Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em módulo de x-a tende a zero. (a

Limites

Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em módulo de x-a tende a zero. (x≠a). Escreve-se: x→a ( x tende a a).

Exemplo : Se , N 1,2,3,4,... N

1

x= = quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.

Definição: f(x)

lim

a x→

é igual a L se e somente se, dado x→a e ε 〉 0, existe δ 〉 0 tal que se

ε a x

0 〈 〈 então f (x)-L 〈 δ.

Propriedades:

constante) C

( C C 1.

_lim

a

x→ = =

[

f(x) g(x)

]

f (x) g(x)

2.

_lim

_lim

_lim

a x a

x a

x→ ± = → ± →

[

f(x) .g(x)

]

f (x). g(x)

.

3

_lim

_lim

_lim

a x a

x a

x→ = → →

[

]

n

a x n a

x f(x) f (x)

4.

_lim

_lim

  

 =

→ →

(x) g

(x) f (x) g

(x) f 5.

lim

lim

lim

a x

a x a

x

→ →

→  =

 

 

n a x n

a

x f(x) f(x)

.

6

_lim

_lim

→

Constante C , lim C C .

7 f(x) f(x) a

x

a x

lim

= → =

→ (x) f log (x) f log .

8

_lim

_lim

a x b b

a

x→ = →

polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P . 9

_lim

a

x→ =

L (x) h então , (x) g L (x) f e a x , (x) g (x) h (x) f Quando .

10

_lim

_lim

_lim

a x a

x a

x = = =

→ ∀ ≤ ≤ → → → Exemplos:

1)

_lim

(

3x 4

)

3.2 4 10

2

x→ + = + =

2) indeterminado

0 0 2 2 4 2 2 4

x2 2

2 x

lim

= − − = − − → x

(

)(

)

₍

_{x 2}

₎

₄

2 x 2 x 2 x 2 4 x

lim

lim

lim

2 x 2 x 2 2

x − = + =

− + = − − → → → x

3)

(

)

indeterminado

0 0 0 2 2 0 2 2 0 x 2 2 x

lim

0 x = − = − + = + →

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

4

Exercícios :

1) Calcular os limites:

a) 3 4 x2 1 x

lim

₊+

→ x

b) ₃

2

2

x 1 x

x 2x -8

lim

₋ +

→ c) 2 8 x3 2 x

lim

₋−

→ x

d)

(

)

x x -4 -2

lim

0 x→ e) 2 y 8 y3 2 x

lim

₊+

− → f) 2 -2x 2 3 2 1 x

lim

− +

→ x x g) 6 -x -2x 10 3 2 2 2 x

lim

+ −

→ x x h) 5 -x 2 3

lim

5 x − − → x i) 3 x -2 2 3 1 x

lim

−₊

− → x x j) x -4 7 3 2 x

lim

−x −x

→ l) 3 -x 27 3 3 x

lim

− → x

m)

(

3x2 7 2

)

3 x

lim

− +

→ x

n)

[

(

) (

3

)

1

]

1

x x 4 . 2

lim

−

−

→ + x+

o) 2 t 6 5t t2 2 x

lim

+₊ +

→ p) 2 t 6 5t t2 2 x

lim

−₋ +

3

x 3

1

-1 y Limites Laterais

Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores menores que a, f (x) tende ao número L . Este fato é indicado por: 1

1 a

x

L (x) f

lim

_- =

→

Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores que a, f (x) tende ao número L . Este fato é indicado por: 2

2 a

x

L (x) f

lim

=

+

→

Os números L e 1 L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de 2

f em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .

Exercícios :

1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a)

_lim

(x)

-3 x

f

→ b)

lim

x 3 (x)

f

+

→ c)

lim

x 3 (x)

f

→ d)

lim

x (x)

f

∞

→ e) x

lim

(x)

f

−∞

→ f)

lim

x4 (x)

f

1

x y

0,5

2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a)

_lim

(x)

1 x

f

+

→ b)

lim

x 1 (x)

f

−

→ c)

lim

x 1 (x)

f

→ d)

lim

x (x)

f

∞

→ e) x

lim

(x)

f

−∞

→ .

3) Dada a função f(x)=1+ x−3, determinar, se possível,

lim

(x)

-3 x

f

→ e

(x)

lim

3 x

f

+

→ .

4) Seja f(x) =     

〉 =

〈 +

2 x para x -9

2 x para 2

2 x para 1

2 2

x

. Determinar:

_lim

(x)

-2 x

f

→

,

_lim

(x)

2 x

f

+

→

,

_lim

(x)

2 x→ f .

5) Seja f(x) =     

〉 ≤ −

3 x para 7 -3x

3 x para 1 x

.. Determinar

_lim

(x)

-3 x

f

→ ,

lim

x 3 (x)

f

+

→ ,

lim

x 3 (x)

f

→ ,

(x)

Limites Infinitos

Ao investigarmos

_lim

f (x) ou

_lim

f (x)

a x a

x_→ - _→ + pode ocorrer que , ao tender x para

a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites. Por exemplo:

2 1 (x) f

− =

x .

Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:

x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001

f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000

Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000

Assim :

2 -x

1

e

2 -x

1

lim

lim

2 x 2

x_→ + =∞ _→ − =−∞ .

São consideradas indeterminações: 0.( ) ( ) ( ) 0

0

±∞ ± ±∞ ∞

± ∞ ± ±∞

Exemplos:

1) indeterminado 1

x x2

x

lim

∞

∞ = +

+∞ →

= =∞

+ =

+ =

+ →+∞ →+∞

+∞

→ 0

1

x 1 x 1

1 x

1 xx

x 1 x

x

2 x

2 2 2

x 2

2) indeterminado x x 3 2x ₃

x

lim

∞

∞ = + + +∞ → 0 1 0 x 1 1 x 3 x 2 x x xx 3 2x x x 3 2x 2 3 2 x 3 3 3 x 3

x

lim

lim

lim

= =

+ + = + + = + + +∞ → +∞ → +∞ → Exercícios: 1) Seja 1 2x 3x 5 (x) f + +

= . Determinar:

a)

_lim

f (x)

x→+∞ b) x

lim

→−∞f (x) c)

lim

₎ f (x)

2 1 ( x_→− +

d)

_lim

f (x)

) 2 1 ( x_→− −

2) Calcular:

a)

_lim

(

1 x-2

)

) 2 (

x_→ + + b)

(

)

3 x 10 -2x 1

lim

) 5 ( x + + +

→ c) x (4)

(

x-4

)

3

1

lim

₋

→

d)

(

)

3

) 4 (

x x-4

1

lim

₊

→ e) 3 2

5 x 2

2 2

x

lim

+ +

−

−∞

→ x x f) x x 6 1 3x x 2 2 2

x

lim

+ −

+ + − + → g) 6 x x 1 3x x 2 2 2 x

lim

₋ −₊+ ₋+

→

y

x x

y

x y

a a a

Continuidade

O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções f(x), abaixo, são todas descontínuas:

f(x) f(x)

_lim

lim

a x a

x_→ - ≠ _→+

lim

_x→af(x)≠f(a)

=−∞

∞ =

+

→ →

f(x) f(x)

lim

lim

a x

a x

Definição: Uma função é contínua em um ponto A se:

a) f (a) é definida b)

_lim

f(x)

x→a

existe c)

_lim

f(x)

x→a = f (a)

A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita.

Exemplos:

a)      〉 = 〈 − = 1 x x -1 1 x 1 1 x x 1 f(x) 2

em x =1.

f(1) = 1 lim f(x) lim 1- x2 0

1 x 1 x = = − → − →

lim f(x) lim 1 - x lim 1- x 0

1 x 1 x 1 x = = = + → + → + →

f é descontínua por ponto ou removível em x = 1. Para remover a descontinuidade basta fazer f(x)=0 para x = 1.

b)     〉 = 〈 − = 2 x 8 -3x 2 x 4 2 x 2 3 f(x) 2 x

no ponto x=2.

L1 4 2 -3x lim (x) f lim 2 x 2 x = = = − → − →

lim f(x) lim 3x2-8 4 L2 2 x 2 x = = = + → + →

como L1 = L2 =f(2) então a função é contínua.

Exercícios:

Estudar analiticamente a descontinuidade das funções::

a)             〉 = 〈 − − − = 3 x 3 -x 1 -2 -x 3 x 2 3 x 9 3 2 27 x f(x) 2 3 x x

b)

      

≠ − −

= =

2 x 2

-x

2 5 3x

2 x 7 f(x)

2

x

c)

   

    

 

〉 +

= 〈

=

0 x x

2 -4 x

0 x 3

0 x

f(x)

x x sen

3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe

_lim

f(x)

1

x→ :

      

〈 ≥ −

− =

1 x A) -(x

1 x 1 - 1

1 x f(x)

2 2

1

x

0

x x

y

x

) f(x1

P

Q

β

Derivada de uma Função

Acréscimo da variável independente

Dados x0e x1 denominam incremento da variável x, à diferença:

0 1 x

x

x = −

Acréscimo de uma função

Seja y = f(x) contínua. Dados x0 e x1 podem-se obter f(x0) e f(x1). À

diferença y =f(x1)−f(x0) chama-se acréscimo ou variação da função f(x). Como

x x

x1= 0 + , então: y =f(x0+ x)−f(x0)

Graficamente: tgβ

x y

=

y

) (x f ₀

0 1 x

x x= −

1

x

0

Razão Incremental

O quociente da variação da função

y

pelo incremento da variável

independente

x

é chamado razão incremental.

x

) f(x x) f(x

x

y ₌ 0+ − 0

Trocando

x

₀ por x (fixo momentaneamente), temos:

x f(x) x) f(x x

y + −

=

Observe que a razão incremental é o coeficiente angular (tg ) da reta secante s, β

que passa por P e Q.

