto é de mínimo. H(4,3) =

8 0

0 2

− <0 (sela)

H(2,7) =

8 0

0 2 −

< 0 (sela) H(2,3) =

8 0

0 2

− −

>0 e ∆0=1 ; ∆1=− 2 = -2 ; ∆2 =

8 0

0 2

− −

= 16 fxx =2x-6 , fxy =0 ,

fyx = 0 , fyy = 4y - 20 .

→ existem pontos que podem ser críticos, ou seja P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3)

fx = x2 – 6x +8 = 0 → x1=4 e x2 =2

O ponto é de máximo.

Exercícios propostos:

1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1 Resp. P1(0,0) é mínimo e P4(4,6) é máximo e

P2(0,6) e P3(4,0) são selas.

2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2) Resp. P1(π/2,0) é máximo.

3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1 Resp. P1(5,-3) é mínimo.

1.15 – Operadores especiais da física 1.15.1 - Gradiente

Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão:

grad f = ∇f =

i

x

f

_ˆ

∂

∂

+ j

y

f _ˆ

∂ ∂

+ k

z

f _ˆ

∂ ∂

O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários.

1.15.2 - Divergência

Denomina-se divergência de um vetor Vr =V_xiˆ+V_y ˆj+V_z kˆ , e

representa-se por div V ou ∇. V , a expressão

div V = ∇. V =

x V_x ∂ ∂ + y V_y ∂ ∂ + z V_z ∂ ∂

Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela

velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de

volume num ponto do fluido.

1.15.3 - Rotacional

O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é

definido por

rot V = ∇×V =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z y

x V V

V z y x k j

iˆ ˆ ˆ

= i

z V

y

Vz y _ˆ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ₊ j x V z

Vx z _ˆ

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ₊ k y V x

Vy _{x ˆ}

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂

O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação (Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma

1.16 – Integrais múltiplas

As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de integração simples:

∫

1

1

+ +

n un

+ C , onde u =f(x) e

n≠ 1

=

∫

∫

du = eu + C

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

u du = [2u - sen2u] / 4 + C

∫

u du = [2u + sen2u] / 4 + C

A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a área de uma figura plana.

x

y

dx dy

x1 x2

f(x)

dA

A área infinitesimal dA = dx. dy é obtida integrando de x1 até x2

[ ]

∫

∫ ∫

=

2

1 2

1

) ( 0 )

(

0 .

x

x x f x

x x f

dx y dy dx

A

=

_∫

) (

x

x f x dx

Ex.1 Achar a área sob a função y= -2x2 _{+ 18 , de x=0 até x=3.}

A =

_{∫ ∫}

) (

0 .

x x

x f

dy

dx =

∫

1 ) (

x

x f x dx =

∫

3

0 2

) 18 2

( x dx =

[

]

3

18 3 2

x

x ₊

−

A = - 18 + 54 = 46 (unid2₎

Outros exemplos de integrais são:

Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida)

_{∫ ∫}

2 x

x

xydxdy

Solução:

∫ ∫

2

x

x

xydxdy _{= x} y _dx

x

x

∫

⎦ ⎤ ⎢ ⎣

⎡ 2

2 .

2

=

∫

x

x

x

⎥

dx

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

2

2

.

2 4

= x −x +c

8 12

4 6

Ex.3 Calcular a integral múltipla mista

_∫∫

o

dxdy y

x )

sen(

∫ ∫

x

o

dxdy y

x )

sen( =

∫

[

]

∫

=− sen(2x)+senx+c

2 1

As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de volume de sólidos, conforme mostra a figura

dx dy

dz

x

y

z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo:

=

∫∫∫

dxdydz V

0 0 0

1.16.1- Volume de sólidos de revolução

Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em torno de uma reta fixa.

Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se:

Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2].

V = π

1 2 7 x dx x dx ] x [ dx )] x ( f [

7 2

1 6 2

1 2 3 2

1

2 _π

∫ =

π

∫ =

π =

∫ = π

7

127 _(unid)3

Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = 2 2

x

a − em [-a, a]

a b x y = f(x)

r = f(x)

dV = πr2 dx

dV = π[f(x)]2 dx

∫

= b

a

dx x f

V π [ ( )]2

y

Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volume

1 2 x y = x3

(1,1)

(2,8)

R y

(1,1)

(2,8)

V = π

a a 3 x x a dx ] x a [ dx ] x a [ dx )] x ( f [ 3 2 2 1 2 2 a a 2 2 2 a a 2 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − π ∫ − = π ∫ − = π = ∫ − −

= π

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 a a 3 a a 3 3 3

3 _{= π}

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + − 3 a a 3 a a 3 3 3

3 ₌ π

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − 3 a 2 a 2 3 3

= 2πa3

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − 3 1

1 =

3

4_πa3 _{que é o volume da esfera gerada.}

Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo de y, no intervalo [0,4].

V = π

0 4 2 y ydy dy ] y [ dy )] y ( g [ dy r 4 0 2 4 0 2 b a 2 b a

2 _{=π∫ =π∫ =π∫ =} π

∫ = 8π = 25,13 unid3.

Sólido (esfera) gerado pela rotação do semi-círculo

-a a x y

y = a2 −x2 = r

Semi-círculo em rotação

y 4

0 x

y = x2

Seção plana parábola girando em y

x = y

x y

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3 Resp. gradΦ = (2x+2y)i +2xj + 3z2k

2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule a

sua divergência.

Resp. div V = 6x2 + 3xz2

3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k

Resp. rot V = 5z2i + 2y k

4) Calcular a integral

_∫∫

dxdy y x

0

)

( Resp. x3 / 2 = C

5)

_∫∫

0 0

Resp. a2b2 / 4

6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana, transformando integral dupla em integral simples. As expressões em integral dupla são: xc = (1/A)

∫ ∫

2

1

) (

) ( x

x x f

x g

dxdy

x e yc = (1/A)

∫ ∫

1

) (

) ( x

x x f

x g

dxdy y

Resp. xc =(1/A).

∫

1

. )] ( ) ( [

x

x

dx x x g x

f e yc =(1/2A).

∫

2

1

)] ( ) (

[ 2 2

x

x

dx x g x f

7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de 0,5 até 3

Resp . V = π

_∫

_∫

3

5 , 0

2 3

5 , 0

2

] 1 [ )]

(

[ dx

x dx

x