Derivada de uma função num ponto x:

eja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental x y

. O limite da razão incremental para o acréscimo

x

tendendo a zero é definido como a derivada da

função f(x). Ela pode ser indicada como:

y′=f′(x) Lagrange

Dy = Df(x) Cauchy

dx df dx dy ₌

Leibnitz

x x

y ∆

x ∆ )

x x ( f +∆

P

Q

β

α f (x)

s

x x+∆

t

α

Então:

x y 0 xlim (x)

f

→ =

′ ou

x f(x) -x) f(x 0 xlim (x)

f ++++

→ → → → ==== ′′′′

Quando x →0, a reta secante s tende para a reta tangente t , tgβ→tgα e f′(x)=tgα.

Geometricamente (x)f′ mede a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x, f(x)).

Exemplo:

Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definição f′(x).

x f(x) -x) f(x 0 x

lim (x)

f +

→ = ′

C f(x)=

C x)

∴ 0 x 0 0 x

lim x

C -C 0 x

lim (x)

f =

→ = →

= ′

Então se f(x) = C → f′(x)=0.

Propriedades

1. Propriedade f(x) = C →→→→ f′′′′(x)====0.

2. Propriedade _{f(x) ====x}n _{→→→→ f}′′′′ _(x)====nxn-1

Exemplos:

a) _{f(x)= x}7 _{→ f ′(x)=7x}6

b)

x 2

1 x 2 1 x 2 1 (x) f x (x) f x

f(x) 2

1 1

2 1 2

1

= =

= ′ → =

∴

=  −

    −

Exercícios: Calcular a derivada das funções:

a) _{f(x)= 4x}3

b) _f(x)=7x9

c) 4 3

x f(x)=

3. Propriedade (f++++g) ′′′′(x)====f′′′′(x)++++g′′′′(x)

4. Propriedade (f−−−−g)′′′′(x)====f′′′′(x)−−−−g′′′′(x)

a) f(x)₌2x4 ₊3x7 _{f ′(x)=8x}3_+21x6

b) f(x)₌3x9₋10x4

_{f ′(x)=27x}8 _−40x3

c) f(x) 3x 4x5

2 3 1 − = x 5 2 4. x 3 1 3. (x) f 5 1 2 1 3 1 = − = ′      −       − 5 3 3 2 5x 8 x 1 −

5. Propriedade (f.g) ′′′′(x)====f′′′′(x) .g(x)++++f(x) .g′′′′(x)

Exemplos:

a) F(x)₌ x3.(x2 ₊1)

2x (x) g 1 x g(x) 3x (x) f x (x) f 2 2 3 = ′ → + = = ′ → = 2 4 3 2 2 3x 5x (x) F 2x . x 1) (x . 3x (x) F + = ′ + + = ′

b) F(x) (x 2x).(x3 2x2)

2

3_{+ +}

2 3 2 4 3 8 3 1 3 2 3 2 2 12x x 3 10 10x x 3 11 (x) F 4x) x 3 2 2x).( (x ) 2x 2).(x (3x (x) F + + + = ′ + + + + + = ′ −

c) F(x)₌(x2₊4)(2₊x9)

4x 36x 11x (x) F ) 4).(9x (x ) x 2x.(2 (x) F 9x (x) g x 2 g(x) 2x (x) f 4 x f(x) 8 10 8 2 9 8 9 2 + + = ′ + + + = ′ = ′ → + = = ′ → + = 6. Propriedade

((((

))))

2

g(x) (x) g . f(x) g(x) . (x) f (x) g (x)

f _{′′′′====} ′′′′ −−−− ′′′′ 

  

Exemplos:

a) ₂

x x 1 y= −

b) ₂ x 1 3 x y − + = 2 2 2 2 2 2 2 ) x (1 1 6x x y ) x (1 2x) 3).( (x ) x -1.(1 y -2x (x) g x -1 g(x) 1 (x) f 3 x f(x) − + + = ′ − − + − = ′ = ′ → = = ′ → + = a) 7 x 6 5x x

y 2 ₂

Exercícios:

Calcular as derivadas das funções:

1) _y=(1−t2_)t 4

2) y₌(z3₋2z2 ₊1)(z₋5)

3) y (x 2x)(x3 2x2)

2

3_{− +}

=

3)

x 2 x

y 2

3

− =

4) y₌(x2 ₊3)(3x₋1)

5)

9z 2

3z z 8 y

2

− + − =

6)

7 t

2 1 t 5 3 y

2 +

− =

7) _{2 3}

x x x 1

1 y

+ + + =

8)

(

)

5x x 4 3

1 2x 3x y

2 2 4

   



 ₊

+ − =

9) 1 1 1₂ 1₃ x x x

y = + + +

x )

x ( f

T

(a=f′(x))

β

N

  



′ − =

) x ( f

1 a

Significado Geométrico da Derivada

= ′(x)

f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x))

N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))

Exemplo:

Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função

2

x 4 f(x)

y= = − nos pontos P1(2,0) e P2(-1,3).

No ponto (2,0) f′(x)=2 ∴ a =2

2 1 − =

n

a

2 -2x y

2) -2(x y T de Equação

= =

equação de N

( )

x-2 2 1 =

y → x 1 2 1 - + = y x

5 2x y

1) 2(x 3 y T de Equação

+ =

+ = −

equação de N

(

x 1

)

2 1 -3

- = +

y

2 5 x 2 1 - + = y

Exercícios:

1) Dada a função y ₌ x2 ₋2 x _{e o ponto P(4,12), determine a equação das retas} normal e tangente ao gráfico da função no ponto P.

2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa dada:

a) ( )₌2 2₋5 , x₌1 x

x f

b) ( )= 1 , x=2 x

x f

3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao eixo x:

a) y x x 4x 2 3 3

2 3

− −

=

b) ₌ 3₊10 x y

c) y = x4+4x

b) y = x , x =4

5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico ₌2 3₋ 2₊3 ₋1 x x x y nos quais a tangente é:

a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0 b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21

Derivadas de Ordem Superior

segunda

derivada

dx y d dx dy dx

d (x) f

primeira

derivada

y dx dy (x) f

f(x) y

'' 2 2

y = =       = ′′

′ = = ′

=

terceira derivada

y dx

y d dx

y d dx

d (x)

f '''

3 3 2 2

= =

    = ′′′

n

y = = n_n

n

dx y d (x) f

geral modo um De

Exemplos: Calcular y′, y′′ey′′′::

a) y =x8−4x4+2x

' ₌8 7₋16 3₊2 x x

y '" =336x5−96x

b) y =4x2−2x+40x3− x

2

1 2

'

2 1 120 2

8 − + − −

= x x x

y

2

3 ''

4 1 240

8+ + −

= x x

y

2

5 ''

'

8 3 240− −

= x

y

Exercícios: Calcular y′, y′′ey′′′:

11 3x 5x 4x y

1) 6

1 5

7 _{− + −}

=

x 1 x y )

2 = 2 −

3) 2 1

1

8 _{x 15x}

x

y_{= +} − ₊ −

4) ₂

3 ₄

x x

y = −

5) ₌

(

2₊3

)

(

₋1

)

x x

y

Regra da Cadeia

Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:

f

( ) ( )

u g x dx

du du dy dx

dy _{= . =} ' _. '

Para derivar ₌

(

2 ₊₁

)

2

x

y podemos expandir a função e depois derivar, ou seja:

(

1

)

4

4 4

1 2 )

(

2 3

2 4

+ =

+ = ′

+ + = =

x x x x y

x x x f y

Se quisermos derivar a função _{y =}

(

_x2 ₊₁

)

100 _{só conseguiremos resolver}

através da regra da cadeia.

Assim:

(

₂

)

99

(

₂

)

99 2

99 100

2

1 x x 200 .2x 1 x 100 dx dy

2x dx du 1 x u

100u du

dy u y

1 x u

+ =

+ =

= ⇒

+ =

= ⇒

= + =

Exemplos:

1) ₌ 2₊2 ₊4 x x

y =

(

)

2

1 2_{+2 +4}

x x

(

)

(

)

(

)

4 2

1 2

2 4 2 2

1

2 2

1 2

'

+ +

+ =

+ +

+

= −

x x

x x

x x y

(

₄

)

20

10 8

)

2 y = x+x −

' ₂₀

(

₈ 4 ₁₀

) (

19 _{8 4} 3

) (

₈₀₈ 4 ₁₀

) (

19 ₂ 3

)

x x

x x

x x

y = + − + = + − +

Exercícios: Calcular

y

′

para a s funções:

1)

5 4 ₁

1 + − =

x x y

2) ₃

2

2 3 − + =

x x y

3)

1 1

2

+ − =

x x

y

4) ₌

(

2_{−4 +2}

)

8

x x y

5) ₌3 4_{−2 +1}

x x y

6) y =

(

3x+1

)

6. 2x−5

8) ₌

(

4₋₈ 2₊₁₅

)

4

w w y

9)

(

)

3

(

2

)

2

9 8 . 7

6 − +

= x x

y

3₈ 3 ₂₇

)

10 y = r +

11)

4 -3s

1 y =

12)

9 4x

3 2x y

2 ₊

+ =

13) _{3 4 5}

x 3 x

2 x

1

y = + +

14)

(

₂

)

2

5 x 3 x

1 y

+ + =

15) y₌

(

4x2 ₋3

)

(

2x₊1

)

16)

(

)

3

4 x 3

1 x 5 y

+ − =

Derivada das Funções Trigonométricas

Derivada da função seno

x dx

dy y x

sen x

f y

Pela Regra da Cadeia: u u dx

dy y u

sen y

Se _{==== ⇒⇒⇒⇒} ' _{==== ====} 'cos

Derivada da função cosseno

(

)

2

1 2 2

2 2

2 _{cos 1 cos 1 sen cos x 1 sen}

sen

cos

) (

x x

x x

x

x x

f y

− = →

− = →

= +

= =

(

)

(

sen x

)

(

senx x

)

(

x

)

(

senx x

)

senx y

x sen x

y

− = −

= −

− =

− = =

− −

cos . 2 cos

2 1 cos . 2 1

2 1

1 cos

2 1 2 2

1 2 '

2 1 2

∴ sen x

dx dy y x

x f y

Se = ( )=cos ⇒ = =−

Pela Regra da Cadeia: u s u

dx dy y u

y

Se ====cos ⇒⇒⇒⇒ ' ==== ====−−−− ' en

Exemplos:

Calcular as derivadas de:

(

x 1

)

sen

y

1) ₌ 2 ₊

cos

(

x 1

)

.2x dx

dy

y_{′= =} 2 ₊

2) y=sen x

2

1

x 2 1 . x cos

y = −

x

x

y cos

2 1 = ′

(

1

)

(

2

)

)

3 ₌ 2₊ 20 3₊

x sen x

y

₌

(

2 ₊₁

)

20

x

f

⇒

f′=20

(

x2 +1

)

19.2x ₌sen

(

3 ₊2

)

x

g

⇒

g′=3x2.cos

(

x3 +2

)

(

x 1

)

sen

(

x 2

)

3x

(

x 1

)

cos

(

x 2

)

x 40

y′₌ 2 ₊ 19 3 _{+ +} 2 2 ₊ 20 3 ₊

4) cos₂ x

x y =

x g x

g

senx f

x f

2

cos

' 2

'

= ⇒

=

− = ⇒

=

3 cos 2 cos

2

4 2

'

x

x x

sen x x

x x x sen x

y = − − = − −

Derivada da função tangente

x cos

en

)

(

y f x tg x y s x

Se = = ⇒ =

x f

x sen

x x

x x sen x

y _{2 2} 2

2 2

' _sec

cos 1 cos

cos

= =

+ =

Pela Regra da Cadeia: u s u

dx dy y u

tg y

Se _{==== ⇒⇒⇒⇒} ' _{==== ====} ' ec2

Derivada da função cotangente

x sen

os

cot

) (

y f x g x y c x

Se = = ⇒ =

x g

x sen g

x sen f

x f

cos

cos

' '

= ⇒

=

− = ⇒

=

x

x sen x

sen

x x

sen

y _{2 2} 2

2 2

' ₌ − −cos ₌ −1 _=−cossec

Pela Regra da Cadeia: u s u

dx dy y u g y

Se ₌₌₌₌cot _⇒⇒⇒⇒ ' _{==== ====−−−−} 'cos ec2

Derivada da função secante

x

x x

y cos 1

cos 1

sec _{= =} −

=

(

)

secx.tgx

x cos

x sen x

sen x cos 1

Pela Regra da Cadeia: Se y ==== secu

⇒

y′′′′====secu .tgu .u′′′′

Derivada da função cossecante

sen x

x sen

1 x sec cos

y= = = −1

( )

(

)

cossecx.cotg x x

sen cosx cosx

x sen 1

y′= − −2 = − ₂ =−

Pela Regra da Cadeia: Se y ====cossecu ⇒⇒⇒⇒y′′′′====-cossec u . cotg. u′′′′

Exemplos: Calcular as derivadas de:

(

x 2x 1

)

tg y )

1 = 2+ +

y′=

[

2x+2

]

sec2

(

x2+2x+1

)

2)

x tgx y

sec cos =

x g x g

x g

x f

x tg f

cot . sec cos

sec cos

sec

1

2 '

− = ⇒

=

= ⇒

=

x

gx tgx x x

x

y ₂

2 '

sec cos

cot . . sec cos sec

cos .

sec +

= =

x x sec cos

Exercícios:

(

3

)

sec

(

1

)

cot

)

1 ₌ 3 _{+ +}

x x

g y

( )

5x sec cos . x y ) 2 = 2

(

3x 1

)

cotg

3)y = 3 5 +

(

8x 3

)

sen

4)y = +

3_{5 6x}

tg

5)y= −

(

_3x5 _5x3

)

cos

6)y = −

(

8 _x 5 _x

)

tg

7)y= −

x cos 1

x sen y

) 8

+ =

1 x 2 tg

x 2 sec y ) 9

− =

10)y =secx.tg(x2+1)

11)

x cotg . x cos

1 y=

12)

(

3x-1

)

sen x tg

x sec 1

y ₂

+ + =

13) y₌2xcotgx₊ x2 tg x

14) y=sen

( )

−x +cos

( )

−x

15)

(

( )

( )

)

2

2x cos 4x sen

y= +

16)

2x sen

3x cos x y= +

17)

(

x 1

)

tg x - x sen2x y₌ 2₋

18) y₌tg

( )

-2x

(

x2₋2x₊1

)

19) y=cossec5x .tg x

20) ₌cos2

(

2₋2 ₊1

)

x x y

21)

(

)

3

du

dx

dy

du

dy

dx

dy

dx

dx

dy

dx

dx

=

1

Derivada da Função Inversa

Vimos a regra da cadeia para a composição de duas funções f (x) e g(x):

dx du du dy dx dy

. =

Para a função inversa -1

f

g

=

x

u y

f

g

x

y x

f

Portanto:

1 ou 1 dx dy dy dx dy

dx dx dy

= =

Derivada da Função Exponencial

Se y ₌ax _⇒ y' ₌ax_lna

Pela Regra da Cadeia: Se _{y ====a}u

⇒

_y′′′′_====u′′′′_.au_lna

Exemplos: Derivar:

1) y =2x ⇒ y′= 2xln2

2) y = 2x2 ⇒ y′=2x2ln2.2x =2x.2x2.ln2

Para a = e ≅ 2,71828

y=ex ⇒⇒⇒⇒ x

e y′′′′====

Pela Regra da Cadeia: Se _{y ====e}u

⇒

_y′′′′_====eu_u′′′′

Exemplos: Derivar

2) y=e x

⇒

x 2 1 . e y′= x

3) y =esenx

⇒

y′=esenx.cosx

4) x

1 x2 e y + = ⇒⇒⇒⇒

( )

_       ₋ =         _{− +} = ′ + + 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x x 1 x . e x 1 x . 1 x . x 2 . e y 2 2

Derivada da Função Logaritmo

a ln x. a ln . a dy dx x a x log

y = _a ⇒ y = ⇒ = y =

Como: a ln x. 1 dx dy dy dx 1 dx dy = ⇒ = Se a ln x 1 y x log

y = _z ⇒ ′=

Pela Regra da Cadeia:

a ln u u y u log y Se a ′′′′ ==== ′′′′ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ====

Para a=e ⇒ log_ax =ln x

Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u

1)

x 2 x 2x y

x

ln

y= 2 ⇒ ′= ₂ =

2)

x 2

1 x

x 2

1 y

x ln

y = ⇒ ′= =

3)

3 ln 2

1 3 ln x

x 2

1 y

x

log₃ ⇒ ′= =

Lembrar que :

ln (p . q) = ln p + ln q

ln q

p _{= ln p – ln q}

ln p = r . ln p r

Exercícios: Derivar

1) y=ln

[

6x-1.

(

4x+5

)

3

]

2) 3

2 2

1 x

1 x ln y

+ − =

3)

(

)

(

)

2

3 2

5 x

1 2x x ln y

+ − =

4) y =ln_x+ x2−1_

Derivadas de Funções na Forma Implícita

Considere a expressão:

49 y x2 + 2 =

Podemos isolar y em função de x:

2 2

2 _{49- x y 49- x}

y = ⇒ =±

Ficam definidas duas funções:

x -49 (x)

f y e x -49 (x) f

y = = 2 = = − 2

Diz-se que y =f(x)= 49-x2 e y =f(x)=− 49-x2são funções na forma explícita (y em função de x) , enquanto x2 +y2 = 49 é uma função na forma implícita.

Seja x2 +y2 = 49. Usando a Regra da Cadeia :

( )

un′ =n.un-1u′ , a derivada de y com relação a x é 2.y. y′2 .

Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a x, temos:

y x -2y 2x -y

0 y y 2 x

Exemplos: Calcular y para as funções abaixo: '

1) x3 +3y4 =0

3 2

3 2 3

2

y 4

x y

12 x 3 -y

0 y y 12 x

3 + ′= ⇒ ′= = −

2) x2y + y4 = 4

y g

y g

2x f

x

f 2

′ = ′ ⇒

=

= ′ ⇒

=

3 2

3 2

y 4 x

x y 2 -y

0 y y 4 y x x y 2

+ = ′

= ′ +

′ +

3) sen4x+xcos y =ex

y sen x

y cos x cos x sen 4 e y

e y y) (-sen x y cos x cos x sen 4

3 x

x 3

+ +

− = ′

= ′ +

+

4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva

1 9 y 4

x2 ₊ 2 ₌

no ponto

  

 2 27 ,

1 .

y 9 22

x -y

0 y . y 9 2 2 x

0 y 2y. . 9 1 2x . 4 1

= ′

= ′ +

= ′ +

No ponto

  

 2 27 ,

1

⇒

9 27 2 27 2

9

= −

= ′

=y P aN

a

Reta Tangente T

⇒

y -

(

x 1

)

27 2

9 2

27 ₌ − ₋

Reta Normal N

⇒

y -

(

x 1

)

9

27 2 2

27 _{= −}

Exercícios:

1) Calcular _{y para:} '

a) 3x2₊5x4₋xy₌4 _{b)sen y+x}2_y3 _{=tg x c) y=x}2_{sen y}

2) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva 1

5 4

3 3

4_{+ − =− +}

x x

y

Diferenciais de uma Função

Dada uma função y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como:

x (x) f dy= ′ ∆

onde

∆

x

é o acréscimo da variável independente x e dy é o diferencial de

y.

Define-se então a diferencial da variável dependente como :

dx (x) f dy= ′

Lembrando o significado geométrico da derivada, temos:

x (x) f (x) f ) (x f

x (x) f (x) f ) (x f

(x) f -x)_ (x

f

∆ ′ + ≅ ∆ +

∆ ′ ≅ − ∆ + ∴

∆ + = ∆

x x y

Exemplos:

1) Obter um valor aproximado para 37 .

37 x x

1 x

36 x

x (x) f

= ∆ +

= ∆

x (x) f (x) f x) (x f

x 2

1 (x) f

∆ ′ + = ∆ +

= ′

.1

36 2

1 36

37= +

6,08333 12

1 6 37≅ + ≅

2) Obter um valor aproximado para sen310

180 1

x

6 30 x

x sen (x) f

0 0

π = = ∆

π = =

=

0,51511 31

sen

180 . 6 cos 6 sen 31

sen

x (x) f (x) f x) (x f

0 0

≅

π π + π =

Exercícios:

1) Obter um valor aproximado para

a) 363 b)

( )

_3,14

c) 4_{15 d)}

(

_2,03

)

3

e) _cos440

2) Calcular os diferenciais de: a) y =

(

x3 -5 x2 +2

)

4

b) y=sen

( )

3x2

c)

y

x Máximo

relativo

Mínimo relativo

Máximo absoluto

a x₁ b

α

y

f(x)

x

2 x

3

x x₄ x₅

Aplicações da Derivada

Máximos e Mínimos de uma Função

Considere a função cujo gráfico é:

f(x) é crescente nos intervalos

( )(

a,x1, x2.x3

)(

, x4.x5

)

f(x) é decrescente nos intervalos

(

x1.x2

)(

, x3.x4

)

f(x) é constante no intervalo

(

x5,b

)

Seja um trecho de f(x) crescente:

'( ) α

tg x

f =

se f (x) é crescente, temos

2

0 〈 α 〈 π 0

(x) e

0 ' _〉

〉

Seja um trecho de f(x) decrescente:

'( ) α

tg x

f =

se f (x) é decrescente, temos π α π

2 〈 〈 0

(x) e

0 ' _〈

〈

∴tgα f

Se f(x) é constante, '(x)₌0

f .

Exemplos:

1) Determinar os intervalos em que a função _{( ) 4} 2

x x

f = − é crescente e onde é decrescente.

_{( ) 4} 2

x x

f = −

0 x para e decrescent é

f(x) 0 x se 0 2x

0 x para crescente é

f(x) 0 x se 0 2x 2

) (

'

〉 ∴

〉 〈

〈 ∴

〈 〉

−

= x

x f

2) Determinar os intervalos em que a função ( )₌ 2₊5 ₊4 x x x

f é

crescente e onde é decrescente.

( )₌ 2₊5 ₊4 x x x f

f(x)

x

α

2 5 x para e decrescent é

f(x) 2 5 x se 0 5 2x

2 5 x para crescente é

f(x) 2 5 x se 0 5 2x 5 2 ) (

'

〈 ∴

〈 〈

+

〉 ∴

〉 〉

+ +

= x x f

Máximos e Mínimos Relativos ou Locais

Seja f(x) definida no domínio D.

D

x₀ ∈ é ponto de mínimo local de f (x) se f(x₀)≤ f(x) para x pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

D

x₀ ∈ é ponto de máximo local de f (x) se f(x₀)≥ f(x) para x pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.

f(x

₀

)

y

x

0

f(x

0

)

Resultado:

Se f (x) existe e é contínua , então num ponto de máximo ou mínimo local temos f'(x₀)=0. Esse ponto é chamado ponto crítico de f(x).

Estudo do Sinal da Derivada Segunda

Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do sinal da derivada segunda da função f (x).

Observe que para x 〈 x0 temos f'(x) 〉 0 .Para x = x0 temos

0 ) x (

f' = e para x 〉 x₀ temos f'(x) 〈 0. Logo f'(x) é decrescente e portanto sua derivada f ''(x) 〈 0.

y

x

₀

x

′

f (x) = 0

′

〉

f (x) 0

′

〈

Conclusão:

Dada uma função f (x):

a) Calcular a derivada primeira f'(x).

b) Obter os pontos críticos x para os quais 0 f'(x) = 0.

c) Calcular a derivada segunda:

Se f ''(x₀) 〈 0 temos que x é ponto de máximo relativo. ₀ Se f ''(x₀) 〉 0 temos que x é ponto de mínimo relativo ₀

Exemplos:

1) Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função

2

x - 4 (x)

f =

pontos críticos (f'(x) = 0)

f'(x)= -2 x -2 x=0 x₀ =0

f ''(x)=-2 ∴ x₀ é ponto de máximo relativo

f(x₀) = f(0)=4 é o valor máximo relativo de f (x).

2) Idem para y =f(x)=2x3 −12x2 +18x−2 pontos críticos f′(x)=0

24 x 12 x) (

f'' =

1 x 0 12 -1) (

f'' = 〈 ∴ ₀ = é abcissa do ponto de máximo relativo f (1) = 6 é o valor do máximo relativo

3 x 0 12 3) (

f'' = 〉 ∴ ₀ = é abcissa do ponto de mínimo relativo f (3) = -2 é o valor do mínimo relativo

Estudo da Concavidade de uma Função

A concavidade de uma curva f (x) é identificada pelo sinal da derivada segunda.

Se f ''(x) 〉 0 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima. Se f ''(x) 〈 0 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada

para baixo.

Um ponto do gráfico de y = f (x) onde há mudança no sinal da derivada segunda f ''(x) é chamado ponto de inflexão f ''(x )= 0.

Exemplo:

Seja x 6x 2

2 5 3 x (x) f

y = = 3 − 2+ + . Determine:

a) o intervalo onde f(x) é crescente e onde é decrescente. b) pontos de máximo e mínimo relativos.

c) Pontos de inflexão.

a)

  

= = +

− =

3 x

2 x 6 x 5 x (x)

f 2

Estudo do sinal:

1. linha : x – 2

2. linha : x – 3

3. linha : (x-2) (x-3)

2 3

- + +

- - +

+ - +

crescente

f 3 x ou 2 x para 0 (x) f

′ 〉 〈 〉 ⇒

∴

e decrescent

f 3 x 2 para 0 (x) f

′ 〈 〈 〈 ⇒

b) pontos críticos

  

= = =

′

3 x

                    ∴ = 〉 ′′ ⇒ =       ∴ = 〈 ′′ ⇒ = = ′′ relativo mínimo de é 2 13 3, ponto 2 13 (3) f 0 (x) f 3 x relativo máximo de é 3 20 2, ponto 3 20 (2) f 0 (x) f 2 x 5 x 2 (x) f c) inflexão + ∴ = = para -de passa (x) f 2 5 x 5 x 2 0 (x) f''

Máximos e Mínimos Absolutos

Se y = f (x) é contínua e definida num intervalo fechado [a,b], derivável em [a,b] então existem pontos

x

0

e

x

1 tais que:

( )

[ ]

( )

x f(x) , x

[ ]

a,b f 2) e b a, x , (x) f x f ) 1 1 0 ∈ ∀ ≤ ∈ ∀ ≥ 0

x

= ponto de mínimo absoluto de f(x)

1

x

= ponto de máximo absoluto de f(x)

5 2

Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função no extremo do intervalo.

Exemplo:

Seja y=f(x)=16- x2 no intervalo [ -1, 4 ]

Pontos de máximo e mínimo relativos

[

- 1,4

]

0 x

0 x 2

0 (x)

f' = ⇒ = ⇒ = ∈

0 x então 0 ) x ( f como 2 ) x (

f'' =− '' 〈 = é ponto de máximo local

e o valor máximo da função f (0)=16.

Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0

Por comparação f (x) = 0 é ponto de máximo absoluto e x =4 é ponto de mínimo absoluto.

Exercícios:

1) Dada a função 3x 9x 1 3

x ) x ( f

y_{= =} 3 ₋ 2_{+ + verifique os intervalos}

para os quais a função é crescente e decrescente. Determine os pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo. Determine o ponto de inflexão, se houver.

2) Idem para 3x 5x

3 x ) x ( f

y 2

3

− + − = =

3) Determinar números positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e cuja soma seja a menor possível.

4) Determinar números positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e cujo produto seja o maior possível.

5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos locais para

(

₂

)

3

1 x

6) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo da produção é dado por

60 x 18 x 6 x 2

C₌ 3₊ 2_{+ + e o valor obtido na venda é dado por} 2

x 12 x 60

V= − , determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro L = V –C..

7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 _{m de} 2

área, determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.